Mathcad - Tubi in pressione - calcolo perdite di carico

MECCANICA DEI FLUIDI
Moto uniforme nelle correnti in pressione
Venerdi 14/07/2000
CALCOLO DELLE PERDITE DI CARICO
Vedi manuale ingegneria civile vol. 2 pag 207 e seguenti.
Calcolo della perdita di carico in una tubazione usata di acciaio saldato con altezza equivalente di
sabbia e lunga L, con differenza di quota z e diametro interno D, percorsa da una portata Q
d'acqua alla temperatura T .
ε = 0.15 mm
Dati:
L = 560 m D = 300 mm T=15°C
h = perdita di carico
p = perdita di pressione
Nr = potenza richiesta per
l'eventuale pompaggio
Incognite:
6 m
ν = 1.14 10
s
ρ = 999.13
z1 +
∆z +
γ
+
∆p
γ
v1
2
2g
= z2 +
∆h = 0 ⇒
h
2
v
2.g
piezometrica
p1/
3
z1
Dal teorema di Bernoulli
p1
∆z = 2 m
s
h1
kg
m
3
Carico totale
Per l'acqua a 15°C assumiamo la viscosità
cinematica pari a
2
Q = 0.120
m
p2
γ
+
v2
2
2g
+ ∆h
∆p = γ ( ∆h
posto p = p1-p2 e
z = z1-z2 ed essendo v=cost si ha:
∆z) ora non rimane che calcolare la perdita di carico h
Calcoliamo ora:
εr =
ε
D
4
⇒
εr = 5 × 10
⇒
Ω = 706.858 cm
⇒
U = 1.698
2
Ω =
U =
π D
4
Q
Ω
scabrezza relativa
2
m
s
area della sezione
velocità media
Re =
UD
ν
Re = 446751
⇒
numero di REYNOLDS
Dato che è maggiore di 2500 la corrente è turbolenta e quindi valore di
implicita di COLEBROOK
1
= 2 log
λ
2.51
Re
+
λ
εr
3.71
è fornito dalla formula
(1)
La (1) è risolubile solo numericamente per tentativi e quindi è di difficile utilizzazione. Per questo
alcuni autori (Citrini, Supino) hanno esplicitato in l la (1) con espressioni che sono equivalenti ai fini
progettuali. Utilizziamo l'espressione ottenuta da Di Ricco valida per moto puramente turbolento:
Di Ricco
λ = 0.25 log
4.52
Re
Re
log
7
+
2
εr
⇒
3.71
λ = 17.905 10
3
(2)
Utilizziamo il risultato (2) come valore di primo tentativo per risolvere numericamente la (1).
λ = root
1
+ 2 log
λ
2.51
Re
+
λ
εr
,λ
3.71
⇒
λ = 17.757 10
⇒
J = 0.87 %
⇒
∆h = 4.871 m
3
Come previsto il risultato è praticamente esatto.
Calcoliamo ora la perdita di carico piezometrico h=h1-h 2 =i L
2
pendenza della piezometrica
perdita di carico piezometrico
ed infine
la potenza richiesta è
J = λ
U
2Dg
∆h = J L
∆p = ρ g ( ∆h
∆z) ⇒
Nr = ∆p Q
⇒
∆p = 0.281 bar
Nr = 3.375 kW
E' apena il caso di osservare che non occorrerebbe la pompa se Dh=Dz, cioè se la perdita di carico
fosse compensata da una adeguata pendenza geometrica, o in altri termini la piezometrica fosse
parallela al tubo. Se invece fosse Dh<Dp la pendeza sarebbe eccessiva ed occorrerebbe un rubinetto
(strozzatore) per introdurre una perdita di carico adeguata..
Calcoliamo inoltre qualche altra utile grandezza.
τ0 = J ρ g
Tensione tangenziale al contorno
D
τ0 = 6.391 × 10
4
5
bar
la forza che tende a trascinare il tubo vale
F = π D L τ0
3
F = 3.373 × 10 N
⇒
Velocità d'attrito
τ0
va =
va = 0.08
⇒
ρ
F = 343.984 kgf
⇒
m
s
Il moto è puramente turbolento se (convenzionalmente) Re*>70 nel nostro caso si ha:
Re*= va
ε
ν
= 10.524
quindi siamo in regime di transizione
Spessore convenzionale dello strato limite
ζ = 11.6
ν
va
⇒
ζ = 0.165 mm
Note di teoria
Nel moto uniforme la pendenza piezomerica (che nel moto uniforme è uguale alle perdite di carico)
vale:
2
U
(1)
J=λ
2Dg
dove l è dato in modo generale per qualsiasi fluido (cioè anche gas, purchè possa essere considerato
incomprimibile) dalla equazione di Colebrook. La (1) può essere riscritta in una forma diversa che
deriva dalla:
U=χ
Chèzy (1775)
dove R è il raggio idraulico e
RJ
(2)
è il fattore d'attrito di origine sperimentale valido solo per l'acqua.
2
La (2) può essere riscritta come
J=
U
(3)
2
χ R
Eguagliando la (1) e la (3) si ha
χ=
8g
(4)
λ
La (4) collega i parametri l e c . Può risultatre utile per calcolarne uno noto l'altro.
Per il calcolo delle reti può essere più comodo esprimere la (1) o la (3) in modo da mettere in
evidenza Q.
2
Riprendendo la (1)
e riscrivendola in termini di Q si ha:
U
J= λ
2
Q
λ
=
2Dg 2gD
2
2
=
π D
4
2
λ 8 Qλ 8
β=
2
5 2
gπ
gπ D
e quindi ponendo
(5)
2
J=β
si ha
Q
(6)
5
D
Ricavando l dalla (5) e sostituendo
nella (4) si ottiene la (7) che a sua
volta collega b e c
χ=
8
(7)
βπ
Formule antiche valide solo per l'acqua
Darcy (1854)
E' del tipo (6) nella quale viene posto = a + 4 b.
I valori dei coefficienti di scabrezza valgono per tubi metallici nuovi a=0.00164
e b=0.000042. Per tubi usati aumentano fino a raddoppiare.
Essi si riferiscono a tubi in ghisa con diametro compreso tra 3.6 cm e 50 cm ed
a tubi in ferro o piombo con diametro compreso tra 1.2 cm e 28.5 cm.
Nel nostro caso otteniamo:
2
β = ( 0.00164 + 4 0.000042) s m
1
β = 1.808 × 10
⇒
3
m
1
s
2
2
J = β
Q
J = 1.071 %
⇒
5
e quindi h = J L = 6 m
D
β =
Se è noto l (come in questo caso) si ha direttamente:
β = 1.468 × 10
3
2
s m
1
gπ
2
⇒
J= β
Q
5
λ 8
2
cioè
= 0.87 %
D
Bazin (1897)
E' del tipo (3). Il raggio idraulico vale R =
χ =
87
1+
γ
m
0.5
s
1
⇒
D
4
γ = 0.08 m
e si sceglie
χ = 67.331 m
0.5
s
1
R
χ =
Se è noto l (come in questo caso) si ha direttamente:
χ = 66.469 m
0.5
s
1
e quindi h = J L = 4.871 m
8g
λ
2
⇒
J =
U
2
χ R
⇒
J = 0.87 %
0.5