Seminario sulle Tavole Di Mortalità

Università degli Studi di Perugia
Laurea Magistrale in Finanza e Metodi Quantitativi Per l'Economia,
Corso di Valutazione dei Prodotti e dell'Impresa di Assicurazione:
Seminario sulle Tavole Di Mortalità
Maria Cozza
Francesco Marchetta
Paolo Menichetti
Alessandro Palazzetti
Le tavole di mortalità nascono in Inghilterra nel 1662 quando lo studio John Graunt esegue a
Londra un’indagine demografica sulla popolazione londinese, calcolandone statisticamente la
mortalità, la natalità e la distinzione in sessi.
Si tratta di uno strumento fondamentale nell'ambito delle assicurazioni sulla vita e la
demografia in generale.
Sono tavole che esprimono l’evoluzione (trend) della mortalità. Generalmente
vengono utilizzate come base demografica per il calcolo del premio delle assicurazioni di
rendita vitalizia., considerando la probabilità di morte entro i successivi anni di contratto.
Una tavola di mortalità nella versione più semplice fornisce le probabilità di morte entro l’anno
in funzione della sola età raggiunta ed è pertanto una sequenza del tipo:
q_0, q_1,…., q_x,…
Tavole aggregate e tavole selezionate:
tavole aggregate le probabilità annue di decesso dipendono solo dall’età (intera)
raggiunta.
Si hanno cioè:
•
q_a, q_a+1, …., q_x,….
LIMITI
Si chiamano aggregate perché non consentono una valutazione “disaggregata” della
mortalità, non considerando, altri fattori, oltre l’età, determinanti per stimare correttamente
le probabilità annue di decesso, quali ad es:
•
l’anzianità di presenza in assicurazione (l’esperienza statistica dimostra che, a parità di
età, la mortalità per malattia di soggetti appena assicurati risulta inferiore a quella di
assicurati in anni precedenti)
•
l’antiselezione dei rischi (rischio di longevità dell’assicurato per i contratti di rendita
vitalizia oppure rischio aggravato di mortalità per i contratti di assicurazione in caso di
morte)
Esempi di tavole aggregate quelle costruite su base generale formate dalla popolazione di
un Paese ( in Italia sono costruite dall’Istat), oppure sono quelle costruite dalle compagnie
assicurative in base alla mortalità di assicurati con certe forme assicurative (ad es
temporanee caso morte)
tavola di mortalità selezionata, le probabilità annue di decesso dipendono, oltre che
dall’età (intera) raggiunta, dall’età di ingresso in assicurazione. Si hanno cioè le sequenze:
•
gli individui con queste probabilità hanno tutti età x, ma si sono assicurati in periodi
differenti.
Si noti che per ogni età x di ingresso di assicurazione si ha una distinta tavola di mortalità
che porge le probabilità di morte nei successivi anni di assicurazione, quindi individui di età
x che hanno appena stipulato un contratto di assicurazione hanno probabilità annua di
decesso (per malattia) inferiore rispetto ai coetanei assicuratisi l’anno precedente, che a loro
volta hanno probabilità inferiore rispetto a quelli assicuratisi due anni prima …
Ciò deriva dall’effetto della selezione medica, all’ingresso in assicurazione, per i contratti
con prestazioni in caso di morte i quali prevedono l’accertamento sanitario dell’assicurando,
e quest’ultima decresce nel tempo nel tempo fino ad annullarsi dopo una certa antidurata t’ (
5 – 10 anni al più).
qx indica il valore comune degli elementi da q[x-t’] t’ in poi.
Metodologia di calcolo delle Tavole di
Mortalità
Il calcolo delle tavole di mortalità si divide in due fondamentali passaggi:
●
Calcolo del tasso di morte “grezzo” (crude death rate):
Questo viene calcolato mediante l'utilizzo dei dati sui decessi e sulla
popolazione, classificati per sesso, singolo anno di età (in anni compiuti), e
luogo di residenza, ripetuti per un periodo che va dai tre ai cinque anni.
Il tasso grezzo di mortalità (probabilità di morte del 1° stadio) per ogni
singolo anno t è determinato sulla base della seguente espressione:
q'(x,t) = D(x,t) / E(x,t)
dove:
q'(x,t)= tasso grezzo di mortalità dell'età x durante l'anno t
D(x,t)= numero di decessi di età x durante l'anno t
E(x,t)= esposizione (ossia la popolazione di età x nell'anno t)
N.B. : q'(x,t)=q'_x
●
Utilizzo di Perequazioni sui tassi di mortalità calcolati:
L'uso di una tavola costituita semplicemente dai tassi grezzi di mortalità può
non essere opportuno per vari motivi, tra cui:
- Nei tassi grezzi possono essere presenti degli “errori di osservazione”
(di archiviazione dei dati, di conteggio specie se manuale, ecc.) e delle
“perturbazioni” accidentali (mortalità casualmente molto elevata o molto
modesta in certe classi di età)
- Può interessare porre in evidenza solamente gli aspetti salienti del legame
tra mortalità ed età, ricercando dunque un andamento delle frequenze del
decesso il più “regolare” possibile.
- Può interessare calcolare un tasso di morte grezzo di età x considerando
anche i soggetti di anni prossimi (x+1, x-1, x+2, x-2), poiché ritenuti
sostanzialmente analoghi a quelli dell'età x.
Esistono molti tipi di Perequazioni utilizzabili: Perequazione con leggi di
sopravvivenza, Perequazione mediante tavole standard, Modello di
Whittaker-Henderson, Perequazione con funzioni “spline”....
Per costruire la tavola di mortalità, l'Istat utilizza una Perequazione che
applica delle medie mobili alle probabilità di morte del 1° stadio, creando
così delle probabilità di morte del 2° stadio.
L'obiettivo perseguito è quello di eliminare, per quanto possibile, le
irregolarità rilevate nelle serie dei dati elementari, così da creare una curva
per età “liscia” che approssimi quanto più possibile la “legge di
sopravvivenza”.
Per le età comprese tra 5 e 91 anni le probabilità di morte di 2° stadio si
calcolano mediante la formula:
q"(x,t) = (1/21) ⋅[7q'(x,t)+6(q'(x-1,t) + q'(x+1,t))+3(q'(x-2,t)+q'(x-2,t))2(q'(x+3,t)+q'(x-3,t)]
Ottenuta mediante l'interpolazione col metodo dei minimi quadrati di archi di
parabole passanti per i valori corrispondenti alle ascisse che vanno da x-3 a
x+3.
Un approccio alternativo per la costruzione di tavole di mortalità è dato dalla
possibilità di utilizzare i dati ottenuti mediante il censimento.
Metodo di Kaplan-Meier (1)
V1=100
V2=101
V3=102
V4=101
V5=101
V6=100
V7=99
V8=98
q_i=d/v(i) i=1,2,...,m
m= # sottointervalli
q_x= 1 - 100/100*101/101*102/102*100/101*101/101*100/100*97/99*97/98= 0,039802
Fonte: Matematica e tecnica attuariale, Pitacco.
Metodo di Kaplan-Meier (2)
C1=101
C2=99
C3=98
C4=98
q_ j= 1/c j=1,2,...,r-1
r = # intervalli
q_x= 1 – 100/101*98/99*97/98*97/98= 0,039802
Fonte: Matematica e tecnica attuariale, Pitacco.
Diagramma di Lexis
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Ideato dallo statistico tedesco Lexis nel 1875.
Rappresentazione Grafca di eventi demografci di un
individuo:nascita,matrimonio,divorzio,morte.
Rappresentazione sul piano degli assi cartesiani : Ascissa -> Tempo Storico ; Ordinata ->
Età.
Diagramma che rappresenta l’insieme degli eventi della vita dell’individuo atraverso
l’utilizzo delle linee vita.
Diagramma di Lexis
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Ideato dallo statistico tedesco Lexis nel 1875.
Rappresentazione Grafca di eventi demografci di un
individuo:nascita,matrimonio,divorzio,morte.
Rappresentazione sul piano degli assi cartesiani : Ascissa -> Tempo Storico ; Ordinata ->
Età.
Diagramma che rappresenta l’insieme degli eventi della vita dell’individuo atraverso
l’utilizzo delle linee vita.
Diagrammma di Lexis
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Rappresentazione Grafca
Dal diagramma di Lexis alla Tavola di mortalità
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Hanno come scopo lo studio di un evento di interesse nel corso della vita di un individuo.
Per costruire una tavola di mortalità occorre conoscere la data di nascita e di morte di
ciascun individuo e l’obiettivo consiste nello stimare la probabilità di morte alle varie età.
Le quantità si ricavano tramite il diagramma di Lexis.
Queste quantità possono essere calcolate per tute le età di una generazione oppure in
corrispondenza delle diverse età di tute le generazioni che convivono in un dato intervallo
biennale. Nel primo caso si potrà costruire una tavola di mortalità per generazioni, mentre
nel secondo per contemporanei.
Bibliografia:
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Istat, Tavole di Mortalità della Popolazione Italiana,1998.
File disponibile al link:
http://www3.istat.it/dati/catalogo/20020731_00/volumemortalita.pdf
●
E.Pitacco, Matematica e Tecnica Attuariale, Lint,
Appendice A.