Esercitazione 3 maggio Esercizio 1 Scrivere una funzione matlab

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Esercitazione 3 maggio Esercizio 1 Scrivere una funzione matlab
Strumenti di Hedging e Risk Management (A.A. 2010/2011)
Esercitazione 3 maggio
Esercizio 1
Scrivere una funzione matlab che abbia come output M traiettorie del prezzo
S di un titolo azionario, che evolve nel tempo secondo il moto brawniano geometrico. In particolare S deve essere la matrice dei prezzi in cui ogni colonna
corrisponde ad una traiettoria.
Esercizio 2
Usando il metodo monte carlo (si richiami la funzione scritta nell’esercitazione
1),
1. (a) si scriva una funzione matlab per calcolare il prezzo di una opzione
asiatica il cui payo¤ alla scadenza T è
T
= max(S
K; 0)
dove S è la media aritmentica del prezzo del sottostante rilevato alle
date discrete ti ; i = 1 : : : N con ti < T ;
(b) dopo aver simulato M = 1000 traiettorie con N = 50 osservazioni
giornaliere di un moto browniano geometrico con S0 = 100,r = 0 e
= 0:2, si calcoli il prezzo della opzioni esotica sopra de…nita con
K = 98, T = 50 giorni.
(c) Determinare l’intervallo di …ducia al 95% per il prezzo ottenuto. Veri…care la riduzione dell’ampiezza di tale intervallo qualora si simulino
M = 10000 traiettorie.
Esercizio 3
Sia dato un mercato ideale in cui sia disponibile un titolo privo di rischio
(che matura gli interessi in base ad un tasso istantaneo annuale r) e un titolo
azionario S la cui dinamica, sotto la misura neutrale del rischio, è descritta
da un moto Browniano Geometrico con parametri r e (modello Black and
Scholes). Si consideri in tale mercato un titolo derivato con scadenza T il cui
Payo¤ a scadenza é dato da T = ln(ST ).
1. Determinare la formula di valutazione di tale titolo al tempo t = 0 in base
al principio di valutazione risk neutral e calcolare il prezzo corrispondente
per S0 = 100; r = 5%; = 0:2 supponendo che la scadenza sia T = 6 mesi.
2. Calcolare esplicitamente il Delta del titolo
e costruire la strategia di
Delta hedging. Calcolare i valori delle quote al tempo t = 0 nell’esempio
numerico del punto 1.
3. Calcolare esplicitamente il Gamma del titolo e costruire la strategia di
Delta-Gamma hedging utilizzando una opzione Call Europea.
4. Scrivere una funzione Matlab che fornisca come output il prezzo, il Delta
e il Gamma del derivato calcolato al punto precedente.
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