Decomposizione in fattori

DECOMPOSIZIONE IN FATTORI DI SOMME ALGEBRICHE
DI
POTENZE AD UGUALE ESPONENTE: ( a n  b n )
(a
 b)
= (a  b)
( a 2 + b 2 ) = non si scompone in R;
in C: ( a 2 + b 2 ) = ( a + j b ) ( a – j b)
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2+ ab + b2)
( a 4 + b 4 ) = non si scompone in R
(a4 – b4) = (a2 – b2)(a2 + b2) = (a – b)(a + b)(a2 + b2) =
= (a – b)(a3+ a2b + a b2+ b3)
(a5 + b5) = (a + b)(a4– a3b + a2b2– a b3+ b4)
(a5 – b5) = (a – b)(a4+ a3b + a2b2+ a b3+ b4)
( a 6 + b 6 ) = [ ( a 2) 3 + ( b 2 ) 3 ] = [ ( a 2) + ( b 2 ) ]  [ ( a 2) 2 – a 2 b 2 + ( b 2 ) 2]
( a 6 – b 6 ) = [ ( a 2) 3 – ( b 2 ) 3 ] = [ ( a 2) – ( b 2 ) ]  [ ( a 2) 2 + a 2 b 2 + ( b 2 ) 2] =
= [ ( a 3) 2 – ( b 3 ) 2 ] = ( a 3 – b 3 ) ( a 3 + b 3 ) =
= (a – b)(a5+ a4b+ a3b2 + a2b3 + a b4+b5)
(a7 + b7) = (a + b)(a6– a5b+ a4b2 – a3b3 + a2b4–a b5+ b6)
(a7 – b7) = (a – b)(a6+ a5b + a4b2+ a3b3 + a2b4+a b5+ b6)
( a 8 + b 8 ) = non si scompone in R
(a8 – b8) = (a4–b4)(a4+b4) = (a2 – b2)(a2 + b2)(a4+b4) =
= (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4+b4)=
= ( a – b ) ( a 7 + a 6 b + a 5 b 2 + a 4 b 3 + a 3 b 4 + a 2 b 5 + a b 6 + b 7)
………………
N. B. Le somme di potenze con esponente n = 2 k ( con k  N ) non si scompongono in R.
Esempio:
( a 1 6 + b 1 6 ) non si scompone perché n = 16 = 2 4;
( a 1 8 + b 1 8 ) si scompone perché
n = 18 = 2  3 2 .
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