Esercizi 09-10_1

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2009-2010
Letture ed esercitazioni 1
LETTURA 1. Tratta da Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Torino, Bollati
Boringhieri, 1999, cap. 1 Numeri
LETTURA 2. Le origini della geometria secondo il racconto di Erodoto. Tratto da Erodoto, Storie,
libro I, 68-69
«Da quel tempo, infatti, il paese, pur essendo tutto pianeggiante, è divenuto impraticabile per cavalli e carri, a
causa dei canali che vi sono, numerosi e rivolti in tutte le direzioni.
Il re [Sesostri], d’altra parte, aveva questa ragione per farne scavare in tutto il paese: tutti gli Egiziani che
avevano le città non nei pressi del fiume, ma piuttosto all’interno, ogni volta che il Nilo si ritirava, venendo a
scarseggiare l’acqua, dovevano servirsi di acque salmastre, che attingevano dai pozzi: è per questo che l’Egitto fu
solcato da canali.
Raccontavano, poi, che questo re di Egitto] aveva distribuito la terra fra tutti gli Egiziani, assegnando a
ciascuno, in misura uguale, una porzione di terreno in forma quadrangolare; e si era procurato in questo modo delle
entrate, con lo stabilire un tributo che dovevano pagargli ogni anno.
Se il fiume asportava una parte qualsivoglia della porzione assegnata ad uno, questi andava di volta in volta
dal re a segnalargli l’accaduto; e il re mandava degli addetti a fare sopraluoghi e a misurare di quanto risultasse
ridotto l’appezzamento, affinché, per l’avvenire, il cittadino riducesse proporzionalmente il contributo stabilito.
Di qui, secondo me, ha avuto origine la scoperta della geometria che, poi, fu introdotta in Grecia; poiché
l’orologio solare, la meridiana e la divisione del giorno in dodici parti i Greci la ricevettero dai Babilonesi.»
1) Riassuma in tre frasi la discussione della prima ora del corso che ha preso spunto dalla
lettura.
2) Le origini antropologiche degli oggetti della matematica.
«Per condurre una retta tra due punti, l’agrimensore li segnerà con due picchetti, annoderà una
corda a uno di essi, e la fisserà all’altro dopo averla tirata. Da queste operazioni il geometra
trarrà due definizioni e un postulato: tra due punti, che ne rappresentano gli estremi, si può
sempre tracciare una retta, che giace uniformemente tra di essi.
Allo stesso modo, l’ingegnere traccerà un cerchio con un dato centro e con un intervallo
fissato prima tirando una retta tra il centro e il punto che misura l’intervallo, e poi, scalzato il
picchetto da questo punto, lo farà ruotare descrivendo una circonferenza. Di qui la definizione
di cerchio e il postulato relativo.
Possiamo allora avanzare un’ipotesi: che gli oggetti matematici provengano non
dall’astrazione da oggetti reali, da cui descriverebbero i tratti caratteristici, ma da un processo
di oggettualizzazione delle procedure. Essi non derivano da una realtà esterna, indipendente
dall’uomo, di cui rappresenterebbero l’essenza depurata delle impurità materiali, ma
formalizzano l’operare umano. Si tratta sempre, e non potrebbe essere altrimenti, di un
processo di astrazione, un cristallizzare in pochi tratti invariabili la varietà infinita delle
operazioni infinitamente compiute; ma l’astrazione avviene non a partire dai dati della realtà,
ma dalle operazionei della tecnica; la matematica non è figlia della natura, ma dell’arte.
In questa formalizzazione, le definizioni e i postulati svolgono un’opera di traduzione
dai procedimenti empirici della prassi alle figure e alle operazioni astratte della geometria.
[…]
Nello stesso meccanismo potrebbero rientrare i numeri, non astrazioni da oggetti che
non esistono (meno che mai astrazioni da altre astrazioni, come la numerosità, o
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l’equipotenza, come fino a qualche anno fa sembravano suggerire i programmi delle scuole
elementare), ma oggettualizzazioni dell’attività del contare (qui il condizionale è d’obbligo:
data l’assoluta mancanza di documenti, non possiamo che rimandare alla testimonianza di
Qwfwq).»
Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti
matematici, Torino, Bollati Boringhieri, 1999, 25-27.
ESERCIZI
1) Una piscina è lunga due volte la sua larghezza. Per costruire attorno alla piscina un recinto
di rete a distanza di 5 m dal bordo sono stati necessari 190 m di rete. Quali sono le
dimensioni della piscina?
2) Una confezione in busta di arance costava 15 euro. Siccome erano troppe, ne sono state tolti
4 kg e costa ora 9 euro. Quanto pesava la busta?
3) Andrea ha preparato un vassoio di paste. Ha messo da parte due terzi delle paste per sua
madre, e ha regalato un quarto del resto di paste all’amica Sandra. Sono rimaste 15 paste che
ha tenuto per sé. Quante ne aveva preparate?
4) Il perimetro di un appartamento a pianta rettangolare misura 28 m, e l’area 48 m2. Calcolare
la lunghezza e la larghezza.
5) Legga il paragrafo 7.3 della lezione 7 del materiale didattico del corso (nell’atrio
elettronico). Rifletta e risponda alle seguenti domande, riferite ai problemi 1, 2, 3 e 4:
a) In quali fra i quattro problemi è utile fare uno schizzo o disegno schematico?
b) Quali dei quattro problemi sono problemi aritmetici? Quali sono geometrici? Il
disegno (diagramma o rappresentazione geometrica) può essere utile nei problemi
aritmetici?
c) Per ogni problema, identifichi che tipi di numeri sono adoperati: naturali, interi
negativi, razionali? Se sono usati dei numeri razionali, indichi se si usano sotto
forma di frazione o con espressione decimale.
d) Il problema 2 si può risolvere adoperando soltanto i numeri naturali (che sono gli
unici presenti nei dati del problema). Tuttavia, per una possibile strategia di
risoluzione è necessario considerare un campo numerico più ampio (i numeri
razionali): spieghi il motivo.
6) Abbiamo ricordato che lo “sguardo quantitativo” identifica sia quantità ottenute da conteggi
(si parla di quantità discrete) oppure grandezze (ottenute da misurazioni, ossia dal confronto
con un’unità di misura). Per ognuno dei quattro problemi 1, 2, 3 e 4:
a) individui se nel problema sono coinvolte quantità discrete oppure una o più
grandezze.
b) per le grandezze, indichi di quali grandezze si tratta e l’unità di misura adoperata.
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7) Rifletta sulla presenza nei quattro problemi dell’idea di proporzionalità. Perché nel
problema 2 non vi è aumento proporzionale?
8) Confronti la risoluzione dei problemi con l’aiuto dell’algebra (equazioni di primo e secondo
grado e sistemi di equazioni) e senza algebra (per tentativi, attraverso tabelle di
proporzionalità e per riduzione all’unità).
9) Per ognuno di questi problemi, è possibile progettare più di un piano? Prepari una scheda
didattica per ogni problema riassumendo le informazioni desunte dalle domande 5, 6,7 e 8 di
questo esercizio, e simulando diverse strategie di risoluzione. Esplori anche le possibili
verifiche (looking back) anche usando strategie di risoluzione non usate come verifiche.
10) “Risolvere un problema significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada
per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente
raggiungibile” (Gorge Polya, La scoperta matematica, vol. 1, p. xi, Milano, Feltrinelli,
1971, ed. originale inglese 1962)
Rifletta:
In che senso i quattro esercizi proposti sono veri e propri problemi? Lo sono stati per lei? Lo
sono conoscendo l’algebra? Lo sono per bambini che non conoscono l’algebra?
Proponga un problema elementare corredato da una scheda didattica (si veda problema 9)
Altri esercizi: Nel paragrafo 7.3 della lezione 7 vi sono altri problemi elementari tratti da libri di
testo elementari
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