Lucidi5

Altre trasformazioni
elementari
Si possono definire altri tipi di
trasformazioni elementari
Analogamente alle trasformazioni di
Gauss, esse danno luogo a
fattorizzazioni
Trasformazione elementari
di Givens
Esempio
Se n=8, ϕ=π/4, i=3, j=6, la
trasformazione di Givens è la
matrice
dove
1
Prodotto matrice vettore
Caso n=2
Moltiplicare un vettore per una
matrice di Givens equivale ad una
rotazione di ampiezza ϕ.
Osservazione
Rotazione nel senso positivo degli archi
In generale
Il prodotto matrice vettore
equivale ad una rotazione
nell’iperpiano individuato da
dove
indicano l’-iesimo e il jesimo vettore della base canonica
(colonne della matrice identità)
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Proprietà
La matrice
è ortogonale
(l’inversa coincide con la trasposta).
Lo si vede dall’esempio in 2
dimensioni, poichè la trasposta
esprime una rotazione in senso
inverso.
In generale si ha che
Osservazione
Osservazioni
Le matrici ortogonali hanno la
proprietà di avere un’inversa
facilmente calcolabile (è la
trasposta).
L’idea è di usare le rotazioni di Givens
in modo analogo alle trasformazioni di
Gauss (matrici triangolari) per ottenere
una fattorizzazione.
Infatti
Se
è sempre possibile trovare valori di c
ed s (trovare un angolo ϕ ) tale che
3
Il prodotto
altera solo la iesima e la j-esima componente del
vettore y secondo le relazioni
Per annullare
Data una matrice A, è possibile
trovare
tale che
abbia l’elemento
.
occorre trovare c ed s tali che
Inoltre
Vengono alterate solo la riga i e la
riga j della matrice prodotto
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Fattorizzazione QR
Usare le trasformazioni di Givens per
ridurre a struttura triangolare una matrice
(analogia con le trasformazioni di Gauss).
Dopo n-1 passi
Riassumendo
TEOREMA
Se A è una matrice nxn allora esiste
una matrice ortogonale Q tale che
dove R è triangolare superiore.
è una matrice ortogonale perché prodotto di matrici
ortogonali
Si ha
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Esempio: passo (1)
Esempio: passo (1)
Esempio: passo (1)
Esempio: passo(2)
6
Esempio: passo(3)
Esempio
Esempio
Complessità computazionale
Passo
1
2
…
n-1
Prodotti
…
Radici
n-1
n-2
…
1
7
Osservazione
La complessità della fattorizzazione QR è
maggiore rispetto all’algoritmo di Gauss.
Nel caso di matrici sparse può essere
conveniente.
Es: Matrici tridiagonali o di Hessemberg
Osservazioni
Si dimostra che la fattorizzazione QR
equivale al procedimento di GramSchmidt.
La fattorizzazione QR è utilizzata
anche per
Algoritmi per il calcolo degli autovalori
di una matrice;
Metodi per la soluzione di problemi di
fitting (approssimazione)
Soluzione di un sistema
Calcolo dell’inversa
Sostituzione all’indietro
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Calcolo dell’inversa
Calcolo dell’inversa
Per definizione
Se consideriamo l’uguaglianza per
colonne otteniamo
Se per esempio
dove
è la i-esima colonna
dell’inversa e
è la i-esima
colonna della matrice identità
Si risolvono n sistemi triangolari inferiori
dove il termine noto è rappresentato
dalle colonne della matrice identità e poi
n sistemi triangolari superiori.
Metodo di Gauss-Jordan
Trasformazioni di GaussJordan
Si risolvono contemporaneamente
gli n sistemi
La matrice A viene ridotta a forma
diagonale mediante trasformazioni
di Gauss-Jordan.
Il prodotto
equivale ad una
combinazione lineare delle righe. La
matrice risultante ha tutti elementi nulli
sulla colonna i tranne l’elemento
diagonale.
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Dopo n-1 passi
Si applicano n-1 trasformazioni alla
matrice composta
Si ottiene
per definizione è
l’inversa di A
Osservazioni
Esempio
E’ una variante del metodo di
Gauss. Si tratta di un procedimento
di eliminazione.
Anche in questo caso si può
applicare la strategia di pivoting
parziale.
Il metodo di Gauss-Jordan ha
complessità computazionale
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Sommario dei metodi diretti
Complessità computazionale
Due librerie di subroutine per la risoluzione
dei sistemi lineari
(LAPACK)
http://www.cs.colorado.edu/~jessup/lapack/
applets/linear_equations_routines.html
(HSL) http://hsl.rl.ac.uk/contentshslarc.html#m
La scelta del metodo dipende
Dalla struttura della matrice (sparsa o densa)
Dalla dimensione
Dal condizionamento del sistema
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