urti
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Questo articolo tratta la teoria classica dell’urto elastico tra due corpi puntiformi A e B dotati di masse ma e mb , velocitá precedenti l’urto v~a e v~b e velocitá successive all’urto v~a 0 e v~b 0 . Ricordo a tutti che dalle leggi della meccanica classica possiamo imporre due leggi di conservazione: quella della quantitá di moto e quella dell’energia cinetica: ( ma v~a + mb v~b = ma v~a 0 + mb v~b 0 1 1 2 ~b |2 = 12 ma |v~a0 |2 + 12 mb |v~b0 |2 2 ma |v~a | + 2 mb |v Osserviamo che la conservazione della quantitá di moto é una relazione vettoriale mentre la conservazione dell’energia cinetica é scalare. Ho deciso di scrivere questo articolo per chiarire alcuni dubbi che ho riscontrato dopo una discussione avuta con un mio amico, dubbi che la maggior parte delle persone che ha scelto di non trattare la fisica come materia di studio potrebbe avere. Parte I Urto in una dimensione Supponiamo che i moti dei due corpi A e B siano vincolati a rimanere su una retta, cioé poniamo la premessa di un urto unidimensionale. Applicando le leggi di conservazione abbiamo: ( ma va + mb vb = ma va0 + mb vb0 1 1 1 1 2 2 02 02 2 ma va + 2 mb vb = 2 ma va + 2 mb vb possiamo osservare che conoscendo le velocitá iniziali e le masse dei due corpi abbiamo due equazioni in due incognite. Siccome esse sono indipendenti il sistema ammette una coppia di soluzioni va0 e vb0 . Calcoliamo ora esplicitamente le due soluzioni spostando il nostro sistema di riferimento con l’origine nel centro di massa del sistema. Per centro di massa del sistema si intende il punto in cui si puó supporre concentrata tutta la massa M = ma + mb ; per rendere meglio l’idea diremo che esso é la generalizzazione del baricentro di un insieme di punti. É comodo cambiare riferimento perche’ la quantita’ di moto del sistema, se si é solidali con il centro di massa é nulla. Denotiamo con un asterisco tutte le grandezze per ricordarci che siamo in un altro sistema di riferimento e risolviamo le condizioni: ( ma va∗ + mb vb∗ = ma va∗ 0 + mb vb∗ 0 = 0 1 1 1 1 ∗2 ∗2 ∗02 ∗02 2 ma va + 2 mb vb = 2 ma va + 2 mb vb dalla prima equazione del sistema si ricavano due relazioni: 1 ( ma va∗ = −mb vb∗ ma va∗ 0 = −mb vb∗ 0 e inserendole nel sistema si ottengono facilmente le soluzioni: ( va∗ 0 = −va∗ vb∗ 0 = −vb∗ per finire occorre riportare le soluzioni nel sistema di riferimento iniziale. Sapendo che per definizione la velocita’ del centro di massa é ma va + mb vb M e che dalla relativita’ di Galileo risulta vcm = va = va∗ + vcm ∗ vb = vb + vcm va0 = va∗ 0 + vcm 0 ∗0 vb = vb + vcm si ottiene la soluzione del sistema come: ( va0 = vb0 = (ma −mb )va +2mb vb M (mb −ma )vb +2ma va M Parte II Urto in due dimensioni Supponiamo che i moti dei due corpi A e B siano vincolati a rimanere su un piano, cioé poniamo la premessa di un urto bidimensionale. Applicando le leggi di conservazione abbiamo: ( ma v~a + mb v~b = ma v~a 0 + mb v~b 0 1 1 2 ~b |2 = 12 ma |v~a0 |2 + 12 mb |v~b0 |2 2 ma |v~a | + 2 mb |v dove la prima equazione, essendo vettoriale, é in realtá un sistema di due equazioni del tipo: ( 0 + m v0 ma vxa + mb vxb = ma vxa b xb 0 0 ma vya + mb vyb = ma vya + mb vyb e dunque per risolvere il moto occorre risolvere il sistema: 2 0 0 ma vxa + mb vxb = ma vxa + mb vxb 0 + m v0 ma vya + mb vyb = ma vya b yb 1 1 2 2 2 + v 2 ) = 1 m (v 02 + v 02 ) + 1 m (v 02 + v 02 ) m (v + v ) + m (v ya ya yb yb 2 a xa 2 b xb 2 a xa 2 b xb Osserviamo subito che pur conoscendo le masse e le velocitá vettoriali iniziali non é possibile ottenere un’unica coppia di soluzioni per le velocitá vettoriali finali poiché abbiamo tre equazioni in quattro incognite (teorema di Rouché-Capelli). Fisicamente dunque non é prevedibile ricavare le grandezze di moto successive ad un urto in due dimensioni. Parte III Urto in n-dimensioni Sulla base del discorso fatto per gli urti bidimensionali é facile intuire che ogni volta che si aggiunge una dimensione allo spazio in cui avviene l’urto si introducono due nuove incognite: queste sono le componenti delle velocitá finali dei due corpi A e B dopo l’urto lungo la nuova dimensione. Sfortunatamente peró aggiungiamo al sistema una sola nuova equazione che rappresenta la conservazione della quantitá di moto lungo la nuova dimensione. Abbiamo quindi per un urto in dimensione n n + 1 equazioni e 2n incognite; il sistema permette quindi un’unica soluzione solo per n = 1. Parte IV Il biliardo n-dimensionale Consideriamo per prima ipotesi il gioco del biliardo nel mondo reale: le palline sono vincolate a muoversi sul piano da gioco e gli urti, in prima approssimazione, sono elastici. Tutti sappiamo che questo é un gioco di precisione, dove ogni mossa deve essere accuratamente calcolata. Possiamo quindi affermare che questo gioco ha una bassa componente stocastica. Riconsideriamo il discorso fatto in precedenza per gli urti in due dimensioni: matematicamente abbiamo dimostrato che non é possibile predire come si muoveranno due palline dopo l’urto. Sembrerebbe che la realtá smentisca le conclusioni matematiche a cui siamo arrivati: siamo forse di fronte ad un paradosso? Il migliore modo per rispondere alla domanda é certamente quello di riconsiderare tutte le ipotesi fatte e verifarne la validitá. Sebbene il gioco del biliardo esista nella realtá tridimensionale é corretto considerare solo l’aspetto bidimensionale del gioco perché le palle sono effettivamente costrette 3 dalla gravitá a rimanere sul tappeto verde. Ogni palla é in buona approssimazione sferica e di densitá omogenea e un eventuale errore di fabbricazione comporta un cattivo rotolamento della sfera, come ben sanno i giocatori piú esperti. Inoltre le palle sono abbastanza dure da poter considerare l’urto elastico. L’unica obiezione possibile é che, diversamente da come si suppone nella teoria degli urti, la palla non é approssimabile ad un punto perché le dimensioni del suo raggio sono paragonabili a quelle del tavolo da biliardo. Il paradosso nasce probabilmente dall’approssimare la palla, che é un oggetto estensivo caratterizzato da dimensioni spaziali, con un corpo massivo di dimensione nulla, cioé puntiforme. Quando due corpi estesi si urtano, infatti, la geometria che li caratterizza fá si che l’urto sia unidimensionale perché vincolato a rimare su una retta e quindi facilmente prevedibile. Questo discorso puó essere allargato ad uno spazio n-dimensionale proprio perché la geometria dei corpi presenti in quello spazio ha le stesse dimensioni dello spazio stesso; ogni urto tra corpi estesi é quindi riconducibile ad un urto unidimensionale. Il biliardo n-dimensionale é dunque una realtá concreta, un gioco predicibile dove chi é piú preciso vince. 4