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PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 gennaio 2015)
(C.d.L. Ing. Civile [L-Z] e C.d.L. Ing. Edile/Architettura ∼ Prof. A. Muracchini)
In un piano verticale Oxy, un disco D omogeneo (massa m, raggio r), rotola senza strisciare sull’asse Oy; al
suo centro A è incernierata un’asta AB omogenea (massa m, lunghezza l) al cui estremo B è incernierata una
seconda asta BD anch’essa omogenea (massa m, lunghezza l). Quest’ultima è vincolata a ruotare intorno al
proprio estremo D che giace sull’asse Ox (D≡ (r, 0) ; vedi figura).
Oltre alle forze peso, agisce sull’asta BD una coppia di momento costante M = M k (con M > 0 e k = vers
Oz).
Supposti i vincoli ideali e introdotto il parametro lagrangiano θ rappresentato in figura, si chiede:
1) Determinare, in funzione del momento M , le configurazioni di equilibrio discutendone, poi, la stabilità;
2) Determinare tutte le reazioni vincolari (esterne ed interne) nelle posizioni di equilibrio individuate nella
domanda precedente;
3) Rappresentare i vettori velocità angolare del disco, dell’asta AB e dell’asta BD;
4) Scrivere la funzione lagrangiana L del sistema.
y
A
C
B
M
D
o
z
k
r
θ
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (11 febbraio 2015)
In un piano verticale Oxy, rotola senza strisciare sull’asse orizzontale Ox un disco D omogeneo (massa
m, raggio R) al cui centro A è incernierata un’asta AB anch’essa omogenea (massa m, lunghezza R/2).
All’estremo B dell’asta agisce la forza elastica F = kBB0 , generata da una molla ideale che si mantiene
sempre orizzontale (vedi figura).
Supposti i vincoli ideali e introdotti i parametri lagrangiani ϕ e θ ( θ è l’ angolo tra la verticale e la direzione
AC0 solidale al disco e si supponga che C0 ≡O quando θ = 0), si chiede:
1) Determinare le posizioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità;
2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le posizioni di equilibrio e calcolare le reazioni
vincolari interne ed esterne;
3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto;
4) Scrivere le equazioni linearizzate del moto nell’ intorno della posizione di equilibrio stabile.
C0
R
θ A
R/2
B0
ϕ
B
O
C
y
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (18 aprile 2015)
In un piano verticale Oxy è mobile un’asta AB, rigida, omogenea, (lunghezza 2l, massa m) al cui estremo A
è saldato un punto materiale (massa m). Il punto medio M dell’asta è scorrevole, senza attrito, sul semiasse
positivo Oy ed è collegato all’origine O del sistema di riferimento mediante una molla ideale che esercita
una forza elastica F = −kOM (k > 0).
Supposti i vincoli ideali ed assunte come variabili lagrangiane y = yM e θ (vedi figura), si chiede:
1) Determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, discutendo la stabilità delle prime;
2) Ritrovare,usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio del sistema e calcolare
la reazione vincolare che si esercita, all’equilibrio, nel cursore M ;
3) Ottenere le equazioni di Lagrange del moto;
4) Scrivere ed integrare le equazioni delle piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio stabile.
Domanda facoltativa.
Supponendo che il piano in cui giace il sistema sia posto in rotazione, intorno all’asse fisso Oy, con velocità
angolare costante ω si chiede:
5) Rappresentare, usando il teorema di Galileo, la velocità assoluta del punto A.
i
O
x
j
y
A
M
θ
y
B
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (11 giugno 2015)
Il sistema in figura, mobile in un piano verticale Oxy è costituito di:
a) un’asta AB omogenea (massa m, lunghezza 2l) i cui estremi sono vincolati a scorrere sugli assi Ox e Oy;
b) un punto P (massa m) mobile lungo l’asse Oy e vincolato a mantenersi nel semipiano y ≥ −2l.
Oltre alle forze peso, agiscono tra l’estremo B dell’asta e il punto P le forze elastiche dovute all’azione di una
molla ideale di costante elastica k (> 0) (vedi figura). Inoltre, sui punti P e A agiscono forze di resistenza
viscosa FP = −hvP , FA = −hvA (h > 0), rispettivamente.
Introdotto il parametro adimensionale λ = mg/4kl (> 0) ed utilizzando le coordinate lagrangiane θ e y
rappresentate in figura si chiede:
1) Determinare, in funzione di λ, le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine esaminando la stabilità
di quelle ordinarie;
2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio già determinate nella
domanda precedente e calcolare le reazioni vincolari agenti sul sistema;
3) Rappresentare il momento della quantità di moto dell’asta rispetto al suo centro istantaneo di rotazione
e, poi, scrivere le equazioni cardinali pure della dinamica del sistema;
4) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto.
y
P
xxx
y
P
B
O
x
A
θ
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx y=-2l
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (14 luglio 2015)
Il sistema rappresentato in figura, posto in un piano verticale Oxy, è costituito di un semidisco omogeneo
(massa m, raggio R) il cui bordo semicircolare è vincolato a rotolare senza strisciare lungo l’asse Ox restandovi tangente e di un’asta AB anch’essa omogenea (massa m, lunghezza 2l) il cui estremo A è incernierato
al centro del disco. Oltre alle forze peso, è applicata all’estremo B dell’asta la forza costante F = f i (f > 0,
costante).
Supposti i vincoli ideali, introdotti i parametri lagrangiani θ, ϕ rappresentati in figura (si supponga che per
ϕ = 0 il punto C coincida con l’origine O) e posto λ = f /mg (> 0), si chiede:
1) Dopo avere rappresentato graficamente lo spazio delle configurazioni del sistema determinare, discutendole
in funzione del parametro λ, le configurazioni di equilibrio ordinarie esaminandone, poi, la stabilità;
2) Calcolare, all’equilibrio, le reazioni vincolari che si esercitano nei punti A e C;
3) Ritrovare, con le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio già individuate nella
domanda (1);
4) Supposto di fissare il parametro ϕ al valore ϕ = 0, ricavare l’equazione di Lagrange del moto del sistema
cosı̀ ottenuto.
y
A
B
ϕ
j
C
O
θ
i
F
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (10 settembre 2015)
In un semipiano verticale Oxy, un disco omogeneo D (massa m, raggio r) rotola senza strisciare su una
guida semicircolare di centro O e raggio r. Al suo centro G è applicata la forza elastica F = kGH che si
mantiene sempre verticale. Un punto P (massa m) è mobile, senza attrito, sul bordo del disco D.
Assunti come parametri lagrangiani gli angoli θ, ϕ rappresentati in figura, dopo avere preliminarmente
individuato il loro dominio, si chiede:
1) Determinare la velocità angolare del disco e rappresentare la velocità di trascinamento del punto P;
2) Determinare, discutendole in funzione del parametro λ = mg/kr (> 0), le configurazioni di equilibrio
ordinarie e di confine esaminando, poi, la stabilità delle prime;
3) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio (ordinarie) già
individuate nella domanda precedente;
4) Calcolare l’energia cinetica del sistema.
O
j
H
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
i
θ
r
r
G
ϕ
y
P

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