Trasformata di Laplace

ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI
Lezione VI: Trasformata di Laplace
• Traformata di Laplace: Definizione
• Segnali elementari
• Proprietà della Trasformata di Laplace
• Antitrasformata di Laplace
• Esempi
6-1
Trasformata di Laplace: Definizione
La Trasformata di Laplace di un segnale f (t) è la funzione di variabile complessa s ∈ C,
(s = σ + jω)
.
f (t) → F (s) =
Z
∞
.
f (t)e−stdt = L[f ]
0
Trasformate di Laplace di alcuni segnali elementari:
• Funzione impulso (Delta di Dirac)
½
.
0
se t 6= 0
f (t) = δ(t) =
+∞ se t = 0
Z
+∞
tale che
δ(t)dt = 1
−∞
si può considerare come il limite della successione di funzioni f² (t) per ² → 0, dove

1


se 0 ≤ t ≤ ²
.
²
f² (t) =


0
altrimenti
L[f ] = F (s) = 1
∀ s∈C
6-2
Trasformata di Laplace: Segnali elementari
SEGNALE
f (t)
F (s)
Impulso unitario
δ(t)
1
Gradino unitario
1(t)
1/s
Rampa unitaria
t 1(t)
1/s2
Parabola unitaria
(t2 /2)1(t)
1/s3
Esponenziale
eat 1(t)
1/(s − a)
Sinusoide
sin ωt 1(t)
ω/(s2 + ω 2 )
Cosinusoide
cos ωt 1(t)
s/(s2 + ω 2 )
Esponenziale+monomio
tn eat 1(t)
n!/(s − a)n+1
6-3
Trasformata di Laplace: Proprietà
• Linearità: c1f1 (t) + c2 f2 (t) → c1 F1 (s) + c2 F2 (s),
Esempio: δ(t) − 2 · 1(t) =⇒ F (s) = 1 −
2
s
• Teorema della traslazione nel tempo: f (t − a)1(t − a) → F (s)e−as
Esempio: 3 · 1(t − 2) =⇒ F (s) =
3e−2s
s
• Teorema della traslazione nella frequenza: eat f (t) → F (s − a)
Esempio: eat 1(t) =⇒ F (s) =
1
s−a
,
cos(ωt)1(t) =⇒ F (s) =
d
f (t)
dt
ω
s2 +ω 2
• Teorema della derivata nel tempo:
Esempio: sin(ωt)1(t) =⇒ F (s) =
s
s +ω 2
2
→ sF (s) − f (0+ )
d
• Teorema della derivata nella frequenza: tf (t) → − ds
F (s)
Esempio: t · 1(t) =⇒ F (s) =
1
s2
• Teorema dell’integrale nel tempo:
Rt
f (τ )dτ →
0
F (s)
s
6-4
• Teorema di convoluzione: Si definisce convoluzione di due segnali f (t) e g(t)
Z ∞
Z ∞
.
f (τ )g(t − τ )dτ =
g(τ )f (t − τ )dτ
(f ∗ g)(t) =
0
=⇒
L[(f ∗ g)(t)] = L[f (t)]L[g(t)] = F (s)G(s)
• Teorema del valore finale:
Esempio:
0
lim f (t) = lim sF (s)
t→+∞
(se esistono entrambi)
s→0
f (t) = (1 − e−t)1(t)
→
F (s) =
1
1
−
s
s+1
lim f (t) = lim sF (s) = 1
s→0
t→+∞
• Teorema del valore iniziale: lim+ f (t) = lim sF (s)
Esempio:
t→0
s→∞
f (t) = (1 − t)1(t)
→
F (s) =
lim f (t) = lim sF (s) = 1
t→0+
s→∞
1
1
− 2
s
s
Anti-Trasformata di Laplace di Funzioni Razionali
• Espansione in fratti semplici di F (s) (radici pi semplici):
n
X Ki
Q(s)
=
F (s) = Qn
,
(s
−
p
)
s
−
p
i
i
i=1
i=1
Ki = lim (s − pi )F (s)
s→pi
Ki è detto residuo di F (s) in pi ∈ C. Antitrasformando
f (t) =
n
X
Ki epi t · 1(t)
i=1
• Espansione in fratti semplici di F (s) (radici pi di generica molteplicità mi ):
k
mi
X X Kij
Q(s)
F (s) = Qn
=
,
j
(s
−
p
)
(s
−
p
)
i
i
i=1
i=1 j=1
1
d(mi −j)
Kij =
lim (m −j) (s − pi )mi F (s)
(mi − j)! s→pi ds i
Antitrasformando
k X
mi
X
Kij tj−1epi t
f (t) =
· 1(t)
(j − 1)!
i=1 j=1
6-6
• Se esiste una coppia di radici pi , pi complesse coniugate allora:
F 0 (s) =
Ki
Ki
αs + β
+
= 2
s − pi
s − pi
s + 2ζωn s + ωn2
ωn = |pi | pulsazione naturale
ζ = −Re[pi ]/|pi | coefficiente di smorzamento
µ
f 0 (t) = Ki epi t + K i epi t = 2|Ki | e−ζωn t cos ωn t
¶
q
1 − ζ 2 + 6 Ki
· 1(t)
• Possibili applicazioni: soluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
Esempio:
ÿ + 3ẏ + 2y = 1 − 3e−t
t ≥ 0 , y(0) = 1 , ẏ(0) = 0 .