Automata on infinite objects

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Amedeo Leo1
1 Università
Simone Romano1
degli Studi di Salerno
Seminario Automi Linguaggi e Complessità - 2014/2015
Amedeo Leo, Simone Romano
May 28, 2015
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1
Introduzione
2
Automi su parole infinite
3
Automi ad albero
4
Conclusioni
May 28, 2015
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Outline
1
Introduzione
2
3
Automi ad albero
4
Conclusioni
May 28, 2015
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Perchè studiare la teoria degli automi?
È alla base di vari rami dell’informatica
Origine della scienza dell’informazione
I
Turing machine
Teoria dei compilatori
Model checking
I
Büchi automata, Rabin tree automata
Elaborazione dei dati sul Web (XML document)
Nota: Sebbene più astratta rispetto ai linguaggi di programmazione, la teoria
degli automi riflette l’essenza della computazione
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Contesto storico
1930s:
Turing machines (A. Turing)
1940s-1950s:
Automi a stati finiti (W. McCulloch,W. Pitts, S. Kleene, etc.), Chomsky
hierarchy (N. Chomsky)
1960s-1970s:
Pushdown automata (A.G. Oettinger, M.P. Schutzenberger), Büchi
automata over ω-words (J. R. Büchi ), Rabin tree automata over ω-trees (M. O. Rabin),
Tree automata (J. E. Doner, J. W. Thatcher, J. B. Wright, etc.)
1980s-1990s:
ω-automata applied to formal verification (M. Vardi, P. Wolper, O.
Kupferman, etc.)
2000s-2010s:
Automata over unranked trees applied to XML (A. Bruggemann-Klein,
M. Murata, D. Wood, F. Neven, etc.), Visibly pushdown automata (R. Alur, P. Madhusudan)
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Notazioni
A, A*, Aω : alfabeto finito, insieme di parole finite, insieme di
ω-sequenze su A
ω-word: α(0)α(1)... con α(i) ∈ A
sottostringa finita di ω: α(m, n) := α(m)...α(n − 1) for m ≤ n
sottostringa infinita di ω: α(m, ω) := α(m)α(m + 1)...
W ω = {α ∈ Aω | α = w0 w1 ... con wi ∈ W per i ≥ 0}
−
→
W = {α ∈ Aω | ∃ω n α(0, n) ∈ W }
In(σ) = {s ∈ S | ∃ω n α(0, n) ∈ S }
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Outline
1
Introduzione
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Automi di Büchi
Altri modelli di automi
Calcolo delle sequenze
Context-free ω-languages
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Automi ad albero
4
Conclusioni
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Definizione
Un automa di Büchi sull’alfabeto A è della forma:
A = (Q, q0 , ∆, F )
Q = insieme di stati
q0 = stato iniziale ∈ Q
∆ ⊆ QxAxQ
F ⊆ Q: insieme di stati finali
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Definizione - 2
Run
Data una ω-word α(0)α(1)... sul Aω , una run di A è così definita:
sequenza di stati σ = σ(0)σ(1)... tale che
I
I
σ(0) = q0
(σ(i), α(i), σ(i + 1)) ∈ ∆ for i ≥ 0
Successful run
Data una ω-word una successful run di A è così definita:
In(σ) ∩ F 6= ∅ - ’Qualche stato di F occorre infinite volte’
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ω-linguaggio - Büchi riconoscibile
ω-linguaggio di A
A accetta α se esiste una successful run di A su α
L(A) = {α ∈ Aω | A accetta α }
Nota: Un ω-linguaggio regolare contiene una ω-word finale periodica
Büchi riconoscibile
Se L = L(A) per qualche automa di Büchi A allora L è Büchi riconoscibile
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Esempio
Dato l’alfabeto A = {a,b,c} ed L1 ⊆ Aω :
α ∈ L1 ⇔ dopo ogni occorrenza di a c’è qualche occorrenza di b
Aω − L1 è riconosciuto dall’automa in figura 2
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Büchi riconoscibile - 2
Dato un automa di Büchi A
Data una parola finita w = a0 ...an−1
Se esiste una sequenza di stati s0 , ..., sn tale che
s0 = s
(si , ai , si+1 ) ∈ ∆ per i < n
sn = s0
Allora scriviamo:
s−
→ s0
w
Definiamo:
Wss0 = {w ∈ A∗ | s −
→ s0 }
w
Wss0 è regolare.
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Büchi riconoscibile - 2
Accettazione
L’ω-linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi A è della forma:
S
L(A) = s∈F Wq0 s · (Wss )ω
Teorema
Un ω linguaggio L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile ⇔ L è un’unione finita di
insiemi U · V ω , dove U, V ⊆ A∗ sono insiemi regolari di parole finite.
Lemma
Se V ⊆ A∗ è regolare allora V ω è Büchi riconoscibile
Se U ⊆ A∗ è regolare ed L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile allora U · L è
Büchi riconoscibile
S
T
Se L1 , L2 ⊆ Aω sono Büchi riconoscibili allora L1 L2 ed L1 L2 sono
Büchi riconoscibili
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ω - regular expression
Dato un ω-linguaggio L, la sua rappresentazione nella forma:
S
L = ni=1 Ui · Viω
dove Ui e Vi sono definiti da espressioni regolari, è definita
espressione ω-regolare
È quindi possibile definire un automa di Büchi a partire da una
espressione ω-regolare e viceversa
Linguaggio ω-regolare: ω-linguaggio riconosciuto da un automa di
Büchi
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Complemento
Problema del vuoto è decidibile
Il complemento è un problema non banale
I
Se L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile, allora lo è anche Aω -L. A partire
da L si può costruire un automa di Büchi che riconosce Aω − L
(Caso non deterministico!)
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Complemento - dim
La relazione
F
F
u
v
u ∼A v ⇔ ∀s, s0 ∈ Q(s −
→ s0 ⇔ s −
→ s0 e s −
→ s0 ⇔ s −
→ s0 )
u
v
ci consente di riscrivere L ed Aω -L con la stessa notazione.
Nota: ∼ è di indice finito data la finitezza di Q.
T
∀ coppia di classi ∼A U,V: se U · V ω L(A) 6= ∅, allora
U · V ω ⊆ L(A)
I
Vale anche per il complemento
Data ∼A , ∀ω-word α esistono delle ∼ classi U,V tali che α ∈ U · V ω
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Complemento - dim - 2
Una congruenza ∼ su A∗ satura L ⊆ Aω se
T
U · V ω L 6= ∅ ⇒ U · V ω ⊆ L ∀ coppia di ∼ classi U,V
Se ∼ satura L ed è di indice finito, allora
S
T
L = {U · V ω | U, V sono ∼-classi, U · V ω L 6= ∅}
L’inclusione ⊇ deriva dalla notazione di saturazione, mentre la ⊆
deriva dal punto 2 del teorema precedente.
Note:
∼ ha indice finito; ∼ classi regolari la cui unione è finita ⇒ L è
regolare
Poichè la congruenza satura il complemento, anche il
complemento è regolare.
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Automi di Büchi deterministici
Complemento
Gli automi di Büchi deterministici non sono chiusi rispetto al
complemento.
Dato il linguaggio W ⊆ A∗ riconosciuto da un automa
deterministico, definiamo
I
−
→
W = {α ∈ Aω | ∃ω n α(0, n) ∈ W }
è riconosciuto da un automa di Büchi
Nota: Un ω-linguaggio L ⊆ Aω è riconosciuto da un automa di
−
→
Büchi deterministico ⇔ L = W per un insieme regolare W ⊆ A∗
Non essendo tutti di questa forma la chiusura del complemento
fallisce.
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Automa di Muller
Un automa di Muller sull’alfabeto A è della forma
A = (Q, q0 , δ, F )
δ : QxA → Q
F ⊆ 2Q : insieme di stati finali
Successful run: un sottoinsieme di stati in F occorre infinite
volte
Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful
Muller-riconoscibile: ω-word accettate da un automa di Muller
Teorema di McNaughton’s: Un ω-lingugaggio è regolare (Büchi
riconoscibile) ⇔ è Muller riconoscibile.
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Automa di Rabin
Un automa di Rabin sull’alfabeto A è della forma
A = (Q, q0 , δ, Ω)
(Q, q0 , δ) come Muller
Ω = {(L1 , U1 ), · · · , (Ln , Un )} è una collezione di coppie accettanti
Successful run: In(σ)
T
Li = ∅ e In(σ)
T
Ui 6= ∅
Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful
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Introduzione al calcolo delle sequenze
L’automa di Büchi può essere utilizzato per risolvere problemi
legati al calcolo delle sequenze
Büchi ha mostrato che ogni condizione su una sequenza può
essere riformulata come un problema di accettazione di una
sequenza da un automa
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S1S
A: alfabeto finito di simboli
S1SA :
I
I
I
primo termine = 0
successori costruiti dalle variabili x, y,... applicando la funzione +1
funzioni atomiche: t1 = t2 , t1 < t2 , t1 ∈ X , t1 ∈ Qa
F
F
F
I
t1 , t2 sono termini
X è una variabile al secondo ordine
Qa è un simbolo di predicato unario (uno per ogni a ∈ A)
le formule di S1SA si ottengono dalle formule atomiche applicando
gli operatori ¬, ∧, ∨ ed i quantificatori ∀, ∃
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Relazione Büchi - S1S
Possiamo rappresentare ogni ω-word α ∈ Aω come
α = {ω, 0, +1, <, {Qa }a∈A }
dove
ω: insieme dei naturali
0: naturale 0
+1: funzione di successione
<: relazione di ordinamento
{Qa } = {i ∈ ω | α(i) = a ∀a ∈ A}
La verità di una formula S1S è decidibile.
Teorema di Büchi
un ω-linguaggio è definibile in S1S sse è regolare.
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Context-free ω-languages
Grammatiche per ω-words
Una grammatica context-free sull’alfabeto A con variabili (non terminali)
x1 , · · · , xS
n è data da una n-upla (G1 , · · · , Gn ) di insiemi finiti
Gi ⊆ (A {x1 , · · · , xn })∗ , dove w ∈ Gi se xi → w è una produzione di G.
Esempio
G0 : x1 → x2 x1 , x2 → ax2 b | ab.
Esempi di derivazioni:
x1 → x2 x1 → abx1 → abx2 x1 → ababx1 → ababx2 x1 → · · ·
genera l’ ω-word (ab)ω .
x1 → x2 x1 → abx1 → abx2 x1 → abax2 bx1 → abaax2 bbx1 →
abaaax2 bbbx1 → · · · genera l’ ω-word abaω .
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A∞
Se la produzione x1 contiene variabili terminali:
la grammatica può generare anche parole di lunghezza finita
Parliamo di A∞ quando, data una grammatica G, consideriamo le sole
ω-word generabili
scartiamo quelle di lunghezza finita (se generabili)
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Algebrico
Definizioni
(a) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è algebrico se contiene tutte le
parole infinite generabili da una cfg G.
(b) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è context-free se esiste una cfg G e
un insieme di variabili F di G tali che L consiste di tutte le parole
infinite generate da x1 con una leftmost dove le variabili usate
infinitamente spesso formano un insieme in F.
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Outline
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Introduzione
2
3
Automi ad albero
Introduzione
Esempi
4
Conclusioni
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Tree automata - 1
A = {f, g, c}
A-valued tree
map t : dom(t) → A
chiuso sotto la notazione di prefisso
soddisfa l’implicazione
wj ∈ dom(t), i < j ⇒ wi ∈ dom(t)
frontiera di t: fr (t) = {w ∈ dom(t) | ¬∃i wi ∈ dom(t)}
frontiera esterna: fr + (t) = {wi ∈
/ dom(t) | w ∈ dom(t) ed i < k }
(k = numero di figli)
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Tree automata - 2
Informalmente:
prende un A-valued binary tree
inizia la computazione alla radice partendo dallo stato iniziale
visita parallelamente i vari cammini dell’albero percorrendo coppie
di stati
un automa ad albero accetta un albero t se c’è una run
successful
una run è successful se tutti i cammini dell’albero rispettano la
condizione di accettazione dell’automa
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Tree automata - def. formale - 1
Un automa ad albero (non deterministico, top-down) su A è nella
forma:
A = (Q, q0 , ∆, F )
∆ ⊆ QxAxQxQ
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Tree automata - def. formale - 2
Run di A su un albero binario finito t:
albero r :dom+ (t) → Q dove
I
I
r () ∈ Q0
(r (w), t(w), r (w0), r (w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ dom(t)
Una run è successful se:
r (w) ∈ F ∀w ∈ fr + (t)
Il linguaggio dell’albero T(A) riconosciuto da A:
insieme di alberi t che portano A a percorrere una successful run
T riconoscibile:
T = T(A) per qualche A
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Automi su alberi infiniti
Due esempi di Tree automata infiniti sono rappresentati da:
Büchi Tree automata
Rabin Tree automata
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Büchi tree automaton
Un automa di Büchi ad albero su A è nella forma:
A = (Q, q0 , ∆, F )
∆ ⊆ QxAxQxQ
Run di A su un albero t ∈ TAω :
mappa r :{0, 1}∗ → Q dove
I
I
r () ∈ q0
(r (w), t(w), r (w0), r (w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ {0, 1}∗
T
∀ path π, In(r |π) F 6= ∅
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Rabin tree automaton
Un automa di Rabin ad albero su A è nella forma:
A = (Q, q0 , ∆, Ω)
Ω{(L1 , U1 ), · · · , (Ln , Un )} è un insieme di coppie accettanti
∀ path π ∃i ∈ {1, · · · , n} con
I
In(r |π)
T
Li = ∅ e In(r |π)
T
Ui 6= ∅
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Accettazione
Un albero t ∈ TAω :
accettato da Büchi : "run successful" secondo Büchi
accettato da Rabin: "run successful" secondo Rabin
Un insieme T ⊆ TAω è:
Büchi riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa di
Büchi
Rabin riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa di
Rabin
Nota:
Automa di Büchi ⊆ Automa di Rabin (Ω = {(∅, F )})
⇒ Ogni TAω Büchi riconoscibile è anche Rabin riconoscibile.
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Varianti di Rabin
Muller
Ω rimpiazzato dall’insieme di stati F
accettazione: ∃ una run r t.c. ∀π, In(r |π) ∈ F
Streett
∀ path π ∃i ∈ {1, · · · , n} con
T
T
In(r |π) Ui 6= ∅ ⇒ In(r |π) Li 6= ∅
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Outline
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Introduzione
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Automi ad albero
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Conclusioni
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Riepilogo
Argomenti trattati:
ω-word
Automi di Büchi
I
I
I
I
ω-linguaggio
Espressioni ω-regolari
Problema del vuoto
Complemento
Automi di Muller - Rabin
ω-linguaggi Context-Free
Automi ad albero
May 28, 2015
37 / 40
Argomenti non trattati
Condizioni di accettazione e gerarchia di Borel
Complemento e determinazione dei giochi
Modelli di automi per sistemi temporizzati
I
Timed automata
Automi su alfabeti infiniti
May 28, 2015
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Riferimenti
Automata on Infinite Objects - http://ki-www.
inferenzsysteme.informatik.tu-darmstadt.de/
fgdi3/2007/Material/Paper/Thomas_Automata.pdf
Automata theory and its applications http://lcs.ios.ac.cn/~wuzl/pub/lecture-01.pdf
Linguaggi formali, automi e logiche - https://users.dimi.
uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf
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