Suggerimenti

IL PROBLEMA e
L’ESERCIZIO
Barbara Delmari
Il problema? Un
problema.
Alcuni spunti!
“ Risolvere problemi significa trovare una strada
per uscire da una difficoltà, una strada per
aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo
non facilmente raggiungibile. Risolvere un
problema è una impresa specifica dell’intelligenza
e l’intelligenza è il dono specifico del genere
umano”.
G. Polya
Alcuni spunti
• “Ciascun problema che ho risolto è divenuto
regola che ha servito poi a risolvere altri
problemi”
R. Cartesio.
Alcuni spunti
“[…]La ricerca scientifica consiste nel risolvere
problemi.[…] la vita è costituita da problemi da
risolvere. […] Apprendere a risolvere problemi
significa apprendere a vivere.”
(K. Popper)
ALCUNE DEFINIZIONI DI
PROBLEMA E ESERCIZIO
Tanto la definizione di problema quanto quella di
esercizio è difficoltosa in quanto non riguarda il
contenuto, ma l’approccio alla situazione che ha
il soggetto.
“un problema è una domanda, che per essere
soddisfatta, richiede una teoria nuova (cioè non
conosciuta dal risolutore) mentre l’esercizio è
una domanda che presuppone già una teoria
risolutiva “
(Antiseri)
ALCUNE DEFINIZIONI DI
PROBLEMA E ESERCIZIO
L’esercizio presuppone la conoscenza da parte del
soggetto di un algoritmo risolutivo o di un
metodo di risoluzione pronto da “applicare”
Il problema non presuppone tale apparato
risolutivo alle spalle, quindi il soggetto deve
crearsi un percorso autonomo per rispondere alla
richiesta formulata.
La pratica didattica tra esercizio e
problema
Tutti nell’insegnamento delle discipline abbiamo
assegnato esercizi, spesso abbiamo definito
problema un esercizio. Qual è la differenza tra i
due approcci?
L’esercizio
• Gli esercizi si risolvono utilizzando regole già
apprese o in via di consolidamento. Non
richiedono abilità di composizione o invenzione
di regole secondo schemi nuovi.
Il problema
• Il problema invece si ha quando regole di
approccio non sono note, oppure nella
risoluzione si devono applicare sequenze di
regole in modo non ordinario. In ogni problema
vi è una componente creativa del soggetto.
PROBLEMA e ESERCIZIO
• Ogni volta che non c’è scarto tra quanto lo
studente conosce e quanto gli viene chiesto non
c’è problema.
• Nella prassi didattica il problema dovrebbe
introdurre l’esercizio: la riflessione sul problema,
l’analisi della strategia risolutiva e la sua
riproposizione generano l’esercizio.
L’esercizio e il problema
Un docente ha spiegato il
secondo principio della
meccanica F=ma.
Il problema del libro “ un
corpo di massa 10 kg si
muove con una
accelerazione di 7m/s2 .
Quale forza agisce sul
corpo? “. Questo non è un
problema, è un esercizio.
Un docente presenta, dopo
aver spiegato la regola del
prodotto tra polinomi, il
quadrato di alcuni
binomi, dopo il loro
svolgimento chiede una
regola alternativa di
calcolo rispetto a quella
“solita” del prodotto.
Questo è un problema.
L’esercizio e il problema in un
contesto non scolastico
• Prenotare a teatro lo
spettacolo di Teocoli
• Telefonare alla Telecom
per cambiare il mio
profilo tariffario.
• Cosa cucino questa sera.
• Dove andrò in vacanza
Il problema non è sempre problema
Molto spesso ciò che per un soggetto è un
problema non lo è per un altro.
ESEMPIO: catturare un animale nella foresta.
E’ un problema per un europeo, non per un indio
amazzonico.
Spesso dopo alcune presentazioni il problema
diventa esercizio.
PERCHE’ IL PROBLEMA
• Sviluppa abitudini al ragionamento corretto
• Sviluppa le capacità di analisi
• Sviluppa le capacità di sintesi
• Potenzia l’intuizione
Il substrato psicologico
• GESTALT (teoria della forma)
• PROBLEMA=ATTO DI INTELLIGENZA
• Il principale processo è l’INSIGHT
LE LEGGI DELLA GESTALT
L’INSIGHT
Esso denota quella parte di pensiero intuitivo che
permette al risolutore di cogliere il nucleo del
problema attraverso la considerazione globale di
tutti gli aspetti inerenti al problema e delle
relazioni significative tra gli elementi dello stesso
e quindi di giungere alla soluzione.
Esistono anche insight parziali.
Gli elementi del problema
Ogni problema è costituito da tre elementi:
•
Le informazioni di partenza: i vecchi buoni
dati.
•
Lo scopo, la richiesta, la domanda.
•
Le modalità con cui passare dai dati alla
richiesta.
Ogni volta che uno di questi elementi è ignoto si ha
un problema.
Le possibili situazioni che si
determinano
TIPO
Dati
Metodo
Richiesta
1
Completi
Conosciuto
Definita
2
3
4
5
6
7
8
Completi
Incompleti
Incompleti
Completi
Completi
Incompleti
Incompleti
Sconosciuto
Conosciuto
Sconosciuto
Conosciuto
Sconosciuto
Conosciuto
Sconosciuto
Definita
Definita
Definita
Non definita
Non definita
Non definita
Non definita
Analisi dei casi: 1
TIPO
1
Dati
Metodo
Richiesta
Completi
Conosciuto
Definita
Questo è il classico esercizio: la richiesta è chiara, il
metodo risolutivo è noto e i dati non presentano
incongruenze o lacune.
Esempio: determina le soluzioni dell’equazione di
secondo grado x2-3x-4=0, dopo che l’insegnante
ha fornito la formula risolutiva.
Analisi dei casi: 2
TIPO
2
Dati
Metodo
Richiesta
Completi
Sconosciuto
Definita
In questo caso, pur essendo ben determinati i dati e la
richiesta, rimane da determinare la modalità con cui
procedere.
Esempio: determina la misura dell’area di un
parallelogramma, avendo a disposizione solo le formule
relative ai rettangoli e ai triangoli.
Dopo alcune ripetizioni, il caso 2 si riconduce al caso 1, in
quanto si generalizza l’approccio. Ogni volta che sono in
questa situazione faccio così.
Analisi dei casi: 3
TIPO
3
Dati
Metodo
Richiesta
Incompleti
Conosciuto
Definita
In questo caso sono i dati ad essere incompleti: il risolutore
deve specificare le situazioni contingenti di lavoro per
poter risolvere il problema. Le relazioni implicite tra i
vari elementi del problema determineranno la soluzione.
Esempio: la minima distanza tra il sole e la cometa di Halley
è di 150x106 km, determina la massima distanza dal sole.
In questo caso per rispondere al problema lo studente deve
chiedersi, dopo aver identificato che per risolvere il
problema servono le leggi di Keplero, quali dati sono
mancanti (periodo orbitale).
Analisi dei casi: 4
TIPO
4
Dati
Metodo
Richiesta
Incompleti
Sconosciuto
Definita
In questo caso il risolutore ha due disagi, non
conosce il metodo di approccio né ha percezione
di quali dati siano significativi
Esempio precedente proposto ad una persona che
non abbia conoscenze di fisica.
Analisi dei casi: 5
TIPO
5
Dati
Metodo
Richiesta
Completi
Conosciuto
Non definita
Questo tipo di problema si propone spesso nelle
interrogazioni, ogni qual volta si chiede ad un alunno di
inquadrare una situazione ad ampio ventaglio: “dimmi
tutto quello che sai sul parallelogramma”.
In questo caso egli deve ricercare informazioni di varia
natura nella rete di conoscenze: che tipo di figura è, ha
proprietà particolari, come si misura la sua area …
Analisi dei casi: 6
TIPO
6
Dati
Metodo
Richiesta
Completi
Sconosciuto
Non definita
Questo tipo di approccio si presta bene nelle
interrogazioni o nelle verifiche ogni qual volta si
chiede ad un alunno di ricavare elementi nuovi a
suo piacimento da una situazione consolidata.
“Cosa potresti a questo punto dello sviluppato circa
le proprietà di ...”
Analisi dei casi: 7
TIPO
7
Dati
Metodo
Richiesta
Incompleti
Conosciuto
Non definita
Questo è il caso che si verifica nella vita di ogni
giorno.
Esempio: cosa cucino questa sera?
Analisi dei casi: 8
TIPO
8
Dati
Metodo
Richiesta
Incompleti
Sconosciuto
Non definita
E’ certamente il caso più difficile, ma quello più
vicino alla realtà. Ogni giorno ci troviamo ad
operare delle scelte.
Esempio: dove andrò in vacanza quest’anno
Il problem solving
IL PROBLEM SOLVING
Il termine PROBLEM SOLVING indica l’insieme
dei processi che una persona mette in atto per
analizzare, risolvere e verificare la soluzione
proposta di un problema.
I pionieri 1
I fondatori della gestalt hanno iniziato a studiare i
problemi e le abilità che ne determinano la
soluzione agli inizi del 1900.
Ancora oggi alcuni aspetti di tale processo non
sono noti.
Le teorie
Tutte le teorie, anche quelle più recenti,
concordano nell’evidenziare durante la
soluzione del problema 4 fasi:
1. PREPARAZIONE
2. INCUBAZIONE
3. ISPIRAZIONE
4. VERIFICA
I pionieri 2
Il primo ad occuparsi del problem solving fu
G. Polya: nel 1944 pubblica il libro dal titolo “How
to solve it” tradotto in italiano nel 1967 per la
casa editrice Feltrinelli con il titolo “Come
risolvere i problemi di matematica”
G. POLYA (1887 – 1985)
L’importanza del lavoro di Polya è la ricaduta
didattica.
Egli illustra quali sono le fasi attraverso cui tutti gli
studenti “passano” quando risolvono il
problema.
Le fasi di G. Polya
Ogni fase
• È introdotta da domande chiave
• È descritta in termini di attività pratiche
• È articolata in suggerimenti e/o sottodomande.
Le 4 fasi di G. Polya
Fase 1: Comprensione del problema
Fase 2: Compilazione di un piano
Fase 3: Sviluppo del piano
Fase 4: Alla fine
Fase 1. Comprensione del problema
Domande chiave:
Qual è l’incognita? Quali sono i dati? Qual è la condizione
Descrizione operativa:
comprendi il problema
Suggerimenti: è possibile soddisfare alla condizione? La
condizione è sufficiente a determinare l’incognita? Oppure
essa non è sufficiente ? Oppure è sovrabbondante? Oppure è
contraddittoria in termini?
Si disegni una figura. Si introduca un conveniente sistema di
notazioni.
Si separino le varie parti della condizione. Si possono scrivere
separatamente?
Fase 2. compilazione di un piano
Domande chiave:
Questo problema è già noto? Oppure lo stesso
problema si è già presentato sotto un aspetto
leggermente diverso?
Descrizione operativa:
Si determinino i legami che intercorrono fra i dati e
l’incognita. Può essere necessario ricorrere a
problemi ausiliari, quando non si trovi una
connessione evidente. Infine si compili un piano
per la risoluzione.
Fase 2. Compilazione di un piano
Suggerimenti: è noto un problema connesso con questo?
Si conosce un teorema che potrebbe essere utile?
Si rifletta sull’incognita! E ci si sforzi di ricordare qualche
problema precedentemente risolto avente la stessa
incognita oppure una incognita analoga.
Ecco un problema connesso con quello proposto e risolto
precedentemente. Si può far uso del suo risultato, si può
far uso del suo metodo? Si possono introdurre elementi
ausiliari in modo da rendere possibile il ricorso ad esso?
Si può enunciare il problema in altra forma?
Fase 2. Compilazione di un piano
Suggerimenti: lo si può enunciare in una forma diversa? Si
ricorra alle definizioni.
Se non si riesce a risolvere il problema proposto si tenti di
risolvere prima qualche problema connesso ad esso. Si sa
inventare un problema connesso più accessibile? E uno
più generale? Ed uno analogo? Ed uno più particolare? Si
riesce a risolvere almeno una parte del problema? Si
tenga conto soltanto di una parte delle condizioni
trascurando le altre; fino a che punto allora risulta
determinata l’incognita e come essa può variare? Si può
ricavare qualche informazione utile dai dati?
Fase 2. Compilazione di un piano
Suggerimenti: Si possono trovare altri dati atti a
determinare l’incognita? Si possono cambiare i
dati, oppure l’incognita, oppure, se necessario,
tutte queste quantità in modo che la nuova
incognita ed i nuovi dati siano quasi uguali ai
precedenti?
Si è fatto uso di tutti i dati? E’ stata considerata
l’intera condizione? Sono stati presi in esame
tutti i concetti essenziali che intervengono nel
problema?
Fase 3. Sviluppo del piano
Descrizione operativa:
Si proceda allo sviluppo del piano
Suggerimenti: Sviluppando il piano si verifichi
ogni passaggio. Si può riconoscere
manifestamente che ogni passaggio è esatto? Si
può dimostrane l’esattezza?
Fase 4. Alla fine
Domande chiave:
Si può verificare il risultato? Si può verificare il
procedimento?
Descrizione operativa:
Bisogna esaminare esattamente la soluzione
ottenuta.
Suggerimenti: Si può ottenere il risultato in un
altro modo? Lo si può vedere a colpo d’occhio?
Si può sfruttare il risultato per qualche altro
problema?
Caso pratico.
Sulla retta di equazione y=-x-5 determinare due
punti B e C tali che il triangolo ABC, con A(2;3),
sia isoscele sulla base CB=10.
Problema proposto ad una terza.
L’analisi del problema viene fatta collegialmente.
Fase 1. Comprensione del problema
Qual è l’incognita: la posizione dei punti sulla retta,
qualcuno dice le coordinate dei punti sulla retta.
Quali sono i dati: tutti concordano sul fatto che
tanto l’equazione della retta quanto le coordinate
del punto A sono dati. Qualche perplessità sulla
lunghezza di BC.
Condizione: ABC triangolo isoscele.
Fase 1. Comprensione del problema.
Alla domanda “si può soddisfare la condizione?”
nascono alcune perplessità: per molti dei nostri
alunni se si trova la soluzione la condizione è
soddisfatta, altrimenti non lo è. L’analisi
preventiva è difficile.
Propongo una verifica grafica. Con l’introduzione
del disegno e il solito sistema cartesiano di
riferimento.
Nascono subito le prime difficoltà.
La panoramica della classe
• Molti studenti (circa 10)
Non riescono a
rappresentare
correttamente la
situazione: non riescono
a costruire il triangolo
isoscele, ma solo un
triangolo di base CB=10
I rimanenti riescono a
rappresentare
correttamente la
situazione.
y = -x - 5
($1$; $2$)
$1$
La discussione
Chiamo alla lavagna uno degli studenti che ha correttamente
rappresentato la situazione e gli chiedo come ha fatto a
determinare la figura correttamente.
Mi risponde che il triangolo isoscele è diviso in parti uguali
dall’altezza, che divide a metà la base.
A questo punto anche gli alunni in difficoltà riescono a
disegnare correttamente gli elementi del problema.
La classe concorda che la condizione permette di
determinare l’incognita.
Fase 2. La compilazione del piano
All’alunno alla lavagna chiedo se conosce già questo
problema.
La risposta è vaga: dice “ sembra il teorema di Pitagora:
conosco un cateto perché 5 cm è la misura della metà
della base, ma non conosco l’ipotenusa e l’altro cateto.
Interviene uno studente dal posto, che pone l’accento sul
fatto che il piede dell’altezza è determinabile, in quanto
sappiamo costruire rette perpendicolari ad una data
passante per un punto. A questo punto si può
determinare H e trovare l’altro cateto.
Fase 2. La compilazione del piano
Applicando il teorema di Pitagora si riesce a determinare la
misura dell’ipotenusa.
Adesso rimane il problema delle coordinate dei punti.
Una studentessa interviene dicendo che un problema simile
è già stato risolto: procedendo come in quel caso si può
imporre che la distanza di C da H sia 5 e che la distanza
di C da A sia quella che verrà fornita dal Teorema di
Pitagora.
Rifacendo lo stesso discorso su B si risolve il problema.
Fase La compilazione del piano
Chiedo alla classe se è convinta del metodo
risolutivo.
Quasi tutti concordano: 1 studente non riesce a
capire perché è fondamentale il punto H.
Procedo alla spiegazione individualizzata cercando
con lui di esplicitare meglio tutti gli aspetti.
Fase La compilazione del piano
Decidiamo di compilare la sequenza risolutiva
1)
Trovo l’equazione della retta passante per A e perpendicolare alla
retta data
2)
Trovo il punto H mettendo a sistema le equazioni delle rette.
3)
Trovo la distanza AH
4)
Applico il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza di
AC=AB=k
5)
Determino C imponendo che AC=k e CH=5, tutto in un sistema
6)
Risolvo il sistema e trovo C
7)
Determino B imponendo BA=k e HB=5, tutto in un sistema
8)
Risolvo il sistema e trovo B
Fase 3. Sviluppo del piano.
Lascio lavorare la classe. Ogni passaggio è stato oggetto di
riflessione in altri problemi.
Aspetto che qualcuno arrivi al punto 6 perché da tale
sistema si determinano direttamente le coordinate sia di
C che B.
Infatti qualcuno improvvisamente si accorge di aver trovato
i due punti e non serve sviluppare i punti 7 e 8.
Qualche studente invece non si accorge della situazione e
sviluppa il piano in tutte le sue parti.
Fase 3. Sviluppo del piano.
Chiedo, quando la classe ha finito, di controllare i
risultati. Quanti punti hanno trovato? Hanno
sviluppato tutto il piano?
Ovviamente qualcuno a posteriori si accorge che
non è necessario sviluppare tutti i punti. Nasce
una discussione sul perché. Solo due studenti
riescono ad individuare la motivazione esatta: la
simmetria della figura.
Fase 4. Alla fine
I risultati sono corretti? Come faccio a verificarli?
Uno studente interviene dicendo di verificare che
la distanza AC=AB e coincida con quella trovata
nel passaggio 4.
Chiedo loro come compito di generalizzare il
problema.
I comportamenti dei risolutori in
ambiente scolastico
• Il buon risolutore: risolve il problema e sa spiegare quali
strategie ha usato per giungere al risultato e perché.
• L’intuitivo: risolve il problema, ma la sua spiegazione è di
tipo operativo, faccio questo poi ….. Non è capace di
motivare a livello conscio le proprie scelte.
• L’esecutore: non riesce a trovare la strategia in modo
autonomo. Ha delle strategie predefinite entro cui
interpreta i dati, a quel punto calcola …. ma senza dare
un senso al lavoro.
• Il confuso: non riesce a capire il testo, brancola a caso
proponendo sequenze di operazioni senza senso.
Qualcuno gli ha insegnato che per risolvere dei problemi
bisogna effettuare operazioni ….. Quindi lui opera.
Elementi ostativi nella risoluzione di
un problema
1) Fissità (in molti casi alcuni aspetti del campo
problemico appaiono come fissi, immutabili)
2) Fissità funzionale ( uno stesso elemento viene
solitamente usato in un modo, certe volte però
nella risoluzione del problema serve
riconsiderarlo in un modo diverso)
3) Einstellung ( ripetizione di un metodo
risolutivo che si è dimostrato efficace in altre
circostanze)
Elementi ostativi nella risoluzione di
un problema
1) Atteggiamento latente (un risolutore ha identificato che
un certo atteggiamento ha permesso di risolvere più
problemi, tende a riproporlo in contesti non pertinenti)
2) Direzione (la persistenza di strategie improduttive)
3) Pregnanza (utilizzo dei dati secondo organizzazioni ben
conformate, ma che ostacolano la soluzione)
4) Decodificazioni devianti (certe espressioni testuali
implicitamente riconducono a più interpretazioni, che
risultano fuorvianti per il risolutore).
ALTRI APPROCCI AL PROBLEM
SOLVING
- COMPORTAMENTISTA (stimolo-risposta)
- INFORMATICO O DELLE RETI
SEMANTICHE
L’APPROCCIO INFORMATICO
Il PS viene definito sulla base di tre elementi:
- Il problema in sé
- Il contesto problemico
- Le strategie risolutive (euristiche o algoritmiche)
ALGORITMI E METODI
EURISTICI
Gli algoritmi garantiscono sempre la soluzione, ma
non possono essere applicati quando il campo
problemico è esteso o complesso.
Il metodo euristico invece non garantisce sempre la
soluzione, ma non analizzando tutte le possibili
combinazioni è essenzialmente più efficiente.
Le possibili strategie
ANALISI MEZZI FINI (il problema viene scomposto in
piccoli sottoproblemi, la soluzione di questi e la
combinazione dei risultati permette di giungere alla
soluzione)
PIANIFICAZIONE (si eliminano gli elementi di dettaglio
al fine di risolvere un problema più semplice la cui
estensione potrà fornire la soluzione del problema
originale)
A RITROSO (si analizza il problema partendo dallo stato
finale al fine di capire quali situazioni garantiscano la
soluzione)