ist. di matematica i [ae] - Dipartimento di Matematica

I ST.
DI
M ATEMATICA I
[A-E]
3. Lezione
giovedı̀ 6 ottobre 2016
3.1. Massimo e minimo.
Definizioni di minimo e/o massimo per un insieme E di numeri reali:
• il numero min si dice minimo dell’insieme E se
– min ∈ E
– ∀x ∈ E : min ≤ x
• il numero max si dice massimo dell’insieme E se
– max ∈ E
– ∀x ∈ E : x ≤ max
• possono avere minimo e massimo solo gli insiemi limitati.
P ROPOSIZIONE 3.1. Sia A finito (cioè con un numero finito di elementi)
allora A ammette massimo.
D IMOSTRAZIONE . Per induzione: se A ha un solo elemento allora ha
ovviamente massimo.
Supponiamo che abbiano massimo tutti gli insiemi con n elementi e sia
B = {b1 , b2 , . . . , bn , bn+1 } un insieme con n + 1 elementi.
Il maggiore tra i due numeri max({b1 , b2 , . . . , bn }) e bn+1 è massimo di B.
Quindi se hanno massimo gli insiemi con n elementi lo hanno anche gli
insiemi con n + 1 elementi.
Quindi hanno massimo tutti gli insiemi finiti.
Un insieme E di numeri reali limitato ma non non finito può non avere
massimo o non avere minimo.
E SEMPIO 3.2. L’insieme E = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . } è limitato ma non ha
minimo. Ha invece massimo.
E SEMPIO 3.3. L’insieme E = {0, 1/2, 2/3, 3/4, . . . } è limitato ma ha minimo ma non ha massimo.
3.2. Maggioranti e minoranti.
Definizioni di maggioranti e minoranti per un insieme E di numeri reali.
E SEMPIO 3.4. Sia E = (−∞, 4]:
• i numeri 10, 7, 4 sono maggioranti di E,
2
• il numero 3 non è un maggiorante di E,
• non ci sono minoranti di E.
E SEMPIO 3.5. Sia F = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . }:
• i numeri 0, −7, −4 sono minoranti di F,
• i numeri 1, 2, 3, 4 sono maggioranti di F.
E SEMPIO 3.6. Siano E ed F i due insiemi precedenti:
• l’insieme E non è limitato, perchè non ha minoranti,
• l’insieme F è limitato, perchè ha minoranti e maggioranti.
3.3. Estremo inferiore e estr.superiore.
Definizione di estremo inferiore e di estremo superiore: con terminologia
naif si può dire che
• l’estremo inferiore è il minorante migliore, cioè più vicino all’insieme,
• l’estremo superiore è il maggiorante migliore, cioè più vicino all’insieme.
Gli estremi inferiore e superiore di un insieme E si indicano con
λ = inf(E),
Λ = sup(E)
Si usa anche dire per un insieme E che non ha minoranti che
λ = inf(E) = −∞
Analogamente per un insieme E che non ha maggioranti si usa dire che
Λ = sup(E) = +∞
In ogni caso l’insieme E è contenuto nell’intervallo chiuso che ha estremi
λ = inf(E) e Λ = sup(E)
E ⊆ [λ , Λ]
Se l’estremo inferiore λ = inf(E) è un numero di E allora ovviamente esso
è il minimo di E.
Analogo discorso per l’estremo superiore Λ = sup(E): se è un numero di E
allora ovviamente esso è il massimo di E.
E SEMPIO 3.7. Sia F = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . } tra i minoranti di F lo 0 , è il
minorante migliore, cioè più vicino all’insieme.
0 = inf(F)
0 non è il minimo di F perchè è un numero che non appartiene a F
3. LEZIONE
3
E SEMPIO 3.8. Sia F = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . } tra i maggioranti di F 1 , è
il maggiorante migliore, cioè più vicino all’insieme.
1 = sup(F)
1 è anche il massimo di F perchè è un numero che appartiene a F
TEOREMA:
T EOREMA 3.9. Nell’ambito dei numeri reali ogni insieme E inferiormente limitato possiede estremo inferiore λ , ogni insieme F superiormente
limitato possiede estremo superiore Λ.
NOTA:Nell’ambito dei numeri razionali il precedente teorema non vale, si
pensi all’insieme E dei numeri positivi e di quadrato minore di 2:
• si tratta di un insieme superiormente limitato,
• se ammettesse estremo superiore tale numero dovrebbe avere quadrato 2,
• siccome non esistono razionali con quadrato 2 .... se ne conclude
che l’insieme E non ha (nell’ambito dei numeri razionali) estremo
superiore.
Le definizioni di minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore
sono ovvie se E è un intervallo limitato: inf(E) = a = min(E),
• intervallo chiuso [a, b] : →
sup(E) = b = max(E)
• intervallo aperto (a, b) : → inf(E)
= a, sup(E) = b
inf(E) = a = min(E),
• intervallo semichiuso [a, b) : →
sup(E) = b
E SEMPIO 3.10. Sia E = {0, 1 + 1/2, −1 + 1/3, 1 + 1/4, . . . } = {(−1)n +
1/n}
inf(E) = −1, sup(E) = max(E) = 1 + 1/2
P ROPOSIZIONE 3.11.
sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B),
inf(A ∪ B) = min(inf A, inf B).
3.4. Una proprietà degli estremi. Sia λ = inf(E), sia cioè il minorante migliore: comunque si prenda un numero a più grande di λ ci sarà
qualche elemento x ∈ E che risulta minore di a.
Essere infatti il minorante migliore significa che i numeri più grandi non
sono più minoranti....
Discorso analogo per l’estremo superiore Λ = sup(E): comunque si prenda
un numero b più piccolo di Λ ci sarà qualche elemento x ∈ E che risulta
maggiore di b.
4
3.5. Una proprietà di monotonia.
I due insiemi E ed F siano
E ⊆F
allora, in ogni caso
inf(F) ≤ inf(E) ≤ sup(E) ≤ sup(F)
3.6. Una proprietà di simmetria.
Assegnato l’insieme E consideriamo l’insieme F formato dagli opposti dei
numeri di E:
F = {−x, ∀x ∈ E}
si ha
inf(F) = − sup(E), sup(F) = − inf(E)
La proprietà indicata si riconosce facilmente sperimentandola nel caso di
un intervallo, per esempio E = [−2, 5] che implica F = [−5, 2]
inf(F) = −5 = − sup(E),
sup(F) = 2 = − inf(E)
3.7. Numeri grandi, numeri piccoli.
Multiplo
10
102
103
106
109
1012
Prefisso
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
Simbolo
da
h
k
M
G
T
Multiplo
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
Prefisso
deci
centi
milli
micro
nano
pico
Simbolo
d
c
m
µ
n
p
3. LEZIONE
5
Alfabeto greco
minuscola
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
φ, ϕ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
τ
υ
χ
ψ
ω
maiuscola nome
A
B
Γ
∆
E
Z
N
Θ
I
K
Λ
M
V
Ξ
Φ
O
Π
P
Σ
T
U
X
Ψ
Ω
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
cappa
lambda
mi
ni
xi
fi
omicron
pi (pi greco)
ro
sigma
tau
üpsilon
chi
psi
omega
suono corrispondente
a
b
g
d
ĕ (e breve)
z
ē (e lunga)
th inglese
i
k
l
m
n
x
f
ŏ (o breve)
p
r
s
t
u francese
ch tedesco
ps
ō (o lunga)