Esercizio 4 (Greco): Esercitazione 1

ESERCIZIO N° 4
Fatturato
Supermercati
[0;500)
340
[500;1000)
368
[1000;5000)
480
[5000;10000)
37
[10000;20000)
15
taglia = 1240
PUNTO a
CALCOLO MODA E QUARTILI
La moda rappresenta quell'elemento del campione casuale che si ripete più volte.
In altri termini, è la modalità del carattere con frequenza assoluta più elevata.
Quando abbiamo una distribuzione di frequenze in cui le modalità sono raggruppate per classi di modalità,
la moda corrisponde al punto medio della classe di modalità con frequenza assoluta più elevata.
Nel nostro caso:
la frequenza assoluta più elevata si ha in corrispondenza della classe [1000;5000), pertanto il punto medio sarà uguale a:
MODA=
(5000+1000)/2 =
3000
Passiamo al calcolo dei quartili.
Non avendo a disposizione i dati del campione grezzo, dobbiamo costruire una
tabella con gli estremi delle classi e le frequenze cumulate assolute (introducendo successivamente anche le cumulate relative).
FREQUENZA
CUMULATA
ASSOLUTA
ESTREMI
0
500
1000
5000
10000
20000
0
340
708
1188
1225
1240
Partiamo dal calcolo della mediana che in altri termini corrisponde
al secondo quartile.
Dobbiamo individuare la coppia di estremi
consecutivi "a" e "b" tali che: la frequenza cumulata assoluta di "a" sia
minore della taglia/2 e la frequenza cumulata assoluta di "b" sia maggiore
della taglia/2.
Nel nostro caso tali estremi corrispondono a: 500 e 1000
poiché: 340 < 1240/2 e 708 > 1240/2.
Quindi la mediana si trova in [500;1000).
Il passo successivo consiste nel calcolo della mediana. Pertanto aggiungiamo alla tabella sopra riportata
la colonna delle frequenze cumulate relative ( che si ottengono dividendo le frequenze cumulate assolute per la taglia).
FREQUENZA
CUMULATA
ESTREMI
0
500
1000
5000
10000
20000
0
340
708
1188
1225
1240
FREQ. CUM.
RELATIVE
0
0,27
0,5709
0,958
0,987
1
A questo punto bisogna verificare che
l'estremo "a" abbia frequenza cumulata
relativa minore di 0,5 e l'estremo
"b" abbia frequenza cumulata relativa
maggiore di 0,5.
Il calcolo della mediana consisterà in un'intersezione tra:
y=0,5
y=0,5
(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
(y-0,27)/(0,5709-0,27)=(x-500)/(1000-500)
Facendo le opportune sostituzioni e risolvendo per "x" otteniamo:
y=0,5
x=Q2=M=mediana= 882
Ora passiamo al calcolo del primo quartile, ossia, quello che lascia a sinistra il 25 % dei dati.
Procediamo in maniera pressochè analoga al calcolo della maediana.
Dobbiamo individuare la coppia di estremi consecutivi "a" e "b", tali che: la frequenza cumulata
relativa di "a" sia minore di 0,25 e la frequenza cumulata relativa di "b" sia maggiore di 0,25.
FREQUENZA
CUMULATA
ASSOLUTA
ESTREMI
0
500
1000
5000
10000
20000
y=0,25
y/0,27 = x/500
0
340
708
1188
1225
1240
y=0,25
0,925= x/500
FREQ. CUM.
RELATIVE
0
0,27
0,5709
0,958
0,987
1
Il primo quartile è contenuto
nell'intervallo [0;500).
Infatti:
0 < 0,25 e 0,27 > 0,25.
y=0,25
x=Q1=PRIMO QUARTILE= 463
Dopo le oppurtune sostituzioni, risolvendo per "x" il sistema abbiamo ricavato il primo quartile.
Calcoliamo, ora, il terzo quartile, ossia, quello che lascia a sinistra del campione il 75 % dei dati.
Così come abbiamo fatto per la mediana e il primo quartile,
individuiamo la coppia di estremi consecutivi "a" e "b" tali che: la frequenza cumulata relativa di "a" sia
minore di 0,75 e la freq. Cum. Relativa di "b" sia maggiore di 0,75.
FREQUENZA
CUMULATA
ASSOLUTA
ESTREMI
0
500
1000
5000
10000
20000
FREQ. CUM.
RELATIVE
0
340
708
1188
1225
1240
0
0,27
0,5709
0,958
0,987
1
Il terzo quartile si trova tra gli estremi
1000 e 5000, infatti:
0,5709 < 0,75 e 0,958 > 0,75.
Impostiamo il sistema per trovare Q3:
y=0,75
y=0,75
(y-0,57)/(0,958-0,57) = (x - 1000) / (5000-1000)
0,46= (x-1000)/4000
y=0,75
y=0,75
x=Q3=2855,67
Il terzo quartile è 2856
x=2856
Punto b
Determinare quanti supermercati hanno avuto un fatturato < 1000 e quanti un fatturato
compreso tra 1000 (incluso) e 10000 (escluso).
(Fatturato < 1000) / taglia = 708 /1240 = 0,57= p
FREQUENZA
CUMULATA
ASSOLUTA
0
500
1000
5000
10000
20000
0
340
708
1188
1225
1240
FREQ. CUM.
RELATIVE
0
0,27
0,5709
0,958
0,987
1
708 supermercati hanno un fatturato inferiore a 1000 euro.
Si evince che il 57 % dei supermercati ha un fatturato
inferiore a 1000 euro, lo si deduce rapportando
la frequenza cumulata assoluta di 1000 alla
taglia; da tale passaggio ricaviamo, infatti, il 57esimo
percentile che è quel valore che lascia a sinistra
del campione casuale il 57 % dei dati.
Passiamo a calcolare quanti supermercati hanno un fatturato che è compreso tra 1000 (incluso) e 10000 (escluso).
Ci interessa ispezionare l'intervallo [1000; 10000).
fatturato
#supermercati
[0;500)
[500;1000)
340
368
[1000;5000)
[5000;1000)
[10000;20000)
480
37
15
Il numero di supermercati con un fatturato compreso tra 1000 euro (incluso) e 10000 euro (escluso)
è pari a: 480 + 37 = 517
517/1240 = 0,42
0,42 * 100 = 42
il 42% dei supermercati
ha fatturato compreso tra 1000 euro e
10000 euro.
Punto c
Determinare la percentuale di supermercati con un fatturato di almeno 1000 euro.
fatturato
#supermercati
[0;500)
[500;1000)
340
[1000;5000)
[5000;1000)
[10000;20000)
368
480
37
15
(fatturato >= 1000) / taglia
480+37+15=
si tratta di sommare le frequenze assolute
delle ultime 3 classi di modalità, sopra cerchiate.
il 43% dei supermercati ha un
fatturato di almeno 1000 euro.
532/1240= 0,429 = 0,43 *100= 43
Entro quale intervallo ricade all'incirca il 70 % del fatturato?
Punto d
0
15
85
15%
100
15%
70% dei dati
Il 70%, circa, dei dati (fatturato), si colloca nell'intervallo compreso tra il 15esimo e l'85esimo percentile.
Andiamo quindi a calcolare i percentili, al fine di poter determinare l'intervallo preciso.
FREQUENZA
CUMULATA
ASSOLUTA
ESTREMI
0
500
1000
5000
10000
20000
0
340
708
1188
1225
1240
y=0,15
FREQ. CUM.
RELATIVE
0
0,27
0,5709
0,958
0,987
1
Per calcolare il 15esimo percentile dobbiamo
individuare la coppia di estremi consecutivi
"a" e "b" tali che:
la frequenza cumulata relativa di "a" sia minore
di 0,15 e la frequenza cumulata relativa di "b"
sia maggiore di 0,15.
y=0,15
y/0,27 = x/500
y=0,15
x=277,78 =278
0,555 = x/500
FREQUENZA
CUMULATA
ASSOLUTA
ESTREMI
0
500
1000
5000
10000
20000
FREQ. CUM.
RELATIVE
0
340
708
1188
1225
1240
y=0,85
y=0,85
0,72= (x-1000)/4000
2886,6 = x - 1000
0
0,27
0,5709
0,958
0,987
1
y=0,85
(y-0,57)/(0,958-0,57) = (x-1000) / (5000-1000)
y=0,85
x=3886,60 = 3887
85 esimo percentile
Infine possiamo concludere dicendo che: circa il 70 % dei dati ricade nell'intervallo [278;3887], ossia tra il 15esimo e
l'85esimo percentile.
Costruire il poligono delle densità.
Punto e
La densità è pari al rapporto tra la frequenza relativa e l'ampiezza della classe di modalità.
Fatturato
Supermercati
frequenza cumulata relativa
densità
0,27
[0;500)
340
0,0005
0,3
[500;1000)
368
0,0006
[1000;5000)
480
0,4
0,0001
0,03
[5000;10000)
37
0,00001
[10000;20000)
15
0,012
0,000001
taglia = 1240
ampiezza
classe
500
500
4000
5000
10000
la frequenza relativa si calcola come rapporto
tra la frequenza assoluta e la taglia.
Calcolo densità densità
0,27/500=
0,0005
0,3/500=
0,0006
0,4/4000=
0,0001
0,03/5000=
0,0001
0,01/10000=
0,000001
ampiezza classe
500
500
4000
5000
10000
Istogramma delle densità
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0
classi
Abbiamo costruito l'istogramma
delle densità, utile per confronti,
previsioni, per riempire gli spazi
bianchi, ponendo sull'asse delle
ascisse le classi di modalità, ossia,
il fatturato e sull'asse delle
ordinate i valori relativi alle
densità.
Poligono delle densità
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
Serie1
0,0002
0,0001
0
Viene di
seguito riportato
il poligono delle
densità
(modello teorico).
Sull'asse delle
ascisse troviamo
le classi di
modalità;
mentre sulle
ordinate le
densità.
Si può osservare che: dalla terza classe di modalità in poi, aumenta notevolmente l'ampiezza delle classi,
pertanto i valori delle densità divengono via via minori e meno significativi.
Esercizio n°8
Durante un viaggio sono stati effettuati tre rifornimenti di carburante per un totale di 35 euro.
Il prezzo al litro è: 1,36; 1,28; 1,30. Calcolare il prezzo medio al litro.
Applichiamo il procedimento della media aritmetica campionaria:
Media aritmetica = m = (1,36 + 1,28 + 1,30) / 3 = 1,31 euro.
Prezzo medio al litro.
Esercizio n° 9
Uno scommettitore puntando una somma iniziale pari a 2 euro
ha conseguito un capitale di 432 euro in 3 giocate successive.
Facendo riferimento ai dettagli delle giocate riportati sul foglio delle tracce,
si procede al calcolo della vincita media riportata.
Per poter calcolare la vincita media riportata, applichiamo la media aritmetica ponderata (pesata)
assumendo come pesi ( coefficienti di ponderazione) il numero delle volte in cui avviene la giocata.
Media pesata =
[(∑ numeri * pesi) / ∑ pesi]
Media pesata = [( 2 * 3) + ( 6 * 8 ) + (48 * 9)] / (3+8+9) = 24,3
VINCITE EURO
€
2,00
€
6,00
€
48,00
€
64,67
#VOLTE
GIOCATE
3
8
9