MATERIALI COMPOSITI

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dei Materiali
A.A. 2006/07
MATERIALI COMPOSITI
Prof. A.M.Visco
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FIBRE DISCONTINUE PARALLELE
In un composito dove le fibre sono continue in una direzione, gli sforzi delle fibre possono essere
determinati facilmente con la regola delle miscele. Se le fibre sono più corte delle dimensioni del
composito ci troviamo di fronte a delle fibre discontinue e la regola delle miscele non
necessariamente porta ad una soluzione accurata.
Un carico a trazione applicato ad una lamina a fibre discontinue è trasferito tramite sforzi di taglio
all’interfaccia tra fibra a matrice. Poiché la matrice ha un modulo inferiore a quello delle fibre, le
deformazioni longitudinali nella matrice sono superiori che nelle fibre adiacenti.
Metà di una fibra discontinua di lunghezza l
L’equazione di equilibrio delle forze lungo questa direzione saranno:
⎛π 2 ⎞
⎛π 2
⎜ d f ⎟ * (σ f + d σ f ) − ⎜ d f σ f
⎝4 ⎠
⎝4
⎞
⎟ − π d f dxτ = 0
⎠
la quale con qualche semplificazione diviene
dσ f
dx
=
4τ
df
dove σ f è lo sforzo longitudinale nella fibra a distanza x da una delle zone terminali, τ è lo sforzo di
taglio all’interfaccia fibra-matrice e d f è il diametro delle fibre.
Supponendo che non vi sia trasferimento di sforzi tra le code delle fibre, cioè σ f =0 a x=0 ed
integrando l’equazione precedente è possibile determinare la distribuzione degli sforzi longitudinali
nella fibra
x
4
σf =
τ dx
d f ∫0
2
Per semplicità, consideriamo che lo sforzo di taglio interfacciale sia costante; conseguentemente
può essere portato fuori dall’integrale ed ottenere:
σf =
4 ⋅τ i ⋅ x
df
dove τ i è lo sforzo di taglio interfacciale considerato costante. L’espressione precedente evidenzia
che quando una fibra è discontinua lo sforzo della fibra non è uniforme. esso è nullo in
corrispondenza delle zone terminali della fibra e cresce linearmente lungo la lunghezza x della
fibra, fino ad un valore massimo nella posizione centrale dalla fibra stessa. il massimo sforzo della
fibra può essere trovato ad un dato carico ed è:
σ f (max) =
2 ⋅ τ i ⋅ lt
df
dove x=
lt
è la lunghezza di trasferimento del carico da ogni coda della fibra. lt è la minima
2
lunghezza della fibra nella quale lo sforzo massimo è raggiunto.
Sforzo in una fibra discontinua lungo la sua lunghezza
Per un dato diametro di fibra e condizione interfacciale fibra-matrice, si può calcolare un valore
critico di lunghezza di fibra necessario per avere almeno un punto sottoposto al carico massimo di
rottura della fibra stessa.
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lt =
d f ⋅ σ fu
2 ⋅τ i
dove σ fu è la resistenza a rottura della fibra; lt è la minima lunghezza della fibra richiesta affinché
quest’ultima sia sollecitata in corrispondenza della regione centrale ad uno sforzo massimo
corrispondente al suo limite di rottura.
τi è la resistenza a taglio dell’interfaccia fibra-matrice.
σ frottura =
Ef
Ec
σ Crottura
Se:
l f < lt
lo sforzo massimo della fibra non può raggiungere il valore a rottura della fibra. In questo caso
anche il legame interfacciale fra fibra e matrice o la matrice stessa può rompersi prima che le fibre
raggiungano la loro resistenza potenziale.
l f > lt
Lo sforzo massimo della fibra può raggiungere il valore critico di rottura su molta della sua
lt
da entrambe le code della fibra, la fibra rimane
2
lunghezza. Tuttavia, in una uguale distanza pari a
meno efficace.
Per avere un efficace rinforzo delle fibre si deve quindi avere l f >> lt .
4
Sebbene gli sforzi normali vicino le code della fibra, cioè a x <
lt
, sono più bassi dello sforzo
2
massimo della fibra; questi contributi non possono essere ignorati quando si va a considerare la
capacità di carico portante da parte della fibra.
Considerando questa distribuzione degli sforzi si ha:
σ Lrottura = σ frotturaV f + σ m' (1 − V f )
poiché lo sforzo medio della fibra è
σ frottura
lf
⎛
1
l
= ∫ σ f dx =σ frottura ⎜1 − c
⎜
lf 0
⎝ 2l f
⎞
⎟⎟
⎠
si ottiene
⎛
σ Lrottura = σ frottura ⎜⎜1 −
⎝
lc
2l f
⎞
'
⎟⎟V f + σ m (1 − V f )
⎠
Si è assunto che tutte li fibre si rompono allo stesso livello di resistenza. Dalla formula relativa alle
fibre continue la Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. presenta un contributo,
⎛
l
⎜⎜1 − c
⎝ 2l f
⎞
⎟⎟ , che è sicuramente <1.
⎠
Questo rileva che le fibre discontinue rafforzano il composito molto meno delle fibre continue, ma
con lunghezze di fibre l f > 5lt si ottiene comunque un rafforzamento del 95%.
Per l f < lt non avremo la rottura della fibra, ma otterremo la rottura a trazione della matrice.
_
poiché lo sforzo medio della fibra è σ f = τ i
lt
. la resistenza longitudinale a trazione di un
df
composito è data da:
_
σ Lrottura = τ i
lt
V f + σ mrottura (1 − V f
df
)
dove σ mrottura è la resistenza a trazione della matrice.
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Diagramma sforzo-deformazione per a) un materiale perfettamente elasrto-plastico b) un
materiale elastic-strain hardening
⎡
⎛ lf
⎞⎤
⎢ cosh β ⎜ − x ⎟ ⎥
⎝2
⎠⎥
σ f = E f ε1 ⎢1 −
lf
⎢
⎥
cosh β
⎢
⎥
2
⎢⎣
⎥⎦
per 0 ≤ x ≤
lf
2
dove
β=
2Gm
⎛R⎞
E f rf2 ln ⎜ ⎟
⎜r ⎟
⎝ f ⎠
R= distanza centro centro tra due fibre vicine.
Lo sforzo di taglio all’interfaccia fibra-matrice:
⎛l
⎞
sinh β ⎜ f − x ⎟
1
⎝2
⎠
τ = E f ε1 β rf
lf
2
sinh β
2
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Le equazioni sopra riportate sono disegnate nella seguente figura per vari valori di β l f .
Distribuzione degli sforzi normali lungo la lunghezza per una fibra discontinua in accordo
alla eq. di distribuzione degli sforzi di taglio all’interfaccia fibra-matrice.
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Modulo di Young per le fibre discontinue parallele
Le equazioni di Halpin-Tsai possono essere utilizzate per determinare il modulo di Young di un
composito a fibre discontinue sia nella direzione longitudinale che nella direzione trasversale.
La fig. mostra la sezione trasversale di una fibra circolare caricata trasversalmente.
Modello per una fibra a sezione circolare caricata in direzione trasversale
Per una fibra tonda si ha ξ =
2a
= 2 . Il modulo di Young nella direzione trasversale per delle fibre
b
discontinue sarà:
1 + 2ηT V f
ET = Em
1 − ηT V f
dove ηT è
E − Em
ηT = f
E f + 2 Em
Quando una fibra discontinua è orientata lungo la direzione di carico, si ha ξ L =
2l
, dove l è la
d
lunghezza della fibra e d è il diametro della fibra.
Modello per un composito a fibra discontinua caricato in direzione longitudinale
8
Il modulo in direzione longitudinale è:
⎛ 2l ⎞
1 + ⎜ ⎟ηLV f
d
EL = Em ⎝ ⎠
1 − ηLV f
dove
ηL =
E f − Em
⎛ 2l ⎞
E f + ⎜ ⎟ Em
⎝d⎠
Allo stesso modo di come è stato calcolato il modulo di Young, con le equazioni di Halpin-Tsai è
possibile determinare le altre proprietà, come il modulo di taglio GLT e GTS e νTS.
Il modulo elastico longitudinale e trasversale possono essere usati per stimare il modulo di Young e
di taglio di una lamina con i rinforzi orientati casualmente.
Le proprietà della matrice risultano dominanti nel comportamento trasversale del composito, di
conseguenza il modulo trasversale per le fibre orientate casualmente presenterà un contributo che
tiene conto di questa considerazione. Infatti
5
1
Erandom = ET + EL
8
8
Alo stesso modo è presente una relazione che stima il modulo di taglio per le fibre orientate
Casualmente
Grandom =
2
1
ET + EL
8
8
e per il coefficiente di Poisson
ν random =
Erandom
−1
2Grandom
9