Soluzioni

Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8
Argomento: Distribuzione gamma e esponenziale (pag. 387 e seguenti del libro di testo).
NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni quando
necessario
Esercizio 1
1) Il tempo di vita, T, espresso in anni di un’apparecchiatura elettronica si distribuisce come
una gamma di parametri θ=1 e α=2. Si calcoli il tempo di vita medio dell’apparecchiatura.
2) Qual è il tempo di vita medio se θ=α=1/2 (distribuzione chi-quadro con 1 gradi di libertà)?
3) Si definisce funzione di sopravvivenza la funzione S(t) = P(T>t). Si calcoli la
sopravvivenza di una generica apparecchiatura prodotta nel caso di una gamma di
parametri θ e α=1.
4) Si definisce funzione di rischio la funzione λ( t ) =
ϕ( t )
dove ϕ(t) è la f.d.d. di T. Si
S( t )
dimostri che la funzione di rischio è costante nel caso di una variabile aleatoria di tipo
gamma con parametri θ e α=1 (v.a. esponenziale negativa).
5) Si dimostri che la funzione di rischio determina univocamente una variabile aleatoria
assolutamente continua.
Soluzione
La funzione di densità di una v.a. gamma è data da
ϕ( t , α, θ) =
1)
θα α −1 − θt
t e
Γ (α )
ϕ( t ,2,1) =
Per θ=1 e α=2 si ha
∞
α, θ>0
t>0
∞
12 2 −1 − t 1 − t
t e = te = te − t
Γ(2)
1
[
E(T)= ∫ tϕ( t , α, θ)dt = ∫ t 2e − t dt = − t 2e − t
0
0
[

= 2 − te − t

2)
∞
] + ∫e
∞
0
0
−t
∞
] − ∫ − 2te
∞
0
0
−t
∞

dt =2 ∫ te − t dt =2 − te − t
0

∞
] − ∫−e
∞
0
0
−t

dt 

([ ] ) = −2(0 − 1) = 2

dt  = 2 − e − t

∞
0
ricordando che nel caso di una distribuzione gamma si ha E (T ) =
E (T ) =
[
α 1/ 2
=
=1
θ 1/ 2
1
α
per θ=α=1/2 si ottiene
θ
Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8
1
12
1
1
1
1
−
− t
1 1
1 −2 −2t
2
2
2
Si noti che per θ=α=1/2 si ha ϕ( t , , ) =
t e =
t e
2 2
1
2
π
Γ 
2
(si veda l’esercizio precedente )
3)
per α=1 si ha ϕ( t , θ) = θe − θt t>0 θ>0
[
t
]
t
Φ(t)=P(T≤t)= ∫ θe − θu du = − e − θu 0 = 1 − e − θt
0
S(t)= e − θt
4)
λ( t ) =
ϕ( t ) θe − θt
=
=θ
S( t ) e − θt
5)
λ( t ) =
ϕ( t )
S' ( t )
=−
integrando entrambi i membri si ha
S( t )
S( t )
S' ( t )
∫ λ(t )dt = ∫ − S(t ) dt = − log S( t )
da cui
S( t ) = e
− ∫ λ ( t ) dt
e quindi
Φ (t ) = 1 − e
2
− ∫ λ ( t ) dt
Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8
Esercizio 2
Sia X una v.a. con distribuzione gamma di parametri θ e α.
1. Si determini la funzione generatrice dei momenti di X
2. Si ricavi la funzione generatrice dei momenti per α=1 e si determini il valore atteso della
v.a. corrispondente (esponenziale negativa)
3. Si determini la funzione generatrice dei momenti per θ=1/2 e α=g/2 e si determini il
valore atteso e varianza della v.a. corrispondente (chi quadrato con k gradi di libertà)
Soluzione
La funzione di densità di una v.a. gamma è data da
ϕ( x, α, θ) =
θα α −1 − θx
x e
Γ (α )
( )
1. G X ( t ) = E e
tx
α, θ>0
x>0
∞
∞
θα α −1 − θx
θα α −1 ( t − θ )x
θα
= ∫e
x e dx = ∫
x e
dx =
Γ(α)
Γ (α )
(t − θ)α
0
0
 θ 
G X (t ) = 

θ−t
tx
∞
∫
0
(t − θ)α x α −1e − (θ − t )x dx
Γ(α)
α
per t < θ
(l’integrale precedente è quello di una densità gamma di parametri θ−t e α)
2. Per α=1 si ottiene G X ( t ) =
θ
(θ − t )
per t < θ.
(Verificare il risultato calcolando la funzione generatrice dei momenti a partire direttamente dall’espressione
della densità esponenziale negativa)
G 'X ( t ) =
θ
(θ − t )2
da cui
E ( X ) = G ' X ( 0) =
1
θ
3. Per α=g/2 e θ=1/2 si ottiene
 1 
G X (t ) = 

 1 − 2t 
g/2
per
t<1/2
Calcolo della media
g 1 
G 'X ( t ) = 

2  1 − 2t 
g / 2 −1

−2 
g
 −
=
2 
g / 2 +1
 (1 − 2 t )  (1 − 2 t )
 1 
E ( X ) = G 'X ( 0 ) = g 

1− 0 
g / 2 +1
=g
Calcolo della varianza
3
da cui
Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8
(

 g 

1
g
d
g
g/2

 = −g
(g + 2)(1 − 2t )g / 2
  + 1(1 − 2t ) (−2)  =
g / 2 +1 
g+2 
g+2
dt  (1 − 2t )
(1 − 2t )   2 
 (1 − 2t )

g(g + 2)
g(g + 2)
=
=
g + 2 −g / 2
(1 − 2t )
(1 − 2t )g / 2+2
G ' 'X ( t ) =
E (X 2 ) = G ' 'X (0) = g(g + 2)
Var(X)=g2+2g− g2=2g
4
)
Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8
Esercizio 3
È noto da studi condotti su una particolare famiglia di coralli che il numero aleatorio N di
gruppi di coralli presenti su un transetto di lunghezza r individuato su un fondale caraibico è
una v.a. di Poisson di parametro λr con λ>0.
Supponendo che si sia incontrato sul transetto un gruppo coralli, qual è la distribuzione della
v.a. T che rappresenta la lunghezza della porzione di transetto fino al prossimo avvistamento?
Soluzione
L’evento {T > t} si verifica solo se nessun gruppo di coralli è presente sul segmento di
lunghezza t, ovvero:
P{T > t} = P( N( t ) = 0) = e − λt valore della Poisson calcolato in 0.
Da cui
ϕ( t ) =
(
)
dF( t ) d (1 − P{T > t}) d 1 − e − λt
=
=
= λ e − λt .
dt
dt
dt
La distribuzione della distanza dall’avvistamento successivo è quindi un’esponenziale
negativa
5