Programmazione Ricorsione

Programmazione
Ricorsione
Samuel Rota Bulò
DAIS
Università Ca’ Foscari di Venezia.
Ricorsione
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Ricorsione
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DAISUniversità Ca’ Foscari di Venezia.
Ricorsione
Cos’è la ricorsione? In matematica . . .
(
n · (n − 1)!
n! =
1
se n > 0
altrimenti
N = {0} ∪ {i + 1 : i ∈ N}
Principio di induzione
P(0) P(n) ⇒ P(n + 1) per ogni n ∈ N
P(n) per ogni n ∈ N
Paradosso di Russell
A = {x : x ∈
/ A}
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Cos’è la ricorsione ? In arte . . .
M.C. Escher 1948
Programmazione Ricorsione
M.C. Escher 1956
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Cos’è la ricorsione ? In arte . . .
M.C. Escher 1951
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M.C. Escher 1961
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Cos’è la ricorsione ? In arte ∩ matematica ..
I
I frattali sono derivate da equazioni ricorsive su C.
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Cos’è la ricorsione ? Nei detti popolari . . .
E’ nato prima l’uovo o la gallina?
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Cos’è la ricorsione ? Dal dizionario . . .
Ricorsione.
Se ancora non vi è chiaro, vedi: Ricorsione.
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Cos’è la ricorsione ? Per google . . .
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Cos’è la ricorsione ? A Mosca . . .
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In sostanza . . .
Per imparare la ricorsione . . .
. . . dovete prima imparare la ricorsione.
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Se ancora non è chiaro . . .
I
La ricorsione consiste nel definire cose in termini di sè stesse.
I
Consente di definire in modo finito quantità infinite.
N = {0} ∪ {i + 1 : i ∈ N}
I
Consente di formulare la soluzione di un problema in funzione
delle soluzioni di instanze più piccole dello stesso problema.
(
n · (n − 1)! se n > 0
n! =
1
altrimenti
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Il principio di induzione
I
Immaginiamo di voler verificare una proprietà definita sui
naturali N.
n
X
n(n + 1)
P(n) :
i=
2
i=0
I
Innanzitutto dobbiamo verificare P(0) (caso base):
P(0) : 0 =
0
X
i=0
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i=
0(0 + 1)
=0
2
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Il principio di induzione
I
Successivamente dobbiamo verificare P(n + 1) assumendo
P(n) (caso generale o passo induttivo)
P(n + 1) :
n+1
X
i=0
i = (n + 1) +
n
X
i=0
= (n + 1) +
I
i=
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
=
2
2
Per il principio di induzione ora sappiamo che P(n) è vera per
ogni n ∈ N.
I
I
I
I
P(0) è vera per il caso base
P(1) è vera perchè P(0) ⇒ P(1) per il caso generale
P(2) è vera perchè P(1) ⇒ P(2) per il caso generale
...
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Funzioni ricorsive
I
Una funzione è ricorsiva se utilizza se stessa all’interno della
propria definizione.
I
Al fine di potersi richiamare, la funzione deve avere un nome
(definita con let).
I
possiamo definire una funzione ricorsiva, ovvero “abilitata a
richiamare se stessa”, nel seguente modo:
let rec <fun> = fun <arg> -> <expr> [in <expr>]
let rec <fun> <arg> = <expr> [in <expr>]
I
Attenzione: è importante che vi sia sempre un caso base per
evitare ricorsioni infinite !
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Esempio per il fattoriale
# let rec fattoriale n=
if n <= 0 then 1
else n* fattoriale (n-1);;
val fattoriale : int -> int = <fun>
# fattoriale 10;;
- : int = 3628800
# let rec fattoriale = function
0 -> 1
|n -> n * fattoriale(n-1);;
val fattoriale : int -> int = <fun>
I
Cosa succede se invochiamo fattoriale (-1);; ?
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Esercizi
I
Scrivere una funzione potenza che calcoli nm , n ∈ R+ , m ∈ N.
I
Scrivere una funzione potenza che calcoli nm , n ∈ R+ , m ∈ Z.
I
Scrivere la funzione di Fibonacci: fib(0) = 0, fib(1) = 1,
fib(k) = fib(k − 1) + fib(k − 2).
I
Scrivere una funzione che calcoli il massimo comun divisore di
due naturali positivi (con algoritmo di Euclide).
I
Scrivere una funzione che testi la primalità di un numero
intero.
I
Scrivere una funzione ricorsiva per calcolare il resto della
divisione intera tra due numeri interi.
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Esercizi con liste
Per risolvere questi esercizi potete utilizzare
I List.hd: data una lista l ritorna la testa
I List.tl: data una lista l ritorna la coda
I List.nth: dati una lista l e un intero i ritorna li (i-esimo
elemento a partire da 0 !)
I List.length: data una lista ritorna la sua lunghezza.
Esercizi
I Scrivere una funzione per invertire una lista.
I Scrivere una funzione che verifichi se una lista è palindroma (il
dritto e il rovescio della lista sono uguali).
I Scrivere una funzione che calcoli il massimo di una lista.
I Scrivere una funzione che testi se una lista è monotona
crescente o descrescente.
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