Complex Networks and Decentralized Search Algorithms

Complex Networks and
Decentralized Search Algorithms
(Jon Kleinberg)
Federico Barocci
Sistemi Complessi
Informatica Magistrale - University of Bologna
a.a. 2013-2014
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Alcune premesse
In una rete complessa i nodi tipicamente non possiedono
conoscenza globale della rete.
Nelle reti Small World esistono cammini brevi tra due nodi.
Delivery time = numero di nodi attraversati per raggiungere
il nodo destinatario.
“Sei gradi di separazione” (Milgram)
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Alcune premesse
In una rete sociale di n persone esistono cammini relativamente
brevi che uniscono qualsiasi coppia scelta casualmente.
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Definizione del problema
Ci domandiamo:
Esiste un algoritmo decentralizzato di ricerca con delivery time
polilogaritmico in n?
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Definizione del problema
Ci domandiamo:
Esiste un algoritmo decentralizzato di ricerca con delivery time
polilogaritmico in n?
Quali modelli di rete possiamo considerare per ottenere
prestazioni ottimali con questi algoritmi?
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Definizione del problema
Ci domandiamo:
Esiste un algoritmo decentralizzato di ricerca con delivery time
polilogaritmico in n?
Quali modelli di rete possiamo considerare per ottenere
prestazioni ottimali con questi algoritmi?
Occorre:
Definire un modello
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Definizione del problema
Ci domandiamo:
Esiste un algoritmo decentralizzato di ricerca con delivery time
polilogaritmico in n?
Quali modelli di rete possiamo considerare per ottenere
prestazioni ottimali con questi algoritmi?
Occorre:
Definire un modello
Parametrizzare la distribuzione dei contatti long-range
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Definizione del problema
Ci domandiamo:
Esiste un algoritmo decentralizzato di ricerca con delivery time
polilogaritmico in n?
Quali modelli di rete possiamo considerare per ottenere
prestazioni ottimali con questi algoritmi?
Occorre:
Definire un modello
Parametrizzare la distribuzione dei contatti long-range
Stabilire per quali valori dei parametri si possono
raggiungere prestazioni efficienti in delivery time.
Federico Barocci
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Small World
Watts - Strogatz
Una rete Small World è una rete strutturata in cui per ogni coppia
di nodi esiste un cammino relativamente breve, eventualmente con
alcuni archi “casuali” che connettono porzioni della rete distanti
tra loro.
Federico Barocci
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Small World
Bollobás - de la Vega
Dato un insieme di n nodi e fissata d ≥ 3 costante, si aggiungano
archi tra coppie di nodi scelti casualmente in modo che ogni nodo
possieda esattamente grado d.
Con alta probabilità per ogni coppia di nodi esiste un cammino di
lunghezza O(log n).
Federico Barocci
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Small World
Bollobás - Chung
Dato un anello di n nodi, si costruisca un grafo aggiungendo un
arco ad ogni coppia di nodi scelti casualmente.
Con alta probabilità per ogni coppia di nodi esiste un cammino di
lunghezza O(log n).
Federico Barocci
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Analisi dei modelli di rete
Teorema
Nel modello di Watts - Strogatz si dimostra che per ogni algoritmo
decentralizzato di ricerca la complessità in delivery time è Ω(n2/3 ).
Federico Barocci
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Analisi dei modelli di rete
Teorema
Nel modello di Watts - Strogatz si dimostra che per ogni algoritmo
decentralizzato di ricerca la complessità in delivery time è Ω(n2/3 ).
Estensione del modello
Invece di scegliere casualmente i contatti long-range, questi sono
approssimativamente distribuiti in modo uniforme su larga
scala.
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Analisi dei modelli di rete
Teorema
Nel modello di Watts - Strogatz si dimostra che per ogni algoritmo
decentralizzato di ricerca la complessità in delivery time è Ω(n2/3 ).
Estensione del modello
Invece di scegliere casualmente i contatti long-range, questi sono
approssimativamente distribuiti in modo uniforme su larga
scala.
Occorre definire una correlazione tra contatti long-range e
disposizione geometrica dei nodi.
Occorre definire una probabilità di scelta dei nodi.
Federico Barocci
Complex Networks and Decentralized Search Algorithms
Alcuni modelli
Consideriamo alcuni esempi di modelli:
Modello basato su griglia
Modello basato su gerarchie
Modello basato su insiemi
Federico Barocci
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Modello basato su griglia
Consideriamo una griglia di d dimensioni:
ρ(v , w ) = lunghezza cammino minimo tra i nodi v , w
Aggiungiamo 1 connessione long-range ad ogni nodo
Probabilità selezione nodo: ρ(v , w )−α
Parametri ottimali
α = d, nel caso di una griglia quadrata α = 2
Federico Barocci
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Modello basato su griglia
In una griglia quadrata (d = 2) con parametro α:
Se 0 ≤ α < 2 il delivery time è Ω(n
2−α
3
)
2
Se α = 2 il delivery time è O(log n)
α−2
Se α > 2 il delivery time è Ω(n α−1 )
Federico Barocci
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Modello basato su griglia
In una griglia quadrata (d = 2) con parametro α:
Se 0 ≤ α < 2 il delivery time è Ω(n
2−α
3
)
2
Se α = 2 il delivery time è O(log n)
α−2
Se α > 2 il delivery time è Ω(n α−1 )
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Modello basato su gerarchie
Un esempio di modello gerarchico:
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Modello basato su gerarchie
Ipotizziamo un albero b-ario completo con n nodi foglia:
h(v , w ) = altezza antenato comune ai nodi foglia v , w
Costruiamo un grafo considerando solamente i nodi foglia
Ad ogni foglia si assegnano k archi orientati uscenti
Probabilità selezione destinatario: b −β∗h(v ,w )
Parametri ottimali
β = 1 e out-degree k = c log2 n, c costante sufficientemente
grande.
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Modello basato su insiemi
Esempio di modello basato su insiemi:
Federico Barocci
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Modello basato su insiemi
Consideriamo un insieme composto da gruppi di nodi:
g (v , w ) = dimensione del più piccolo gruppo contenente
entrambi i nodi v , w
Ad ogni nodo aggiungiamo k archi
Probabilità selezione nodo: g (v , w )−γ
Parametri ottimali
γ = 1 e out-degree k = c log2 n, c costante sufficientemente
grande.
Federico Barocci
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Descrizione algoritmo
Algoritmo Greedy
Ogni nodo invia il messaggio al vicino la cui distanza verso il
destinatario è la più piccola disponibile.
Federico Barocci
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Varianti con informazioni aggiuntive
Nei risultati precedenti si assume che i nodi non interagiscano per
ottenere una visione più ampia della rete.
Alcune varianti dell’algoritmo:
Consultazione anticipata
Vicini dei vicini
Federico Barocci
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Consultazione anticipata
Prima di inoltrare il messaggio vengono consultati al più O(log n)
nodi vicini.
Il messaggio viene inoltrato al nodo con distanza inferiore rispetto
al destinatario.
Nodi totali consultati: O(log2 n)
Passi nel cammino costruito: O(log n(log log n)2 )
Federico Barocci
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Vicini dei vicini
Ogni nodo consulta i propri vicini per ricevere un elenco dei loro
rispettivi vicini.
Il messaggio viene inviato al nodo con distanza inferiore rispetto al
destinatario.
Passi nel cammino costruito: O(log n/ log log n)
Federico Barocci
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Conclusioni
Una rete Small World non garantisce automaticamente un
delivery time polilogaritmico.
In generale non basta considerare l’algoritmo, le prestazioni
possono variare a seconda del modello considerato e dal valore
dei relativi parametri.
Esistono diverse varianti che possono essere considerate e
presentano prestazioni differenti.
Federico Barocci
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