i calcoli percentuali

I CALCOLI PERCENTUALI
(Questo argomento lo trovate, se volete, anche sul libro di testo di prima alle pagine da 2 a 17 . Se vi risulta più chiaro come là queste
cose sono trattate, mi sta benissimo che vi prepariate sul libro: l’importante è che le capiate e siate in grado di risolvere i problemi).
1) La percentuale.
Sono certo tu sia in grado di dare l’esatto significato alla frase “in una scuola sono stati
bocciati sessanta alunni su duecentoquaranta”: leggendola capisci che in quella scuola
c’erano 240 studenti e che 60 di questi sono stati bocciati.
Se è così, se cioè ti viene naturale dare questo senso a quella frase, allora hai già capito le
percentuali. Perché “ 60 su 240” è già una percentuale. Infatti, stampatelo bene nella mente,
.
la percentuale è un rapporto (cioè una divisione)
.
e
qualsiasi rapporto può essere espresso come percentuale.
Nell’esempio, la divisione 60 ÷ 240 o, se preferisci,
60
-----------------
[che, non per niente, si scrive mettendo
240
il 60 sopra il 240 “sessanta (bocciati) su duecentoquaranta (alunni)”]
significa 0,25 (se hai dei dubbi
prova a digitare sulla calcolatrice 60 ÷ 240 e otterrai 0,25), numero che, come dovresti già sapere, puoi
anche leggere “25 centesimi” o “25 ÷ 100” o “25 / 100”. L’unica cosa nuova che devi imparare
adesso è che il numero “0,25” (oltre a poter essere scritto anche “25 centesimi” e “25 ÷ 100” e “25 / 100”) lo si
può scrivere anche 25% e leggerlo “venticinque per cento”. Ma, stampatelo bene nella mente,
25% significa 0,25 (o, se preferisci, 25 centesimi o 25 ÷ 100 o 25 / 100) ,
infatti la frase da cui siamo partiti (“in quella scuola sono stati bocciati 60 alunni su 240”) poteva anche
essere scritta cosi: “in quella scuola sono stati bocciati i 25 centesimi degli studenti” .
Per una diabolica congiura organizzata allo scopo di bocciare più studenti, in Italia c’è
l’abitudine di leggere il dato “25%” come “25 per cento” e non, come sarebbe logico e corretto,
“25 centesimi” o “25 diviso cento”.
In realtà la forma diffusissima “25 per cento” con cui si legge il dato “25%” ha il significato
di “25 per ogni cento” (nell’esempio: 25 bocciati per ogni 100 studenti), ma voi dovete sempre
tenere ben presente che il significato corretto di 25% è “25 su cento” o anche “25 diviso cento” o
“25 centesimi” o, se proprio volete, “25 per ogni cento” , ma mai dovete commettere la
mostruosità di pensare che 25% centri qualcosa con l’operazione 25 x 100.
Gli studenti di lingua inglese [altre lingue non ne conosco, provate voi a chiedere a chi parla lingue
diverse come si esprime la moltiplicazione (ad esempio “30 x 2”) e come la percentuale (“30%”)] sono più fortunati
di voi perché nella loro lingua il simbolo della percentuale si legge sì “per”, come in italiano, (10%
loro lo leggono “ten per cent”), ma il simbolo della moltiplicazione NON lo leggono con la stessa
parola “per”, ma in modo totalmente diverso: loro 4 x 2 lo leggono “four times two” o anche “four
by two”, e così lo studente non ha difficoltà a mettersi in testa che la percentuale è una divisione e
non una moltiplicazione.
1
2) A cosa servono le percentuali.
Partiamo con un altro esempio: in una verifica in cui occorreva fare 32 calcoli, 20 alunni di
una classe hanno fatto in tutto 288 errori. Poiché complessivamente i calcoli da fare erano 640 (32 x 20
= 640), si può quindi dire che “gli studenti hanno sbagliato 288 calcoli su 640”.
Trasformando l’italiano in linguaggio matematico, lo stesso concetto si esprime con una
frazione, cioè con una divisione o un rapporto, termini che, come già sai, sono tutti sinonimi (= parole
che hanno tutte lo stesso significato):
288
640
Dire “288 errori su 640 calcoli” dà un’informazione corretta e precisa, questo è vero, ma se
vogliamo dare con maggiore evidenza l’idea del rapporto fra gli errori e il totale dei calcoli, se
vogliamo cioè segnalare con più immediatezza la frequenza degli errori, allora piuttosto che
riportare la frazione dicendo “288 su 640” o “288 seicentoquarantesimi” è meglio indicare il suo
valore, cioè indicare il risultato del “rapporto”.
Insomma, invece che dire “288 / 640” troviamo il risultato della divisione (288 : 640 = 0,45) e poi
lo esprimiamo non in unità (0,45 unità) ma in centesimi, dicendo 45 centesimi.
Per abitudine ormai antica, il valore del rapporto è espresso con questa grafica: 45% , forma il
cui significato, come abbiamo visto più volte, è “45 centesimi” o “45 diviso 100” o “45 su 100” .
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Se hai compreso quanto scritto fino qui, sei ora in grado di capire questa definizione:
La percentuale è uno strumento matematico che descrive la grandezza di una quantità rispetto a un'altra
e anche quest’altra, ancor più precisa (non ti impongo di impararla a memoria, pretendo però che
tu la legga con attenzione e ti sforzi di comprenderla:
La percentuale è la rappresentazione del rapporto tra due quantità (a e b), in cui una (a)
viene espressa in centesimi (centesime parti) dell'altra (b); operativamente la percentuale si
ottiene moltiplicando per 100 il quoziente (a /b) della divisione tra le due quantità.
La risposta alla domanda “a cosa servono le percentuali” è quindi:
le percentuali servono per esprimere in modo più semplice e immediatamente
comprensibile l’idea del rapporto esistente fra due grandezze.
Infatti, dire “gli studenti hanno sbagliato il 45% dei calcoli” informa meglio (meglio nel senso
di più efficacemente, non di più esattamente) sulle capacità di calcolo di quella classe che dire “gli studenti
hanno sbagliato 288 calcoli su 640”, anche se il significato delle due frasi è assolutamente lo
stesso; oppure, invece che dire: “nella scuola 132 studenti su 480 hanno l’insufficienza in economia
aziendale” si può esprimere lo stesso concetto dicendo; “il 27,5% degli studenti non ha la sufficienza”,
essendo il rapporto 132 ÷ 480 uguale a 0,275, numero che, espresso in centesimi, equivale a 27,5% .
Spesso le due grandezze di cui si segnala il rapporto sono una parte rispetto al suo intero (è il
caso di entrambi gli esempi fatti: i bocciati sono una parte dell’intera classe e i calcoli sbagliati sono una parte di tutti i
calcoli della verifica); quando è così, la percentuale non può ovviamente mai essere superiore al 100%
(la parte non può essere più grande dell’intero, i bocciati non possono essere più degli studenti).
Capita non di rado, però, di esprimere il rapporto fra due grandezze che non sono l’una un
“sottoinsieme” dell’altra: se, ad esempio, voglio dare l’idea di quanto guadagna un cassiere di
banca tedesco rispetto a un suo collega italiano e so che il tedesco guadagna 2.730 € al mese
mentre lo stipendio dell’italiano è 1.780 €, allora metto in rapporto le due grandezze (cioè divido l’una
per l’altra facendo 2.730 ÷ 1.780) ed esprimo il risultato (1,53 circa) non in unità ma in centesimi dicendo
che lo stipendio di un cassiere tedesco è il 153% (153 centesimi) di quello di un cassiere italiano, e
il significato è che per ogni 100 euro guadagnati dal cassiere italiano quello tedesco ne guadagna
153 (o, ed è la stessa cosa, per ogni euro dell’italiano il cassiere tedesco ne guadagna 1,53)
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3) La variazione percentuale.
3.1) L’aumento percentuale.
Zoe aveva, a inizio anno, 130,00 € di risparmi nel salvadanaio; ora ne ha 221,00. Di quanto
sono aumentati i suoi risparmi? Sono convinto che tu sappia rispondere correttamente facendo la
sottrazione 221 – 130 (Ris. 91,00 €).
Come però ho già scritto nel paragrafo precedente, se vogliamo dare un’idea più chiara e
immediata di come sono aumentati i risparmi di Zoe rispetto a prima, allora esprimiamo il dato in
termini percentuali, cioè segnaliamo di quanti euro sono aumentati per ogni 100 euro iniziali.
Per fare ciò, l’abbiamo già imparato, dividiamo l’aumento (91 €) per il valore iniziale (130 €),
e il risultato (0,7) lo esprimiamo non in unità (0,7) bensì (= ma) in centesimi dicendo 70 centesimi o,
più abitualmente, settanta per cento (70%).
Ecco allora che la risposta alla domanda “di quanto sono aumentati, in percentuale, i risparmi di
Zoe dall’inizio dell’anno?” è “i risparmi di Zoe sono aumentati, da inizio anno, del 70%”, con
questo intendendo dire che i risparmi di Zoe sono aumentati di 70 € per ogni 100 € che aveva prima
dell’aumento (o, ed è la stessa cosa, di 70 centesimi per ogni euro che aveva).
Se Zoe avesse oggi 338,00 € (e non solo i 221 € dell’esempio di prima), la risposta sarebbe: “i
risparmi di Zoe sono aumentati, da inizio anno, del 160%”. Infatti: l’aumento in euro (o, come si
dice, l’aumento “in cifra assoluta”) diventerebbe ora pari a 208 (338 – 130) e il rapporto fra l’aumento e il
valore di partenza sarebbe 1,6 (208 / 130 = 1,6); poiché 1,6 unità equivalgono a 160 centesimi, allora il
risultato nella forma percentuale viene espresso così: “160%”.
Con l’esempio precedente constatiamo (= verifichiamo, ci rendiamo conto) di nuovo che i dati
percentuali possono anche essere superiori al 100%. Certamente non è così (e quindi il dato non può
superare il 100%) quando le due grandezze che si rapportano sono l’una una parte dell’altra: i rimandati
in economia, per quanto possa essere fetente e carogna l’insegnante, non potranno mai superare il
100% degli alunni; ma quando le due grandezze che si mettono in rapporto fra loro non sono una un
“sottoinsieme” dell’altra allora sono normali anche dati superiori al 100%.
Ad esempio, gli abitanti in Italia (60.700.000) sono il 134% dei residenti in Ucraina (45.300.000),
oppure, considerando che gli abitanti della Cina sono 1.350.000.000, possiamo dire che i cinesi
sono il 2.224% (duemiladuecentoventiquattro per cento) degli italiani; (infatti: 1.350.000.000 / 60.700.000 =
22,24 e 22,24 espresso in centesimi è 2.224). Così come il primo dato ci diceva che ci sono 134 italiani su
100 ucraini (134 italiani per ogni 100 ucraini), il secondo ci avverte che ci sono 2.224 cinesi per ogni 100
italiani, e in questo modo ci dà un’idea più immediata, evidente e chiara di quanti siano più
numerosi i cinesi degli italiani.
3.2) La diminuzione percentuale.
Ora vediamo quest’altro esempio, che ti serve anche per abituarti ai numeri grandi: Unicredit
è la banca italiana più grande (capirai più avanti cosa è una banca, ma ai fini dell’esempio non è necessario che tu
abbia le idee chiare in proposito); nel marzo 2011 per comprare l’Unicredit (per diventare proprietario del
100% delle “azioni” Unicredit, e anche questa parentesi la capirete più avanti) occorrevano circa 37.000.000.000
di € (37 miliardi, o anche 37.000 milioni di euro, e se hai dei dubbi torna al volo alla prima pagina di “Aritmetica e
equazioni”). Sei mesi dopo, in settembre 2011, bastavano circa 12.950.000.000 di € (12 miliardi e 950
milioni, o anche 12.950 milioni). Di quanto diminuì, in percentuale, in quei sei mesi il valore della banca
Unicredit?
Come visto prima nel caso della ricerca dell’aumento percentuale, anche nel caso della
diminuzione percentuale dobbiamo per prima cosa trovare la variazione assoluta, cioè calcolare di
quanti euro è diminuito il valore dell’Unicredit: (37.000.000.000 – 12.950.000.000 =) 24.050.000.000 (*),
3
e poi mettiamo in rapporto (dividiamo) la variazione con il valore originario (24.050.000.000 ÷
37.000.000.000) = 0,65 e esprimiamo questo risultato non in unità ma in centesimi, dicendo che il
valore di quella banca è diminuito del 65% .
Vediamo ora un altro esempio: nel 2007 il reddito medio degli abitanti in Italia (o, come si dice
era di circa 30.500 € l’anno; oggi, nel 2014, a
causa della crisi economica, è sceso, a parità di prezzi, a circa 26.700 € l’anno (**). Quale è stata la
variazione percentuale?
spesso e in modo meno chiaro, il P.I.L. pro capite in Italia)
Seguiamo il solito percorso: troviamo la diminuzione “assoluta” del reddito medio in Italia
tra il 2007 e il 2014 (30.500 – 26.700 = 3.800 € l’anno); rapportiamo la variazione al valore iniziale
(3.800 ÷ 30.500 = 0,125) ed esprimiamo il risultato, invece che in unità, in centesimi scrivendo 12,5% .
Così facendo, chi legge coglie più facilmente la misura della diminuzione: a causa della crisi
economica iniziata sette anni fa, in media ogni abitante in Italia ha perso 12,5 € di reddito per ogni
100 € che guadagnava sette anni fa, prima della crisi economica.
(*) Quando dovete fare dei calcoli con numeri talmente grandi da non poter essere scritti nella calcolatrice,
avete due strade:
1.
dividete tutti i numeri presenti nel calcolo per uno stesso importo tondo (ad esempio per 1.000.000.000 o 1.000.000
o per
1.000, ed è opportuno che il divisore sia un numero “tondo” per poter effettuare la divisione semplicemente spostando la virgola di qualche posto ),
poi
eseguite i calcoli con i numeri così ridotti e infine, arrivati al risultato, lo moltiplicate per l’importo
utilizzato prima per ridurre i numeri; nell’esempio del testo se dividiamo per un milione (cioè spostiamo la virgola di 6
posti) la sottrazione diventa: 37.000 – 12.950 = 24.050 e il numero così trovato (24.050) lo moltiplichiamo per
1.000.000 arrivando al risultato corretto di 24.050.000.000;
una calcolatrice dotata di “notazione scientifica” (vedi sempre le prime due pagine di “ Aritmetica e equazioni”) e poi
non dovete spaventarvi alla vista di numeri espressi in questo modo:
3,7 * 1010 – 1,1295 * 1010 = 2,405 * 1010 , in quanto la calcolatrice sta semplicemente scrivendo il numero 37
miliardi come 3,7 moltiplicato per 10 miliardi (1010 è 1 seguito da 10 zeri, cioè 10 miliardi). In pratica la calcolatrice con
notazione scientifica fa la stessa cosa che fate voi seguendo la strada 1. : è come se dividesse i numeri per il
valore tondo 10 miliardi, anche se poi lascia il risultato nella forma “strana” della notazione scientifica. Lo
studente attento, però, capisce che 2,405 * 1010 lo si può trasformare nella forma “normale” spostando la
virgola di dieci posizioni, e quindi in 24.050.000.000 .
2. utilizzate
(**) Il dato del reddito annuo medio dei residenti in Italia (che sostanzialmente coincide con il cosiddetto “PIL pro-capite) è
ottenuto dividendo il reddito annuo complessivo degli italiani (più o meno il cosiddetto PIL – “Prodotto Interno Lordo” – italiano)
per il numero degli abitanti in Italia in quell’anno. Non stupirti se leggi che in media quest’anno ogni
italiano ha un reddito annuo così (apparentemente) alto, superiore a 25.000 € (e quindi una famiglia di quattro
persone oltre 100.000 €): il reddito di cui si tiene conto, infatti, non è quello “disponibile”, cioè spendibile, dalla
famiglia; ad esso si aggiunge anche la parte del reddito (pari a circa altrettanto, cioè circa il 100% del reddito spendibile)
prodotto dai cittadini ma che essi non possono spendere come vogliono perché viene loro tolto dallo stato
(detto meglio: dalla pubblica amministrazione) che poi in cambio offre i servizi pubblici gratuiti (o a prezzi più bassi del costo che
[come l’istruzione (con le scuole e le università pubbliche ecc.), la sanità (con ospedali, medici delle A.S.L. ecc.), l’ordine
pubblico e la sicurezza (con polizia, carabinieri, vigili del fuoco, vigili urbani, esercito, marina ecc.), la giustizia (con magistrati, tribunali, carceri
ecc.), le strade, le pensioni, i cimiteri ecc. ecc.]
sopporta per produrli)
I dati degli anni 2007 e 2014 li trovi qui sotto, per gli altri anni puoi sfruttare la stessa fonte, cioè l’ISTAT;
il link da cui accedervi più rapidamente è: http://dati.istat.it/Index.aspx?DataSetCode=DCCN_PILPRODQ&Lang=#
2007
2014
a
P.I.L. italiano
( in € 2014 )
1.718.000.000.000
1.568.000.000.000
b
abitanti
58.224.000
60.783.000
c
P.I.L. procapite ( a / b )
29.507 €
25.797 €
d
differenza assoluta
(a – b)
– 3.710 €
Differenza
percentuale
(d / a)
– 0,1257 → – 12,57%
4
3.3) Un aumento dell’X% non compensa una diminuzione dell’X%.
Nell’estate del 2008 il prezzo del petrolio era circa 140 $ al barile; pochi mesi dopo, in
ottobre, il prezzo precipitò a circa 70 $ al barile. La diminuzione assoluta fu perciò di 70 $ ( 140 – 70)
e la variazione percentuale fu del 50% (70 / 140 = 0,5 e ½ equivale a 50 centesimi o 50%). Come potete
constatare, una diminuzione del 50% significa il dimezzamento del valore iniziale.
Dopo il crollo subito fra l’estate e l’autunno, il prezzo del petrolio cominciò a risalire
registrando, all’inizio del 2011, un aumento del 60% (rispetto ai 70 € di ottobre 2008).
Chi non ha dimestichezza con le percentuali (= chi non le usa abitualmente) in genere pensa che se,
come nell’esempio, una grandezza prima diminuisce del 50% e poi aumenta del 60%, alla fine è
maggiore di quanto era all’inizio. Invece non è così.
Torniamo all’esempio del petrolio: abbiamo visto che il suo prezzo iniziale (dell’estate 2008)
di 140 € diminuì del 50% portandosi così a 70 € (la metà di prima); ora vedremo come il successivo
aumento del 60% non fu in realtà sufficiente a riportarlo al valore iniziale (e tanto meno, quindi, a valori
superiori a 140 $): l’aumento del 60% c’è effettivamente stato, ma deve essere applicato al prezzo di
70 €, e non a quello iniziale di 140.
Questo significa che dopo essersi dimezzato scendendo a 70 $ al barile, se il prezzo è
aumentato del 60% (di 70 $) vuol dire che è aumentato di 42 $ (70 x 60%, cioè 70 x 0,6) e quindi ha
raggiunto i 112 $ (70 + 42) e non è certamente tornato ai precedenti 140 (né tanto meno li ha superati).
Per poter tornare a 140 $ al barile, il prezzo di 70 $ doveva raddoppiare, vale a dire che
doveva aumentare del 100% (avrebbe dovuto aumentare di 100 € per ogni 100 € di prezzo precedente).
Questo capita perché la diminuzione percentuale la si calcola in rapporto al valore iniziale
(che è maggiore), mentre il successivo aumento percentuale si applica a un valore che è diventato minore.
Se avessi fatto un esempio con una diminuzione ancora più forte del dimezzamento (più
elevata, cioè, del 50%), l’effetto sarebbe risultato ancor più evidente: se un valore si riduce, ad esempio,
del 95% (come, tornando a un caso precedente, è capitato negli ultimi quattro anni al prezzo di qualche banca)
significa che si riduce a un ventesimo (100 – 95 = 5 e 5 è un ventesimo di 100), e una volta arrivato così
in basso (5 €) per tornare a dove era prima (100 €) dovrà riguadagnare i 95 € persi, ma 95 su 5 (95 ÷
5) è il 1.900%.
Riprendiamo, infine, un altro esempio precedente, quello del reddito annuo medio degli
italiani che si è ridotto, tra il 2007 e il 2014, circa del 12,5% (passando da 30.500 a 26.700 €): per tornare
ai valori iniziali (per tornare cioè a 30.500 € l’anno) il reddito dovrà aumentare non del 12,5% bensì di un
po’ di più, circa del 14,34% (i 3.800 € necessari per riconquistare la posizione di partenza (30.500) sono, rispetto
ai 26.700 da cui occorre risalire, il: 3.800 ÷ 26.700 = 0,14232 e cioè il 14,232% )
Per lo stesso motivo, mentre la diminuzione percentuale non può essere superiore al 100%
(se una grandezza diminuisce del 100% si annulla e di una qualunque cosa non può esserci meno di niente) (*),
l’aumento percentuale non ha limiti: pensiamo ad esempio ai canguri che dal momento in cui
nascono a quando sono adulti vedono il loro peso aumentare da circa 2 grammi a circa 100 kg ( cioè
100.000 grammi), e quindi l’aumento percentuale del loro peso negli anni successivi alla nascita è pari
al 4.999.900% (l’aumento assoluto è di 99.998 grammi (100.000 – 2); il rapporto fra l’aumento e il valore iniziale è:
(99.998 ÷ 2) = 49.999 che, espresso non in unità ma in centesimi è quindi 4.999.900%.
(*) In realtà quanto scritto non vale in tutti i casi in cui una grandezza può assumere valori negativi, come ad esempio la
ricchezza: prima di Natale avevo 25.000 € in contanti, non avevo alcun altro bene né avevo debiti: il mio patrimonio
netto era quindi pari a 25.000 €. Tra Natale e capodanno ho chiesto e ottenuto dalla banca un mutuo (= un prestito) di
50.000 € e così, dopo aver comprato per 70.000 € una piccola casa in campagna, il 31 dicembre avevo 5.000 € in
contanti (i 25.000 di prima meno i 20.000 usati per comprare la casa), un appartamento da 70.000 € e 50.000 € di debiti: il mio
patrimonio netto era quindi ancora quello di prima, cioè 25.000 € (5.000 + 70.000 – 50.000 = 25.000). A mezzanotte dell’ultimo
dell’anno, mentre festeggiavo in campagna e tutti mi facevano gli auguri per un 2015 migliore, un petardo difettoso è
esploso in casa facendo scoppiare la bombola del gas. Ora ho 4.500 € in contanti (500 li avevo spesi per petardi e
spumante), una casa che vale solo 30.000 € perché semidistrutta e i 50.000 € di debiti di prima: il mio patrimonio netto,
quindi, ora è – 15.500 € (4.500 + 30.000 – 50.000), e quindi durante le vacanze è diminuito di 40.500 € [25.000 – (– 15.500)], e una
diminuzione di 40.500 rispetto al valore iniziale di 25.000 è una diminuzione del 162% (40.500 / 25.000 = 1,62 → 162%)
5
Esercizi:
In un acquario ci sono 40 pesci. Un quarto di essi sono blu. Quanti sono i pesci blu nell’acquario?
Soluzione: 40 x 1/4 = 10 (numero di pesci blu nell’acquario).
Poiché 1/4 è uguale a 25 centesimi (25/100 o 0,25) il testo può anche essere scritto così:
“In un acquario ci sono 40 pesci. I 25 centesimi dei pesci nell’acquario è blu. Quanti sono quelli blu?” la soluzione rimane :
40 x 25/100 = 10 (numero di pesci blu nell’acquario).
Poiché 25 centesimi (1/4) lo si può anche scrivere “25%”, il testo può anche essere scritto così:
“In un acquario ci sono 40 pesci. Il 25% è blu. Quanti sono i pesci blu nell’acquario?” la cui soluzione è sempre la stessa:
40 x 25/100 = 10 (numero di pesci blu nell’acquario).
Il 12% dei 475 studenti di una scuola è mancino. Quanti sono i mancini in quella scuola”?
Poiché “12%” significa “12 centesimi” o anche “12/100” o anche “0,12”, allora il testo può essere tradotto
in questo modo: “i 12 centesimi dei 475 studenti è mancino” e in ogni caso la soluzione è:
475 x 12/100 = 57 (numero di mancini in quella scuola).
Al concerto dei Genesis al palazzetto dello sport di Reggio Emilia del febbraio 1974 c’erano 2.964 spettatori minorenni, pari al
39% del totale degli spettatori. Quanti spettatori c’erano in tutto?
Chiamo “X” il numero totale di spettatori, così posso tradurre il testo in questa equazione:
2.964 = 39%*X (“i 2.964 minorenni erano il 39% ( i 39 centesimi) degli spettatori totali”);
2.964 = 0,39* X
→
2.964 ÷ 0,39 = X
→
X = 7.600 (numero totale di spettatori al concerto)
Al concerto di musiche Mozartiane al teatro Valli di Reggio Emilia del novembre 2014 c’erano 950 spettatori di cui 76
minorenni. Quale era la percentuale di spettatori minorenni a quel concerto?
Chiamo X la percentuale di minorenni presenti allo spettacolo (cioè chiamo X il rapporto fra numero di
minorenni e numero totale di spettatori), così posso tradurre il testo in questa equazione:
X*950 = 76 (“l’ X% dei 950 spettatori totali sono i 76 minorenni”)
X = 76 ÷ 950 → X = 0,08 → X = 8% (percentuale di minorenni, leggibile anche: i minorenni erano gli 8 centesimi degli spettatori)
L’anno scorso il mio stipendio mensile era 1.956,27 €; quest’anno ho avuto un aumento e ora è di 2.015,09 al mese. Di quanto
è aumentato in percentuale?
Prima trovo l’aumento “assoluto”, cioè in €: 2.015,09 – 1.956,27 = 58,82 € (incremento assoluto in €);
poi chiamo X l’aumento percentuale, cioè il rapporto fra l’aumento assoluto e lo stipendio iniziale:
X*1.956,27 = 58,82 (“l’ X% dello stipendio iniziale è pari ai 58,82 € di aumento avuto”)
X = 58,82 ÷ 1.956,27 → X = 0,030067 → X = 3,01% (percentuale di aumento ottenuto, leggibile anche: l’aumento è stato
pari ai 3,01 centesimi dello stipendio iniziale)
Durante le vacanze di Natale sono ingrassato del 4%, così ora peso 78 kg. Quanto pesavo prima delle feste?
Chiamo X il peso che avevo prima delle vacanze, così posso tradurre il testo in questa equazione:
X + 4%*X = 78 (“il mio peso iniziale aumentato del suo 4% è pari agli attuali 78 kg ”)
X + 0,04*X = 78 → X*(1 + 0,04) = 78 → 1,04*X = 78 → X = 78 ÷ 1,04 → X = 75,00 kg (peso prima di Natale)
Un ladro mi ha rubato il 35% dei soldi che avevo in casa, così ora mi sono rimasti 487,50 €. Quanti soldi avevo prima del furto?
Chiamo X l’importo in € che avevo in casa prima del furto, così traduco il testo in questa equazione:
X – 35%*X = 487,50 (“i soldi che avevo meno il 35% che mi hanno rubato sono pari ai 487,50 € rimasti ”)
X – 0,35*X = 487,50 → X*(1 – 0,35) = 487,50 → 0,65*X =487,50 → X = 487,50 ÷ 0,65 → X = 750,00 €
Cip e Ciop hanno accumulato un bel po’ di noccioline per l’inverno. Cip ha il 40% in più delle noccioline di Ciop. Insieme ne
hanno 540. Quante ne ha Cip e quante Ciop? Chiamo “i” il numero di noccioline di Cip e chiamo “o” il numero di
noccioline di Ciop, così posso tradurre il testo in queste due equazioni: 1) i = o + 40%*o ;
2) i + o =
540 ;
La 1) diventa: i = o + 0,4*o → i = o*(1 + 0,4) → i = 1,4o Ora sostituisco nella 2) il valore di i appena trovato:
1,4 o + o = 540 → 2,4 o = 540 → o = 540 ÷ 2,4 → o = 225 (noccioline di Ciop). Infine, sempre dalla 2) posso
scrivere:
i + 225 = 540 →
i = 540 – 225 → i = 315 (noccioline di Cip).
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