Tacoma

Biforcazioni
rivisitate
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La struttura qualitativa del flusso cambia al variare dei parametri.
I punti fissi possono essere creati o distrutti e la loro stabilità può
cambiare.
Lo stesso vale per le orbite chiuse.
Le biforcazioni di punti fissi viste per i sistemi monodimensionali
hanno l’analogo per i sistemi bidimensionali e di dimensione n>2.
L’azione è confinata in un sottospazio monodimensionale nel
quale si ha la biforcazione, mentre nelle altre dimensioni il flusso è
semplice attrazione/repulsione da quel sottospazio.
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Biforcazione nodo - sella
E’ il meccanismo base con cui i punti fissi sono creati e distrutti.
x& = µ − x 2
L’esempio tipico:
y
y& = − y
x
x
x
fantasma
µ >0
2 punti fissi
Sella
Nodo stabile
(±
µ ,0 )
µ =0
Collisione
µ <0
scomparsa
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Biforcazione transcritica e Pitchfork
Forme normali
x& = µx − x 2
x& = µx − x 3
x& = µx + x 3
y& = -y
transcritica
y& = -y
Pitchfork supercritica
y& = -y
Pitchfork subcritica
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Biforcazione Pitchfork supercritica
x& = µx − x 3
forma normale
y& = − y
L’eqne della forma normale è invariante sotto il cambiamento
di variabili x Æ -x y Æ -y (equivale alla simmetria).
y
y
y
− µ
x
x&
x
µ<0
µ=0
µ>0
x*=0
x*=0
x*=0
stabile
µ
debolmente stabile
instabile
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Le biforcazioni viste si hanno per ∆=0, o equivalentemente
quando un autovalore reale diviene uguale a zero.
Nodo-sella, transcritica e pitchfork
•sono biforcazioni ad autovalore reale zero
•coinvolgono la collisione di 2 o più punti fissi
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 x& = f ( x, y, µ )

 y& = g ( x, y, µ )
(x*,y*) punto fisso
In quali condizioni il punto fisso può perdere la sua stabilità al
variare di µ?
La chiave sta negli autovalori dello Jacobiano
punto fisso stabile ⇒ ℜ{λ1, 2 } < 0
Im{λ}
Im{λ}
N-s
Transcritica
pitchfork
ℜ{λ}
Hopf
ℜ{λ}
Per destabilizzare il punto fisso, uno o entrambi gli autovalori
devono incrociare il semipiano destro.
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Biforcazioni di Hopf
Un sistema raggiunge l’equilibrio attraverso oscillazioni
esponenzialmente smorzate.
Il tasso di smorzamento dipende da un parametro µ.
Biforcazione di Hopf supercritica
Al variare di µ il decadimento diviene sempre più lento fino a
che diviene un’amplificazione per µ = µc
ÆIl punto di equilibrio perde la stabilità.
ÆIn molti casi il moto risultante è è un ciclo limite di piccola
ampiezza intorno al precedente equilibrio.
µ < µc
Spirale stabile
µ > µc
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Spirale instabile circondata da ciclo limite
Esempio
r& = µr − r
ϑ& = ω + br 2
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µ controlla la stabilità del punto fisso (0,0)
ω controlla la frequenza di oscillazioni infinitesime
b controlla la dipendenza della frequenza dall’ampiezza
per oscillazioni di ampiezza maggiore
r
y
ϑ
x
µc=0
µ< 0
(0,0) spirale stabile
µ>0
(0,0) spirale instabile
Ciclo limite stabile r = µ
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Passando alle coordinate cartesiane
x& = r& cos ϑ − rϑ& sin ϑ = (µr − r 3 )cos ϑ − r (ω + br 2 ) sin ϑ =
[
] [
]
= µ − ( x 2 + y 2 ) x − ω + b( x 2 + y 2 ) y =
= µx − ωy + termini cubici
y& = µx + ωy + termini cubici
J
( 0,0 )
µ
= 
ω
−ω 

µ 
λ = µ ± jω
Im{λ}
ℜ{λ}
µ<0 µ>0
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Due regole che valgono genericamente per Hopf supercritiche:
µ − µc
La frequenza del cilo limite è circa ω = Im{λ } per µ = µ c .
La taglia del ciclo limite vicino a µc cresce come
La formula è esatta alla nascita del ciclo e corretta a meno
di O( µ = µc ) per calcolati per µ ≅ µ c .
2π
+ O ( µ = µc )
Il periodo è allora T =
Im{λ}
Nella pratica
Il ciclo limite è ellittico
Anche la parte immaginaria degli autovalori varia con µ
Im{λ}
ℜ{λ}
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Biforcazione di Hopf subcritica
Il caso subcritico è sempre il più drammatico e
potenzialmente pericoloso per le applicazioni ingegneristiche.
Dopo la biforcazione la traiettoria salta in un attrattore
distante che può essere
•un punto fisso
•un ciclo limite
•l’infinito
•un attrattore caotico (n>2, ex. attrattore di Lorenz)
r& = µr + r 3 − r 5
ϑ& = ω + br 2
Il termine cubico è ora destabilizzante;
Aiuta ad allontanare le traiettorie dall’origine.
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µ<0
(0,0) spirale stabile
Ciclo limite instabile
Ciclo limite stabile
µ> 0
(0,0) spirale instabile
Ciclo limite stabile (unico attrattore)
Le soluzioni che stavano nelle vicinanze dell’origine sono ora
forzate in oscillazione di grande ampiezza.
Il sistema mostra isteresi: le oscillazioni di larga ampiezza non
spariscono riportando µ a zero, ma rimangono finché µ =-1/4
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quando i cicli stabile e instabile collidono.
Sapendo che si verifica una biforcazione di Hopf,
Come distinguere tra subcritica e supercritica?
La linearizzazione non fornisce distinzione
Gli approcci analitici sono difficili da usare
Conviene usare il computer
•Il punto fisso diviene instabile
•Appare un piccolo ciclo limite
attrattore
supercritica
•Se inverto la variazione del
parametro il ciclo scompare
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Biforcazione globale di cicli
Nei sistemi bidimensionali, esistono 4 modi nei quali i cicli
limite sono creati e distrutti:
Biforcazione Hopf
Biforcazione di cicli nodo - sella

Biforcazione di periodo infinito  Biforcazioni globali di cicli

Biforcazione omoclina

Le biforcazioni globali di cicli sono difficili da individuare
perché coinvolgono grandi regioni nel piano delle fasi e non
nel vicinato di un singolo punto fisso.
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Biforcazione nodo-sella di cicli (piega)
Due cicli limite collidono e scompaiono.
r& = µr + r 3 − r 5
ϑ& = ω + br 2
stesso esempio di Hopf subcritica
ma in un intorno di µ=0
µ<0
Sistema monodimensionale
r& = µr + r 3 − r 5 → bif. nodo − sella per µ c = 1 / 4
µ < µc
µ = µc
µ > µc
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Sistema bidimensionaleÆ i punti fissi corrispondono a cicli limite
µ < µc
µ = µc
0>µ > µc
Ciclo semistabile
Ciclo stabile
Ciclo instabile
L’origine rimane stabile: non partecipa alla biforcazione
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Il ponte di Tacoma
Il primo ponte sospeso sul Narrows. Quattro mesi dopo la sua
apertura, il 7 Novembre 1940, con un vento di circa 68 km/h il
tronco centrale (853m) cominciò una serie di oscillazioni
torsionali, di ampiezza crescente finché i supporti si ruppero.
Il ponte era stato progettato per avere un certo spostamento
orizzontale sotto la pressione statica di venti molto maggiori,
ma non era stato progettato per sopportare instabilità
dinamiche causate dall’interazione del vento e dell’alto grado
di flessibilità del ponte.
La modellizzazione di questo tipo di interazione rientrava nelle
competenze ingegneristiche del tempo, ma non fu considerata.
Un’analisi moderna affronterebbe il problema come un
problema di biforcazione e analizzerebbe la natura della
biforcazione al crescere della velocità del vento.
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A
A
A
C B
vvento<vc
vvento= vc
vvento> vc
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Biforcazione di periodo infinito
Un ciclo limite scompare (o nasce).
r& = r (1 − r 2 )
ϑ& = µ − senϑ
2 sistemi monodimensionali
µ≥0
Direzione radiale
Tutte le traiettorie, eccetto r*=0 tendono al cerchio unitario
Direzione angolare
µ > 1 Moto antiorario
µ< 1 sinθ = µ
lento
veloce
µ>1
µ<1
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Al decrescere di µ il ciclo limite sviluppa un collo di bottiglia in
θ=π/2, che come µÆ1+.
Il periodo dell’oscillazione aumenta e diviene infinito in µcÆ1
quando appare un punto fisso nel ciclo.
Da qui il nome di biforcazione di periodo infinito.
Per µ < 1 il punto fisso si splitta in una sella ed un nodo.
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Biforcazione omoclina
Parte di un ciclo limite si muove verso un punto sella.
Alla biforcazione il ciclo tocca il punto sella e diviene un’orbita
omoclina (è un altro tipo di biforcazione di periodo infinito).
E’ difficile trovare un esempio analiticamente trasparente.
x& = y
y& = µy + x − x 2 + xy
µ c = −0.8645
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Ciclo limite vicino alla sella nell’origine
Il ciclo impatta sulla sella creando un’omoclina
Il ciclo limite si muove
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La sella si rompe ed il ciclo è distrutto
µ<<1
BIFORCAZIONI DI
CICLI
Hopf supercritica
Periodo del
Ampiezza del
ciclo limite stabile ciclo
O(µ1/2)
O(1)
Nodo-sella di cicli O(1)
O(1)
Periodo infinito
O(1)
O(µ-1/2)
Omoclina
O(1)
O(lnµ)
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Mappe di Poincaré
.
x = f (x), x ∈ ℜ n
zF
Σ superficie n-1 dimensionale, trasversa
rispetto al flusso.
z3
La sequenza dei punti
z1
z2
{z1 , z 2 ,...} ,
intersezione fra le orbite e la superficie
definisce una mappa P: ΣÆΣ
sulla superficie
z(t+1)ÆP(z(t))
z1Æz2Æz3Æ… zi∈P
zi+1ÆP(zi)
Riduce il sistema ad un sistema a tempo discreto di ordine n-1.
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Se Σ interseca un'orbita periodica, P ha un punto fisso z*: P(z* )= z* . La
stabilità di un'orbita periodica di un sistema dinamico continuo si riconduce
alla stabilità di un punto fisso della sua mappa di Poincaré.
x2
z*
x3
P
x1
x1
z*
P
x2
Il ciclo è asintoticamente stabile se e solo se zP è un equilibrio
asintoticamente stabile della mappa di Poincaré.
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Nella pratica, scrivere una espressione esplicita per la mappa richiede, in
genere, di risolvere analiticamente il sistema dinamico di partenza, il che,
ovviamente, rende le cose meno semplici di quanto non sembrassero.
Tuttavia, è sempre possibile integrare numericamente un sistema dinamico a
tempo continuo e lasciare ad un programma per computer il compito di
trovare i punti di intersezione fra l'orbita calcolata numericamente ed una
superficie opportunamente specificata. Spesso il semplice fatto di osservare
l'evoluzione del sistema in N-1 dimensioni, anziché in N, è sufficiente a
giustificare l'uso della mappa di Poincaré.
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Linearizzazione della mappa di Poincaré
z(t+1)ÆP(z(t))
con
P(z* )= z*.
Posso studiare la stabilità di z col metodo della linearizzazione.
∂z = z (t ) − z *
∂P
∂z (t + 1) =
∂z (t )
∂z z*
∂P
J=
∂z
Matrice Jacobiana della mappa di Poincaré;
ha n-1 autovalori
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Teorema
Siano µi i=1,2,…,n-1 gli autovalori di J in z*. Se | µi | <1, ∀i, il
ciclo è asintoticamente stabile.
Gli autovalori µi sono spesso chiamati moltiplicatori o
cofficienti di Floquet.
Teorema
Se uno (o più) autovalori µi è tale che | µi | > 1, il ciclo è
instabile.
Se | µi | ≤ 1, ∀i, e almeno un autovalore ha modulo unitario,
non si può dire niente sulla stabilità del ciclo.
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