Funzioni di reazione Esiste un metodo grafico per individuare gli

Funzioni di reazione
Esiste un metodo grafico per individuare gli equilibri di Nash di un gioco con due giocatori: si tratta
del metodo della cosiddette “funzioni di reazione”. Una funzione di reazione di un giocatore è una
funzione che dice quale è la strategia per lui migliore (cioè quella che gli dà il massimo guadagno)
in risposta, cioè in reazione, a qualsiasi strategia l’altro possa giocare. Per costruire la funzione di
reazione del primo giocatore occorre mettersi nei suoi panni e fare tutte le diverse ipotesi possibili
sulla strategia scelta dal secondo: per ognuna di queste diverse ipotesi si individua la risposta ottima
del primo giocatore. Se è possibile rappresentare le strategie a disposizione dei due giocatori su due
assi cartesiani, la funzione di reazione del primo giocatore ha un grafico composto da un numero di
punti pari al numero delle strategie a disposizione del secondo giocatore: le strategie del secondo
giocatore sono la “variabile indipendente” di questa funzione, mentre le strategie del primo
giocatore sono la “variabile dipendente”. Per costruire la funzione di reazione del secondo giocatore
si ragiona in termini del tutto analoghi, e si avrà una funzione il cui grafico è composto da un
numero di punti pari al numero di strategie a disposizione del primo (ovviamente, in termini di
variabile “indipendente” e “dipendente” occorre invertire il ruolo degli assi).
Una volta disegnate le funzioni di reazione dei due giocatori, ogni intersezione fra la due funzioni è
un equilibrio di Nash. Infatti una intersezione delle due funzioni indica una combinazione di
strategie che sta sulla funzione di reazione di entrambi contemporaneamente. Stare sulla propria
funzione di reazione, però, significa fare la cosa migliora in risposta a ciò che l’altro sceglie: stare
sulla propria funzione di reazione, cioè, non induce pentimento. Ma se ciò accade per entrambi i
giocatori contemporaneamente, quella combinazione è per definizione proprio un equilibrio di
Nash.
Applichiamo questo metodo al gioco del Dilemma del prigioniero (vedere gli appunti o il testo per i
guadagni che i due dovrebbero avere in corrispondenza dei diversi esiti al fine di generare proprio
questo gioco). Mettendoci nei panni di Primo, facciamo ipotesi su cosa potrebbe giocare Secondo:
se Secondo giocasse C la risposta, o reazione, migliore di Primo sarebbe giocare NC; se Secondo
giocasse NC la risposta migliore di Primo sarebbe giocare NC. Nella seguente figura
rappresentiamo la funzione di reazione di Primo tramite dei triangoli: ci sono due soli triangoli
perché la funzione di reazione di Primo ha appena due punti (uno per ogni possibile scelta di
Secondo).
Strategia di Secondo
NC
C
C
NC
Strategia di Primo
In modo analogo, costruiamo la funzione di reazione di Secondo: se Primo giocasse C la risposta
migliore di Secondo sarebbe NC; se Primo giocasse NC la risposta ottima di Secondo sarebbe NC.
La funzione di reazione di Secondo è rappresentata in figura con dei quadrati rossi.
Come si vede, i due “grafici” hanno l’unica intersezione in corrispondenza della combinazione di
scelte NC–NC, che dunque è l’unico equilibrio di Nash del gioco, come avevamo già stabilito in
precedenza tramite altro metodo.
Più in generale, ogni volta che noi siamo in grado di disegnare le funzioni di reazione di entrambi i
giocatori, che potrebbero essere linee continue se ciascuno avesse a disposizione un continuo di
strategie (tutti i numeri su una certa linea o segmento), ogni intersezione fra le due curve
individuerebbe un equilibrio di Nash. Si veda la seguente figura, dove R1 è la funzione di reazione
di primo e R2 quella di Secondo, e dunque esistono quattro equilibri di Nash.
Strategia di Secondo
R1
Quattro equilibri di Nash
B
R2
A
Strategia di Primo
Per esempio, se Primo gioca la strategia A e Secondo gioca la strategia B, questo è un equilibrio di
Nash, in quanto la risposta ottima di Secondo alla strategia A di Primo è B (in quanto sta sulla
funzione di reazione R2), e al contempo la risposta ottima di Primo alla strategia B di Secondo è A
(in quanto sta sulla funzione di reazione R1). E lo stesso è vero nel caso degli altre tre equilibri di
Nash di questa situazione.