Esercitazione sulla Similitudine

Esercizi sulla Teoria della Similitudine
Esercizio A
Un compressore è stato progettato per lavorare in condizioni atmosferiche standard (101,3 kPa, 15 °C). La velocità di progetto è
di 4000
RPM.
Il compressore viene provato a pressione di aspirazione ridotta, un giorno in cui la temperatura atmosferica è di
20°C.
1-Calcolare la velocità di rotazione del compressore da tenere durante il test.
Al punto della curva caratteristica per il quale la portata massica è normalmente di 58 kg/s, la pressione di ingresso durante il
test è di 55 kPa.
2-Calcolare la portata massica da tenere durante il test.
Soluzione
Dato che il fluido evolvente è lo stesso in condizioni di progetto e di test, che il compressore è lo stesso nelle due situazioni,
possiamo applicare la teoria della similitudine comprimibile e scrivere:
1)
⎛ N ⎞
⎛ N ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ T01 ⎠ TEST ⎝ T01 ⎠ PROGETTO
1
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
⇒ N TEST = N PROG . ⋅
T01( TEST )
T01( PROG .)
= 4000 ⋅
293 K
= 4035
288 K
RPM
2)
⎛ m T01 ⎞
⎛ m T01 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ P01 ⎠ PROGETTO ⎝ P01 ⎠ TEST
m TEST = m PROG .
T01( PROG .)
T01( TEST )
⋅
P01( TEST )
P01( PROG .)
= 58
kg 288 K 55 kPa
⋅
= 31,22 kg / s
s 293 K 101.3 kPa
2
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Esercizio B
Una stessa pompa centrifuga di cui si conosce il diametro esterno D1= 0,4 m, la velocità di rotazione pari a N1 = 1570 RPM, la
prevalenza in condizioni normali pari a H1 = 40 m e la portata volumetrica pari a 0,2 m3/s, viene fatta funzionare ad una velocità
di rotazione di 1700 RPM, mantenendo le condizioni di similitudine di flusso.
Come variano la portata e la prevalenza?
Soluzione
Q1
Q2
3 =
N 1D
N 2 D3
gH 1
gH 2
2
2 =
D N 1 D 2 N 22
⇒
⎛N ⎞
1700
Q 2 = Q 1 ⎜ 2 ⎟ = 0 ,2
= 0 ,22 m 3 / s
1570
⎝ N1 ⎠
2
⇒
2
⎛ N2 ⎞
⎛ 1700 ⎞
⎟ = 40 ⎜
H2 = H1⎜
⎟ = 46 ,9 m
⎝ 1570 ⎠
⎝ N1 ⎠
Il punto di funzionamento sul piano φ e ψ resta invariato, mentre il punto sul piano H, Q si sposta.
Esercizio C
Due pompe centrifughe sono caratterizzate dall’essere in similitudine di funzionamento; della prima si conosce il diametro
esterno D1= 40 cm, la velocità di rotazione pari a N1 = 1570
RPM,
la prevalenza in condizioni normali pari a H1 = 40 m e la
portata volumetrica pari a 200 l/s.
Della seconda si conosce il diametro esterno pari a D2 = 15 cm, la velocità di rotazione pari a N2 = 3000 RPM.
3
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Si chiede di determinare la prevalenza della seconda pompa e la corrispondente portata volumetrica aspirata.
Soluzione
D1= 0,4 m,
D2 = 0,15 m,
Q1 = 0,2 m3/s
Imponendo l’uguaglianza fra ψ e φ si ottengono le seguenti relazioni :
3
⎛ N ⎞⎛ D ⎞
Q
⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞
⇒ 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 0.1 0
=⎜
⎜
3⎟
3⎟
Q1 ⎝ N1 ⎠⎝ D1 ⎠
⎝ ND ⎠1 ⎝ ND ⎠ 2
⎛ gH ⎞ ⎛ gH ⎞
⎜ 2 2⎟ =⎜ 2 2⎟
⎝ N D ⎠1 ⎝ N D ⎠ 2
2
⇒
⇒
H 2 ⎛ N 2 ⎞ D22
⎟
=⎜
= 0.513
H1 ⎜⎝ N1 ⎟⎠ D12
Variabile
D
N
H
Q
Q2 = Q1 ⋅ 0.1 = 20l / s
H 2 = H 1 ⋅ 0.513 = 20.5m
I
0.40 m
1570 rpm
40 m
0.20 m3/s
II
0.15 m
3000 rpm
20.5 m
0.020 m3/s
Il punto di funzionamento sul piano φ e ψ resta invariato, mentre i piani H, Q sono diversi poiché si tratta di due pompe di taglia
diversa.
4
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5
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Esercizio D
Un ventilatore opera a 1750 giri/min, con Q = 4.25 m 3 s e sviluppa un carico di 153 mm di acqua, misurato da un manometro ad
U pieno di acqua. Viene richiesto di costruire un ventilatore geometricamente simile ma più grande che sviluppa lo stesso carico
alla stessa efficienza, ma ad una velocità di 1440 RPM.
Calcolare il flusso volumetrico del ventilatore più grande.
Le turbomacchine che utilizzano fluidi comprimibili sono per molti aspetti simili alle pompe ed alle turbine idrauliche descritte
precedentemente. La differenza principale consiste nella variazione di densità significativa che il fluido subisce dall’ingresso
all’uscita della turbomacchina. Supponendo di poter trascurare la variazione di densità, assunzione lecita per i ventilatori,
possiamo applicare la teoria della similitudine incomprimibile.
gΔH = 0.153 ⋅ 9.81 = 1.5 m 2 s 2
Δp = ρgΔH = 1000 ⋅ 1.5 = 1500 Pa
H1
N12 D12
=
H2
N 22 D22
⇒
D2
N
= 1
D1 N 2
Q1
Q2
Q
N
=
⇒ 2 = 2
3
3
N1
N1D1
N 2 D2 Q1
3
2
⎛D ⎞
⎛N ⎞
⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⇒ Q2 = 6.28 m 3 s
⎝ D1 ⎠
⎝ N2 ⎠
Un altro ventilatore in configurazione di progetto opera alle seguenti condizioni:
Q=80 m3/s
D=1.2 m
Δp T = 1000Pa N=103 s-1
P=90kW
ρ = 1.2 kg m 3
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Si variano le condizioni di funzionamento e la taglia (Simil. Geom.) nel seguente modo:
N=1800 RPM= 188.5 rad s-1
D=2.5ft=0.762m
ρ = 0.023slug / ft 3 = 11.85 kg m 3
Verificare se le nuove caratteristiche di funzionamento possono essere dedotte dalla teoria della similitudine per garantire lo
stesso livello di prestazioni.
I valori dei principali gruppi adimensionali risultano:
φ=
ψ =
Q
80
=
= 0.449
ND 3 103 ⋅ (1.2)3
ΔpT
gH
1000
=
=
= 0.005455
2 2
2 2
N D
ρN D
1.2 ⋅ (1.2)2 ⋅ (103)2
ξ=
P
90000
=
= 0.02758
ρN 3 D 5 1.2 ⋅ (103)3 ⋅ (1.2 )5
ηT =
φψ 0.05455 ⋅ 0.449
=
= 0.888
ξ
0.02758
Da cui si possono dedurre i seguenti valori di prestazione:
Q = φND 3 = 0.449 ⋅ 188.5 ⋅ (0.762) = 37,45 m 3 s
3
ΔpT = ρN 2 D 2 ψ = 0.05455 ⋅ 11.85 ⋅ (188.5) ⋅ (0.762) = 13340Pa
2
2
P = ξρN 3 D 5 = 0.02758 ⋅ 11.85 ⋅ (188.5)3 ⋅ (0.762)5 = 562.4kW
ηT =
QΔpT 37.45 ⋅ 13340
=
= 0.888
562400
P
7
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In accordo alla teoria della similitudine il rendimento rimane invariato nel processo di scalatura della macchina.
Come verifica aggiuntiva si potrebbe considerare la variazione del Re tra prototipo e modello, usando come valore standard della
viscosità cinematica ν=0.000161ft2/s=1.496x10-5m2/s.
Si ottiene:
ND 2 103 ⋅ (1.2 )
=
=
= 107
-5
ν
1.496 ⋅ 10
2
R em
ND 2 188.5 ⋅ (0.762)
=
=
= 0.731 ⋅ 107
-5
ν
1.496 ⋅ 10
2
R ep
Dobbiamo adesso verificare che tali valori siano sufficientemente grandi da poter trascurare le differenze ai fini degli effetti
viscosi del Re. Per questo possiamo utilizzare l’espressione per il calcolo del coefficiente di attrito di Darcy-Weirsbach:
1
2.51 ⎞
⎛ε D
= −2.0 log10 ⎜
+
⎟
λ
⎝ 3.7 Re λ ⎠
Assumendo un valore di rugosità molto piccola e partendo da un valore di primo tentativo dedotto dal diagramma di Moody pari
a λ1=0.08, per iterazioni successive si ottiene:
Modello (Re=107):
λ2=0.0121
λ3=0.0116
λ4=0.0116
Prototipo (Re=0.731x107):
λ2=0.00852
λ3=0.00711
λ4=0.00860
λ5=0.00848
λ6=0.00848
Nel prototipo le perdite saranno leggermente inferiori per cui le prestazioni ed il rendimento potranno essere superiori.
Il rapporto fra i fattori di attrito risulta: λ4/λ6=0.0116/0.00848=1.36 (inv =0.73)
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Esercizio E
Una pompa opera a 3550 RPM ed ha le prestazioni mostrate in tabella 1 e figura 1.
Calcolare le nuove prestazioni della pompa se la velocità di rotazione viene portata a: 1) 4000 RPM e a 2) 3000 RPM.
Per configurare le prestazioni di una pompa nel passaggio da una velocità di rotazione ad un'altra la teoria della similitudine
stabilisce la variazione lineare di Q col rapporto delle velocità, e del carico con il quadrato di questo rapporto in condizioni di
uguale efficienza.
Le nuove prestazioni a 4000 rpm e 3000 rpm possono pertanto essere calcolate dalle seguenti:
⎛N ⎞
4000
Q2 = Q1 ⎜ 2 ⎟ = Q1 ⋅
⇒ f1 = 1.13
3550
⎝ N1 ⎠
la portata volumetrica scala linearmente con il rapporto delle velocità di rotazione
2
⎛ N2 ⎞
2
⎟ = Q1 ⋅ ( f1) ⇒ f2 = 1.27
H 2 = H1 ⎜
⎝ N1 ⎠
3
⎛N ⎞
3
P2 = P1 ⎜ 2 ⎟ = P1 ⋅ ( f1) ⇒ f3 = 1.43
⎝ N1 ⎠
I risultati relativi a 4000 RPMsono tabulati in tabella 2 ; le nuove curve di prestazione sono mostrate in figura 2.I risultati relativi
a 3000 RPM sono tabulati in tabella 3 e figura 3.
Mantendo ψ, φ e ξ si mantiene la stessa efficienza, η.
9
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120
100
80
H(m)
60
P(kW)
40
20
Tabella 1.Prestazioni a 3550 RPM
2954.9
2727.6
2273
1818.4
1363.8
909.2
0
454.6
0
Fig 1 Prestazioni a 3550 RPM
140.00
120.00
100.00
H4000(m)
80.00
P4000(kW)
60.00
40.00
20.00
Q(dm3)
3339.0
3082.2
2568.5
2054.8
1541.1
513.7
0.0
Tabella 2.Prestazioni a 4000 RPM
1027.4
0.00
Fig 2 Prestazioni a 4000 RPM
80.000
70.000
60.000
50.000
H3000(m)
40.000
P3000(kW)
30.000
20.000
10.000
Q(dm 3)
Tabella 3 Prestazioni a 3000RPM
2505.8
2313.0
1927.5
1542.0
1156.5
771.0
385.5
0.0
0.000
Fig 3 Prestazioni a 3000 RPM
10
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Esercizio F
Una turbina idraulica deve essere progettata per produrre 27 MW girando a 93,7 RPM con un salto geodetico disponibile di 16,5
m. Un modello di una turbina con una potenza in uscita di 37,5 kW e con una prevalenza di 4,9 m deve essere testata in
condizioni di similitudine dinamica.
1) - Calcolare il rapporto di scala e la velocità di rotazione del modello.
2) - Assumendo un'efficienza del modello di 0,88, calcolare il flusso volumetrico attraverso il prototipo
Soluzione
φ=
Q
ND 3
coefficiente di portata
ND 2ρ
Re =
μ
ψ=
gH
N 2 D2
coefficiente di pressione
ηT =
ξ=
P
ρN 3 D 5
coefficiente di potenza
Numero di Reynolds
P
P
ξ
=
=
ρQgH QΔPT φψ
Rendimento
1
Pˆ = ξ = ηφψ = η ⋅
P 2
ξ 1/ 2
NS = 5/ 4 = N 1
= 26,66
5
ψ
ρ 2 (gH ) 4
Q
(ND )
3
⋅
gH
(ND )2
=
ηQgH
N 3D5
11
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1
Np
PP 2
5
1
= NM
H P4
PM 2
⎛P ⎞
NM = NP ⎜ P ⎟
⎝ PM ⎠
⇒
5 4
H M2
PP
= 720 ,
PM
HM
= 0 ,279
HP
⎛ gH ⎞
⎛ gH ⎞
⎜ 2 2⎟ =⎜ 2 2⎟
⎝ N D ⎠P ⎝ N D ⎠M
⇒
⇒
1
2
⎛H ⎞
⋅⎜ M ⎟
⎝ HP ⎠
5
4
N M = 551 RPM
DM N P
=
DP N M
HM
1
=
H P 10.8
Flusso Volumetrico
In condizioni di similitudine di flusso l'efficienza del prototipo e del modello sono le stesse, quindi:
PM = ηρgQM H M ⇒ QM =
PM
37500
=
= 0.886m3 / s
ηρgH M 0.88 x1000 x9.81x 4.9
considerando ancora
⎛ Q ⎞
⎛ Q ⎞
⎜
⎟ =⎜
⎟
3
⎝ ND ⎠ P ⎝ ND 3 ⎠ M
⎛N
QP = ⎜⎜ P
⎝ NM
⎞ ⎛ DP
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎠ ⎝ DM
3
⎞
93.7
3
⎟⎟ ⋅ QM =
⋅ (10.8) ⋅ 0.886 = 189.8m 3 / s
551
⎠
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Esercizio G
Considerare un Boeing 747 che viaggia alla velocità di 550 mi/h e ad un’altezza standard di 38000 piedi, dove pressione e
temperatura sono rispettivamente 432.6 lb/ft2 e 390 R.
Un modellino di dimensioni pari ad un cinquantesimo viene provato in una galleria del vento in cui la temperatura è 430 R.
Calcolare velocità e pressione di test in modo che lift e drag siano gli stessi del volo.
Assumere μ ed a proporzionali alla radice della temperatura.
Soluzione
- si indicano con 1 le condizioni di volo
- si indicano con 2 le condizioni richieste per le prove in galleria del vento
Conversione al sistema internazionale:
Velocità: 550 mi/h (885 km/h) = 245.9 m/s (1 mi = 1545 m)
Quota di volo: 38000 ft = 11582 m (1 ft= 0.305 m)
Pressione: 432.6 lb/ft2 = 0.2071 bar = 20700 Pa
Temperatura: 390 R = 216.7 K (1R = 5/9 K)
Per avere gli stessi coefficienti di lift e drag il modello in scala ed il Boing reale devono essere in condizioni di similitudine
dinamica, che nel caso di flussi esterni comporta l'uguaglianza dei numeri di Mach e di Reynolds.
CL = f (Ma, Re)
CD = f (Ma, Re)
13
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Esplicitando l'espressione del numero di Mach nelle due condizioni possiamo scrivere:
V1
V
α 1
a1
T1
M1 =
V2
V
α 2
a2
T2
M2 =
;
da cui si deduce la seguente relazione tra temperature e velocità:
V1
T1
=
V2
T2
⇒
V2 = V1
T2
430
= 550
= 577.5 mi h
T1
390
Esplicitando l'espressione del numero di Reynolds nelle due condizioni possiamo invece scrivere:
Re1 =
ρ1 V1 L1 ρ1 V1 L1
α
μ1
T1
Re 2 =
;
ρ 2 V2 L 2
ρ VL
α 2 2 2
μ2
T2
da cui si deduce la seguente relazione tra i valori delle densità e le dimensioni caratteristiche di jet e modello:
ρ1 V1 L1
T1
=
ρ 2 V2 L 2
T2
⇒
ρ 2 ⎛ V1 ⎞ ⎛ L1 ⎞ ⎛ T2 ⎞ ⎛ L1 ⎞
⎟ = ⎜ ⎟ = 50
= ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟⎜
ρ1 ⎝ V2 ⎠ ⎝ L 2 ⎠ ⎜⎝ T1 ⎟⎠ ⎝ L 2 ⎠
Dall'equazione di stato dei gas perfetti possiamo ricavare la pressione che deve essere mantenuta in galleria del vento per
garantire le condizioni di similitudine:
p 1 = ρ1 RT1
;
p 2 = ρ 2 RT2
14
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
da cui:
p 2 ⎛ ρ 2 ⎞ ⎛ T2 ⎞
⎛ 430 ⎞
.
= ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 50⎜
⎟ = 551
⎝ 390 ⎠
p1 ⎝ ρ1 ⎠ ⎝ T1 ⎠
⇒
p 2 =55.1 ⋅ p1 = 23835 lb ft 2 = 23836 / 2116atm = 11.26 atm
In definitiva la galleria del vento deve essere pressurizzata e fornire un velocità del flusso di ca. 260 m/s elevata per simulare le
reali condizioni di volo in termini di Ma e Re. Comunque molte gallerie del vento non permettono la pressurizzazione che
richiederebbe costi di impianto e di esercizio molto elevati.
Per garantire comunque le condizioni di similitudine si possono simulare separatamente le condizioni di uguale Mach ed uguale
Reynolds in gallerie diverse. I risultati ottenuti vengono correlati per ottenere valori plausibili di coefficiente di lift e drag.
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Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Esercizio H
Data la pompa avente come caratteristica di funzionamento quella mostrata in tabella ed inserita nel circuito mostrato in figura,
determinare il punto di funzionamento del sistema.
1) Supponendo di diminuire il numero di giri del 30% e successivamente di aumentarlo del 15% determinare i nuovi punti di
funzionamento del sistema pompa circuito.
D
DD
=2
DB
B
2
D=0.8 m
L=350 m
C
H=100 m
1
A
Caratteristica della pompa
Schema del Circuito
Soluzione
Per determinare il punto di funzionamento del sistema pompa-circuito è necessario determinare la caratteristica di funzionamento
del circuito; è possibile applicare l'equazione di Bernoulli tra i punti 1 e 2:
p 1 c 12
p 2 c 22
+
+ H P ( Q) = z 2 +
+
+ ΔH AB (Q)
z1 +
γ 2g
γ 2g
(*)
16
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Nella (*) HP rappresenta la prevalenza richiesta alla pompa per il funzionamento del circuito alla portata Q, mentre il termine
ΔH AB (Q) rappresenta le perdite di carico complessive del circuito.
Considerando che i punti 1 e 2 si trovano entrambi in condizioni atmosferiche e quindi a pressione ambiente e che la velocità
nelle sezioni 1 e 2 può essere considerata trascurabile si ottiene la seguente espressione della caratteristica esterna.
H P (Q) = ΔH + ΔH AB (Q)
in cui il termine di perdite di carico può essere espresso come la somma di 3 contributi:
1) le perdite di carico distribuite ΔH L (Q) nell 'intero tratto AB avente una lunghezza L=350 m.
2) le perdite di carico concentrate per imbocco nella sezione A ΔH A (Q) ;
3) le perdite di carico concentrate nelle sezioni di sbocco
1) Per le perdite di carico distribuite in via preliminare si può assumere un coefficiente di attrito f=0.0185 costante (f=f(Re)) e
calcolare le perdite distribuite con la classica relazione:
L U2
8L Q 2
ΔH L = λ
= λ 5 2 = 1.640 ⋅ Q 2
D 2g
D π g
2) Le perdite di carico concentrate possono essere espresse dalla seguente relazione:
ΔH CONC (Q) = β
U2
β ⎛ 8 ⎞
= 4 ⋅ ⎜ 2 ⎟ ⋅ Q2
2g D ⎝ π g ⎠
17
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
in cui U =
4Q
e β è il coefficiente di perdita concentrata che vale 0.5 per l'imbocco ed 1.0 per lo sbocco in un serbatoio;
πD 2
possiamo quindi determinare:
ΔH A (Q ) =
0.5
(0.8)
4
⎛ 8 ⎞ 2
2
⋅⎜ 2
⎟ ⋅ Q = 0.1009 ⋅ Q
⎝ π 9.81 ⎠
Considerando un divergente allo sbocco (B-D) per ridurre la perdita di carico abbiamo:
U D DD2 = U B DB2
fissato DB ed esplicitando la perdita in funzione di DD si ottiene :
⎛D
ΔH B (Q ) = 1.0 ⋅ ⎜⎜ B
⎝ DD
⎞
⎟⎟
⎠
4
⎛ 8
⎜ 2
⎜ π gD 4
B
⎝
⎞ 2
⎟ ⋅ Q = 0.0126 ⋅ Q 2
⎟
⎠
da cui:
ΔH AB (Q ) = ΔH A (Q ) + ΔH B (Q ) + ΔH L (Q ) = 1.7535 ⋅ Q 2
e quindi la caratteristica esterna sarà:
H P (Q ) = ΔH + ΔH AB (Q ) = 100. + 1.7535 ⋅ Q 2
In figura è mostrato l'andamento delle caratteristiche interna ed esterna del circuito;
18
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Curve caratteristiche: dettaglio del punto di funzionamento
Curve caratteristiche
140
1000
900
130
800
120
Hp [m]
600
Hc [m]
H [m]
H [m]
700
500
110
400
100
300
Hp [m]
Hc [m]
200
90
100
80
0
0
10000
20000
30000
Q [dm3/s]
40000
50000
0
200
400
600
800
Q [dm3/s]
1000
1200
1400
Curve Caratteristiche del circuito e della pompa; dettaglio del punto di funzionamento
Il punto di intersezione può essere individuato tramite l’intersezione di due rette ottenute con interpolazione lineare delle
caratteristiche interne ed esterna tra i punti 1 e 2:
⎧ Q1 = 0dm 3
⎪
⎨ H P1 = 108,68m
⎪ H = 100,0m
⎩ E1
⎧ Q 2 = 7576dm 3
⎪
⎨ H P 2 = 106,38m
⎪ H = 200.6m
⎩ E2
con le seguenti espressioni:
Q = Q1 +
Q2 − Q1
(H − H E1 ) = 75.31⋅ (H − 100) per la caratteristica esterna e
H E 2 − H E1
19
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Q = Q1 +
Q2 − Q1
(H − H P1 ) = 3293.91 ⋅ (108.68 − H )
H P1 − H P 2
per la caratteristica della pompa
e determinandone l'intersezione:
H=
H E1 (H E 2 − H E1 ) − H P1 (H P 2 − H P1 )
= 108.48
1 (H E 2 − H E1 ) − 1 (H P 2 − H P1 )
Q = Q1 +
Q 2 − Q1
(H − H P1 ) = 0 + 7576 − 0 (108.48 − 100) = 642dm 3
200.03 − 100
H P 2 − H P1
Q [dm3/s] Hp [m]
0
7576
15152
22728
30304
37880
45456
49244
Hc [m]
108.68
100.0
106.38
200.6
105.15
502.6
102.7
1005.8
99.06
1710.3
91.44
2616.1
79.25
3723.2
71.63
4352.2
Caratteristiche interne ed esterna: valori tabellati
Riduzione del 30% del numero di giri
In base alla similitudine possiamo scrivere che
⎛N
Q 2 = Q1 ⎜⎜ 2
⎝ N1
⎞
⎛ N − 0.30 N 1 ⎞
⎟⎟ = Q1 ⋅ ⎜⎜ 1
⎟⎟ ⇒
N1
⎠
⎝
⎠
f 1 = 0.70
20
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
2
⎛N
H 2 = H 1 ⎜⎜ 2
⎝ N1
⎞
⎟⎟ = H 1 ⋅ (f1)2 ⇒ f2 = 0.49
⎠
⎛N
P2 = P1 ⎜⎜ 2
⎝ N1
3
⎞
⎟⎟ = P1 ⋅ (f1)3 ⇒
⎠
;
f3 = 0.343
Si possono ricalcolare le prestazioni della pompa
Curve caratteristiche
500
f1 f2 f3 Q [dm3/s] 0
5303
10606
15910
21213
26516
31819
34471
450
400
Hp - 100 [m]
H [m]
350
Hc [m]
300
Hp - 70 [m]
250
200
150
100
50
0
0
5000
10000
15000
20000
Q [dm3/s]
25000
30000
0,700 0,490 0,343 Hp[m] P [W] 52,27
6,41
52,13
7,95
51,52
9,23
50,32
10,77
48,54
11,80
44,81
14,62
38,83
13,85
35,10
13,59
35000
Caratteristica interna con numero di giri ridotto ed esterna
Dal grafico si osserva che la pompa non è in grado di fornire la prevalenza necessaria a vincere il dislivello tra i due serbatoi, per
cui si deduce che in queste condizioni il regolare funzionamento non può essere garantito.
21
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Aumento del 30% del numero di giri
Sempre in base alla similitudine possiamo scrivere:
⎛N ⎞
⎛ N + 0.15 N1 ⎞
⎟⎟ ⇒ f1 = 1.3
Q 2 = Q1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = Q1 ⋅ ⎜⎜ 1
N
N
1
⎝ 1⎠
⎝
⎠
⎛N
H 2 = H 1 ⎜⎜ 2
⎝ N1
2
⎞
⎟⎟ = H 1 ⋅ (f1)2 ⇒ f2 = 1.69
⎠
;
3
⎛N ⎞
3
P2 = P1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = P1 ⋅ (f1) ⇒ f3 = 2.197
⎝ N1 ⎠
Il punto di intersezione delle caratteristiche esterne ed interne si sposta e può essere calcolato interpolando linearmente tra i punti
1 e 2 e mettendo a sistema le due relazioni ottenute:
⎧ Q1 = 0dm3
⎪
⎨ H P1 = 183.670m
⎪ H E1 = 100.00m
⎩
Q = Q1 +
H=
⎧ Q 2 = 9849dm 3
⎪
⎨ H P 2 = 179.78m
⎪ H = 270.1m
⎩ E2
Q2 − Q1
(H − H E1 ) = 100 + 9849 (181.78 − 100) = 7894dm3
H E 2 − H E1
270.1 − 100
H E1 (H E 2 − H E1 ) − H P1 (H P 2 − H P1 )
= 181.78m
1 (H E 2 − H E1 ) − 1 (H P 2 − H P1 )
22
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Curve caratteristiche
500
450
400
H [m]
f1 f2
f3
Q [dm3/s]
Hp - 100 [m]
350
Hc [m]
300
Hp - 130 [m]
250
200
150
100
50
0
0
5000
10000
15000
20000
Q [dm3/s]
25000
30000
35000
0
9849
19698
29546
39395
49244
59093
64017
1,300 1,690
2,197
Hp[m]
P [W]
180,29
41,06
179,78
50,93
177,70
59,14
173,56
68,99
167,41
75,55
154,53
93,64
133,93
88,71
121,05
87,07
Caratteristica esterna ed interna con numero di giri aumentato al 130%
23
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Disposizione di due pompe in serie
Q [dm3/s] Hp [m]
0
7576
15152
22728
30304
37880
45456
49244
Hc [m]
108.68
106.38
105.15
102.7
99.06
91.44
79.25
71.63
100.0
200.6
502.6
1005.8
1710.3
2616.1
3723.2
4352.2
Hp - serie [m]
217.36
212.76
210.3
205.4
198.12
182.88
158.5
143.26
Curve caratteristiche
Curve caratteristiche: dettaglio del punto di funzionamento
1000
480
900
430
800
Hp [m]
700
Hc [m]
330
Hp - serie [m]
Hc [m]
600
Hp - serie [m]
H [m]
H [m]
Hp [m]
380
500
280
400
230
300
180
200
130
100
0
80
0
5000
10000
15000
20000
25000 30000
Q [dm3/s]
35000
40000
45000
50000
0
2000
4000
6000
8000
10000
Q [dm3/s]
Nuovo punto di funzionamento: ca. H=220, Q=7.9 m3/s
24
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Disposizione di due pompe in parallelo
Q [dm3/s] Hp [m]
0
7576
15152
22728
30304
37880
45456
49244
Hc [m]
108.68
106.38
105.15
102.7
99.06
91.44
79.25
71.63
Q - parallelo [dm3/s]
100.0
200.6
502.6
1005.8
1710.3
2616.1
3723.2
4352.2
0
15152
30304
45456
60608
75760
90912
98488
Curve caratteristiche
Curve caratteristiche: dettaglio del punto di funzionamento
150
110
140
130
Hc [m]
Hc [m]
110
Q - parallelo [dm3/s]
H [m]
H [m]
Hp [m]
109.5
Hp [m]
120
100
Q - parallelo [dm3/s]
109
90
80
108.5
70
60
50
0
10000
20000
30000
40000
50000 60000
Q [dm3/s]
70000
80000
90000 100000
108
250
300
350
400
450
500
550
Q [dm3/s]
600
650
700
750
Nuovo punto di funzionamento: ca. H=109, Q=6.5 m3/s
25
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13
Esercizio I
Dati N, Q, H. qual è il primo passo da fare quando si vuole progettare una pompa nuova?
Soluzione
Si calcola la velocità specifica:
Ns = N
Q
1
2
(gH)
3
4
Si ricerca quindi se tra le macchine esistenti ne esiste una caratterizzata dalla stessa velocità specifica al suo punto di massima
efficienza e che abbia caratteristiche compatibili con la nuova macchina che deve essere progettata. Se tale macchina viene
trovata, il problema si riduce ad una semplice operazione di scalatura della taglia D e della velocità N in accordo con le
equazioni:
⎛ Q ⎞
⎛ Q ⎞
⎜
=⎜
⎟ ;
3⎟
⎝ ND ⎠ N ⎝ ND 3 ⎠ P
⎛ gH ⎞
⎛ gH ⎞
⎜ 2 2⎟ =⎜ 2 2⎟
⎝N D ⎠M ⎝N D ⎠P
per ottenere le prestazioni prestabilite.
26
Corso di Macchine – A.A. 2012‐13