Programma di Analisi Matematica I

Programma di Analisi Matematica I A.A. 2014/15
Corso di Laurea: Ingegneria dell’Informazione
Docente: Prof. Antonio Leaci
Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati dimostrati.
Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q. Descrizione assiomatica di R.
Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà (*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati,
intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo
inferiore e loro caratterizzazioni (*). Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e
sua irrazionalità (*). Proprietà archimedea. Densità di Q in R (*). Principio di induzione. Esempi (tra
cui: disuguaglianze di Bernoulli (*), formula del binomio di Newton (*)).
Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione
iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone,
funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: potenze intere e loro inverse, potenze razionali.
Funzione esponenziale e logaritmo, funzioni iperboliche e loro inverse, funzioni trigonometriche e loro
inverse.
Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come R × R con le operazioni + e · in C; C non
ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Identificazione di R con il
sottoinsieme {(a, b) ∈ C; b = 0}. L’unità immaginaria (0, 1). (a, b) = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0). Parte reale e
parte immaginaria; un numero complesso z = (a, b) = (<z, =z) può essere scritto come <z + i=z dove i
denota (0, 1). Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto.
Radici n-esime di un numero complesso (*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema
fondamentale dell’algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.
Capitolo 2. Successioni: definizione, definizione di limite, unicità del limite (*), esempi di limiti,
definizione di sottosuccessione, se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione ammette lo
stesso limite, teorema della permanenza del segno (*). Operazioni con i limiti. Teorema del confronto (*).
Ogni successione convergente è limitata (*). Teorema dei due carabinieri (*). Le successioni monotone
sono regolari (*). Esercizi e calcolo di limiti di alcune successioni, limite per n che tende a infinito per
un polinomio in n, e per il rapporto tra due polinomi. Andamento
all’infinito
per an , nk , a e k fissati.
n
1
log n
. Monotonia della successione an = 1 +
, e sua limitatezza (*). Numero
Calcolo del limite di
n
n
e. Limiti notevoli per le successioni (*). Teorema di Bolzano-Weierstrass (*). Criterio di Cauchy.
Capitolo 3. Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione
di limite. Limite di funzioni: caratterizzazione del limite tramite successioni (*), esempi, unicità, limiti
destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza
del segno, del confronto, dei due carabinieri; limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti
notevoli. Forme indeterminate: casi del rapporto tra la funzione esponenziale e un polinomio e tra il
logaritmo e un polinomio all’infinito, prodotto tra logaritmo e una potenza in zero. Limiti notevoli (*).
Funzioni continue: definizione ed esempi. Teorema della permanenza del segno (*). La somma, il
prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due
funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Punti di discontinuità: classificazione
ed esempi. Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette
massimo e minimo (*). Teorema di esistenza degli zeri (*). Una funzione continua manda intervalli in
intervalli (teorema dei valori intermedi) (*). Controesempi. Una funzione continua manda intervalli chiusi
e limitati in intervalli chiusi e limitati. Data una funzione continua ed invertibile in un intervallo I si ha
che f −1 : f (I) → I è continua (*). Esempi e controesempi. Uniforme continuità: definizione, commenti,
esempi. Una funzione uniformemente continua in X è continua in ogni punto di X, funzioni lipschitziane.
Teorema di Heine-Cantor: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è uniformemente
continua in tale intervallo (*).
Capitolo 4. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra,
equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili,
derivata della funzione f (x) = xn , n ∈ N e di f (x) = |x|. Se una funzione è derivabile in un punto è
continua in tale punto (*). Date due funzioni derivabili in un punto: derivata della loro somma, del
1
loro prodotto(*), del loro rapporto, derivata della funzione composta (*), derivata dell’inversa di una
funzione (*), derivate delle funzioni elementari (*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat
(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle (*), Cauchy (*), Lagrange (*). Una funzione
derivabile è crescente (decrescente) in un intervallo se e solo se la sua derivata è non negativa (non positiva)
(*). Se una funzione ha la derivata positiva (negativa) in un intervallo allora è strettamente crescente
(decrescente) (*). Data una funzione derivabile in I \ {x0 } e continua in x0 , se esiste finito il limite di
f 0 (x) per x → x0 , allora f è derivabile anche in x0 e f 0 (x0 ) = lim f 0 (x) (*). Regola di de l’Hôpital
x→x0
(*). Esempi. Derivate successive: funzioni di classe C k con k ∈ N: esempi di funzioni derivabili, ma non
C 1 . Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della
convessità mediante derivate prime e seconde (*). Asintoti. Flessi. Grafici funzioni. Confronto locale
tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infinito e infinitesimo di ordine α > 0. Formula di Taylor:
con resto di Peano (*), con resto di Lagrange. Sviluppi di alcune funzioni elementari (*). Applicazioni
della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, approssimazione del
numero e (e di altri) tramite la formula di Taylor, calcolo dell’ordine di infinitesimo di alcune funzioni.
Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno. Metodo di
Newton per approssimare le soluzioni di un’equazione (*).
Capitolo 5. Calcolo integrale. Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e
somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann. Caratterizzazione dell’integrabilità (*).
Proprietà dell’integrale. Integrabilità delle funzioni continue (*), delle funzioni continue a tratti, delle
funzioni monotone (*). Proprietà delle funzioni integrabili, teorema della media integrale (*), teorema
fondamentale del calcolo integrale (*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo
integrale (*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d’integrazione indefinita: integrazione per
parti (*) e per sostituzione (*). Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo
di integrali definiti. Integrali impropri di 1a e 2a specie: convergenza e convergenza assoluta. Criteri di
convergenza. Integrazione numerica: formula dei trapezi e di Cavalieri–Simpson.
Capitolo 6. Serie: definizione di serie, serie convergente, divergente, indeterminata. Condizione necessaria affinché una serie converga è che lim an = 0 (*). Esempi e controesempi (utilizzando i risultati
n
successivi). Serie geometrica di ragione x (*). Forma decimale di un numero reale. Operazioni con le
serie. Criterio di Cauchy (conseguenza dell’analogo risultato per le successioni) (*). Le serie a termini
positivi (e a termini negativi) sono regolari (*). Serie a termini positivi (o non negativi): criteri del
confronto (*), del confronto asintotico (*), del rapporto (*), della radice n-esima (*) e loro corollari (*).
√
an+1
allora esiste anche lim n an . Criterio di confronto
Data (an )n∈N a termini positivi, se esiste lim
n
n
an
con l’integrale improprio per serie a termini positivi (*). Serie armoniche generalizzate (*). Criterio di
condensazione e conseguenze. Serie assolutamente convergenti. Criterio per le serie a segno variabile
(assoluta convergenza) (*). Riordinamento di una serie. Serie a segno alterno: criterio di Leibniz (*).
Capitolo 7. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Continuità del limite uniforme
di funzioni continue. Passaggio al limite sotto il segno di integrale (*). Passaggio al limite sotto il segno
di derivata. Esempi. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, assoluta, totale. Criterio di
Weierstrass. Continuità della somma uniforme di una serie di funzioni continue. Integrazione per serie.
Derivazione per serie.
Serie di potenze, raggio di convergenza. Proprietà della somma di una serie di potenze. Esempi. Serie
di Taylor. Teorema di sviluppabilità in serie di Taylor (*). Sviluppi di alcune funzioni elementari.
Serie di Fourier, teorema di convergenza. Forma complessa della serie di Fourier. Sviluppi in serie di
soli seni o di soli coseni. Teorema di Parseval.
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