Untitled - Enrico Rubiola

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II
ENRICO RUBIOLA
LABORATORIO DI MISURE
ELETTRONICHE
CLUT
Classe LATEX: clut-modificato-rubiola.cls
©1993 C.L.U.T. Editrice
Proprietà letteraria riservata
Stampato in Italia da Stampato in Italia da STAMPATRE-Torino
Copyright C.L.U.T. - Torino - 1993
Edizioni C.L.U.T. - Torino
Corso Duca degli Abruzzi, 24 - 10129 Torino
Tel. 011 564 79 80 – Fax 011 54 21 92
RIPRODUZIONE TOTALE O PARZIALE VIETATA
V
Introduzione
Questo testo è stato pensato principalmente per offrire agli studenti del Politecnico
di Torino un supporto didattico per le esercitazioni di laboratorio dei corsi di Misure
Elettroniche.
Il metodo didattico utilizzato è di tipo un po’ particolare: si è fatto uso di brevi
seminari introduttivi, uno per ciascuna esercitazione; confidando anche nella buona
volontà degli studenti, si è basata la parte più pratica sull’auto-apprendimento, guidato
dal personale docente e non docente e facilitato da una traccia di lavoro lasciata a
disposizione in laboratorio.
Questo metodo è stato imposto dal rapporto numerico tra studenti e docenti, tale da
limitare l’efficacia dell’opera di assistenza ai laboratori, da parte del personale coinvolto,
pur con tutta la buona volontà. Per dare un’idea dei problemi che si sono dovuti
affrontare, si consideri che i corsi di Misure Elettroniche per Ingegneria Elettronica
hanno la durata di un semestre, e che negli ultimi due anni accademici la presenza media
degli allievi in laboratorio è stata di circa 300 unità per ciascuna delle sei esercitazioni
pratiche della durata di quattro ore; quindi circa 7000 ore-uomo per ogni anno, a turni,
in un locale attrezzato con sedici banchi da lavoro e condiviso con altri corsi di analoghe
dimensioni.
In questo manuale vengono proposte sei esercitazioni pratiche, accompagnate dalle
necessarie basi teoriche. Operando nelle condizioni sopra descritte, si è dovuto rinunciare all’uso di apparati particolari e costosi, limitandosi alla strumentazione di base,
che può essere condivisa con altri corsi. Con queste premesse, gli esperimenti sono
stati sviluppati sulla comprensione dei principi della misurazione, sui circuiti e sulla
valutazione dell’incertezza di misura.
A fianco dello scopo primario — un servizio per gli studenti di ingegneria a Torino
— si spera che questo testo sia utile per altri corsi, ivi compresi quelli di Diploma
Universitario, in fase di attuazione in tutt’Italia, e per gli Istituti Tecnici di Elettronica,
Telecomunicazioni e materie affini, almeno come spunto per i Docenti.
Nei capitoli 1 e 2 si richiamano i concetti fondamentali della teoria degli errori — indispensabili alla comprensione delle esperienze proposte — con un taglio schiettamente
VI
pratico, rimandando per approfondimenti al testo di A. De Marchi e L. Lo Presti, in
corso di stampa presso questo stesso Editore.
I capitoli dal 3 al 8 presentano le basi teoriche delle esperienze proposte, propedeutiche agli esperimenti. Si è tentato, pur resistendo alla tentazione della completezza, di
fornire materiale di studio più ampio e generale di quanto fosse strettamente indispensabile all’esecuzione degli esperimenti. La trattazione dell’oscilloscopio è stata esclusa
da questa seconda parte in quanto coperta dai manuali degli specifici strumenti e da
altri testi.
I capitoli dal 9 al 13, che propongono le sei esperienze pratiche, fanno implicito
riferimento ai precedenti. Volutamente scritti in stile spiccio e colloquiale, devono
essere intesi come “istruzioni dell’ultimo minuto” piuttosto che come un testo di studio.
Si tratta sostanzialmente dello stesso materiale che, redatto in fascicoli, è lasciato
in laboratorio a disposizione degli studenti del Politecnico di Torino. I riferimenti
a specifici apparati commerciali, contenuti in questi capitoli, hanno il solo scopo di
agevolare il lavoro degli allievi.
Nelle prime appendici sono riportate informazioni di carattere pratico comuni a più
di una esperienza.
L’ultima appendice contiene indicazioni sulla scelta degli strumenti e sulla reperibilità di alcuni materiali particolari. Queste notizie devono essere intese come un aiuto
per replicare le esercitazioni al di fuori del contesto nel quale esse sono nate. Si veda
comunque il capitolo delle appendici a pagina 105 e seguenti.
I puristi perdonino qualche inesattezza, dovuta alle esigenze pragmatiche che hanno
ispirato la stesura di questo libro. Ad esempio, sono stati usati termini quali “digitale”,
in luogo di “numerale” ufficialmente adottato dall’UNI; si è talvolta usata la parola
“misura”, risultato della misurazione, come abbreviazione di “misurazione”; si è fatto
uso di termini quali “valore vero” ed “errore sistematico”; ed altro, sempre allo scopo di
rendere il discorso più immediato.
Ringrazio il prof. Umberto Pisani, direttore del laboratorio didattico interdisciplinare del Politecnico di Torino, per la disponibilità dimostrata mentre stavo tentando
di riorganizzare le esercitazioni trattate in questo volume; il sig. Francesco Albanese,
tecnico del suddetto laboratorio, per lo spirito di collaborazione e per le le capacità organizzative, entrambe assai al di là dei suoi compiti istituzionali, che hanno consentito
la sperimentazione di questo metodo didattico con un numero di studenti impossibile da
gestire altrimenti; il prof. Andrea De Marchi, docente di questo Politecnico, per avermi
dato la spinta emotiva necessaria alla stesura del libro. Un ringraziamento particolare
va al prof. Sigfrido Leschiutta.
Torino, 8 settembre 1993.
Indice
Introduzione
V
1 Incertezze ed errori
1.1 Tipi di incertezze ed errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Incertezza di tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Incertezza di tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Errore sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Errore di consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Incertezze degli strumenti più comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Multimetro analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Multimetro digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Contatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Misure indirette
2.1 Contributi di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Regole di somma degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Incertezze di tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Casi particolari ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Voltmetri per tensione alternata
3.1 Voltmetro a vero valore efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Voltmetro a valore medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Costante strumentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Voltmetro a valore di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VII
Indice
VIII
3.3.1 Resistenza di ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Costante strumentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Alimentatori stabilizzati
4.1 Misure di resistenza in continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Risoluzione della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Resistenza dei contatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Deriva termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Misure di impedenza in regime alternato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Incertezze di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Misure in commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Voltmetri a doppia rampa
5.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Reiezione dei disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Voltmetri a conversione tensione/frequenza
6.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Reiezione dei disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Ponte bolometrico
7.1 Calcolo della potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Bolometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Incertezze ed errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Amperometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Voltmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Ponte a sostituzione in bassa frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Misure alla risonanza
8.1 Risonatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Q-metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Misure di capacità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Misure di induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Misure di impedenza con inserzione in parallelo . . . . . . . . . . .
8.2.4 Misure di impedenza con inserzione in serie . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Altri schemi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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72
72
9 Esercitazione di uso dell’oscilloscopio
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10 Esercitazione di misure di tensione alternata
10.1 Conversioni e incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Duty cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Limiti di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
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3.4
Indice
IX
10.4 Varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato
11.1 Resistenza interna dell’alimentatore triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Impedenza dell’alimentatore singolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Misura di resistenza in commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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85
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12 Esercitazione di misure di tensione continua
12.1 Montaggio del voltmetro a doppia integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Esperienze sul voltmetro a doppia integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Montaggio del voltmetro a conversione V/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Esperienze sul voltmetro a conversione V/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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96
13 Esercitazione di misure sui risonatori
101
13.1 Risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
13.2 Misure di fattore di merito, induttanze e capacità . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.3 Misure amperometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Appendici
105
A 1 Generatore di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A 2 Sonda voltmetrica di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A 3 Resistenze, condensatori ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A 4 Strumenti e materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
X
Capitolo 1
Incertezze ed errori
1.1 Tipi di incertezze ed errori
Il risultato della misurazione di una quantità x si scrive di solito come
xv = xb ± δx
(1.1)
dove xv rappresenta il valore (convenzionalmente) vero della quantità x, xb la migliore
stima che si è potuta ottenere con la misurazione (b sta per “best”, parola inglese che
significa “il migliore”), e δx l’incertezza di misura.
L’insieme definito da xb ± δx rappresenta l’intervallo che contiene xv ad un dato
livello di confidenza, cioè con una certa probabilità.
Le incertezze δx espresse secondo la (1.1) si dicono assolute. La quantità δx ha le
stesse dimensioni fisiche e la stessa unità di misura di x.
Una forma alternativa per esprimere l’incertezza è
¶
µ
δx
(1.2)
xv = xb 1 ±
xb
In questa notazione la quantità δx/xb prende il nome di incertezza relativa ed è adimensionata. L’incertezza relativa è solitamente preferita all’incertezza assoluta perché dà un’idea più immediata della “qualità” della misura. Può essere espressa come
numero puro, come percentuale, in permille, in ppm (parti per milione), e talvolta,
particolarmente negli ambienti della chimica, in ppb (parti per bilione, facendo riferimento al bilione americano, che vale 109 ). Quando si tratta di potenza, tensione o
corrente, l’incertezza relativa può anche essere espressa in dB. Tra le forme indicate
per esprimere l’incertezza relativa, è da preferire la notazione scientifica; si scriva, ad
esempio, 3.5·10−5 , evitando 35 ppm oppure 0.0035%.
Se la misura non è il rapporto tra la grandezza ed una opportuna unità di misura,
il concetto di incertezza relativa è privo di senso.
Per convenzione, l’incertezza assoluta δx e l’incertezza relativa δx/xb sono sempre indicate come valori positivi; questo porta ad un’incoerenza di segno — peraltro
irrilevante — tra la (1.1) e la (1.2) quando xb < 0.
1
2
1
–
Nel rappresentare l’incertezza non si devono usare più cifre significative di quante
se ne conoscono realmente; in pratica, al massimo due. Espressioni corrette sono, ad
esempio, 3.5·10−5 per l’incertezza relativa e 35 µV per l’incertezza assoluta; si evitino
assolutamente espressioni come 3.5012·10−5 oppure 35.012 µV.
Esempio 1.1 La tensione di un campione, nominalmente 7.15 V, è nota entro ±300
µV.
L’incertezza assoluta è, ovviamente, 300 µV.
L’incertezza relativa è δV /V = (300 µV)/(7.15 V) ≈ 4.2·10−5 , che può essere
espressa anche come 42 ppm o −87.5 dB.
1.1.1 Incertezza di tipo A
Processi di rumore casuali danno luogo alle incertezze di tipo A. Le caratteristiche
essenziali delle incertezze di questo tipo sono:
. è possibile una caratterizzazione statistica,
. note le caratteristiche statistiche, è possibile individuare un processo di stima
volto ad eliminare — o a ridurre — l’effetto di queste incertezze sull’incertezza
complessiva della misura,
. la stima del valore vero può, in generale, essere migliorata aumentando il numero
delle misure.
In una visione semplificata, le incertezze di tipo A si manifestano come fluttuazioni
casuali delle misure, sostanzialmente analoghe al rumore a valore medio nullo — non
necessariamente gaussiano bianco — della teoria delle comunicazioni.
Decidere se la fluttuazione della lettura di uno strumento è realmente casuale a
valore medio nullo può essere un problema non banale, specialmente nei casi in cui si
hanno pochi dati sperimentali.
Le incertezze di tipo A sono ben descritte dalla radice quadrata della loro varianza,
indicata con la lettera σ e chiamata anche deviazione standard. Spesso nella comunità
degli ingegneri si fa riferimento all’intervallo di ampiezza ±3σ; questo intervallo, in
presenza di distribuzione gaussiana del rumore, contiene il valore vero con il 99.7% di
probabilità.
1.1.2 Incertezza di tipo B
Viene chiamata incertezza di tipo B, o sistematica, una incertezza che non può essere
ridotta con metodi statistici, quali ad esempio l’operazione di media. L’incertezza di
tipo B è quindi ciò che rimane dell’incertezza dopo l’analisi dei dati sperimentali.
In molti strumenti non particolarmente raffinati dal punto di vista metrologico —
come ad esempio gli oscilloscopi ed i tester — l’“errore” dichiarato dal costruttore è di
questo tipo.
Esempio 1.2 Un costruttore di tester analogici dichiara che il suo modello X è di classe
1 quando esso è stato calibrato da non più di un anno e viene usato ad una temperatura
ambiente tra 20◦ C e 24◦ C.
§1.1
–
Tipi di incertezze ed errori
3
Durante un pomeriggio di lavoro in un ambiente climatizzato ci si accorge che la
tensione di un campione ideale, misurata con il tester X, ha sempre esattamente lo
stesso valore. La statistica non può quindi essere di alcuna utilità.
Ad un’analisi più approfondita, ci si accorge che l’“errore” del tester è dovuto all’effetto combinato di: 1) tolleranze costruttive dei componenti elettrici e meccanici, 2)
variazioni dei valori dei componenti elettrici e meccanici dovute alla temperatura ambiente, tra 20◦ C e 24◦ C, 3) non linearità della lettura in funzione della tensione di ingresso, dovuta alla costante elastica della molla, 4) isteresi meccanica, 5) invecchiamento
dello strumento dopo l’ultima taratura.
Tutte queste cause producono un errore costante per varie ragioni: la temperatura resta la stessa, la nonlinearità si applica allo stesso valore di tensione, la durata
dell’esperimento è trascurabile rispetto al tempo di invecchiamento dello strumento,
ecc.
Gli effetti riportati nell’esempio hanno carattere di sistematicità, che li rende in
certo modo ripetibili; ma la loro entità non è conosciuta. Per questo l’incertezza di
tipo B si differenzia in modo sostanziale dall’errore sistematico definito al prossimo
paragrafo.
1.1.3 Errore sistematico
In molti casi pratici la misura risulta “falsata” o, in termine più appropriato, polarizzata1
di una quantità nota, chiamata errore sistematico.
Per gli strumenti, che misurano il valore di una grandezza fisica, e per i campioni,
che realizzano una grandezza fisica di valore noto, l’errore sistematico — qui indicato
con il simbolo e — può essere rappresentato con convenzioni di segno diverse
(
xl − xv = (valore letto) − (valore vero)
per la lettura
(1.3)
e =
xv − xn = (valore vero) − (valore nominale) per un campione
Per rendere univoche le formule del calcolo differenziale, usate nel prossimo capitolo, è
opportuno definire δx come
(
xl − xv = (valore letto) − (valore vero)
per uno strumento
δx =
(1.4)
xn − xv = (valore nominale) - (valore vero) per un campione
Ad evitare equivoci, si tenga presente che la (1.3) è la definizione generale dell’errore
sistematico, comunemente adottata nei testi. La (1.4) è stata introdotta qui al solo
scopo di evitare cambiamenti di segno dipendenti dalla circostanza, come sarà chiarito
nel prossimo capitolo.
Analogamente a quanto detto a proposito di incertezze, si parla di errore assoluto
δx e di errore relativo δx/xl o δx/xn
La correzione apportata a xl (o xn ) prende il nome di correzione sistematica. Nella
realtà l’errore sistematico è conosciuto a meno di un’incertezza, detta incertezza residua,
che è prevalentemente di tipo B in un sistema “ben costruito”.
1 Il termine “polarizzazione”, infelice in italiano, è la traduzione letterale di “bias”, di uso comune
nei testi anglosassoni.
4
1
–
Alcuni Autori rifiutano di considerare l’errore sistematico perché, una volta rimosso,
non concorre a definire l’incertezza di misura. Al di là di considerazioni filosofiche, qui
si ritiene che lo sperimentatore non possa fare a meno di questo concetto per svolgere
i calcoli.
1.1.4 Errore di consumo
Prende il nome di errore di consumo un caso particolare dell’errore sistematico nel
quale lo strumento — tipicamente un voltmetro, un amperometro od un oscilloscopio
— perturba il circuito sotto misura. Se le impedenze del circuito e dello strumento
sono note, l’errore di consumo si calcola in modo ovvio con le leggi dell’elettrotecnica.
1.1.5 Risoluzione
La risoluzione è la minima variazione del misurando che si può osservare con un sistema
di misura. Osservare l’esistenza della variazione non implica necessariamente di poterne
determinare l’entità.
Il concetto di risoluzione comprende tutti i fenomeni che limitano la possibilità di
distinguere due valori vicini del misurando, e in particolare la quantizzazione degli
strumenti digitali (±1 sulla cifra meno significativa), il minimo spostamento della
lancetta percettibile su una scala analogica, lo spessore della traccia sullo schermo di
uno strumento a tubo catodico (oscilloscopio, analizzatore di spettro, . . . ), gli eventuali
fenomeni di isteresi e il rumore della misura.
1.1.6 Errore
Il termine errore — non accompagnato da attributi quali “sistematico” — non ha un
significato preciso nella scienza delle misure. Qui lo si usa come sinonimo di “perturbazione” nello studio della propagazione degli errori, quando non si vuole scendere nel
dettaglio specificando il tipo di incertezza o l’errore sistematico.
1.2 Incertezze degli strumenti più comuni
1.2.1 Multimetro analogico
L’incertezza è di tipo B e viene dichiarata dal costruttore come percentuale del fondo
scala. I termini classe dello strumento, o errore di classe vanno intesi come sinonimi
dell’incertezza in percento del fondo scala. Dal dato di incertezza e dal valore di fondo
scala si ottiene l’incertezza assoluta della misura (non ci si lasci quindi trarre in inganno
dalla parola “percentuale”), che è la stessa in qualsiasi punto della scala.
L’incertezza è sempre associata ad un valore o ad un intervallo della temperatura
ambiente, fuori dal quale vi sono errori addizionali. Un contributo significativo è dato
dalla variazione termica della resistenza dell’avvolgimento in rame della bobina mobile
(la resistività del rame ha un coefficiente termico di +3.4·10−3 /◦ C). In alcuni strumenti
si trovano indicazioni relative a più campi di temperatura; si raccomanda l’uso del
buonsenso prima di considerare il caso peggiore.
Per le portate in alternata l’incertezza è solitamente riferita a 50–60 Hz. Per altre
frequenze vi è un’incertezza addizionale, dipendente sia dalla frequenza sia dalla portata, che talvolta è espressa in dB. L’uso del condensatore in serie (possibile solo nelle
portate voltmetriche) comporta un ulteriore incremento dell’incertezza.
§1.2
–
Incertezze degli strumenti più comuni
5
La classe di uno strumento analogico è solitamente compresa tra 0.5 e 3. Per
lo stesso apparato, si riscontrano valori un po’ più alti nelle portate amperometriche
rispetto a quelle voltmetriche, e nelle portate in alternata rispetto a quelle in continua.
La risoluzione solitamente non è specificata, ma può essere ricavata dalla definizione
generale. Una variazione compresa tra 0.2 mm e 1 mm può generalmente essere apprezzata, secondo le dimensioni della lancetta e la presenza o meno dello specchio sulla
scala. Ove vi sia il dubbio che l’isteresi meccanica concorra alla risoluzione, si muova
lo strumento e si verifichi se la lancetta ritorna nella stessa posizione.
Esempio 1.3 Uno voltmetro di classe 2 ha incertezza di 60 mV nella portata 3 Vfs (2 ×
3 Vfs /100 = 60 mV), di 200 mV nella portata 10 Vfs , e cosı̀ via.
1.2.2 Multimetro digitale
L’incertezza è di tipo B e viene espressa in forma binomiale come
δx = a xl + b xfs
(1.5)
dove i pedici l e fs indicano rispettivamente lettura e fondo scala; δx è un’incertezza
assoluta, anche se a e b sono spesso dati in percentuale. Normalmente si ha a > b.
L’incertezza è normalmente associata ad un valore o ad un intervallo della temperatura ambiente, fuori dal quale vi sono errori addizionali. Per le portate in alternata
l’incertezza è solitamente riferita a 50–60 Hz. Per altre frequenze vi è un’incertezza
addizionale, dipendente sia dalla frequenza sia dalla portata. Per lo stesso apparato, si riscontrano valori un po’ più alti nelle portate amperometriche rispetto a quelle
voltmetriche, e nelle portate in alternata rispetto a quelle in continua.
In alcuni strumenti di pregio, si trovano specificati più valori di incertezza in funzione del tempo trascorso dall’ultima taratura; il peggioramento è dovuto all’invecchiamento del campione di tensione, e, in subordine, dei partitori resistivi che determinano le portate. Se si vogliono confrontare misure prese in un intervallo di tempo
breve rispetto all’invecchiamento dello strumento, probabilmente la situazione è assai
migliore che nella misura singola perché il comportamento dello strumento può essere
costante; solo la conoscenza dell’interno dello strumento può fornire indicazioni sicure.
La risoluzione, salvo diversamente specificato, è di una unità sulla cifra meno
significativa del display.
Esempio 1.4 Un voltmetro ha incertezza 0.05% Vl + 0.02% Vfs e viene usato con la
portata 10 Vfs .
Misurando una tensione di 8 V, l’incertezza assoluta è δV = 5·10−4 ×8 V+2·10−4 ×
10 V = 6 mV; l’incertezza relativa è δV /V = 6 mV/8 V = 7.5·10−4 .
Esempio 1.5 Un voltmetro ha incertezza 3·10−6 Vl + 1·10−6 Vfs ad una settimana dalla
taratura, e 1·10−5 Vl + 3·10−6 Vfs ad un anno, ed è stato tarato 10 mesi fa.
In una singola misura di tensione, l’incertezza è 1·10−5 Vl + 3·10−6 Vfs .
Si è ora interessati al rapporto tra due tensioni, misurate ad un paio di giorni di
distanza e con la stessa portata. Se è lecito supporre che l’invecchiamento abbia alterato
6
1
–
il partitore di ingresso e il campione di tensione, ma non la linearità dello strumento,
nel calcolo del rapporto è lecito utilizzare il valore di incertezza 3·10−6 Vl + 1·10−6 Vfs
specificato per una settimana.
1.2.3 Oscilloscopio
L’incertezza di misura della tensione è dovuta al guadagno del canale verticale e alla
linearità di deflessione del tubo. Tale incertezza è di tipo B, e viene specificata come
percentuale dell’ampiezza dell’intera scala (normalmente 8 divisioni); la si può trattare
come l’errore di classe dei multimetri analogici. Valori tipici sono tra 1% e 3%.
Ad alte frequenze vi è un’incertezza addizionale, dovuta alla variazione di guadagno
sia dell’amplificatore verticale, sia del tubo catodico.
Negli apparati dotati di cursori per la lettura digitale della tensione, l’incertezza può
essere data in forma binomiale, come per i multimetri digitali. Raramente è migliore
dell’1% per un segnale che occupi l’intero schermo.
Se la traccia è localmente orizzontale e ben nitida, l’incertezza dichiarata può comprendere anche l’incertezza di lettura. In altri casi l’incertezza addizionale di lettura
può essere ricavata dallo spessore e dall’inclinazione della traccia con procedimento
geometrico elementare.
La risoluzione, normalmente non specificata, è sostanzialmente determinata dallo
spessore della traccia sullo schermo.
Per le misure di tempo valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le tensioni. L’incertezza è dovuta alla linearità della rampa orizzontale e della deflessione
del tubo, ed è riferita all’ampiezza dello schermo (di solito 10 divisioni). Per uno stesso strumento, normalmente si ritrova la stessa percentuale incontrata nelle misure di
tensione.
La lettura è agevole se la traccia è ben verticale e attraversa la metà schermo; altrimenti si può ricavare l’incertezza addizionale di lettura con procedimento geometrico.
Si osservi che, volendo misurare l’istante del passaggio per lo zero di un segnale, normalmente è possibile aumentare la pendenza della traccia aumentando il guadagno del
canale verticale.
1.2.4 Contatori
Il contatore è basato sul conteggio di un numero intero di impulsi in un tempo di riferimento. Nel contatore di frequenza gli impulsi sono i periodi del segnale incognito,
mentre il tempo di riferimento è ricavato dall’oscillatore campione interno allo strumento. Nei contatori di periodo i ruoli risultano scambiati: il tempo di riferimento è il
periodo del segnale incognito — o l’intervallo di tempo incognito — durante il quale si
contano i cicli della frequenza campione.
Si indichino con fx la frequenza incognita, con Tx il periodo o l’intervallo di tempo
incognito, e con fc la frequenza campione. Le incertezze di misura dovute all’oscillatore
sono
δfc
δfx
=
fx
fc
per le misure di frequenza
(1.6)
δTx
δfc
=
Tx
fc
per le misure singole di periodo e di
intervallo di tempo
(1.7)
§1.2
–
Incertezze degli strumenti più comuni
7
Per gli errori sistematici, adottando la convenzione (1.4) si deve cambiare segno al
secondo membro della (1.7); se si preferisce la convenzione usuale (1.3) e se si identifica
δx con e = xv − xn , si deve invece cambiare segno al secondo membro della (1.6).
Indicando con τ il tempo di riferimento per le sole misure di frequenza, le incertezze
di quantizzazione sono
1
τ
1
=
fc
δfx =
per le misure di frequenza
(1.8)
δTx
per le misure singole di periodo e di
intervallo di tempo
(1.9)
per le misure di periodo e di intervallo di tempo mediate su n eventi
(1.10)
δTx =
1
n fc
In alcuni contatori automatici la lettura della frequenza è sempre ricavata dalla misura
del periodo medio. Il numero di eventi viene impostato indirettamente sul pannello
frontale indicando il tempo τn nominale della misura; all’interno del contatore la durata
τv vera della misura è data dal minimo multiplo di Tx maggiore di τn . L’incertezza di
quantizzazione è
fx
(1.11)
δfx =
τv fc
Si osservi che in molti casi si ha τn ÀTx , cosa che rende irrilevante la distinzione tra τn
e τv ai fini dell’incertezza di quantizzazione.
L’incertezza dell’oscillatore interno è tra alcune unità in 10−6 per strumenti economici, fino a 10−7 − 10−8 ; per precisioni migliori si ricorre ad un campione esterno.
La frequenza fc è solitamente di 10 o 100 MHz.
8
Capitolo 2
Misure indirette
Succede assai spesso che una grandezza Q sia difficile da misurare direttamente, e che si
debba ricorrere alla misurazione di altre grandezze Xi attraverso le quali la grandezza
Q possa essere calcolata in base ad una legge fisica nota. In questo capitolo si vuole
analizzare la propagazione degli errori dalle misurazioni delle Xi a Q.
Un esempio tipico di misurazione indiretta è la determinazione del valore di una
resistenza con il metodo volt-amperometrico, che consiste nel calcolare la resistenza
come rapporto tra tensione e corrente, a loro volta misurate con un voltmetro ed un
amperometro.
La misurazione per via indiretta è schematizzata in figura 2.1. Per semplicità si
è considerata un’unica sorgente di errore in ogni misura diretta, che include anche le
incertezze intrinseche del misurando.
errore
?
- misurazione
grandezza X1
valore x1
valore x1
errore δx1
-
errore
misurando
?
- misurazione
grandezza Xi
valore xi
valore xi
errore δxi
-
legge
fisica
valore q
errore δq
errore
?
- misurazione
grandezza Xn
valore xn
valore xn
errore δxn
Figura 2.1
-
Schema di principio della misurazione indiretta.
La determinazione dell’errore di Q comporta due passaggi logici:
9
-
10
2
–
Misure indirette
1. individuare, per ciascuna delle Xi presa separatamente, il contributo di errore a Q;
2. combinare i singoli contributi per ottenere l’errore complessivo di Q.
Il primo passo si fa con l’analisi differenziale, nella quale l’errore di ciascuna misura
diretta è sostituito da una perturbazione deterministica. Il secondo passo comporta di
sommare gli errori con le opportune regole, eventualmente ricorrendo alla statistica.
2.1 Contributi di errore
La grandezza misurata in modo indiretto può essere interpretata come una funzione Q
delle n variabili Xi ; queste ultime sono le grandezze misurate direttamente.
In questo capitolo si adotterà la convenzione di indicare con lettere maiuscole le
grandezze, e con le corrispondenti lettere minuscole i loro valori; facendo uso delle
derivate, esse si intenderanno sempre calcolate nel punto Q = q0 , nel quale ciascuna
grandezza Xi assume il corrispondente valore xi .
Nell’intorno del punto Q = q0 la funzione Q può essere sviluppata in serie di Taylor
troncata al primo ordine
n
X
∂Q
Q = q0 +
dXi
(2.1)
∂X
i
i=1
Il differenziale dQ = Q − q0 è dato dalla somma dei differenziali parziali
dQi =
∂Q
dXi
∂Xi
(2.2)
La (2.1) e la (2.2) valgono anche per incrementi finiti. Sostituendo il differenziale dXi
con l’incremento δxi , la (2.2) dà l’incremento
δqi =
∂Q
δxi
∂Xi
(2.3)
Per arrivare alla (2.3) sono state fatte implicitamente alcune assunzioni che verranno
discusse nel seguito. Le variabili Xi devono essere indipendenti, cioè nessuna di esse
può essere funzione di una o più altre. La funzione Q deve essere continua e derivabile,
con derivate finite. I termini del secondo ordine di δq
1 ∂2Q
(δxi )2
2 ∂Xi2
e
1 ∂2Q
δxi δxj
2 ∂Xi ∂Xj
e quelli di ordine superiore devono essere trascurabili, altrimenti non è lecito troncare
lo sviluppo di Taylor al primo termine. In particolare, la presenza di una derivata nulla
— massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale, sella . . . — deve destare sospetti.
Fortunatamente nella maggioranza dei casi pratici tali condizioni sono soddisfatte e
non vi è quindi necessità di considerare lo sviluppo di Taylor completo. Le eventuali
eccezioni si incontreranno in casi unidimensionali.
§2.2
–
Regole di somma degli errori
11
2.2 Regole di somma degli errori
Si assegnerà di volta in volta ai δxi il significato di incertezze di tipo A (rumore),
incertezze di tipo B (sistematiche) ed errori sistematici, e si osserveranno le conseguenze
sulla misura di Q.
Nel seguito si assumerà che sia lecito troncare lo sviluppo di Taylor di Q al termine
lineare, e che le Xi siano indipendenti. E’ inoltre necessario che le incertezze siano
statisticamente indipendenti.
2.2.1 Rumore
Gli errori δxi assumono qui il significato di deviazione standard σ di una distribuzione
statistica a valore medio nullo. Sotto le ipotesi di linearità e di indipendenza statistica,
i corrispondenti δqi hanno anch’essi il significato di deviazione standard. In accordo
con le consuete regole della statistica, la deviazione standard δq è data da
v
u n
uX
δq = t
(δqi )2
(2.4)
i=1
Questa relazione vale — ovviamente — anche se si attribuisce a δq, δqi e δxi il significato
di 2σ, 3σ ecc.
2.2.2 Incertezze di tipo B
Affermare che al valore xi è associata un’incertezza δxi di tipo B è come dire che la
grandezza Xi può assumere qualsiasi valore tra xi − δxi e xi + δxi .
In un sistema a molte variabili si può assegnare ai singoli intervalli di incertezza un
significato statistico, ammettendo implicitamente che sia improbabile che tutti gli errori
“congiurino” nella stessa direzione. Secondo questa interpretazione, peraltro adottata
per convenzione in molti laboratori, è lecita la somma dei contributi di incertezza in
senso statistico
v
u n
uX
(δqi )2
(2.5)
δq = t
i=1
In un’interpretazione più rigida, che verrà seguita negli esempi ed esperienze di laboratorio, si considera il caso peggiore
δq =
n
X
| δqi |
(2.6)
i=1
La scelta di utilizzare l’interpretazione rigida è giustificata da una considerazione di
carattere pragmatico. In questa sede vengono trattati sistemi con poche variabili,
delle quali una è solitamente dominante ai fini della valutazione dell’incertezza; in
siffatti sistemi, la (2.5) e la (2.6) danno risultati simili, con differenze che possono
non giustificare un approfondimento del problema. In sistemi più complicati — non
12
2
–
Misure indirette
trattati in questo manuale — vi possono essere numerose variabili che danno contributi
di incertezza dello stesso ordine di grandezza; in questi sistemi la differenza tra i risultati
calcolati con la (2.5) e la (2.6) diventa rilevante. Per esercizio, si confrontino i risultati
calcolati con le due definizioni per due sistemi, nei quali i contributi di incertezza δqi
sono: 100, 8, 2 per il primo caso; 10, 7, 9.5, 12, 10.5, 9, 11.5, 10, 11, 9.5 per il secondo.
2.2.3 Errori sistematici
L’errore sistematico è equivalente alla perturbazione deterministica usata per il calcolo
dei contributi di errore. Quindi gli errori sistematici si sommano
δq =
n
X
δqi
(2.7)
i=1
A differenza dei casi precedenti, nei quali l’incertezza è data sempre con valore positivo,
qui è necessaria una particolare attenzione al segno per poter correggere la lettura.
Definendo l’incremento δx come
(
xl − xv = e
per uno strumento
δx =
(2.8)
xn − xv = −e per un campione
lo sviluppo di Taylor dà il risultato
δq =
∂Q
δx
∂X
(2.9)
con il segno corretto — con la convenzione degli strumenti δq = e = ql − qv — senza la
necessità di distinguere se l’errore sistematico è dovuto ad un campione o alla lettura
di uno strumento. La figura 2.2 esemplifica la propagazione dell’errore sistematico per
il caso unidimensionale.
2.2.4 Notazione
Non volendo rinunciare ad usare numeri progressivi per le tensioni, le correnti ecc.
(esempio V1 , V2 , . . . , I1 , I2 , . . . ), la notazione δqi per i contributi di errore risulta
ambigua: ad un valore del pedice i può infatti corrispondere più di una grandezza. In
questi casi si metterà δqi tra parentesi, con la perturbazione δxi a pedice. Ad esempio,
in un sistema dove la potenza P è determinata da due letture di tensione V1 e V2 e da
una resistenza R1 , si scriveranno i contributi di errore assoluti e relativi come
¶
µ
¶
µ
¶
µ
δP
δP
δP
(δP )δV1
(δP )δV2
(δP )δR1
P δV1
P δV2
P δR1
2.3 Casi particolari ed esempi
Le tabelle di pagina 16 e 17 riportano un riepilogo delle regole di somma e della
propagazione degli errori per alcuni casi particolari di uso frequente, evidenziando le
formule che di solito sono più convenienti.
§2.3
–
A
B
x è la lettura
di uno strumento
x è il valore
di un campione
6
ql
qv
13
Casi particolari ed esempi
6
ql
6
δq
qv
e-
6
δq
¾e
δx
xv
Figura 2.2
xl
δx
-
xv xn
-
Propagazione dell’errore nel caso unidimensionale.
Vale comunque la pena focalizzare l’attenzione su questi casi particolari, osservandone le proprietà attraverso regole mnemoniche (da non prendersi alla lettera!) ed
esempi.
Regola 2.1 Moltiplicando per una costante, si conserva l’errore relativo.
Esempio 2.1 Misurando un segnale sinusoidale con un voltmetro che ha incertezza
relativa 5·10−3 , si legge 12 V. Determinare il valore di picco e la sua incertezza.
−3
Il valore efficace è noto
√
√ con incertezza δVrms = 5·10 × 12 V = 60 mV.
Vrms . Di conseguenza il valore picco è Vp = 2 × 12 V '
La relazione è Vp = 2√
17 V, con incertezza δVp = 2 δVrms ' 85 mV.
L’incertezza relativa è ancora δVp /Vp = 5·10−3 .
Regola 2.2 Nel prodotto e nel rapporto si sommano gli errori relativi (nel rapporto si
sottraggono gli errori sistematici relativi).
Esempio 2.2 Si misura il valore di una resistenza utilizzando un voltmetro ed un am-
perometro. La lettura della tensione è V = 12 V, con una fluttuazione di 20 mVrms ; la
lettura della corrente è I = 420 mA, con una fluttuazione di 1.5 mArms .
La relazione è R = V /I. Le incertezze, per come sono state espresse, sono di tipo
A.
14
2
–
Misure indirette
Le incertezze relative sono
20 mV
δV
=
' 1.7·10−3
V
12 V
δI
1.5 mA
=
' 3.6·10−3
I
420 mA
L’incertezza relativa della resistenza è quindi
sµ
¶2 µ ¶2
δR
δV
δI
=
+
' 4·10−3
R
V
I
Regola 2.3 Nel prodotto di potenze si sommano gli errori relativi, ciascuno moltiplicato
per l’esponente.
Esempio 2.3 Si vuole determinare la potenza dissipata da un resistore conoscendo la
tensione ed il valore di resistenza. La lettura della tensione è V = 12 V, con un errore
sistematico di +20 mV. La resistenza è di 22 W nominali, con un errore sistematico di
+50 mΩ.
La relazione è P = V 2 /R. Osservando che V è la lettura di uno strumento ed R
ha il ruolo di un campione, si ha
+20 mV
δV
=
' +1.7·10−3
V
12 V
δR
−50 mΩ
=
' −2.3·10−3
R
22 Ω
L’errore sistematico relativo della potenza è
δP
δV
δR
= 2
−
' +5.7·10−3
P
V
R
Regola 2.4 Nella somma e nella differenza gli errori assoluti si sommano (gli errori sistematici si sottraggono nella differenza).
Esempio 2.4 Si connettono in serie due resistori, R1 = 1 kΩ con incertezza del 5% e
R2 = 2.2 kΩ con incertezza del 2%, per ottenere R = 3.2 kΩ. Valutare l’incertezza.
§2.3
–
15
L’incertezza assoluta è
δR = δR1 + δR2 = 0.05 × 1000 Ω + 0.02 × 2200 Ω = 94 Ω
Regola 2.5 Se si dispone di un buon campione, la somma può essere utile per ridurre
l’incertezza relativa dovuta ad uno strumento.
Esempio 2.5 Si vuole misurare una tensione V di circa 10.24 V con incertezza relativa
migliore di 10−4 . Si dispone di un voltmetro con incertezza relativa di 10−3 e di un
campione di tensione da 10 V con incertezza relativa di 10−5 .
Connettendo il voltmetro in serie al campione, la tensione incognita è data dalla
somma della lettura del voltmetro (V1 = 0.24 V) e della tensione del campione (V2 =
10 V). Le incertezze assolute sono allora
δV1 = 10−3 × 0.24 V = 240 µV
δV2 = 10−5 × 10 V = 100 µV
L’incertezza di misura della tensione incognita V è
δV = δV1 + δV2 = 340 µV
L’incertezza relativa è
340 µV
δV
=
' 3.3·10−5
V
10.24 µV
Regola 2.6 Le misure ottenute per differenza “amplificano” le incertezze relative degli
strumenti.
Esempio 2.6 Si vuole misurare la caduta di tensione V dei fili che collegano una lam-
padina ad una batteria da 12 V. Poiché la batteria e la lampadina sono distanti, si
decide di misurare separatamente le tensioni sulla batteria e sulla lampadina con due
voltmetri che hanno incertezza relativa di 10−3 , e di ricavare la caduta di tensione per
differenza.
Ai capi della batteria si legge V1 = 12 V, con incertezza assoluta di 12 mV; ai capi
della lampadina si legge V2 = 11.8 V, con incertezza assoluta di 12 mV.
La caduta di tensione è V = V1 − V2 = 200 mV con incertezza assoluta δV =
δV1 + δV2 = 24 mV. L’incertezza relativa della misura è
24 mV
δV
=
= 0.12
V
200 mV
16
2
–
Misure indirette
Riepilogo delle regole di somma degli errori
Incertezza di tipo A
Err./incert. assoluti
v
u n
uX
δq = t
(δqi )2
Incertezza di tipo B
(interpretazione statistica)
v
u n
uX
δq = t
(δqi )2
Situazione
i=1
Incertezza di tipo B
(nel caso peggiore)
Errore sistematico
i=1
δq =
n
X
| δqi |
i=1
δq =
n
X
i=1
Tabella 2.1
δqi
Err./incert. relativi
v
u n µ
¶
uX δqi 2
δq
t
=
| q0 |
q0
i=1
v
u n µ
¶
uX δqi 2
δq
= t
| q0 |
q0
i=1
¯
n ¯
X
¯ δqi ¯
δq
¯
¯
=
¯ q0 ¯
| q0 |
i=1
n
X
δq
δqi
=
q0
q0
i=1
§2.3
–
17
Riepilogo della propagazione degli errori
I riquadri in grassetto evidenziano le formule solitamente più convenienti
Situazione
Errori assoluti
caso
generale
Q = Q (X1 , . . .)
moltiplic.
per costante
Q = aX
prodotto
Q = X1 ·X2
rapporto
elevamento
a potenza
prodotto
di potenze
Q=
X1
X2
Q = Xα
Q=
Y
i
differenza
Q = X1 − X2
X
δq1 = x2 δx1
ai X i
i
Q=
δx
δq
=
q0
x
δq1 =
δx1
x2
δq2 = x1 δx2
δq2 =
δq1
δx1
=
q0
x1
−x1 δx2 δq1
δx1
=
2
x2
q0
x1
δqi = 

Y
δq1 = δx1
X1 − X2
X3 − X4
δq2
δx2
=−
q0
x2
δxi
δqi
= αi
q0
xi
α
xj j  αi xαi −1 δxi
δq1 = δx1
δq2
δx2
=
q0
x2
δx
δq
=α
q0
x
δq = αxα−1 δx
δq2 = δx2
δq1 /q0 = δx1 /(x1 + x2 )
δq2 /q0 = δx2 /(x1 + x2 )
δq2 = −δx2
δq1 /q0 = δx1 /(x1 − x2 )
δq2 /q0 = δx2 /(x2 − x1 )
δqi = ai δxi
1
δx1
x3 − x4
1
δq2 = −
δx2
x3 − x4
x1 − x2
δq3 = −
δx3
(x3 − x4 )2
x1 − x2
δx4
δq4 =
(x3 − x4 )2
δq1 =
pendenza
di una retta
δqi
1 ∂Q
=
δxi
q0
q0 ∂Xi
j6=i
Q = X1 + X2
Q=
∂Q
δxi
∂Xi
δq = aδx

Xiαi
somma
sommatoria
δqi =
Errori relativi
Tabella 2.2
δqi
ai δxi
=P
q0
j aj xj
δq1
q0
δq2
q0
δq3
q0
δq4
q0
1
x1 − x2
−1
=
x1 − x2
−1
=
x3 − x4
1
=
x3 − x4
=
δx1
δx2
δx3
δx4
18
Capitolo 3
Voltmetri per tensione alternata
3.1 Voltmetro a vero valore ecace
L’attributo “vero” viene solitamente aggiunto per distinguere questo tipo di strumenti dagli altri voltmetri, che forniscono la lettura in valore efficace solo per segnali
sinusoidali. La misura del segnale vx (t) è mediata in opportuno tempo τ
s Z
1
Vrms =
v 2 (t) dt
(3.1)
τ τ x
Il valore efficace è legato alla potenza media, nel tempo τ , che il segnale vx (t) dissipa
su una resistenza unitaria. Su questo significato fisico è basato lo schema di principio
di figura 3.1. La resistenza R1 , dissipando una potenza proporzionale al quadrato del
amplificatore
6
in
stadio
di
ingresso
-
R1 ⇒
q
¶³
¡
µvoltm.
¡
dc
µ´
¡
sensore di
⇐ R2
differenza
di temperatura
q
Figura 3.1 Schema di principio del voltmetro a valore efficace con bilanciamento termico.
valore efficace del segnale di ingresso, si scalda. Il sensore di differenza di temperatura produce un segnale di errore che, opportunamente amplificato, scalda R2 fino
al raggiungimento dell’equilibrio termico. Se i due resistori sono elettricamente e termicamente uguali, all’equilibrio la tensione continua presente su R2 è uguale al valore
19
20
3
–
efficace della tensione su R1 . Il tempo di misura è dato dalla costante di tempo termica
del sistema.
Il sensore di differenza di temperatura può essere realizzato con due termocoppie le
cui giunzioni siano accoppiate ciascuna ad un resistore. Un’alternativa è costituita da
uno stadio differenziale classico con due transistori accoppiati di emettitore: la tensione
tra i collettori si sbilancia proporzionalmente alla differenza di temperatura delle due
giunzioni base-emettitore.
Un altro schema interessante, basato sulle proprietà degli amplificatori logaritmici
ed esponenziali, è ben descritto da S. Franco1 .
3.1.1 Risposta in frequenza
La definizione generale del valore efficace di un segnale periodico è data dalla (3.1)
per un tempo di misura τ uguale al periodo T del segnale. Va osservato che se τ ÀT ,
allora definizione generale e misura di fatto coincidono. A frequenze basse, dove questa
ipotesi non è più valida, si ha una fluttuazione della misura, e conseguentemente della
lettura.
Per molti apparati commerciali il limite inferiore, sotto il quale compaiono incertezze addizionali in funzione della frequenza, è orientativamente tra 10 e 30 Hz.
Inoltre sull’ingresso è solitamente presente un condensatore che blocca la componente
continua del segnale.
Alle alte frequenze una limitazione importante è data all’amplificatore di ingresso,
che deve avere larga banda e alta impedenza per consentire il passaggio delle armoniche
del segnale e per contenere l’errore di consumo. Ammettendo ad esempio che l’impedenza di ingresso dello strumento sia di 10 MW, con in parallelo una capacità parassita
di 50 pF (compresi i cavi di collegamento), alla frequenza di 320 Hz l’impedenza di
ingresso è ridotta a 7.1 MW con fase 45◦ , e a 32 kHz è di 100 kW quasi perfettamente
reattiva.
In molti strumenti commerciali oltre alcuni kilohertz, o al più decine di kilohertz,
compaiono incertezze addizionali in funzione della frequenza e del contenuto armonico
del segnale.
In linea di principio lo schema di figura 3.1 si presta anche a realizzazioni per alte
frequenze, fino in microonda, perché è facile realizzare un adattamento di impedenza
tra l’ingresso ed il resistore R1 . Questo è possibile a prezzo di una bassa impedenza di
ingresso, tipicamente 50 W. In questo caso lo strumento non è più un voltmetro, il cui
scopo è di misurare una tensione perturbando al minimo il circuito in esame, ma più
propriamente un wattmetro, adatto a misurare la potenza disponibile della sorgente.
3.2 Voltmetro a valore medio
La grandezza misurata è il valore medio del segnale raddrizzato. A rigore, la denominazione “a valore medio del modulo” sarebbe più corretta, ma viene solitamente evitata
in quanto troppo pesante.
La figura 3.2 rappresenta lo schema di principio per uno strumento analogico a
onda intera. L’operazione di media è affidata all’inerzia meccanica della lancetta del
microamperometro in continua che misura il segnale raddrizzato dal ponte di diodi.
1 S. Franco, Design with operational amplifiers and analog integrated circuits, McGraw-Hill,
Singapore, 1988.
§3.2
–
commutazione di portata
VAC
q
OUT
q
COM
q
q
R4
³
1q
³
q ³
q
R3
q
R1
Figura 3.2
R2
21
Voltmetro a valore medio
q
q
q
c
c
#
#
q
#
#
c
c
¶³
µ microamp.
¡
¡
dc
µ´
¡
q
#
#
c
c
q
q
c
c
#
#
q
Schema di principio del voltmetro analogico ad onda intera.
La commutazione di portata avviene cambiando la resistenza posta in serie all’ingresso (R1 . . . R4 nello schema). Essendo l’assorbimento del microamperometro a
fondo scala indipendente dalla portata, la resistenza di ingresso del voltmetro è proporzionale al fondo scala. Sui manuali generalmente si trova la sensibilità2 , espressa
in W/V, che moltiplicata per la tensione di fondo scala dà la resistenza interna dello
strumento. Dimensionalmente, la sensibilità è l’inverso della corrente assorbita a fondo
scala. Valori tra 5 kW/V e 20 kW/V sono da considerarsi tipici. Ad esempio, uno
strumento con sensibilità di 5 kW/V nella portata 50 V ha una resistenza interna di
250 kW.
La presenza dei diodi comporta una non linearità della scala, dovuta alla tensione
diretta delle giunzioni. Per questa ragione è usuale la presenza di una scala rossa per
le tensioni alternate, a fianco di quella nera delle tensioni continue. Poiché la non
linearità è più evidente alla portata più bassa, nella quale il fondo scala è confrontabile
con la tensione diretta dei diodi, in molti strumenti si trovano due scale rosse, una per
la portata minima e una per tutte le altre.
Nell’uso normale, i puntali sono collegati agli ingressi vac e com (figura 3.2). Per
misurazioni su circuiti elettronici, può essere conveniente isolare la componente continua del segnale; in questo caso i puntali saranno collegati ai morsetti vac e out3 . Il
valore del condensatore rappresenta un compromesso tra le necessità di non attenuare
il segnale alle frequenze più basse e di evitare effetti induttivi alle frequenze più alte
della banda passante. Per questo le incertezze addizionali dovute alla frequenza possono essere specificate separatamente per i due ingressi com e out. Una degradazione
della precisione alla frequenza di rete, 50 Hz, dovuta al condensatore è usuale.
Il limite alle alte frequenze è determinato dalle capacità parassite interne, e quindi
2 Il termine sensibilità in questa accezione è improprio. Il suo significato generale in metrologia
è quello del minimo valore del misurando rilevabile da uno strumento. Lo si è comunque voluto
mantenere perché è di largo uso nei manuali degli strumenti.
3 La scelta del termine “out” o “output” è infelice in quanto fa pensare che il corrispondente morsetto sia un’uscita del voltmetro. La ragione di tale termine è che questo morsetto viene solitamente
utilizzato per misurare la tensione d’uscita di un circuito elettronico, quando si voglia eliminare la
componente continua.
22
3
–
dipende dalla resistenza che determina la portata. Valori tipici sono tra 100 kHz e 1
MHz per la portata più bassa (da 1 a 3 Vfs), fino a 1–10 kHz per la portata più alta
(500–1000 Vfs).
Uno schema alternativo è quello del voltmetro a semionda, rappresentato in figura
3.3. Si noti la presenza del secondo diodo (D2 ), in serie al resistore R5 (di valore uguale
alla resistenza interna del microamperometro), necessario per avere assorbimenti di
corrente simmetrici nelle due semionde. Senza D2 e R5 , il condensatore si caricherebbe
al valore di picco del segnale, impedendo il passaggio di corrente nel microamperometro.
Questo schema, rispetto al precedente, presenta il vantaggio di una migliore linearità
commutazione di portata
VAC
q
OUT
q
COM
q
q
R4
³
1q
³
q ³
q
R3
q
R1
R2
q
q
q
#
#
c
c D2
R5
q
q
c
c
#
#
D1
¶³
µ
¡
¡
µ´
¡
microamp. dc
q
Figura 3.3
Schema di principio del voltmetro analogico a semionda.
della scala perché vi è un solo diodo in serie al microamperometro. Per contro, l’uso di
una sola semionda causa maggiori errori con segnali distorti se si usa il valore medio
per stimare il valore efficace.
3.2.1 Costante strumentale
Nelle misure in regime alternato il valore efficace ha un ruolo privilegiato. Infatti le due
leggi fondamentali dell’elettrotecnica, che consentono il calcolo della potenza (P = V I)
e della resistenza (R = V /I) in regime continuo, possono essere immediatamente estese
ai circuiti puramente resistivi in regime alternato purché la tensione e la corrente siano
espresse in valore efficace. Ovvie considerazioni di praticità hanno quindi originato una
convenzione, seguita da tutti i costruttori di strumenti, in base alla quale i voltmetri
forniscono la lettura in valore efficace.
Nella maggioranza dei casi pratici i segnali da misurare sono sinusoidali, eventualmente distorti. All’interno del voltmetro è allora inserita una costante strumentale k
che, per segnali sinusoidali, converte la misura del valore medio in lettura del valore
efficace. Va da sè che la conversione è basata sul rapporto tra valore medio ed il valore
efficace della sinusoide, e dà risultati “sbagliati” con altre forme d’onda.
Si indichi con VL la lettura dello strumento e con Vm il valore medio del segnale
raddrizzato. Quindi
VL = k V m
(3.2)
§3.3
–
23
Voltmetro a valore di picco
√
Per un segnale sinusoidale v(t) = Vp sin(2πt/T ) il valore efficace è Vrms = Vp / 2,
mentre il valore medio del modulo è
µ
¶
Z T
Z T /2
2
2π
1
2Vp
| v(t) | dt =
sin
Vm =
t dt =
(3.3)
T 0
T 0
T
π
Imponendo nella (3.2) VL = Vrms e inserendo l’espressione del valore medio (3.3), si
ricava il valore della costante strumentale
k =
2
π
√
2
' 1.1107
(3.4)
Per un raddrizzatore a semionda, con lo stesso procedimento si trova Vm = Vp /π e
π
k = √ ' 2.2214
2
(3.5)
Al fine di evitare equivoci, si ribadisce il fatto che la lettura è sempre data dalla (3.2), e
coincide con il valore efficace se il segnale è sinusoidale. Con altre forme d’onda, l’unica
informazione data dallo strumento è VL = kVm .
3.3 Voltmetro a valore di picco
Il voltmetro a valore di picco può essere realizzato secondo gli schemi di di figura
3.4. La configurazione B è preferibile perché ha il condensatore in serie che isola la
componente continua del segnale. Per comprendere lo schema B, si osservi che le due
A: schema con diodo in serie
B: schema con condensatore in serie
Vd
6
Vin
c
c
#
#
Vc
-
q
q
¶³
¡
µ voltmetro
¡
dc
µ´
¡
6
Vc
q
6
Vin
Vd
6
\
¿
\¿
¶³
µ voltmetro
¡
¡
dc
µ´
¡
q
Figura 3.4 Schemi di principio dei voltmetri a valore di picco. A: schema con diodo in
serie. B: schema con condensatore in serie.
configurazioni della figura sono identiche, salvo la diversa posizione del voltmetro in
continua. La figura 3.5 presenta le forme d’onda significative del circuito a regime e per
segnale d’ingresso sinusoidale. Il diodo, in conduzione solo durante i picchi del segnale
di ingresso, carica il condensatore; per la rimanente parte del tempo, il condensatore
si scarica lentamente sulla resistenza interna del voltmetro in continua. Dalle forme
d’onda all’ingresso e ai capi del condensatore si ricava per differenza la forma d’onda
24
3
–
Vin 6
t
-
Id
6
t
-
Vc
6
t
-
Vd
6
t
valore
medio dc
Figura 3.5
in serie.
Forme d’onda significative del voltmetro a valore di picco con condensatore
Vd presente sul diodo. Il voltmetro in continua, sensibile al valore medio, misura la
tensione di picco del segnale di ingresso. Il principale pregio del voltmetro di figura
3.4B è la possibilità di ottenere alte impedenze di ingresso ad alte frequenze, fino in
microonda, montando l’intero rivelatore di picco nella sonda. Per contro, la rivelazione
di picco può dare misure assai falsate con segnali distorti o in presenza di rumore. Va
però osservato che questo tipo di strumenti è utile ad alte frequenze, dove i segnali
sono solitamente a banda stretta e, visti nel dominio del tempo, sono assai simili alla
sinusoide.
Connettendo al posto del voltmetro dc della figura 3.4B un altro voltmetro di picco
come quello di figura 3.4A (con il diodo invertito), si realizza un voltmetro sensibile al
valore picco-picco.
3.3.1 Resistenza di ingresso
Essendo il circuito di figura 3.4B non lineare, è improprio parlare di resistenza di
ingresso. Si calcolerà quindi il valore della resistenza equivalente di ingresso, con un
criterio energetico e per segnale sinusoidale.
Sia P 0 la potenza media dissipata dalla resistenza equivalente di ingresso Req . Per
un segnale sinusoidale vx (t) = Vp sin(2πf t), si ha
P0 =
1 Vp2
2 Req
(3.6)
§3.4
–
Esempi di calcolo
25
Il segnale ai capi del voltmetro in continua (figura 3.5), che vale vd (t) = Vp (1 +
sin(2πf t)), produce sulla resistenza Rdc interna al voltmetro in continua una dissipazione media
Z
1
3 Vp2
P 00 =
vd2 (t) dt =
(3.7)
T Rdc T
2 Rdc
Poiché la causa principale di dissipazione è proprio Rdc , è lecito assumere P 0 = P 00 .
Confrontando le (3.6) e (3.7), si ricava
Req =
1
Rdc
3
(3.8)
Si osservi che un voltmetro in continua, realizzato con opportuni amplificatori, può
avere resistenza di ingresso oltre 1 GW; in realizzazioni particolarmente curate, le
capacità parassite del rivelatore di picco possono essere dell’ordine dei picofarad.
3.3.2 Costante strumentale
Per convenzione, i voltmetri a valore di picco forniscono l’indicazione del valore efficace
nel caso di segnale sinusoidale.
Ripercorrendo il ragionamento fatto per i voltmetri a valore medio, la (3.2) diventa
VL = kVp . Imponendo VL = Vrms si trova
1
k = √ ' 0.707
2
(3.9)
Si ricordi che la costante strumentale consente la lettura del valore efficace se il segnale
è sinusoidale; altrimenti la lettura è kVp .
3.4 Esempi di calcolo
Esempio 3.1 Calcolare l’errore sistematico che si commette tentando di misurare il
valore efficace di un segnale a dente di sega con un voltmetro a valore medio.
Essendo segnale a dente di sega privo di componente continua, si può evitare di
distinguere se il voltmetro ha o meno il condensatore in serie. Per la simmetria del
segnale, ci si aspetta che il risultato sia lo stesso per il voltmetro a onda intera e per
quello a semionda. Con un’opportuna definizione dell’origine dell’asse dei tempi, il
periodo T del segnale è descritto da vx (t) = 2Vp t/T per −T /2 < t < T /2.
Il valore medio del segnale raddrizzato è Vm = Vp /2; Il valore letto è
Vl =
π V
√ p
2 2 2
Il valore vero Vv della misura è il valore efficace
s Z
s Z
1 T /2 2
1 T /2 Vp2 2
Vp
Vrms =
v (t) dt =
4 2 t dt = √
T −T /2
T −T /2 T
3
26
3
–
L’errore sistematico relativo è
√
δV
Vl − Vv
Vl − Vrms
Vrms
4 2 Vp
√ ' −4·10−2
=
=
= 1−
= 1−
Vl
Vl
Vl
Vl
πVp 3
Esempio 3.2 Si misura un segnale ad onda triangolare di ampiezza di picco Vp con
un voltmetro a valore di picco che ha fondo scala 30 V e classe 2. La lettura è 18 V.
Calcolare il valore efficace e la sua incertezza.
√
Indicando con Vl la lettura, il valore di picco è Vp = 2 Vl . Con procedimento
√
analogo a quello dell’esempio precedente, si trova valore efficace Vrms = Vp / 3. Quindi
√
2
Vrms = √ Vl ' 14.7 V
3
Con riferimento alla tabella di pagina 17, questo è il caso della moltiplicazione per
una costante, nel quale si conserva l’incertezza relativa. Dai dati del problema, si ha
δVl = 0.02 × Vfs = 0.02 × 30 V = 600 mV e δVl /Vl = (600 mV)/(18 V) ' 3.3·10−2 .
L’incertezza relativa della misura è allora
δVl
δVrms
=
' 3.3·10−2
Vrms
Vl
Esempio 3.3 Dato un segnale ad onda rettangolare con duty cycle α e di ampiezza
compresa tra ±Vp , calcolare la lettura di un voltmetro a valore medio a onda intera.
Normalizzando la variabile tempo in modo che il periodo sia unitario, il segnale
vx (t), è definito da
½
+Vp per 0 ≤ t < α
vx (t) =
−Vp per α ≤ t ≤ 1
√
Il valore medio del segnale vx (t) raddrizzato è ovviamente Vp ; la lettura è πVp /2 2,
indipendentemente da α.
La situazione cambia se si utilizza un voltmetro con condensatore in serie. La
componente continua del segnale è
Z
1
vx (t) dt = (2α − 1) Vp
Vdc =
T T
A valle del condensatore, il segnale è vx0 (t) = vx (t) − Vdc . Quindi
½
2 (1 − α) Vp per 0 ≤ t < α
vx0 (t) =
−2 α Vp
per α ≤ t ≤ 1
Il valore medio del segnale vx0 (t) raddrizzato è
Z
1
| vx (t) | dt = 4 α (1 − α) Vp
Vm0 =
T T
§3.4
–
27
Esempi di calcolo
e la lettura dello strumento è
√
π
Vl0 = √ 4α (1 − α) Vp = π 2 α (1 − α) Vp
2 2
La lettura, in funzione di α e normalizzata per Vp = 1 V, è rappresentata nel grafico
di figura 3.6.
6 π/2√2 ' 1.11
1
Vl
α
-
0
0
0.5
1
Figura 3.6 Lettura del voltmetro a valore medio con condensatore in serie per un segnale
rettangolare con duty cycle α, normalizzata rispetto al valore di picco.
Esempio 3.4 Si ha a disposizione un voltmetro a vero valore efficace ideale con fondo
scala 10 V e incertezza 5·10−4 Vfs + 10−3 Vletto . Misurando un segnale periodico vx (t) il
cui periodo T è definito da
(
16πt
Vp sin
per 0 ≤ t < T /8
vx (t) =
T
0
per T /8 ≤ t < T
si legge 6 V. Determinare Vp e l’incertezza della misura.
Il valore efficace del segnale è
s
s
µ
¶
Z
Z
16πt
Vp
1 T 2
1 T /8 2
vx (t) dt =
Vp sin2
dt =
Vrms =
T 0
T 0
T
4
Essendo la lettura Vrms = 6 V, si ricava Vp = 24 V.
Tornando alla tabella di pagina 17, questo è ancora il caso della moltiplicazione per
una costante, nel quale si conserva l’incertezza relativa.
Dai dati del problema, l’incertezza assoluta di Vrms è
δVrms = 5·10−4 × 10 V + 10−3 × 6 V = 11 mV
28
3
–
L’incertezza relativa è
δVp
δVrms
11 mV
=
=
' 1.8·10−3
Vp
Vrms
6V
Costanti strumentali dei voltmetri ac
Tipo di voltmetro
Costante strumentale
valore efficace
1
valore medio (onda intera)
π
√
'
1.1107
valore medio (semionda)
π
√
2
'
2.2214
valore di picco
1
√
2
'
0.7071
valore picco-picco
1
√
'
0.3536
2 2
2 2
§3.4
–
29
Esempi di calcolo
Parametri delle forme d’onda più usuali
forma d’onda
valore efficace
valore medio
sinusoidale
1
√ V0
2
2
V0
π
triangolare
V
√0
3
1
V0
2
quadra
V0
V0
Valore di picco V0
30
Capitolo 4
Alimentatori stabilizzati
4.1 Misure di resistenza in continua
Un alimentatore stabilizzato può essere rappresentato come un generatore ideale di
tensione con una resistenza Ro in serie, ed un limitatore di corrente. Il piano tensionecorrente tipico è rappresentato in figura 4.1.
Figura 4.1 Caratteristica V /I tipica di un alimentatore. La protezione può essere una
delle due raffigurate.
La parte superiore del grafico ha un’inclinazione negativa, corrispondente ad una resistenza interna positiva con la convenzione dei generatori. Alla corrente massima interviene una protezione a limitazione o di tipo foldback (traducendo dall’inglese, “piegata
all’indietro”).
Le figure 4.2 e 4.3 riportano lo schema di principio proposto per la misura e il
corrispondente piano tensione-corrente.
Con riferimento alla figura 4.3, il valore della resistenza interna è dato da
Ro =
V1 − V2
I2 − I1
31
(4.1)
32
4
–
Figura 4.2 Schema di principio della misura di resistenza interna dell’alimentatore
stabilizzato.
Figura 4.3
Misura di resistenza interna dell’alimentatore stabilizzato.
dove V1 e V2 sono le tensioni di uscita dell’alimentatore con le correnti di carico I1 e
I2 . La corrente I1 può essere zero se non vi sono ragioni di sospettare nonlinearità
dell’alimentatore a basse correnti. C’è vantaggio ad usare un alto valore della corrente
I2 perché si ha maggiore caduta di tensione V1 − V2 , e quindi migliore risoluzione della
misura; ma I2 deve essere ragionevolmente inferiore alla corrente massima erogabile
Imax , alla quale la resistenza interna dell’alimentatore non è più definita.
Per una buona riuscita dell’esperimento si devono affrontare i problemi sperimentali
dei seguenti paragrafi.
4.1.1 Risoluzione della misura
Per la propagazione degli errori la (4.1) corrisponde al caso tipico “pendenza di una
retta” della tabella a pagina 17. Ammettiamo per il momento di misurare le tensioni
V1 e V2 direttamente ai morsetti dell’alimentatore, escludendo quindi l’alimentatore di
riferimento di figura 4.2. Indicando con δV1 , δV2 , δI1 , δI2 le risoluzioni delle letture e
prendendo i risultati con segno positivo, i contributi alla risoluzione della misura sono
§4.1
–
Misure di resistenza in continua
µ
µ
µ
µ
δRo
Ro
δRo
Ro
δRo
Ro
δRo
Ro
¶
=
δV1
V1 − V2
(4.2)
=
δV2
V1 − V2
(4.3)
=
δI1
I2 − I1
(4.4)
=
δI2
I2 − I1
(4.5)
δV1
¶
δV2
¶
δI1
¶
δI2
33
Se l’alimentatore è “ben stabilizzato”, si ha una piccola caduta di tensione V1 − V2 per
una grande escursione di corrente I2 − I1 . I contributi di risoluzione (4.2) e (4.3) sono
dominanti rispetto a quelli dati dalle (4.4) e (4.5).
La situazione migliora se si connette il voltmetro come in figura 4.2, con l’alimentatore di riferimento in opposizione all’alimentatore in prova; le tensioni misurate dal
voltmetro sono V10 e V20 (figura 4.3). Se l’alimentatore di riferimento è stabile per la
durata della misurazione, si ha V1 − V2 = V10 − V20 . La risoluzione del voltmetro dipende
dal fondo scala utilizzato. Scegliendo allora Vr in modo che V10 e V20 possano essere
misurate con la portata minima del voltmetro, si ottengono risoluzioni δV10 e δV20 , di
minore entità rispetto alle corrispondenti δV1 e δV2 . La risoluzione della misura, sempre
nel peggiore dei casi, è data da
δRo
δV 0
δI1
δV 0
δI2
= 0 1 0+ 0 2 0+
+
Ro
V1 − V2
V1 − V2
I2 − I1
I2 − I1
(4.6)
Esempio 4.1 Si vuole misurare la resistenza interna di un alimentatore stabilizzato da
24 V, 10 A nominali, utilizzando un voltmetro digitale a 4 cifre con fondo scala 1 V,
10 V, 100 V, 1000 V, ed un amperometro digitale a 3 cifre con fondo scala 10 A. Si
decide di usare I1 = 0 A e I2 = 8 A.
Collegando il voltmetro direttamente ai capi dell’alimentatore, si legge V1 = 24.07 V
e V2 = 24.02 V. La resistenza interna è Ro = (V1 − V2 )/(I2 − I1 ) = (50 mV)/(8 A) =
6.25 mΩ.
La risoluzione del voltmetro è la stessa in entrambe le misure, δV1 = δV2 = δV =
10 mV, e dà alla risoluzione della misura due contributi uguali, ciascuno dei quali vale
¶
µ
δV
10 mV
δRo
=
=
= 0.2
Ro δV
V2 − V1
50 mV
Poiché la prima misurazione è fatta a circuito aperto, la risoluzione è δI1 = 0 A. Per
la seconda misurazione, la risoluzione è δI2 = δI = 10 mA. Il contributo di risoluzione
dell’amperometro è quindi
34
4
µ
δRo
Ro
–
¶
=
δI
δI
10 mA
= 1.25·10−3
=
I2 − I1
8A
Come si vede dai risultati, i contributi dominanti di risoluzione sono dati dal voltmetro.
Si colleghi ora un secondo alimentatore in opposizione all’alimentatore in prova ed in
serie al voltmetro, come in figura 4.2. Se l’alimentatore di riferimento è regolato in
modo che entrambe le tensioni possano essere lette nella portata 1 Vfs , la risoluzione
del voltmetro è δV 0 = 100 µV. I due contributi di risoluzione del voltmetro sono allora
µ
¶
δRo
δV 0
100 µV
= 0
=
= 2·10−3
Ro δV 0
V1 − V20
50 mV
con un miglioramento per un fattore 100 rispetto alla situazione precedente, nella quale
non si faceva uso dell’alimentatore di riferimento.
4.1.2 Resistenza dei contatti
La resistenza dei contatti ai morsetti di uscita può essere dello stesso ordine di grandezza, se non maggiore, della resistenza interna di un alimentatore.
Ad esempio, un tipico alimentatore da laboratorio, regolabile fino a 20 V e con
corrente massima di 1–3 A, può avere resistenza interna dell’ordine di alcuni milliohm.
Per i soliti cavetti da laboratorio con banane del diametro di 4 mm, un contatto banana
/ boccola ha una resistenza tipica di 1–10 mW.
Si osservi che una resistenza di contatto non è nè stabile nè ripetibile. La resistenza varia aprendo il contatto e ripristinandolo, o anche solo muovendo il cavetto.
Si vuole allora misurare la resistenza interna dell’alimentatore in modo indipendente
dalle resistenze dei contatti.
Lo schema di figura 4.4 propone un banco di misura a quattro fili con le resistenze
di contatto indicate esplicitamente; per chiarezza, l’alimentatore di riferimento è stato
omesso.
In una configurazione corretta (figura 4.4A), il voltmetro misura la tensione sui
00
0
e Rc2
della maglia voltmetrica
morsetti dell’alimentatore. Le resistenze di contatto Rc2
sono percorse dalla sola corrente del voltmetro, idealmente nulla, e non causano errori
di misura.
In una configurazione errata (figura 4.4B), il voltmetro misura la tensione a valle
0
00
della maglia amperometrica, che sono percorse daldelle resistenze di contatto Rc1
e Rc1
la corrente di carico. In questa configurazione è impossibile distinguere tra la resistenza
interna dell’alimentatore e le resistenze di contatto. Il risultato della misurazione è
0
00
Ro + Rc1
+ Rc1
.
La figura 4.5 presenta in termini più pratici alcune possibili configurazioni di collegamento alla boccola di un alimentatore con cavetti a banana e a forchetta, evidenziando
due degli errori più comuni.
§4.1
–
Misure di resistenza in continua
Figura 4.4 Schema semplificato della misura di resistenza a quattro fili. Sono evidenziate
le resistenze dei contatti.
Figura 4.5
Collegamenti ad una boccola di uscita dell’alimentatore.
35
36
4
–
4.1.3 Deriva termica
L’alimentatore in prova, per effetto della variazione di carico da I1 a I2 , può essere
soggetto a deriva termica. Il fenomeno è particolarmente evidente negli stabilizzatori
integrati, dove il riferimento di tensione e il transistore di regolazione sono termicamente
accoppiati.
La figura 4.6 rappresenta le caratteristiche tensione-corrente di un alimentatore per
tre temperature diverse.
Figura 4.6
Errori di misura dovuti alla deriva termica dell’alimentatore.
Per conoscere la resistenza interna si deve misurare V1 e V2 sulla stessa retta, corrispondente alla stessa temperatura. In pratica, la misura a vuoto dà V1a rilevata alla
temperatura Ta ; connettendo il carico, l’alimentatore comincia a scaldarsi e raggiunge
la temperatura Tb all’istante in cui si legge la tensione V2b .
Una precauzione elementare consiste nell’eseguire rapidamente la misurazione, cercando di collegare il carico per il minimo tempo necessario a leggere tensione e corrente. Questa precauzione di per sè non è sufficiente in quanto non dà alcuna evidenza
sperimentale del fenomeno della deriva e non indica se essa è rilevante ai fini della
misurazione.
Sempre con riferimento alla figura 4.6, si suggerisce il seguente procedimento sperimentale.
1. Lasciare l’alimentatore acceso, a vuoto, per qualche minuto mentre si predispone il
banco di misura.
2. Misurare V1a ; l’alimentatore, all’istante della misura, avrà la temperatura Ta .
3. Collegare il carico. Agendo con rapidità, misurare I2 e V2b (all’istante della misura,
l’alimentatore ha raggiunto la temperatura Tb ); rimuovere subito il carico, in modo
che l’alimentatore si scaldi il meno possibile.
4. Misurare V1c ; all’istante della misura, l’alimentatore sarà alla temperatura Tc .
Il procedimento non richiede di misurare le temperature, ma solo di ragionare sulla
dinamica dell’esperimento. Se l’alimentatore è freddo, la costante di tempo di raffreddamento è assai più lenta di quella di riscaldamento; di conseguenza Tb 'Tc . La
§4.2
–
Misure di impedenza in regime alternato
37
differenza V1a − V1c dà allora un’idea dell’errore dovuto al surriscaldamento dell’apparato in prova. Se | V1a − V1c | ¿ | V1a − V2b |, la misura è “buona”, nel senso che la
deriva termica non è causa di incertezza significativa.
Un metodo migliore prevede l’uso di un commutatore elettronico che inserisce e
disinserisce il carico, mentre un calcolatore acquisisce i valori di tensione e corrente.
Nei casi normali il tempo necessario a misurare tensione e corrente con risoluzioni
adeguate è trascurabile rispetto alle costanti di tempo termiche del sistema.
4.2 Misure di impedenza in regime alternato
Il circuito interno all’alimentatore risulta costituito di un riferimento di tensione, di
un amplificatore di errore e di un amplificatore di potenza. L’anello di reazione è
responsabile della stabilizzazione della tensione di uscita. Poli e zeri dell’anello fanno
sı̀ che l’alimentatore presenti una impedenza d’uscita complessa Zo , della quale si vuole
misurare il modulo.
Si osservi che Zo è definita solo per le variazioni di corrente attorno ad un punto di
lavoro; è quindi necessaria una polarizzazione in continua. Inoltre la corrente non deve
cambiare segno nè superare il valore di intervento della protezione.
Lo schema della misura, con il corrispondente grafico tensione-corrente, è riportato
in figura 4.7.
Figura 4.7
Misura dell’impedenza di uscita dell’alimentatore stabilizzato.
La corrente di polarizzazione è Idc = Imax /2 per la massima dinamica; questo valore
non è strettamente vincolante. La corrente alternata deve essere tale che il valore
istantaneo della corrente totale non
√ Imax . Le condizioni per
√ cambi segno e non superi
il valore efficace sono Iac < Idc / 2 e Iac < (Imax − Idc )/ 2. Sotto queste condizioni,
38
4
–
ad uno stimolo di corrente sinusoidale Iac l’alimentatore risponde con una variazione
sinusoidale Vac di tensione. Il modulo dell’impedenza è dato da
| Zo | =
| Vac |
| Iac |
(4.7)
Figura 4.8 Schema per la misurazione del modulo dell’impedenza interna dell’alimentatore
stabilizzato.
Per eseguire un esperimento si suggerisce lo schema di figura 4.8. Nello schema si
osservi quanto segue.
. Il resistore RL , in serie all’amperometro, costituisce il carico in continua responsabile della corrente Idc di polarizzazione.
. Il diodo è stato inserito in serie all’alimentatore per evitare che un valore eccessivo
di Iac , dovuto ad errori accidentali, possa danneggiare l’alimentatore invertendo
la corrente. Se il banco di misura funziona correttamente, il diodo è sempre in
conduzione.
. L’amplificatore, per funzionare correttamente, ha bisogno di una adeguata resistenza di carico, 8 W per molti apparati. Il carico è costituito da Rac in serie a
Rt .
. Il resistore Rt , unitamente al voltmetro in alternata, ha lo scopo di misurare la
corrente Iac .
. L’alimentatore stabilizzato ha “piccole” variazioni di tensione in funzione del carico. Questo significa che |Zo |¿RL e |Zo |¿Rac . Di conseguenza Rdc e il circuito
composto dall’amplificatore e dalla sua resistenza di carico Rac si comportano
§4.2
.
.
.
.
–
Misure di impedenza in regime alternato
39
sostanzialmente come generatori di corrente, in accordo con lo schema di figura
4.7.
Il condensatore ha lo scopo di evitare che la tensione continua dell’alimentatore
si presenti all’uscita dell’amplificatore. Deve essere di valore tale da comportarsi
come un cortocircuito per l’alternata, ed ovviamente come un circuito aperto per
la continua.
La tensione alternata ai capi dell’alimentatore viene misurata con l’oscilloscopio. È
opportuno che il canale verticale sia accoppiato in ac.
Il segnale di misura Vac può essere assai debole, al limite della sensibilità dell’oscilloscopio, e sovrapposto al ripple1 di rete. L’uso del trigger esterno è quindi assai
utile per osservare una traccia stabile.
Gli oscilloscopi e i generatori di segnali hanno quasi sempre la massa collegata alla
terra dell’impianto elettrico, come evidenziato con linee tratteggiate; l’amplificatore
ha la massa dell’ingresso collegata alla massa dell’uscita. Le masse risultano quindi
collegate tra loro. Questo fatto va tenuto presente se si vogliono provare disposizioni
sperimentali diverse. Ad esempio è impossibile misurare la tensione su Rt o su Rac
senza causare cortocircuiti2 .
Se si vuole misurare l’impedenza a frequenze audio, orientativamente tra 20 Hz e 20
kHz, è possibile usare un comune amplificatore a bassa frequenza per impianti stereofonici o strumenti musicali. Per piccole correnti, l’amplificatore e il resistore Rac
possono essere omessi: un buon generatore di segnali può erogare anche 100 mA.
4.2.1 Incertezze di misura
All’uscita dell’alimentatore si ripropone il problema dei morsetti voltmetrici e amperometrici, come descritto in figura 4.4. Lo stesso vale per il resistore di riferimento
Rt .
Il valore della resistenza Rac è ininfluente in quanto si misura la corrente che l’attraversa. Si devono comunque rispettare eventuali vincoli per il corretto funzionamento
dell’amplificatore. Per la stessa ragione, anche il valore del condensatore non entra
nel bilancio degli errori. La capacità deve comunque essere sufficientemente alta da
permettere all’amplificatore di erogare la corrente voluta.
Il valore della corrente Idc non entra nella misura. Ci si deve però assicurare che
l’alimentatore sia polarizzato correttamente.
La resistenza differenziale del diodo è fuori dalla maglia voltmetrica di misura,
quindi non causa errori3 .
La corrente Iac si ripartisce tra l’alimentatore e RL in proporzione alle conduttanze
1/Zo e 1/RL . Se l’alimentatore è stabilizzato, l’impedenza interna Zo è piccola rispetto
alla resistenza di carico RL ; di conseguenza si può trascurare la parte di Iac che scorre
in RL .
1 Il ripple dell’alimentatore è l’ondulazione della tensione di uscita proveniente dal raddrizzatore e
non perfettamente soppressa dai circuiti elettronici di stabilizzazione.
2 In realtà una possibilità c’è, anche se più complicata.
Consiste nell’utilizzare i due canali
dell’oscilloscopio in modo differenziale.
3 Questo è vero in prima approssimazione. Ad un’analisi più fine — che va oltre i nostri scopi
— si osserva che la resistenza differenziale varia con la corrente, causando distorsione del segnale.
L’oscilloscopio e il voltmetro (connesso in parallelo a Rt ), usati per stimare il valore efficace della
tensione e della corrente, hanno diverse sensibilità alla distorsione: ne consegue un errore di misura.
40
4
–
Con l’oscilloscopio è conveniente leggere il valore picco-picco Vpp della √tensione
alternata, con incertezza assoluta δVpp . La tensione efficace è Vac = Vpp /(2 2), con
incertezza relativa δVac /Vac = δVpp /Vpp .
La corrente Iac è misurata con un voltmetro a valore efficace collegato ai capi di Rt ,
0
0
. La resistenza Rt ha incertezza assocon incertezza assoluta δVac
sul quale si legge Vac
0
0
luta δRt . La relazione (4.7), sostituendo Iac = Vac
/Rt , diventa | Zo | = | (Vac Rt )/Vac
|.
L’incertezza relativa, nel caso peggiore, è
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
0 ¯
¯ δZo ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ = ¯ δVac ¯ + ¯ δVac ¯ + ¯ δRt ¯
(4.8)
¯ Zo ¯
¯ Vac ¯ ¯ V 0 ¯ ¯ Rt ¯
ac
Esempio 4.2 Si vuole misurare alla frequenza di 1 kHz il modulo dell’impedenza dell’alimentatore dell’esempio 4.1. Progettare il banco di misura basando i calcoli sulle
seguenti assunzioni: 1) l’impedenza interna dell’alimentatore è 8 mΩ, 2) l’oscilloscopio ha incertezza del 3% dell’intera scala, 3) Rt è da 1 Ω, all’1%, 4) il voltmetro in
alternata ha fondo scala 5 V e classe 1.
L’alimentatore può erogare Imax = 10 A. Si sceglie una corrente di polarizzazione
Idc = Imax /2 = 5 A. La resistenza di carico è RL = Vdc /(Imax /2) = 4.8 Ω, arrotondata
2
al valore normalizzato 4.7 W. La potenza dissipata da RL è Pdc = Vdc
/RL ' 123 W.
Con il valore normalizzato di RL , la corrente di polarizzazione è Idc = Vdc /RL '
5.1 A. La dinamica è quindi 4.9 Apicco. Per tenere un ragionevole margine dalla saturazione, si sceglie una corrente di picco di 4 A, alla quale corrisponde Iac '
2.8 Arms .
Utilizzando un amplificatore audio, progettato per un’impedenza di uscita di 8 Ω, si
può scegliere Rac = 6.8 Ω, valore normalizzato. La potenza richiesta all’amplificatore è
2
Pac = (Rt + Rac ) Iac
' 62.4 W. Si cercherà allora un amplificatore da 80–100 W, la
cui potenza possa essere regolata.
Il condensatore può essere considerato un cortocircuito se la sua reattanza è XC =
1/(2πf C) ¿ Rt + Rac . Con f = 1 kHz, deve essere C À 20 µF.
Dai dati del problema, l’incertezza relativa di Rt è δRt /Rt = 1·10−2 . Con Iac =
0
2.8 A e Rt = 1 Ω la lettura attesa del voltmetro è Vac
' 2.8 V. L’incertezza assoluta
δV 0 = 50 mV è data dalla classe e dal fondo scala del voltmetro. L’incertezza relativa
0
0
è δVac
/Vac
= (50 mV)/(2.8 V) ' 1.8·10−2 .
Ad Iac = 2.8 A corrisponde una corrente picco-picco di 8 A. Con un’impedenza
dell’alimentatore | Zo | = 8 mΩ, la lettura attesa dell’oscilloscopio è di 64 mVpp . Si deve
quindi usare la scala 10 mV/div, che ha escursione di 80 mV (8 divisioni). L’incertezza
assoluta è allora 2.4 mV. Nel passaggio da tensione picco-picco a tensione efficace si
conserva l’incertezza relativa, che risulta δVac /Vac = δVpp /Vpp = (2.4 mV)/(64 mV) '
3.8·10−2 .
Applicando la (4.8), l’incertezza attesa della misura di impedenza, nel caso peggiore,
è
¯
¯ δZo
¯
¯ Zo
¯
¯
¯ =
¯
¯
¯ δVac
¯
¯ Vac
¯ ¯
0
¯ ¯ δVac
¯+¯
¯ ¯ V0
ac
¯ ¯
¯ ¯ δRt
¯+¯
¯ ¯ Rt
¯
¯
¯ ' 3.8·10−2 + 1.8·10−2 + 1·10−2 = 6.6·10−2
¯
§4.3
–
Misure in commutazione
41
4.3 Misure in commutazione
L’alimentatore ha all’interno un circuito di reazione basato su un anello di reazione
nel quale ciascuno stadio ha una propria dinamica. Cambiando rapidamente la corrente di carico, in alcuni alimentatori il segnale di errore può essere tale da saturare
momentaneamente uno o più stadi intermedi; la risposta dell’alimentatore presenta un
transitorio dovuto alla saturazione, di entità assai maggiore del transitorio in regime
lineare. La grandezza associata a questo fenomeno prende il nome di tempo di riassetto (“recovery time” in inglese), definito come il tempo che l’alimentatore impiega a
riportare la tensione d’uscita entro una fascia di semiampiezza ∆V centrata attorno
alla tensione media (figura 4.9).
Figura 4.9
Comportamento dell’alimentatore stabilizzato al transitorio di corrente.
La figura 4.10 riporta lo schema proposto per la misurazione. Il transistore, pilotato
da un generatore ad onda quadra, opera in saturazione/interdizione, in modo che la
corrente di carico sia determinata dalla sola RL . L’oscilloscopio deve essere usato con il
canale verticale accoppiato in ac e il trigger esterno ricavato dal generatore di segnali.
Nell’effettuare la misurazione si tenga presente quanto segue.
. Non con tutti gli alimentatori è possibile evidenziare il fenomeno.
. All’uscita dell’alimentatore si ripresenta il problema della misurazione a 4 fili.
. Ci si deve accertare che il transitorio osservato non sia dovuto ai cavi di collegamento. Allo scopo, si provi a variarne la disposizione e la lunghezza. Volendo fare una
stima approssimativa, un filo di lunghezza l presenta un’induttanza L = µo l ed una
capacità C = ε0 l; µ0 = 4π10−7 H/m ' 1.257 µH/m è la permeabilità magnetica
del vuoto, ε0 ' 8.85 pF/m è la costante dielettrica del vuoto.
42
4
Figura 4.10
–
Banco di misura del tempo di riassetto.
Lo schema di figura 4.10 consente anche la misurazione della resistenza interna dell’alimentatore, osservando all’oscilloscopio la differenza tra la tensione a vuoto e la tensione
sotto carico a transitorio esaurito. La corrente può essere stimata dai parametri del
circuito (tensione dell’alimentatore e resistenza di carico), ed eventualmente misurando la tensione di saturazione del transistore con l’oscilloscopio. In alternativa, si può
ricavare la corrente dalla lettura di un amperometro connesso in serie a RL e dal duty
cycle.
Capitolo 5
Voltmetri a doppia rampa
5.1 Principio di funzionamento
La figura 5.1 riporta lo schema a blocchi del voltmetro a doppia rampa, detto anche a
doppia integrazione. Il circuito di ingresso comprende amplificatori e attenuatori per
ottenere l’impedenza di ingresso desiderata e per il cambio di portata, ed eventuali
filtri. Nel seguito ci si occuperà esclusivamente della tensione Vx presente all’uscita di
questo stadio.
Figura 5.1
Schema di principio del voltmetro a doppia rampa.
La misurazione ha inizio con l’integratore scarico (Vi = 0) e l’uscita del monostabile
che commuta da 0 a 1. Il ciclo della misura si svolge in due fasi.
Durante la prima fase il commutatore è in posizione 1; la tensione all’uscita dell’integratore è
43
44
5
–
1
Vi = −
RC
Z
Vx dt
(5.1)
Questa prima parte del ciclo ha durata fissa T1 , determinata dal monostabile, a sua
volta legato all’oscillatore a quarzo. Il valore finale della tensione sull’integratore, per
Vx costante, è
Vi0 = −
1
T1 Vx
RC
(5.2)
Al termine del tempo T1 , il commutatore va in posizione 0. Nella seconda fase la
tensione all’uscita dell’integratore è
Z
1
Vr dt
(5.3)
Vi = Vi0 −
RC
Il ciclo termina quando il comparatore rivela la condizione Vi = 0. La seconda fase ha
durata T2 , funzione di Vx . La condizione Vi = 0 al termine della seconda fase implica
−
1
1
T 1 Vx −
T2 Vr = 0
RC
RC
(5.4)
da cui si ricava
Vx = −
T2
Vr
T1
(5.5)
Il contatore misura il rapporto T2 /T1 e dà la lettura in tensione.
Si osservi che Vx e Vr devono avere segni opposti per consentire all’integratore
di scaricarsi. Per misurare tensioni positive e negative il voltmetro deve avere due
riferimenti di tensione, o meglio due tensioni di segno opposto ricavate da un unico
riferimento; al termine della prima fase, si usa il riferimento che ha lo stesso segno di
Vi0 per scaricare l’integratore.
La figura 5.2 riporta le forme d’onda all’uscita dell’integratore e del monostabile per
diversi valori negativi di Vx .
5.2 Incertezze
Resistenza e condensatore
Nei passaggi che portano alla (5.5), i valori di R e C scompaiono. Di conseguenza R e
C non entrano nel bilancio delle incertezze di misura. In sede di progetto R e C non
possono essere scelti in modo completamente arbitrario. Si devono rispettare i vincoli
determinati dalla dinamica di uscita dell’integratore e dalle tensioni e correnti di offset.
Resistenza e condensatore possono avere fluttuazioni o derive, causando incertezze
o errori di misura. In questo si devono riscrivere la (5.1) e la (5.3) con R e C dentro il
segno di integrale, e procedere nei calcoli.
§5.2
–
45
Incertezze
Figura 5.2 Forme d’onda significative del voltmetro a doppia rampa, per Vx < 0 e Vr > 0.
Riferimento di tensione
Dalla (5.5), si ricava l’errore di lettura
δVx
δVr
=
Vx
Vr
(5.6)
Per gli errori sistematici, nell’attribuzione del segno di δVr si tenga presente che Vr ha
il ruolo di un campione.
Oscillatore a quarzo
L’oscillatore a quarzo che determina la lettura del contatore è lo stesso usato per
generare T1 . Entrambi T1 e T2 sono multipli interi del periodo Tc del riferimento di
frequenza. La (5.5) può essere riscritta come
Vx = −
N2 Tc
Vr
N1 Tc
(5.7)
dove N1 è il modulo di divisione interno al monostabile e N2 è il conteggio interno al
contatore. La lettura è indipendente da Tc , e quindi dalla frequenza dell’oscillatore,
purché essa resti costante. La precisione dell’oscillatore è comunque importante, ma
per altre ragioni legate all’immunità al rumore.
Ben diverso è il caso delle fluttuazioni di frequenza dell’oscillatore. Siano δT1 e δT2
gli errori di T1 e T2 conseguenti alle variazioni di frequenza. Dalle regole di propagazione
degli errori si ha
δT2
δT1
δVx
=
−
Vx
T2
T1
(5.8)
Per tempi di misura ragionevoli, dell’ordine di alcuni secondi al massimo, le incertezze
δT1 e δT2 possono essere fluttuazioni casuali. Volendo una descrizione probabilistica,
46
5
–
si ricordi che il rumore della misura è dato dalla statistica di (δT1 /T1 ) − (δT2 /T2 ), e
non da (δT2 /T2 ) e (δT1 /T1 ) presi separatamente. Poiché la stabilità di frequenza è più
facile da ottenere rispetto alle altre stabilità rilevanti ai fini della misurazione, in un
buon progetto le fluttuazioni dell’oscillatore hanno effetti trascurabili.
Risoluzione
Dalla (5.7), la lettura del voltmetro è
Vx = −
N2
Vr
N1
(5.9)
L’incertezza di quantizzazione (±1) si presenta solo nella determinazione di N2 , che è il
contenuto del registro del contatore di frequenza. La quantizzazione determina allora
un’incertezza di lettura δVx = (1/N1 )Vr , che è più conveniente riscrivere come
δVx =
Tc
Vr
T1
(5.10)
In uno strumento di buona qualità la risoluzione è però limitata dal rumore dei circuiti
analogici — qui non trattato — piuttosto che non dalla quantizzazione.
Commutatore
Il modello statico semplificato di un commutatore in tecnologia mos è rappresentato
in figura 5.3.
Figura 5.3
Modello semplificato di un commutatore mos.
R1 e R2 rappresentano le resistenze di canale per i due interruttori, in generale non
uguali. Sui data sheet dei componenti questa informazione viene presentata in modo
un po’ diverso, come resistenza nominale e asimmetria dei canali.
Per tener conto dell’asimmetria, si deve mettere R1 + R in luogo di R nella (5.1) e
R2 + R in luogo di R nella (5.3). Considerando l’asimmetria un’incertezza sistematica
di valore δR = |R1 − R2 |, e assumendo che R1 'R2 ¿R, si trova un’incertezza
δR
δVx
=
Vx
R
(5.11)
§5.2
–
Incertezze
47
Il generatore di corrente, il cui valore è la corrente di leakage dell’interruttore, è
da considerarsi in parallelo (quindi sommato) alla corrente di offset dell’operazionale
integratore.
Oset dell'integratore
La corrente Ios e la tensione Vos di offset dell’amplificatore operazionale possono essere
conglobate in un unico generatore di tensione V̌os = Vos + RIos in serie all’ingresso; qui
R assume il significato della resistenza equivalente vista dall’ingresso dell’integratore,
dovuta anche a componenti non indicati nello schema di principio di figura 5.1.
Nell’intervallo T1 la tensione V̌os è in serie a Vx . L’integratore si carica ad una tensione V10 = −(Vx − V̌os )T1 /(RC). Nell’intervallo T2 l’offset è in serie a Vr . L’integratore
si scarica con pendenza −(Vr − V̌os )/(RC) fino a zero. L’errore di lettura è quindi
µ
¶
T2
δVx = 1 +
V̌os
(5.12)
T1
Nella realtà, dopo le opportune compensazioni, V̌os è un’incertezza sistematica.
L’incertezza dovuta all’offset può essere eliminata modificando l’integratore come
in figura 5.4.
Figura 5.4
Integratore con compensazione dell’offset.
Il ciclo della misurazione si svolge in tre fasi. La prima (S1 chiuso, S2 , S3 e S4 aperti,
per una durata T1 ) e la seconda (S2 chiuso, S1 , S3 e S4 aperti, per una durata T2 ) sono
identiche a quelle delle figure 5.1 e 5.2. Nella terza fase (S3 e S4 chiusi, S1 e S2 aperti),
il condensatore Cz si carica a −Vos , azzerando la tensione di uscita dell’integratore. A
regime, Cz mantiene la memoria dell’offset annullandone l’effetto sulla misura.
Oset del comparatore
Come già per l’integratore, corrente Ios e tensione Vos di offset sono conglobate in un
unico generatore di tensione V̌os = Vos + RIos in serie all’ingresso del comparatore.
Il comparatore fa terminare il ciclo quando la tensione all’uscita dell’integratore è
V̌os . All’inizio del ciclo successivo, l’uscita dell’integratore ha ancora la stessa tensione.
48
5
–
Il risultato è quello di aumentare la tensione di uscita dell’integratore di un valore V̌os ,
costante per tutto il ciclo; nella figura 5.2, l’asse dei tempi risulterebbe traslato in basso
di una quantità V̌os . Il rapporto T2 /T1 non viene alterato; di conseguenza l’offset del
comparatore non causa errori di misura.
5.3 Reiezione dei disturbi
Per analizzare l’effetto dei disturbi si rappresenta il segnale di ingresso come
vx (t) = v x + ṽx (t)
(5.13)
dove v x è la componente continua e ṽx (t) rappresenta le componenti alternate a valor
medio nullo. Con un tempo di integrazione infinito la lettura del voltmetro è v x .
L’effetto di un tempo di integrazione T1 finito è un errore di misura
Z
1
δVx =
ṽx (t) dt
(5.14)
T1 T1
L’operazione di media (5.14) nel dominio delle trasformate di Fourier è equivalente ad
un filtro passa basso, la cui funzione di trasferimento è
H(f ) =
sin(πf T1 )
πf T1
(5.15)
Le caratteristiche salienti di H(f ) sono:
. la frequenza di taglio a –3 dB è f0 ' 0.442/T1 ,
. per f = k/T1 , con k intero positivo, H(f ) = 0,
. in scala bilogaritmica, l’inviluppo dell’attenuazione fuori banda ha pendenza di 20
dB/decade.
Il caso più interessante è rappresentato dal disturbo sinusoidale alla frequenza fac =
1/Tac della rete di alimentazione
√
ṽx (t) = Ap sin(2πfac t) = Arms 2 sin(2πfac t)
(5.16)
Si ammetta che il disturbo abbia fase casuale θ rispetto all’inizio del ciclo di misura.
Rappresentando T1 come T1 = nTac + δT1 , dove n è un intero, l’errore causato dal
disturbo è
δVx =
1
T1
Z
nTac
Ap sin(2πfac t + θ) dt +
0
1
T1
Z
nTac +δT1
Ap sin(2πfac t + θ) dt (5.17)
nTac
L’integrale di sinistra della (5.17) si annulla perché è calcolato su un numero intero di
periodi; l’errore è quindi dato dall’integrale di destra.
§5.4
–
Esempi di calcolo
49
Per ottenere, almeno idealmente, una completa reiezione dei disturbi di rete il
voltmetro deve avere T1 = nTac .
Nel caso peggiore, θ = 0 e δT1 = (1/2)Tac , l’errore è
δVx =
Tac Ap
π T1
(5.18)
Se si ammette che la condizione T1 = nTac sia soddisfatta a meno di un errore δT1 ¿
Tac /2π, si può trovare una descrizione statistica dell’incertezza di misura. La (5.17),
indicando con ∆Vx l’errore per evitare confusione, diventa
Z δT1
1
∆Vx =
Ap sin(2πfac t + θ) dt
(5.19)
T1 0
Per δT1 ¿Tac /2π, si ha sin(2πfac t + θ) ' sin θ, e quindi
∆Vx =
δT1
Ap sin θ
T1
(5.20)
L’incertezza δVx della misura (1σ) si ottiene calcolando la deviazione standard di ∆Vx
rispetto alla variabile casuale θ, uniformemente distribuita tra 0 e 2π; l’errore δT1 è
legato all’errore di frequenza del quarzo da (δT1 /T1 ) = (−δfc /fc ). Di conseguenza
l’incertezza della misura è
¯
¯
¯ δfc ¯
¯ Arms
¯
δVx = ¯
(5.21)
fc ¯
Il ragionamento può anche essere capovolto, trovando δT1 dall’incertezza della frequenza di rete e ammettendo che la frequenza fc del quarzo assuma il proprio valore
nominale.
Si osservi che, con gli adattamenti del caso, la reiezione dei disturbi è una proprietà
generale del processo di integrazione, e che essa si manifesta in tutti gli esperimenti che
comportano di integrare la misura di una grandezza in un opportuno tempo.
Esempio 5.1 Si vuole realizzare un voltmetro a doppia rampa come quello di figura
5.1, con fondo scala 10 V e tempo di integrazione T1 = 100 ms. Si ha a disposizione un
riferimento da 10 V e un amplificatore operazionale OP77G (offset tipico: Vos = 20 µV
e Ios = 100 pA). Progettare R e C per un offset ragionevolmente vicino al minimo
possibile.
In condizioni “normali” il miglior funzionamento dell’operazionale si ha con una
dinamica di ±10 V e con un’alimentazione di 15 V. Quindi si desidera |Vi0 | = 10 V con
Vx = 10 V (fondo scala). Questa condizione implica RC = 100 ms.
Per avere un condensatore di capacità ragionevole è opportuno avere un alto valore
di R. Tuttavia, per contenere l’offset, il valore della resistenza deve essere inferiore a
quello al quale contributi di tensione e corrente si uguagliano: Vos = Rmax Ios . Con i
dati dell’operazionale si ha Rmax = 200 kΩ. Scegliendo R = 100 kΩ, con T1 = 100 ms
si ha C = 1 µF.
50
5
–
Con R = 100 kΩ, si ha V̌os = Vos + R Ios = 30 µV. Utilizzando la (5.12), si ha
un’incertezza δVx compresa tra 30 µV, per Vx = 0 e T2 = 0, e 60 µV, per Vx = 10 V e
T2 = 100 ms.
Esempio 5.2 Con il circuito dell’esempio precedente, per leggere la tensione si usa un
contatore con frequenza di clock fc = 10 MHz. Calcolare l’incertezza di quantizzazione.
La (5.10) è immediatamente utilizzabile, con Tc = 1/fc = 100 ns. Quindi l’incertezza di quantizzazione è
δVx =
Tc
100 ns
Vr =
× 10 V = 10 µV
T1
100 ms
Si osservi che l’incertezza di quantizzazione è minore dell’incertezza dovuta all’offset
calcolata nell’esempio precedente.
Esempio 5.3 Il voltmetro dell’esempio 5.1 misura una tensione Vx = 6.3 V, alla quale
è sovrapposto un disturbo ṽx (t) ad onda quadra che ha frequenza fac attorno a 100 Hz
e ampiezza di 50 dB inferiore a Vx . Calcolare l’incertezza dovuta al disturbo nel caso
peggiore.
Per l’onda quadra i valori efficace e di picco coincidono; il disturbo, 50 dB inferiore
a 6.3 V, ha ampiezza di picco Ap ' 20 mV.
Il caso peggiore si ha quando T1 contiene esattamente un numero dispari 2n±1 di
semiperiodi del periodo Tac = 1/fac del disturbo. Nell’intorno di 100 Hz, questo si verifica per n = T1 /Tac = 10. Il semiperiodo del disturbo ha allora durata Tac /2 ' T1 /2n '
5 ms. Con ragionamento analogo a quello che ha portato alla (5.17), l’incertezza risulta
δVx =
1
T1
Z
ṽx (t) dt =
Tac /2
1
T1
Z
Ap dt =
Tac /2
(5 ms) × (20 mV)
= 1 mV
100 ms
L’incertezza relativa è δVx /Vx = (1 mV)/(6.3 V) ' 1.6·10−4 . Confrontando questo
risultato con l’ampiezza del disturbo, nelle condizioni proposte il processo di integrazione
comporta una reiezione di 26 dB del disturbo.
Capitolo 6
Voltmetri a conversione tensione/frequenza
6.1 Principio di funzionamento
La figura 6.1 riporta lo schema a blocchi del voltmetro a conversione tensione/frequenza,
detto anche a semplice integrazione. Il circuito di ingresso comprende amplificatori e
attenuatori per ottenere l’impedenza di ingresso desiderata e per il cambio di portata, ed eventuali filtri. Nel seguito ci si occuperà esclusivamente della tensione Vx
presente all’uscita di questo stadio. La figura 6.2 indica le forme d’onda alle uscite
dell’integratore e del monostabile, per tensioni di ingresso negative.
Figura 6.1
Schema di principio del voltmetro a conversione tensione/frequenza.
Esaurito il transitorio iniziale, l’impulso del monostabile parte quando il comparatore
rivela la condizione Vi = Vi0 e ha durata fissa T2 . L’integratore si scarica dalla tensione
Vi0 alla tensione Vi00 secondo l’equazione
¶
Z µ
1
Vx
Vr
00
Vi = −
+
dt + Vi0
(6.1)
C T2 R1
R2
51
52
6
–
Figura 6.2 Forme d’onda alle uscite del comparatore e del monostabile per il voltmetro
a conversione tensione / frequenza di figura 6.1.
Errata corrige: le pendenze indicate in figura sono sbagliate. Le pendenze sono −Vx /R1 C
(ascendente) e −Vx /R1 C − Vr /R2 C (discendente).
Terminato l’impulso, l’integratore si ricarica con legge
Z
Vx
1
dt + Vi00
Vi = −
C
R1
(6.2)
fino al raggiungere Vi = Vi0 , dove il comparatore fa ripartire il ciclo. Lo schema richiede
che Vx e Vr abbiano segni opposti. La combinazione delle (6.1) e (6.2), sviluppando gli
integrali per Vx e Vr costanti, porta a
µ
¶
1 Vx T1
Vx T2
Vr T2
−
+
+
= 0
(6.3)
C
R1
R1
R2
Con le sostituzioni T = T1 + T2 e f = 1/T si trova
Vx = −
R1 T2 Vr
f
R2
(6.4)
Quest’ultima formula dà la lettura di Vx in funzione della frequenza f misurata dal
contatore. Nei convertitori integrati, che hanno l’uscita in frequenza e quindi necessitano di un contatore esterno, è usuale che venga specificata la costante strumentale k
(dimensioni Hz/V), che fa riferimento alla relazione f = kVx .
Nella (6.4) si osservi che T2 Vr /R2 è la carica elettrica totale che il monostabile
fornisce all’integratore durante ogni impulso; poiché tale carica è uguale alla carica
fornita dalla sorgente Vx nell’intero periodo T , i convertitori di questo tipo sono detti
a bilanciamento di carica. Con tecniche integrate, sostituendo il monostabile e R2 con
una pompa di carica, si possono raggiungere incertezze dell’ordine di 10−5 del fondo
§6.2
–
Incertezze
53
scala con frequenze di 1–2 MHzfs.
6.2 Incertezze
Condensatore e resistenze
Nei passaggi che portano alla (6.4), il valore di C scompare; di conseguenza C non
entra nel bilancio delle incertezze di misura. In sede di progetto C non è arbitrario.
I vincoli da rispettare, che coinvolgono anche le resistenze R1 e R2 , sono legati alla
dinamica e alla velocità dell’operazionale integratore, e all’offset.
Gli errori delle resistenze R1 e R2 causano errori di misura
µ
¶
δVx
δR1
=
(6.5)
Vx δR1
R1
µ
δVx
Vx
¶
= −
δR2
δR2
R2
(6.6)
È conveniente che R1 e R2 siano del tipo a film su unico supporto, quindi accoppiate
in temperatura e con lo stesso coefficiente termico. In questo caso la deriva termica
dipende solo dalla differenza residua tra i due coefficienti di temperatura.
Resistenze e condensatore possono avere fluttuazioni o derive, causando errori o
incertezze di misura. In questo si devono riscrivere la (6.1) e la (6.2) con R e C dentro
il segno di integrale, e procedere nei calcoli.
Monostabile
Dalla (6.4), gli errori dovuti al monostabile causano errori
¶
µ
δVr
δVx
=
Vx δVr
Vr
µ
δVx
Vx
¶
=
δT2
δT2
T2
(6.7)
(6.8)
Comparatore e riferimento di tensione
La tensione di riferimento Vi0 si cancella nei passaggi che portano alla (6.4). Pertanto
un errore di Vi0 non entra nel bilancio delle incertezze, almeno finché l’errore è piccolo
rispetto alla dinamica dell’integratore, e quindi tale da non alterare il funzionamento
del circuito e l’effetto degli offset. L’offset del comparatore è in serie a Vi0 .
Analogamente a quanto fatto per il voltmetro a doppia integrazione, corrente Ios e
tensione Vos di offset dell’operazionale possono essere conglobate in un unico generatore
di tensione V̌os = Vos + RIos in serie all’ingresso. Per offset costante, (6.4) diventa
54
6
–
Vx − V̌os = −
R1 T2 (Vr − V̌os )
f
R2
(6.9)
L’errore di misura è quindi
µ
δVx =
1+
R1 T2 f
R2
¶
V̌os
Ricavando dalla (6.4) R1 T2 f /R2 = −Vx /Vr , l’errore può essere riscritto come
µ
¶
Vx
δVx = 1 −
V̌os
Vr
(6.10)
(6.11)
Nella realtà, dopo le opportune compensazioni, l’offset ha conseguenze che spesso risultano di entità inferiore alle incertezze dovute al comportamento dinamico dell’amplificatore operazionale (qui non considerato) e all’impulso di tensione del monostabile.
Non c’è quindi convenienza a tentare soluzioni di autoazzeramento come nel voltmetro
a doppia integrazione.
Contatore di frequenza
Un errore di lettura δf del contatore causa un errore di lettura del voltmetro dato da
δf
δVx
=
Vx
f
(6.12)
La (6.12) è direttamente applicabile per l’incertezza relativa della frequenza fc dell’oscillatore interno al frequenzimetro che misura f perchè (δf /f ) = (δfc /fc ).
Un contatore di frequenza (non un contatore che ricava la frequenza dal periodo)
con un tempo di misura τ ha incertezza di quantizzazione δf = 1/τ . In questo caso
dalla (6.4), si ricava la risoluzione
δVx =
R1 T2 |Vr |
R2 τ
(6.13)
6.3 Reiezione dei disturbi
Il convertitore tensione/frequenza in pratica funziona bene quando è “veloce”; le frequenze tipiche sono tra 100 kHz e alcuni megahertz a fondo scala. L’azione filtrante
che deriva dall’integrazione sul singolo ciclo di durata T è di scarsa utilità; a maggior
ragione perché T dipende da Vx , rendendo impossibile la reiezione dei disturbi di rete.
L’azione filtrante in realtà esiste, ma è di origine diversa.
Le fluttuazioni di Vx hanno l’effetto di una modulazione di frequenza all’uscita del
convertitore. Si assumerà che le fluttuazioni siano di piccola entità rispetto al valore
medio di Vx e lente rispetto alla frequenza di uscita del convertitore, in modo che per
la modulazione valga il modello della sola portante che si sposta in frequenza seguendo
il segnale modulante, con le bande laterali collassate nella portante.
§6.3
–
Reiezione dei disturbi
55
Il contatore misura la frequenza mediata sul tempo di gate τ , che contiene molti
cicli del convertitore tensione/frequenza. L’integratore integra Vx sia durante T1 sia
durante T2 ; trascurando i transitori delle commutazioni, Vx è integrata per l’intero ciclo
di durata T . Poiché i cicli sono contigui — senza tempi morti tra l’uno e l’altro — si
conclude che la (6.4) vale anche per la frequenza media f e la tensione media V x .
In conclusione, si possono ancora applicare i ragionamenti fatti per il voltmetro a
doppia rampa, ricordando che in questo caso il tempo di integrazione è τ in luogo di
T1 .
56
Capitolo 7
Ponte bolometrico
L’elemento sensibile, denominato bolometro, ha il comportamento di un resistore il cui
valore dipende dalla temperatura, e quindi dalla potenza dissipata. Nelle misure di
potenza non si sfrutta tanto la funzione di dipendenza della resistenza dalla temperatura, quanto il fatto che tale dipendenza esiste, e quindi il bolometro assume il valore
nominale di resistenza solo ad una specificata potenza.
Il metodo di misura è del tipo a sostituzione, nel quale si mantiene costante la
potenza totale dissipata dal bolometro, sia in presenza sia in assenza della potenza da
misurare, determinando quindi la potenza incognita per differenza. Per garantire che
la potenza totale dissipata assuma il valore nominale si misura il valore di resistenza
inserendo il bolometro in un ponte di Wheatstone.
7.1 Calcolo della potenza
Figura 7.1
Schema di principio del ponte bolometrico.
La figura 7.1 riporta lo schema di principio del ponte bolometrico.
applicando le regole elementari dell’elettrotecnica, si trova
57
Dal circuito,
58
7
µ
Vd =
–
Ponte bolometrico
R1
R3
−
R1 + R2
R3 + R4
¶
Va
(7.1)
Si analizzerà un caso particolare, nel quale le quattro resistenze del ponte sono nominalmente uguali. Allora le tre resistenze fisse sono R2 = R3 = R4 = R e il bolometro
assume il valore R1 = R (1 + α), dove α è la variazione relativa di resistenza dovuta
alla temperatura. La (7.1) diventa quindi
Vd =
α
Va
4
(7.2)
Quando la potenza totale dissipata dal bolometro assume il valore nominale, si ha
α = 0, R1 = R, e Vd = 0; il ponte è all’equilibrio.
La corrente di alimentazione I misurata dall’amperometro si ripartisce a metà tra
R2 e R4 . Essendo il ponte all’equilibrio, la corrente che attraversa il voltmetro è
nulla. Il bolometro è attraversato dalla corrente I/2 e dissipa una potenza P = RI 2 /4.
Sempre con il ponte all’equilibrio, in assenza di radiofrequenza si misura un valore di
corrente I1 . La potenza dissipata dal bolometro è dovuta alla sola alimentazione, e
vale P1 = R I12 /4.
Inserendo ora la potenza incognita Prf e riportando il ponte all’equilibrio, si misura
sull’amperometro una corrente I2 . La potenza in continua dissipata dal bolometro
è P2 = R I22 /4. Ammettendo che Prf rimanga tutta nel bolometro, per effetto di
opportuni filtri non indicati nello schema, la dissipazione totale nel bolometro è P2 +Prf .
La dissipazione totale di potenza nei due casi, con e senza Prf , è la stessa. Questo è
garantito dal fatto che il ponte è all’equilibrio in entrambi i casi: ad uguale resistenza
corrisponde uguale temperatura, e quindi uguale potenza totale. Questo permette di
calcolare la potenza a radiofrequenza Prf = P1 − P2 . Sostituendo le espressioni di P1 e
P2 si trova
Prf = R
I12 − I22
4
(7.3)
Procedimento di misura
L’operazione di misurazione, che discende direttamente dal calcolo della potenza, viene
fatta in tre fasi:
1. senza inserire Prf , si bilancia il ponte agendo sull’alimentazione; In questa situazione
la lettura del voltmetro è 0 V, mentre sull’amperometro si legge I1 ;
2. si inserisce il segnale a radiofrequenza e si riduce la tensione di alimentazione del
ponte fino a quando il ponte si riequilibra. La lettura del voltmetro è ancora 0 V,
mentre quella dell’amperometro è I2 ;
3. valendosi della relazione (7.3), si calcola Prf .
Nella pratica, è conveniente ridurre l’alimentazione del ponte prima di inserire Prf per
evitare di sovraccaricare il bolometro.
§7.1
–
Calcolo della potenza
59
Dinamica di ingresso
Poiché la resistenza del bolometro dipende dalla potenza dissipata totale, è possibile
ottenere l’adattamento di impedenza all’ingresso a radiofrequenza solo ad una ben
determinata potenza, che è la potenza nominale P1 del bolometro. Questa è anche la
massima Prf che può essere misurata.
In pratica la dinamica risulta un po’ inferiore. Se Prf si avvicina a P1 , l’equilibrio del
ponte si raggiunge con una piccola P2 . Questo comporta di ridurre troppo Va passando
dalla misura a vuoto alla misura con Prf , rendendo difficile rilevare l’equilibrio. Se ad
esempio Prf = 0.9 P1 , si ha P2 = 0.1 P1 , il che comporta di ridurre Va a circa un terzo
del valore iniziale; con una Prf ancora maggiore, Va si annulla rapidamente.
Tensione dierenziale
La tensione differenziale sul ponte ha, in funzione della tensione di alimentazione, una
caratteristica del tipo qualitativamente indicato in figura 7.2. Il comportamento, al
crescere della tensione di alimentazione, si giustifica come segue.
Figura 7.2 Tensione differenziale del ponte bolometrico al variare della tensione di
alimentazione.
. Nella regione I il bolometro rimane sostanzialmente “freddo”, quindi presenta una
resistenza inferiore a quella nominale (α < 0). Il ponte è quindi squilibrato e la
tensione differenziale è negativa, proporzionale alla tensione di alimentazione.
. Nella regione II il bolometro è ancora freddo (α < 0), ma si avvicina alla temperatura nominale. L’effetto termico (proporzionale a Va2 ) contrasta l’effetto elettrico
dato dall’equazione (7.2); la combinazione dei due porta il ponte verso l’equilibrio.
. Nella regione III il bolometro è scaldato eccessivamente, e assume un valore di
resistenza più alto di quello nominale. Gli effetti termico ed elettrico contribuiscono
a squilibrare il ponte nella stessa direzione.
Il ponte è all’equilibrio anche per Va = 0 V. Questa condizione tuttavia è assolutamente
priva di utilità pratica.
60
7
–
Ponte bolometrico
7.2 Bolometro
Il bolometro sfrutta la caratteristica dei metalli di aumentare la propria resistenza
con il crescere della temperatura. L’elemento sensibile assume quindi la forma di un
filamento metallico al quale viene fatta dissipare sia la potenza in continua sia la potenza
incognita.
La figura 7.3 propone due realizzazioni alternative. In entrambi i casi, almeno nella
gamma di frequenze per cui il bolometro è progettato, gli induttori sono cortocircuiti
per la continua e circuiti aperti per la radiofrequenza; viceversa i condensatori sono
circuiti aperti per la continua e cortocircuiti per la radiofrequenza. Cosı̀ la radiofrequenza è confinata sui resistori, mentre la continua di alimentazione non interessa il
circuito di ingresso.
Figura 7.3
Schemi di principio dei montaggi bolometrici.
Nello schema di destra si usano due elementi resistivi uguali R10 e R100 , in serie per la
corrente continua, e in parallelo per il segnale a radiofrequenza. L’impedenza d’ingresso
è Zrf = (1/2)R10 . La resistenza in continua, che ha il ruolo di R1 nello schema di figura
7.1, è 2R10 . A parità di Zrf e di potenza, lo schema di destra richiede una tensione
continua maggiore per un fattore 2 rispetto all’altro schema, con il vantaggio di rendere
più sensibile la rivelazione di zero del ponte.
I bolometri per radiofrequenza hanno solitamente la potenza nominale compresa tra
alcuni milliwatt e alcune decine di milliwatt; per potenze superiori, si devono utilizzare
attenuatori calibrati.
I metodi qui esposti si basano su effetti termici, e pertanto si prestano a misurazioni
di potenza in tutto lo spettro elettromagnetico, fino a frequenze ottiche, con trasduttori
realizzati opportunamente.
7.3 Incertezze ed errori sistematici
7.3.1 Amperometro
Differenziando la (7.3) rispetto a I1 e I2 si trovano i contributi di errore dell’amperometro
§7.3
–
61
Incertezze ed errori sistematici
1
R I1 δI1
2
1
= − R I2 δI2
2
(δPrf )δI1 =
(7.4)
(δPrf )δI2
(7.5)
Assegnando a δI1 e δI2 il ruolo di incertezze di tipo B, tipiche dell’amperometro, nel
caso peggiore si ha
δPrf =
1
R (I1 δI1 + I2 δI2 )
2
(7.6)
Se l’amperometro è di tipo analogico, caratterizzato dalla stessa incertezza assoluta in
tutta la scala (δI1 = δI2 = δI), la (7.6) diventa
δPrf =
1
R (I1 + I2 ) δI
2
(7.7)
Gli stessi ragionamenti valgono assegnando a δI il ruolo di risoluzione.
Esempio 7.1 Si sta misurando una Prf incognita con un ponte bolometrico costituito
da tre resistori da 200 Ω e un bolometro; quest’ultimo ha resistenza di 200 Ω quando
dissipa la potenza nominale di 20 mW. Le due letture dell’amperometro, che ha classe
1.5 e fondo scala 20 mA, sono I1 = 20 mA e I2 = 12 mA. Calcolare Prf e l’incertezza
relativa.
La potenza si calcola direttamente applicando la (7.3)
Prf = R
(20 mA)2 − (12 mA)2
I12 − I22
= 200 Ω ×
= 12.8 mW
4
4
La classe dell’amperometro si traduce in un’incertezza assoluta δI = 300 µA, uguale per
le due misure di corrente. Si può quindi applicare la (7.7)
δPrf =
1
1
R (I1 + I2 ) δI =
× 200 Ω × (20 mA + 12 mA) × 300 µA = 960 µW
2
2
L’incertezza relativa è δPrf /Prf = (960 µW)/(12.8 mW) = 7.5·10−2 .
7.3.2 Voltmetro
Attorno alla potenza nominale del bolometro, e quindi all’equilibrio del ponte, si definiscono le sensibilità assoluta S, con dimensioni W/W, e la sensibilità relativa s, con
dimensioni W−1
S =
∂R
∂P
s =
1 ∂R
R ∂P
(7.8)
62
7
–
Ponte bolometrico
La variazione relativa α di resistenza del bolometro è legata all’errore di misura della
potenza da α = s δP = (S/R)δP .
Volendo considerare gli effetti di un errore δVd del voltmetro, la (7.2) diventa δVd =
(1/4) α Va . Sostituendo l’espressione di α, si trova
δVd =
1 S
Va δP
4 R
(7.9)
Ricavando δP da quest’ultima relazione, con la sostituzione Va = RI, si ottiene
δP =
4
δVd
SI
(7.10)
La misurazione della potenza comporta di equilibrare il ponte due volte, a vuoto e con
la radiofrequenza. Poiché il voltmetro è usato per rivelare Vd = 0, è ragionevole che
la risoluzione δVd sia la stessa in entrambi i casi. Di conseguenza la (7.10) interviene
nella determinazione sia di P1 sia di P2 .
Assegnando a δVd il significato di risoluzione del voltmetro, e considerando il caso
peggiore, si trova il contributo del voltmetro alla risoluzione di misura della potenza
δPrf =
4
4
δVd +
δVd
SI1
SI2
(7.11)
Se la risoluzione è data da fluttuazioni delle letture, due contributi delle misure di
equilibrio si sommano in senso statistico.
Assegnando a δVd il ruolo di errore sistematico, e ricordando che Prf è stata ottenuta
come P1 − P2 , si trova l’errore sistematico della misura
µ
¶
4
1
1
δPrf =
−
δVd
(7.12)
S I1
I2
Questo risultato non deve sorprendere. Infatti, anche se l’errore di tensione è lo stesso
nelle due misure di equilibrio, la sensibilità del ponte è diversa nei due casi perché,
inserendo la radiofrequenza, si è ridotta la tensione di alimentazione.
Se si conosce solo il valore massimo di δVd , che comunque resta costante, l’errore
espresso dalla (7.12) assume il significato di incertezza sistematica.
Esempio 7.2 Con i dati dell’esempio 7.1, la sensibilità del bolometro è S = 4.7 kΩ/W;
il voltmetro presenta fluttuazioni di 2 mVrms . Calcolare l’incertezza relativa della misura.
I contributi di incertezza, calcolati con la (7.10), sono
δP1 =
4
4
δVd =
× 2 mV ' 85 µW
SI1
4700 Ω/W × 20 mA
δP2 =
4
4
δVd =
× 2 mV ' 142 µW
SI2
4700 Ω/W × 12 mA
Essendo le fluttuazioni espresse in valore rms, i relativi contributi devono essere sommati in senso statistico
§7.4
–
Ponte a sostituzione in bassa frequenza
δPrf =
p
63
(δP1 )2 + (δP2 )2 ' 165 µW
L’incertezza relativa è δPrf /Prf = (165 µW)/(12.8 mW) ' 1.3·10−2 .
Esempio 7.3 Con i dati degli esempi 7.1 e 7.2, il voltmetro presenta un errore sistematico δVd = +10 mV. Calcolare l’errore sistematico relativo della misura.
Applicando direttamente la (7.11), si ha
δP1 =
4
4
δVd =
× 10 mV ' 425 µW
SI1
4700 Ω/W × 20 mA
δP2 =
4
4
δVd =
× 10 mV ' 709 µW
SI2
4700 Ω/W × 12 mA
δPrf = δP1 − δP2 ' −284 µW
L’errore sistematico relativo è δPrf /Prf = (−284 µW)/(12.8 mW) ' −2.2·10−2 .
Altre cause di errore o incertezza
Per problemi di adattamento di impedenza, al bolometro non arriva tutta la potenza
disponibile della sorgente. Normalmente si conosce la perdita di potenza, o il rapporto
di onde stazionarie, che permettono di correggere la misura. In questo passaggio c’è
un’incertezza residua.
7.4 Ponte a sostituzione in bassa frequenza
Il principio della sostituzione della potenza per riequilibrare il ponte bolometrico può
essere applicato anche con un’alimentazione mista, in continua e in bassa frequenza,
come in figura 7.4.
Il generatore di corrente alternata eroga un segnale a bassa frequenza, dell’ordine delle
centinaia di hertz, che nel bolometro si comporta come una corrente continua. Il
condensatore e l’induttore sono rispettivamente un cortocircuito ed un circuito aperto
per il segnale a bassa frequenza.
Il funzionamento e le modalità d’uso sono del tutto analoghe a quelle del ponte
alimentato in continua. La differenza principale sta nel fatto che per equilibrare il
ponte si agisce unicamente sull’ampiezza del segnale a bassa frequenza.
Indicando con I1 e I2 i valori efficaci della corrente di bassa frequenza, il bolometro
2
/4 in assenza di radiofrequenza e P2 + Prf con la radiofredissipa P1 = RI12 /4 + RIdc
2
/4. Uguagliando le potenze dissipate nei
quenza inserita, essendo P2 = RI22 /4 + RIdc
due casi, e sotto l’ipotesi che Idc sia la stessa, si trova ancora
Prf = R
I12 − I22
4
(7.13)
Lo schema a sostituzione in bassa frequenza presenta, rispetto a quello di figura 7.1,
almeno due vantaggi qui descritti.
64
7
–
Ponte bolometrico
Figura 7.4 Schema di principio del ponte bolometrico con riequilibrio in bassa frequenza.
. La rivelazione dell’equilibrio, fatta con un voltmetro in alternata, è virtualmente
immune da problemi legati all’offset, e pertanto più sensibile della rivelazione in
continua.
. Scegliendo opportunamente il valore della corrente continua, il ponte può essere fatto lavorare solo nelle regioni II e III del grafico di figura 7.2, dove la pendenza non
cambia segno. Con un rivelatore sincrono, che dà anche il segno, la tensione differenziale può essere facilmente utilizzata per controllare la corrente di alimentazione,
realizzando un ponte ad equilibrio automatico.
Capitolo 8
Misure alla risonanza
8.1 Risonatori
Il risonatore ideale è costituito da un induttore L e da un condensatore C che si scambiano l’energia. In un risonatore reale vi sono delle perdite di potenza dovute all’induttore, al condensatore e ad un eventuale resistore esterno. E’ d’uso conglobare tutte
le cause di perdita in un unico resistore in serie o in parallelo (figura 8.1), supponendo
che questo sia di valore costante. Quest’ultima ipotesi non corrisponde alla realtà in
generale, ma è lecita in questo caso perché l’interesse è focalizzato sulla risonanza, in
un ristretto intervallo di frequenza.
Figura 8.1
Risonatore parallelo e risonatore serie.
L’impedenza del risonatore è Z = R + jX = |Z| ejϕ . Nel seguito si useranno inoltre
le definizioni:
. frequenza e pulsazione di risonanza
f0 =
1
√
2π L C
ω0 = √
65
1
LC
(8.1)
66
8
–
. resistenza caratteristica Rc del risonatore che, omettendo i pedici p e s, vale
r
1
L
= ω0 L =
(8.2)
Rc =
C
ω0 C
. dissonanza χ

ω
ω0
f
f0


ω − ω = f − f
0
0
χ =

2 (ω − ω0 )
2 ∆ω
2 ∆f


=
=
ω0
ω0
f0
. fattore di merito Q

Rp
Rp


= ω0 Cp Rp =

ω0 Lp
Rc
Q =

1
Rc
ω
L

 0 s =
=
Rs
ω0 Cs Rs
Rs
in generale
(8.3)
per ω ' ω0
per il risonatore parallelo
(8.4)
per il risonatore serie
. una variabile α, legata allo scarto di frequenza
α = Qχ
(8.5)
L’impedenza può essere rappresentata (figura 8.2) come
|Zp | = √
Rp
1 + α2
ϕp = − arctan α
(8.6)
(8.7)
per il risonatore parallelo, e
|Zs | = Rs
p
1 + α2
ϕs = arctan α
(8.8)
(8.9)
per il risonatore serie.
Alla frequenza di risonanza si verifica che:
. la reattanza, e quindi la suscettanza, del condensatore e dell’induttore sono uguali
in modulo e opposte in segno; sono quindi rappresentabili come fasori antiparalleli;
. il modulo dell’impedenza ha un massimo per il risonatore parallelo e un minimo
per il risonatore serie;
§8.1
–
67
Risonatori
Figura 8.2 Modulo e fase dell’impedenza di due risonatori con Q = 10. A sinistra:
risonatore parallelo. A destra: risonatore serie.
. la fase si annulla, quindi l’impedenza e l’ammettenza sono puramente reali;
. il risonatore può essere assimilato ad un resistore che dissipa l’intera potenza fornita
dal generatore. Il valore è Rp per il risonatore parallelo, Rs per il risonatore serie.
Nell’intorno della frequenza di risonanza, può talvolta essere conveniente ricorrere ai
modelli misti serie/parallelo di figura 8.3, validi orientativamente per Q > 10 in quanto
contengono errori dell’ordine di 1/Q2 .
Tra un risonatore serie ed uno parallelo, con la stessa frequenza di risonanza e con le
stesse perdite, nell’intorno della frequenza di risonanza valgono le relazioni di equivalenza riportate nella tabella 8.1. Se Q è determinato dalle perdite di più di un componente,
ciascuno dei quali ha fattore di merito Qi , si ha
X 1
1
=
Q
Qi
i
Al fattore di merito Q si possono assegnare i seguenti significati:
(8.10)
68
8
–
Figura 8.3 Modelli misti del risonatore per Q≥10. Per i modelli con due resistori vale
Rs0 + Rs00 = Rs e 1/Rp0 + 1/Rp00 = 1/Rp .
. fattore di sovratensione o di sovracorrente
 corrente in L o C

per il risonatore parallelo


 corrente in Rp
Q =



 tensione su L o C per il risonatore serie
tensione su Rs
. fattore di sovrapotenza
Q =
potenza reattiva
potenza attiva
. larghezza di banda. Con riferimento alla figura 8.2, la banda B, per la quale il
modulo dell’impedenza o dell’ammettenza si attenua di 3 dB e la fase si discosta
da zero di ±45◦ , è legata a Q da
Q =
f0
B
(8.11)
. tempo di smorzamento. Sempre con riferimento alla figura 8.4, la risposta all’impulso del risonatore risulta attenuata di 1 neper (–1 np corrisopnde ad un fattore 1/e
in scala lineare) rispetto al valore iniziale dopo un tempo τ nel quale l’oscillazione
compie Q/π cicli di periodo T0 = 1/f0 ; essendo τ = Q T0 /π, si ha
Q = π τ f0
(8.12)
§8.2
–
69
Q-metro
Conversioni tra modelli serie e parallelo del risonatore
Uso
Formule
generali
Rs =
Per trovare
i parametri
serie
Formule
per Q > 10
Rp
1 + Q2
Rs '
Rs ' Rp
Xs = Xp
Q2
1 + Q2
Xs ' Xp
Xs ' Xp Q2
Ls = Lp
Q2
1 + Q2
Ls ' Lp
Ls ' Lp Q 2
Cs = Cp
1 + Q2
Q2
Cs ' Cp
Rp = Rs (1 + Q2 )
Per trovare
i parametri
parallelo
Rp
Q2
Formule
per Q < 0.1
Rp ' Rs Q2
Cs '
Cp
Q2
Rp ' Rs
Xp = Xs
1 + Q2
Q2
Xp ' Xs
Xp '
Xs
Q2
Lp = Ls
1 + Q2
Q2
Lp ' Ls
Lp '
Ls
Q2
Cp = Cs
Q2
1 + Q2
Cp ' Cs
Cp ' Cs Q 2
Tabella 8.1
8.2 Q-metro
Il Q-metro è uno strumento per radiofrequenza — usato tipicamente fino ad alcune
centinaia di megahertz — che consente di misurare il fattore di merito, induttanze,
capacità e reattanze in genere, sfruttando il fenomeno della risonanza serie. Lo schema
è riportato in figura 8.5.
L’oscillatore sinusoidale, regolabile in frequenza e in ampiezza, è caricato da un
resistore R ¿ Rg ; in pratica R può essere realizzato con una pastiglia di carbonio con
70
8
Figura 8.4
–
Risposta normalizzata del risonatore all’impulso.
Figura 8.5
Schema di principio del Q-metro.
valore di resistenza di 10–100 mW, di piccole dimensioni in modo che non presenti induttanza apprezzabile. L’insieme partitore/oscillatore può essere rappresentato come
un generatore (quasi) ideale di tensione. A questo proposito si deve osservare che in
pratica, a causa delle capacità parassite del circuito, il generatore di tensione rappresenta una scelta obbligata, mentre un generatore di corrente sarebbe improponibile; è
principalmente per questa ragione che non si utilizza la risonanza parallelo.
La possibilità di regolare la frequenza in una vasta gamma assume un’importanza
particolare perché i modelli dei componenti a radiofrequenza sono validi solo entro un
certo intervallo di frequenza. Si consideri ad esempio un tipico induttore. Alle frequenze
più basse, le perdite di potenza sono determinate essenzialmente dalla resistenza del
rame, che è in serie a L; per R e L costanti, dalla (8.4) risulta Q∝f . A frequenze più alte,
la dissipazione è dovuta all’effetto pelle, e comporta una riduzione di Q con l’aumentare
della frequenza. Ne risulta che Q presenta un massimo ad una data frequenza. Inoltre
esiste un effetto di autorisonanza dell’induttore sulla capacità parassita interspire. La
combinazione di questi fenomeni, difficile da valutare per via teorica, normalmente
richiede una misurazione alla frequenza di impiego del dispositivo.
Il condensatore Cv ha una scala graduata che tiene conto anche delle capacità
parassite.
§8.2
–
Q-metro
71
L’amperometro, del tipo a termocoppia, misura la corrente a radiofrequenza, e
quindi la tensione su R, che ha valore noto.
Il voltmetro è del tipo a valore di picco. Questo tipo di strumento è preferibile
rispetto ad altri per l’alta impedenza e la bassa capacità di ingresso, e perché risulta più
adatto alle frequenze in gioco; d’altronde, trattando esclusivamente segnali sinusoidali,
altri tipi di voltmetri non presenterebbero alcun vantaggio.
Nell’uso normale, si regola la corrente erogata dal generatore in modo che essa
assuma il valore nominale per lo strumento; questa regolazione in generale è necessaria
se la potenza di uscita del generatore varia con la frequenza. Poi, alla risonanza, si
legge direttamente Q su un’apposita scala del voltmetro.
La (8.10) può essere utilizzata per calcolare il Q del componente sotto misura,
rimuovendo le limitazioni del Q-metro e dell’eventuale induttore esterno di riferimento.
Rilevare il valore di f o di Cv alla risonanza cercando il massimo della lettura del
voltmetro è di scarsa utilità perché l’ampiezza ha un massimo, con derivata nulla rispetto alla grandezza da misurare. Risulta pertanto più conveniente alterare la sintonia del
circuito e leggere f o Cv come media tra i valori rilevati con la lettura del voltmetro 3
dB inferiore alla massima. Questo metodo è detto a forchetta.
8.2.1 Misure di capacità
Si inserisce un induttore stabile e di valore adeguato ai morsetti “coil”, e si regola Cv per
portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata; si legge un valore di capacità
Cv = C1 . Poi si inserisce il condensatore incognito ai morsetti “cap” e, agendo sui Cv
(senza cambiare la frequenza), si riporta il circuito alla risonanza; si legge Cv = C2 .
La capacità incognita è data da
Cp = C1 − C2
(8.13)
La massima capacità misurabile è limitata dall’escursione di Cv .
8.2.2 Misure di induttanza
Si inserisce l’induttore ai morsetti “coil” e si regola Cv per portare il circuito alla
risonanza alla frequenza desiderata; letto il valore di capacità, l’induttanza incognita è
data da
L =
1
ω2 C
(8.14)
Il campo di induttanze misurabili è limitato dall’escursione di Cv .
8.2.3 Misure di impedenza con inserzione in parallelo
Questa modalità di uso è adatta alla misurazione di impedenze di valore “alto”, ivi
comprese le induttanze troppo grandi per poter essere misurate con l’inserzione in
serie.
Si inserisce un induttore campione, quindi di valore noto e stabile, ai morsetti “coil”,
e si regola Cv per portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata senza
l’impedenza incognita Zx ; si leggono i valori Cv = C1 e Q = Q1 . Poi si inserisce Zx ai
72
8
–
morsetti “cap” e, agendo su Cv (senza cambiare la frequenza), si riporta il circuito alla
risonanza; si leggono i valori Cv = C2 e Q = Q2 . I parametri parallelo di Zx possono
essere calcolati con le formule della tabella 8.2, colonna di sinistra, ed eventualmente
convertiti in parametri serie utilizzando le formule della tabella 8.1.
8.2.4 Misure di impedenza con inserzione in serie
Questa modalità di uso è adatta alla misurazione di impedenze di valore “basso”,
ivi comprese le capacità troppo grandi per poter essere misurate con l’inserzione in
parallelo.
Si inserisce Zx in serie ad un induttore campione ai morsetti “coil”. Si cortocircuita
Zx e si regola Cv per portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata; si
leggono i valori Cv = C1 e Q = Q1 . Poi si apre il cortocircuito su Zx e, agendo sui
Cv (senza cambiare la frequenza), si riporta il circuito alla risonanza; si leggono i valori
Cv = C2 e Q = Q2 . I parametri serie di Zx possono essere calcolati con le formule
della tabella 8.2, colonna di destra, ed eventualmente convertiti in parametri parallelo
utilizzando le formule della tabella 8.1.
La pratica di cortocircuitare Zx è utile per non alterare la posizione dei componenti,
cosa che potrebbe causare errori dovuti alle variazioni di capacità parassite.
Se il voltmetro è del tipo con condensatore in serie, è necessario che Zx lasci passare
la corrente continua; eventualmente si aggiunga in parallelo a Zx un induttore che
presenti impedenza virtualmente infinita nelle condizioni della misura.
8.3 Altri schemi di misura
L’idea di abbattere la resistenza dell’oscillatore con un partitore resistivo è utilizzabile
anche per realizzare un banco di misura con strumenti separati (generatore di segnali
e voltmetro o oscilloscopio) con uno schema del tutto simile a quello di figura 8.5.
Un altro schema utile è quello di figura 8.6. R1 e R2 provvedono all’adattamento di
impedenza verso il generatore, e ad abbattere l’impedenza di quest’ultimo; se R1 ¿R2 e
R2 'Rg , il generatore risulta comunque adattato, indipendentemente dal valore di Zx .
R3 e R4 assolvono un compito analogo verso il voltmetro vettoriale.
Per R1 ¿R2 e R3 ¿R4 , il risonatore vede R1 + R3 . Per non alterare significativamente
il Q del risonatore, deve essere R1 + R3 ¿ Rs .
Questo schema consente anche la misura di fase, che alla risonanza ha la massima
derivata rispetto alle variazioni di frequenza (figura 8.2). In una versione semplificata,
è possibile usare un oscilloscopio in luogo del voltmetro vettoriale.
Per risonatori ad alto Q, quindi a banda stretta, è necessario sostituire il generatore di segnali con un sintetizzatore per avere la necessaria risoluzione e stabilità di
frequenza.
Esempio 8.1 Si sta usando un Q-metro per misurare un condensatore di piccola ca-
pacità Cx (quindi con inserzione in parallelo) alla frequenza di 20 MHz, con un induttore campione da 0.5 µH inserito ai morsetti coil. Senza Cx alla risonanza si legge
C1 = 127 pF; con Cx si legge C2 = 79 pF. Sapendo che la scala del condensatore
variabile ha risoluzione di 0.5 pF, calcolare Cx e la risoluzione della misura.
§8.4
–
73
Esempi di calcolo
Formule di calcolo dell’impedenza
Inserzione in parallelo
Q=
Q1 Q2 |C2 − C1 |
C1 (Q1 − Q2 )
Rp =
Q1 Q2
ω C1 (Q1 − Q2 )
Inserzione in serie
Q=
Q1 Q2 |C1 − C2 |
|C1 Q1 − C2 Q2 |
C1
Q1 − Q2
C
Rs = 2
ω C1 Q1 Q2
Xp =
1
ω (C2 − C1 )
Xs =
C1 − C2
ω C 1 C2
Lp =
1
ω 2 (C2 − C1 )
Ls =
C1 − C2
ω 2 C1 C2
Cs =
C1 C2
C2 − C1
Cp = C1 − C2
C2 − C1 > 0 ⇒ reattanza induttiva
C2 − C1 < 0 ⇒ reattanza capacitiva
C2 − C1 > 0 ⇒ reattanza capacitiva
C2 − C1 < 0 ⇒ reattanza induttiva
Q1 e C1 sono rilevati alla risonanza senza l’impedenza incognita
Q2 e C2 sono rilevati alla risonanza con l’impedenza incognita
Tabella 8.2
Dalla tabella a pagina 73 si trova Cx = C1 − C2 . Quindi Cx = (127 pF) − (79 pF) =
48 pF.
La risoluzione della misura è δCx = δC1 +δC2 = 2×(0.5 pF) = 1 pF. La risoluzione
relativa è δCx /Cx = (1 pF)/(48 pF) ' 0.02.
74
8
Figura 8.6
–
Schema di misura dei parametri serie di un risonatore.
Capitolo 9
Esercitazione di uso dell'oscilloscopio
Alcune delle esperienze proposte sono banali, nel senso che richiedono una elementare
dimestichezza con i comandi dell’oscilloscopio, che però non tutti hanno. Altre richiedono
di familiarizzare con alcune modalià di uso meno frequente. Altre ancora comportano
di abbandonare — almeno momentaneamente — la superficialità con cui molti sperimentatori, anche esperti, usano l’oscilloscopio. Lo scopo è comunque di costringere lo
sperimentatore a provare, almeno una volta, “tutti” i comandi dell’oscilloscopio.
Come sorgente si utilizza il generatore di segnali (appendice A 1). Le forme d’onda
sono contrassegnate con una lettera ed un numero, indicando con la lettera l’uscita del
generatore e con il numero la forma d’onda. Ad esempio B4 significa: forma d’onda n.
4 all’uscita B. In alcuni casi, chiaramente specificati, si usa un generatore di funzioni.
Traccia
Utilizzare il segnale A0. Mettere il canale di ingresso in posizione gnd, in modo da visualizzare solo una linea orizzontale, e centrare la traccia rispetto allo schermo. Riportare
l’ingresso in posizione accoppiamento (ac).
Regolare l’oscilloscopio per visualizzare una sola traccia, in modo che un periodo
del segnale occupi la maggior parte possibile dello schermo, sia in orizzontale sia in
verticale (senza scalibrare gli assi).
Ampiezza
Utilizzare il segnale A0. Misurare l’ampiezza del segnale; usare anche i cursori se
disponibili.
Valutare l’incertezza assoluta e relativa della misura. La misurazione dell’ampiezza
picco-picco è più agevole e precisa rispetto a quella dell’ampiezza di picco. Perché?
Verificare l’effetto del comando uncal sul canale Y1, e riportare lo strumento in
posizione normale, con il canale calibrato.
Periodo e frequenza
Utilizzare il segnale A0. Misurare la frequenza del segnale dalla durata del periodo.
Usare anche i cursori se disponibili.
75
76
9
–
Esercitazione di uso dell’oscilloscopio
Sovraccaricando il canale di ingresso dell’oscilloscopio la traccia esce dallo schermo,
ma gli attraversamenti per lo zero sono più ripidi, e quindi meglio identificabili. La
traccia è ancora centrata verticalmente?
Valutare l’incertezza assoluta relativa della misura di periodo, e riportarla sulla
misura di frequenza. Nelle misure di tempo l’incertezza è definita in modo analogo a
quello visto per l’ampiezza.
Provare l’effetto del comando uncal sulla base dei tempi principale (A). Perché non
è più possibile misurare la frequenza?
Al termine, riportare il guadagno in posizione tale da visualizzare l’intero segnale,
e la base tempi in posizione normale.
Scale e risoluzione
Quale è la risoluzione, in tempo e in ampiezza, dell’oscilloscopio regolato come al paragrafo Traccia? Quali sono i guadagni del canale verticale e le velocità di scansione
massimi e minimi dello strumento disponibile?
Duty cycle
Utilizzare il segnale B4 e misurare il duty cycle del segnale. Poichè si deve misurare
un rapporto di tempi e non un tempo singolo, può essere conveniente scalibrare la base
dei tempi in modo che il segnale occupi l’intera estensione orizzontale dello schermo.
Di quanti quadretti si sposta verticalmente la traccia, e in che direzione, passando
dall’accoppiamento dc all’accoppiamento ac? Calcolare prima di verificare.
Trigger
Utilizzare il segnale A4 collegato al canale Y1 dell’oscilloscopio. Verificare che la sorgente di trigger sia il canale Y1. Provare l’effetto dei comandi slope e level del trigger.
dell’oscilloscopio.
Predisporre ora la sorgente di trigger sul canale Y2. Perché non si riesce a tenere
ferma la traccia agendo sul livello e sulla pendenza del trigger?
Osservare la differenza di comportamento dell’oscilloscopio quando il trigger è in
modo auto e norm usando come sorgente sia il canale Y1 sia il canale Y2, provando
anche a regolare il livello trigger per soglie eccessivamente alte o basse rispetto al
segnale. Giustificare il comportamento dell’oscilloscopio.
Su molti oscilloscopi ci sono i comandi hf-rej, lf-rej, tv-v, tv-h e fix. A che cosa
servono? Provarne l’effetto, anche in combinazione con la regolazione del livello di
trigger.
Doppia traccia
Collegare l’uscita A canale Y1 dell’oscilloscopio e l’uscita B al canale Y2. Predisporre
il generatore per la forma d’onda 0. Regolare l’oscilloscopio in modo da visualizzare
entrambi i segnali sganciando la base dei tempi sullo zero crescente del segnale Y1.
Che differenza c’è tra il modo chop e il modo alt di visualizzare le due tracce? Quale
dei due può essere “scomodo” con scansioni lente (es. 20 ms/div o più)?
Che cosa fa il comando vert (talvolta chiamato norm) della sorgente di trigger?
Agisce allo stesso modo in chop e alternate?
9
–
77
Fase (1)
Collegare l’uscita A del generatore di segnali al canale Y1 dell’oscilloscopio e l’uscita B
al canale Y2, e predisporre il generatore per la forma d’onda 0.
Misurare lo sfasamento tra i segnali convertendo in gradi il ritardo tra le due tracce.
Anche in questo caso la misura può essere più agevole se si sovraccaricano i canali di
ingresso dell’oscilloscopio.
Ai fini della precisione della misura, è vantaggioso fare l’operazione in due tempi,
misurando il periodo ed il ritardo con velocità di scansione diverse?
Fase (2)
La misurazione dello sfasamento può essere più agevole se si scalibra la base dei tempi in
modo da far occupare all’intero periodo del segnale esattamente 8 divisioni orizzontali
dello schermo (ogni divisione rappresenta 45◦ ); in alternativa, è possibile regolare la
base tempi in modo che il periodo occupi l’intero schermo, ottenendo una precisione
un po’ migliore, a discapito della comodità di lettura. Provare, con gli stessi segnali
usati al paragrafo precedente.
È buona regola lasciare sempre la base dei tempi in posizione normale (calibrata) al
termine delle operazioni. Ciò evita errori grossolani, dovuti a semplice disattenzione.
Fase (3)
Se si disponesse di un oscilloscopio con un solo canale, per misurare lo sfasamento si
dovrebbe ricorrere al trigger esterno.
Collegare il riferimento (uscita A del generatore) all’ingresso trigger esterno (su
molti oscilloscopi è il canale Y3) e il segnale (uscita B del generatore) al canale Y1
dell’oscilloscopio, usando le forme d’onda 0. Regolare il trigger per slope + e level 0 V,
e misurare lo sfasamento.
Suggerimenti per regolare a 0 V la soglia di trigger: (i) mandare il riferimento a
Y1, regolare la soglia, poi riportare il riferimento all’ingresso per trigger esterno; in
alternativa, (ii) probabilmente il trigger ha il comando fix.
Fase (4)
L’equazione dell’ellisse, in forma parametrica, può essere scritta come
x(t)
=
a sin (ωt)
y(t)
=
b sin (ωt + ϕ)
Collegare l’uscita A del generatore all’asse x (solitamente canale Y1) e l’uscita B all’asse y (solitamente Y2); predisporre il generatore per la forma d’onda 0 e l’oscilloscopio
in modo X-Y. Misurare lo sfasamento ϕ.
Il modo più ovvio consiste nel leggere il valore di x quando y = 0, o viceversa
secondo la convenienza. Si ricordi di leggere i segnali più ampi possibile sullo schermo,
a vantaggio della precisione.
Se vi fosse una graduazione diagonale sullo schermo, ci sarebbe qualche vantaggio
nel leggere la lunghezza dei due assi dell’ellisse?
78
9
–
Rapporto di frequenze 1:2
Collegare il canale Y1 dell’oscilloscopio all’uscita A del generatore e il canale Y2 all’uscita B, predisponendo il generatore per la coppia di forme d’onda 1.
Se il trigger è sul canale Y2, possono comparire ambiguità di sincronizzazione (più
probabilmente se la doppia traccia è attivata in modo chop, piuttosto che alt). Perché?
Per evidenziare il fenomeno dell’ambiguità, può essere utile regolare la base tempi
in modo che vi siano più oscillazioni del segnale nello schermo.
Si osservi che l’unica soluzione sicura consiste nel sincronizzare la base tempi sul
segnale a frequenza più lenta.
Che cosa succede usando l’oscilloscopio in modo X-Y, e perché?
Rapporto di frequenze 2:3
Con la stessa configurazione del paragrafo precedente, si passi alla coppia di forme d’onda 2. In questo caso può non essere sufficiente sincronizzare la base tempi sul segnale
a frequenza più bassa (perché le due frequenze non sono una multipla intera dell’altra), però è utile. Per sincronizzare correttamente l’oscilloscopio si deve probabilmente
ricorrere al comando holdoff.
Che cosa succede usando l’oscilloscopio in modo X-Y, e perché?
Disturbo
Utilizzare il segnale A6 del generatore collegato al canale Y1 dell’oscilloscopio. Il periodo del segnale è costituito da due impulsi rettangolari, su uno dei quali è presente un
disturbo.
Regolare l’oscilloscopio in modo da far partire la traccia sul fronte di salita che
precede il disturbo.
Con l’obbiettivo di espandere il disturbo sullo schermo in modo da poterlo osservare al meglio, vi può essere qualche vantaggio nello scegliere opportunamente
l’accoppiamento ac o dc del canale di ingresso?
Misurare ampiezza, durata e posizione del disturbo senza ricorrere alla doppia base
tempi. Valutare l’incertezza della misura di durata del disturbo.
Doppia base tempi
Procedere come al paragrafo precedente, usando la doppia base tempi per espandere
quanto possibile il disturbo. Con le stesse ipotesi, valutare l’incertezza relativa della
misura di durata del disturbo.
La doppia base tempi può funzionare in modo triggered o run after delay. Quale è
il modo migliore per questa misurazione?
Misura di intervallo di tempo con la doppia base tempi
Collegare l’uscita A del generatore di segnali al canale Y1 dell’oscilloscopio e l’uscita B
al canale Y2 e predisporre il generatore per la forma d’onda 6.
Sganciare la base dei tempi sul fronte di salita più ampio del segnale Y1 e misurare
l’intervallo fra tale fronte e il primo zero decrescente del segnale Y2. Sovraccaricare
l’asse Y2 e usare la doppia base tempi per espandere la zona di interesse del segnale.
Calcolare il ritardo come somma del ritardo letto sullo schermo e del ritardo della
seconda base tempi rispetto alla prima.
9
–
79
Tempo di salita (1)
Collegare l’uscita trigger (talvolta chiamata sync) del generatore di funzioni (Wavetek,
Global, o altro strumento disponibile) al canale Y1 dell’oscilloscopio, e predisporre il
generatore per una frequenza di circa 100 kHz.
Misurare il tempo di salita del segnale. Scalibrando il guadagno dell’oscilloscopio e regolando la posizione verticale, è possibile far coincidere i tratti orizzontali del
gradino con i riferimenti 0% e 100%, presenti sullo schermo della maggior parte degli
oscilloscopi.
Adattamento di impedenza
Nella misura suggerita al paragrafo precedente vi è disadattamento di impedenza tra
il cavo coassiale e l’oscilloscopio. Infatti generatore e cavo hanno un’impedenza di 50
Ω, mentre l’oscilloscopio ha un’impedenza di ingresso di 1 MΩ. Il disadattamento di
impedenza causa riflessioni intervallate del doppio della lunghezza elettrica del cavo,
corrispondenti al percorso di andata e ritorno. Queste ultime si manifestano come
irregolarità del tratto orizzontale dell’onda quadra, subito dopo il fronte di salita, simili
ad “overshoot”.
Si vuole verificare se le irregolarità osservate sullo schermo sono da attribuirsi ad
un overshoot del generatore, o se sono la “firma” del disadattamento di impedenza.
Si calcoli il ritardo della riflessione rispetto al fronte di salita, stimando la lunghezza
del cavo e conoscendo il fattore di velocità (0.66 per il cavo RG-58); lo si confronti
con il valore rilevato sullo schermo. Si provi anche a cambiare la lunghezza del cavo
coassiale. Si verifichi l’effetto di una terminazione resistiva da 50 Ω collegata in parallelo
all’ingresso dell’oscilloscopio.
Tempo di salita (2)
Sempre nelle stesse condizioni sperimentali, e con la terminazione resistiva collegata in
parallelo all’ingresso dell’oscilloscopio, misurare il tempo di salita del segnale. Applicare
la correzione basata sulla formula
t2v = t2s + t2o
dove tv è il tempo di salita visualizzato, ts è il tempo di salita del segnale, to il tempo
di salita dell’oscilloscopio, ricavato dalla frequenza massima B dello strumento con la
consueta formula B to ' 0.35. Visti i risultati del calcolo, la correzione è necessaria?
Tempo di salita (3)
Su molti oscilloscopi è possibile ridurre la banda passante, aumentando conseguentemente il tempo di salita. Solitamente il comando è etichettato BW e riduce la banda a
20 MHz.
Se il comando è disponibile, procedere come al punto precedente, ma usando la
banda passante ridotta. Confrontare l’entità della correzione con quella ottenuta con
la banda passante massima.
Tempo di salita (4)
Un’incertezza sulla banda dell’oscilloscopio si riflette sulla correzione da applicare al
tempo di salita visualizzato, e quindi sulla precisione della misura.
80
9
–
Calcolare le incertezze relative delle misure dei tempi di salita viste ai punti precedenti ammettendo che la banda dell’oscilloscopio sia nota con incertezza del 5%.
Banda passante
Un amplificatore ha la banda passante piatta tra due frequenze di taglio, f1 inferiore e
f2 superiore, dovute a poli semplici. Tale amplificatore ha una risposta all’onda quadra
simile al segnale B7 del generatore. Determinare le due frequenze di taglio.
Capitolo 10
Esercitazione di misure di tensione alternata
In questa ed in altre esperienze di laboratorio si fa riferimento alla compatibilità delle
misure. Una misura, con l’incertezza ad essa associata, definisce un insieme di valori
possibili del misurando. Due misure sono compatibili se gli insiemi ad esse associati
hanno almeno un elemento (valore del misurando) in comune. Si considerino ad esempio
due voltmetri che, con lo stesso segnale, diano letture di 9.9 V±0.1 V e di 10.2 V±0.2 V;
In questo caso limite le misure sono compatibili perchè esiste un valore (10 V) che
appartiene ad entrambe le fasce di incertezza.
Come sorgente si utilizza il generatore di segnali (appendice A 1). Le forme d’onda
sono contrassegnate con una lettera ed un numero, indicando con la lettera l’uscita del
generatore e con il numero la forma d’onda. Ad esempio B4 significa: forma d’onda n.
4 all’uscita B. In alcuni casi, chiaramente specificati, si usa un generatore di funzioni.
Come suggerimento pratico, è conveniente lasciare l’oscilloscopio sempre collegato al
generatore di segnali mentre si fanno le misurazioni con i voltmetri. Usare le transizioni
BNC a “T” e a “I” collegate assieme come nodo di ripartizione del segnale proveniente
dal generatore verso l’oscilloscopio e verso il voltmetro. Per ovvie ragioni legate alla
precisione della misura, con l’oscilloscopio si dovrà leggere l’ampiezza picco-picco.
10.1 Conversioni e incertezze
Onda sinusoidale
Misurare la tensione del segnale A0 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di picco)
e con l’oscilloscopio; convertire in valore efficace la lettura di quest’ultimo. Associare
alle letture l’incertezza.
Riportare le misure su un grafico e verificare la compatibilità.
Onda triangolare
Misurare la tensione del segnale A3 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di
picco) e con l’oscilloscopio. Convertire tutte le letture in tensione efficace e calcolare le
incertezze.
81
82
10
–
Onda quadra
Misurare la tensione del segnale B3 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di
picco) e con l’oscilloscopio. Convertire tutte le letture in tensione efficace e calcolare le
incertezze.
Forme d'onda arbitrarie
Misurare la tensione del segnale A8 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di picco)
e con l’oscilloscopio.
Convertire tutte le letture in tensione di picco e calcolare le incertezze. Riportare
le misure su un grafico e verificare la compatibilità.
10.2 Duty cycle
Per l’onda rettangolare il duty cycle è definito come rapporto tra la durata della sola
parte positiva e l’intero periodo del segnale. Per l’onda triangolare, esso è definito come
rapporto tra la durata della parte con pendenza positiva e il periodo del segnale.
Voltmetro in continua
Misurare con l’oscilloscopio (accoppiato in continua) l’ampiezza e i duty cycle del segnale B4. Calcolare la lettura attesa del voltmetro in continua, che è il valore medio del
segnale (attenzione: il voltmetro in continua all’interno non ha il raddrizzatore).
Misurare con il voltmetro digitale e verificare il risultato.
Voltmetro a valore medio
Misurare il segnale B4 con il voltmetro a valore medio in alternata, senza il condensatore
in serie (attenzione: il voltmetro è a una o due semionde?). Giustificare con i calcoli la
differenza tra le letture del voltmetro e dell’oscilloscopio.
Voltmetro a valore ecace
Misurare il segnale B4 con il voltmetro a valore efficace, con il condensatore in serie.
Giustificare con i calcoli la differenza tra le letture del voltmetro e dell’oscilloscopio.
Onda triangolare
Con procedimenti analoghi a quelli suggeriti ai punti precedenti, è possibile misurare
il duty cycle di un’onda triangolare asimmetrica A4? Perché?
10.3 Limiti di funzionamento
Per misurare le risposte in frequenza si utilizzi come sorgente il generatore di funzioni,
servendosi dell’oscilloscopio per verificare che l’ampiezza del segnale resti costante. Si
§10.4
–
Varie
83
può infatti supporre che la lettura dell’oscilloscopio, che ha una banda considerevolmente più larga di quella dei voltmetri disponibili, non dipenda dalla frequenza. Effettuando una misurazione di variazioni, il limite dell’oscilloscopio è dato dalla risoluzione
piuttosto che dalla precisione.
Nel tracciare i grafici si proceda rapidamente, annotando un solo valore nel campo di
frequenze dove la lettura è evidentemente costante. Trattandosi di voltmetri, cercare le
frequenze a –3 dB — come per i doppi bipoli — ha poco senso; il fenomeno da osservare
è invece l’errore che compare ai limiti della banda, limitando le misure alle frequenze
per le quali la variazione della lettura raggiunge orientativamente il 10–15%, cosa che
rende scarsamente utilizzabile lo strumento.
Risposta in frequenza del voltmetro a valore medio
Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dalla frequenza per il voltmetro a
valore medio, portata 10 V. Utilizzare un segnale di ampiezza adeguata al fondo scala.
In molti strumenti analogici la risposta in frequenza dipende dalla portata. Perché?
Risposta in frequenza del voltmetro a valore ecace
Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dalla frequenza per il voltmetro
a valore efficace, portata 10 V fondo scala.
Risposta in frequenza del voltmetro di picco
Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dalla frequenza per la sonda
voltmetrica di picco. Utilizzare un segnale di ampiezza 1 Vrms.
Perché il voltmetro di picco è limitato alle basse frequenze? Pensando allo schema
della sonda (pagina 108), che cosa si perderebbe, e perché, se si volesse estendere il
campo di funzionamento verso le basse frequenze?
Nonlinearità del voltmetro di picco
Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dall’ampiezza per la sonda voltmetrica di picco. Utilizzare un segnale sinusoidale a 1 kHz, di ampiezza tra 0.2 e 5
Veff , servendosi del voltmetro a valore medio come riferimento.
Pensando allo schema della sonda (pagina 108), quale componente è il principale
responsabile della nonlinearità riscontrata?
10.4 Varie
Sinusoide raddrizzata
Il segnale A0 è una sinusoide. Il segnale A5 è la stessa sinusoide, ma raddrizzata.
Misurare il segnale A0 con il voltmetro a valore efficace e il segnale A5 con il
multimetro digitale in continua, che è a valore medio. Che relazione c’è tra le due
letture?
Si tenga presente che nei due casi il segnale ha la stessa frequenza ed è prodotto
con lo stesso convertitore analogico/digitale, quindi ha le stesse ampiezze istantanee, a
meno del segno.
84
10
–
Onda intera o semionda?
Il modo più ovvio per verificare se il voltmetro a valore medio senza condensatore in
serie è del tipo a onda intera o a semionda consiste nel misurare due volte una tensione
continua, invertendo i puntali. Se in una delle due posizioni la lancetta resta ferma
sullo zero lo strumento è a semionda, altrimenti è a onda intera.
È possibile arrivare alla soluzione con una sola lettura, quindi senza invertire i
puntali? Come?
Segnale a scala
Misurare la tensione del segnale B8 con il voltmetro a valore efficace. Confrontarla con
la misura del valore efficace ottenuta da calcoli basati sulla lettura dell’oscilloscopio.
Ripetere l’esperienza con il voltmetro a valore medio (attenzione alla costante
strumentale).
Resistenza di ingresso
Quanto vale la resistenza di ingresso del voltmetro a valore medio per le portate di
fondo scala 2 V (ICE), 3 V (Simpson), 4 V (ICE) e 10 V (ICE e Simpson)?
Simboli
Nei voltmetri analogici ai bordi del quadrante si trovano alcuni simboli: u o ⊥ e una
stella a cinque punte, talvolta con un numero al centro. Cosa significano?
Capitolo 11
Esercitazione di misure su alimentatore
stabilizzato
Cautele da adottare
Le esperienze proposte comportano di dover maneggiare potenze elettriche rilevanti
(fino a decine di watt) che presentano rischi di danno agli strumenti. In particolare si
ricordi che:
. i multimetri, quando sono usati come amperometri, si danneggiano con facilità se
sovraccaricati,
. i resistori di carico si bruciano se sovraccaricati,
. il condensatori elettrolitici hanno una polarità obbligata,
. lo stadio d’uscita degli amplificatori non deve essere messo in cortocircuito, né
ricevere una tensione continua,
. in molti strumenti la massa è collegata alla terra dell’impianto elettrico di alimentazione; tramite le masse degli strumenti, collegate assieme attraverso la terra, è
possibile fare cortocircuiti.
11.1 Resistenza interna dell'alimentatore triplo
Philips PE 1542
Usare una delle sezioni a tensione regolabile come alimentatore in prova, l’altra come
alimentatore di riferimento. Regolare l’alimentatore in prova per una tensione di 14–
15 V e per la massima corrente erogabile. Utilizzare come carico R1 = 16.5 W (due
resistori da 33 W in parallelo).
Topward TPS 4000
Usare la sezione a tensione fissa (5 V) come alimentatore in prova e una delle sezioni
a tensione variabile come alimentatore di riferimento. Utilizzare come carico R1 = 6.8
W.
Per entrambi gli alimentatori
Dei due multimetri disponibili, quello analogico deve essere usato come amperometro
mentre quello digitale, che è più preciso e ha migliore risoluzione, come voltmetro.
85
86
11
–
Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato
Perché?
Nello schema di figura 11.1 viene utilizzato un alimentatore di riferimento. A che
cosa serve, come deve essere regolato, e a quali ipotesi deve soddisfare per svolgere la
sua funzione?
Tracciare la caratteristica dell’alimentatore sul piano V-I indicando i punti di lavoro
e le grandezze misurate.
+
q
R1
alim.
in
prova
−
m
µ
¡
¡ A
q
m
¡
µ
¡ V
+
alim.
di
riferim.
−
Figura 11.1 Schema della misura della resistenza interna di un alimentatore stabilizzato.
Incertezza e risoluzione
Valutare l’incertezza, assoluta e relativa, della misura di resistenza assumendo come
ipotesi semplificativa che le uniche cause siano il voltmetro e l’amperometro.
Calcolare la risoluzione della misura di resistenza procedendo in modo analogo.
Per l’amperometro analogico, in mancanza di specifiche si può adottare come valore
convenzionale della risoluzione metà dell’incertezza. Per il voltmetro digitale notiamo
che in questo esperimento la risoluzione è probabilmente limitata dalla fluttuazione
della lettura piuttosto che dalla quantizzazione. Ci si deve pertanto riferire al valore
della fluttuazione.
La tolleranza dei resistori usati come carico interviene o meno nell’incertezza della
misura? Se si, in che modo?
Si tenti una stima dell’incertezza considerando il sistema nella sua globalità.
Quesiti
Se si ignorasse il problema delle resistenze di contatto (e la relativa soluzione), ammettendo che la resistenza di ogni contatto sia di 10 mW e che le resistenze dei cavi siano
trascurabili, quale errore si commetterebbe nella valutazione della resistenza interna
dell’alimentatore? Nella realtà, si tratterebbe di errori sistematici o di incertezze?
Se si disponesse solo di un voltmetro con resistenza interna di 10 W (strumenti simili
probabilmente esistono solo nella fantasia) quale sarebbe l’errore sistematico, assoluto
e relativo, di misura della resistenza interna dell’alimentatore dovuto al consumo del
voltmetro? Come si può rendere minimo tale errore di consumo?
Resistenze di contatto
Si modifichi il circuito della misura precedente in modo da sbagliare (appositamente!)
i collegamenti voltmetrici e amperometrici, introducendo cosı̀ su entrambi i morsetti
§11.2
–
87
Impedenza dell’alimentatore singolo
dell’alimentatore in prova degli errori dovuti alle resistenze di contatto. Si confronti la
misura con quella ottenuta con il circuito montato correttamente.
Con il materiale per l’esperienza, si misuri la resistenza di contatto tra una boccola dell’alimentatore e una banana. Suggerimento: si può usare l’alimentatore come
generatore di corrente, sfruttando la protezione. Valutare l’incertezza della misura.
Alcuni alimentatori — più probabilmente quelli progettati per basse tensioni e alte
correnti — presentano 4 morsetti, due di potenza e due detti sense; questi ultimi sono
usati per misurare la tensione realmente presente ai capi del carico. Si giustifichi questo
tipo di soluzione alla luce delle esperienze fatte.
11.2 Impedenza dell'alimentatore singolo
In questa parte dell’esperienza è necessario utilizzare come alimentatore in prova un
apparato con impedenza interna sufficiente a consentire le misure con un oscilloscopio.
Misurare il modulo dell’impedenza interna dell’alimentatore singolo (Roland PS
1325 o Vega BIG 2030) seguendo lo schema indicato in figura 11.2, tenendo presente
che tale alimentatore ha una tensione nominale di 12–13 V, e una corrente massima
erogabile di 1 A.
La misura sarà fatta a 100 Hz, 1 kHz e 10 kHz, cominciando da 1 kHz.
Prima di montare il circuito, si progetti la misura disegnando il punto di lavoro
dinamico sul piano V /I e calcolando i valori (di picco ed efficaci) delle tensioni e
delle correnti in gioco (esclusa, ovviamente, la tensione alternata presente ai capi
dell’alimentatore). R1 può essere scelta tra 16.5, 28 e 120 W.
Iac
-
+
q
q
q
C
R1 IB
alim.
in
prova
−
?
m
¡
µ
¡ A
q
q
1W
R2
q
6.8 W
R3
m
¡
µ
¡ V
usc.
amplif.
di
potenza
massa
ingr.
6
q
Y
massa
oscilloscopio
¾
trigger ext.
generatore
segnali
Figura 11.2 Schema di principio per la misurazione del modulo dell’impedenza interna
di un alimentatore stabilizzato.
Amplicatore Marantz PM 230
Usare il canale sinistro (Left) e collegare il generatore di segnali all’ingresso CD. Predisporre l’amplificatore, agendo su un apposito comando presente sul pannello frontale,
88
11
–
per l’ingresso CD. Escludere i filtri “loudness” ecc., e regolare i controlli di tono a metà
corsa.
Dei due morsetti di uscita, il nero è la massa, il rosso è il segnale.
Attenzione alla regolazione della potenza: l’amplificatore può erogare 60 W su 8 W,
eccessivi per la misura e sufficienti a provocare danni. Con tutti i comandi al centro
(inclusi il volume e il bilanciamento) si ottiene la massima potenza con circa 650 mVrms
all’ingresso CD.
Amplicatore Thema GT 15
Usare l’ingresso “low” e l’uscita “H. Phone”. Regolare i controlli di tono a metà corsa.
L’amplificatore ha due controlli di volume in cascata (“gain” e “master”) che devono
essere regolati in modo opportuno per evitare saturazioni degli stadi intermedi del
circuito. Si raccomanda di controllare il segnale d’uscita con l’oscilloscopio. Regolando
il gain a metà corsa e il master a 9/10 si ottiene la massima potenza (12 W su 8 W)
con 140 mVrms all’ingresso low.
Montaggio del circuito
È opportuno usare i contatti a forchetta per i circuiti di potenza in alternata e in
continua, collegando l’oscilloscopio all’alimentatore con un cavo BNC/banane.
Il circuito deve essere montato e regolato correttamente. Per evitare errori che, date
le potenze in gioco, potrebbero rivelarsi pericolosi per alcuni componenti o strumenti,
si raccomanda la procedura qui descritta.
1. Montare il solo circuito in continua, composto dall’alimentatore in prova, il diodo
di protezione, il resistore di carico e l’amperometro. Accertarsi che tutto funzioni,
quindi che correnti e tensioni siano quelle desiderate.
2. A parte, montare il solo circuito in alternata composto dal generatore di segnali,
dall’amplificatore e dal carico (6.8 + 1 W, con il resistore da 1 W collegato sul lato
di massa dell’uscita dell’amplificatore).
3. Prima di alimentare l’amplificatore controllare la frequenza (1 kHz) ed il livello
d’uscita del generatore di segnali, regolare il controllo di volume dell’amplificatore
al minimo. Poi accendere l’amplificatore.
Regolare il volume dell’amplificatore e il livello d’uscita del generatore di segnali
in modo da ottenere la corrente desiderata. Valendosi dell’oscilloscopio collegato
in parallelo al resistore da 1 W (attenzione alle masse!) accertarsi che non vi siano
saturazioni.
4. Staccare il resistore da 1 W dalla massa dell’amplificatore e collegarlo, tramite il
condensatore elettrolitico, all’alimentatore. Collegare la massa dell’amplificatore all’alimentatore. A questo punto il circuito è pronto e necessita solo di una regolazione
più fine per ottenere la corrente alternata desiderata.
Cambiando frequenza sarà sufficiente ritoccare la regolazione della corrente alternata.
Quesiti
In linea di principio la separazione dei circuiti voltmetrici ed amperometrici per eliminare gli errori dovuti alle resistenze di contatto dovrebe essere applicata sia sull’al-
§11.3
–
Misura di resistenza in commutazione
89
imentatore sia sul resistore tarato da 1 W. In quale dei due punti del circuito è più
importante, e perché? Ammettendo che le resistenze di ogni contatto siano di 10 mW,
valutare gli errori in entrambi i casi.
Il diodo di protezione, posto in serie all’alimentatore, causa errori? Perché?
La corrente alternata prodotta dall’amplificatore si ripartisce tra l’alimentatore ed
il circuito in continua. Questo provoca errori di misura dell’impedenza? Se si, di quale
entità?
11.3 Misura di resistenza in commutazione
Misurare la resistenza interna dell’alimentatore singolo (Roland PS 1325 o Vega BIG
2030) seguendo lo schema indicato in figura 11.3. Usare inizialmente una frequenza di
commutazione dell’ordine del centinaio di Hertz (onda quadra).
+
q
R1 22 W
alim.
in
prova
−
ª
q
q
Y
massa
oscilloscopio
2.2 kW
R2
generat.
onda
quadra
¾
trigger ext.
Figura 11.3 Schema di principio per la misurazione della resistenza interna e del tempo
di riassetto di un alimentatore stabilizzato.
Il transistore deve lavorare in commutazione (saturato o interdetto). All’oscilloscopio, accoppiato in ac, si vede la differenza tra le tensioni a vuoto e sotto carico.
Se il transistore non lavora in commutazione, la corrente non è più determinata
dal resistore di collettore, ed il transistore si surriscalda. Per prima cosa è quindi
necessario regolare il generatore di funzioni (ampiezza e offset) in modo da pilotare
opportunamente il transistore. Si verifichino i punti di lavoro controllando la forma
d’onda ed i livelli di tensione sul collettore con l’oscilloscopio. Suggerimento: quando il
transistore è saturato, la corrente di collettore dipende solo dal carico ed è indipendente
dalla corrente di base, almeno per piccole variazioni; quando è interdetto, la tensione
di collettore è uguale alla tensione di alimentazione.
Osservando la forma d’onda sull’alimentatore, probabilmente è necessario usare il
trigger esterno, ricavato preferibilmente da un’apposita uscita sul generatore di segnali
o, in mancanza, dal collettore del transistore.
90
11
–
Incertezza e risoluzione
Considerando l’incertezza dell’oscilloscopio e dei componenti del circuito interruttore,
e facendo ragionevoli ipotesi su eventuali parametri mancanti, si valuti l’incertezza e la
risoluzione della misura di resistenza interna.
Quesiti
Tentare un confronto con il metodo inizialmente proposto, nel quale il carico viene
commutato manualmente. Poiché i dati non sono direttamente confrontabili in quanto
si riferiscono ad alimentatori diversi, ci si limiti a confrontare i metodi. In particolare
si consideri l’incertezza della misura e la stabilità.
Alcuni alimentatori sono caratterizzati da una bassa resistenza interna ed una bassa
stabilità della tensione di uscita rispetto alla temperatura. Ad esempio, i regolatori
di tensione integrati della serie 78xx hanno una resistenza interna tipica di 5 mW e
un coefficiente di temperatura di 1.1 mV/◦ C; il transistore regolatore di tensione è
termicamente accoppiato con il riferimento di tensione e causa variazioni di tensione
in funzione della corrente di carico. Se si dovesse misurare la resistenza di uno di tali
dispositivi, quale dei due metodi si dovrebbe adottare, e perché?
Con lo schema proposto, è possibile ridurre l’incertezza valendosi di un amperometro in continua (multimetro analogico)?
Capitolo 12
Esercitazione di misure di tensione continua
Questa esercitazione prevede di realizzare e provare due voltmetri per tensione continua,
uno a doppia integrazione e uno a conversione tensione/frequenza. Gli schemi (figure
12.2 e 12.3) sono stati pensati in funzione della massima semplicità; perciò risultano
diversi da quelli di “veri” strumenti di misura, pur conservandone i principi. Per la
stessa ragione, la lettura della tensione è fatta su un contatore o su un oscilloscopio.
Istruzioni generali per i montaggi
Nella figura 12.1 è riportato uno schema di massima del montaggio su basetta per
esperimenti. Se si hanno a disposizione due sezioni della basetta, si usi la sezione
superiore per il circuito, e la sezione inferiore per i punti di test, portando i collegamenti man mano che si rendono necessari. Ciò sveltisce le operazioni di collegamento
dell’oscilloscopio e del contatore, senza spostare cavi coassiali.
I due bracci di alimentazione, ±15 V, devono essere stabilizzati rispetto a massa
ciascuno con un condensatore da 100 nF.
Ogni volta che si fa una modifica al circuito è opportuno spegnere l’alimentatore.
Attenzione. Il NE555 e il REF01 si danneggiano facilmente in caso di collegamenti
errati verso una tensione negativa rispetto a massa. L’interruttore mos SW06 può
sopportare correnti massime di 30 mA; con collegamenti errati o cortocircuiti verso
le alimentazioni tale limite si supera facilmente, con la conseguenza di distruggere il
componente.
12.1 Montaggio del voltmetro a doppia integrazione
Lo schema completo del voltmetro è riportato nella figura 12.2. Per portare rapidamente a termine la realizzazione è opportuno procedere a passi, montando e collaudando
i blocchi dello schema prima di collegarli tra loro. Si suggerisce la procedura seguente.
1. Collegare le alimentazioni alla basetta e regolare l’alimentatore per ±15 V.
91
92
12
m
h
–
m
h
+15
m
h
m
h
m
h
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq
qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq SW06
q q q q q q q q q q qREF01
q q q q q q q q q q q qLM747
q q q q q q q q q q NE555
qqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq
GND
–15
¶³
qm
Z
µ´
Z
¶³
Y
qm
Y
µ´ GND
¶³
qm
X
µ´
X
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Figura 12.1
Schema di massima dei montaggi.
2. Inserire i circuiti integrati, collegare e verificare le alimentazioni.
3. Montare il partitore della tensione incognita (R1, R2, C1). Verificare che la tensione
sul punto A possa essere regolata tra 0 e –9.5 V circa agendo su R2.
4. Montare il generatore di tensione di riferimento REF01 (attenzione: i cortocircuiti
verso il negativo dell’alimentazione possono danneggiare il REF01). Verificare che
la tensione sul pin 6 sia 10 V.
5. Montare il circuito del commutatore (SW06, R8, R9), collegato ai due circuiti
precedenti; R8 e R9 hanno lo scopo di proteggere il SW06. Collegando manualmente
i pin di controllo (8 e 9) ad un livello logico 0 (0 V) e 1 (+15 V), all’uscita (pin 6 e
11) si deve trovare rispettivamente la tensione di riferimento e la tensione incognita.
6. Montare l’integratore (LM747, R3, R4, C2), adottando provvisoriamente un valore
di 100 nF per C2, e collegarlo all’uscita del commutatore. Agendo manualmente sul
commutatore come spiegato al punto precedente, sull’uscita dell’integratore (punto
C) si deve osservare, con l’oscilloscopio, una rampa di pendenza opportuna. Al
termine della verifica sostituire C2 con un condensatore da 10 nF (valore definitivo).
7. Montare il comparatore (LM747, R5, R6, D1). Prima di collegarlo all’uscita dell’integratore, verificarne il funzionamento con una tensione positiva o negativa
sull’ingresso.
§12.1
–
Montaggio del voltmetro a doppia integrazione
Figura 12.2
Schema del voltmetro a doppia integrazione.
93
94
12
–
8. Montare e verificare il monostabile con il diodo e il resistore che ne proteggono
l’ingresso (attenzione: il NE555 si rompe se ai suoi pin è applicata una tensione
negativa rispetto a massa). Nella verifica, si può sostituire temporaneamente C3 con
altro di valore maggiore (100 nF) ed osservare l’impulso di uscita con l’oscilloscopio.
9. Chiudere l’anello di reazione collegando l’uscita del monostabile all’ingresso di
controllo del commutatore.
12.2 Esperienze sul voltmetro a doppia integrazione
Osservazione del funzionamento
Collegare i due canali dell’oscilloscopio all’uscita dell’integratore punto C e all’uscita
del monostabile punto F. Sganciare la base tempi con quest’ultimo segnale, sul fronte
con pendenza positiva.
Osservare qualitativamente il corretto funzionamento del circuito al variare della
tensione di ingresso.
Risoluzione
La misura della tensione si ricava con il contatore collegato all’uscita del monostabile.
Si misurano le durate di “1” e “0” in modo start-stop, cambiando le pendenze del trigger
del contatore (su molti strumenti c’è un comando — etichettato com — che consente
di mettere in parallelo gli ingressi). La tensione Vx, presente sul punto A, si ricava dal
rapporto tra le durate di “1” e “0”, e dal valore della tensione di riferimento Vr .
Quale è la risoluzione del voltmetro realizzato? Si ricordi che la risoluzione comprende la quantizzazione e il rumore della misura, che in questo caso probabilmente è
dominante.
Diagramma di taratura
Per ricavare la lettura del voltmetro a doppia integrazione è opportuno utilizzare il
valore della tensione di riferimento misurato con un voltmetro digitale in luogo del
valore nominale di 10 V.
Si confronti la misura di Vx (punto A), ricavata dalla letture del contatore, con la
lettura del voltmetro digitale; quest’ultima è qui considerata come il valore vero. Si
ricavi l’errore assoluto per 3–5 valori equispaziati di Vx e si tracci il grafico. Nel grafico
sono riconoscibili errori di pendenza e offset?
Costante di tempo dell'integratore
Un errore nella costante di tempo dell’integratore interviene o meno nella misura di
tensione?
Verificare qualitativamente con l’oscilloscopio, provando ad alterare prima il resistore (inserire un resistore da 8.2 MW in parallelo a R3), poi il condensatore (inserire
un condensatore da 1 nF in parallelo a C2).
In che modo l’offset dell’integratore contribuisce all’errore della misura di tensione?
L’errore dipende o meno dalla tensione incognita Vx?
§12.2
–
Esperienze sul voltmetro a doppia integrazione
95
La verifica sperimentale può essere fatta imponendo una tensione sul punto B
tramite un resistore verso il positivo dell’alimentazione. Una verifica qualitativa può
essere fatta con l’oscilloscopio, con un offset di circa 1 V (resistore da 15 kW). Per una
verifica più accurata, fatta con il contatore, è opportuno un offset inferiore, 100 mV,
ottenuto con un resistore da 150 kW.
Oset del comparatore
In che modo l’offset del comparatore contribuisce all’errore della misura di tensione?
L’errore dipende o meno dalla tensione Vx?
La verifica sperimentale può essere fatta in modo qualitativo e quantitativo come
descritto al punto precedente, imponendo l’offset nel punto D del circuito.
Durata del tempo di integrazione
La tensione incognita viene integrata per un tempo T1 determinato dal monostabile.
Per il NE555, nello schema proposto si ha T1 = 1.1 × R7 × C3, con T1 in secondi, R7
in ohm e C3 in farad.
Un errore sulla durata di T1 ha come conseguenza un errore di misura della tensione?
Si verifichi con le procedure già viste, collegando un condensatore da 1 nF in parallelo
a C3.
Tensione di riferimento
Quale è la conseguenza di un errore della tensione di riferimento sulla misura della
tensione Vx?
La verifica sperimentale può essere fatta agendo sull’ingresso trim del REF01 (punto
I). Se l’ingresso trim è collegato a massa la tensione d’uscita sale, se invece è collegato
all’uscita dello stesso REF01 (punto G) la tensione scende.
Perchè, e sotto quali ipotesi, il voltmetro a integrazione è “insensibile” alle componenti
alternate sovrapposte alla tensione continua da misurare?
Come deve essere progettato un voltmetro per la minima sensibilità ai disturbi
causati dalla rete di alimentazione (50 Hz e multipli)? Pensando allo schema proposto,
dove sarebbe più ragionevole intervenire?
Si verifichino qualitativamente gli effetti di un disturbo costituito da una tensione
alternata sovrapposta a Vx, limitandosi a cercare i punti di massimo e minimo relativi
della sensibilità, procedendo come segue.
1. Regolare Vx circa a metà dell’escursione.
2. Togliere C1 dalla basetta (attenuerebbe eccessivamente il disturbo).
3. Regolare il generatore di segnali per una tensione di 6 Vpp e accertarsi che il
generatore abbia offset di 0 V.
4. Iniettare il segnale del generatore nel punto A tramite un resistore da 10 kW in serie
ad un condensatore da 100 nF.
96
12
–
Il disturbo cosı̀ introdotto si manifesta come una disuniformità della pendenza della
rampa dell’integratore (punto C) e come jitter dell’istante di fine integrazione della
tensione di riferimento (punto F).
Calcolare per quali frequenze del disturbo ci si aspettano i massimi e minimi di
errore del voltmetro, e procedere alla verifica sperimentale.
Che cosa cambia al variare di Vx?
12.3 Montaggio del voltmetro a conversione V/f
Il montaggio di questo circuito (figura 12.3) è particolarmente agevolato dalla possibilità
di riutilizzare la maggior parte dei blocchi già realizzati e collaudati per il voltmetro a
doppia rampa; nei limiti del possibile, i componenti con la stessa funzione sono numerati
nello stesso modo. Avendo realizzato lo schema precedente, si proceda come segue.
1. Spostare R3 dal commutatore al partitore che genera Vx.
2. Spostare il collegamento dall’integratore al comparatore (l’integratore ora va all’ingresso invertente) e rimuovere R5.
3. Spostare la tensione di riferimento dal commutatore all’ingresso del comparatore.
4. Staccare il monostabile dal commutatore e collegarlo, tramite R10, all’integratore.
5. Sostituire R7, che determina la durata dell’impulso del monostabile.
12.4 Esperienze sul voltmetro a conversione V/f
Osservazione del funzionamento
Collegare i due canali dell’oscilloscopio all’uscita C dell’integratore e all’uscita F del
monostabile. Sganciare la base tempi su quest’ultimo segnale, con pendenza positiva.
Osservare qualitativamente il corretto funzionamento del circuito al variare della
tensione incognita. Si noti che, per ragioni sperimentali legate alla “eccessiva” semplificazione del circuito, probabilmente il voltmetro si blocca per piccole tensioni Vx,
all’incirca tra 0 e –0.5 V.
Risoluzione
La misura della tensione si ricava con il contatore misurando la frequenza degli impulsi
del monostabile.
Ricordando i ragionamenti relativi al voltmetro a doppia rampa, quale è la risoluzione
del voltmetro realizzato?
Diagramma di taratura
Confrontare la misura ricavata dalla lettura del contatore con la lettura del voltmetro
digitale, usata come riferimento. Ricavare l’errore assoluto per 3–5 valori sperimentali
e tracciarne i grafici.
Nell’eseguire il calcolo di conversione da frequenza letta a tensione misurata, supporre che l’impulso del monostabile assuma il valore della tensione di alimentazione, e
che tutti i componenti abbiano i valori nominali. Con queste ipotesi, il parametro di
maggiore interesse è la linearità della frequenza rispetto alla tensione di ingresso.
§12.4
Figura 12.3
–
Esperienze sul voltmetro a conversione V/f
97
Schema del voltmetro a conversione tensione/frequenza.
Condensatore dell'integratore
Un errore nel condensatore dell’integratore interviene o meno nella misura di tensione?
Verificare qualitativamente con l’oscilloscopio ponendo un condensatore da 1 nF in
parallelo a C2. Una verifica migliore può essere fatta con il contatore.
98
12
–
Resistori dell'integratore
In che modo intervengono gli errori dei resistori R3 e R10 sulla misura della tensione
Vx?
Verificare l’effetto alterando i valori dei resistori, prima con 8.2 MW in parallelo a
R3, poi con 150 kW in parallelo a R10.
In che modo l’offset dell’integratore contribuisce all’errore della misura di tensione?
L’errore dipende o meno dalla tensione Vx?
La verifica sperimentale può essere fatta imponendo una tensione sul punto B
tramite un resistore verso il positivo dell’alimentazione, analogamente a quanto fatto
per il voltmetro a doppia rampa. Una verifica qualitativa può essere fatta con l’oscilloscopio, con un offset di circa 1 V (resistore da 15 kW). Per una eventuale verifica più
accurata, fatta con il contatore, è opportuno un offset inferiore, 100 mV (resistore da
150 kW).
Tensione di riferimento
Quale è la conseguenza di un errore della tensione di riferimento (REF01) sulla misura
della tensione Vx?
Per una verifica è possibile agire sull’ingresso trim del REF01, collegandolo a massa
o all’uscita (pin 6), come nell’esperienza sul voltmetro a doppia rampa.
Che analogia c’è tra l’errore della tensione di riferimento e l’offset del comparatore?
Impulso calibrato
Quale è l’effetto di un errore della durata dell’impulso calibrato generato dal monostabile? Si verifichi con le procedure già viste, ponendo un condensatore da 1 nF in
parallelo a C3.
Come funziona il meccanismo di reiezione dei disturbi nel voltmetro a conversione
tensione/frequenza?
È possibile progettare un voltmetro per la minima sensibilità ai disturbi causati
dalla rete di alimentazione (50 Hz e multipli)? Se si, pensando allo schema proposto,
dove sarebbe più ragionevole intervenire?
Si verifichino qualitativamente gli effetti di un disturbo costituito da una tensione
alternata sovrapposta a Vx, limitandosi a cercare i punti di massimo e minimo relativi
della sensibilità, procedendo come segue.
1. Regolare Vx circa a metà dell’escursione.
2. Togliere C1 dalla basetta (attenuerebbe eccessivamente il disturbo).
3. Regolare il generatore di segnali per una tensione di 6 Vpp e accertarsi che il
generatore abbia offset di 0 V.
§12.4
–
Esperienze sul voltmetro a conversione V/f
99
4. Iniettare il segnale del generatore nel punto A tramite un resistore da 10 kW in serie
ad un condensatore da 100 nF.
Se la frequenza del disturbo è dello stesso ordine della frequenza di uscita del convertitore V/f o maggiore, il disturbo si manifesta come una disuniformità della pendenza
della rampa dell’integratore (punto C) e come jitter degli impulsi all’uscita del monostabile (punto F). Se la frequenza del disturbo è ragionevolmente minore della frequenza di
uscita del convertitore V/f, il disturbo si manifesta come una modulazione di frequenza.
Procedere alla verifica sperimentale, al variare della frequenza del segnale interferente.
Che cosa cambia al variare di Vx?
Perché i convertitori tensione/frequenza “veri”, che si trovano su alcuni cataloghi di
componenti, hanno una frequenza a fondo scala di 1–2 MHz e talvolta anche di più?
100
Capitolo 13
Esercitazione di misure sui risonatori
Questa esercitazione prevede di misurare frequenza di risonanza, reattanze e fattore di
merito per un risonatore con metodi sostanzialmente simili a quelli usati in radiofrequenza, anche se per ragioni di praticità si utilizzano frequenze basse, che permettono
di ignorare il problema delle capacità e induttanze parassite. L’unica differenza di
rilievo è che, nelle condizioni proposte, non è possibile usare capacità variabili; si deve
pertanto agire unicamente sulla frequenza.
13.1 Risonanza
Un primo schema di misura del risonatore è quello riportato in figura 13.1. Si calcoli,
ammettendo che i componenti abbiano il valore nominale, la frequenza di risonanza.
Figura 13.1
Primo schema di misura della risonanza.
Si misuri Vg con il generatore a vuoto. Poi si colleghi il risonatore e si misuri VC
regolando il generatore per la frequenza di risonanza.
In queste condizioni è possibile misurare il Q del risonatore?
Con lo schema di figura 13.1 il risonatore, quando è portato alla risonanza, mette
il generatore “in cortocircuito” sulla resistenza interna dell’induttore Rs. Si osservi Vg
all’oscilloscopio variando la frequenza del generatore attorno alla risonanza.
101
102
13
–
13.2 Misure di fattore di merito, induttanze e capacità
Si modifichi lo schema della misura come in figura 13.2; R1 può anche essere di valore
più basso di quello indicato, 2.2 o 1 W. In queste condizioni quale è la resistenza equivalente del generatore visto dal risonatore? Quali sono vantaggi e svantaggi di un basso
valore di R1?
Figura 13.2
Riduzione dell’impedenza del generatore.
Si osservi all’oscilloscopio la variazione di Vg e V0g variando la frequenza attorno alla
risonanza.
Sovratensione
Si calcoli il Q del risonatore come coefficiente di sovratensione alla risonanza: Q =
VC /Vg0 . Quale errore si commetterebbe se si misurasse Vg0 con il risonatore scollegato,
o fuori risonanza?
Gli errori introdotti trascurando l’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio sono significativi? Quale valore dovrebbe avere tale impedenza per provocare un errore piccolo
ma chiaramente visibile, per esempio dell’1%? Suggerimento: ricordare le equivalenze
tra i modelli serie e parallelo.
Larghezza di banda (ampiezza)
Con lo schema di figura 13.2, si misuri la frequenza di risonanza avvalendosi delle
due frequenze alle quali l’ampiezza dell’oscillazione è 3 dB minore della massima; si
misurino le ampiezze con l’oscilloscopio e le frequenze con il contatore.
La media delle due letture di frequenza dà la frequenza di risonanza. Con quale
incertezza? La principale causa di incertezza è costituita dall’oscilloscopio o dal contatore?
Ricordando la relazione Q = f0 /B, si calcoli Q. Quale è l’incertezza della misura?
In queste condizioni sperimentali il risonatore risente ancora della resistenza del
generatore. Dal valore di Q calcolato, si ricavi la resistenza serie complessiva. Quindi
si calcoli Rs rimuovendo la resistenza equivalente del generatore (è sostanzialmente R1)
e si ricalcoli Q. Si confronti questo nuovo valore con quello ricavato dalla sovratensione.
§13.2
–
Misure di fattore di merito, induttanze e capacità
103
Larghezza di banda (fase)
Sempre con lo schema di figura 13.2, si misuri la frequenza di risonanza avvalendosi
delle due frequenze alle quali la fase è ±45◦ ; si misurino le fasi con l’oscilloscopio e le
frequenze con il contatore.
La media delle due letture di frequenza dà la frequenza di risonanza. Con quale
incertezza? La principale causa di incertezza è costituita dall’oscilloscopio o dal contatore?
Ricordando la relazione Q = f0 /B, si calcoli Q. Quale è l’incertezza della misura?
Procedendo come al punto precedente, si calcoli Rs e il Q del risonatore correggendo per la resistenza equivalente del generatore. Si confronti questo valore con quello
ricavato dalla sovratensione.
Smorzamento
Una stima del Q del risonatore si può ottenere dalla risposta all’impulso. In pratica
l’impulso può essere sostituito da un’onda quadra a frequenza molto più bassa di quella
della risonanza e sottomultipla di ordine dispari. (Perché?)
Si usi ancora lo schema di figura 13.2, sincronizzando l’oscilloscopio con l’onda
quadra del generatore. È opportuno regolare la frequenza del generatore in modo che
l’inviluppo della cisoide possa decadere (quasi) completamente durante il semiperiodo
dell’onda quadra; cosı̀ al fronte successivo il circuito risonante può essere considerato a
riposo. (In mancanza di idee su come procedere, si parta da 100–200 Hz).
Inserire un resistore da 10 W in serie al risonatore e misurare il Q. Ricordando le
relazioni di equivalenza tra i modelli serie e parallelo, calcolare il valore della resistenza
che, inserita in parallelo a L (o a C), produca la stessa riduzione di Q osservata inserendo
il resistore da 10 W. Verificare, ovviamente togliendo il resistore da 10 W.
Misure di L e C
Si calcoli il valore dell’induttanza L ammettendo che il condensatore abbia il valore
nominale, e servendosi della misura della frequenza di risonanza. Se si conosce C con
incertezza relativa del 10%, con quale incertezza si misura L?
Si ripeta il calcolo ammettendo che C sia incognita e che L assuma il valore
nominale, con incertezza del 5%.
Misura di C per dierenza
Nelle misure viste al punto precedente si è tacitamente ammesso che il circuito di prova
sia ideale. Si supponga ora che nel circuito vi sia una capacità parassita1 verso massa
di valore incognito, tale da rendere inaffidabile il valore letto sul condensatore.
Disponendo di un condensatore di riferimento e assumendo che L abbia il valore
nominale, si può ricavare C dalla differenza di frequenza di risonanza che si ha con e
senza il condensatore di riferimento. Si provi utilizzando un condensatore da 1 nF.
Con lo stesso metodo, facendo risuonare l’induttore a frequenza più alta, è possibile
stimare la capacità di un cavo coassiale da 1 m. Ammettendo che la capacità di
quest’ultimo sia di 80 pF, come deve essere modificato il circuito?
1 Nella realtà è assai improbabile che una capacità parassita sia significativa rispetto ad un
condensatore da 10 nF. Dimenticando questa obiezione, si pensi comunque al metodo.
104
13
–
Schema del Q-metro
Quale degli schemi visti è concettualmente più simile allo schema di un Q-metro a
radiofrequenza?
In che cosa consistono le differenze principali e perché un Q-metro “vero” funziona
meglio dello schema proposto?
Perché nel Q-metro si usa un amperometro in serie al generatore e non un voltmetro
in parallelo?
13.3 Misure amperometriche
Quando l’impedenza dello strumento con cui si misura la tensione non può essere
considerata infinita, può essere utile uno schema del tipo indicato in figura 13.3.
Quale resistenza vede il risonatore? Che cosa si dovrebbe fare per usare uno
strumento con impedenza di ingresso di 50 W al posto dell’oscilloscopio?
Si misuri il Q del risonatore come coefficiente di sovratensione, avvalendosi delle
delle misure di V0g e V3.
Figura 13.3 Schema con riduzione dell’impedenza del generatore e misura di tipo
amperometrico.
Ammettendo che i componenti reattivi abbiano il valore nominale, che i resistori
abbiano un’incertezza del 5% e considerando l’incertezza dell’oscilloscopio, calcolare
l’incertezza di misura del Q intrinseco del risonatore.
Appendici
L’appendice A 1 descrive sommariamente un generatore di segnali che è stato fatto
costruire appositamente per le esercitazioni qui descritte. Tra gli apparati necessari,
questo è l’unico che comporterebbe reali difficoltà qualora lo si volesse sostituire con
altri. La costruzione di una cinquantina di esemplari è stata affidata ad una ditta
privata (vedi pagina 110). Tale generatore può essere riprodotto anche da altri, senza
necessità di autorizzazioni.
Il voltmetro a valore di picco descritto in appendice A 2 può essere realizzato con
facilità. Per le esercitazioni proposte, risulta migliore di altri apparati perché è adatta
a funzionare a frequenze basse, consentendo di confrontare le misure con quelle degli
altri voltmetri.
L’appendice A 3 riporta il codici per leggere i valori dei componenti.
L’appendica A 4 fornisce indicazioni sulle caratteristiche degli strumenti necessarie
per le esercitazioni proposte, e notizie sulla reperibilità dei materiali consigliati. Per gli
strumenti di uso generale, i riferimenti ad apparati commerciali sono solo indicativi, e
non devono in alcun modo limitare la scelta fra quanto esiste sul mercato.
105
106
A1
Generatore di segnali
Alimentazione
k
k
k
k
DN
Uscita A
Uscita B
Uscita C
Uscita D
UP
Display
Selezione
forma d’onda
Uso
Il display indica il numero corrispondente alla forma d’onda, rappresentato con una
singola cifra esadecimale (da 0 a F). Il numero, e quindi la forma d’onda, può essere
cambiato agendo sui pulsanti UP (incrementa) e DN (decrementa); l’azione dei pulsanti
è ciclica, a modulo 16.
Alimentazione: simmetrica ±12..15 V (rosso +12, nero –12, verde massa).
Attenzione: regolare l’alimentatore prima di collegare il generatore di segnali. Poi
assicurarsi che l’alimentatore sia spento mentre si collegano i cavi. Le sezioni dell’alimentatore sono completamente indipendenti, e vanno collegate tra loro per formare la
massa dell’alimentazione simmetrica. Il morsetto di terra dell’alimentatore è collegato
alla terra dell’impianto elettrico, e non è collegato a massa.
§A 1
–
107
Forme d’onda
%
£
£
£
%
%
%e
% e
A0
A1
A2
A3
B0
B1
B2
B3
A4
A5
A6
A7
B4
B5
B6
B7
£Z
£ Z
Z
Z
Z
Z
A8
B8
e
e
e
108
A2
Sonda voltmetrica di picco
Sonda voltmetrica di picco
5%
10%
1%
5%
10%
Incertezze
0.6 V . . . 5 V
a 1 kHz
0.25 V . . . 10 V
”
400 Hz . . . 800 kHz (addizionale)
100 Hz . . . 400 Hz
”
40 Hz . . . 100 Hz
”
√
Nota 1 La sonda contiene la costante strumentale 1/ 2, realizzata sfruttando la
resistenza interna del voltmetro. Per segnali sinusoidali la lettura coincide con il valore
efficace.
Nota 2 Il campo di frequenza di impiego è assolutamente atipico rispetto ai voltmetri
di picco.
§A 3
A3
–
Resistenze, condensatori ecc.
109
Resistenze, condensatori ecc.
codice
nero
0
marrone 1
rosso
2
arancio
3
giallo
4
verde
5
blu
6
viola
7
grigio
8
bianco
9
oro
argento
dei
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
colori
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
10−1
1%
2%
5%
10%
Resistori
Il valore è dato in ohm da tre fasce colorate come nella tabella soprastante, che rappresentano le due cifre e il moltiplicatore. La quarta fascia indica la tolleranza. I valori
normalizzati della serie E12, per ogni decade, sono: 1, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9,
4.7, 5.6, 6.8, 8.2.
Esempio: giallo, viola, arancio, oro corrisponde a 47 kW al 5%.
Condensatori
La capacità dei condensatori è spesso indicata in picofarad con un codice a tre cifre del
tipo xyz dove
x e y sono le cifre significative della capacità
z è il moltiplicatore, da intendersi come ×10z .
Esempio: 224 corrisponde a 22×104 pF, ovvero 220 nF.
Il suffisso k, talvolta presente, indica che condensatore è ceramico (non si tratta di una
moltiplicazione per 1000).
La capacità può anche essere indicata in microfarad.
Esempio, .01 indica 0.01 µF = 10 nF; si noti l’assenza dello zero prima del punto
decimale.
Diodi
La fascetta solitamente indica il catodo (la corrente fluisce dall’anodo al catodo). È
bene non fidarsi perchè alcuni diodi hanno l’indicazione al contrario; si provi la polarità
con un multimetro e con un alimentatore di polarità nota.
110
A4
Strumenti e materiali
Strumenti e materiali
Alimentatori Per tutte le esercitazioni è necessario il “solito” alimentatore triplo da laboratorio, con almeno due delle sezioni regolabili orientativamente tra 0 e 20 V, con corrente
massima di 1 A e con protezione di corrente regolabile. Apparati idonei: Topward TPS 4000,
Philips PE 1542, e altri.
Per le misure di impedenza interna dell’alimentatore è necessario un apparato di modeste
prestazioni, anche a tensione fissa, con impedenza interna di almeno 20 mW; si può eventualmente usare un alimentatore modificato, inserendo all’interno un apposito resistore in serie
all’uscita.
Generatori di funzioni In commercio vi sono molti apparati idonei. Le caratteristiche
essenziali sono: frequenza tra alcuni hertz e alcuni megahertz almeno, ampiezza regolabile fino
ad almeno 5 Vpicco a vuoto, impedenza di uscita di 50 W, forme d’onda sinusoidale, triangolare
e quadra.
Oscilloscopi Per poter provare tutte le esperienze proposte è necessario un oscilloscopio a
doppia traccia, con una banda di almeno 20 MHz. Apparati idonei: Iwatsu SS7606, e altri.
Contatori di frequenza Nelle esercitazioni proposte si fa un uso marginale del contatore
di frequenza. Per l’esercitazione sui voltmetri in continua il contatore deve offrire la possibilità
di misure di intervallo di tempo (start/stop).
Amplificatori Possono essere usati amplificatori per bassa frequenza destinati a impianti
stereofonici o a strumenti musicali, con potenza di una decina di watt o più su 4–8 W. Al
Politecnico, sede di Torino, sono stati acquistati dei Marantz PM230 e dei Thema GT15.
Generatore di segnali Il generatore descritto nell’appendice A 1 è stato progettato appositamente per uso didattico. Il progetto, dell’autore, è pubblico, e pertanto può essere
riprodotto senza necessità di autorizzazioni. La costruzione degli esemplari finora disponibili
è stata affidata ad una ditta privata. Chi fosse interessato può contattare il sig. Roberto Romano, v. Pier Lombardo 51, Lumellogno (Novara), tf/fx 0321-469029; oppure il sig. Taglietti,
v. Leopardi 9, Tavernerio (Como), tf 031-427076, fx 420303).
Voltmetri Per l’esercitazione sui voltmetri in alternata è necessario disporre di un voltmetro
analogico a valore medio (Simpson 270, ICE 680R o altri), di un voltmetro a vero valore efficace
(Hewlett Pachard 34401, Philips PM2618X, o altri) e di un voltmetro a valore di picco adatto
a funzionare a frequenze di 500 Hz e inferiori. Vista la difficoltà di reperire in commercio
sonde idonee, è stata costruita la sonda voltmetrica descritta nell’appendice A 2; vale quanto
detto per il generatore di segnali.
Induttori Gli induttori utilizzati per le esercitazioni sui risonatori e sulle misure di potenza
non sono reperibili in commercio; gli esemplari disponibili, fatti costruire appositamente, presentano un’induttanza di 4.5 mH e una resistenza in continua attorno a 6 W e sono realizzati
su nucleo a olla del diametro di 19 mm. Chi fosse interessato può contattare la ditta Traspec,
v. dell’Industria 6 Arignano (Torino), tf 011-9462356/7, fx 9462351.
Lampadine Le lampadine utilizzate per l’esercitazione di misure di potenza hanno le seguenti caratteristiche nominali: 28 V, 40 mA. Tra le scelte possibili, vale la pena di considerare
quelle distribuite dalla RS Elettronica di Milano (art. 577-522 sul catalogo 1993), che hanno
i terminali costituiti da fili rigidi, e pertanto sono adatte all’uso su basette per montaggi.
Componenti particolari I componenti REF01 e SW06, usati per le esercitazioni sui voltmetri in continua, sono prodotti dalla Analog Devices e distribuiti (anche) da La Tecnikadue,
strada Arrivore 31, Torino, tf 011-2425905, fx 2425940.

Untitled - Enrico Rubiola

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