Struttura a bande delle giunzioni - Ingegneria elettrica ed elettronica

Struttura a bande delle giunzioni
Le proprietà singolari dei semiconduttori portano alla possibilità di creare architetture, ossia dispositivi, in cui la
coesistenza di regioni con diverso drogaggio, diverso gap, o addirittura il semplice contatto con strutture metalliche o
isolanti crea "sacche" di elettroni, accumuli di lacune, regioni svuotate da entrambi, eccetera, in una situazione di
equilibrio facilmente modificabile mediante deboli campi esterni.
La chiave di tutti i dispositivi elettronici a semiconduttore è racchiusa nelle interfacce, denominate giunzioni, tra regioni
diverse.
Il livello di Fermi in strutture disomogenee.
La distribuzione elettronica in un sistema qualsiasi all'equilibrio è caratterizzata dalla costanza del livello di Fermi.
Questa affermazione, ovvia in un materiale omogeneo, vale anche per materiali disomogenei, in tutta generalità. Per
comprendere questo fatto, consideriamo il più semplice sistema disomogeneo, descritto da due regioni A e B in
contatto, caratterizzate dalle distribuzioni elettroniche n A (E)=fA (E)g A (E) e n B(E)=fB(E)g B(E), rispettivamente. Le densità
degli stati g A e g B saranno diverse, così come le densità n A e n B. Se l'enunciato sopra riportato è corretto, dovrà risultare
che all'equilibrio, nonostante tutto, le funzioni di distribuzione (funzioni di Fermi) fA e fB dovranno essere uguali, ossia
avere il medesimo livello di Fermi, poiché per definizione:
1
f A , B (E ) =
 E − E FA ,B 
 +1
exp 


kT


Fissato un qualsiasi livello energetico E, possiamo prevedere che la probabilità che un elettrone passi dalla zona A alla
zona B sarà proporzionale sia alla densità di elettroni, ossia di stati occupati, nella regione A, sia alla disponibilità di
stati vuoti, a quella medesima energia, nella regione B:
PA →B (E ) = f A ( E)g A (E ) × [1 − f B (E )]g B (E )
Allo stesso modo, la probabilità che un elettrone passi da B ad A sarà data dalla formula reciproca:
PB →A (E ) = f B (E )g B (E ) × [1 − f A ( E)]g A (E )
All'equilibrio, le due probabilità devono uguagliarsi poichè non deve esservi un flusso netto di carica in alcuna
direzione. Questo è possibile se e solo se fA (E)=fB(E), e quindi se il livello di Fermi è il medesimo.
I livelli energetici in un semiconduttore
In un semiconduttore abbiamo incontrato quattro livelli energetici fondamentali: gli estremi delle bande di valenza e di
conduzione EV ed Ec, il livello di Fermi intrinseco Ei , ed il livello di Fermi EF che, nei semiconduttori estrinseci, ossia
drogati, differisce da Ei .
E0
Rimane tuttavia da introdurre ancora un livello: il livello del vuoto E0 che
indica l'energia massima consentita ad un elettrone del semiconduttore
prima che questo sfugga dal materiale.
χ
W
Definiti questi livelli, abbiamo subito che vi è una differenza importante tra
EF e tutti gli altri: EF dipende dal drogaggio, mentre gli altri ne sono
EC
completamente indipendenti, e sono quindi proprietà costanti del materiale
EF
(a temperatura fissata, ad esempio Tamb ).
Eg
Di conseguenza, la introduzione della cosiddetta funzione lavoro W=E0 -EF,
Ei
che tanto è significativa nei metalli da indicare la minima energia da fornire
(ossia il lavoro da eseguire) ad un elettrone del metallo per strapparlo al
EV
metallo stesso, nei semiconduttori, dove proprio al livello EF di elettroni
non ce ne è alcuno, perde gran parte della sua giustificazione. E' tuttavia buona cosa preservare la informazione sul
livello del vuoto, indicandone la sua distanza energetica dal fondo della banda di conduzione con χ=E0 -Ec. La funzione
χ così trovata viene denominata Affinità Elettronica.
Per quanto detto, sia χ che Eg sono costanti del materiale, così come la posizione di Ei praticamente a metà gap.
Continuità del livello del vuoto.
Consideriamo ora il livello E0 : un elettrone portato esattamente a questo livello (ad esempio fornendo energia agli
elettroni del materiale mediante illuminazione, come nell'esperimento dell'effetto fotoelettrico) è libero dal materiale,
ma rispetto al mondo esterno ha una energia residua nulla, e per fornirgli ulteriore occorrerà spendere lavoro, ad
esempio mediante la applicazione di un campo. Questo fatto ha come conseguenza la necessità che il livello del vuoto
sia una funzione continua della posizione. Se così non fosse, infatti, arriveremmo ad un risultato contraddittorio,
illustrato nell'esempio seguente: supponiamo che un materiale disomogeneo abbia un livello del vuoto discontinuo, e
prendiamo un elettrone appena "liberato" dal materiale (ad esempio mediante illuminazione), collocato proprio sul
bordo della discontinuità.
E0
Se la funzione E0 è discontinua, sarà possibile
applicare una forza tangenziale finita F fino ad
dx
∆E
ottenere uno spostamento anche infinitesimo dx, e
quindi un lavoro infinitesimo dL, al quale però
corrisponderà un aumento finito di energia pari a ∆E. Poiché questo è fisicamente impossibile, l'unica possibilità è
quella per cui a spostamenti infinitesimi dx corrispondano variazioni infinitesime dE di energia, ossia che non vi siano
"scalini" nella funzione E0 (x). Questo significa semplicemente che E0 (x) deve essere una funzione continua.
Giunzione pn all'equilibrio
Consideriamo ora il caso in cui in
un medesimo semiconduttore due
regioni di diverso drogaggio si
trovino a contatto. Assumiamo per
semplicità che il drogaggio abbia
concentrazione costante nella zona
n ed altrettanto sia costante la
concentrazione degli accettori in
zona p.
Se proviamo ad allineare le due
strutture a bande semplicemente
accostandole, vediamo che il
livello di Fermi non è costante, e
quindi questa non può essere la
configurazione di equilibrio.
Se ora trasliamo le regioni in modo
da riportare EF alla medesima
quota, vediamo che si forma un
dislivello tra tutti gli altri livelli,
incluso il livello del vuoto E0 .
Poiché una discontinuità su E0 non
è possibile, dovremo accettare il
fatto che il dislivello venga
colmato mediante un raccordo
continuo.
Ma poichè la Affinità elettronica χ
ed il band gap Eg sono delle
costanti del materiale, la distanza
tra E0 ed Ec deve rimanere
costante, così come la distanza tra
Ec ed Ev .
Di conseguenza anche l'intera
struttura a bande si adatta a
replicare, ad ogni livello, la
deformazione del livello del vuoto
E0 .
regione n
regione p
E0
χ
χ
EC
EF
Eg
Ei
Eg
EF
EV
regione p
regione n
E0
χ
χ
EC
EF
Eg
EF
Eg
Ei
EV
regione p
regione n
E0
χ
χ
EC
EF
Eg
Eg
EF
Ei
EV
Notiamo come sia riconducibile la
ampiezza (ossia la differenza energetica) del dislivello al drogaggio. Osserviamo infatti che Ec ha un dislivello che,
misurato usando EF come riferimento, è dato da ∆ E c = (E c − E F )p − (E c − E F )n = E g − (E F − E V ) p − (E c − E F ) n . Le
[
]
differenze entro parentesi tonda sono riconducibili al drogaggio, in ipotesi di completa ionizzazione, tramite le
espressioni 1.19 e 1.21 dello Sze, che sono valide anche per il caso di semiconduttore estrinseco, ossia drogato:

 E − EF 
 n = N c exp  − c


kT 

n = N

D
⇒
N
E F = E c + kT ln  D
 Nc




⇒
N
E c − E F = − kT ln  D
 Nc

 E − Ev 
 p = N c exp  − F


kT 

p = N

A
⇒
N 
E F = E v + kT ln  v 
 NA 
⇒
N
E F − E v = kT ln  v
 NA








N 
N 
N N 
Di conseguenza ∆ E c = E g − kT ln  v  + kT ln  D  = E g + kT ln  D A  .
N
N
 A
 c 
 Nc N v 
Se ora ricordiamo che (eq.1.24 Sze, oppure capitoli precedenti di queste dispense: Elettroni e Lacune)
 Eg 

n i2 = N c N v exp  −
 kT 


abbiamo
N N 
∆ E c = kT ln  D 2 A 
 n

i


Bande, potenziali, campi e cariche.
La variazione del profilo delle bande con la posizione richiede una interpretazione fisica dei fenomeni implicati.
Se torniamo per un momento alle origini del concetto di banda di valenza e conduzione, ricordiamo come l'intera
costruzione che includeva struttura a bande nella rappresentazione ristretta, "invenzione" degli elettroni di Bloch e delle
lacune, introduzione delle masse efficaci, mirava alla fine a ricondurre il terrificante problema del moto elettronico nei
cristalli alla analisi del semplicissimo moto di "pseudo-particelle" che obbediscono alle equazioni dell'elettrone libero:
gli elettroni di Bloch nella banda di conduzione e le lacune nel mondo "rovesciato" della banda di valenza.
Per gli elettroni della banda di conduzione la differenza con l'elettrone libero era data da due sole cose (entrambe scese
in campo, ad esempio, nel calcolo della densità degli stati): la massa efficace e lo zero dell'energia. Mentre la prima
sostituisce la massa vera e propria, la energia minima per l'elettrone "libero" di Bloch si ha sul fondo della banda di
conduzione, quando l'energia totale vale Ec. Per l'elettrone libero questa energia corrisponde alla energia cinetica nulla
(e infatti v=0 sul fondo della parabola, così come sul fondo della banda di conduzione) e quindi alla energia totale nulla,
non essendovi energia potenziale.
Per l'elettrone in banda di conduzione la condizione E=Ec corrisponde ancora a energia cinetica nulla, ma in un sistema
in cui vi è una energia potenziale non nulla, ed esattamente uguale ad Ec.
Ecco allora che le variazioni di Ec con la posizione corrispondono ad un sistema in cui la energia potenziale
varia da luogo a luogo.
La conseguenza è immediata: poiché per un elettrone l'energia potenziale Epot è legata al potenziale elettrostatico V
dalla relazione Epot =-qV, ecco che l'andamento di -Ec (x)/q descrive l'andamento del potenziale elettrostatico V(x), a
meno di una costante arbitraria. Allo stesso modo, Ev , Ei e E0 sono equivalenti nel determinare il potenziale nella
giunzione pn a meno di una costante.
In una giunzione pn all'equilibrio si instaura una differenza di potenziale
(denominata Vbi = Built-In-Voltage) che, per drogaggi costanti delle due regioni, è data da:
N N 
1
V bi = − kT ln  D 2 A 
 n

q
i


Ma la esistenza di una variazione di potenziale indica la presenza di un campo E(x), e se questo, a sua volta, non è
costante, allora si ha una densità di carica netta ρ(x).
1
1 ∂ 2V ( x)
V ( x ) = − E c ( x ) + V0 , E ( x ) = − gradV(x ) ,
ρ( x ) = −
q
ε ∂x 2
E0
Ec
EF
Ei
Ev
x
V( x )
E( x )
ρ ( x)
x
Da dove nasce questa carica, ed il campo a lei connesso? Facciamo riferimento al primo disegno di pag.2, ed
immaginiamo cosa succede se poniamo idealmente a contatto le regioni p e n tentando di allineare non EF ma tutti gli
altri livelli.
Notiamo innanzitutto che, se fossero separate, le due regioni n e p sarebbero ciascuna in condizione di neutralità di
carica, poiché tutti gli elettroni della regione n sono compensati dalle poche lacune della banda di valenza e dai molti
donori ionizzati, così che n=p+ND . Allo stesso modo nella regione p si ha p=n+NA (si ricordi che i donori ionizzati sono
positivi e gli accettori negativi).
Al momento del "contatto", la grande quantità di elettroni della regione n vede nella regione p una amplissima regione
vuota, e tende a riversarsi in essa. Allo stesso modo le lacune dalla regione p tendono ad "invadere" la regione n.
Tuttavia, abbandonando la regione n gli elettroni lascino "scoperti" i donori ionizzati, e così fanno le lacune in regione p
con gli accettori. Queste cariche fisse creano a partire dall'interfaccia uno strato di dipolo, con conseguente campo
elettrico che, si osservi, si oppone alla migrazione in atto, richiamando gli elettroni verso la regione n e le lacune verso
la regione p. Si raggiungerà l'equilibrio quando il campo bloccherà la migrazione di carica. Questo campo è quello
individuato dalla "distorsione" delle bande.
Questi concetti sono alla base del funzionamento del diodo a giunzione pn, come riportato nello Sze al capitolo 3, primo
argomento del programma del corso di Dispositivi Elettronici.
Questi medesimi concetti, che hanno portato alla costruzione della struttura a bande della giunzione pn, si applicano per
dispositivi più complessi, basati sia sulle giunzioni pn (transistor bipolari, v. p.135 Sze, tiristori, v. p.178 Sze), sia sulle
cosiddette eterogiunzioni, ove non solo EF ma anche Eg e χ sono diversi ai due lati della giunzione (eterostrutture, v.
dispositivi fotonici e per microonde, Sze).
Ma allo stesso modo, con opportuni adattamenti si costruisce il diagramma a bande delle giunzioni metallosemiconduttore (cap. 5.1.1 Sze), fino ad arrivare alla costruzione di strutture NON in continuità elettrica tra le parti,
quali la struttura Metallo-Ossido-Semiconduttore (MOS), nella quale tuttavia è proprio la distorsione delle bande a
creare canali conduttivi o a chiuderli (v. diagramma pag. 225 Sze).