La fedelta` di risposta

# STUDIO DELLA FEDELTA’ DI RISPOSTA #
Per poter formulare in maniera appropriata problemi di sintesi (progetto) di
sistemi di controllo, e’ necessario a questo punto interessarci delle loro
proprieta’ in termini di “fedelta’ di risposta” agli ingressi applicati, intesa
come l’insieme di proprieta’ relative al comportamento dinamico del sistema che
ne rendono piu’ o meno soddisfacenti le prestazioni in base agli obiettivi del
controllo.
Il fine e’, per esempio, quello di avere una base per il confronto delle prestazioni
con quelle di altri sistemi (di riferimento) e ottenere delle indicazioni per
apportare opportune modifiche (ai blocchi di controllo) affiche’ il sistema
controllato risponda alle specifiche imposte.
In genere, per poter effettuare i confronti di cui sopra, si sottopongono i sistemi
ad opportuni ingressi (standard o canonici) e se ne analizzano le risposte.
Alcuni dei criteri classici di sintesi dei sistemi di controllo sono basati appunto
sull’analisi delle risposte del sistema ai segnali canonici e sulla successiva
modifica (dei parametri e/o dei blocchi) per soddisfare le esigenze di
comportamento desiderato.
I segnali canonici normalmente usati sono i segnali a gradino, a rampa lineare e
a rampa parabolica, le cui espressioni in funzione del tempo sono molto semplici
e di comoda manipolazione, come pure le loro L−trasformate.
Segnale
Gradino unitario
Rampa lineare
Rampa parabolica
......
Rampa di ordine k
SEGNALI CANONICI
Funzione del tempo
1⋅δ-1(t)
t⋅δ-1(t)
2
(t /2)⋅δ-1(t)
......
k
(t /k!)⋅δ-1(t)
L−trasformata
1/s
1/s2
1/s3
......
1/s(k+1)
Tali segnali hanno la proprieta’ di sollecitare tutti i modi di un sistema dinamico
e quindi metterne in evidenza le caratteristiche di interesse per il progetto.
Ai fini dell’analisi della fedelta’ di risposta, si divide la risposta nel tempo del
sistema in due parti:
a)
risposta in transitorio (o in regime transitorio);
b)
risposta a regime (o in regime permanente)
⇒
t→∞.
Per poter effettuare uno studio della fedelta’ di risposta, come detto sopra volto
alla formulazione appropriata di problemi di sintesi, occorre prendere in
considerazione l’errore cioe’ lo scostamento fra l’andamento desiderato e quello
effettivo della grandezza di uscita del sistema di controllo, ed esaminarne i vari
aspetti.
1
Con riferimento alla classe di sistemi di controllo di interesse in questo corso, e
cioe’ quelli di tipo proporzionale, l’andamento desiderato della grandezza di
uscita e’:
yd(t) = Kdx(t)
(1)
in cui Kd e’ la costante desiderata del legame ideale ingresso-uscita.
L’errore e’ definito dalla relazione:
e(t) = yd(t) – y(t) = Kdx(t) – y(t)
(2)
e, trasformando secondo Laplace:
E(s) = Yd(s) – Y(s) = KdX(s) – Y(s)
(3)
Le cause dell’errore sono sostanzialmente due:
1. il fatto che il legame ingresso-uscita e’ dinamico e quindi intrinsecamente
diverso da quello istantaneo cui corrisponde il Kd desiderato;
2. le azioni dei disturbi e gli effetti delle variazioni parametriche.
Prescindendo da queste ultime, delle quali ci si potra’ interessare a parte
specificamente (ricorda la funzione sensibilita’ alle variazioni parametriche),
consideriamo il sistema sottoposto all’azione simultanea della grandezza
d’ingresso X(s) e di disturbi Zi(s), agenti in diversi punti della catena diretta.
Z1
X +
_
C
A1
+
Z2
+
A2
+
Z3
+
P
+
+
Y
H
L’uscita puo’ esprimersi, per il principio di sovrapposizione degli effetti, con la:
Y ( s ) = W ( s ) X ( s ) + ∑i W z ( s ) Z i ( s )
i
(4)
dove W(s) e’ la F. di T. ingresso-uscita del sitema di controllo feedback e le
Wzi(s) sono le F. di T. dai punti in cui agiscono i diversi disturbi Zi(s) all’uscita.
L’errore puo’ quindi essere espresso con la:
E ( s ) = [K d − W ( s )]X ( s ) − ∑iWz ( s ) Z i ( s )
i
(5)
nella (5) possiamo definire una F. di T. ingresso-errore:
2
Wex ( s ) =
E (s)
= [K d − W ( s )]
X (s)
(6)
Tale F. di T. giochera’ un ruolo fondamentale nella nostra analisi.
La (5) dice che l’errore si puo’ considerare come somma di due addendi; il
primo:
Ex ( s ) = [K d − W ( s )]X ( s )
(7)
dipende dal fatto che il legame W(s) tra l’uscita e l’ingresso e’ diverso da quello
desiderato ideale; il secondo e’ la somma di altri addendi del tipo:
Ez ( s ) = −Wz ( s ) Z i ( s )
i
(8)
i
che danno l’effetto dei disturbi.
Si puo’ verificare facilmente che la W(s) e le Wzi(s) sono strettamente legate: il
loro denominatore e’ lo stesso ed e’ il polinomio caratteristico del sistema .
Questa proprieta’ e’ valida in generale , anche per schemi di controllo con piu’
cicli interni di retroazione.
Dall’espressione (5) dell’errore e’ chiaro che la situazione ideale (assenza di
errore) si avrebbe se W(s) fosse uguale a Kd e tutte le Wzi(s) fossero nulle.
Ingegneristicamente parlando, basterebbe che queste condizioni fossero
soddisfatte, con la precisione desiderata, nelle bande di frequenza occupate
rispettivamente da X(jω) e dai vari disturbi Zi(jω).
In sede di sintesi, la scelta della struttura del sistema di controllo, dei blocchi di
controllo stessi e dei loro parametri, vanno fatte in modo da soddisfare il piu’
possibile le condizioni di cui sopra.
ESEMPIO:
Z
X
+
_
Cc
+
+
P
Y
H
W ( s) =
C ( s ) P( s)
;
1 + C ( s) P( s) H ( s)
Wz ( s ) =
P( s)
;
1 + C ( s) P( s) H ( s)
3
Tenendo conto delle espressioni di W(s) e di Wz(s), le condizioni ideali
potrebbero essere conseguite scegliendo H(s)=1/Kd e il guadagno del controllore
C(s) infinito in modo che:
W (s) =
C ( s) P(s)
C ( s) P( s)
=
≅ Kd ;
1 + C ( s) P( s) H ( s) 1 + C ( s ) P( s)
Kd
e
Wz(s)≅0
A parte il fatto che difficilmente si puo’ rendere H(s)= 1/Kd (inevitabili costanti
di tempo che influenzano il comportamento del sistema a frequenze elevate), e’
chiaro che la condizione di guadagno infinito del controllore non puo’ non
influire negativamente sulla stabilita’ del sistema a ciclo chiuso.
Concludendo: dalle considerazioni di cui sopra si può affermare che in
generale l’aumento del guadagno a ciclo aperto porta ad un miglioramento delle
proprietà di fedeltà di risposta, ma ciò va a scapito delle caratteristiche di
stabilità del sistema di controllo; e’ quindi necessaria una scelta di compromesso
fra le due esigenze contrastanti in sede di sintesi.
• Criteri convenzionali di valutazione della fedelta’ di risposta nei sistemi di
asservimento e di regolazione.
Lo studio della fedeltà di risposta basato sull’espressione (5) dell’errore in ogni
problema specifico implicherebbe non solo la conoscenza delle varie F. di T.
Wzi(s) (e quindi dei vari punti d’ingresso dei disturbi), ma anche la conoscenza
del segnale d’ingresso e di quelli disturbanti, cosa che in pratica non avviene
quasi mai.
Nello sviluppo della teoria classica dei controlli automatici per sistemi SISO
(lineari, stazionari e a parametri concentrati), si ricorre di solito ad una
schematizzazione dei segnali in gioco, considerando il sistema allo studio
sottoposto a segnali canonici. Tale schematizzazione consente di valutare in
maniera relativamente semplice la qualità del sistema dal punto di vista di
interesse attuale.
Per semplificare ulteriormente lo studio della fedeltà di risposta, si procede ad
ulteriori schematizzazioni; in primo luogo si ipotizza che sul sistema agisca uno
solo dei segnali presenti (ricorda il concetto di soluzione parziale a suo tempo
introdotto). Ciò e’ perfettamente lecito nell’ambito della teoria dei sistemi lineari
che qui si stanno considerando (utilizzazione del principio di sovrapposizione
degli effetti).
Si studiano inoltre separatamente i sistemi di asservimento e i sistemi di
regolazione perché le schematizzazioni da scegliere dovranno essere quelle più
aderenti alla situazione di maggiore interesse pratico.
4
Nel caso degli asservimenti, in cui obiettivo fondamentale e’ quello di forzare
l’uscita a seguire un andamento proporzionale all’ingresso, si sceglie come
schematizzazione di riferimento quella in cui agisce in ingresso un segnale
canonico x(t) e tutti gli altri ingressi (disturbi) sono nulli: ⇒
zi(t)=0, ∀i.
X
+
C
_
Y
P
H
SCHEMA STANDARD PER GLI ASSERVIMENTI
Da questa schematizzazione elementare si puo’ passare ad un caso piu’ generale,
ancora semplice, ipotizzando che i disturbi siano costanti. L’unica differenza
rispetto al caso elementare di disturbi nulli e’ che in questo caso risulta al piu’
alterato solo il valore di regime dell’uscita (corrispondente ad x(t)=0) e non la
sua legge di variazione.
Nel caso di sistemi di regolazione, in cui il segnale d’ingresso (segnale di
riferimento o set point) e’ costante e la finalita’ prima del sistema di controllo e’
quella di opporsi agli effetti dei disturbi, si adotta come schematizzazione
standard di riferimento quella che considera un solo disturbo agente
direttamente sull’uscita (a valle del processo ) e l’ingresso nullo ⇒
x(t)=0.
X=0
+
Z
e
C
_
r
u
P
+ +
y
H
SCHEMA STANDARD PER LE REGOLAZIONI
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Ricordiamo che e’ sempre possibile ricondursi a tale caso, nell’ipotesi che il
disturbo agisca in un punto intermedio della catena diretta (tra controllore e
processo), considerando il disturbo equivalente in uscita: ⇒
Zeq(s)=Z(s)P(s).
A proposito delle schematizzazioni e’ opportuno osservare che, se quella per i
sistemi di regolazione puo’ essere considerata sufficiente ai fini dello studio della
fedelta’ di risposta perche’ l’ingresso e’ effettivamente costante, nel caso degli
asservimenti l’ipotesi di disturbi nulli o costanti non e’ quasi mai realistica.
In una seconda fase dell’analisi dell’errore si dovra’ considerare anche l’azione
di almeno una grandezza disturbante; in tale fase ci si potra’ ricondurre alla
schematizzazione utilizzata per i sistemi di regolazione.
Conclusione: le schematizzazioni introdotte permettono, ai fini dell’analisi
della fedelta’ di risposta, di considerare il sistema sottoposto ad un solo segnale
di forma canonica e agente in un punto ben determinato.
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