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V. Scorsipa 54
Capitolo Quinto
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5.1. Prodotto scalare e distanza
L’addizione fra vettori e la moltiplicazione esterna fra uno scalare e un vettore sono dette operazioni affini,
cosı̀ l’insieme degli assiomi di uno spazio vettoriale definisce uno spazio geometrico affine. Nello spazio affine
non è possibile confrontare le lunghezze di vettori che non hanno la stessa direzione perché mancano gli
assiomi necessari. Nel piano, per esempio, le direzioni degli assi cartesiani sono date da due versori ~ı e ~ le
cui lunghezze rappresentano unità di misura a sé stanti.
In uno spazio affine non esiste neppure l’idea di perpendicolarità e due angoli sono congruenti soltanto a
patto che i loro lati siano a due a due paralleli. In uno spazio siffatto la distanza fra due punti non ha alcun
significato. In fisica, i grafici spostamento-tempo e velocità-tempo sono esempi di piani affini. Che senso
avrebbe calcolare la distanza di due punti le cui ascisse sono tempi e le cui ordinate sono posizioni o velocità?
I concetti di distanza e di perpendicolarità sono indissolubili e sono alla base della definizione di uno spazio
metrico. La relazione di perpendicolarità precede la definizione della distanza e si introduce assiomaticamente
in due modi possibili: l’uno algebrico, l’altro geometrico.
Le due vie sono equivalenti e per apprezzare fino in fondo il concetto di perpendicolarità sarebbe bene avere
un’idea di entrambe. Ora, però, svilupperemo il modo algebrico, che si apre con la definizione assiomatica
di prodotto scalare.
5.1.1. definizione
Dato uno spazio vettoriale, V , un prodotto scalare è una applicazione: V × V −→ IR , nella quale alla
coppia di vettori (~u , ~v ) corrisponde il numero reale ~u · ~v (si legge ‘u scalar v’) e che soddisfa le proprietà:
per ogni ~u , ~v , w
~ ∈ V e per ogni h ∈ IR
Prodotto Scalare 55
PS1. ~u · ~v = ~v · ~u ;
PS2. ~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w
~;
PS3. h(~u · ~v ) = (h~u) · ~v = ~u · (h~v ) ;
PS4. ~u · ~u = 0 se ~u = ~0 , ~u · ~u > 0 se ~u 6= ~0 .
Diremo perpendicolari due vettori non nulli, ~u e ~v , e in tale circostanza si scriverà ~u ⊥ ~v , se ~u · ~v = 0 .
Riferito il piano Π ad un sistema cartesiano (O,~ı, ~) , si prova facilmente che l’applicazione da Π × Π verso
IR cosı̀ definita:
(5.1.1)
(P, Q) 7−→ P · Q = xp xq + yp yq .
è un prodotto scalare, essendo P (xp ; yp ) e Q(xq ; yq ) .
Ricordiamo che in questo contesto i punti sono assimilati a vettori (sono punti-vettori!), perciò si può non
fare uso di frecce sovrapposte alle lettere maiuscole, che li definiscono.
y
P(2,4)
Q(-2,1)
x
O
fig. 5.1
Vettori perpendicolari nel piano (O;~ı,~
) . Le coordinate dei loro estremi P (2;4) e Q(−2;1) annullano il
prodotto scalare P ·Q .
5.1.2. definizione
Si dice norma o lunghezza di un vettore P , e si scrive kP k , la radice quadrata di P · P :
kP k =
√
P · P.
È ora facile definire la distanza euclidea, come l’applicazione Π −→ IR + ∪{0} in cui ad ogni coppia di punti
corrisponde la norma, costruita sul prodotto scalare (5.1.1), del vettore loro differenza: (P, Q) 7−→ kP − Qk .
Definiamo in modo rigoroso che cos’è una distanza.
5.1.3. definizione
Dato l’insieme Π dei punti del piano si dice distanza una qualsiasi applicazione
d : Π × Π −→ IR + ∪ {0}
che per ogni P , Q , R ∈ Π soddisfi le proprietà:
V. Scorsipa 56
D.1
d(P, Q) = d(Q, P )
D.2
d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q
D.3
d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q)
Per quello che seguirà, dobbiamo riflettere con attenzione su alcune scritture che a prima vista possono essere
confuse, e che, invece, hanno significati profondamente diversi. Per esempio, |P · Q| è un numero reale non
negativo, è il valore assoluto del prodotto scalare P · Q . Inoltre si scrive più rapidamente P 2 per P · P ,
ma la prima scrittura ha solo le apparenze di una potenza. In questo contesto non avrebbe senso, Infatti,
scrivere P 3 con il significato P · P · P perché sarebbe come se moltiplicassimo scalarmente un numero reale,
√
P · P , con un vettore, P . Il che è ovviamente un non senso. Cosı̀ non si può scrivere P 2 = P , perché
√
ancora una volta affermeremmo l’assurdità che il numero reale, P 2 , è uguale al vettore, P .
5.2. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
L’applicazione, che definisce la distanza di due punti-vettore come la norma della loro differenza, soddisfa le
proprietà D.1, D.2, D.3. Per ottenere tutto questo bisogna prima ricavare l’importante disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz.
Vale la pena sottolineare che la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz sussiste con un qualsiasi prodotto scalare
e non solo con lo standard definito mediante la (5.1.1).
5.2.1. Teorema
Siano P , Q due vettori qualsiasi, allora vale la disuguaglianza detta di Cauchy-Schwarz
|P · Q| ≤ kP k kQk;
in altri termini, il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori è minore o uguale del prodotto delle loro
norme.
Applicando le proprietà del prodotto scalare per ogni P e Q ∈ Π e per ogni λ ∈ IR vale l’identità:
(P − λQ)2 = P 2 − 2λP · Q + λ2 Q2 .
mentre il numero (P − λQ)2 deve essere non negativo.
La precedente identità si prova con i seguenti passaggi:
(P − λQ)2 =(P − λQ) · (P − λQ)
=P · (P − λQ) − λQ · (P − λQ)
proprietà PS2
=(P − λQ) · P − (P − λQ) · λQ
proprietà PS1
=P · P − λQ · P − P · λQ + λQ · λQ
proprietà PS2
=P · P − λQ · P − λQ · P + λQ · λQ
proprietà PS1 e PS3
=P 2 − 2λP · Q + λ2 Q2 .
Dati due vettori P e Q , la disequazione
λ2 Q2 − 2λP · Q + P 2 ≥ 0,
Prodotto Scalare 57
deve essere verificata per ogni valore della variabile reale λ .
Osserviamo che nel piano cartesiano Oλy la funzione quadratica nella variabile λ
y = f (λ) = λ2 Q2 − 2λP · Q + P 2
ha il grafico di una parabola con la concavità verso l’alto perché il primo coefficiente è Q2 > 0 . Se Q2 = 0
allora Q è il vettore nullo e dunque si ha anche P · Q = 0 . In questo modo è ovviamente f (λ) = P 2 ≥ 0
per ogni valore di λ .
y
x
O
fig. 5.2 Nel piano Oλy due esempi di
parabole f (λ)=λ2 Q2 −2λP ·Q+P 2 non
negative per ogni valore di λ .
Ora, tornando all’ipotesi Q2 > 0 , affinché la funzione y = f (λ) sia positiva o nulla per ogni λ , la parabola
che la rappresenta non deve incontrare l’asse delle ascisse in due punti distinti.
È per questo che il discriminante dell’equazione associata alla disequazione di secondo grado deve essere non
positivo:
Dunque è
∆ = 4(P · Q)2 − 4P 2 Q2 ≤ 0,
∆ = 4 (P · Q)2 − P 2 Q2 ≤ 0.
(P · Q)2 ≤ P 2 Q2
e, quindi, estraendo la radice quadrata di ambo i membri, si ottiene quanto si voleva:
|P · Q| ≤
Si noti che è necessario scrivere
p
P 2 Q2 = kP k kQk.
p
(P · Q)2 = |P · Q| , potendo essere P · Q < 0 , e che la disuguaglianza
di Cauchy-Schwarz diviene uguaglianza se uno dei due vettori è nullo o se l’uno è combinazione lineare
dell’altro; in una parola, se i punti O , P , Q sono allineati.
In tale ipotesi, essendo P = λQ risulta (P − λQ)2 = 0 e questo comporta che il discriminante dell’equazione
di secondo grado in λ sia nullo.
5.2.2. Teorema
L’applicazione distanza euclidea soddisfa le proprietà D.1, D.2, D.3.
Si lascia al lettore la cura di svolgere questo teorema come esercizio.
V. Scorsipa 58
Per la proprietà D.3, cioè la disuguaglianza triangolare si può seguire quanto proposto dal seguente esempio.
5.2.1. esempio
Facendo uso della norma la D.3 assume la forma:
kP − Qk ≤ kP − Rk + kR − Qk.
soluzione.
Si procede in questo modo:
kP − Qk = k(P − R) + (R − Q)k
(ass. di gruppo in (Π, +))
p
= ((P − R) + (R − Q)) · ((P − R) + (R − Q))
(def. di norma)
p
= (P − R)2 + 2(P − R) · (R − Q) + (R − Q)2
(prop. del prod. scal.)
p
≤ (P − R)2 + 2|(P − R) · (R − Q)| + (R − Q)2
(valore assoluto)
p
(Cauchy-Schwarz)
≤ kP − Rk2 + 2kP − Rk kR − Qk + kR − Qk2
= kP − Rk + kR − Qk
(radice quadrato perfetto)
5.3. La distanza di un punto da una retta
Dati un punto P (x0 ; y0 ) e la retta r di equazione ax + by + c = 0 , facendo uso delle nozioni finora apprese
si vuole determinare la distanza di P da r , che si indicherà d(P, r) .
−−→
−→
Sia H(x1 , y1 ) il punto di r tale che P H è perpendicolare a OA , dove A(−b; a) è il punto-vettore che
fornisce, come è noto, la direzione della retta r . La distanza d(P, r) si ottiene calcolando la norma di
kP − Hk . È facile verificare mediante il calcolo del prodotto scalare che il punto N (a; b) rappresenta un
~ , e quindi alla retta r .
vettore perpendicolare ad A
y
r
H
N
A
P
x
O
fig. 5.3 La distanza di un punto da una retta.
I vettori N e P − H sono dunque paralleli, cosı̀ per essi la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz diventa
l’uguaglianza:
|(P − H) · N | = kP − Hk kN k
da cui:
|(P − H) · N |
,
kN k
kP − Hk =
d(P, r) = kP − Hk =
|(x0 − x1 )a + (y0 − y1 )b|
√
,
a2 + b 2
infine, per la relazione ax1 + by1 + c = 0 , che esprime l’appartenza di H alla retta r , si trasforma in:
d(P, r) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b 2
La formula è applicabile senza conoscere le coordinate del punto H e mostra, come è ovvio attendersi, che
la distanza di un punto P da r è zero se P appartiene a r .
5.4.
Calcolo dell’area di un triangolo
Dati i punti P e Q nel piano puntato in O , si vuole calcolare l’area, S , del triangolo OPQ. Sia λP la
proiezione ortogonale di Q su P , deve essere allora:
(5.4.1)
(5.4.2)
(Q − λP ) · P = 0 (perpendicolarità dei vettori Q − λP e P )
1
S = kQ − λP k kP k (area del triangolo)
2
V. Scorsipa 60
dalla 5.4.1 si ottiene λ =
P ·Q
P ·P
, e sostituendo nella 5.4.2:
1
S=
2
s
2
P ·Q
P
Q−
P 2,
P2
sviluppando il quadrato e moltiplicando:
S=
1p 2 2
P Q − 2(P · Q)2 + (P · Q)2
2
e infine:
(5.4.3)
S=
1p 2 2
P Q − (P · Q)2 .
2
y
Q
P
x
O
λP
fig. 5.4 Calcolo dell’area del triangolo OP Q .
Vale la pena notare che il radicando della (5.4.3) rappresenta − ∆
4 dell’equazione di secondo grado già vista
nel paragrafo 5.2. relativo alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Impiegando le coordinate dei punti P e Q la formula subisce un’interessante semplificazione:
1q 2
(xp + yp2 )(x2q + yq2 ) − (xp xq + yp yq )2
2
1q 2 2
=
xp yq + x2q yp2 − 2xp xq yp yq
2
q
1
=
(xp yq − xq yp )2
2
1
= |xp yq − xq yp |
2
S=
(5.4.4)
La formula (5.4.4) si può immediatamente (fig. 5.4) generalizzare per il calcolo dell’area di un triangolo P ,
Q , R , riflettendo sul fatto che il triangolo avente per vertici i punti P − R , Q − R , O è congruente al
triangolo dato. Cosı̀ il calcolo dell’area del triangolo P QR è dato da:
S=
1
2
q
2
(P − R)2 (Q − R)2 − (P − R) · (Q − R) .
Per questa via è semplice determinare la formula dell’area di un parallelogramma.
Prodotto Scalare 61
y
Q
P
R
Q-R
P-R
O=R-R
x
fig. 5.5
La generalizzazione del calcolo dell’area di un triangolo.
5.5. La circonferenza
La circonferenza di centro C e raggio r è il luogo dei punti P del piano aventi distanza r dal punto C e
quindi in forza della definizione di norma tali che (P − C) · (P − C) = r2 .
Posto P (x; y) e C(α; β) , si ha l’equazione:
(x − α)2 + (y − β)2 = r2
che, sviluppati i quadrati e raccolti opportunamente i termini, diviene: x2 +y 2 −2αx−2βy+(α2 +β 2 −r2 ) = 0.
In generale si pone:
a = − 2α
b = − 2β
c =α2 + β 2 − r2
e in questo modo un’equazione del tipo x2 + y 2 + ax+ by + c = 0 rappresenta l’equazione
circonferenza
q di una
a
b
b 2
a 2
il cui centro ha coordinate : α = − 2 , β = − 2 , mentre il raggio è dato da r =
+ 2 − c.
2
a 2
b 2
Il radicando 2 + 2 − c deve essere ovviamente non negativo perchè esista il raggio della circonferenza.
Nel caso in cui il raggio è nullo la circonferenza ‘collassa’ nel suo centro, mentre se il radicando è negativo la
circonferenza non si può disegnare nel piano reale.
V. Scorsipa 62
5.6. Proprietà del piano metrico: triangoli rettangoli
I teoremi che seguono sono già noti. Si ripropone la loro dimostrazione facendo uso della nozione di prodotto
scalare.
5.6.1. Teorema
1o Teor. di Euclide. In ogni triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la
sua proiezione ortogonale sull’ipotenusa; ovvero il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo,
che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’intera ipotenusa.
A
O
B
H
fig. 5.6 Il primo teorema di Euclide.
Consideriamo il triangolo AOB , retto in A , risulta allora
A · (B − A) = 0
detta H la proiezione ortogonale di A sull’ipotenusa B risulta altresı̀
B · (H − A) = 0.
Dalle due relazioni si ottiene la seguente:
A · A = B · H,
che prova le tesi del teorema.
5.6.2. Teorema
2o Teor. di Euclide. In ogni triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra
le proiezioni; ovvero il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo, che
ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
A
C
O
fig. 5.7 Il secondo teorema di Euclide.
B
Prodotto Scalare 63
Consideriamo il triangolo ABC , retto in A , sia O la proiezione ortogonale di A su BC risulta allora
(B − A) · (C − A) = 0
da cui svolgendo i prodotti
B·C −B·A−A·C +A·A= 0
infine essendo ovviamente A · B = A · C = 0 , si ottiene A · A = −B · C , che prova la tesi, tenendo conto del
fatto che i vettori B e C hanno i versi opposti.
5.6.3. Teorema
Il teorema di Pitagora. In ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente
al quadrato costruito sull’ipotenusa.
A
H
C
B
fig. 5.8 Il teorema di Pitagora.
Applicando al triangolo ABC retto in A il 1o teorema di Euclide a ciascuno dei cateti AB e AC , si ottiene
rispettivamente:
(B − A)2 = (H − B) · (C − B)
(C − A)2 = (H − C) · (B − C)
da cui sommando membro a membro si ottiene
(B − A)2 + (C − A)2 = (H − B) · (C − B) + (H − C) · (B − C)
= (H − B) − (H − C) · (C − B)
(prop. distrib. prod. scal.)
= (C − B)2
(prop. gruppo (Π, +))
e ciò prova ovviamente la tesi.
C
5.6.1. esempio
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza di centro è retto.
soluzione.
A
O
B
V. Scorsipa 64
Dato il triangolo ABC , sia AB il diametro ed O il centro della
semicirconferenza.
Si tenga presente che ||A|| = |B|| = ||C|| e che B = −A ,
−→ −−→
allora proviamo che i vettori CA e CB sono perpendicolari calcolandone il prodotto scalare. Si ha infatti:
(C − A) · (C − B) =C · C − C · B + A · C + A · B
=C · C + A · B
=C · C − B · B
=0
perciò l’angolo in C è retto.
Prodotto Scalare 65
5.7. L’equazione di un piano nello spazio
La definizione di prodotto scalare è suscettibile di una generalizzazione. Seguendo quanto espresso per il
piano, nello spazio (O,~ı, ~, ~k) il prodotto scalare, che porta a definire la distanza euclidea, è l’applicazione
da IR 3 × IR 3 → IR 3 cosı̀ definita
(P, Q) 7→ P · Q = xp xq + yp yq + zp zq
dove P (xp , yp , zp ) e Q(xq , yq , zq ) sono una coppia qualsiasi di punti-vettori di IR 3 .
Il luogo geometrico dei punti X dello spazio che fissato un punto P e un vettore A soddisfano la relazione
−−→ −→
P X · OA = 0
costituiscono il piano passante per P e che è perpendicolare alla retta OA .
La notazione del Grassmann permette di scrivere la relazione precedente nel modo seguente
(X − P ) · A = 0
z
X
P+A
P
A
O
y
x
fig. 5.9 I punti X dello spazio tali che A·(X−P )=0
costituiscono il piano per P e ortogonale ad A .
da cui, applicando gli assiomi PS.2 e PS.3, si ottiene:
X · A − P · A = 0.
Siano (x, y, z) , (x◦ , y◦ , z◦ ) e (a, b, c) rispettivamene le coordinate di X , P e A . Applicando la definizione
di prodotto scalare, si ottiene l’equazione del piano anzi detto :
ax + by + cz − (ax◦ + by◦ + cz◦ ) = 0
la quale, posto d = −(ax◦ + by◦ + cz◦ ) , assume la forma
ax + by + cz + d = 0
di un’equazione di primo grado nelle variabili x , y e z .
V. Scorsipa 66
Questo procedimento permette di dedurre che i coefficienti a, b, c dell’equazione appena trovata rappresentano le coordinate di un vettore che è ortogonale al piano stesso. Questo vettore fornisce una direzione che
prende il nome di giacitura del piano. È immediato allora concludere affermando che due piani paralleli
hanno la stessa giacitura e che i loro coefficienti definiscono due vettori l’uno multiplo dell’altro.
Siano, infatti, α e α′ i piani ax + by + c + d = 0 e a′ x + b′ y + c′ + d′ = 0 , nell’ipotesi che essi sono paralleli
si deve avere che
a
b
c
= ′ = ′.
a′
b
c
Questo deriva dalla condizione che esiste un numero reale k tale che k(a, b, c) = (a′ , b′ , c′ ) . In particolare,
se fosse, ad esempio a′ = 0 dovrebbe essere anche a = 0 .
La perpendicolarità dei piani α e α′ in forza del prodotto scalare è ovviamente espressa da:
a · a ′ + b · b ′ + c · c′ = 0
5.7.1. esempio
Determinare la retta r passante per il punto P (2; 1; 0) perpendicolare al piano x + 2y − z + 1 = 0 .
soluzione.
Dall’equazione del piano si ricava il vettore A(1; 2; −1) che ha la direzione della sua giacitura. Il vettore A
fornisce dunque anche la direzione della retta r . Indicato con X il generico punto di r , si ha allora
X − P = tA
dove t è un qualsiasi numero reale.
L’equazione vettoriale si trasforma in (x − 2; y − 1; z) = t(1; 2; −1) da cui si ricava:
x−2=
y−1
= −z
2
La retta nello spazio è rappresentata da un sistema di equazioni lineari
x+z
y + 2z
=2
=1
È utile notare che una retta è data nello spazio dall’intersezione di due piani e che sono perciò infinite le
coppie di piani in grado di rappresentarla.
Prodotto Scalare 67
ESERCIZI E COMPLEMENTI
5.1
Determinare le norme dei vettori A , B e A + B , essendo A(1; 2) e B(0; −1) .
5.2
L’applicazione d : (P, Q) 7→ |xp − xq | + |yp − yq | può essere assunta per definire una “distanza” fra due punti
del piano?
5.3
Dimostrare che l’applicazione “distanza euclidea” soddisfa le proprietà D.1, D.2.
5.4
In un riferimento cartesiano Oxy , dati i punti A = (1, 0) , B = (2, −2) , trovare sull’asse delle ascisse il
punto E tale che AE = BE .
5.5
Nello spazio riferito al sistema cartesiano (O,~ı, ~ , ~k) , dati i punti A(1, 0, 0) , B(0, 1, 1) , trovare le coordinate
di un punto P che varia sul segmento AB . Trovare il punto P◦ appartenente ad AB tale che OP◦ ⊥ AB .
5.6
Determinare la distanza del punto P (1, 1) dalla retta che congiunge i punti C(1, 4) e D(−1, 2)
5.7
Determinare la distanza fra due rette parallele r ed r′ di equazioni rispettivamente ax + by + c = 0 e
a′ x + b ′ y + c = 0 .
5.8
Data la retta di equazione x + by + c = 0 , mostrare che la sua distanza dall’origine O è 1 , se b2 + 1 = c2 .
5.9
Determinare la distanza del punto P (1, 1) dalla retta che congiunge i punti C(1, 4) e D(−1, 2)
5.10
Determinare la distanza fra due rette parallele r ed r′ di equazioni rispettivamente ax + by + c = 0 e
a′ x + b ′ y + c = 0 .
5.11
Data la retta di equazione x + by + c = 0 , mostrare che la sua distanza dall’origine O è 1 , se b2 + 1 = c2 .
5.12
Qual è la formula per il calcolo dell’area di un parallelogramma OBDC ? Si ponga B(a, c) e C(b, d) e si
esprima l’area del parallelogramma in termini dei numeri reali a , b , c e d .
V. Scorsipa 68
5.13
Calcolare l’area del triangolo ABC , dove A(1, 2) , B(−2, 3) e C(2, 5) .
5.14
Nel piano puntato in O sono dati i punti-vettori P e Q tali che:
kP k = kQk = 1,
1
Q − P · P = 0.
2
(i) Determinare e rappresentare due vettori che soddisfino le condizioni suddette;
(ii) posto A = kQ − P e B = 2P + Q , stabilire il valore di k per cui A è perpendicolare a B;
(iii) per il valore di k determinato in (ii), supposto P (0, 1) e che Q appartenga al semipiano delle x non
negative, determinare le coordinate dei punti Q , A e B ;
(iv) stabilire la distanza del punto A dalla retta BQ ;
5.15
Provare che sono perpendicolari due vettori ~u e ~v tali che ||~u + ~v || = ||~u − ~v || .
5.16
Nel piano cartesiano (O,~ı, ~ ) al variare del parametro reale m cambiano i punti M (1, m) e N (m, 1 − m2 ) .
−−→
−−→
Individuare tutte le possibili posizioni di M e N per le quali OM è perpendicolare ON .
5.17
In un sistema di riferimento (O,~ı, ~ ) sono dati i punti A(p, q) , C(−q, p) ed è B = A + C . Provare che il
quadrilatero ABCO è un quadrato e determinare il centro e il raggio della circonferenza ad esso circoscritta.
5.18
Determinare l’equazione della circonferenza conoscendone il centro C e il raggio r :
a. C = (15, 1) , r = 1 ;
b. C = (3, 4) , r = 2 ;
c. C = (4, −3) , r = 3 ;
d. C = (0, 1) , r = 4 .
5.19
Determinare il centro e il raggio di ciascuna delle seguenti circonferenze:
a. x2 + y 2 − 4 = 0 ;
b. x2 + y 2 + 4x + 2y = 0 ;
c. x2 + y 2 + 5x + y + 6 = 0 ;
d. x2 + y 2 + x + 5y − 6 = 0 .
5.20
Determinare l’equazione della circonferenza conoscendo le coordinate degli estremi di un suo diametro AB
in ciascuno dei seguenti casi:
Prodotto Scalare 69
a. A = (15, 1) e B = (+21, −7) ;
b. A = (3, 4) e B = (0, 8) ;
c. A = (4, −3) e B = (0, 0) ;
d. A = (0, 1) e B = (4, 4) .
5.21
In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è mediana.
5.22
In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è altezza.
5.23
In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è bisettrice.
5.24
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.
5.25
Le diagonali di un rombo sono pependicolari.
5.26
In un rettangolo le diagonali sono uguali.
5.27
I piani x + z − 2 = 0 e 2x − y − 3 = 0 determinano la retta r dell’esempio 5.7.27.?
5.28
Determinare l’equazione del piano per P (1, 0, 1) parallelo al piano x − y + 2z = 0
5.29
Determinare l’equazione di un piano per P (1, 0, 1) perpendicolare al piano x − y + 2z = 0
5.30
Stabilire se i piani x − y − z + 4 = 0 e x + y + 2 = 0 sono perpendicolari.
5.31
Per quali valori del parametro reale k i piani x + ky + kz + 3 = 0 e kx + (k + 1)y + 2kz − 1 = 0 sono
perpendicolari?