Esame totale di Statistica (e Statistica-vecchio ordinamento

Esame totale di Statistica
(e Statistica-vecchio ordinamento-12 CFU)
CLEF – 9 luglio 2015
Esercizio 1
Su un campione di 100 individui, composto da 30 donne e 70 uomini, viene rilevata
l’altezza in centimetri. La tabella successiva riporta alcune misure di sintesi dei dati
raccolti, separatamente per i due sottogruppi.
Indice
Media
Varianza
Minimo
Massimo
Primo quartile
Secondo quartile
Terzo quartile
F(180)
Donne
165
10
150
184
154
166
178
0,80
Uomini
170
30
155
194
160
170
187
0,60
dove F (180) rappresenta la frazione di unità con altezza minore o uguale a 180 cm.
(a) Confrontare graficamente la distribuzioni dell’altezza degli uomini e delle donne
tramite boxplot affiancati e commentare il risultato.
(b) Calcolare la frequenza marginale (ossia, senza distinzione tra uomini e donne)
delle unità con altezza minore o uguale a 180 cm.
(c) Calcolare la media marginale dell’altezza.
(d) Calcolare la varianza marginale dell’altezza.
Esercizio 2
Un venditore di aspirapolvere percepisce un salario mensile che comprende una componente fissa pari a 1100 euro e una componente variabile data dal 8% del prezzo
di ciascun aspirapolvere venduto. Il prezzo di ciascun aspirapolvere è di 500 euro.
Inoltre, il numero di aspirapolvere venduti mensilmente si può pensare distribuito
come una variabile casuale binomiale di parametri π = 0, 4 e n = 10.
(a) Calcolare il valore atteso e la varianza del salario mensile del venditore.
(b) Calcolare la probabilità che in un certo mese il venditore percepisca un salario
almeno pari a 1420 euro.
(c) Nell’ipotesi che il numero di aspirapolvere venduti sia indipendente da mese
a mese, si determini, attraverso il teorema del limite centrale, la probabilità
che in un anno (12 mensilità) il venditore percepisca un salario compreso tra
14640 e 15600 euro.
Esercizio 3
Un arciere centra il bersaglio 1 volta su 6. Oggi l’arciere ha lanciato una freccia e ha
dichiarato di aver fatto centro. Sapendo che le dichiarazioni dell’arciere sono false
1 volta su 5, indipendentemente dal fatto che abbia centrato il bersaglio oppure no,
quale è la probabilità che oggi abbia davvero fatto centro?
Esercizio 4
L’ufficio qualità di un’industria alimentare che produce tavolette di cioccolato dal
peso nominale di 100 grammi ha fissato i limiti di tolleranza a ± 5 grammi (in altre
parole, una tavoletta di cioccolato non viene messa sul mercato se il suo peso effettivo cade al di fuori dell’intervallo (95gr,105gr)). Per verificare lo stato del processo
di produzione, si estrae un campione di 100 tavolette prodotte. Delle 100 tavolette
estratte, 6 risultano al di fuori dei limiti di tolleranza.
(a) Si ottenga una stima corretta per la frazione di tavolette prodotte dall’industria
il cui peso esce dai limiti di tolleranza.
(b) In base ai dati raccolti, l’esperto di statistica dell’ufficio qualità ha fornito il
seguente intervallo di confidenza per la frazione di tavolette prodotte che escono
dai limiti di tolleranza: (0,0135;0,1065). Si determini il livello di confidenza
1 − α dell’intervallo.
(c) Senza effettuare ulteriori calcoli, ma solo sulla base dell’intervallo dato al punto
(b) e mantenendo lo stesso livello di significatività α, si dica se si può accettare l’ipotesi che la percentuale di tavolette al di fuori dei limiti di tolleranza
sia pari al 10% contro l’alternativa che sia diversa dal 10%. (Giustificare
adeguatamente la risposta.)
(d) Approfondendo i risultati dell’esperimento, si vede che il peso medio delle 100
tavolette del campione è 99,5 grammi e che la varianza campionaria corretta è 9
grammi2 . Assumendo che i pesi delle tavolette abbiano distribuzione normale,
si verifichi al livello 1% se vi è differenza significativa tra il peso medio delle
tavolette prodotte e il peso nominale di 100 grammi.
ATTENZIONE
I voti e le soluzioni usciranno alla pagina web www2.stat.unibo.it/bortot/default.html