I numeri fortunati

I numeri fortunati e le analogie con i numeri primi
(numeri gemelli fortunati, congettura di Goldbach,
numeri di Lie, probabile funzione zeta)
Francesco Di Noto , Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show some connection between Lucky’s numbers
and twin numbers, Goldbach’s conjecture, and so on. There is a
zeta function also for Lucky’s numbers?
Riassunto
In questo lavoro tratteremo i numeri fortunati, soprattutto per
quanto riguarda le loro similitudini con i numeri primi, i numeri
primi gemelli, la congettura di Goldbach e probabilmente anche
una possibile eventuale funzione zeta che li riguardi.
Possiamo definire i numeri fortunati come i “cugini poveri”
(scusate la contraddizione) dei numeri primi, più famosi e più utili
in matematica ed in natura. L’utilità dei numeri fortunati è invece
ancora tutta da dimostrare (si accettano contributi in tal senso)
I numeri primi sono figli del noto crivello di Eratostene, mentre i
numeri fortunati (primi e composti, circa in eguale misura, almeno
fino a 100) sono invece figli del meno famoso crivello di Ulam,
descritto nelle pagine successive.
Definizione e particolar (Da Polymath)
Riportiamo anzitutto una descrizione dei numeri fortunati da
Polymath, sul sito
1
areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Gen07/Numeri_ge
n07.htm , rubrica “Numeri” a cura di Camillo Grandi:
“
NUMERI FORTUNATI
John Travolta protagonista del film Lucky Numbers di Nora Ephron
Ci sono numeri fortunati e numeri fortunati. Ad esempio, ci sono quelli fortunati per noi, se indoviniamo
quelli dell’estrazione del lotto, indovinati senza truccare l’estrazione, come ha fatto invece John Travolta
nel film Lucky Numbers. Ma ci sono anche i numeri che si ritengono loro stessi fortunati, perché
sopravvissuti a un micidiale massacro.
E’ stato il matematico polacco Stanislaw Ulam (1909-1984), uno dei padri della bomba H, a stabilire
come possano essere massacrati i numeri. Si fonda su un procedimento analogo a quello, ben noto, usato
da Eratostene per la ricerca dei numeri primi. E’ il crivello o “setaccio”, che con setacciate successive
elimina i numeri aventi determinate caratteristiche.
Vediamo praticamente come funziona il procedimento di Ulam sulla successione dei numeri naturali:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...
Cancelliamo dapprima ogni secondo numero e rimarranno così i numeri dispari:
1 3 5 7 9 11 13 15 19 21 ...
Come secondo passo, partendo da questa nuova sequenza, dopo 1 troviamo 3 e cancelliamo ogni terzo
2
numero. Il risultato sarà:
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ...
Partiamo poi dalla sequenza dei sopravvissuti a questo nuovo massacro. Il primo numero sopravvissuto,
dopo il tre, è il 7 e cancelliamo ogni settimo numero. Avremo una nuova sequenza:
1 3 7 9 13 15 21 25 ...
Il quarto numero sopravvissuto è il 9 e ripartiamo dai sopravvissuti eliminando ogni nono numero (il
primo
ad
essere
eliminato
sarà
27).
Quelli che seguono sono i numeri sopravvissuti ai successivi massacri inferiori a 200:
1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 79 87 93 99 105 111 115 127 129 133 135 141 151 159 163
169 171 189 193 195
Sono numeri che lo stesso Ulam chiamò “fortunati”. Un nome che era stato suggerito a Ulam da un
racconto di Giuseppe Flavio, lo storico ebreo del primo secolo dopo Cristo, su una decimazione di cui
erano rimasti vittime gli ebrei perseguitati dai romani. Veramente “fortunati” in questo caso, perché
sopravvissuti a una autentica strage.
I matematici hanno studiato questa successione scoprendo che ha molti proprietà simili a quelle dei
numeri primi. Ad esempio, la distanza fra due numeri fortunati consecutivi e quella fra due numeri primi
consecutivi cresce in modo simile al crescere dei numeri delle due successioni, inoltre il numero dei
numeri primi gemelli, tali cioè che la loro differenza è uguale a 2, è simile a quella dei numeri fortunati
gemelli.
La celebre Congettura di Goldbach afferma che ogni numero primo maggiore di 2 è la somma di due
numeri primi. E’ un problema ancora irrisolto, come quello analogo riguardante i numeri fortunati: “Ogni
numero
fortunato
è
uguale
alla
somma
di
due
numeri
fortunati”.
La verifica al computer di tale congettura ha già superato i 100.000 numeri fortunati, senza trovare
eccezioni.
La classica dimostrazione di Euclide che i numeri primi sono infiniti, ha una corrispondente
dimostrazione sull’infinità dei numeri fortunati. Non si sa invece se i numeri primi fortunati siano
anch’essi infiniti.
Per approfondire l’argomento:
Martin Gardner, Lucky numbers and 2187, The Mathematical Intelligencer 19 (No. 2), 1997.
Un
articolo
di
http://www.sciencenews.org/sn_arc97/9_6_97/mathland.htm
La
presentazione
matematica
http://mathworld.wolfram.com/LuckyNumber.html
La
sequenza
dei
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000959
3
Ivars
della
numeri
Peterson:
sequenza:
fortunati:
I
primi
mille
numeri
http://www.wschnei.de/number-theory/lucky-numbers-list.html “
fortunati:
Nel seguito esamineremo le su accennate relazioni con i numeri
primi, con i numeri primi gemelli, con la congettura di Goldbach,
ormai dai noi compresa perfettamente (Rif.1) , sebbene soltanto
con evidenze numeriche (ci manca ancora solo la dimostrazione
rigorosamente analitica, che lasciamo agli accademici), con i
numeri di Lie, e soprattutto dimostrando la loro infinità (come
fece Euclide con i numeri primi) e soprattutto la possibile
esistenza di una eventuale funzione zeta per i numeri fortunati,
analoga alla funzione zeta per i numeri primi: la parte reale dei
nuovi zeri è ancora ½ ?
Tramite alcune tabelle, confronteremo la loro distribuzione
logaritmica fino alle prime tre potenze di 10, ecc, per poi
esaminare la possibilità di un’ eventuale funzione zeta
TABELLA 1
(confronti fino a N = 100)
Numeri primi
p
(25)
2
3
5
7
Numeri
fortunati
F
(23)
di cui 13
composti
1
3=1*3
7
9 =3*3
Numeri primi
gemelli p
(8 coppie)
3
5
7
4
Numeri
fertunati
gemelli
(7 coppie)
1
3
7
9
11
13
17
19
23
29
31
13
15=5*3
21=7*3
25
31
33=11*3
37
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
…
43
49
51= 17*3
63==7*32
67
69=23*3
73
75=25*3
79
87=29*3
93=31*3
99= 11*32
…
…
…
11
13
17
19
29
31
13
15
31
33
41
43
49
51
59
61
67
69
73
75
71
73
Notiamo che fino a 100 ci sono 25 numeri primi e 23 numeri
fortunati, di cui solo 10 primi p e 13 composti c , con rapporto f/p
= 23/10 = 2,3 e con rapporto f/c = 23/13 = 1,76 .
Provvisoriamente, si può dire che circa la metà dei numeri
fortunati sono primi e circa l’altra metà sono composti, con il
fattore 3 (oppure 32=9) come il più frequente (11 volte su 23, 12 se
si include il 3 iniziale, e quindi anche qui circa la metà dei numeri
fortunati; solo 25 e 49 fanno eccezione, essendo multipli di 5 e di
7). Mentre i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali) sono di forma
p = 6k + 1, i numeri primi fortunati sono invece di forma
5
f = 6k +1, poiché:
7
= 6*1 + 1
13
= 6*2 + 1
31
= 6*5 + 1
37
= 6*6 + 1
43
= 6*7 + 1
67
= 6*11 + 1
73
= 6*12 + 1
79
= 6*13 + 1
…
…
193 = 6*32 +1
…
…
ed anche questa è una novità sui numeri primi fortunati. Gli altri
numeri fortunati, sono composti. I numeri primi di forma 6k – 1, e
quindi non fortunati, sono stati ora sostituiti dai numeri composti,
specialmente con il fattore 3 molto frequente, e questo potrebbe
spiegare perché i numeri fortunati sono un po’ meno dei numeri
primi (per esempio fino a 100 essi sono solo 23, contro 25 primi).
Ne consegue che i grafici relativi ai numeri fortunati sono molto
simili a quelli dei numeri primi, ma leggermente più bassi rispetto
a questi ultimi.
Infine, molti numeri primi fortunati f sono anche numeri di
Lie (primi e non primi) di forma L(n) = n2+n+1 = 2T+1 = 1 +
la somma dei primi n numeri pari , con n = parte intera della
loro radice quadrata (Rif. 2, Rif. 3 e Rif. 4)
I numeri di Lie (e anche i numeri primi fortunati fp ) sono
simili anche ai numeri primi di Bateman: quasi a metà strada
tra un quadrato e il successivo, quindi con parte decimale di
√fp prossima a 0,50, per es. √73 = 8,54 o ancora meglio per
√133 = 11,53, o per √273= 16,52, o anche √1123 = 33,51 : più
grande è fp, più la parte decimale si avvicina a 0,50.
6
La natura sceglie i suoi numeri, per regolare i suoi fenomeni,
tra i numeri di Fibonacci, i numeri di Lie, e i numeri di
partizioni p(n) (Rif.2); i numeri primi fortunati sono anche
numeri di Lie, e quindi tra quelli scelti dalla Natura, che
sembra evitare i quadrati perfetti (tra i numeri di Fibonacci,
per esempio soltanto 144 è un quadrato perfetto). Tra i numeri
fortunati composti (e quindi non primi) ci sono invece anche
molti quadrati: 9, 25, 49, 169, 289, tutti quadrati di numeri
primi, alcuni dei quali anch’essi numeri fortunati: 3,7, 13, ecc.
TABELLA 2
Sulla distribuzione
N = 10n Numeri Numeri Numeri Numeri Coppie di
Primi p fortunati gemelli gemelli Goldbach
p
π(N)
f(N)
p
f
(coppie) (coppie) G(N=10)
g(N)
f(N)
10
4
4
3
4
2
Coppie di
Goldbach
2f
G’
(N=18)
100
(303)*
1
(3+7=10)
25
18
23
57
8
19
7
14
6
27
9**
?
…
…
…
…
…
…
*Da lista
OESIS
A000959
…
** 1+99, 7+93,13+87,21+79, 25+75,31+69,33+67,37+63,51+49;
mentre le normali coppie di numeri primi la cui somma è 100,
sono 6
7
Quindi, distribuzione e stime logaritmiche sono molto simili:
π(N) ≈ π’(N)≈ N / ln N; g(N) ≈ g’(N) ≈ N/( ln N)2, ecc.
esempio. per N = 2f =25*2 = 50 = f + f’ = N
Essendo molto simili ai numeri primi per valori reali, stime
logaritmiche e grafici, anche i numeri fortunati sono infiniti
Esempio di Tabella per coppie (di numeri fortunati) di Goldbach
per N = 50:
F
F’
N = d + f’
Coppia di
Goldbach per f ed
f’
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
Si
8
Si
Si
18
19
20
21
22
23
24
25
32
31
30
29
28
27
26
25
50
50
50
50
50
50
50
50
Si
Quindi per N = 50 = 2f =2*25 abbiamo 4 coppie di Goldbach,
e anche con i numeri primi ne abbiamo pure 4, come da
seguente analoga tabella:
P
Q
N = p + q = 50’
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
9
Coppia di
Goldbach per
peq
Si
Si
Si
17
18
19
20
21
22
23
24
25
33
32
31
30
29
28
27
26
25
50
50
50
50
50
50
50
50
50
Si
Quindi anche per Goldbach (oltre che con i le coppie di numeri
primi gemelli) sia con i numeri primi sia con i numeri fortunati, i
risultati sono circa gli stessi, ma con differenza di qualche unità
per quanto riguarda π(N) ed f (N), almeno nella parte iniziale della
serie numerica naturale, poi le differenze saranno sempre più
grandi, anche per Goldbach e gemelli, presumibilmente a favore
dei numeri primi .
Poiché per i numeri primi sono noti i numeri primoriali p#
(prodotti dei numeri primi fino a p) e fattoriali n! (prodotti dei
numeri naturali fino ad n), per i numeri fortunati possiamo
introdurre il termine “fortunali”, con il simbolo f $ (scegliendo qui
il simbolo del dollaro Usa come simbolo di fortuna), cioè il
prodotto dei primi f numeri fortunati; per esempio:
9$ = 1*3*7*9 = 189,
25$ = 1*3*7*9*13*15*21*25 = 19 348 875, o più ordinatamente
in tabella:
f$
1
3
7
f1*f2*f3*f4…*fn
1
1*3
1*3*7
10
Valore fortunale
1
3
21
9
13
15
21
25
31
…
1*3*7*9
1*3*7*9*13
1*3*7*9*13*15
1*3*7*9*13*15*21
1*3*7*9*13*15*21*25
1*3*7*9*13*15*21*25*31
…
189
2 457
36 855
773 955
19 348 875
599 815 125
…
Come si nota facilmente, dopo 13$ = 2457 tutti i fortunali
finiscono con la cifra 5, a causa del fattore 15, divisibile per 5, e
che quindi conferisce la divisibilità per 5 a tutti i prodotti
successivi (fortunali maggiori di 13$), divisibili ovviamente anche
per tutti gli altri fattori 3, 7, ecc. tutti numeri fortunati.
Ora possiamo avere un’altra importante analogia con le coppie di
Goldbach per i numeri primoriali N = p# , che hanno più coppie
di Goldbach rispetto a tutti i singoli numeri par precedenti, per i
motivi spiegati in “I numeri primoriali p# alla base della
dimostrazione definitiva della congettura di Goldbach (nuove
evidenze numeriche)” ,Michele Nardelli, Francesco Di Noto, sul sito:
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ (vedi esempio finale per
7# =210), Rif.1.
Infatti, per lo stesso principio di formazione delle coppie di
Goldbach (per tali numeri e loro piccoli multipli, tutti i multipli
dei numeri primi si accoppiano tra di loro, lasciando ai numeri
primi più possibilità di formare più coppie di Goldbach) per i
fortunali f$ si formeranno più coppie di numeri fortunati rispetto
a tutti i numeri pari precedenti (poiché tutti i numeri fortunati sono
dispari, e quindi la somma di due numeri dispari, primi o fortunati
che siano, è sempre pari)
Per esempio per N = 21*2 = 42, troveremo più coppie (due) di
numeri fortunati con somma f + f’ = 42 (omettendo i numeri
pari), per semplificare la tabella:
11
F
f’
f +f’ =42 coppia di
Goldbach
si
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
41 primo
39 multipli di3
37 primo fortunato
35 multipli di 5
33 multipli di 3
42
31 primo fortunato
29
27 multipli di 3
25
23
21 multipli di 3
42
3 e 21 fortunati
si
si
Invece per N -2 = 42-2 = 40 abbiamo pure due coppie di
Goldbach:
f
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
…
f’
39
37
35
33
31
29
27
25
23
21
…
f + f’ = 40
40
si
40
si
…
12
si
E per 42 +2 = 44, ancora due coppie di Goldbach:
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
…
43
41
39
37
35
33
31
29
27
25
23
…
44
si
44
si
…
Il principio sembra però non funzionare per numeri 2f$ così
piccoli, ma forse funzionerà per numeri 2f molto più grandi (a
cominciare da 2* 9$ = 2*189 = 378) , rispetto a 2f $+2,
analogamente alle normali coppie di Goldbach per i numeri primi.
Lasciamo a qualche volenteroso il piacere di verificarlo, e di
comunicarci eventuali risultati positivi.
Rivediamo ora il rapporto tra numeri primi e numeri fortunati su
una lista molto più lunga, fino a 303 (da Lista OESIS A000959);
segniamo in rosso i 17 numeri primi su 57:
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75,
79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163,
169, 171,189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259,
261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 (list; graph; listen; history; internal format)
Quindi abbiamo 57/18 = 3,16, maggior quindi di 23 /10 = 2,3
fino a 100; il numero dei numeri primi rispetto ai numeri fortunati
quindi decresce lentamente al crescere di N.
13
Primi fortunati (da lista OESIS A031157)
A031157 as a simple table:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
a(n)
3
7
13
31
37
43
67
73
79
127
151
163
193
211
223
241
283
307
331
349
367
409
421
433
463
487
541
577
601
613
619
631
643
14
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
673
727
739
769
787
823
883
937
991
997
1009
1021
1039
1087
1093
1117
1123
[3,7,13,31,37,43,67,73,79,127,151,163,193,211,223,
241,283,307,331,349,367,409,421,433,463,487,541,
577,601,613,619,631,643,673,727,739,769,787,823,
883,937,991,997,1009,1021,1039,1087,1093,1117,
1123]
Fino a 1000 ci sono 43 numeri primi fortunati fp, rispetto a 168
numeri primi non fortunati, con rapporto ora di
f/fp = 168/43 = 3,90
contro il rapporto 3,16 fino a 303 e il rapporto 2,3 fino a 100
Tabella dei rapporti r = p/fp
10n
10
100
303
1000
f
4
23
57
154
(Stima)*
fp
2
10
18
43
r= f/fp
4/2
23/10
57/18
154/43
15
r≈(ln N)/2
2≈1,51
2,3≈2,302
3,16≈2,85
3,58≈3,45
Per i rapporti p/f abbiamo invece
10n
10
100
303
1000
p
4
25
62
168
f
4
23
57
154
(Stima)*
r =p/f
4/4
25/23
62/57
168/154
r ≈ 1,5 lnlnlnN
1
1,086
1,087
1,090 *
* con 154 ≈ 168/1,087, il rapporto reale più vicino
Per i rapporti p/fp, infine:
10n
10
100
(303)
1000
π(10n)
4
25
62
168
fp (10n)
2
10
18
43
r =p/fp
4/2
25/10
62/18
168/43
r ≈ ln(10n)/2
2≈1,15
2,50≈2,30
3,44≈2,85
3,906≈ 3,45
Per 10 000 prevediamo quindi un rapporto r di circa 4,60, con il
quale stimare il numero fp dei numeri primi fortunati con la
relazione fp ≈ π(10 000)/ 4,60 = 1229/4,60 = 267,17 ≈ 267,
numero stimato (per leggero eccesso, poiché r stimato è inferiore
ad r reale) attendibile del numero di numeri primi fortunati fino a
10 000. Ecco a cosa servono i rapporti r: alla stima del numero dei
numeri primi fortunati fino ad N, con discreta approssimazione
(un valore migliore potrebbe essere circa 236, essendo il rapporto
precedente tra valore reale e valore stimato 3,90/3,45= 1,13, per
cui r*1,13 = 4.60*1,13 = 5,198, e 1229/5,198= 236, 43 più vicino
al valore reale (nessuno ha finora contato, che si sappia, il numero
dei numeri primi fortunati fino a 10 000 ; la relativa lista OESIS
A031157 arriva fino ai primi 50, con l’ultimo (50°) numero primo
fortunato = 1123, e con 50° molto lontano dal 236° numero
16
primo fortunato (probabilmente attorno a p ≈ 1930
≈10000/5,198) fino ad N = 10 000.
Ulteriori ricerche informatiche ci diranno il numero esatto di fp
fino a 10 000, confermando o meno la nostra stima di circa 236.
La voce di Wikipedia non riporta il relativo grafico per i numeri
fortunati, ma solo per i numeri primi fortunati:
A031157 as a graph:
17
18
Per quanto riguarda infine la funzione zeta di Riemann
applicata ai numeri fortunati anziché ai numeri primi, tale
funzione si può riscrivere f a p a denominatore:
∞
ς(x) : = ∑
1
n=1
nx
= ∏
p primo
___1___
1 – f -s
potrebbe venir fuori qualcosa di interessante, per esempio
anche qui tutti gli zeri non banali con parte reale ½
In tal caso, avremo una funzione zeta “fortunata”
Ai matematici in grado di calcolare questa nuova funzione
zeta per i numeri fortunati, il compito di verificare la nostra
suddetta previsione.
Conclusione
Come abbiamo visto, abbiamo trovato altre connessioni (oltre a
quelle già note: gemelli e Goldbach)) tra i numeri fortunati, i
numeri primi fortunati, e tra questi e i numeri di Lie; abbiamo
introdotto il concetto di fortunali, prodotti tra i primi f numeri
fortunati, simbolo f$, sulla falsariga dei fattoriali n! e dei
primoriali p#; abbiamo ipotizzato la loro infinità in base alle
similitudini quantitative e qualitative con i numeri primi (alcuni
numeri primi sono stati sostituiti dai numeri fortunati composti,
specialmente da quelli, la maggior parte, con fattore 3 e 9) ; infine
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abbiamo i rapporti r per permettere stime logaritmiche per
numeri N =104 , e ipotizzato una variante della funzione zeta,
sostituendo p con f, con i suoi zeri probabilmente anch’essi sulla
retta reale ½.
Riferimenti (reperibili su questo sito, salvo diversa indicazione)
1) I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione
definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze
numeriche) Michele Nardelli, Francesco Di Noto
2) “L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA:
n2 + n + 1 (con n primo) (alla base de numeri e dei gruppi di
Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle
simmetrie e delle teorie di stringa) Francesco Di Noto, Michele
Nardelli , sul sito www.gruppoeratostene.com, Sezione “Articoli
sulla Fisica – Matematica”
3) “PGTS - Parte seconda
IL PRINCIPIO GEOMETRICO ALLA BASE
DELLE TEORIE DI STRINGA”Francesco Di Noto, Michele
Nardelli
4) “Una teoria aritmetica, o aritmetica-geometrica, per la TOE
(Il principio aritmetico per le teorie di stringa, PATS,
complementare al PGTS)”, Francesco Di Noto – Michele
Nardelli
Caltanissetta 1.9.2011
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