A 2 - Dipartimento di Scienze sociali e politiche

Introduzione teoria dei giochi
pt. 2
Corso di Scienza Politica 10/11
Luca Pinto
Soluzioni es. 1
(2, 1), (B, A)
Soluzioni es. 2
1, (A, A), (sx, dx)
Es. 3: ordinamento preferenze
• Terroristi:
– violenza Æ 3
>
– negoziazione, negoziazione Æ 2
>
– negoziazione, repressione Æ 1
• Governo:
– negoziazione, negoziazione Æ 3
>
– negoziazione, repressione Æ 2
>
– violenza Æ 1
Soluzioni es. 3
Violenza, negoziazione
Elementi essenziali di un gioco
•
•
•
•
Giocatori (i Є I)
Azioni (ai Є Ai / a-i Є A-i)
Payoff/Pagamenti (ui)
Partendo dalle azioni possiamo definire
anche:
– Strategie (S)
– Storia del gioco (Z / H)
Assunzioni minime
• Conoscenza comune delle regole del gioco. Tutti i
giocatori conoscono:
– quanti sono (I)
– quali azioni possono scegliere (Ai / A-i) e di conseguenza l’elenco
di tutte le possibili strategie per ogni giocatore (S)
– i pagamenti che ciascun giocatore ottiene in corrispondenza di
tutte le possibili combinazioni di strategie (ui)
• I giocatori agiscono in modo razionale:
– hanno un sistema coerente di preferenze sugli esiti del gioco:
• Transitivo
• Completo
– agiscono con l’intento di massimizzare la propria utilità
• Capacità computazionale
Classificazione giochi non
cooperativi
INFORMAZIONE
COMPLETA
STATICI
DINAMICI
Equilibrio
di Nash
Equilibrio perfetto nei
sottogiochi
cap. 4
INFORMAZIONE
INCOMPLETA
Equilibrio di Bayes Nash
cap. 3, 8
Equilibrio Bayesiano
Perfetto
Il dilemma del prigioniero: le regole
del gioco
• Gioco statico a informazione completa e imperfetta
(simultaneo)
• I = (criminale1, criminale2)
• A1≡ S1 = (confessare, omertà)
• A2≡ S2 = (confessare, omertà)
• Pagamenti:
– Se entrambi i criminali confessano la giustizia applicherà uno
sconto di pena di 5 anni
– Se solo uno dei due confessa, la giustizia lo premierà con uno
sconto di 15 anni, mentre l’altro sarà condannato alla pena intera
(20 anni per omicidio)
– Se entrambi non tradiscono il patto di omertà la giustizia potrà
condannarli solo per reati minori (10 anni)
Il dilemma del prigioniero:
l’ordinamento di preferenze
•
criminale1
–
>
–
>
–
>
–
•
confessa, omertà Æ 15
omertà, omertà Æ 10
confessa, confessa Æ 5
omertà, confessa Æ 0
criminale2
–
>
–
>
–
>
–
omertà, confessa Æ 15
omertà, omertà Æ 10
confessa, confessa Æ 5
confessa, omertà Æ 0
Dilemma del prigioniero: matrice e
albero
Criminale 2
Criminale1
omertà
confessa
omertà
10, 10
0, 15
confessa
15, 0
5, 5
Dilemma del prigioniero: soluzione
• Non è possibile risolvere il gioco per induzione a
ritroso
• Il criminale2, quando è il suo turno, non sa in
che nodo del gioco si trova, dato che il gioco è
simultaneo
• l’induzione a ritroso permette di risolvere solo
giochi dinamici a informazione completa e
perfetta (non simultanei)
• 2 nuovi strumenti:
– iterazione delle strategie dominate
– equilibrio di Nash
Strategie dominate
• Una strategia è dominata per un giocatore
quando un’altra gli offre di più
indipendentemente dalle scelte degli altri
• Considerati gli assunti di conoscenza comune e
razionalità individuale, nessun giocatore
razionale sceglierà mai una strategia dominata
• Ciò consente, in certi casi, di semplificare il
gioco – o persino di risolverlo – per iterazione
della dominanza
Iterazione delle strategie dominate
Criminale 2
Criminale 2
confessa
omertà
10, 10
0, 15
confessa
15, 0
5, 5
Criminale1
Criminale1
omertà
Criminale 2
,5
Criminale1
Criminale1
,0
confessa
10,
0,
15,
5,
Criminale 2
omertà vs.confessa
confessa
omertà
vs.
confessa
omertà
omertà
confessa
omertà
10, 10
0, 15
confessa
15, 0
5, 5
Equilibrio di Nash
• Profilo di strategie stabile tale per cui
nessun giocatore ha un incentivo a
discostarsi
• Combinazione di risposte migliori per
entrambi i giocatori data la mossa
dell’altro.
Come si trova un equilibrio di Nash
Criminale 2
Criminale1
omertà
confessa
omertà
10, 10
0, 15
confessa
15, 0
5, 5
Osservazioni sul gioco
• Per ogni giocatore la strategia confessa
domina la strategia omertà
• Il gioco ha un solo equilibrio che
corrisponde al profilo di strategie
(confessa, confessa)
• Esiste un profilo di strategie (omertà,
omertà) che offre ad entrambi i giocatori
un payoff maggiore, ma non rappresenta
un esito del gioco stabile
L’intervento di un’autorità esterna
Criminale 2
Criminale 2
confessa
omertà
10, 10
0, 15
confessa
15, 0
5, 5
Criminale1
Criminale1
omertà
omertà
confessa
omertà
10, 10
0 , 15 - c
confessa
15 - c, 0
5 - c, 5 - c
• Immaginiamo che intervenga un’autorità esterna (es.
un’organizzazione criminale) per far valere il patto di
omertà
• Ciò si traduce in un costo da sottrarre ai benefici
connessi all’azione di confessare per entrambi i giocatori
Nuovi equilibri
Criminale 2
confessa
omertà
10, 10
0 , 15 - c
confessa
15 - c, 0
5 - c, 5 - c
Criminale1
Criminale1
•
omertà
Criminale 2
omertà
confessa
omertà
10, 10
0 , 15 - c
confessa
15 - c, 0
5 - c, 5 - c
Criminale1 e Criminale2
– mantengono il patto di omertà quando 10 > 15 - c, ovvero quando c > 5
•
•
Se il costo imposto dall’organizzazione criminale è maggiore del
beneficio che si ottiene confessando, allora i criminali manterranno il
patto di omertà
Per c > 5 il profilo di strategie (omertà, omertà) diviene così un
equilibrio di Nash
Dal dilemma del prigioniero al
gioco dello stato di natura
• Prospettiva contrattualista della nascita
dello stato
• I = (A, B)
• A1≡ S1 = (rubare, non rubare)
• A2≡ S2 = (rubare, non rubare)
• La struttura del gioco è identica al
dilemma del prigioniero che abbiamo visto
fino ad ora
Il gioco dello stato di natura :
l’ordinamento di preferenze
•
A
–
>
–
>
–
>
–
•
rubare, non rubare Æ 4
non rubare, non rubare Æ 3
rubare, rubare Æ 2
non rubare, rubare Æ 1
B
–
>
–
>
–
>
–
non rubare, rubare Æ 4
non rubare, non rubare Æ 3
rubare, rubare Æ 2
rubare, non rubare Æ 1
Il gioco dello stato di natura :
matrice e equilibrio di Nash
B
non rubare
rubare
non rubare
3, 3
1, 4
rubare
4, 1
2, 2
A
Osservazioni sul gioco
• Per ogni giocatore la strategia rubare domina la
strategia omertà
• Il gioco ha un solo equilibrio che corrisponde al
profilo di strategie (rubare, rubare)
• Esiste un profilo di strategie (non rubare, non
rubare) che offre ad entrambi i giocatori un
payoff maggiore
• (non rubare, non rubare) non rappresenta un
esito del gioco stabile finché non interviene
un’autorità esterna (lo stato) a punire che ruba
(imponendo un costo p)
Il gioco della società civile
A e B scelgono di non rubare se 3 > 4 – p, ovvero se p > 1
B
non rubare
rubare
non rubare
3, 3
1, 4 - p
rubare
4 - p, 1
2 - p, 2 - p
A
Stato di natura vs. Società civile
• Aggiungiamo un parametro t che rappresenta il costo della protezione che lo
stato offre ai cittadini
• Quando i membri di uno stato di natura optano per una società civile?
B
non
rubare
non
rubare
3, 3
B
non
rubare
rubare
non
rubare
3 - t, 3 - t
1 - t,
4-p-t
rubare
4 - p - t,
1-t
2 - p - t,
2-p-t
rubare
1, 4
A
A
rubare
4, 1
2, 2
La scelta della società civile
• Quando i membri di uno stato di natura optano
per una società civile?
– Bisogna mettere a confronto i due equilibri
• 3 – t > 2, ovvero t < 1
• Mettendo a confronto i due equilibri di Nash –
quello che si ottiene nello stato di natura e
quello che si ottiene nella società civile –
emerge che per p > 1 e t < 1 i cittadini
preferiranno abbandonare lo stato di natura ed
entrare nella società civile
Altri modelli di gioco: esempi
• Chicken Game
• Battaglia dei sessi
• Stag Hunt
Chicken Game
Buzz
Jim
salta
dritto
salta
3, 3
2, 4
dritto
4, 2
1, 1
La battaglia dei sessi
Donna
Uomo
Fiera dei fiori
boxe
Fiera dei fiori
3, 4
1, 1
boxe
2, 2
4, 3
Stag Hunt
Cacciatore 2
Cacciatore 1
cervo
lepre
cervo
4, 4
1, 3
lepre
3, 1
2, 2