ESERCITAZIONI DI

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ESERCITAZIONI DI

Università degli Studi di Bologna
II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
ESERCITAZIONI DI
DINAMICA DELLE MACCHINE E
DEI SISTEMI MECCANICI
Anno Accademico 2007-2008
prof. Alessandro RIVOLA
Tel. 0543 374441
[email protected]
Esercitazioni
Università degli Studi di Bologna – II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena
TABELLA di RIEPILOGO DEI RISULTATI
ESERCITAZIONI del CORSO di
DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI LS
EX 2 - IMPIANTO DI FRENATURA
Somma ultime due cifre numero di
Coppia frenante
matricola
per allievi del Corso di Laurea Specialistica in INGEGNERIA MECCANICA
Anno Accademico 2007-2008
e-mail: [email protected])
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Riduzione di forze e masse.
Impianto di frenatura.
Scelta di un innesto a frizione.
Analisi del transitorio di un ventilatore.
Calcolo del volano in un impianto funzionante in condizioni di regime periodico.
Calcolo di costanti elastiche.
Applicazione del metodo energetico.
Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato.
Applicazione del metodo energetico.
Risposta di un sistema ad un gdl ad una eccitazione a gradino con rampa iniziale.
Sistema a 2 gdl.
Vibrazioni torsionali di un motore marino.
Modifiche strutturali.
Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo.
Definizione dei parametri di acquisizione.
Vibrazioni flessionali con FEM.
I1
I2
I3
I4
I5
I6
S1
MATALAB: zero di funzione.
MATLAB: integrazione di equazioni differenziali (ODE).
MATLAB: calcolo di autovalori e autovettori di una matrice.
SIMULINK: integrazione di equazioni differenziali.
SIMULINK: integrazione di equazioni differenziali non lineari: presenza del gioco.
SIMULINK: modelli elementari di meccanismi.
Esercitazione sperimentale.
Misura di frequenze naturali. Scelta dei parametri di acquisizione. Eccitazione di una struttura con shaker
elettrodinamico. Eccitazione di una struttura con martello strumentato. Rilievo sperimentale di FRF.
Osservazioni sulla funzione coerenza. Estrazione dei parametri modali. Animazione dei modi di vibrare.
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
Tiro fune
[J]
[N]
EX 3 - TRANSITORIO DI AVVIAMENTO TRAMITE INNESTO A FRIZIONE
Resto divisione per 4 del n. di matricola
Vel. angolare a REGIME
Coppia a REGIME
Scelta innesto No.
Istante di sincronismo ts
Durata fase per il raggiungimento del regime Tr
Durata totale del transitorio: T = Tc+Ts+Tr
Lavoro dissipato in una operazione di innesto
Massima frequenza ammissibile
No. di inserzioni richiedenti la regolazione del tra ferro
No. totale di inserzioni
EX 4 - TRANSITORIO DI AVVIAMENTO DI UN VENTILATORE
ultima cifra del numero di matricola
Omega 1 segnato
Omega di regime
Istante t1
Istante TR (99% regime)
99% omega di regime
[rad/s]
[Nm]
[s]
[s]
[s]
[J]
[Hz]
[rad/s]
[rad/s]
[s]
[s]
[rad/s]
EX 5 - DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO
ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
Vel. angolare minima Omega1
Vel. angolare massima Omega0
Momento di inerzia del volano
Motore scelto No.
Potenza
[rad/s]
[rad/s]
[kgm2]
[W]
EX 8 - FREQUENZA PROPRIA FLESSIONALE DI UN SERBATOIO ELEVATO
u=
v=
Prima frequenza propria
[Hz]
EX 12 - VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO
v=
Seconda frequenza propria
Rapporto r1=[Φ2/Θ1]1
Rapporto r2=[Φ2/Θ1]2
ESERCITAZIONI: MODALITÀ DI ESAME
Le esercitazioni riguardano complementi ed applicazioni degli argomenti del corso.
Tutte le esercitazioni svolte ed elencate sono materia di esame.
I testi sono disponibili in segreteria e sul sito del docente http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola.html.
Alcune esercitazioni sono contraddistinte da un asterisco (*).
Al momento di sostenere l’esame, l’allievo è tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice tali esercizi,
svolti secondo le seguenti modalità:
1. Gli esercizi devono venire eseguiti su fogli formato A4 o su un quaderno dello stesso formato. Sul quaderno - o
su ciascuno dei fogli - devono essere chiaramente indicati cognome, nome e numero di matricola dell’allievo.
2. Non è ammesso scrivere a matita.
3. Lo svolgimento deve contenere: il testo e i dati dell’esercizio; l’elenco dei simboli con il relativo
significato numerico; la traccia dello svolgimento; tutte le formule impiegate, scritte prima in forma
letterale e poi con i valori numerici delle varie quantità; i risultati, con l’indicazione delle unità di misura; i
grafici qualora richiesto.
4. Il sistema di unità di misura adottato è il Sistema Internazionale (SI).
Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici
Lavoro dissipato
[Nm]
prof. Alessandro RIVOLA
(Tel. 0543 374441
Esercitazioni
E–1
EX 13 – MODIFICHE STRUTTURALI
Terza frequenza propria
Seconda frequenza propria dopo le modifiche
[Hz]
[Hz]
u=
v=
[rad/s]
[rad/s]
[rad/s]
[rad/s]
EX 15 – DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE
Frequenza di taglio del filtro passa basso (anti-aliasing)
Frequenza di campionamento minima
Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT
EX 16 – VIBRAZIONI FLESSIONALI CON FEM
Primo Modo
w3=
w4=
Secondo Modo
w3=
w4=
u=
v=
[Hz]
[Hz]
v=
w5=
w5=
[Hz]
[Hz]
w6=
w6=
E–2
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 1 – RIDUZIONE DI MASSE E MOMENTI DI INERZIA
Esercizio 1
Per l’ingranaggio pignone–dentiera
di figura, dati la massa m della
dentiera, il raggio primitivo R del
pignone ed il suo momento di inerzia
JO (rispetto al suo asse di rotazione
O), trovare:
(i) la massa equivalente del sistema
ridotta alla coordinata x
(ii) il momento di inerzia equivalente
ridotto all’asse O.
(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 33)
T=
1 2 1 &2
mx& + J oθ
2
2
Esercizio 2
Due cilindri, aventi momenti di inerzia J1 e J2,
sono calettati su due alberi paralleli rigidi e di
massa trascurabile, collegati da un ingranaggio le
cui due ruote, indicate con 1 e 2 in figura, hanno
rispettivamente numero di denti pari a n1 e n2 e
massa trascurabile.
Trovare il momento di inerzia equivalente risotto
alla coordinata θ1.
Esercizio 5
Per il meccanismo di
distribuzione di figura sono note
le proprietà inerziali dei membri
dotati di moto alterno: la massa
mp dello spintore, la massa mr del
bilanciere, il suo momento di
inerzia baricentrico JrG, la massa
mv della valvola.
Ritenendo le masse di rotella e
molla trascurabili, trovare la
massa alterna equivalente del
meccanismo assumendo che tale
massa sia collocata:
(i) nel punto A
(ii) nel punto C
Esercizio 3
Per il meccanismo di
figura, dati la massa m
del carrello, la massa m2
del membro rigido 2, il
momento di inerzia J1 del
membro rigido 1 rispetto
al suo asse di rotazione
O, il momento di inerzia
baricentrico JpG della
puleggia, la massa mc del
cilindro ed il suo
momento di inerzia
baricentrico JcG, trovare
la massa equivalente del
sistema ridotta ad un
punto del carrello.
Si noti che il membro
rigido 1 ruota
solidalmente alla
puleggia.
Esercizio 4
Con riferimento alla seguente figura,
trovare la massa equivalente del sistema
ridotta alla coordinata x.
T=
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
T = mx& 2 + J pGθ&p + J1θ&1 + m2 x& 2 + mc x& 2 + J cGθ&c
2
2
2
2
2
2
E–3
1
1
1
1
2
2
2
2
m p x& p + mv x&v + J rGθ&r + mr x& r
2
2
2
2
E–4
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 2 – IMPIANTO DI FRENATURA (*)
Esercitazione 3 – SCELTA DI UN INNESTO A FRIZIONE (*)
Determinare la coppia frenante che deve essere applicata dal freno per arrestare l’impianto di
montacarichi schematizzato in figura nell’intervallo di tempo ∆t.
Si ipotizzi che durante la manovra di arresto la coppia frenante sia costante e la coppia fornita dal motore
sia nulla ed, inoltre, che all’inizio della manovra stessa il carico stia scendendo con velocità v costante.
Si calcoli inoltre:
- il lavoro dissipato dal freno durante la manovra di arresto;
- l’intensità della forza sollecitante la fune durante la frenatura.
Si consideri un impianto (fig. 1) costituito da un motore elettrico asincrono trifase, un innesto a frizione
ad azionamento elettromagnetico, un riduttore ad ingranaggi ed una macchina operatrice.
Riguardo al motore elettrico, sono noti la potenza, Pn, e lo scorrimento, sn, in condizioni nominali, ed il
valore della velocità angolare a vuoto, n10; si determini la caratteristica meccanica, considerandola
lineare nel campo di funzionamento normale.
Sono noti anche la caratteristica meccanica della macchina operatrice, M3 = M30 + k3Ω3 (il momento
resistente M3 è somma di un termine costante M30 ed uno dipendente linearmente dalla velocità angolare
Ω3), il rapporto di trasmissione del riduttore, τr, il momento di inerzia delle parti a monte dell'innesto, J1 ,
e quello delle parti poste a valle dell'innesto stesso, J3, ridotto all'asse della macchina operatrice.
In tab. 1 sono riportate le caratteristiche tecniche di una serie di innesti a frizione dello stesso tipo (fig. 2),
in ordine crescente di dimensioni. Si scelga tra questi l'innesto che soddisfa le seguenti condizioni:
Q = peso del carico
v = velocità di discesa del carico all’inizio della manovra
R = raggio del tamburo
∆t = tempo di frenatura
J1 = momento di inerzia complessivo dei componenti a monte del riduttore
J2 = momento di inerzia complessivo dei componenti a valle del riduttore
τ = rapporto di trasmissione del riduttore
η‘ = rendimento del riduttore nel moto retrogrado
1) il momento applicato alla macchina operatrice non superi il valore M3max;
2) la durata globale T del transitorio di avviamento con macchina operatrice ferma e motore funzionante
a vuoto, non superi il valore Tmax; T è il tempo intercorrente tra l'istante in cui è azionato
l'elettromagnete e l'istante in cui l'impianto ha raggiunto il 99% della velocità di regime;
3) il lavoro dissipato in una singola operazione di innesto, Lp, non sia superiore al massimo valore
ammissibile per l'innesto scelto (v. tab. 1);
Per motivi di ingombro, inerzia e costo, la scelta deve cadere sull'innesto di dimensioni più piccole che
soddisfa le condizioni precedenti.
Si consideri costante il momento Mf trasmesso dall'innesto in condizioni di slittamento.
Si trascurino le perdite per attriti in organi diversi dall'innesto.
In base ai dati riportati in tab. 1, si calcoli per l'innesto scelto:
4) la massima frequenza di inserzione ammissibile, fimax;
5) il numero di inserzioni zr intercorrenti tra due operazioni successive di regolazione del traferro;
6) il numero totale di inserzioni zmax durante la vita utile del disco di frizione.
Infine si tracci l’andamento in funzione del tempo delle velocità angolari durante il transitorio.
DATI
Resto divisione per 4
del n. di matricola
Resto divisione per 4
del n. di matricola
Pn
[kW]
sn
E–5
0
1
2
4
4
4
3
7.5 k3
[Nm/(rad/s)]
0.05 0.04 0.05 0.03 J1
[kgm²]
n10 [rpm] 1500 3000 750 750 J3
[kgm²]
τr
1/15 1/21
M30 [Nm]
100
1/9
1/7 M3max [Nm]
70 120 180 Tmax
[ms]
0
1
2
3
18
9
25
30
0.005 0.005 0.005 0.013
1.8
0.9
2.7
3.2
1200 1000 1400 2200
75
75
85
85
E–6
Esercitazioni
TIPO
Mf
Tab. 1 - Caratteristiche tecniche degli innesti
3
4
5
6
7
8
[Nm]
12
23
43
75 145 280
Esercitazione 4 – TRANSITORIO DI AVVIAMENTO (*)
9
570
Tc
J1f
[10-3kgm2] 0.128 0.319 0.868 1.94 5.0 16.5 45.0
J2f
[10-3kgm2] 0.035 0.105 0.297 0.704 1.4
[ms]
10
12
12
20
25
50
8.1
Si richiede di:
Valutare il tempo TR necessario per portare il ventilatore alla velocità di regime ωR.
Tracciare l’andamento in funzione del tempo della velocità angolare durante il transitorio.
31.5
[kJ]
4.4
6.9
14.8
20
50
80
Ppmax
[W]
86
112
140
196 290 370
499
Lph
[MJ/mm]
143
251
343
509 789 1270 2240
hr
[mm]
0.1
0.15
0.2
0.3
0.4 0.45
0.5
hmax
[mm]
0.8
1.0
1.2
1.4
1.7
1.8
2.0
Mf - momento trasmesso in condizioni di slittamento
Tc - durata della fase di accostamento delle superfici
di frizione (recupero del traferro)
J1f - momento di inerzia delle parti dell'innesto
solidali con l'albero motore
J2f - momento di inerzia delle parti dell'innesto
solidali con l'albero condotto
Lpmax - lavoro dissipato massimo ammissibile per
ogni operazione di innesto
L'impianto di fig.l è costituito da un motore elettrico asincrono trifase, da un riduttore ad ingranaggi e da
un ventilatore. Il riduttore è a sua volta costituito da due ruote dentate A e B.
60
Lpmax
32
Esercitazioni
Ppmax - valore massimo ammissibile
della potenza media dissipata
Lph - lavoro dissipato per unità di
spessore usurato del disco di frizione
hr - spessore usurato richiedente la
regolazione del traferro
hmax - spessore massimo utile del disco
di frizione
DATI
ξ
Motore:
Riduttore:
ξ
I m = 0.05 +
kg ⋅ m2 (mom. inerzia)
200
Pn = 5 kW (potenza nominale)
z A = 20 + ξ
ω10 = 1500 rpm (velocità a vuoto)
ω1n = 1420 rpm (velocità nominale)
Fig. 1 – Schema dell'impianto
ξ 

M m 0 =  2.0 +  ⋅ M mn
20 

z B = 100 + ξ
ξ 

I A =  2.0 +  ⋅ 10− 4 kg ⋅ m 2 (mom. inerzia ruota A)
10


ξ  −1

2
I B = 1.2 +
 ⋅ 10 kg ⋅ m (mom. inerzia ruota B)
100 

Ventilatore:
Pvn = 4 kW (potenza nominale)
nv n = 280 rpm (velocità nominale)
I v = 30.0 +
ξ
kg ⋅ m2 (mom. inerzia ve ntilatore)
10
Fig. 3 – Sistema ridotto
Fig. 2 – Innesto a frizione ad
azionamento elettromagnetico
E–7
E–8
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 5 – DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO (*)
Si consideri un impianto funzionante in servizio continuo in condizioni di regime periodico.
L'impianto è costituito da un motore asincrono trifase a quattro poli, un riduttore ed una macchina
operatrice di tipo rotativo.
Il motore, alimentato in corrente alternata a 50 Hz, ha potenza nominale Pn, scorrimento nominale sn e
momento d'inerzia Jm. Al variare dell'angolo di rotazione dell'albero motore il momento resistente della
macchina operatrice ridotto all'asse del motore ha andamento costante a tratti: all'interno del periodo vale
Mrl per i primi gl giri dell'albero motore, ed è pari ad Mr2 per i successivi g2 giri. Sia inoltre J0 il momento
d'inerzia dell'intero impianto, ad esclusione del motore, ridotto all'albero motore.
Si richiede di:
fig. 2 – Caratteristica meccanica del motore
-
fig. 3 – Caratteristica meccanica del ventilatore
scegliere il motore elettrico all'interno della gamma fornita;
calcolare il momento d 'inerzia del volano da calettare sull'albero motore per conseguire il grado di
irregolarità δ assegnato.
Esempio numerico:
DATI
I m = 0.05 kg ⋅ m 2
Pn = 5 kW
Pvn = 4 kW
τ = 0.2
ω10 = 1500 rpm
ω1n = 1420 rpm
I A = 2.0 ⋅10
−4
kg ⋅ m
−1
I B = 1.25 ⋅ 10 kg ⋅ m
M m 0 = 2.5 ⋅ M mn
I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola (numero di matricola
= #####uv).
nv n = 280 rpm
2
Mrl = 50 + 2 u2 + 3 uv + 10 v [N m]
Mr2 = 7 + v [N m]
J0 = 1 + v/4 [kg m2]
I v = 30.5 kg ⋅ m 2
2
Risultati:
Motori elettrici disponibili:
Omega 1 segnato = 136.1357 [rad/s]
Omega di regime = 149.9668 [rad/s]
Istante t1 = 2.2985 [s]
Istante TR (99% regime) = 2.9459 [s]
99% omega di regime = 148.4671 [rad/s]
Pn
Sn
Jm
[kW]
[%]
[kgm2]
Pn
Sn
Jm
[kW]
[%]
[kgm2]
1
Transitorio di avviamento
250
5.5
4.67
0.0165
2
7.5
4.67
0.0213
gl = 12 + u [giri]
g2 = 16 - v [giri]
δ = 0.014
3
4
11.
4.00
0.049
15
3.67
0.063
10
55.
2.00
0.570
7
8
9
30.
3.00
0.183
37.
2.67
0.318
45.
2.33
0.383
5
18.5
3.33
0.103
11
75.
2.00
0.930
6
22.
3.33
0.123
12
90.
2.00
1.168
Velocita' angolare [rad/s]
200
150
100
50
0
0
1
2
3
Tempo [s]
4
5
6
E–9
E – 10
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 6 – CALCOLO DI COSTANTI ELASTICHE
Esercizio 3
Esercizio 1
Con riferimento al carrello
ferroviario mostrato in figura,
determinare la costante elastica
equivalente di ciascuna
sospensione realizzata con tre
molle ad elica in acciaio (modulo
di elasticità tangenziale
G = 8 × 1010 N/m2) aventi
diametro D = 20 cm e diametro
della spira d = 2 cm.
Con riferimento al propulsore
ad elica di figura, determinare
la rigidezza torsionale
dell’albero, noto il modulo di
elasticità tangenziale del
materiale G = 8 × 1010 N/m2.
Esercizio 4
Con riferimento alla
macchina per sollevamento
carichi di figura,
determinare la costante
elastica equivalente del
sistema in direzione
verticale.
Il puntone è realizzato in
acciaio ed ha una sezione
costante pari a 2500 mm2, il
cavo è anch’esso in acciaio
con sezione pari a 100 mm2.
Si trascuri l’influenza del
tratto di cavo CDEB.
Esercizio 2
Con riferimento
all’impianto di
sollevamento di figura,
determinare la costante
elastica equivalente del
sistema quando
lunghezza libera della
fune è pari a l.
E – 11
E – 12
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 7 – APPLICAZIONE DEL METODO ENERGETICO
Esercitazione 8 – FREQUENZA PROPRIA DI UNA COLONNA CON SERBATOIO ELEVATO
(*)
Determinare la pulsazione naturale di un cilindro di raggio r e massa m che rotola senza strisciare entro
un tubo di raggio R.
Determinare la prima frequenza propria di vibrazione flessionale della colonna con serbatoio elevato
mostrata in figura, supponendo che la sezione tubolare della colonna sia costante.
Si esprima il risultato in Hz utilizzando almeno cinque cifre significative.
Dati:
D = diametro esterno della colonna
d = diametro interno della colonna
l = lunghezza della colonna
E = modulo di elasticità del materiale della colonna
Q = peso del serbatoio
ρ = massa volumica del materiale della colonna
Energia cinetica
1
2
2
T = mvG + I G ϕ& 2
2
mr 2
IG =
Rϑ = rΦ
vG = ( R − r )ϑ&
2
 R −r  &
ϕ& = 
ϑ
 r 
2
1
mr 2  R − r   & 2
T = m ( R − r ) 2 +

 ϑ
2 
2  r  
3
2
TMAX = m ( R − r ) 2 ω n Θ 2
4
(
Energia potenziale
V = mg ( R − r )(1 − cos ϑ ) ≈ mg ( R − r )
VMAX
ϑ2
2
1
= mg ( R − r )Θ 2
2
V MAX =
)
I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola
(numero di matricola = #####uv).
D = 3. + u/10 [m]
d = 2.45 + v/30 [m]
l = 90 + u2 /5 – v [m]
ρ = 2400 + v2 + u [kg/m3]
E = 2.8 × 1010 [N/m2]
Q = (2.7 + u2 /100 + uv /50) × 106 [N]
1
13
2
mg ( R − r )Θ 2 = TMAX =
m ( R − r ) 2 ω n Θ2
2
22
ωn =
2g
3( R − r )
E – 13
E – 14
Esercitazioni
Esercitazione 9 – APPLICAZIONE DEL METODO ENERGETICO
Esercitazione 10 – RISPOSTA DI UN SISTEMA SDOF AD UNA ECCITAZIONE A GRADINO
CON RAMPA INIZIALE
Trovare la frequenza naturale di oscillazione del sistema rappresentato in figura, costituito da un cilindro
omogeneo di raggio r, massa m e momento di inerzia baricentrico JG, vincolato a telaio da due molle di
rigidezza k, nell’ipotesi che il cilindro rotoli sul piano senza strisciare.
Dati:
m
r
k
a
Esercitazioni
Determinare la risposta del sistema ad un grado di libertà rappresentato in figura, per una eccitazione a
gradino di ampiezza F0 preceduta, per 0 < t < t1, da una rampa.
F(t)
massa del cilindro
raggio del cilindro
rigidezza delle molle
distanza tra il baricentro del disco e il punto di attacco delle molle
F(t)
m
F0
x(t)
m, JG
k
a
G
k
k
θ
0
m
k
F0
t1
massa
costante elastica della molla
ampiezza del gradino
istante finale della rampa
t
Risultato:
t
Dati:
r
4k ( r + a )
ωn =
3mr 2
t1
x (t ) = ∫ F (τ ) h(t − τ ) dτ
2
h( t ) =
0
x1 ( t ) =
F0  t sin ω n t 
 −

k  t1
ω n t1 
1
sin ωn t
m ωn
x1 (t − t1 ) =
F0  t − t1 sin ω n (t − t1 ) 


−
k  t1
ω n t1

4
1.2
1
x (t)
1
2
0.8
t
0
1
0.6
0.4
-x (t-t )
1
-2
1
0.2
t
-4
0
E – 15
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
1
0.4
0.6
0.8
1
E – 16
Esercitazioni
Esercitazione 11 – SISTEMA A DUE GDL
Esercitazione 12 – VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO (*)
In figura è rappresentato lo schema di un motore marino connesso all’elica mediante un riduttore ad
ingranaggi ad uno stadio. Noti i momenti di inerzia del volano, del motore, delle ruote dentate, dell’elica e
le dimensioni degli alberi, trovare le frequenza naturali e i modi di vibrare torsionali del sistema.
Nel sistema vibrante di figura, in cui le
masse sono dotate del solo moto in
direzione verticale, si assuma n = 1.
•
Trovare le frequenze naturali e le
forme modali.
•
Trovare quali condizioni devono
soddisfare le condizioni iniziali
affinché il sistema vibri solo nel
primo o solo nel secondo modo.
Esercitazioni
In particolare:
* si trascuri l’inerzia degli alberi;
* si esprima il risultato utilizzando almeno cinque cifre significative;
* si esprimano le frequenze naturali in Hz;
* indicata con θ la rotazione dell’asse motore e con ϕ la rotazione dell’asse dell’elica, esprimere i
modi di vibrare nella seguente forma:
Φ 
Φ 
r1 =  2 
r2 =  2 
Θ
 1 1
 Θ1 2
Dati:
Jv
Jm
J1
momento di inerzia del volano
momento di inerzia del motore
momento di inerzia ruota 1
J2
Je
G
momento di inerzia ruota 2
momento di inerzia dell’elica
modulo di elasticità tangenziale acciaio
I dati sono espressi in funzione dell’ultima cifra v del numero di matricola
(numero di matricola = #####v).
Jv = 35000 [kg m2]
Jm = 1000 – 5 v2 [kg m2]
J1 = 250 – v [kg m2]
E – 17
J2 = 150 + 2v [kg m2]
Je = 2000 + 20 v2 [kg m2]
G = 8 × 1010 [N/m2]
E – 18
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 13 – MODIFICHE STRUTTURALI (*)
Esercitazione 14 – APPLICAZIONE DEL METODO DI RAYLEIGH AD UN CONTINUO
In figura è rappresentato un sistema a 3 gdl.
Noti i valori delle masse e delle rigidezze, calcolare:
Utilizzare il metodo di Rayleigh per calcolare la prima
frequenza propria del sistema rappresentato in figura.
1)
2)
k1
le 3 pulsazioni naturali del sistema (in rad/s)
le 3 forme modali (eseguire la normalizzazione in
modo che la prima componente sia unitaria)
Inoltre, introdotte nel sistema le modifiche strutturali
indicate nel seguito, calcolare il nuovo valore della seconda
pulsazione propria del sistema impiegando il quoziente di
Rayleigh.
La trave ha modulo elastico E, momento di inerzia di
sezione I, sezione S, densità ρ ed alla sua estremità si trova
una massa concentrata m. Nella sua mezzeria la trave è
collegata a telaio mediante una molla di rigidezza k.
m1
k2
m1 = 2 m
m2 = 3 m
m3 = 2 m
k1 = 4 k
k2 = 3 k
k3 = 5 k
m
k
  x  2  x 3 
ϕ ( x) = 3  −   
  L   L  
k3
  x 2  x 3 
v( x, t ) = ϕ ( x ) f (t ) = 3  −    f (t )
  L   L  
Dati:
[kg]
[N/m]
L/2
Si suggerisce di impiegare la funzione di forma seguente:
m2
m3
m = 1 + u / 10
k = 1 – v / 10
L/2
Modifiche strutturali:
2
∆m3 = 0.4 m
∆k2 = 0.7 k
V=
2
L
L
 ∂ 2v 

1
1
1
1
d 2ϕ 
EI  2  dx + k [v( x, t )]2x= L / 2 = ∫ EI  f (t ) 2  dx + k f 2 (t ) [ϕ ( x)]2x= L / 2 =
∫
2 0  ∂x 
2
20 
2
dx 
2
1
36   x 
1
25 1
25 
 12
EI f 2 (t ) 4 ∫ 1 −   dx + k f 2 (t ) = f 2 (t )  EI 3 + k 
2
2
64 2
64 
L
L 0   L 

L
=
T=
2
2
[
]
2
1
1  ∂v 
1
1
 ∂v 
ρS   dx + m  
=
ρS f& (t )ϕ ( x) dx + m f& 2 (t ) [ϕ ( x)]2x= L =
2 ∫0  ∂t 
2  ∂t  x = L 2 ∫0
2
L
L
2
=
2
3
L
1
1
1
33
1
 x  x 
ρS f& 2 (t ) ∫ 3  −    dx + m f& 2 (t ) 4 = ρS f& 2 (t ) L + m f& 2 (t ) 4 =
2
L
L
2
2
35
2





0

=
1 & 2  33

f (t )  ρS L + 4m
2
 35

&f&(t )  ρS 33 L + 4m + f (t )  EI 12 + k 25  = 0
 35

64 
L3



Equazione del moto:
12
Risultato:
E – 19
ω1 =
EI 25
+
k
L3 64
33
ρSL + 4 m
35
E – 20
Esercitazioni
Esercitazioni
Esercitazione 15 – DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE (*)
Esercitazione 16 – VIBRAZIONI FLESSIONALI CON FEM (*)
Si vogliono effettuare rilievi sperimentali di vibrazione su una struttura. L’analisi va condotta all’interno
del campo di frequenze 0 ÷ f* e, ai fini dell’analisi, occorre ottenere una risoluzione spettrale massima
pari a ∆f.
In figura è rappresentata una trave incastrata ad entrambi gli estremi avente sezione quadrata con
dimensioni variabili a tratti. Note le dimensioni della trave e le caratteristiche del materiale (modulo di
Young E e densità ρ), trovare le prime due frequenze naturali e i rispettivi modi di vibrare flessionali del
sistema impiegando il metodo degli elementi finiti.
Determinare:
1. La frequenza di taglio del filtro passa basso anti-aliasing
2. La frequenza di campionamento minima
3. Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT (Fast
Fourier Transform)
In particolare:
* modellare la trave con tre elementi di tipo beam;
* esprimere le frequenze naturali in Hz;
* normalizzare le forma modali in modo da porre la massima componente al valore unitario.
I dati sono espressi in funzione dell’ultima cifra v del numero di matricola
(numero di matricola = #####v).
l1 = 0.4 – v/200 [m]
l2 = 0.32 +v/100 [m]
l3 = 0.24 + v/100 [m]
a = 0.02 [m]
b = 0.03 [m]
c = 0.01 [m]
axa
ρ = 7800 [kg/m3]
E = 2.06 × 1011 [N/m2]
bxb
cxc
Dati:
f* = 3000 + 10 u – 20 v
∆f = 10 + 0.1 uv + 0.5 v2
l1
[Hz]
[Hz]
l2
l3
E – 21
E – 22

ESERCITAZIONI DI

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