soluzioni II esercitazione in classe
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Soluzioni Esercitazione in classe n.2 Complementi di Probabilità a.a. 2016/2017 ( ) 1. Se fosse p = 1 sarebbe P(Zn = n) = P ∩nk=1 (Yk = 1) = 1 essendo l’intersezione di eventi certa un evento certo e quindi P(Bn ) = 0 per ogni n e quindi limP(Bn ) = 0 e P(limsup Bn ) = 0 poiché limsup Bn ⊂ ∪n≥1 Bn e l’unione di eventi impossibile è evento impossibile. Se fosse p = 0 sarebbe P(Zn = −n) = 1 e il risultato sarebbe lo stesso. Per p ̸= 1, 0, poiché B2h+1 = ∅, h ≥ 0, allora limh→∞ P(B2h+1 ) = 0. Per h ≥ 1 si ha ( ) (2h)! h 2h h P (B2h ) = p (1 − p)h = p (1 − p)h h (h!)2 e utilizzando la formula di Stirling √ 1 2π(2h)2h+ 2 e−2h h 22h h 1 h ∼ √ P (B2h ) = √ p (1 − p) = p (1 − p)h ≤ √ →h→∞ 0 1 πh πh ( 2π(h)h+ 2 e−h )2 dove la disuguaglianza segue dal fatto noto: p(1 − p) ≤ 41 qualsiasi sia p ∈ (0, 1). Cosı̀ anche limh→∞ P(B2h ) = 0 e in conclusione lim ∑n→∞ P(Bn ) = 0 Per il I enunciato di Borel-Cantelli se n P(Bn ) < +∞, allora P(limsup Bn ) = 0. Si controlla il com∑ P(B portamento della successione delle ridotte di indice pari 2n k ). Essendo P(B2h+1 ) = 0 h ≥ 0, k=1 si ha n ( ) n 2n ∑ ∑ ∑ 2h h p (1 − p)h P(B2h ) = P(Bk ) = h h=1 h=1 k=1 ( ) ∑ 2h h e per n → +∞ si ha convergenza poiché +∞ p (1 − p)h tenendo conto dell’approssimazione h=1 h ∑ ah √ vista prima e del fatto che per ipotesi p ̸= 21 e quindi p(1 − p) < 14 , la serie si comporta come +∞ h=1 h con a < 1 e il termine generale di quest’ultima∑ è maggiorato da∑ ah con a < 1 che è il termine generale di 2n+1 serie geometrica convergente. Infine, essendo k=1 P(Bk ) = 2n k=1 P(Bk ), la successione delle ridotte dispari converge allo stesso limite finito e quindi la serie converge. ∨ ∨ 2. a) Per definizione σ(X, Y, Z) = σ(X) σ(Y ) σ(Z) e quindi σ(X, Y, Z) contiene σ(X) e σ(Y ) e quindi ∪ ∨ contiene σ(X) σ(Y ) e anche σ(X) σ(Y ) = σ(X, Y ) ∨ b) Si è dimostrato che se G1 , G2 , G3 sono σ-algebre indipendenti allora ∨ G1 G2 è indipendente da G3 (”indipendenza a pacchetti”): qui G1 = σ(X), G2 = σ(Y ), G3 = σ(Z), G1 G2 = σ(X, Y ). c) Segue banalmente dalla definizione stessa di indipendenza di F e H e di G e H. Per ottenere l’indipendenza di X + Y e Z si pone allora F = σ(X, Y ), G = σ(X + Y ) e H = σ(Z). 3. Si dimostra la condizione necessaria. Se X è simmetrica segue che LX (A) = LX (−A); qualsiasi sia il boreliano A e posto −A := {−x, x ∈ A}: infatti per definizione LX∫ (A) = L−X (A) e inoltre L−X (A) = P(−X ∈ A) = P(X ∈ −A) = LX (−A). Allora se X ha densità R IA (x)fX (x) dx = LX (A) ∫ deve coincidere con LX (−A) = I R −A (x)fX (x) dx, e essendo, per ogni x ∈ R, I−A (x) = IA (−x), ∫ deve anche coincidere con R IA (−x)fX (x) dx. Utilizzando il suggerimento (g ∫integrabile implica ∫ ∫ g(x)dx = g(−x)dx), si conclude che deve essere, qualsiasi sia il boreliano A, R IA (x)fX (x) dx = R ∫R I (x)f (−x) dx, ma questo implica fX (x) = fX (−x), q.o. Procedendo con lo stesso ragionamento X R A a ritroso, si dimostra la condizione sufficiente. −1 −1 4. a)ΛF ([0, 1]) = ΛF ([−∞, 1]) − ΛF (−∞, 0)) = F (1) − F (0− ) = 35 − e 5 = 3−e5 , −1 −1 ΛF ([0, 1)) = ΛF ([−∞, 1)) − ΛF ([−∞, 0)) = F (1− ) − F (0− ) = 51 − e 5 = 1−e5 , ΛF ((1, 3]) = ΛF ([−∞, 3]) − ΛF (−∞, 1]) = F (3) − F (1) = 45 − 53 = − 15 . x−1 3 Fd (x) = 25 I[1,+∞) (x) e Fc (x) = F (x) − Fd (x) = e 5 I(−∞,1) (x) + 15 I[1,2) (x) + x−1 5 I[2,4)∫(x) + 5 I[4,+∞) (x). x ′ La funzione Fc è assolutamente continua: infatti si verifica facilmente che Fc (x) = −∞ F (t) dt, dove −(t−1) F ′ (t) = e 5 I(−∞,1] (t)+ 15 I(2,4] (t). b) Una delle scelte possibili è ((0, 1), B((0, 1)), Leb(0,1) ) come terna e come v.a. l’applicazione che ad ogni ω associa (ln(5ω) + 1)I(0, 1 ] (ω) + I( 1 , 3 ] (ω) + (5ω + 1)I( 3 ,1) (ω). 5 5 5 5 Modificando la v.a. precedente solo nel punto di discontinuità ω = 35 mantenendo uguale l’ampiezza del salto, quindi rendendo la variabile continua a destra, si ottiene una v.a. di stessa legge. c) Dovendo essere αFd (+∞) = 1 si deve scegliere α = Fd−1 (+∞) = 25 ; in modo analogo è β = Fc−1 (+∞) = 53 . Una v.a. con d.f. αFd è la v.a. costante uguale a uno sulla terna ((0, 1), B((0, 1)), Leb(0,1) ) e una v.a. con d.f. βFc è sulla stessa terna l’applicazione che ad ogni ω associa (ln(3ω)+1)I(0, 1 ] (ω)+(3ω +1)I( 1 ,1) (ω). 3 3