z 360

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z 360

Sistemi monofase
generatore
Vp∠φ
+
–
generatore
Vp∠φ
Vp∠φ
Teoria dei Circuiti
+
–
+
–
a linea
A carico
ZL
n
N
a linea
A carico
ZL1
n
N
ZL2
b
Sistema
monofase
a due fili
Sistema
monofase
a tre fili
B
Prof. Luca Perregrini
Circuiti trifase, pag. 1
Sistemi polifase
generatore
Vp∠0°
+
–
a linea
A carico
ZL1
n
N
Vp∠–90° +
–
Teoria dei Circuiti
ZL2
b
Sistema
bifase a
tre fili
B
Sistemi polifase
generatore
linea
carico
– +
Vp∠0°
ZL1
– +
Vp∠–360°/N
ZL2
– +
Vp∠–2·360°/N
Sistema
a N fasi
ZL3
– +
Vp∠–(N–1)·360°/N
Teoria dei Circuiti
ZLN
Sistemi trifase
generatore
– +
linea
a
A
Vp∠0°
– +
ZL1
b
B
Vp∠–120°
– +
Sistema trifase
a quattro fili
carico
ZL2
c
Vp
Van
Vbn
Vcn
C
Vp∠+120°
ZL3
n
N
120
240
ωt
Van = Vp cos ωt
Vbn = Vp cos(ωt –120°)
Vcn = Vp cos(ωt +120°) = Vp cos(ωt –240°)
Teoria dei Circuiti
Generatore trifase
avvolgimenti fissi
(statore)
60°
N
60°
S
nucleo magnetico rotante
(rotore)
Teoria dei Circuiti
Generatore in configurazione a stella
avvolgimenti fissi
(statore)
generatore
– +
a
b
Vp∠–120°
– +
c
Vp∠+120°
b
60°
c
S
n
n
Teoria dei Circuiti
a
N
Vp∠0°
– +
60°
(rotore)
– +
a
a
+
–
Van
b
n
– +
+
Vcn
c
+
Vbn
–
–
– +
Van
Vbn
b
Vcn
n
c
Le tensioni di fase bilanciate hanno lo stesso
modulo e sfasamenti reciproci di 120°:
|Van| = |Vbn| = |Vcn| e Van + Vbn + Vcn = 0
Teoria dei Circuiti
Si possono avere due casi:
SEQUENZA abc o
SEQUENZA POSITIVA:
Van = Vp∠0°
Vbn = Vp∠–120°
Vcn = Vp∠–240° = Vp∠+120°
SEQUENZA acb o
SEQUENZA NEGATIVA:
Van = Vp∠0°
Vcn = Vp∠–120°
Vbn = Vp∠–240° = Vp∠+120°
ω
Vcn
ω
Vbn
120°
120°
120°
120°
Van
Van
120°
120°
Vbn
Teoria dei Circuiti
Vcn
Generatore in configurazione a triangolo
avvolgimenti fissi
(statore)
generatore
a
+
–
–
+
+
–
a
N
Vab
b
Vca
60°
Vbc
c
b
60°
c
S
(rotore)
Teoria dei Circuiti
Generatore in configurazione a triangolo
a
a
+
Vbc
b
Vca
–
+
–
Vca
– +
c
–
Vab
+
–
+
+
–
Vab
b
Vbc
c
Teoria dei Circuiti
Generatori: relazione fra tensioni
a
Van
Vca
+
Vab
–
+
+
+
–
–
n
–
+
–
a
Vcn
Vbn
b
– +
b
Vbc
c
c
Van, Vbn e Vcn sono dette tensioni di fase
Vab, Vbc e Vca sono dette tensioni di linea
Teoria dei Circuiti
Si ha:
Vab = Van + Vnb = Van − Vbn = V p ∠0° − V p ∠ − 120°
 1
3
 = 3 V p ∠30° = VL ∠30°
= V p 1 + + j

2
2


Analogamente:
Vbc = VL ∠ − 90°
Vca = VL ∠ − 210°
Le tensioni di linea sono bilanciate (se lo sono quelle di
fase), e cioè hanno lo stesso modulo e sfasamenti di 120°:
|Vab| = |Vbc| = |Vca| e Vab + Vbc + Vca = 0
Teoria dei Circuiti
Vab = Van + Vnb = Van + (−Vbn )
Vnb= –Vbn
Vab
Vcn
30°
120°
Van
120°
Vbn
Teoria dei Circuiti
Vca
Vab
Vcn
Van = V p ∠0°
Vbn = V p ∠ − 120°
Van
Vbn
Vcn = V p ∠ − 240°
Vbc = VL ∠ − 90°
Vca = VL ∠ − 210°
Vbc
Teoria dei Circuiti
Vab = VL ∠30°
30°
VL = 3 V p
Carico in configurazione a stella
a
Z1
n
b
Z2
Z3
c
Il carico è bilanciato se le impedenze di fase
sono uguali in modulo e argomento:
Z1 = Z2 = Z3 = ZY
Teoria dei Circuiti
Carico in configurazione a triangolo
a
Zc
Zb
b
Za
c
Se il carico è bilanciato si ha:
Za = Zb = Zc = Z∆ = 3 ZY
Teoria dei Circuiti
Collegamento fra generatore e carico
Si possono avere quattro diverse configurazioni:
• collegamento Y-Y (generatore a stella con carico a stella)
• collegamento Y-∆ (generatore a stella con carico a triangolo)
• collegamento ∆-∆ (generatore a triangolo con carico a triangolo)
• collegamento ∆-Y (generatore a triangolo con carico a stella)
Teoria dei Circuiti
Configurazione Y-Y bilanciata
Zs
+
n
In
Zn
N
Zs
b
Ib
Z`
B
Zs
c
Ic
Z`
C
Van
+
Vcn
Ia
Z`
A
ZL
–
–
+
–
a
Vbn
ZL
ZL
Tipicamente Z` << ZL e Zn << ZL
Teoria dei Circuiti
+
n
In
b
Ib
b
c
Ic
c
Van
+
Vcn
Ia
a
Zn
ZY
N
–
–
+
–
a
Vbn
ZY
ZY
ZY = Zs + Z` + ZL
Teoria dei Circuiti
KVL alle tre maglie:
+–
+ V
an
–
Vcn
Ia
n
In
b
Ib
c
Ic
+
–
Van = ZY Ia – Zn In
Vbn = ZY Ib – Zn In
Vcn = ZY Ic – Zn In
a
a
Zn
b
Vbn
Inoltre:
ZY
N
ZY
ZY
c
Van + Vbn + Vcn = 0
In = 0
ZY (Ia + Ib + Ic) – 3 Zn In = 0
KCL al nodo N:
Ia + Ib + Ic = – In
Teoria dei Circuiti
VnN = Zn In = 0
(sul neutro non passa corrente e
quindi non vi è caduta di tensione)
Van
Ia =
ZY
Vbn
Ib =
ZY
Vcn
Ic =
ZY
Vcn
Ia
n
In
b
Ib
c
Ic
+
–
+–
+ V
an
–
a
a
Zn
ZY
N
b
Vbn
ZY
ZY
c
Poiché In = 0, VnN = 0 si può rimuovere il neutro senza alterare il funzionamento del
circuito:
a
Ia
a
Vcn
Teoria dei Circuiti
ZY
+
–
+–
+ V
an
–
b
Ib
c
Ic
b
Vbn
ZY
ZY
c
Potenza in un sistema trifase bilanciato
A
+
vAn
vBn
+
ZY
–
–
n
ZY
B
Z Y = Z ∠θ
ia
ib
vAn
+
ZY
C
ic
v An = V p cos ωt
ia = I p cos(ωt − θ )
vBn = V p cos(ωt − 120°)
ib = I p cos(ωt − θ − 120°)
vCn = V p cos(ωt + 120°)
ic = I p cos(ωt − θ + 120°)
N.B.: Vp e Ip sono valori di picco delle tensioni di fase e delle correnti di linea
Potenza istantanea:
Vp I p
p = pa + pb + pc = v Ania + vBnib + vCnic = 3
cos θ = 3 V p eff I p eff cos θ
2
La potenza istantanea su un carico
trifase bilanciato è costante
Teoria dei Circuiti
Potenza in un sistema trifase bilanciato
Dimostrazione:
p = pa + pb + pc = v Ania + vBnib + vCnic
= V p I p (cos ωt cos(ωt − θ ) + cos(ωt − 120°) cos(ωt − θ − 120°) + cos(ωt + 120°) cos(ωt − θ + 120°) )
Ricordando che cos x cos y =
p=
=
=
Vp I p
2
Vp I p
2
1
(cos( x + y) + cos( x − y) ) si ottiene:
2
(3 cosθ + cos(2ωt − θ ) + cos(2ωt − θ − 240°) + cos(2ωt − θ + 240°) )
(3 cosθ + cos(2ωt − θ ) + cos(2ωt − θ ) cos 240° + sin(2ωt − θ ) sin 240°
+ cos(2ωt − θ ) cos 240° − sin(2ωt − θ ) sin 240°)
Vp I p 
Vp I p
1
1

cos θ
 3 cos θ + cos(2ωt − θ ) − cos(2ωt − θ ) − cos(2ωt − θ )  = 3
2 
2
2
2

Teoria dei Circuiti
Potenze medie
Passando alle potenze medie, per ogni singola fase si ha:
Vp I p
1
Pp = p =
cos θ = V p eff I p eff cos θ
3
2
Vp I p
Qp =
sin θ = V p eff I p eff sin θ
2
Vp I p
Sp =
= V p eff I p eff
2
pf = cos θ
S p = Pp + jQ p =
Teoria dei Circuiti
potenza reale o attiva
potenza reattiva
potenza apparente
fattore di potenza
1
Vp ⋅ I *p = Vp eff ⋅ I *p eff
2
potenza complessa
Potenze medie
La potenza media totale sul carico trifase risulta:
2
3
V
3 2
p
*
V
I
Z
I
3
⋅
=
⋅
=

p
p
p
p
*
Z
2
2
2
p

S = 3Sp = 
2

V
p eff
*
2
3 Vp eff ⋅ I p eff = 3 I p eff ⋅ Z p = 3 *
Zp

dove Zp = Zp∠θ è l’impedenza di carico per fase (Zp può rappresentare ZY o Z∆)
Teoria dei Circuiti
Configurazione Y-Y sbilanciata
a
+
–
+–
+ V
an
–
b
Vcn
Ia
Ib
a
N
b
Vbn
c
Ic
Y1
Y2
Y3
c
Applicando il metodo di analisi nodale si ha:
( VN − Van ) Y1 + ( VN − Vbn ) Y2 + ( VN − Vcn ) Y3 = 0
Van Y1 + Vbn Y2 + Vcn Y3
VN =
Y1 + Y2 + Y3
Nota VN si possono facilmente calcolare le correnti e le potenze.
Teoria dei Circuiti
Vantaggi nella distribuzione dell’energia
A parità di potenza PL trasmessa al carico, di tensione di linea VL e
di potenza dissipata lungo i cavi, il cablaggio con un sistema trifase
richiede meno materiale rispetto ad un sistema monofase.
R
IL
R'
+
generatore
monofase
VL
R
carico
resistivo
generatore
trifase
–
IL∠0°
carico
R' IL∠–120°
trifase
+ bilanciato
R' IL∠–240° VL∠–120° resistivo
+
VL∠0°
–
–
(R, R' rappresentano la resistenza dei cavi: R = ρ`/πr2, R = ρ`/πr'2)
mono
Ppersa
= 2 R I L2 eff
Teoria dei Circuiti
PL2
=2R 2
VL eff
tri
Ppersa
= 3 R' I L2 eff
 P
= 3 R'  L
 3V
 p eff
2


 = 3 R'  PL
 3V

L eff


2

PL2
 = R' 2

VL eff

Vantaggi nella distribuzione dell’energia
Imponendo che la potenza dissipata lungo i cavi sia la stessa si ha:
mono
Ppersa
tri
Ppersa
ρl / π r 2
R
=2 =2
=1
2
ρl / π r '
R'
r = 2 r'
quindi il rapporto fra le quantità di materiale (rame) necessario per
cablare il sistema monofase e quello trifase è:
materiale per monofase 2 (π r 2 l) 2 r 2 4
=
=
= = 1.333
2
2
materiale per trifase
3 (π r ' l) 3 r '
3
Teoria dei Circuiti

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