Appunti di Elementi di Geometria Algebrica

Appunti di Elementi di Geometria Algebrica
Antonino Leonardis
29 novembre 2006
Indice
1 Cubiche
1.1 Classificazione proiettiva delle curve . . . .
1.2 Forma canonica di Weierstrass . . . . . . .
1.2.1 Risultato finale . . . . . . . . . . . .
1.2.2 1◦ Caso: cubiche irriducibili lisce . .
1.2.3 2◦ Caso: cubiche irriducibili singolari
1.3 Struttura di gruppo su una cubica . . . . .
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6
8
10
2 Richiami di Algebra Commutativa
13
2.1 Quozienti e localizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert . . . . . . . 13
3 Topologia di Zariski
15
3.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) . . . . . . . . . 16
4 Anello delle coordinate
4.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ideali e chiusi . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Mappe polinomiali . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Proprietà delle mappe polinomiali
4.4 Punto di vista algebrico . . . . . . . . . .
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5 Varietà
5.1 Varietà affini (VA) . . . . . . .
5.1.1 Definizione . . . . . . .
5.2 Topologia di Zariski su Pn . . .
5.2.1 Definizione . . . . . . .
5.2.2 Ideali omogenei . . . . .
5.2.3 Carte affini . . . . . . .
5.3 Varietà proiettive (VP) . . . .
5.4 Varietà quasi-proiettive (VQP)
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3
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4
INDICE
5.5
5.6
5.7
Funzioni regolari .
5.5.1 Definizione
5.5.2 Proprietà .
Morfismi . . . . . .
Mappe di Veronese
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6 Prodotto
6.1 Definizione . . . . . . .
6.2 Applicazioni di Segre . .
6.2.1 Definizione . . .
6.3 Proprietà del grafico . .
6.4 Ipersuperfici di grado d
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23
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25
7 Gruppi algebrici
27
7.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 Azione di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Grassmanniane
8.1 Definizione ed esempi . .
8.2 Immersione di Plücker . .
8.2.1 Quadrica di Klein
8.2.2 Caso generale . . .
8.3 Varietà di incidenza . . .
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9 Funzioni razionali (FR)
9.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Funtore ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Scoppiamento di A2 in (0, 0) . . . .
9.3 Teoria della dimensione . . . . . . . . . . .
9.4 Dimensione nel caso delle varietà proiettive
9.5 Superfici di grado d in P3 . . . . . . . . . .
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10 Spazio tangente
39
10.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.2 Anello locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Capitolo 1
Cubiche
Se non specificato diversamente in questo capitolo considereremo lo spazio
proiettivo Pn (K) con char(K) 6= 2, 3 e le curve su di esso.
1.1
Classificazione proiettiva delle curve
Γ curva, d = deg Γ
d = 1 Rette (proiettivamente isomorfe)
d = 2 Coniche (classificazione in base al rango)
d = 3 Cubiche (?)
1.2
1.2.1
Forma canonica di Weierstrass
Risultato finale
y 2 = p(x) [p(x) = x3 + ax2 + bx + c]
f (x, y) = y 2 − p(x)
Singolarità: y = p(x) = p0 (x) = 0, cioè i punti (α, 0) tali che α è radice
multipla di p(x). Le radici di p(x) possono essere:
• Una radice tripla α ⇒ Γ = {y 2 = k(x − α)3 } ha una cuspide in (α, 0)
• Una radice doppia α ⇒ Γ = {y 2 = k(x − α)2 (x − β)} ha un nodo in
(α, 0)
• Tutte radici singole ⇒ Γ è liscia
All’∞ la curva ha un flesso.
5
6
CAPITOLO 1. CUBICHE
1.2.2
1◦ Caso: cubiche irriducibili lisce
Proposizione 1.2.1. Sia Γ una cubica non singolare. Allora ∃O ∈ Γ flesso.
Dimostrazione 1.2.1 Sia F (P ) = 0 l’equazione della curva. Sia H l’Hessiana di Γ. Allora:
P flesso ⇐⇒ F (P ) = H(P ) = 0
E questo sistema ha almeno una soluzione.
Proposizione 1.2.2. Sia Γ una cubica non singolare, O ∈ Γ flesso (cfr.
1.2.1). Allora è possibile trovare un sist. rif. proiettivo t.c.:
1. O = [0, 0, 1]
2. Γ ha equazione y 2 = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ) ≡ p(x)
Dimostrazione 1.2.2 Prendo il sist. rif. proiettivo t.c. O = [0, 0, 1] e la
tangente in O è la retta z = 0. Allora nella carta y 6= 0 si ha l’equazione
affine:
f (x, z) = z + z(ax + bz) + p3 (x, z)
E questa diventa nella carta z 6= 0:
g(x, y) = y 2 + y(ax + b) + p3 (x, 1)
Con la trasformazione:

x → x
 y → y + 1 (ax + b)
2
L’equazione diventa della forma:
y 2 = p(x), deg(p) = 3
Inoltre p può essere facilmente reso monico; infatti, se p(x) = cx3 +. . ., basta
usare la trasformazione:


x
x → x
x → √
3
c oppure
y
y → √

y→y
c
Infine, essendo Γ non singolare, p ha tre radici distinte α1 , α2 , α3 come
voluto.
Proposizione 1.2.3. Con le notazioni della proposizione precedente, si può
trovare un sist. rif proiettivo in cui p(x) = x(x − 1)(x − λ).
1.2. FORMA CANONICA DI WEIERSTRASS
7
Dimostrazione 1.2.3 Con un’affinità sulle x è facile ottenere un’equazione
della forma:
y 2 = kx(x − 1)(x − λ)
A questo punto basta rendere il polinomio monico con la trasformazione:

x → x
y
y → √
k
Flessi
Sia Γ = {zy 2 = x(x − z)(x − λz)} = {zy 2 − x3 + (1 + λ)zx2 − λz 2 x = 0}.
Calcoliamo la matrice Hessiana nei punti finiti (z = 1):


−2λx
2(1 + λ)x − 2λ 2y
H(1, x, y) = det  2(1 + λ)x − 2λ −6x + 2(1 + λ) 0  =
2y
0
2


−λx
(1 + λ)x − λ y
= 8 det  (1 + λ)x − λ −3x + 1 + λ 0  =
y
0
1


−λx
(1 + λ)x − λ
=
= 8y 2 (−3x + 1 + λ) + 8 det 
(1 + λ)x − λ −3x + 1 + λ
= 8(y 2 − λx)(−3x + 1 + λ) + 8((1 + λ)x − λ)2 =
= 8(x3 − (1 + λ)x2 + 2λx)(−3x + 1 + λ) + 8((1 + λ)x − λ)2 =
= 8(−3x4 + 4(1 + λ)x3 − 6λx2 + λ2 ) ≡ 8h(x)
Dunque h(x) ha 4 radici, le quali sono distinte1 e diverse da {0, 1, λ}; dunque
Γ ha 8 flessi finiti simmetrici rispetto alla retta y = 0 e un flesso all’infinito.
Si osservi che Γ ha il massimo numero di flessi possibile (Bezout).
Modulo di una cubica liscia
Definizione 1.2.4. Si definisce modulo di un birapporto β il valore:
j(β) =
(β 2 − β + 1)3
β 2 (β − 1)2
Si dimostra facilmente che le soluzioni di j(β) = j(γ) sono tutte e sole
β
1
2
, β−1
quelle con γ ∈ {β, β1 , β−1
β , 1 − β, 1−β }; infatti j ha grado 6, quindi se
1
La dimostrazione è semplicemente il calcolo del risultante
Si definisce il grado di una funzione razionale f (x) = p(x)
∈ k(x) (p, q ∈ k[x]) come
q(x)
deg f = max(deg p, deg q); in particolare f (x) = c ha esattamente deg f soluzioni (con
molteplicità)
2
8
CAPITOLO 1. CUBICHE
le soluzioni sono distinte la tesi è chiara. Gli unici due casi in cui ci sono
soluzioni coincidenti sono:
a) j(β) =
27
4
⇒ β ∈ {−1, 2, 12 } (Quaterna armonica)
b) j(β) = 0 ⇒ β ∈ {−ω, −ω 2 }, ω 3 = 1 (Quaterna anarmonica)
Definizione 1.2.5. Si definisce modulo di una cubica Γ = {y 2 = x(x −
1)(x − λ)} rispetto al flesso O = [0, 0, 1] il valore:
jO (Γ) = j(γ)
Questo non è altro che il modulo del birapporto Bir(0, 1, λ, ∞) e non dipende
dalla scelta del sistema di riferimento in quanto è anche il modulo del birapporto tra le tangenti a Γ passanti per O (le rette x = 0, x = 1, x = λ,
r∞ ), il quale si conserva per proiettività.
Si definisce inoltre il modulo di una cubica Γ = {y 2 = x(x − 1)(x − λ)} senza
specificare il flesso all’infinito come j(Γ) = jO (Γ); per far ciò basta far vedere
che jO (Γ) = jO0 (Γ) (O e O0 flessi generici). Questo è chiaro in quanto basta
prendere un sistema di riferimento tale che O e O0 sono simmetrici rispetto
alla retta y = 0; allora chiaramente si conserva il modulo con la simmetria.
Definizione 1.2.6. Sia Γ una cubica e j(Γ) il suo modulo. Allora Γ si dice
cubica armonica se j(Γ) = 27
4 , mentre si dice cubica anarmonica se j(Γ) = 0.
Osservazione 1.2.7. Sia Γ una cubica né armonica né anarmonica. Allora
il gruppo di invarianza GO (Γ) delle proiettività che fissano la cubica Γ e un
flesso O ha due elementi; supponendo Γ in forma di Weierstrass questi sono
l’identità e la simmetria rispetto alla retta y = 0 (GO (Γ) ∼
= Z/2Z).
Se Γ è invece armonica GO (Γ) è ciclico con 4 elementi e (in forma di Weierstrass) è generato dall’affinità φ : (x, y) → (−x, iy) (GO (Γ) ∼
= Z/4Z).
Infine, se Γ è anarmonica, GO (Γ) è ciclico con 6 elementi e (in forma di
Weierstrass) è generato dall’affinità ψ : (x, y) → (ω 2 x + 1, −y) (GO (Γ) ∼
=
Z/6Z).
1.2.3
2◦ Caso: cubiche irriducibili singolari
Una cubica irriducibile può avere al più un punto singolare P (se ne avesse
due allora la retta passante per questi due avrebbe molt. di intersezione ≥ 4,
assurdo). Supponiamo di essere in questo caso; allora si possono distinguere
due casi:
1. P ordinario (cubica nodata)
2. P non ordinario (cubica cuspidata)
Proposizione 1.2.8. Anche per le cubiche singolari abbiamo una forma di
Weierstrass. Precisamente:
1.2. FORMA CANONICA DI WEIERSTRASS
9
i) Ogni cubica nodata è proiett. equiv. alla curva y 2 = x2 (x − 1)
ii) Ogni cubica cuspidata è proiett. equiv. alla curva y 2 = x3
Dimostrazione 1.2.8
i) Verifichiamo innanzitutto che tutte le cubiche nodate sono proiettivamente equivalenti; in particolare saranno equivalenti a quella della
tesi. Considero un sist. rif. proiettivo t.c. P = [0, 0, 1] e le tangenti in
P sono x = 0 e z = 0. Allora nella carta y 6= 0 si ha l’equazione:
xz + (ax3 + bx2 z + cxz 2 + dz 3 ) = 0
e tornando alla carta z 6= 0:
xy + ax3 + bx2 + cx + d = 0
ovvero:
x(y + bx + c) + ax3 + d
e con la trasformazione y → y + bx + c si ottiene:
xy + ax3 + d = 0
la quale con facili scalamenti diventa:
xy + x3 + 1 = 0
ovvero quello che volevamo dimostrare, le cubiche nodate sono tutte
equivalenti.
ii) Verifichiamo innanzitutto che tutte le cubiche cuspidate sono proiettivamente equivalenti; in particolare saranno equivalenti a quella della
tesi. Considero un sist. rif. proiettivo t.c. P = [0, 0, 1] e la tangente
in P è z = 0. Nella carta y 6= 0 si ha:
z 2 + ax3 + bx2 z + cxz 2 + dz 3 = 0
e tornando alla carta z 6= 0:
y + ax3 + bx2 + cx + d = 0
la quale con la trasformazione x →
x−b/3a
√
3a
diventa:
y + x3 + cx + d = 0
a questo punto è sufficiente sostituire y → y + cx + d per ottenere:
y + x3 = 0
da cui la tesi.
10
CAPITOLO 1. CUBICHE
1.3
Struttura di gruppo su una cubica
Definizione 1.3.1. Sia Γ una cubica liscia e A, B due suoi punti. Allora si
definisce:
R(A, B) = {L(A, B) ∩ Γ}\{A, B}
contando anche la molteplicità (L(A, A) è la tangente in A).
Definizione 1.3.2. Sia Γ una cubica liscia e O un suo punto. Allora si
definisce la somma sui punti della cubica:
A ⊕ B = R(R(A, B), O)
Proposizione 1.3.3. (Γ, ⊕) è un gruppo abeliano.
Dimostrazione 1.3.3
• Associatività • abbastanza complicata. Supponiamo:
(P ⊕ Q) ⊕ S = P ⊕ (Q ⊕ S)
Questo si verifica se e solo se:
R(P ⊕ Q, S) = R(P, Q ⊕ S)
Infatti R(·, O) è bigettiva. Consideriamo la cubica degenere Γ0 =
L(P, Q) + L(P ⊕ Q, S) + L(O, Q ⊕ S). Allora:
\
Γ0 Γ = {P, Q, R(P, Q), S, P ⊕ Q, R(P ⊕ Q, S), O, Q ⊕ S, R(Q, S)}
Quindi3 :
– S, Q, R(Q, S) sono allineati ⇒ gli altri 6 punti sono su una conica
– R(P, Q), P ⊕ Q, O sono allineati ⇒ gli altri 3 punti sono su una
retta
Dunque P, Q ⊕ S, R(P ⊕ Q, S) sono allineati, ovvero R(P ⊕ Q, S) =
R(P, Q ⊕ S) c.v.d.
• Commutatività • facile (R è commutativa)
• Elemento neutro • O
O ⊕ A = R(R(A, O), O) = A
• Opposto • −A = R(R(O, O), A)
−A ⊕ A = R(R(A, R(R(O, O), A)), O) = R(R(O, O), O) = O
3
Nel caso questi 9 punti non siano distinti bisogna utilizzare Bezout generalizzato o un
ragionamento per continuità
1.3. STRUTTURA DI GRUPPO SU UNA CUBICA
11
Osservazione 1.3.4. Si osservi che:
• A + B + C = R(O, O) ⇐⇒ A, B, C sono allineati
• A + A + B = R(O, O) ⇐⇒ la tangente per A passa per B
• A + A + A = R(O, O) ⇐⇒ A è un flesso
Osservazione 1.3.5. Comunemente si considera un flesso O nel definire la
legge di gruppo. In questo caso:
• Il sottogruppo di torsione 2 ha 4 elementi, che sono i punti O, A, B, C
tali che le tangenti passano per O (in forma di Weierstrass quelli con
y = 0).
• Il sottogruppo di torsione 3 ha 9 elementi, che sono esattamente i nove
flessi.
Definizione 1.3.6. Sia Γ una cubica singolare irriducibile e O un suo punto
non singolare. Allora si definisce la somma sui punti non singolari (6= P )
della cubica:
A ⊕ B = R(R(A, B), O)
In particolare si osservi che se A, B non sono singolari non lo è nemmeno
R(A, B). Vale anche in questo caso che (Γ\{P }, ⊕) è un gruppo abeliano.
Osservazione 1.3.7. Supponiamo come sopra O flesso. In questo caso:
• Se la cubica è nodata si ha (Γ\{P }, ⊕) ∼
= K∗ tramite l’isomorfismo
y−x
φ : [z, x, y] → y+x .
• Se la cubica è cuspidata si ha (Γ\{P }, ⊕) ∼
= K tramite l’isomorfismo
x
φ : [z, x, y] → y .
• Il sottogruppo di torsione 2 ha 2 elementi nel caso della cubica nodata
(O e, in forma di Weierstrass, A = (1, 0)) e uno solo nel caso della
cubica cuspidata (O), come si deduce facilmente dall’isomorfismo.
• Il sottogruppo di torsione 3 è esattamente l’insieme dei flessi (∼
= Z/3Z
nel caso della cubica nodata, {O} nel caso della cubica cuspidata, come
si deduce facilmente dall’isomorfismo).
12
CAPITOLO 1. CUBICHE
Capitolo 2
Richiami di Algebra
Commutativa
2.1
Quozienti e localizzazioni
2.2
Algebre
2.3
Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert
13
14
CAPITOLO 2. RICHIAMI DI ALGEBRA COMMUTATIVA
Capitolo 3
Topologia di Zariski
3.1
Definizione
Sia E ⊆ K[x1 , . . . , xn ]. Allora si definisce il luogo di E come:
V (E) = {x ∈ An |f (x) = 0 ∀x ∈ E}
Gli insiemi di questo tipo sono i chiusi di una topologia su An (la dimostrazione è abbastanza semplice) che viene detta topologia di Zariski.
Viceversa sia X ⊆ An . Allora si definisce l’ideale di X come:
I(X) = {f ∈ K[x1 , . . . , xn ]|f (x) = 0 ∀x ∈ X}
3.2
Proprietà
• La topologia di Zariski è T1
• La topologia di Zariski è T2 ⇐⇒ K è finito (altrimenti gli aperti non
vuoti sono densi)
• An è riducibile ⇐⇒ K è finito
• An è compatto con la topologia di Zariski (per la dimostrazione si fa
uso della base di aperti Uf ≡ V ({f })C
• An è Noetheriano (cioè ogni catena discendente di chiusi è stazionaria)
• La topologia a complementari finiti è meno fine della topologia di
Zariski (gli insiemi finiti sono chiusi) e coincide con essa nel caso n = 1
• Per K = C oppure K = R la topologia euclidea è strettamente più fine
della topologia di Zariski (i chiusi di Zariski sono chiusi euclidei)
15
16
3.3
CAPITOLO 3. TOPOLOGIA DI ZARISKI
Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz)
V (I(X) = X
√
I(V (J )) = J
Capitolo 4
Anello delle coordinate
4.1
Definizione
Sia X ⊆ An un chiuso di Zariski. Si definisce anello delle coordinate di X
l’anello K[X] delle funzioni polinomiali (cioè esprimibili con un polinomio)
da X in K. Chiaramente si ha:
K[X] ∼
= K[x1 , . . . , xn ]/I(X)
da cui si ha tra l’altro che:
K[X] dominio di integrità ⇐⇒ X è irriducibile
.
4.2
Ideali e chiusi
Si definiscono, dati E ⊆ K[X] e Y ⊆ X, i seguenti:
VX (E) = {y ∈ X|f (x) = 0 ∀y ∈ E}
IX (Y ) = {f ∈ K[X]|f (y) = 0 ∀y ∈ Y }
Gli insiemi VX (E) non sono altro che i chiusi di X con la topologia (indotta)
di Zariski.
4.3
Mappe polinomiali
Si definisce mappa polinomiale una funzione polinomiale (cioè le cui componenti sono esprimibili con polinomi) da un chiuso X ⊆ An a un chiuso Y ⊆ Am . Si definisce inoltre il funtore controvariante ∗ dalla categoria
(chiusi, mappe polinomiali) alla categoria (K-algebre, omomorfismi) in modo
che:
f ∗ : K[Y ] → K[X]
17
18
CAPITOLO 4. ANELLO DELLE COORDINATE
g →g◦f
Osservazione 4.3.1. Non è detto che una mappa polinomiale f bigettiva sia un isomorfismo (cioè che f ∗ sia un isomorfismo). Ad esempio la
parametrizzazione f : K → {y 2 = x3 }, f (t) = (t2 , t3 ) è bigettiva ma non
induce un isomorfismo di algebre. Infatti:
f ∗ [p(x, y)](y2 −x3 ) = p(t2 , t3 ) =⇒ t 6∈ im(f ∗ )
4.3.1
Proprietà delle mappe polinomiali
• f polinomiale ⇒ f continua
• f polinomiale 6⇒ f chiusa (Es.: X = {xy = 1}, Y = A1 , f (x, y) = x)
• f polinomiale 6⇒ f aperta (Es.: X = Y = A2 , f (x, y) = (x, xy))
• f polinomiale ⇒ f (X) unione finita di localmente chiusi (non dimostrata)
Definizione 4.3.2. Una funzione f : X → Y si dice immersione chiusa se
f (X) è chiuso in Y e f è isomorfismo con l’immagine
Definizione 4.3.3. Una funzione f : X → Y si dice dominante se f (X) è
denso in Y
• f dominante ⇐⇒ f ∗ iniettiva (in particolare IY (f (X)) = ker(f ∗ ))
• f immersione chiusa ⇐⇒ f ∗ surgettiva
• φ : K[Y ] → K[X] =⇒ ∃f : X → Y t.c. φ = f ∗
4.4
Punto di vista algebrico
Se A è un anello commutativo con identità si può considerare maxspec(A)
(spettro massimale di A) e spec(A) (spettro primo di A) con la topologia
di Zariski. Il sollevamento di omomorfismi si comporta bene nello spettro
primo ma non nello spettro massimale (la contrazione di un massimale non
è necessariamente massimale). Se però consideriamo omomorfismi di Kalgebre il sollevamento si comporta bene anche nello spettro massimale.
Capitolo 5
Varietà
5.1
5.1.1
Varietà affini (VA)
Definizione
Si dice varietà affine una classe di isomorfismo di chiusi di Zariski. In
particolare queste classi saranno determinate dall’anello delle coordinate
corrispondente.
5.2
5.2.1
Topologia di Zariski su Pn
Definizione
Y ⊆ Pn è chiuso di Zariski (proiettivo) ⇐⇒ π −1 (Y ) ⊆ An+1 è chiuso di
Zariski (affine)
5.2.2
Ideali omogenei
5.2.3
Carte affini
5.3
Varietà proiettive (VP)
Si dice varietà proiettiva una classe di isomorfismo di chiusi di Zariski
proiettivi.
5.4
Varietà quasi-proiettive (VQP)
Si dice varietà quasi-proiettiva una classe di isomorfismo di localmente-chiusi
di Zariski proiettivi. In particolare le VA e le VP sono VQP.
Più in generale si dimostra abbastanza facilmente che una VQP ammette
una base di aperti affini (si restringe la varietà nelle carte {xi 6= 0} ottenendo
delle cosiddette “varietà quasi affini (VQA)”; con queste la tesi è facile).
19
20
CAPITOLO 5. VARIETÀ
5.5
5.5.1
Funzioni regolari
Definizione
Sia X una VQP. Una funzione f : X → K si dice regolare se è localmente
una funzione razionale omogenea (cioè f (λx) = f (x) ovvero il numeratore
e il denominatore hanno lo stesso grado). L’insieme di tali funzioni è una
K-algebra e si indica con OX (X).
5.5.2
Proprietà
• Le funzioni razionali sono continue (si verifica localmente con i chiusi)
• Se X è affine allora OX (X) ∼
= K[X] (serve il NSS)
• Se X = Pn allora OX (X) ∼
=K
5.6
Morfismi
Definizione 5.6.1. Una funzione f : X → Y è un morfismo se è continua
e per ogni aperto V ⊆ Y :
g : V → K regolare ⇒ f ◦ g : f −1 (V ) → K regolare
Un morfismo è detto isomorfismo se ammette un morfismo inverso.
Definizione 5.6.2. Sia f : X → Y un morfismo tra VQP. Allora definisco:
f ∗ : OY (Y ) → OX (X), f ∗ (h) = h ◦ f
f ∗ cosı̀ definito è un omomorfismo K-lineare e ha le proprietà seguenti:
• (IdX )∗ = IdOX (X)
• (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗
• f isomorfismo ⇒ f ∗ isomorfismo
I morfismi non sono altro che una generalizzazione delle mappe polinomiali
tra varietà affini. Infatti:
Proposizione 5.6.3. Sia X una VQP e f : X → An un’applicazione,
f = (f1 , . . . , fn ). Allora:
f morfismo ⇐⇒ ∀i : fi regolare
Dimostrazione 5.6.3
⇒ fi = f ∗ (yi ) è regolare per definizione
5.7. MAPPE DI VERONESE
21
⇐ Sia φ una FR su An . Sia V ⊆ An aperto tale che ∀y ∈ V : φ(y) =
(a, b ∈ K(An )). Allora:
φ◦f =
a(y)
b(y)
a(f1 , . . . , fn )
è regolare
b(f1 , . . . , fn )
Corollario 5.6.3 f : X → Y è un morfismo tra VA se e solo se è polinomiale.
Proposizione 5.6.4. Sia X ⊆ An una VA, f (x)[6= 0] ∈ K[X] e Xf = {x ∈
X|f (x) 6= 0} un suo aperto principale. Allora Xf è una VA.
Dimostrazione 5.6.4 Sia φ : Xf → An+1 la mappa:
φ(x) = (x,
1
)
f (x)
e sia Y = φ(Xf ). Allora Xf ∼
=Y.
Corollario 5.6.4 Se X è una VQP allora ammette una base di aperti affini.
Proposizione 5.6.5. Sia X una VA e Xf un aperto principale. Allora:
K[X] = K[X]f
5.7
Mappe di Veronese
Definizione 5.7.1. Si definisce la curva razionale normale di grado n come:
x0 x1 . . . xn−1
≤1
Cn = rk
x1 x2 . . . xn
Nel caso n = 3 essa viene anche chiamata cubica gobba.
k
N
Definizione 5.7.2.Si definisce
la mappa di veronese vk,n : P → P ,
n+k
ove si è posto N =
− 1, utilizzando le coordinate (zI ) con I =
k
(i0 , . . . , ik ) multiindice a somma n:
vk,n (x0 , . . . , xk )I = X I
La mappa di Veronese vn,k è un isomorfismo tra Pk e un chiuso di PN . In
particolare per k = 1 si ha un isomorfismo tra P1 e la curva razionale di
grado n (si osservi che N = n) che possiamo scrivere esplicitamente:
v1,n ([s, t]) = [sn , sn−1 t, . . . , stn−1 , tn ]
22
CAPITOLO 5. VARIETÀ
Capitolo 6
Prodotto
6.1
Definizione
Si definisce il prodotto di due VQP X e Y tramite la proprietà universale,
cioè la VQP W è il prodotto di X e Y con proiezioni p1 e p2 se e solo se ∀Z
VQP, f : Z → X, g : Z → Y morfismi ∃!Φ : Z → W morfismo che fattorizza
f e g con le proiezioni (Φ ◦ p1 = f , Φ ◦ p2 = g). Questa proprietà implica
l’unicità di W a meno di isomorfismo, il quale isomorfismo deve fattorizzare
le proiezioni di un prodotto nell’altro.
Osservazione 6.1.1. An × Am = Am+n
Osservazione 6.1.2. Pn × Pm è una varietà proiettiva (si veda il prossimo
paragrafo)
6.2
6.2.1
Applicazioni di Segre
Definizione
Le applicazioni di Segre sn,m sono un isomorfismo tra Pn × Pm è una varietà
proiettiva. Precisamente, posto N = (n + 1)(m + 1) − 1 e considerando PN
come lo spazio vettoriale delle matrici n × m quozientato proiettivamente,
definiamo:


x0 y0 x0 y1 · · · x0 ym
 x1 y0 x1 y1 · · · x1 ym 


sn,m ([x0 , . . . , xn ], [y0 , . . . , ym ]) =  .
..
.. 
.
.
.
 .
.
.
. 
xn y0 xn y1 · · · xn ym
O più concisamente:
sn,m (x, y) = xy T
A questo punto è facile dimostrare che un chiuso in Pn × Pm è definito da
equazioni polinomiali con polinomi biomogenei in x, y.
23
24
CAPITOLO 6. PRODOTTO
Proposizione 6.2.1. Siano X, Y VQP. Allora:
X × Y irriducibile ⇐⇒ X, Y irriducibili
6.3
Proprietà del grafico
Proposizione 6.3.1. Sia f : X → Y un morfismo e Γf ⊂ X × Y il suo
grafico. Allora Γf è chiuso; in particolare la diagonale ∆Y ⊂ Y × Y (cioè il
grafico di idY : Y → Y ) è chiusa.
Dimostrazione 6.3.1 Dimostriamo innanzitutto che basta sapere che la
diagonale è chiusa per ottenere la tesi. Infatti considero il morfismo Φ :
X × Y → Y × Y , Φ(x, y) = (f (x), y) e siccome Γf = Φ−1 (∆Y ) ottengo che
Γf è chiuso in quanto controimmagine di un chiuso. Dimostriamo ora che
∆Y è chiusa. In particolare basta farlo per Y = Pn . Si ha:
x0 . . . xn
n
∆P = ([x0 , . . . , xn ], [y0 , . . . , yn ]) rk
≤1 =
y0 . . . yn
= {([x0 , . . . , xn ], [y0 , . . . , yn ])|xi yj − xj yi = 0}
Ed è quindi definita da polinomi biomogenei di bigrado (1,1), da cui è chiusa.
Corollario 6.3.1 Siano f, g : X → Y morfismi. Allora {f = g} è chiuso.
Infatti {f = g} = (f × g)−1 (∆y ) cioè è controimmagine di un chiuso tramite
il morfismo f × g.
Teorema 6.3.2. Siano X VP, Y VQP, f : X → Y morfismo. Allora f (X)
è chiuso.
Prima di effettuare la dimostrazione consideriamo il seguente teorema equivalente:
Teorema 6.3.3. Siano X VP, Y VQP. Allora p2 : X × Y → Y è chiusa.
Tutto questo si esprime dicendo che X è universalmente chiusa.
Dimostrazione 6.3.3
• Possiamo supporre Y affine (ci riduciamo agli elementi di una base di
aperti affini)
• Possiamo supporre Y = An
• Possiamo supporre X = Pm
Sia Z un chiuso in An × Pm . Con un po’ di conti (qui omessi) si ottiene una
condizione polinomiale su f (Z), ovvero f (Z) è chiuso.
A questo punto possiamo dimostrare il teorema 6.3.2:
Dimostrazione 6.3.2 f (X) non è altro che p2 (Γf ) che è chiuso per il
teorema 6.3.3.
Corollario 6.3.2
6.4. IPERSUPERFICI DI GRADO D
25
• Se X è una VP connessa e f : X → K regolare allora f è costante (si
estenda f a fe : X → P1 ; allora fe(X) è chiuso connesso 6= P1 )
• Se X è una VP e anche affine allora è una unione finita di punti
(ogni componente irriducibile ha un solo punto altrimenti si trova una
funzione regolare non costante)
• In particolare la chiusura proiettiva di una varietà affine è sempre più
grande a meno che questa non sia un insieme finito di punti
6.4
Ipersuperfici di grado d
Consideriamo lo spazio Id = P(K[x0 , . . . , xn ]d delle ipersuperfici di grado
d. Sia U0 il sottoinsieme delle ipersuperfici senza fattori multipli e U1 il
sottoinsieme delle ipersuperfici irriducibili. Chiaramente Id ⊇ U0 ⊇ U1 6= ∅
e si ha:
Proposizione 6.4.1. U0 è aperto.
Dimostrazione 6.4.1 Sia 0 < k < d e si consideri l’applicazione µk,d :
Ik × Id−2k → Id , µk,d ([f ], [g]) = [f ]2 [g]. Allora:
U0C
=
d−1
[
im(µk,d )
k=1
Siccome µk,d è un morfismo (facile) è anche chiusa, quindi U0C è unione di
chiusi da cui la tesi.
Proposizione 6.4.2. U1 è aperto.
Dimostrazione 6.4.2 Sia 0 < k < d e si consideri l’applicazione µk,d :
Ik × Id−k → Id , µk,d ([f ], [g]) = [f ][g]. Allora:
U1C =
d−1
[
im(µk,d )
k=1
Siccome µk,d è un morfismo (facile) è anche chiusa, quindi U1C è unione di
chiusi da cui la tesi.
Corollario U0 e U1 sono densi in Id .
26
CAPITOLO 6. PRODOTTO
Capitolo 7
Gruppi algebrici
7.1
Definizione
Sia X una VQP. Allora, data una legge di composizione interna ∗, la coppia
(X, ∗) si dice gruppo algebrico se:
• (X, ∗) è un gruppo
• µ : X × X → X, µ(x, y) = x ∗ y è un morfismo
• inv : X → X, inv(x) = x−1 è un morfismo
Esempio 7.1.1. Vediamo qualche esempio:
• (An , +) è un gruppo algebrico1
• (K∗ , ·) è un gruppo algebrico2
• Il prodotto di due gruppi algebrici è un gruppo algebrico (in particolare
il toro di dimensione n)
2
• GL(n, K) è un gruppo algebrico (sottovarietà aperta di An )
2 −1
• PGL(n, K) è un gruppo algebrico (sottovarietà aperta di Pn
)
• Una cubica liscia Γ con l’operazione di gruppo definita nel capitolo 1
è un gruppo algebrico
Soffermiamoci su quest’ultimo esempio. Per dimostrare che è un gruppo
algebrico basta far vedere che il residuo R(·, ·) : Γ × Γ → Γ è un morfismo.
Questo è abbastanza semplice in quanto si può ricoprire Γ con aperti affini
sui quali R è polinomiale. Rivediamo l’associatività (dimostrazione 1.3.3).
In particolare grazie al corollario 6.3.1 possiamo affermare che, siccome (P +
Q) + R = P + (Q + R) su un aperto denso, questi due morfismi sono uguali
su tutta la curva.
1
2
(K, +) si denota anche con Ga
(K∗ , ·) si denota anche con Gm e Gn
m viene detto toro di dimensione n
27
28
CAPITOLO 7. GRUPPI ALGEBRICI
7.2
Azione di un gruppo
Si dice che un gruppo algebrico (G, ·) agisce su una VQP X se ∃φ : G × X →
X morfismo tale che:
• φ(1, x) = x ∀x ∈ X
• φ(g1 · g2 , x) = φ(g1 , φ(g2 , x)) ∀x ∈ X, ∀g1 , g2 ∈ G
Scriviamo per semplicità φ(g, x) = g · x. Allora le ultime due affermazioni
si possono scrivere più semplicemente come:
• 1 · x = x ∀x ∈ X
• (g1 · g2 ) · x = g1 · (g2 · x) ∀x ∈ X, ∀g1 , g2 ∈ G
Esempio 7.2.1. Vediamo qualche esempio:
• (G, ·) agisce su G per moltiplicazione (φ(g1 , g) = g1 · g)
• (G, ·) agisce su G stesso per coniugio (φ(g1 , g) = g1 · g · g1−1 )
• GL(n, K) agisce su An
• PGL(n, K) agisce su Pn−1
Capitolo 8
Grassmanniane
8.1
Definizione ed esempi
G(k, n) = {H ⊂ Kn |H sottospazio, dim H = k }
Per esempio:
G(1, n) = Pn−1
G(n − 1, n) = (Pn−1 )∗
Il primo esempio non banale è dunque G(2, 4).
8.2
8.2.1
Immersione di Plücker
Quadrica di Klein
Consideriamo G(2, 4). Sia H ∈ G(2, 4). Sia v1 , v2 ∈ H una base di H e
consideriamo la matrice:


a11 a12
 a21 a22 

A = (v1 |v2 ) = 
 a31 a32 
a41 a42
Sia w1 , w2 ∈ H un’altra base. Allo stesso modo consideriamo la matrice:


b11 b12
 b21 b22 

B = (w1 |w2 ) = 
 b31 b32 
b41 b42
In particolare B = AM per qualche matrice invertibile 2 × 2 M . Siano per
i 6= j:
ai1 ai2
Aij =
aj1 aj2
29
30
CAPITOLO 8. GRASSMANNIANE
E allo stesso modo:
Bij =
bi1 bi2
bj1 bj2
Si vede facilmente che Bij = Aij M , da cui det Bij = det Aij det M . Considerando su P5 le coordinate [pij ]1≤i≤j≤4 , grazie a quest’ultima osservazione
la seguente funzione P : G(2, 4) → P5 è ben definita:
P (H)ij = det Aij
ed è iniettiva in quanto si dimostra facilmente che i 6 determinanti det Aij
determinano il piano H ∈ G(2, 4); essa viene appunto detta immersione di
Plucker. Le [pij ] sono le coordinate di Plucker. L’immagine di G(2, 4) in
P5 è un chiuso, più precisamente una quadrica (i punti soddisfano p12 p34 −
p13 p24 + p23 p14 = 0) che viene chiamata quadrica di Klein.
8.2.2
Caso generale
Nel caso generale
G(k, n) si definisce l’immersione di Plucker P : G(k, n) →
n
) allo stesso modo. Sia v1 , . . . , vn una base di H ∈ G(k, n)
PN (N =
k
e si consideri la matrice: A = (v1 | . . . |vk ) e le sottomatrici AI (con I =
{i1 , . . . , ik } multiindice ordinato1 , 1 ≤ I ≤ n) in cui si considerano soltanto
le righe I; in particolare cambiando base i determinanti det AI vengono
modificati da una costante e determinano completamente H. Dunque si
può definire, considerando su PN le coordinate [pI ] (I solito multiindice
ordinato):
P (H)I = det AI
Anche in questo caso P (G(k, n)) è un chiuso, ma ha equazioni più complicate.
8.3
Varietà di incidenza
Osservazione 8.3.1. Applicando le matrici n × n alla matrice A che rappresenta un generico H ∈ G(k, n) si ottiene un’azione di GL(k, n) su G(k, n),
che si dimostra essere un’azione algebrica.
Osservazione 8.3.2. Sia H 0 ⊆ Kn un sottospazio di dimensione d; allora
l’insieme {H ∈ G(k, n)|H 0 ⊆ H} è un chiuso in quanto i punti H, se A
rappresenta H e A0 rappresenta H 0 , soddisfano la condizione:
rk A A0 ≤ k
Definizione 8.3.3. Più in generale otteniamo la cosiddetta varietà di incidenza:
Id,k = {(H 0 , H)|H 0 ⊆ H} ⊆ G(d, n) × G(k, n)
1
Si può anche considerare I non ordinato, e in questo caso pji = −pij
Capitolo 9
Funzioni razionali (FR)
9.1
Definizione
Si dice funzione razionale da una VQP X in K una classe di equivalenza
di coppie (U, φ) con U ⊆ X aperto e φ : U → K funzione regolare con la
relazione di equivalenza:
(U, φ) ≈ (U 0 , φ0 ) ⇐⇒ φ|U ∩U 0 = φ0 |U ∩U 0
e si scrive:
f : X 99K K
intendendo che essa non è esattamente una funzione. Si dice che f è definita
in x ∈ X se ∃ un rappresentante (U, φ) di f tale che x ∈ U , e l’insieme dei
punti in cui f è definita si dice dominio di f e si indica con domf .
Osservazione 9.1.1. Le funzioni razionali su un irriducibile X formano
un campo che si denota con K(X), il quale, se X è affine, è il campo dei
quozienti di K[X]. Più in generale sono una K-algebra.
Si dice funzione razionale da una VQP X in un’altra VQP Y una classe di
equivalenza di coppie (U, φ) con U ⊆ X aperto e φ : U → Y morfismo con
la relazione di equivalenza:
(U, φ) ≈ (U 0 , φ0 ) ⇐⇒ φ|U ∩U 0 = φ0 |U ∩U 0
e si scrive:
f : X 99K Y
Definizione 9.1.2. Sia f : X 99K Y una FR. Allora f si dice dominante se
∀ rappresentante (U, φ) φ(U ) è denso.
Osservazione 9.1.3. Siano f : Y 99K Z e g : X 99K Y due FR. Allora
∃f ◦ g se g è dominante. Infatti, dati due rappresentanti f = [(U, φ)]≈ e
g = [(V, ψ)]≈ , si ha:
f ◦ g = [(φ−1 (V ), φ ◦ ψ)]≈
31
32
CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)
9.2
Funtore ∗
Definizione 9.2.1. Sia f : X 99K Y una FR tra irriducibili.
definisco:
f ∗ : K(Y ) → K(X), f ∗ (h) = h ◦ f
Allora
il quale è un omomorfismo di K-campi ed è anche iniettivo. Se f , g sono
componibili si ha (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ . Si definisce mappa birazionale una
FR f : X 99K Y t.c. ∃g : Y 99K X FR con f ◦ g = idX ; se in particolare
f e g sono dominanti si ha un isomorfismo birazionale. Si osservi che in
quest’ultimo caso, se X è irriducibile, f ∗ è un isomorfismo di K-campi.
Proposizione 9.2.2. Sia X VQP irriducibile. Allora K(X) è finitamente
generato.
Dimostrazione 9.2.2 Sia V ⊆ X un aperto affine. Allora si ha K(X) ∼
=
K(V ) (cfr. 9.2.1) e quest’ultimo è finitamente generato (dalle funzioni
coordinate Xi ).
Proposizione 9.2.3. Siano X, Y VQP irriducibili. Sia ψ : K(Y ) →
K(X) un omomorfismo iniettivo di K-campi. Allora ∃!f : X 99K Y mappa
razionale dominante tale che ψ = f ∗ .
Dimostrazione 9.2.3 Supponiamo Y affine ⊆ Am . Sia fi = ψ(Yi ); allora
si può prendere f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)).
Teorema 9.2.4. Siano X,Y VQP irriducibili.
mazioni sono equivalenti:
Allora le seguenti affer-
i) X ∼
=bir Y
ii) K(X) ∼
= K(Y )
iii) ∃U ⊆ X, V ⊆ Y aperti t.c. U ∼
=V
Dimostrazione 9.2.4
ii)⇒i) Segue facilmente da 9.2.3.
i)⇒ii) Già dimostrato in 9.2.1.
iii)⇒i) Chiaramente X ∼
=bir U ∼
=bir V ∼
=bir Y .
i)⇒iii) Sia f : X 99K Y un isomorfismo birazionale. Siano (U0 , φ) e (V0 , ψ)
dei rappresentanti rispettivamente di f e di f −1 . Voglio dimostrare
che i seguenti aperti (non vuoti) sono isomorfi:
U = φ−1 (ψ −1 (U0 ))
V = ψ −1 (φ−1 (V0 ))
Si osservi che:
9.2. FUNTORE ∗
33
– P ∈ U0 e φ(P ) ∈ V0 ⇒ ψ(φ(P )) = P
– Q ∈ V0 e ψ(Q) ∈ U0 ⇒ φ(ψ(Q)) = Q
Quindi basta far vedere che φ(U ) ⊆ V e ψ(V ) ⊆ U . Le due dimostrazioni sono simili e abbastanza semplici.
Esempio 9.2.5. Si dice trasformazione di Cremona standard la seguente
FR:
C : P2 99K P2
C([x0 , x1 , x2 ]) = [x1 x2 , x0 x2 , x0 x1 ]
C è definita in P2 \{[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]}; inoltre:
C 2 ([x0 , x1 , x2 ]) = C([x1 x2 , x0 x2 , x0 x1 ] = [x20 x1 x2 , x0 x21 x2 , x0 x1 x22 ] = [x0 , x1 , x2 ]
cioè C 2 = idP2 . Si osservi che C è un automorfismo di U = P2 \{xyz = 0},
da cui è un isomorfismo birazionale di P2 , cioè C ∈ Bir(P2 ), il gruppo
delle mappe birazionali f : P2 99K P2 . Per questo gruppo si ha il seguente
teorema, dovuto a Noether:
Teorema 9.2.6 (Noether). Il gruppo Bir(P2 ) è generato dalle proiettività
e dalla trasformazione di Cremona standard C.
9.2.1
Scoppiamento di A2 in (0, 0)
Definizione 9.2.7. Si consideri la funzione razionale π : A2 99K P1 rappresentata dalla seguente coppia (U, φ):
U = A\{(0, 0)}
φ(x, y) = [x, y]
La chiusura del suo grafico Z = Γπ ⊂ A2 × P1 viene detto scoppiamento di
b 2 = Z. In particolare è facile vedere che:
A2 in (0, 0) e si scrive A
b 2 = {((x, y), [s, t])|xt − ys = 0}
A
b 2 (per dimostrare questa afferSi osservi infatti che {((0, 0), [a, b])} ⊂ A
mazione si considerino gli insiemi Za,b = {((λa, λb), [a, b])|λ ∈ K} ∼
= A1 ).
34
CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)
9.3
Teoria della dimensione
Definizione 9.3.1. Sia K ⊂ F un’estensione di campi. Siano a1 , . . . , an ∈
F. Si dice che a1 , . . . , an sono algebricamente dipendenti su K se ∃p ∈
K[x1 , . . . , xn ], p 6= 0 t.c. p(a1 , . . . , an ) = 0; se ciò non vale a1 , . . . , an si
dicono invece algebricamente indipendenti su K. Un insieme S ⊆ F si dice
algebricamente indipendente se lo è ogni suo sottoinsieme finito.
Definizione 9.3.2. Sia K ⊂ F un’estensione di campi. Un’insieme B =
{ai }i∈I si dice base di trascendenza dell’estensione se è un insieme algebricamente indipendente massimale. Si può dimostrare che, data un’estensione
di campi K ⊂ F, esiste almeno una base di trascendenza e che tutte le basi
di trascendenza hanno la stessa cardinalità.
Definizione 9.3.3. Sia K ⊂ F un’estensione di campi e B una base di
trascendenza. Si dice grado di trascendenza dell’estensione il cardinale:
tr degK F = #B
Per quanto osservato sopra il grado di trascendenza è ben definito.
Definizione 9.3.4. Sia X una VQP irriducibile. Si definisce la dimensione
di X come:
dim X = tr degK K(X)
Più in generale se X è una qualsiasi VQP e X1 , . . . , Xk sono le sue componenti irriducibili si definisce:
dim X = max dim Xi
i=1,...,k
Grazie al teorema 9.2.4 la dimensione è un’invariante birazionale.
Esempio 9.3.5.
• Un punto ha dimensione 0.
• An , Pn hanno dimensione n.
• Le ipersuperfici in An o Pn hanno dimensione n − 1.
• dim G(k, n) = k(n − k).
• Se X e Y sono VQP irriducibili dim X × Y = dim X + dim Y .
Proposizione 9.3.6. Sia f : X 99K Y una FR dominante tra VQP irriducibili. Allora dim Y ≤ dim X.
9.4. DIMENSIONE NEL CASO DELLE VARIETÀ PROIETTIVE
35
Dimostrazione 9.3.6 Essendo f ∗ iniettivo, esso conserva l’indipendenza algebrica. Dunque presa una base di trascendenza di K(Y )/K la sua immagine
in K(X) è un insieme algebricamente indipendente, dunque può essere completato ad una base di trascendenza su K (che chiaramente ha cardinalità
≥).
Proposizione 9.3.7. Siano X, Y VQP irriducibili. Allora dim(X × Y ) =
dim X + dim Y .
Dimostrazione 9.3.7 Posso supporre X, Y affini, cioè X ⊆ AN e Y ⊆
AM . Sia x1 , . . . , xN una base di trascendenza per K(X)/K e y1 , . . . , yN
una base di trascendenza per K(Y )/K. Allora K(X × Y ) è generato da
x1 , . . . , xN , y1 , . . . , yN . Dunque basta dimostrare che essi sono algebricamente indipendenti. Questo è abbastanza semplice, si trova facilmente che
un polinomio p(x1 , . . . , xN , y1 , . . . , yN ) si annulla solo se è identicamente
nullo.
Proposizione 9.3.8. Sia X una VQP irriducibile. Sia Y ⊆ X chiuso
irriducibile. Allora dim Y = dim X ⇒ Y = X.
Dimostrazione 9.3.8 Chiaramente ogni base di trascendenza per K(Y )/K
è anche una base di trascendenza di K(X)/K. Possiamo supporre X affine;
allora è facile vedere che I(Y ) = ∅.
Definizione 9.3.9. Si definisce la dimensione topologica di uno spazio
topologico come:
dimtop X = sup{K|∃ catena ascendente di chiusi irrid. di cardinalità K}
In particolare:
dimtop An = dimtop Pn = dim An = dim Pn = n
Da cui, se X è una VQP (e grazie alla proposizione 9.3.8):
dimtop X ≤ dim X
Proposizione 9.3.10 (Senza dimostrazione).
dimtop X = dim X
9.4
Dimensione nel caso delle varietà proiettive
Teorema 9.4.1. Siano X, Y ⊆ Pn chiusi irriducibili. Supponiamo che
dim X + dim Y ≥ n. Allora X ∩ Y 6= ∅ e in particolare dim Z ≥ dim X +
dim Y − n per ogni componente irriducibile Z ⊆ X ∩ Y .
36
CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)
Corollario 9.4.1
P2 ∼
6= P1 × P1
Teorema 9.4.2. Siano X, Y VP irriducibili. Sia f : X → Y un morfismo
surgettivo, r = dim X − dim Y . Allora:
1. ∀y ∈ Y ogni componente irriducibile di f −1 (y) ha dimensione ≥ r
2. ∃U ⊆ Y aperto 6= ∅ t.c. ∀y ∈ U dim(f −1 (y) = r)
Corollario 9.4.2 Si consideri:
Ψf : Y → N
y → dim f −1 (y)
Allora Ψf è semicontinua superiore.
b 2 → A2 la proiezione canonica. Allora Ψf = 1(0,0) ,
Esempio 9.4.3. Sia f : A
quindi è effettivamente semicontinua superiore.
Teorema 9.4.4 (Criterio di irriducibilità per varietà proiettive). Siano X, Y
VP. Sia f : X → Y morfismo surgettivo. Supponiamo che Y sia irriducibile
e che Ψf ≡ k; allora X è irriducibile e dim X = dim Y + k.
9.5
Superfici di grado d in P3
d+3
− 1; allora possiamo identificare le superfici
Sia N = N (d) =
3
di grado d in P3 con i punti in PN . Si dice che una proprietà vale per la
superficie generale di grado d se ∃U ⊆ PN aperto 6= ∅ tale che la proprietà
vale per tutte le superfici corrispondenti ai punti di U .
Esempio 9.5.1. Vediamo quali rette contiene la superficie generale di grado
d. Consideriamo:
I = {(l, [F ])|V (F ) ⊇ l} ⊂ G(2, 4) × PN
I è chiaramente chiuso. Si consideri la retta l0 = {x2 = x3 = 0}; allora:
d
(l0 , [F ]) ∈ I ⇐⇒ F = x2 A+x3 B ⇐⇒ xd0 , xd−1
0 x1 , . . . , x1 hanno coefficiente nullo in F
In particolare p2 (p−1
1 (l0 )) è un sottospazio proiettivo di codimensione d + 1.
Inoltre PGL(4) agisce su G(2, 4) × PN nel modo seguente:
g(l, [F ]) = (gl, [F ◦ g −1 ])
9.5. SUPERFICI DI GRADO D IN P3
37
Si vede facilmente che gI = I ∀g ∈ PGL(4); dunque, utilizzando un elemento g ∈ PGL(4) tale che gl = l0 , si ottiene che in generale p2 (p−1
1 (l)) ha
codimensione d + 1. Allora, grazie al teorema 9.4.4, si ha:
dim I = 4 + N − d − 1 = N − d + 3
Vediamo alcuni casi (Σ = p2 (I)):
d = 1 Banale
d=2
d = 3 Si ha dim I = N . Si possono avere due casi:
1. Σ = PN
2. Σ 6= PN
Il secondo caso è impossibile perché si dovrebbe avere che ∀[F ] ∈ Σ
l’insieme p−1
2 ([F ]) è infinito; per vedere che questo è assurdo basta
considerare la cubica xyz = t3 , la quale contiene solamente le tre rette
x = 0, y = 0, z = 0.
d ≥ 4 dim Σ = dim I < N ⇒ la superficie generale di grado d non contiene
rette
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CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)
Capitolo 10
Spazio tangente
10.1
Definizioni
Definizione 10.1.1. Sia X ⊆ An , X = V (f ). Dati P ∈ X e una retta
l = {P + tQ} si definisce la molteplicità di intersezione di l e X in P come:
mP (X, l) = vt (f (P + tQ))
Si dice che l è tangente a X in P se mP (X, l) > 1.
Osservazione 10.1.2. Con le notazioni della definizione 10.1.1 si ha:
n
X
∂f
0
l tangente a X in P ⇐⇒ g (0) = 0 ⇐⇒
(P + tQ)Qi |t=0 = 0 ⇐⇒
∂xi
i=1
n
X
∂f
⇐⇒
(P )Qi = 0 ⇐⇒ Q ∈ ∇f (P )⊥
∂xi
i=1
Definizione 10.1.3. Con le notazioni della definizione 10.1.1 si definisce lo
spazio tangente a X in P come:
TP X = ∇f (P )⊥
L’osservazione 10.1.2 giustifica questo nome. Più in generale, se X ⊆ An è
un qualsiasi chiuso irriducibile, si definisce:
\
TP X =
∇f (P )⊥
f ∈I(X)
Proposizione 10.1.4. L’applicazione φ : X → N tale che:
φ(P ) = dim TP X
è semicontinua superiore.
10.2
Anello locale
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