Esempi Modelli a singolo prodotto ea un livello (SCOL)

Corso di
Gestione dei sistemi di trasporto
Cap.5
Pianificazione strategica di reti logistiche:
problemi di localizzazione di nodi logistici
S. Sacone, S. Siri - DIST
Introduzione
Le decisioni di localizzazione (location) riguardano:
Î la tipologia, l’ubicazione, le dimensioni di nuovi nodi logistici;
Î la dismissione, lo spostamento, il ridimensionamento di eventuali
nodi logistici preesistenti.
L’obiettivo generalmente perseguito è la minimizzazione del costo
logistico totale, espresso dalla somma dei costi associati alle attività dei
nodi (ad esempio costi di produzione, di stoccaggio) e dei costi di trasporto
tra i nodi e dai nodi ai clienti.
I vincoli più comuni riguardano la dimensione massima dei nodi nei
diversi siti e il minimo livello di servizio assicurato ai clienti.
S. Sacone, S. Siri - DIST
2
Introduzione
Alcuni fattori che influenzano le decisioni di localizzazione di nodi logistici
sono:
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
Î
tipo di distribuzione
requisiti della produzione
domanda del mercato
requisiti degli ordini di acquisto
requisiti progettuali dei magazzini
centri di domanda
possibili siti di localizzazione
dimensioni magazzino
natura del bene da distribuire
livello di servizio richiesto dai clienti
costi operativi (produzione, inventario, trasporto,...)
S. Sacone, S. Siri - DIST
3
Introduzione
Alcuni fattori che influenzano la scelta relativa al numero di nodi
logistici sono:
Î order lead time: processamento dell’ordine, assemblaggio del
bene secondo le specifiche, spedizione del bene
Î domanda totale
Î area di rifornitura
Le decisioni di localizzazione sono inscindibili da quelle di allocazione
della domanda ai nodi, per questo si parla di problemi di
localizzazione/allocazione.
S. Sacone, S. Siri - DIST
4
Classificazione di problemi di localizzazione
Orizzonte di pianificazione
Î
Î
modelli monoperiodo: le decisioni sono attuate all’inizio dell’orizzonte di
pianificazione, sulla base dell’andamento previsto della domanda e dei
costi
modelli multiperiodo: l’orizzonte temporale è suddiviso in più periodi e
sono possibili modifiche alle decisioni all’inizio dei periodi considerati
Omogeneità dei flussi di materiali
Î
Î
modelli singolo-prodotto (single commodity): flusso omogeneo di
materiali nel sistema logistico
modelli multi-prodotto (multi-commodity): molteplicità di prodotti diversi
per costo o per natura
S. Sacone, S. Siri - DIST
5
Classificazione di problemi di localizzazione
Tipologia dei nodi logistici
Î
Î
modelli singolo-tipo: un solo tipo di nodo logistico da localizzare
modelli multitipo: localizzazione di nodi di due o più tipi
Livelli della rete logistica
Î
Î
modelli singolo-livello: si considerano solo i flussi di materiali tra
magazzini e clienti
modelli multi-livello: si considerano i flussi coinvolgenti più livelli, tra
impianti, magazzini e clienti
S. Sacone, S. Siri - DIST
6
Classificazione di problemi di localizzazione
Frazionabilità della domanda
Î
Î
modelli single-sourcing: la domanda di un cliente deve essere soddisfatta
da un unico nodo logistico
modelli multi-sourcing: il soddisfacimento della domanda può essere
ripartito tra due o più nodi logistici
Modalità di trasporto
Î
Î
modelli con trasporto a pieno carico: presuppone collegamenti diretti tra i
nodi logistici (situazione considerata nella maggior parte dei modelli)
modelli di trasporto non a pieno carico: i costi di trasporto sono
determinati dall’ordine con il quale i clienti vengono visitati e quindi
l’ubicazione ottimale dei centri di distribuzione dipende dalle rotte dei
veicoli
S. Sacone, S. Siri - DIST
7
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
I modelli di localizzazione a prodotto singolo e ad un livello (singlecommodity, one-level, SCOL) consentono di schematizzare problemi di
localizzazione in cui la porzione di rete di interesse è composta da nodi
logistici che riforniscono di un solo tipo di bene tutti gli altri nodi e nei
quali è trascurabile (o pressoché costante) il costo di trasporto dai nodi a
monte oppure verso i nodi a valle.
Supponendo di voler localizzare i magazzini e allocare i mercati ai
magazzini soddisfacendone la domanda, l’obiettivo perseguito consiste nel
minimizzare i costi di gestione dei centri di distribuzione e i costi di
trasporto da questi ai punti di domanda.
S. Sacone, S. Siri - DIST
8
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
Il problema può essere schematizzato tramite l’utilizzo di un grafo
bipartito orientato G(N, A) nel quale:
Îl’insieme
dei nodi N è suddiviso in due sottoinsiemi V1 e V2
Îi
nodi in V1 rappresentano i siti potenziali
Îi
nodi in V2 descrivono i punti di domanda
archi in A sono associati ai flussi di materiali tra i siti potenziali
e i punti di domanda e rappresentano le allocazioni sito-punto di
domanda ammissibili (per livello di servizio)
Îgli
S. Sacone, S. Siri - DIST
9
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
Rappresentazione su grafo bipartito del problema di localizzazione a un livello
S. Sacone, S. Siri - DIST
10
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
Definendo i parametri:
dj, j ∈ V2 : quantità richiesta dal punto di domanda j
qi, i ∈ V1 : capacità del sito i
cij, i ∈ V1, j ∈ V2 : costo corrispondente al trasporto di una quantità di
prodotto dal sito i al punto di domanda j
Fi, i ∈ V1 : costo del magazzino i (funzione della quantità prodotta)
e le variabili decisionali:
ui, i ∈ V1 : livello di attività del sito i (definisce la scelta di
localizzazione)
sij, i ∈ V1, j ∈ V2 : quantità di prodotto inviata dal sito i al punto di
domanda j (descrive la scelta di allocazione delle domande ai nodi
logistici)
S. Sacone, S. Siri - DIST
11
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
Nell’ipotesi che la domanda sia frazionabile (cioè il cliente può essere
servito da due o più centri), il problema SCOL può essere così formulato:
min ∑
∑ cij ( sij ) + ∑ Fi (ui )
i∈V1 j∈V2
i∈V1
subject to
∑ sij = ui , i ∈ V1
j∈V2
∑ sij = d j , j ∈ V2
i∈V1
∑ sij ≤ qi , i ∈ V1
j∈V2
sij ≥ 0, i ∈ V1, j ∈ V2
ui ≥ 0, i ∈ V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
12
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
Nel modello definito:
Î la funzione obiettivo è la somma dei costi di trasporto e dei costi
derivanti dal funzionamento dei nodi logistici
Î i vincoli (che definiscono la regione di ammissibilità della
soluzione del problema) servono rispettivamente a:
• esprimere l’uguaglianza tra il livello di attività del sito i ed il
volume dei beni trasportati a partire da esso
• esprimere la parità tra il volume dei beni trasportati al nodo j
e la sua domanda
• stabilire che il livello di attività realizzabile nel sito i non può
superare il corrispondente valore prestabilito di capacità
• stabilire che la quantità di prodotto inviata dal sito i al punto
di domanda j non è mai negativa
• stabilire che un sito i è sede di attività se e solo se la
corrispondente variabile è positiva
S. Sacone, S. Siri - DIST
13
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL)
Casi particolari del problema SCOL
Si assume che i costi unitari di trasporto siano indipendenti dalla quantità
trasportata e quindi:
cij ( sij ) = cˆij ⋅ sij , i ∈ V1, j ∈ V2
Per quanto riguarda i costi di esercizio , si considerano tre casi:
Î Costi lineari
Î Costi concavi
Î Costi lineari a tratti
S. Sacone, S. Siri - DIST
14
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti
Se la funzione Fi(ui) presenta per ogni nodo un termine di avviamento (setup) fi ed un costo marginale costante gi, risulta:
⎧ fi + gi ⋅ ui
Fi (ui ) = ⎨
⎩0
se ui > 0
se ui = 0
i ∈ V1
Inoltre assumendo gi trascurabile, si può sostituire la variabile continua ui
con una variabile decisionale di tipo binario yi, detta di attivazione, che
assume valore 1 se nel vertice i è aperto un impianto, 0 altrimenti. Quindi si
ha:
Fi (ui ) = fi ⋅ yi , i ∈ V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
15
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti
Il primo e il terzo vincolo del problema SCOL vengono così riformulati:
∑ sij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1
j∈V2
Inoltre nel caso in cui i nodi debbano essere in numero p prefissato, viene
introdotto il nuovo vincolo:
∑ yi = p
i∈V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
16
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti
Infine si indica con xij, i ∈ V1, j ∈ V2 la frazione della domanda dj del punto
di domanda j soddisfatta dal nodo i, tale che:
sij = d j ⋅ xij , i ∈ V1, j ∈ V2
ui = ∑ d j ⋅ xij , i ∈ V1
j∈V2
S. Sacone, S. Siri - DIST
17
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti
Il problema SCOL è quindi riformulabile nella seguente forma equivalente:
min ∑
∑ kij ⋅ xij + ∑ fi ⋅ yi
i∈V1 j∈V2
i∈V1
subject to
∑ xij = 1, j ∈ V2
i∈V1
∑ d j ⋅ xij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1
j∈V2
∑ yi = p
i∈V1
0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1, j ∈ V2
yi ∈ {0,1}, i ∈ V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
18
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti
Nel problema si è indicato con
kij = cˆij ⋅ d j , i ∈ V1, j ∈ V2
il costo di trasporto sostenuto qualora l’intera domanda del cliente sia
soddisfatta dal centro di distribuzione.
N.B.
Rilassando il terzo vincolo di questa seconda formulazione del
problema SCOL, si ottiene il modello di localizzazione di impianti con
vincoli di capacità (capacitated plant location, CPL); mentre
eliminando anche il secondo vincolo, si ottiene il modello di
localizzazione di impianti non capacitato (simple plant location, SPL)
S. Sacone, S. Siri - DIST
19
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Costi di esercizio lineari a tratti
In questo caso
⎧⎪ f + g ⋅ u
i i
Fi (ui ) = ⎨ i
⎪⎩0
se qi− ≤ ui ≤ qi+
altrimenti
i ∈ V1
Il nodo logistico i-esimo non è conveniente quando il suo livello di
_
attività è minore di un limite inferiore qi o maggiore di un limite
superiore qi+; per valori intermedi il costo cresce con andamento lineare.
Si introducono, inoltre, i seguenti vincoli di capacità al posto del
secondo vincolo nella seconda trattazione vista per il modello SCOL:
qi− ⋅ yi ≤ ∑ d j ⋅ xij ≤ qi+ ⋅ yi , i ∈ V
j∈V2
S. Sacone, S. Siri - DIST
20
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Costi di esercizio concavi e lineari a tratti
Il costo di esercizio di un nodo logistico è, in questo caso, una funzione
concava e lineare a tratti del suo livello di attività per la presenza di
economie di scala:
⎧
⎪ fi ″ + gi ″ ⋅ ui
se ui > ui′
⎪⎪
Fi (ui ) = ⎨ fi′ + gi′ ⋅ ui
se 0 < ui ≤ ui′ i ∈ V1
⎪
⎪0
se ui = 0
⎪⎩
dove, ovviamente fi’ < fi” e gi’ > gi”.
Si può modellare questo caso sostituendo ogni nodo logistico con tanti
nodi fittizi quanti sono i tratti lineari della funzione di costo. In questo
modo il problema è riconducibile al caso di costi di esercizio costanti
perché è dimostrabile che, in ogni soluzione ottima, al più uno dei nodi
fittizi risulta attivato.
S. Sacone, S. Siri - DIST
21
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Esempio di problema di localizzazione di un modello SCOL con costi di
trasporto lineari e costi di esercizio costanti
Il caso preso in esame riguarda un corriere espresso specializzato nel
trasporto rapido di piccoli colli sul territorio italiano.
L' impresa svolge la propria attività attraverso:
Î
un insieme di terminali, che sono aree attrezzate dove i colli in
partenza sono raccolti su bancali, classificati e avviati alla
distribuzione
Î un sottosistema di trazione che provvede al trasporto, generalmente
notturno, di carichi consolidati tra i terminali di origine e di
destinazione e a tale scopo utilizza degli autocarri con capacità
compresa tra 14 e 18 bancali
Î un sottosistema di distribuzione, che dispone di una flotta di furgoni
che, a partire dai terminali, provvedono al ritiro delle merci in
partenza e alla consegna delle merci in arrivo.
S. Sacone, S. Siri - DIST
22
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
L’impresa dispone di nove terminali ubicati nelle città di: Genova, Milano,
Ferrara, Bologna, Firenze, San Marino, Ancona, Perugia, Pescara.
Si vuole dimensionare il sistema di trazione in modo da avere due
terminali di interscambio (da cui far confluire le merci provenienti dagli
altri terminali dividendo il territorio in due zone) da localizzare "ex novo "
senza tenere conto della situazione di partenza.
Un’analisi preliminare dei costi ha inoltre stabilito di considerare solamente
i costi di trasporto da ciascun terminale al relativo centro di interscambio e
viceversa.
S. Sacone, S. Siri - DIST
23
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Il problema in termini di programmazione lineare può essere così formulato:
min ∑
∑ cij ⋅ xij
i∈V1 j∈V2
subject to
∑ xij = 1, j ∈ V2
i∈V1
∑ xij ≤ V2 ⋅ yi , i ∈ V1
j∈V2
∑ yi = 2
i∈V1
0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1 , j ∈ V2
yi ∈ {0,1}, i ∈ V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
24
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
dove
V1 = V2 è l’insieme dei terminali ;
yi è la variabile decisionale di attivazione dell’impianto i;
xij è la variabile reale rappresentante la frazione di allocazione della
domanda del mercato i all’impianto j;
Î cij = 2*0.55*Iij sono i costi di trasporto giornalieri (0.55 è il costo
chilometrico in euro e Iij corrisponde alla distanza chilometrica tra i
∈V1 e j ∈ V2)
Î
Î
Î
Soluzione con Lingo
S. Sacone, S. Siri - DIST
25
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Dall’analisi dei risultati si ottiene che la soluzione ottima prevede la
localizzazione dei due nuovi terminali di interscambio nelle città di Bologna
e Ancona.
Il costo complessivo di trasporto giornaliero che si ottiene dalla
minimizzazione è di 1024.10Euro.
A Bologna afferiranno i terminali delle seguenti città: Genova, Milano,
Ferrara, Bologna, Firenze, San Marino mentre il centro di interscambio di
Ancona sarà utilizzato dai terminali delle città di Ancona, Perugia e Pescara.
S. Sacone, S. Siri - DIST
26
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Se l’azienda avesse voluto localizzare ad esempio tre terminali di
interscambio anzichè due si sarebbe ottenuto, tramite la risoluzione in Lingo
(sostituendo il vincolo @sum(hub(i): y(i))=2 con @sum(hub(i): y(i))=3), il
seguente risultato:
Soluzione con Lingo
La soluzione ottima prevede la localizzazione dei tre nuovi terminali di
interscambio nelle città di Genova, Bologna e Ancona.
Il costo complessivo di trasporto giornaliero che si ottiene dalla
minimizzazione è di 671.00 Euro con un risparmio di 353.1 Euro rispetto
al caso precedente.
N.B. La scelta se attivare tre terminali piuttosto che due dipenderà dai costi di
attivazione degli impianti stessi che in questa analisi preliminare non sono stati
presi in esame.
S. Sacone, S. Siri - DIST
27
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Esempio di problema di localizzazione di impianti con vincoli di
capacità ( capacited plant location, CPL )
Il caso considerato riguarda un’azienda francese produttrice di bevande
analcoliche. L’impresa recentemente ha ottenuto un inaspettato incremento
delle proprie vendite a causa soprattutto dell’immissione sul mercato di una
nuova bevanda che ha riscontrato il favore dei giovani consumatori. Per tale
ragione i dirigenti stanno considerando l’opportunità di aprire un nuovo
impianto trasferendovi parte della produzione attualmente realizzata negli
altri stabilimenti.
Il processo produttivo è tale da rendere i costi di approvvigionamento
trascurabili rispetto a quelli di distribuzione del prodotto finito e i costi di
trasporto indipendenti dal tipo di prodotto. La direzione vuole quindi
stabilire quale\i impianto\i aprire.
S. Sacone, S. Siri - DIST
28
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
I dati a disposizione sono le distanze in chilometri tra i potenziali siti e i
punti di domanda, le domande dei distretti di vendita, i costi fissi di
attivazione e le capacità degli impianti. Il problema di localizzazione è:
min ∑
∑ cij ⋅ xij + ∑ f i ⋅ yi
i∈V1 j∈V2
i∈V1
subject to
∑ xij = 1, j ∈ V2
i∈V1
∑ d j ⋅ xij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1
j∈V2
0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1 , j ∈ V2
yi ∈ {0,1}, i ∈ V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
29
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
dove
ÎV1 = {Tolosa, Nizza, Marsiglia, Lione, Limoges, Digione, Parigi, Brest }
ÎV2 = { Tolosa, Nizza, Marsiglia, Lione, Grenoble, Limoges, Digione, Orleans,
Parigi, Lille, Nantes, Brest }
Îyi è la variabile decisionale di attivazione dell’impianto i;
Îxij è la variabile reale rappresentante la frazione di allocazione della domanda del
mercato i all’impianto j;
Îdj è la domanda annua del mercato j (vedi dati)
Îqi è la capacità annua dell’impianto i (vedi dati)
Îfi è il costo fisso dell’impianto i (vedi dati)
Îĉij è il costo unitario di trasporto da i a j, con ĉij = (2*0.5/150)*dsij dove dsij è la
distanza da i a j considerando che i veicoli viaggiano a pieno carico (150 hl) da i
a j e ritornano a i vuoti
Îcij = ĉij sij sono i costi di trasporto per rifornire il mercato j attraverso l’impianto i
(vedi dati)
Soluzione con Lingo
S. Sacone, S. Siri - DIST
30
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
La soluzione ottima prevede:
S. Sacone, S. Siri - DIST
31
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Frazione di allocazione domanda del mercato j all’impianto i
S. Sacone, S. Siri - DIST
32
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Inoltre
Siti produttivi da attivare
Tolosa
Nizza
Lione
Parigi
Brest
Distretti di vendita
Tolosa, Limoges
Nizza, Marsiglia
Lione, Grenoble, Digione
Parigi, Orleans, Lille
Nantes, Brest
Il costo logistico totale annuo risulta pari a 118.38 (milioni di euro).
S. Sacone, S. Siri - DIST
33
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Esempi di localizzazione con costi di esercizio concavi e lineari a tratti
Un’azienda commerciale specializzata nella distribuzione di alimenti
surgelati ha delegato ad una società di consulenza il compito di individuare
eventuali modifiche al suo
sistema logistico. Punto fondamentale
dell’analisi riguarda possibili riallocazioni dei centri di distribuzione.
Tramite un esame preliminare del problema si sono potuti individuare circa
30 siti dove è possibile aprire nuovi magazzini o trasferire magazzini
attualmente operanti; in un dato sito è generalmente possibile realizzare
diversi tipi di magazzini.
S. Sacone, S. Siri - DIST
34
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Si suppone di dover schematizzare la struttura dei costi di un magazzino
potenziale i.
I costi fissi sono imputabili prevalentemente:
all’affitto dei locali;
all’ammortamento dei macchinari;
all’assicurazione di locali e macchinari;
alla retribuzione del personale
e ammontano a circa 8000 Euro l’anno;
le spese variabili sono invece legate:
al mantenimento delle scorte;
alla movimentazione delle scorte.
S. Sacone, S. Siri - DIST
35
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Si stabilisce di stimare i costi variabili in base ai dati registrati in passato.
Domanda (Quintali/Anno)
1000
2500
3500
6000
8000
9000
9500
12000
13500
15000
16000
18000
S. Sacone, S. Siri - DIST
Costo variabile (Euro)
17579
56350
62208
76403
85941
90237
96251
109429
107355
122432
116816
124736
36
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
L’andamento dei costi variabili è dominato dai costi di stoccaggio che
crescono generalmente con la radice quadrata della domanda. Tale
andamento suggerisce di ricondursi al modello di costi di esercizio concavi e
lineari a tratti, dove :
fi’ = 82252 Euro /anno;
gi’ = 18,5 Euro /quintale;
fi’’= 134400 Euro /anno;
gi’’=4.1 Euro /quintale.
Inoltre, ogni magazzino potenziale i è rimpiazzato da due nodi fittizi i’ e i’’
con costi fissi pari a f ’ e f’’ , rispettivamente, e costi marginali pari a g’ e g’’ ,
rispettivamente.
S. Sacone, S. Siri - DIST
37
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
In una semplificazione del problema i siti potenziali sono stati ridotti a tre e
nello specifico: Bologna, Latina e Salerno, ciascuno di essi avente capacità
di 20000 quintali/anno ed i distretti di vendita sono stati aggregati in quattro
macromercati (Nord-Ovest, Nord-Est, Centro, Sud) rappresentati dalle città
di Torino, Vicenza, Roma e Napoli, rispettivamente.
Le domande annue ammontano a:
6200 quintali per Torino
6600 quintali per Vicenza
5800 quintali per Roma
4400 quintali per Napoli.
Il trasporto avviene tramite autocarri di portata q=10 quintali e costo pari a
0.5 Euro /km.
S. Sacone, S. Siri - DIST
38
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
La formalizzazione del problema è:
min ∑
∑ tij ⋅ xij + ∑ f i ⋅ yi
i∈V1 j∈V2
i∈V1
subject to
∑ xij = 1, j ∈ V2
i∈V1
∑ d j ⋅ xij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1
j∈V2
0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1 , j ∈ V2
yi ∈ {0,1}, i ∈ V1
S. Sacone, S. Siri - DIST
39
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
dove
ÎV1 = { Bologna1, Bologna2, Latina1, Latina2, Salerno1, Salerno2}
ÎBologna1 e Bologna 2 corrispondono ai due magazzini fittizi
potenzialmente attivabili nella città di Bologna con livello di attività,
rispettivamente, inferiore e non inferiore ai 3500 quintali/anno(lo stesso
dicasi per Latina1 e Latina2, Salerno1 e Salerno2 );
ÎV2 = { Torino, Vicenza, Roma, Napoli};
Îĉij è il costo unitario di trasporto da i a j, con ĉij = (2*0.5*dsij)/q dove dsij
è la distanza da i a j
Îcij = ĉij sij sono i costi di trasporto per rifornire il mercato j attraverso
l’impianto i
Îtij = cij +gi dj.
Soluzione con Lingo
S. Sacone, S. Siri - DIST
40
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
La soluzione ottima prevede un costo di 764840 Euro all’anno e
l’attivazione di due magazzini nelle città di Bologna e Latina (nei siti fittizi
di Bologna2 e Latina2), con livello di attività pari , rispettivamente, a 12800
quintali/anno e 10200 quintali/anno.
I distretti di vendita corrispondenti alle città di Torino e Vicenza sono serviti
dalla città di Bologna, mentre quelli relativi alle città di Roma e Napoli sono
serviti dal magazzino di Latina.
S. Sacone, S. Siri - DIST
41
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
Mentre nei modelli trattati finora l’obiettivo primario era il contenimento del
costo logistico totale, nella pianificazione di diversi servizi pubblici (per
esempio i servizi di trasporto feriti, antincendio, ecc.) assume maggiore
importanza il livello di servizio, ossia l’erogazione di un trattamento
adeguato per tutti gli utenti.
Un tipico esempio è il modello di localizzazione fondato sul concetto di
copertura (modello di location- covering )
S. Sacone, S. Siri - DIST
42
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
Modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura
In questo modello si ipotizza che un utente sia servito adeguatamente
soltanto se esso è situato entro una distanza temporale massima prestabilita
dal nodo logistico più vicino.
Il problema può essere schematizzato con questa formulazione:
min ∑ f i ⋅ yi + ∑ p j ⋅ z j
i∈V1
j∈V2
subject to
∑ aij ⋅ yi + z j ≥ 1, j ∈ V2
i∈V1
yi ∈ {0,1}, i ∈ V1
z j ∈ {0,1}, j ∈ V2
S. Sacone, S. Siri - DIST
43
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
Modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura
dove:
Î i vertici in V1 rappresentano i siti potenziali
Î i vertici in V2 descrivono i clienti
Î ogni coppia (i,j) ∈ E indica il collegamento a minimo tempo di
percorrenza tij tra i nodi i e j
Î fi , i ∈ V1 è il costo di attivazione del nodo logistico i
Î pj, j ∈ V2 è la penalità al mancato servizio del cliente j
Î aij, i ∈ V1, j ∈ V2 è una costante binaria pari a 1 se tij ≤T (e quindi il nodo
logistico i è in grado di servire il cliente j) e 0 altrimenti
Î T è un tempo massimo fissato dall’utente
Î yi , i ∈ V1 è la variabile decisionale di tipo binario, avente valore pari a 1
se un nodo logistico è ubicato nel sito i e 0 altrimenti
Î zj, j ∈ V2 è la variabile decisionale di tipo binario avente valore pari a 1 se
il cliente j non è servito e 0 altrimenti
S. Sacone, S. Siri - DIST
44
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
Modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura
Inoltre:
Î
la funzione obiettivo consiste nella minimizzazione della somma dei
costi di attivazione dei nodi logistici aperti e delle penalità
corrispondenti al mancato servizio di taluni clienti
Î
il primo vincolo impone che, per ogni j ∈ V2, zj sia pari a 1 se i nodi
logistici aperti non coprono il cliente j ovvero se
∑ aij ⋅ yi = 0
S. Sacone, S. Siri - DIST
45
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
problema di set-covering
Il modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura è
riconducibile alla ricerca della copertura a costo minimo di un insieme
(problema di Set-Covering).
Se sono verificate le seguenti condizioni:
Î tutti i clienti devono essere serviti (le penalità pj, j ∈ V2, sono
sufficientemente elevate) e quindi le variabili zj, j ∈ V2, possono
essere poste uguali a zero
Î i costi di attivazione fi, i ∈ V1 sono uguali per tutti i siti potenziali
è conveniente modificare il modello in modo che l’obiettivo diventi
determinare, tra tutte le soluzioni con il minimo numero di nodi logistici
attivati, quella a cui corrisponde il minimo valore del tempo complessivo di
trasferimento.
S. Sacone, S. Siri - DIST
46
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
problema di set-covering
Si ottiene la seguente formulazione:
min ∑ M ⋅ yi + ∑
i∈V1
∑ tij ⋅ xij
i∈V1 j∈V2
subject to
∑ aij ⋅ xij ≥ 1,
i∈V1
∑ xij ≤ V2 ⋅ yi ,
j∈V2
yi ∈ {0,1},
xij ∈ {0,1},
S. Sacone, S. Siri - DIST
j ∈ V2
i ∈ V1
i ∈ V1
i ∈ V1, j ∈ V2
47
Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici
problema di set-covering
dove:
Î
M è una costante arbitrariamente grande, per cui, in corrispondenza
del valore ottimale, si ha comunque che il numero dei siti attivabili
è pari al minimo
i ∈ V1, j ∈ V2 è una variabile decisionale di tipo binario con
valore pari a 1 se il cliente j è servito dal nodo logistico i e 0
altrimenti
Î xij,
Î
i primi due vincoli servono rispettivamente a garantire la copertura
di tutti i clienti e ad assicurare che qualora il nodo i non sia attivato,
e quindi yi = 0, nessun cliente j possa essere servito da tale nodo.
S. Sacone, S. Siri - DIST
48
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Esempio di modello fondato sul concetto di copertura
Il modello implementato è la localizzazione dei punti di erogazione di un
servizio di autoambulanze i cui requisiti principali sono rapidità di
intervento e capacità di servire tutto il territorio.
Situazione territoriale ipotizzata :
Î
presenza di un comune il cui territorio non comprende grandi
centri abitati, ed è composto da nove frazioni suddivise in tre
classi di importanza in base alla popolazione;
Î
le tre frazioni più grandi sono candidate a essere sede del servizio.
S. Sacone, S. Siri - DIST
49
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Dati a disposizione:
Î
tempi medi di percorrenza in minuti da un nodo all’altro (vedi
dati);
Î
penalità per il mancato servizio nelle varie frazioni, per definirla si
è attribuito un diverso peso ai vari centri, in base alla classe di
importanza, pari a 30 per i principali, 20 per quelli intermedi, 10
per quelli minori;
Î
valori del parametro a(i,j)
Obiettivo:
Si vuole minimizzare la somma dei costi di attivazione dei nodi e dei costi
legati al mancato servizio di una o più frazioni.
S. Sacone, S. Siri - DIST
50
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Soluzione con Lingo
Si ottiene come risultato l’attivazione dei siti S1 e S3 con un costo
logistico di 20.00 (in migliaia) di euro e inoltre il servizio viene
erogato a tutti i clienti infatti i valori di z al variare di j sono sempre
uguali a zero)
S. Sacone, S. Siri - DIST
51
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Esempio di problema di set-covering
Nella regione inglese della Cornovaglia un consorzio composto da 8
comuni ha deciso di potenziare il proprio servizio antincendio. Per fare ciò
si è stabilito che:
Î
ciascun centro della comunità dovrà essere situato a non più di 15
km dalla più vicina stazione dei vigili del fuoco;
Î
ciascuna stazione dei vigili del fuoco, dovendo assicurare solo un
primo intervento, avrà a disposizione un unico veicolo.
Il costo annuo di una stazione, comprensivo delle spese del personale, è di
123000 euro. La velocità media di spostamento è ipotizzata pari a 90 km/h
per ogni strada.
S. Sacone, S. Siri - DIST
52
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Per determinare il numero e la dislocazione ottimale delle
postazioni, dal momento che tutti i comuni devono essere serviti, si può
ricorrere al seguente modello di copertura:
min ∑ M ⋅ yi + ∑
i∈V1
∑ tij ⋅ xij
i∈V1 j∈V2
subject to
∑ aij ⋅ xij ≥ 1,
j ∈ V2
i∈V1
∑ xij ≤ V2 ⋅ yi ,
j∈V2
yi ∈ {0,1},
xij ∈ {0,1},
i ∈ V1
i ∈ V1
i ∈ V1, j ∈ V2
S. Sacone, S. Siri - DIST
53
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
dove:
Î
V1 = V2 è l’insieme dei comuni del consorzio;
i ∈V1 , j ∈ V2 sono le distanze temporali in minuti tra i comuni
del consorzio (vedi dati);
Î tij,
Î
aij, i ∈V1 , j ∈ V2 sono i coefficienti che si ottengono imponendo
aij =1 se tij ≤ 10 minuti, aij=0 altrimenti; dove 10 minuti è il tempo
medio impiegato per percorrere 15 km alla velocità di 90 km\h.
S. Sacone, S. Siri - DIST
54
Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL):
Esempi
Soluzione con Lingo
Il numero delle stazioni dei vigili del fuoco da attivare è pari a due, da
ubicare nelle città di Sennen Cove e Zennor.
Le stazioni servono i comuni del consorzio secondo la seguente
modalità:
Î
la stazione dei vigili del fuoco della città di Sennen Cove
servirà gli utenti delle città di Sennen Cove stessa, Porth
Curno, Trevilley e Bottalack;
Î
la postazione di Treen risponderà alle chiamate delle città di
Morvah, Treen, Zennor e St. Ives.
S. Sacone, S. Siri - DIST
55