2^ Esercitazione(soluzione) - Università degli studi di Pavia

ESERCITAZIONI di MICROECONOMIA
(A-K) a.a. 2008/2009
M. Bonacina - Università degli Studi di Pavia
[email protected]
1
L’ELASTICITA’E LE SUE APPLICAZIONI - Soluzioni
ESERCIZIO 1. (A) Si spieghi il concetto di elasticità della domanda al prezzo.
(B) Si fornisca una rappresentazione gra…ca della curva QD = b aP con a; b >
0 speci…cando i valori delle intercette e della pendenza. (C) A quanto ammonta
l’elasticità rispetto al prezzo della curva di domanda al punto (B)? (D) Si fornisca una
rappresentazione gra…ca di una curva di domanda anelastica, ad elasticità unitaria
ed elastica.1
ESERCIZIO 1. Svolgimento. (A) L’elasticità è una misura della sensibilità della
quantità domandata e/o della quantità o¤erta a variazioni delle sue determinanti (ad
esempio il prezzo e/o il reddito). In particolare, l’elasticità della domanda al prezzo
misura la variazione della quantità domandata di un bene al variare del prezzo del
bene stesso. Formalmente, l’elasticità della domanda al prezzo è
"D (P ) =
V ar:% della quantità dom andata
V ar:% del prezzo
=
Q
Q
P
P
=
Q P
Q
P
=
QP
P Q
(Considerazione) Poiché la quantità domandata di un bene è negativamente correlata
al prezzo ( P " ! Q #), le variazioni percentuali della quantità avranno sempre
segno opposto a quelle del prezzo ( Q= P < 0). Per questa ragione alcuni autori
attribuiscono ai valori di elasticità della domanda al prezzo segno negativo. L’impiego
dei valori assoluti consente di tralasciare il segno negativo e attribuire a tutti i valori
di elasticità segni positivi. Quindi
"D (P ) =
QP
P Q
=
QP
P Q
>0
(B) Essendo la curva di domanda QD = b aP con a; b > 0, la sua inversa è
1
P = ab
a Q, da cui la seguente rappresentazione gra…ca
D
1 Si noti che la curva di domanda impiegata in questo esercizio è diversa da quella usualmente
impiegata a lezione. I valori di pendenza, le intercette e l’elasticità di¤eriscono quindi da quelli
discussi ed ottenuti dal Prof. Bertoletti.
1
P
b/a
Intercetta orizzontale (b;0)
Intercetta verticale (0;b/a)
Pendenza curva di domanda inversa -1/a
1/a
b Q
(C) Volendo calcolare l’elasticità al prezzo della curva di domanda al punto (B)
per intervalli molto piccoli ( Q ! dQ e P ! dP ) si ottiene
"D (P ) =
dQ P
dP Q
dQ P
dP Q
=
D
dove dQ
aP )
dP è la pendenza della curva di domanda, che nel nostro caso (Q = b
è data da a. Sostituendo il valore della pendenza e della quantità domandata
(QD = b aP ), si ottiene il seguente valore
"D (P ) =
dQ P
dP Q
=
P
b aP
a
=
aP
b aP
(D) Sulla base del valore dell’elasticità della domanda al prezzo, si può stabilire
se una curva di domanda è tendenzialmente ripida o piatta. Sono possibili le tre
seguenti de…nizioni:
1. Domanda anelastica "D (P ) < 1 (Domanda perfettamente anelastica "D (P ) =
0);
2. Domanda ad elasticità unitaria "D (P ) = 1;
3. Domanda elastica "D (P ) > 1 (Domanda perfettamente elastica "D (P ) = 1).
Di seguito la rappresentazione gra…ca di curve di domanda anelastiche, ad elasticità unitaria ed elastiche.
Domanda anelastica ⇔ εD(P) < 1
Domanda perfettamente anelastica
Domanda anelastica
εD(P) = 0
P
5
εD(P) < 1
P
PD(Q)
5
∆P/P  > 0
4
4
∆Q/Q  = 0
0
100
∆Q/Q < ∆P/P 
∆P/P  > 0
PD(Q)
∆Q/Q  > 0
0
Q
2
90 100
Q
Domanda ad elasticità unitaria ⇔ εD(P) = 1
P
5
∆Q/Q = ∆P/P 
∆P/P  > 0
4
PD(Q)
∆Q/Q  > 0
80
0
100
Q
Domanda elastica ⇔ εD(P) > 1
Domanda perfettamente elastica
Domanda elastica
εD(P) = infinito (∝)
εD(P) > 1
P
P
∆P/P  = 0
5
PD(Q)
4
∆Q/Q > ∆P/P 
∆P/P  > 0
∆Q/Q  > 0
0
PD(Q)
4
70
100
∆Q/Q  > 0
0
Q
50
100
Q
Si noti che per de…nire l’elesticità di una curva di domanda è necessario indicare
dei valori di prezzo e quantità iniziali e …nali. Si noti inoltre che l’elasticità di una
curva di domanda del tipo QD = 100 P , che pure ha una pendenza costante, NON
è costante.
P
Domanda elastica
εD(P) > 1
Domanda ad elasticità unitaria
εD(P) = 1
Domanda anelastica
εD(P) < 1
45°
PD(Q)
0
Q
ESERCIZIO 2. Supponiamo che gli uomini d’a¤ari e i turisti mostrino la seguente
domanda di biglietti aerei sulla tratta New York –Boston:
P
150
200
250
300
QD AFFARI
QD TURISMO
2100
2000
1900
1800
1000
800
600
400
(A) Si calcoli l’elasticità della domanda al prezzo per (i) chi viaggia per lavoro e
(ii) chi viaggia per turismo. (Per il calcolo dell’elasticità si usi il metodo del punto
medio). (B) Quale delle due categorie si caratterizza per una domanda meno elastica?
Perché?
3
ESERCIZIO 2. Svolgimento. (A) Siano P, QA e QT rispettivamente il prezzo
dei biglietti aerei, la quantità di biglietti aerei domandata, rispettivamente, per a¤ari
e per turismo. Tenuto conto della regola del punto medio, l’elasticità nella sua
formulazione per intervalli è
Q=QM
P=P M
"D (P ) =
Q=QM
P=P M
=
:
Dobbiamo quindi calcolare punti medi e variazioni. Siano (P M ; P ), (QAM ; QA ),
(QT M ; QT ) i valori medi e le variazioni di prezzo e quantità domandata, rispettivamente, per a¤ari e turismo. I valori sono riportati nelle tabelle sottostanti.
P
QA
QT
PM
150
200
250
300
2100
2000
1900
1800
1000
800
600
400
175
225
275
QAM
QT M
-
900
700
500
2050
1950
1850
QA
-
P
200-150
250-200
300-250
2000-2100
1900-2000
1800-1900
QT
800-1000
600-800
400-600
Da cui
P=P
M
200 150 2
175 = 7
250 200 2
225 = 9
300 250
2
275 = 11
AM
TM
QA =Q
QT =Q
-
-
2000 2100
=
2050
1900 2000
=
1950
1800 1900
=
1850
2
41
2
39
2
37
800 1000
=
900
600 800
=
700
400 600
500 =
2
9
2
7
2
5
"DA (P )
"DT (P )
-
-
7
41
9
39
11
37
7
9
9
7
11
5
(B) Confrontando le ultime due colonne della tabella precedentemente calcolata
si evince che la domanda per a¤ari è meno elastica di quella per turismo "DA (P ) <
"DT (P ). Spiegazione. Mentre i turisti hanno tempo su¢ ciente per reagire alla variazione di prezzo e scegliere quindi il mezzo di trasporto più economico, gli uomini
d’a¤ari non ritengono i viaggi aerei facilmente sostituibili.
ESERCIZIO 3. Si consideri il caso di un museo che sta valutando l’ipotesi di
aumentare il prezzo del proprio biglietto d’entrata. (A) Si speci…chi il ricavo totale
del museo in funzione del prezzo di vendita dei biglietti d’entrata e se ne fornisa una
rappresentazione gra…ca. (B) Si calcoli come varia il ricavo totale al punto (A) per
e¤etto di una variazione del prezzo di vendita. (C) Si illustri sotto quale condizione
(e perchè) l’aumento del prezzo aumenterà i ricavi del museo?
ESERCIZIO 3. Svolgimento. (A) De…niamo QD (P ) la curva di domanda di
biglietti d’ingresso del museo. Per ogni livello di prezzo, P, i ricavi totali, R, del
museo sono pari a
R(P ) = Q(P ) P
dove R(P ) e Q(P ) ci ricordano che i ricavi totali ed il numero di biglietti d’ingresso
venduti dipendono dal prezzo di vendita. Gra…camente, ipotizzando che prezzo e
quantità di equilibrio siano P e Q , il ricavo totale del museo risulta
P
P*
PD(Q)
R
0
Q*
4
Q
(B) Per capire sotto quale condizione (e perché) un aumento del prezzo dei biglietti
d’ingresso accresce i ricavi del museo è necessario considerare come variano i ricavi al
variare del prezzo d’ingresso. Dobbiamo quindi calcolare la derivata del ricavo totale
rispetto a prezzo. Formalmente
dR(P )
dP
=
d[Q P ]
dP
dQ
dP
=
dP
dP
P +Q
=
dQ
dP
P +Q
raccogliendo Q si ottiene
dR(P )
dP
h
=Q
Ricordando inoltre che
"D (P ) =
dQ
dP
dQ P
dP Q
P
Q
=
i
+1 :
dQ P
dP Q
e sostituendo nella precedente si ottiene
dR(P )
dP
=Q
[1
"D (P )] :
(C) Un aumento del prezzo di vendita (P ") può portare ad un aumento dei
ricavi del museo (R ") se siamo lungo un tratto anelastico della curva di domanda
("D (P ) < 1). Infatti i ricavi marginali del museo sono crescenti nel prezzo (formal)
mente dR(P
> 0) se
dP
Q
[1
"D (P )] > 0 ovvero, essendo Q > 0, 1
"D (P ) > 0 ! "D (P ) < 1:
Gra…camente. Supponiamo che l’equilibrio iniziale sia P ; Q e quello …nale sia
P ; Q , con P < P e Q > Q (aumento il prezzo, si riduce il numero di
biglietti venduto). I ricavi del museo inizialmente sono P
Q (area A + area C nel
gra…co sottostante), mentre dopo l’aumento di prezzo diventano P
Q (area B +
area C nel gra…co sottostante). Notate che aumentando il prezzo il museo ottiene un
ricavo maggiore per ogni biglietto d’ingresso venduto ma riesce a vendere un minor
numero di biglietti d’ingresso.
P
P**
B
P*
PD(Q)
C A
Q** Q*
0
Q
Confrontando i ricavi nelle due situazioni (Rf inale = P
Q = areaB + areaC
e Riniziale = P
Q = areaA + areaC), ho un aumento del ricavo al crescere del
prezzo se
Rf inale
Riniziale > 0 confrontando le aree B + C
(A + C) > 0 ! B
A>0
e quanto sopra è veri…cato in presenza di una curva di domanda anelastica. Infatti,
dal confronto analitico delle due aree avremmo
area A =
Q
P ; areaB =
5
P
Q
dove Q = Q
traduce in
Q <0e
P =P
P
Q
dividendo ambedue i membri per
P
P
Q
Q
P > 0; quindi la condizione B
+
P
Q
Q P
P Q
+
Q
A > 0 si
P >0
si ottiene
Q=Q
P=P
> 0)1+
>0
ricordando che
Q=Q
P=P
"D =
Q=Q
P=P
=
e sostituendo
1
"D > 0 da cui "D < 1:
ESERCIZIO 4. Antonio riceve in eredità la pizzeria di famiglia e decide di continuare a vendere pizze al prezzo di 10 C
= l’una. Sapendo che la curva di domanda
di pizza è QD (P ) = 200 4P , Anita, che ha studiato economia, suggerisce al padre
di aumentare il prezzo della pizza al …ne di incrementare i ricavi della pizzeria. (A)
Si fornisca una rappresentazione della curva di domanda di pizza speci…cando intercette e pendenza. (B) Si calcoli l’elasticità della domanda di pizza in corrispondenza
dell’equilibrio iniziale. (C) Si esprima il ricavo totale della pizzeria come funzione del
prezzo di vendita delle pizze. (D) Si discuta analiticamente la proposta di Anita (Si
illustri come varia il ricavo totale al variare del prezzo di vendita delle pizze). (E) Si
speci…chi qual è il prezzo che massimizza i ricavi di Antonio.
ESERCIZIO 4. Svolgimento. (A) La curva di domanda di pizza inversa è
P D (Q) = 50 14 Q, gra…camente
P
pendenza: -1/4
50
PD(Q)
200 Q
(B) In corrispondenza di un prezzo pari a 10 C
= (e quindi di una quantità venduta
pari a 160), l’elasticità della domanda al prezzo è
"D (10) =
dQ P
dP Q
=
10
( 4) 160
=
1
4
<1
(C) Il ricavo totale della pizzeria, espresso in funzione del prezzo di vendita è
R(P ) = Q(P )
P = [200
4P ]
P
(D) Dal momento che la domanda di pizza in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è anelastica (ovvero il ricavo marginale della pizzera è positivo), un aumento
del prezzo della pizza si tradurrà in maggiori ricavi per Antonio. Infatti il ricavo
marginale in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è
dR(10)
dP
= 160
1
1
4
=
160 3
4
= 120 > 0
(E) In corrispondenza di tratti anelastici della curva di domanda, "D (P ) < 1, i
ricavi risultano crescenti nel prezzo di vendita del bene mentre in corrispondenza di
tratti elastici della curva di domanda, "D (P ) > 1, i ricavi risultano decrescenti nel
6
prezzo di vendita del bene. Il prezzo che massimizza i ricavi è quello in corrispondenza del quale la domanda ha elasticità unitaria o, in maniera equivalente, i ricavi
marginali sono nulli. Dobbiamo quindi calcolare il prezzo in corrispondenza del quale
"D (P ) = 1:
Data la funzione di domanda (Q(P ) = 200 4P ), l’elasticità della domanda al prezzo
è
P
( 4) 200P 4P = 2004P4P ;
"D (P ) = dQ
dP Q =
quindi sostituendo
"D (P ) = 1 !
4P
200 4P
= 1 ! 4P = 200
4P ! 8P = 200 ! P =
200
8
= 25:
ESERCIZIO 5. Luca riceve in eredità la pasticceria di famiglia e decide di continuare a vendere torte al prezzo di 20 C
= l’una. Sapendo che la curva di domanda di torte
è QD (P ) = 50 2P , Chiara suggerisce all’amico Luca di ridurre il prezzo delle torte
al …ne di incrementare i ricavi della pasticceria. (A) Si fornisca una rappresentazione
gra…ca della curva di domanda di torte speci…cando intercette e pendenza. (B) Si
calcoli l’elasticità della domanda di torte in corrispondenza dell’equilibrio iniziale.
(C) Si esprima il ricavo totale della pasticceria come funzione del prezzo di vendita
delle torte. (D) Si discuta analiticamente e gra…camente la proposta di Chiara (Si
illustri come varia il ricavo totale al variare del prezzo di vendita delle torte). (E)
Qual è il prezzo che massimizza i ricavi di Luca?
(A) La curva di domanda di torte inversa è
ESERCIZIO 5. Svolgimento.
P D (Q) = 25 21 Q, gra…camente
P
25
pendenza -1/2
PD(Q)
50 Q
(B) In corrispondenza di un prezzo pari a 20 C
= (e quindi di una quantità venduta
pari a 10), l’elasticità della domanda al prezzo è
"D (20) =
dQ P
dP Q
=
( 2) 20
10 = 4 > 1
(C) Il ricavo totale della pasticceria, espresso in funzione del prezzo è
R(P ) = Q(P )
P = [50
2P ]
P
(D) Dal momento che la domanda di torte in corrispondenza dell’equilibrio iniziale
è elastica (ovvero il ricavo marginale della pizzera è negativo), una contrazione del
prezzo delle torte si tradurrà in maggiori ricavi per Luca.
Infatti il ricavo marginale in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è
dR(20)
dP
= 20
(1
4) = 20
( 3) =
60 < 0
(E) Il prezzo che massimizza i ricavi di Luca è quello in corrispondenza del quale
la domanda ha elasticità unitaria o, in maniera equivalente, i ricavi marginali sono
nulli. Dobbiamo quindi calcolare il prezzo in corrispondenza del quale
"D (P ) = 1:
7
Data la funzione di domanda (QD (P ) = 50 2P ), l’elasticità della domanda al prezzo
è
P
"D (P ) = dQ
( 2) 50 P2P = 502P2P = 25P P ;
dP Q =
quindi sostituendo
"D (P ) = 1 !
P
25 P
= 1 ! P = 25
P ! 2P = 25 ! P =
25
2
= 12:5:
ESERCIZIO 6. Si supponga che Paolo trovi ottimale spendere sempre 1/4 del
proprio reddito in pizza. (A) Supponendo che il reddito di Paolo sia I e che il prezzo
di vendita delle pizze sia P, si disegni la curva di domanda di pizza. (B) A quanto
ammonta l’elasticità rispetto al reddito della sua domanda di pizza? (C) Come varia
la sua spesa totale in pizza rispetto al prezzo? (D) Si illustri gra…camente cosa
accadrebbe alla suddetta curva se Paolo decidesse ora di spendere in pizza 1/2 del
suo reddito?
ESERCIZIO 6. Svolgimento. (A) Siano I, P e Q il reddito, il prezzo e la
quantità di pizza acquistata da Paolo. Sapendo che il consumatore spende 1/4 del
proprio reddito in pizza ( 14 I) ed essendo la spesa totale in pizza pari a (P
Q),
abbiamo che
1
Q
4I = P
da cui la seguente domanda di pizza
QD =
1 I
4P
Gra…camente, per dato livello di reddito,
P
PD(Q)
Q
(B) In maniera analoga all’elasticità della domanda al prezzo, l’elasticità della
domanda al reddito misura la variazione della quantità domandata al variare del
reddito
I
"D (I) = dQ
dI Q :
Tenuto conto della domanda di pizza trovata sopra, in corrispondenza di un reddito I abbiamo che
I
1 1 I
"D (I) = dQ
dI Q = 4 P 1 I = 1
4P
(C) Per capire come varia la spesa totale in pizza al variare del prezzo del bene,
è necessario calcolare l’elasticità della domanda al prezzo. Data la funzione al punto
(A), abbiamo che
"D (P ) =
dQ
dP
P
Q
1 I
4 P2
=
P
1 I
4P
=
1 I 4P 2
4 P2 I
=1
Essendo la domanda ad elasticità unitaria, la spesa totale non cambia al variare del
prezzo del bene.
8
(D) Sapendo che il consumatore spende 1/2 del proprio reddito in pizza ( 21 I) ed
essendo la spesa in pizza pari a (P Q), abbiamo che
1
2I
=P
Q
da cui la seguente domanda di pizza
QD0 =
1 I
2P
> QD
Gra…camente, per dato livello di reddito,
P
PD(Q)
PD’(Q)
Q
9