Il rubinetto gocciolante: tra ordine e caos

DIESSE FIRENZE
Didattica e Innovazione Scolastica
Centro per la formazione e l’aggiornamento
SCIENZAFIRENZE
DECIMA EDIZIONE
Docenti e studenti a confronto su:
ORDINE E DISORDINE NEL MONDO DELLA NATURA
La dimensione sperimentale nello studio delle scienze
Aula Magna
Polo delle Scienze Sociali, Università di Firenze
Fienze, 16 – 17 aprile 2013
PRIMO CLASSIFICATO – SEZIONE TRIENNIO
Titolo: Il rubinetto gocciolante: tra ordine e caos
Di: Mattia Cappelletti, Lucia Codecà, Rachele Contini, Stefano Landoni, Marcello Zani
Classe:5 T
Scuola: Liceo Scientifico Tecnologico “A. Cesaris” di Casalpusterlengo (LO)
Docente coordinatore: prof. Fabrizio Giannelli
MOTIVAZIONE: L’argomento scelto sviluppa il tema del concorso in modo adeguato e originale. Interessante il
collegamento con la tematica “transizione dall’ordine al caos”, con studio del gocciolamento di un rubinetto:
argomento complesso e lavoro sperimentale non facile, ma condotto a termine in modo efficace. Al contributo
importante dei docenti (di classe e di laboratorio) si accompagna, come traspare dalla relazione, un forte impegno e
coinvolgimento degli studenti. Molto validi i risultati presentati con rigore e chiarezza, ben argomentate le
conclusioni.
RELAZIONE DEL DOCENTE REFERENTE
Il lavoro proposto ha carattere sperimentale ed è uno tra gli esperimenti più interessanti nell’ambito del caos
deterministico realizzabili in un laboratorio di fisica di scuola superiore. L’idea del progetto nasce dall’esigenza di
affrontare un argomento di fisica moderna (poco o per nulla presente nei testi di liceo) con un approccio di lavoro
simile a quello di un ricercatore sia nell’impegno richiesto che nello spirito, nel senso che viene privilegiata la
“scoperta” alla “verifica”; aspetto che normalmente caratterizza l’attività didattica laboratoriale.
L’esperimento consiste essenzialmente nello studiare la dinamica di un “rubinetto gocciolante” attraverso la
determinazione dei tempi di formazione delle gocce.
La realizzazione dell’apparato sperimentale non risulta particolarmente difficile nella parte meccanica, mentre per
quanto riguarda la parte elettronica di rilevamento delle gocce richiede delle competenze che il gruppo di studenti
coinvolti nel progetto non aveva, quindi tale parte, che consiste essenzialmente nella realizzazione di un circuito e
nell’interfacciarlo con un computer, è stata realizzata con l’aiuto del docente di laboratorio di fisica che ha
competenze in ambito elettronico.
Rispetto a quanto trovato in letteratura, abbiamo utilizzato un sistema di rilevamento elettronico delle gocce
leggermente diverso ed inoltre abbiamo usato liquidi diversi e ugelli (tubicini in cui si forma la goccia e che giocano
un ruolo rilevante nella dinamica del gocciolamento) di forme e materiali diversi. In particolare, nella tesina sono
riportati i risultati ottenuti con soluzione di acqua e sapone liquido. Le dinamiche di gocciolamento con questa
soluzione sono molto più varie rispetto a quelle ottenute con acqua distillata (liquido usato in tutti i lavori trovati
sull’argomento).
Il lavoro è stato svolto essenzialmente in tre fasi.
Innanzitutto è stata presentata la teoria del progetto a tutta la classe, prendendo in visione un video su una
conferenza tenuta da Ugo Amaldi sul caos deterministico. In seguito abbiamo aperto una discussione e
approfondito alcuni aspetti rilevanti dei sistemi dinamici caotici in generale ed in particolare sul “rubinetto
gocciolante”. Nei giorni successivi i ragazzi coinvolti nel progetto hanno tradotto alcuni tra i più significativi articoli
trovati sull’argomento.
Nella seconda fase, prendendo spunto dai lavori esaminati e da alcune idee del docente referente, si è progettato
l’apparato sperimentale e successivamente realizzato. Quindi si sono effettuate le misure.
Nella terza fase si sono selezionati i risultati sperimentali più significativi che si è ritenuto opportuno riportare nella
tesina e si è passati alla stesura della stessa. Infine è stato presentato il lavoro al resto della classe.
Il lavoro ha richiesto numerosi pomeriggi ed è stato svolto tra Ottobre e Gennaio. In particolare la fase due è risultata
quella più corposa, quindi per evitare di far “perdere” molti pomeriggi ai ragazzi abbiamo suddiviso i gruppi di lavoro
in due studenti per volta. Il lavoro sperimentale, oltre al tempo richiesto inizialmente per mettere a punto l’apparato,
è risultato particolarmente pesante in termini di impegno orario (circa 30 ore) in quanto sono state effettuate un
gran numero di misure in condizioni sperimentali diverse, molte delle quali sono state successivamente scartate
perché poco significative.
Il comportamento dei ragazzi durante tutte le fasi è stato sempre molto responsabile e sempre più coinvolgente. Il
lavoro li ha visti impegnati inizialmente nella ricerca del materiale necessario per la realizzazione dell’apparato
sperimentale (valvole, ugelli, tubi, ….) e successivamente nella realizzazione delle misure che spesso si sono protratte
fino a tardo pomeriggio.
In questi mesi, i ragazzi, per la prima volta impegnati in un’esperienza di fisica così lunga, hanno “assaporato” la
fatica e a volte lo sconforto che può avere un ricercatore durante lo studio di un fenomeno fisico, ma anche la
soddisfazione che deriva dalla consapevolezza di aver realizzato un’esperienza “unica”.
INDICE
1. Introduzione pag. 1
2. Descrizione dell’apparato sperimentale pag. 1
3. Fisica del rubinetto gocciolante pag. 3
4. Misure pag. 3
4.a Transizione al caos
4.b Misure con liquidi diversi
4.c Misure con gocciolatori diversi
5. Confronto con un modello teorico pag. 10
6. Conclusioni pag. 11
Note
Bibliografia
1. INTRODUZIONE
Un sistema fisico molto interessante in grado di esibire comportamenti ordinati e “disordinati” è il “rubinetto gocciolante”.
Questo dispositivo nel recente passato è stato oggetto di studio di diversi ricercatori sia dal punto di vista sperimentale sia
teorico, con la formulazione di modelli matematici che ne descrivono il comportamento dinamico. Il sistema fisico in questione
rientra nell’ambito del caos deterministico.
Sebbene una descrizione completa del comportamento dettagliato delle gocce che cadono da un gocciolatore [I] richieda un
grande numero di variabili, noi focalizziamo l’attenzione su una singola variabile, facilmente accessibile, l’intervallo di tempo TN
tra gocce successive. La tecnica di mettere in relazione i tempi di gocciolamento, utilizzata per la prima volta da Shaw ed altri (1)
per il rubinetto, è un modo efficace di analizzare la dinamica del “rubinetto gocciolante”. Il dispositivo realizzato consente di
misurare gli intervalli di tempo tra le varie gocce che si staccano dal gocciolatore ottenendo una sequenza di tempi di
gocciolamento {T1, …. TN,…..} ad un dato valore costante della portata Q. Un modo per visualizzare ed interpretare il
comportamento dinamico del sistema è quello di mettere in grafico i valori dei tempi T N+1 (intervallo di tempo tra la goccia nesima e la goccia N+1-esima) in funzione di TN. Questi grafici sono detti mappe di ritorno e gli “oggetti” che raffigurano sono detti
attrattori. Il sistema permette anche di determinare TN al variare del flusso Q [II], i grafici corrispondenti sono detti spettri.
Lo scopo di questo lavoro è quello di realizzare un dispositivo che ci permetta di riprodurre l’esperimento del “rubinetto
gocciolante” e quindi di esaminarne la dinamica del fenomeno in relazione alla variazione di alcuni parametri caratteristici del
gocciolatore e del liquido utilizzato, inoltre viene mostrata la cosiddetta transizione al caos al variare continuo del flusso Q del
liquido.
2. DESCRIZIONE DELL’APPARATO SPERIMENTALE
Il dispositivo sperimentale è essenzialmente costituito da due parti: un sistema di gocciolamento e un sistema elettronico di
rilevamento dati.
1. Sistema di gocciolamento. Il sistema è composto da due recipienti, da un capillare, da una valvola a galleggiante e da
un gocciolatore (figura 2.1). Il primo recipiente è in plastica (capacità circa 5 litri) e funge da serbatoio. Esso è
collegato, tramite un tubo in gomma di diametro interno di 6 mm (tubo dello stesso diametro viene utilizzato per le
altre connessioni), ad una valvola a galleggiante (recuperata da un carburatore da moto). Questa è fissata all’interno
del secondo recipiente (in plastica, di capacità circa 1 litro) in modo tale da garantire un livello d’acqua costante fig.
2.2 (condizione necessaria per effettuare le misure con flusso Q costante). I due recipienti sono chiusi quasi
ermeticamente per evitare la presenza di polvere che potrebbe ostruire gli stretti passaggi presenti lungo il percorso
dell’acqua.
Figura 2.1. Schema del sistema di gocciolamento.
Figura 2.2. Foto della valvola inserita nel recipiente da 1 L.
CAPILLARE
GOCCIOLATORE
FOTOTRANSISTOR E
DIODO LED
All’uscita del secondo recipiente vi è un rubinetto che consente di
arrestare il flusso di acqua. Il rubinetto è collegato tramite un
tubo ad un capillare in vetro (lunghezza 7 cm e diametro interno
0,8 mm). Questo è stato scelto opportunamente per ottenere un
flusso laminare [III] e nello stesso tempo consente di avere una
variazione di flusso più fine. Il capillare a sua volta è collegato al
gocciolatore e quest’ultimo è fissato su un braccio in metallo con
una piccola morsa in modo da essere facilmente sostituibile. Il
braccio è poi fissato su un telaio costruito con morsetti e aste
metalliche da laboratorio, come si vede nella foto di figura 2.3.
Sotto al gocciolatore è posto un recipiente in vetro che raccoglie
l’acqua che fuoriesce dallo stesso e viene successivamente pesata
con una bilancia di precisione, per risalire alla portata Q di ogni
misura. Nel corso delle misure è stato utilizzato un terzo
recipiente in plastica di forma cilindrica (altezza 50 cm e diametro
interno 3,5 cm). Il contenitore è stato collegato direttamente al
capillare ed usato per avere variazioni continue di flusso,
lasciandolo svuotare attraverso il gocciolatore. Queste misure
hanno consentito, come vedremo successivamente, di ottenere la
variazione di T (intervallo di tempo tra le gocce) al variare di Q.
Figura 2.3. Foto del sistema di gocciolamento.
2.
Dispositivo per il rilevamento dei dati
Lo schema a blocchi di figura 2.4 riassume i punti fondamentali del sistema di acquisizione dati elettronico.
Diodo led
fototransistor
Circuito amplificatore
Interfaccia 3B Netlab
PC
Figura 2.4 Schema a blocchi del sistema elettronico di rilevamento dati
Quando il fascio del diodo led è interrotto dal passaggio di una goccia, un impulso elettrico viene inviato dal
fototransistor all’amplificatore. L’amplificatore modifica opportunamente il segnale [IV] e lo invia a un’interfaccia per
l’acquisizione dati online (3B NetLab) che permette di rilevare e registrare i tempi intercorsi tra una goccia e la
successiva.
Le strumentazioni elettriche e la parte meccanica del dispositivo sono state sistemate su due tavoli separati, questo perché le
vibrazioni legate a trasformatori o alla presenza di altri dispositivi, avrebbero potuto interferire con il normale gocciolamento del
sistema.
3. FISICA DEL RUBINETTO GOCCIOLANTE
La dinamica del rubinetto gocciolante è influenzata da diversi fattori: flusso, forma e dimensioni dei gocciolatori, tensione
superficiale e temperatura del liquido utilizzato, ecc. Noi abbiamo effettuato diverse misure cambiando vari parametri ed
ottenendo una serie di risultati molto interessanti. In questo lavoro mostreremo solo alcune misure, che sono state effettuate
utilizzando liquidi diversi (acqua distillata, etanolo e una soluzione di acqua e sapone liquido) e gocciolatori differenti, perché
sono quelle che abbiamo ritenuto più significative.
Per comprendere come i parametri sopra elencati possano influenzare la dinamica di questo sistema è utile spendere due
parole per la descrizione della fisica del rubinetto gocciolante. Consideriamo un rubinetto al quale è appesa una goccia. Le forze
agenti sulla goccia sono la forza peso, che aumenta in condizione di flusso costante e tende a farla cadere, le forze di adesione,
che agiscono tra la superficie terminale del gocciolatore e l’estremità superiore della goccia, e le forze di coesione, tra le
molecole del liquido. Queste ultime sono responsabili della tensione superficiale che crea la goccia e spinge verso l’alto la
colonnina di liquido presente nel gocciolatore. Se la velocità di flusso è molto bassa, la massa della goccia aumenta ed essa tende
ad allungarsi verso il basso (2). Finché la forza peso non vince la risultante delle forze che tengono ancorata la goccia al
rubinetto, questa rimane attaccata al gocciolatore. Ad un certo punto la forza peso sarà uguale, in modulo, alla risultante delle
suddette forze verticali e la goccia tenderà a cadere verso il basso.
Durante la fase di caduta la goccia “oscilla” intorno a una forma approssimativamente sferica e la colonna di liquido presente nel
rubinetto subisce una sorta di contraccolpo che la fa oscillare attorno a una posizione di equilibrio, fino a quando le forze
d’attrito con le pareti non smorzano tale movimento.
Per velocità di flusso piccole, l’oscillazione della colonna d’acqua appena descritta è pressoché ininfluente per quanto riguarda la
formazione e il distacco della goccia che invece dipendono, come già detto, da proprietà del liquido utilizzato e dal gocciolatore.
Siccome tali fattori sono sostanzialmente uguali per tutte le gocce, ciascuna di esse avrà la stessa massa e perciò il tempo di
formazione della goccia risulta sempre lo stesso.
Quando la portata aumenta, la situazione diventa un po’ più complicata. Infatti da una certa velocità di flusso in poi la goccia si
stacca quando la colonna di liquido sovrastante è ancora in oscillazione per il distacco della goccia precedente. Vi è in questo
caso, una risonanza tra la frequenza di formazione delle gocce, determinata dalle forze in gioco e la frequenza di oscillazione
della colonna di liquido.
La colonna di liquido sovrastante influisce con la formazione della goccia in quanto la sua massa è influenzata dal movimento
oscillatorio della colonna di liquido, che a sua volta è influenzato dalla formazione della goccia precedente. In questo caso si
hanno attrattori di periodo 2,4,8,… e caotici (sperimentalmente non abbiamo mai osservato attrattori periodici di periodo
maggiore al 4).
Per quanto detto sopra è evidente che cambiando le caratteristiche del sistema (forma dei gocciolatori, tensione superficiale del
liquido, ecc.) cambiano le forze in gioco e quindi i tempi di formazione delle gocce.
4. MISURE
4.a TRANSIZIONE AL CAOS
Come detto in precedenza, il “rubinetto gocciolante” è capace di avere un comportamento caotico passando attraverso una
serie di comportamenti periodici. In questo paragrafo faremo vedere cosa succede alla dinamica del sistema quando si varia il
flusso con continuità (per ottenere questo tipo di misure si lascia svuotare attraverso il gocciolatore il contenitore cilindrico
citato nel paragrafo 2). In particolare, analizziamo lo spettro ottenuto con la soluzione di acqua e sapone [V] e un gocciolatore in
ottone con diametro interno Φi= (2,00±0,05) mm, diametro esterno Φe= (5,00±0,05) mm, lunghezza l= (4,0±0,1) cm e bordo
terminale tagliato a 45 gradi.
Lo spettro riportato in figura 4.1 (misura ottenuta con circa 2500 gocce) è estratto da uno spettro più ampio ed è stato scelto per
la varietà di comportamenti che presenta in una zona di variazione di flusso relativamente piccola [VI].
Come si evince dal grafico, vi è un rapido alternarsi di comportamenti ordinati (moti di periodo 1, 2 e 4) a comportamenti
“disordinati” (caotici) con variazioni temporali notevoli.
Spettro acqua-sapone
0,1
0,09
T (s)
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,62
0,64
0,66
0,68
0,7
0,72
0,74
Q (ml/s)
Figura 4.1 Spettro ottenuto con soluzione di acqua e sapone liquido e con gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
Come già detto, un modo per meglio evidenziare la dinamica del “rubinetto gocciolante”, soprattutto nei comportamenti caotici,
è quello di fare il grafico del tempo TN+1 in funzione del tempo TN (mappe di ritorno) per flussi Q costanti [VII]. In figura 4.2 (a-bc-d) sono riportati quattro attrattori “estratti” dallo spettro di figura 4.1. Gli attrattori periodici mettono in evidenza che il tempo
di formazione delle gocce avviene in modo ordinato con periodo stabile, bistabile (si alternano due tempi distinti) o con quattro
tempi diversi che si susseguono sempre nello stesso modo.
Osservando il grafico (fig.4.1) intorno al valore 0,72 ml/s, si potrebbe erroneamente concludere che il tempo di formazione delle
gocce sia casuale e quindi disordinato. Invece, facendo riferimento alla figura 4.2 d (mappa di ritorno ottenuta con Q=0,72 ml/s)
si capisce che il tempo di formazione della goccia N+1 è influenzato dalla goccia N. Se i tempi fossero casuali (nel caso della
misura in questione essi variano tra 0,05 e 0,075 secondi), le mappe di ritorno dovrebbero essere delle “macchie” più o meno
quadrate di lato uguale all’intervallo di distribuzione dei tempi di gocciolamento (nel caso preso in esame circa 0,025 secondi). Il
fatto che i punti si distribuiscano su delle forme “strane”, vuol dire che i tempi di formazione delle gocce sono strettamente
collegati tra di loro e quindi non casuali.
(a)
0,1
(b)
0,09
0,08
TN+1 (s)
TN+1 (s)
0,09
0,07
0,08
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
TN (s)
0,1
0,05
0,05
0,06
0,07
TN (s)
0,08
0,09
(c)
(d)
0,075
TN+1 (s)
TN+1 (s)
0,075
0,065
0,065
0,055
0,055
0,055
0,065
0,045
0,045
0,075
0,055
TN (s)
0,065
0,075
TN (s)
Figura 4.2 (a-d) Misure ottenute con soluzione di acqua e sapone liquido con gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
(a) attrattore di periodo 1
(Q=0,63 ml/; V=11,6 gocce/s) . (b) Attrattore di periodo 2 (Q=0,67 ml/s; V=13,7 gocce/s) . (c) Attrattore di periodo 4 (Q=0,69 ml/; V=14,4 gocce/s). (d) Attrattore
caotico (Q=0,72 ml/; V=16,0 gocce/s).
Attrattori di forma diversa comportano dinamiche di gocciolamento diverse. L’utilizzo di acqua e sapone ha fornito una varietà di
attrattori caotici che non abbiamo ottenuto con sola acqua distillata, alcuni dei quali non li abbiamo trovati in letteratura. Due
esempi interessanti sono riportati in figura 4.3 (a-b), altri ne vedremo in seguito.
(a)
0,12
0,115
0,16
TN+1 (s)
TN+1 (s)
(b)
0,165
0,11
0,155
0,105
0,15
0,1
0,1
0,105
0,11
TN (s)
0,115
0,12
0,145
0,145
0,15
0,155
TN (s)
Figura 4.3 (a-b) Grafici ottenuti con soluzione di acqua e sapone con gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
(a) Q=0,50 ml/s V=9,0 gocce/s. (b) Q=0,44 ml/s; V=6,4 gocce/s.
0,16
0,165
4.b Misure con liquidi diversi
La tensione superficiale e la viscosità del liquido hanno un ruolo determinante nella sequenza di tempi di formazione delle gocce.
Per investigare questi aspetti, noi abbiamo utilizzato acqua distillata e soluzione di acqua e sapone, che si differenziano in modo
significativo solo per quanto riguarda la tensione superficiale, mentre risultano sostanzialmente uguali le altre caratteristiche
come viscosità e densità. Inoltre abbiamo voluto mettere a confronto anche i risultati ottenuti con etanolo che rispetto ai liquidi
precedenti ha tensione superficiale e densità inferiore e viscosità superiore [VIII].
Nel grafico di figura 4.4 è riportato lo spettro ottenuto con acqua (misura ottenuta con circa 3500 gocce) e gocciolatore uguale a
quello utilizzato per lo spettro precedente.
Spettro acqua
0,09
T (s)
0,07
0,05
0,03
0,01
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
Q (ml/s)
Figura 4.4 Spettro ottenuto con acqua e gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
Quello che si evince da questo spettro e in generale dalle misure effettuate con acqua distillata, è che la dinamica di
gocciolamento varia molto lentamente, cioè le caratteristiche degli attrattori non variano repentinamente e sensibilmente al
variare del flusso (a differenza di quello che accade con soluzione di acqua e sapone) e inoltre non si sono mai ottenuti attrattori
periodici con periodo superiore al due.
(a)
0,09
(b)
0,1
0,08
0,08
TN+1 (s)
TN+1 (s)
0,07
0,06
0,06
0,04
0,05
0,02
0,04
0,03
0
0,03
0,05
0,07
0,09
0
0,02
TN (s)
Figura 4.5 (a-b) Attrattori caotici ottenuti con acqua e gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
(a) Q=0,68 ml/s V=14,7 gocce/s. (b) Q=0,82 ml/s; V=21,6 gocce/s.
0,04
0,06
TN (s)
0,08
0,1
Questa “inerzia” al cambiamento si capisce meglio attraverso l’analisi delle mappe di ritorno per flussi costanti. L’attrattore
caotico di figura 4.5 (a), spesso riportato in letteratura (3), si ottiene per valori di flusso diversi, pur cambiando leggermente
forma e tempi, e sembra essere caratteristico di queste condizioni del sistema. Per flussi relativamente alti, si “trasforma” in
quello riportato in figura 4.5 (b).
In figura 4.6 è riportato lo spettro dei tempi di formazione di circa 7000 gocce di etanolo, ottenuto con lo stesso gocciolatore
delle misure precedenti. Si può notare che i flussi utilizzati sono decisamente più bassi di quelli relativi agli altri due spettri
esaminati. Questo è facilmente spiegabile per via della bassa tensione superficiale che caratterizza l’etanolo (formazione di
gocce con massa più piccola). Per portate più grandi è praticamente impossibile ottenere il gocciolamento, ma si ha un flusso
continuo.
Spettro etanolo
0,1
0,08
T (s)
0,06
0,04
0,02
0
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
Q (ml/s)
Figura 4.6 Spettro ottenuto con etanolo e gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
L’intervallo dei tempi di formazione delle gocce, a parità di flusso, è più ampio rispetto ai casi analizzati in precedenza. Quando il
flusso è relativamente alto la formazione della goccia avviene al di sotto della parte terminale del gocciolatore. Praticamente la
colonnina di liquido a cui si faceva riferimento nel paragrafo 3, fuoriesce dal gocciolatore. Questa parte terminale di liquido ha
un’interessante oscillazione che sembrerebbe periodica, e varia la sua lunghezza da pochi millimetri a circa un centimetro. In
queste oscillazioni si possono osservare dei “bruschi” contraccolpi sul gocciolamento. E’ questa la caratteristica che stabilisce
delle differenze sui tempi di formazione ed in effetti questo comportamento della colonnina di liquido è molto più evidente nel
caso dell’etanolo che nel caso degli altri due liquidi utilizzati.
Osservando lo spettro dell’etanolo è evidente la tendenza ad una variazione lenta della dinamica di gocciolamento come nello
spettro dell’acqua. Questo si vede anche da un’analisi dettagliata delle mappe di ritorno per flussi costanti.
Quindi a differenza di quanto da noi supposto prima di effettuare le misure, il comportamento dell’etanolo assomiglia di più a
quello dell’acqua che a quello della soluzione di acqua e sapone, sia nella caratteristica appena descritta sia nella forma degli
attrattori caotici ottenuti. Infatti in figura 4.7 (a-b) sono riportati due attrattori che sono simili a quelli ottenuti con acqua (fig.
4.5). Inoltre, anche in questo caso, abbiamo ottenuto attrattori periodici solo di periodo uno e due.
(a)
0,12
0,09
TN+1 (s)
0,1
TN+1 (s)
(b)
0,12
0,08
0,06
0,03
0,06
0
0,04
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0
0,03
TN (s)
0,06
0,09
0,12
TN (s)
Figura 4.8 (a-b) Attrattori caotici ottenuti con etnolo e gocciolatore in ottone con parte terminale conica.
(a) Q=0,27 ml/s V=12,2 gocce/s. (b) Q=0,33 ml/s; V=17,3 gocce/s.
L’abbassamento della sola tensione superficiale (caso della soluzione acqua-sapone) ha comportato una variazione nella
dinamica del sistema (maggiore varietà di comportamenti periodici e caotici) rispetto all’utilizzo dell’acqua che non è stata
confermata con l’ulteriore abbassamento della tensione superficiale (caso dell’etanolo). In quest’ultimo caso però si ha una
maggiore viscosità e una minore densità. Sembrerebbe che questi due parametri, differenti rispetto ai due liquidi precedenti,
abbiano “compensato” la diminuzione della tensione superficiale, riportando il comportamento del liquido più vicino a quello
dell’acqua.
Per flussi al di sotto di certi valori il tempo di formazione delle gocce tende a diventare stabile (periodo 1) indipendentemente
dal liquido utilizzato.
4.c Misure con gocciolatori diversi
Considerando che, in base a quanto detto nel paragrafo 3, la dinamica del “rubinetto gocciolante” è influenzata dalle forze di
adesione che tengono appesa la goccia al gocciolatore, abbiamo cercato di capire che importanza hanno in questo senso le
caratteristiche del gocciolatore utilizzato nelle misure. A tal proposito abbiamo usato gocciolatori sempre di forma cilindrica, ma
di diversi materiali (ottone, alluminio, ferro, plexiglas), di diverse lunghezze [IX] e diversa parte terminale. Quest’ultima
caratteristica non offre ampie possibilità di indagine in quanto la parte terminale del gocciolatore non può assumere molte
forme diverse. Abbiamo usato gocciolatori con parte terminale sagomata a 45 gradi (come il gocciolatore usato nelle misure
finora considerate) e con bordo piatto.
In sintesi possiamo dire che, in base alle condizioni sperimentali in cui abbiamo operato noi, la dinamica del “rubinetto
gocciolante” non viene sensibilmente influenzata dalla lunghezza e dal materiale di cui è fatto il gocciolatore mentre risulta più
influenzata dalla forma della parte terminale. Queste differenze sono trascurabili quando il diametro esterno ed interno del
gocciolatore non differiscono molto, mentre risultano importanti quanto i due diametri sono molto differenti. Questo fatto si
evince dall’analisi dello spettro di figura 4.9 ottenuto nelle stesse condizioni dello spettro di figura 4.1 con parte terminale del
gocciolatore che in questo caso risulta piatta ( Φi=(2,00±0,05) mm, Φe=(5,00±0,05) mm e l=(4,0±0,1)cm).
E’ evidente il diverso comportamento del sistema in queste condizioni sperimentali. Per sottolineare le differenze abbiamo
effettuato misure con i due gocciolatori a flusso costante. Nel range di misure effettuate da noi non abbiamo mai trovato
attrattori simili. A titolo di esempio facciamo vedere i due attrattori ottenuti con un flusso di 0,61 ml/s (fig. 4.10 (a-b)).
Spettro con soluzione e gocciolatore piatto
0,15
T (s)
0,12
0,09
0,06
0,03
0,61
0,63
0,65
0,67
0,69
0,71
0,73
0,75
Q (ml/s)
Figura 4.9 Spettro ottenuto con soluzione di acqua e sapone liquido e con gocciolatore in ottone con parte terminale piatta.
(a)
0,14
(b)
0,095
0,09
TN+1 (s)
TN+1 (s)
0,12
0,085
0,1
0,08
0,08
0,08
0,1
0,12
TN (s)
0,14
0,075
0,075
0,08
0,085
0,09
0,095
TN (s)
Figura 4.10 (a-b) Attrattori ottenuti con acqua e sapone liquido gocciolatore in ottone con Φi=(2,00±0,05) mm, Φe=(5,00±0,05) mm e l=(4,0±0,1)cm. Q=0,61
ml/s. (a) Parte terminale piatta V=8,7 gocce/s. (b) Parte terminale conica V=11,9 gocce/s.
Dagli intervalli di tempo ottenuti con i due precedenti gocciolatori, si vede che, nel caso del gocciolatore la cui parte terminale è
piatta, le gocce sono più grosse (V=8,7 gocce/s) rispetto all’altro (V= 11,9 gocce/s). Questo risultato è una conferma del fatto che
la forza di adesione nel primo caso (bordo terminale piatto) è maggiore in quanto una maggiore quantità di acqua aderisce sulla
parte bassa del gocciolatore. Si ha, come conseguenza, che è necessario che fuoriesca una maggiore massa di acqua, rispetto
all’altro gocciolatore, affinché avvenga, a parità di flusso, il distacco della goccia, e i tempi di gocciolamento risultano più grandi.
Un’altra caratteristica che ovviamente influenza la dinamica del sistema è il diametro interno del gocciolatore: per diametri
interni più grandi si formano gocce più grandi e quindi a parità di flusso i tempi di formazione delle gocce cambiano. Noi però
non abbiamo fatto uno studio sistematico in quanto da prove effettuate questa influenza è emersa in modo evidente ed
inequivocabile e inoltre abbiamo avuto difficoltà a reperire gocciolatori con stesse caratteristiche e diametri interni diversi.
5. CONFRONTO CON UN MODELLO TEORICO
Il modello di simulazione che prendiamo in esame (4) parte da una proposta di R. Shaw (1). Tale modello consiste in un semplice
oscillatore unidimensionale capace, sotto opportune condizioni, di riprodurre qualitativamente alcuni comportamenti dinamici
del sistema in esame. In questo modello sembra sia cruciale il meccanismo con cui viene simulata la formazione della goccia e il
suo successivo distacco, e alcuni autori hanno proposto meccanismi differenti da quelli di Shaw.
Il modello lineare meccanico del “rubinetto gocciolante” è molto semplificato rispetto a quello reale; esso ignora completamente
la forma delle gocce e trascura i loro movimenti nello spazio.
Questo modello consiste di una massa M puntiforme (corrispondente alla massa della colonna di liquido presente nel
gocciolatore) sospeso ad una molla di costante elastica K, che simula la tensione superficiale del liquido. La massa M cresce
linearmente con il tempo ( in condizioni di flusso costante) e la molla tende ad allungarsi sempre più verso il basso man mano
che aumenta la posizione x del corpo puntiforme. Una volta raggiunto un punto critico xc, una parte ΔM della massa M si stacca
formando una goccia di liquido. Shaw ha supposto che ΔM fosse proporzionale alla velocità della massa discendente al punto di
distacco. Una volta che la massa ΔM si stacca dal resto della colonna, la parte restante rincula ed entra in oscillazione smorzata
con un coefficiente di smorzamento proporzionale alla velocità. Il carattere interessante di questo modello è il fatto che la
formazione della goccia dipende dal modo con cui la molla interagisce con il peso costantemente crescente. Un’oscillazione
verso il basso porta il corpo a raggiungere il punto di distacco molto prima, oppure un’oscillazione verso l’alto può ritardare il
distacco della massa ΔM. Questo sistema unidimensionale può essere descritto dalla seguente equazione:
Dove g è la costante gravitazionale, K la costante elastica e b è il coefficiente di attrito.
Come detto in questo modello è importante il meccanismo con cui si simula la formazione della goccia. Gli autori del modello
descritto nell’articolo (4) , invece di considerare la massa di ciascuna goccia proporzionale alla velocità, l’ hanno considerata
proporzionale alla quantità di moto. Inoltre la goccia al punto di rottura è stata assunta sferica e la massa residua nel
gocciolatore puntiforme. Tra gli attrattori riportati nell’articolo (4), ottenuti variando opportunamente i parametri del modello
sopra descritto, a parte quelli periodici ve ne sono alcuni caotici che qualitativamente hanno delle somiglianze con quelli ottenuti
da noi (figura 5.1)
(b)
0,105
TN+1 (s)
0,1
0,095
0,09
0,09
0,095
TN (s)
0,1
0,105
(d)
TN+1 (s)
0,06
0,05
0,04
0,04
0,05
0,06
TN (s)
(f)
TN+1 (s)
0,075
0,065
0,055
0,045
0,045
0,055
0,065
TN (s)
0,075
Figura 5.1 Confronto tra attrattori teorici (a-c-e) ed attrattori sperimentali (b-d-f). Gli attrattori sperimentali sono ottenuti con soluzione di acqua e sapone, con
gocciolatore in ottone con parte terminale tagliata a 45° (d-f) e con gocciolatore in plastica con parte terminale piatta (diametro interno фi=(2,60±0,05)mm,
diametro esterno фe=(3,70±0,05)mm, lunghezza l=(46±1) mm ) (b). b) Q=0,63 ml/; V=10,5 gocce/s; d) Q=0,76 ml/; V=21,1 gocce/s; f) Q=0,72 ml/; V=16,0
gocce/s.
6. CONCLUSIONI
In questo lavoro abbiamo mostrato che un “rubinetto gocciolante” costituisce un sistema che presenta una ricca e complessa
varietà di comportamenti ordinati e caotici e come questa varietà dipenda finemente dal parametro Q (portata). Abbiamo
inoltre studiato in che modo le caratteristiche dinamiche dei vari processi di gocciolamento dipendono dai parametri fisici del
gocciolatore.
I risultati possono essere riassunti in questo modo.
Il profilo del bordo terminale del gocciolatore ha notevole influenza sulla forma degli attrattori e sui tempi di gocciolamento che
risultano più elevati nel caso di estremità con bordo terminale piatto.
Queste differenze sono sempre più evidenti all’aumentare del rapporto diametro esterno/diametro interno.
Meno evidente è la dipendenza dal tipo di materiale utilizzato per i vari gocciolatori, in quanto non ci è stato possibile
discriminare gli effetti dovuti alle forze di adesione.
Un altro importante aspetto analizzato ha riguardato l’influenza di alcune caratteristiche del liquido: si è trovato che la
variazione della tensione superficiale, della viscosità e della densità producono un notevole effetto sulla dinamica del processo.
Maggiori informazioni sulla dinamica di questo problema possono essere ottenute migliorando il dispositivo sperimentale con
l’inserimento di un misuratore di flusso interfacciato al computer ed effettuando uno studio più dettagliato sulle caratteristiche
degli attrattori determinati sperimentalmente.
NOTE
[I] Per gocciolatore si intende la parte terminale del sistema di gocciolamento ed ha una notevole importanza in quanto caratterizza la dinamica del
gocciolamento. Nel corso di questo lavoro abbiamo usato diversi ugelli le cui caratteristiche (forma, dimensioni e materiale) saranno esplicitati di volta in volta.
[II] Il nostro dispositivo misura dei tempi in funzione del numero di gocce; per ottenere T in funzione del flusso abbiamo fatto delle misure indirette. Cioè
abbiamo misurato il flusso iniziale e finale dello spettro e poi si è associato un volume medio ad ogni goccia. Quindi negli spettri il valore della portata Q ha un
margine di errore che non siamo riusciti a quantificare.
[III] Per la scelta del capillare si è tenuto conto che il flusso laminare è garantito da un numero di Reynolds (R) sufficientemente più piccolo di 2000. Il numero di
Reynolds è dato in questo caso da:
(1) dove v è la velocità media del fluido, ρ è la densità del fluido, r il raggio del capillare e η il coefficiente di
viscosità del fluido. La velocità media in un condotto circolare è data da:
(2)
dove Q è la portata del tubo che, nel caso di tubi capillari e per flusso laminare, è data dalla legge di Poiseulle:
(3)
dove g è l’accelerazione di
gravità, h l’altezza della colonna di liquido ed l la lunghezza del capillare. Sostituendo la (3) nella (2) e il risultato nella (1), tenendo conto che il diametro interno
del nostro capillare è di 0,8 mm e che R deve essere minore di 2000 otteniamo la seguente relazione:
(4)
nel nostro caso il rapporto (4)
è di circa 15, poiché abbiamo usato un capillare di lunghezza pari a 7 cm ed una altezza massima di circa 105 cm.
[IV] Schema elettronico del circuito di rilevamento dati
Il circuito è diviso in due parti: una sezione di trasmissione (TX) e una sezione di ricezione (RX).
Sono state separate le due alimentazioni per ridurre al minimo i disturbi sulle linee, ad esempio i rumori che influenzano la rilevazione.
Sezione di trasmissione dati
Per la trasmissione di dati viene utilizzato un diodo emettotore (D1), con λ=(880 ± 80) nm, angolo fascio di 10° e dotato di lente di focalizzazione. Sulla linea di
alimentazione del fotodiodo è stata inserita una resistenza R1 (82 Ω) che ha la funzione di limitare la corrente nominale di lavoro a circa 35 mA (Vdiodo di circa
1,7 V), evitando il surriscaldamento del fotodiodo.
Sezione di ricezione dati
La ricezione vera e proprio dei dati avviene tramite l’utilizzo di un fototransistor (T1), che si accoppia al fotodiodo (λ=880 nm, angolo fascio di circa 18°), avendo
cura di avere il massimo allineamento tra i due componenti.
La resistenza R2 (di 33 kΩ) serve per definire il punto di lavoro del fototransistor. Quando sul fascio luminoso tra fotodiodo e fototransistor non ci sono ostacoli,
cioè non passa la goccia, il fototransistor è nello stato di massima conduzione, lavora in zona di saturazione e quindi Vril circa 0 V.
Quando il fascio luminoso viene interrotto (completamente o parzialmente) dal passaggio di una goccia, diminuisce la conduzione del fototransistor e il punto di
lavoro (Vril) dipende dal valore di R2 e dall’intensità del fascio luminoso incidente. Se il fascio luminoso è completamente interrotto, il fototransistor non conduce
(si trova in zona di interdizione e quindi Vril circa 5 V). Il sistema è in grado di rilevare variazioni di segnale su Vril di circa 20 mV. Subito dopo il sensore di
ricezione è stato inserito un O. A. (operational amplificator) in configurazione di emitter follower (U1A) che ha la funzione di adattare l’impedenza, in modo tale
da evitare che il circuito di elaborazione influisca sulla ricezione dei dati. In seguito troviamo un filtro passa-alto (C1) con frequenza di taglio di 0,5 Hz, che ha la
funzione di lasciare passare solo gli impulsi rilevati, eliminando la componente continua. Dopo il filtro troviamo ancora un secondo emitter follower (U1B), con
funzioni identiche al precedente e poi un amplificatore (U1C) di guadagno ≈ 100 (O. A. in configurazione non invertente).
Lo stadio finale del circuito è costituito da un trigger di Schmitt invertente (U2A), che ha la funzione di squadrare correttamente il segnale, eliminando eventuali
disturbi presenti sul segnale rilevato.
E’ inoltre presente un circuito ausiliario, che consente di controllare visivamente (tramite LED) il corretto funzionamento del sistema di rilevazione.
[V] Per variare la tensione superficiale del liquido abbiamo aggiunto in acqua distillata del sapone liquido (precisamente 60 ml in 5000 ml di acqua). In questo
modo si è sostanzialmente dimezzato il valore della tensione superficiale dell’acqua distillata senza variare sensibilmente altri parametri (densità e viscosità). Il
metodo utilizzato per determinare la tensione superficiale della soluzione è quello dello stalagmometro, il valore ottenuto è: (36±2) dine/cm.
[VI] La scelta di questo gocciolatore combinata con la soluzione acqua-sapone è stata fatta essenzialmente per due motivi: perché per comportamenti periodici
mostra una “definizione” migliore rispetto agli altri usati; per la varietà di comportamenti caotici che presenta.
[VII] Tutte le misure riportate in questo lavoro a flusso costante sono state ottenute con un numero di gocce compreso tra 1000 e 1500, inoltre l’incertezza
assoluta sulla portata Q è sempre ≤ 0,02 ml/s.
[VIII] L’etanolo ha tensione superficiale 22,3 dine/cm, viscosità 0,0012 Pa.s e densità 790 Kg/m 3.
[IX] In questo caso non abbiamo potuto fare un ampio spettro di misure in quanto si sono incontrate difficoltà a costruire gocciolatori metallici di una certa
lunghezza. Le lunghezze utilizzate da noi sono comprese tra 2 e 5 cm.
BIBLIOGRAFIA
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