Analisi I - Vol 1

Argomenti di Matematica per l’Ingegneria - Volume I - Esercizi proposti
Esercizi proposti - Gruppo 15
1) f(x) è una funzione definita in un intorno destro di x0 I = [x0 , b[, ed è derivabile in I̊ =]x0 , b[.
Sia f 0 (x) la funzione derivata di f(x) in ]x0 , b[. Supposto che esista il limite
lim f 0 (x) = L ∈ R
x→x0+
si chiede:
(a) se è giusto affermate che f(x) è derivabile anche in x0 ;
(b) se, supposto che f(x) sia derivabile anche in x0 , si può dedurre che deve aversi
f 0 (x0 ) = L
2) Si considerino gli insiemi di numeri reali
A = {x ∈ R : x3 + 7x2 + 10x < 0}
e
Bλ = {x ∈ R : (x + 2)2 (λ − x) ≥ 0}
Si chiede:
(a) di determinare i valori di λ per cui risulta
Bλ ⊃ A
(b) di determinare i valori di λ per cui si ha che
Bλ ∩ A è un intervallo
assegnandone gli estremi per ogni λ trovato
3) Date le due funzioni
f(x) = x2 + 2x + 1
ha = ax2 − 2ax − 1
,
si chiede:
(a) di stabilire per quali valori di a i grafici
G(f)
e
G(ha )
risultano tangenti fra loro in qualche punto, determinando le coordinate del punto di
contatto per ogni a trovato, e l’equazione della tangente comune ai due grafici in esso;
(b) di trovare per quali valori di a i grafici di f(x) e ha (x) hanno una retta tangente ad entrambi,
parallela alla retta b2 : y = −x, precisando, per ogni a trovato, le coordinate dei punti di
contatto di ciascuno dei due grafici con tale retta tangente.
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4) È data la funzione f(x) definita a tratti nel modo che segue
 1
x + 2 
−2−x

, se

e
x < −3

 10
DEF. 
x + 3
f(x) = 



−3−x x + 2 
 10e
x + 3 , sex > −3
Si chiede:
(a) di studiare in modo completo f(x): in particolare, determinare i punti di minimo e massimo
relativo o assoluto;
(b) di tracciare un grafico accurato di f(x), ponendo in evidenza di attacchi sinistro e destro
relativi al punto −2;
(c) di calcolare, al variare del parametro λ ∈ R+ , il numero n(λ) delle soluzioni distinte
dell’equazione
f(x) = λ
5) Data la funzione
f(x) =
2 |x|
1 + x2
definita su tutto R, si chiede:
(a) di verificare che f(x) è continua ovunque in R;
(b) di determinare il sottoinsieme D0 di derivabilità di f(x), fornendo un’espressione esplicita
di f 0 (x) in D0 ;
(c) di riconoscere che f(x) ammette derivata destra e sinistra in 0, calcolando
f+0 (0)
e
f−0 (0)
(d) di accertare che in tutto D0 f(x) ammette derivata seconda f 00 (x), fornendo l’espressione
esplicita di f 00 (x) in D0 ;
(e) di trovare i punti di massimo e di minimo relativo o assoluto di f(x);
(f) di individuare i flessi del grafico G(f) di f(x), determinando le equazioni delle rette tangenti
a G(f) in ciascuno di essi;
(g) di dimostrare che ognuna delle rette tangenti a G(f) in un suo flesso F interseca G(f) solo
in F;
(h) di determinare il numero n(λ) di soluzioni distinte dell’equazione
f(x) = λ
al variare del parametro λ in R.
6) Date le due funzioni
√
f(x) = (1 + x2 ) x ,
33 5
g(x) = 1 + √3 x 6
2 4
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le si studi contemporaneamente, fornendo i grafici G(f) e G(g), e dimostrando che hanno come
unico punto comune il punto
P(4, 34)
È vero che entrambi i rami destri di G(f) e G(g) risultano di tipo parabolico? In caso affermativo
i limiti delle direzioni tangenziali dei due rami si possono determinare?
7) Calcolare il
lim
x→0
al variare del parametro λ in R.
q
√
3 + 2 sin3 x − tg4 x − 3
(1 − cos x)λ
8) Una funzione f(x) è definita e continua in tutto R+ ∪ {0} ed è derivable 2 volte in tutto R+ . Si
chiede se, per una tale funzione, sono compatibili le seguenti condizioni:
(a) f(x) < 0, ∀ x ∈ R+ ;
(b) f 00 (x) > 0, ∀ x ∈ R+ ;
(c) lim f(x) = 0.
x→+∞
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