Politiche riassicurative: la convenienza ai diversi trattati di

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
FACOLTÀ DI ECONOMIA
CORSO DI LAUREA IN
SCIENZE STATISTICHE ED ATTUARIALI
TESI DI LAUREA IN STATISTICA ASSICURATIVA
Politiche riassicurative: la convenienza ai
diversi trattati di riassicurazione
Relatore: Chiar.mo Prof.
Luigi Vannucci
Tesi di laurea di:
Francesco Maggina
A.A. 2002/2003
INDICE
Capitolo 1 Introduzione e note storiche
pag 1
Capitolo 2 Il mercato italiano della riassicurazione
pag 5
2.1 Premessa
pag 5
2.2 Imprese esercenti l’attività assicurativa in Italia
pag 5
2.3 Composizione del mercato italiano della riassicurazione
pag 6
2.4 Altri aspetti delle gestioni assicurative
pag 13
Capitolo 3 Forme riassicurative
pag 20
3.1 Premessa
pag 20
3.2 Forme riassicurative proporzionali
pag 24
3.3 Forme riassicurative non proporzionali
pag 31
3.4 Forme riassicurative miste
pag 39
3.5 Altri modelli esclusivi per ramo o per altre grandezze
pag 42
3.6 Nuova tipologia riassicurativa
pag 49
Capitolo 4 Analisi della convenienza alla riassicurazione
pag 54
4.1 Elementi di teoria dell’utilità
pag 54
4.2 Definizioni generali
pag 57
4.3 Punto di vista dell’assicurato
pag 58
4.4 Punto di vista dell’assicuratore
pag 60
4.5 Punto di vista del riassicuratore
pag 63
4.6 Convenienza ai contratti di assicurazione e riassicurazione pag 64
4.7 Convenienza ai trattati di riassicurazione
pag 71
Capitolo 5 Politiche ottimali di riassicurazione
pag 74
5.1 Premessa
pag 74
5.2 Politiche ottimali di riassicurazione
pag 75
5.3 Cessioni ottimali dei rischi
pag 82
5.4 Accordi ottimi di contrattazione dei premi
pag 87
5.5 Accordi ottimi in presenza di trattati di riassicurazione
pag 93
Capitolo 6 Conclusione
pag 98
Bibliografia
pag 99
CAPITOLO 1
INTRODUZIONE E NOTE STORICHE
Qualsiasi soggetto (singolo individuo, associazione, impresa, ecc..),
presso il quale siano “localizzati” dei rischi, può trasferire (almeno
parzialmente) ad altri soggetti alcuni di questi rischi. Tale trasferimento in
genere avviene quando il complesso dei rischi supera un certo limite:
questa “capacità di conservazione” dei rischi dipende da vari fattori, tra i
quali uno dei più importanti è l’ammontare di mezzi finanziari che
possono essere utilizzati per coprire gli eventuali oneri derivanti
dall’acquisizione del rischio. Il trasferimento di rischi avviene mediante la
stipulazione di contratti di assicurazione e il soggetto destinatario dei
rischi trasferiti è dunque un assicuratore.
Anche un’impresa di assicurazioni si può trovare in queste condizioni,
ossia ritenere conveniente ridurre la propria esposizione aleatoria cedendo
una parte dei rischi assunti, quindi “riassicurandosi”. In questo caso
quest’impresa stipulerà con un’altra impresa assicuratrice, che agirà come
riassicuratore, un opportuno contratto di riassicurazione.
La riassicurazione è quindi il contratto con cui l'assicuratore (riassicurato)
trasferisce una parte del rischio o dei rischi assunti ad un altro assicuratore
(riassicuratore), ferma restando l'estraneità dell'assicurato. Insieme alla
coassicurazione, è uno degli strumenti tipici previsti dal codice civile per
la ripartizione del rischio tra più assicuratori.
Nel capitolo 2 verrà innanzitutto presentata una panoramica del mercato
riassicurativo italiano, con dati riferiti agli anni dal 1998 al 2002
riguardanti il tipo di imprese che esercitano l’attività assicurativa e
riassicurativa, la composizione e i movimenti del mercato italiano della
1
riassicurazione e i principali aspetti del bilancio di una gestione
assicurativa.
Nel capitolo 3 saranno descritti i tipi di trattati che regolano i rapporti tra
l’assicuratore e il riassicuratore, e successivamente le principali coperture
riassicurative, proporzionali, non proporzionali e miste, presenti nel
mercato italiano. Le più importanti tipologie di riassicurazione saranno
chiarite con grafici e commenti, e analizzate sulla base di confronti diretti
o di esempi numerici, per capire le implicazioni che ognuna di esse ha
sulla parte dei rischi che sono a carico dell’assicuratore e del
riassicuratore.
Uno dei punti di partenza della matematica attuariale è l’analisi dei motivi
che spingono due soggetti a stipulare un contratto di assicurazione.
Quest’analisi si basa sullo studio delle funzioni di utilità dell’assicurato e
dell’assicuratore, che si ipotizzano crescenti e concave; ragionando sulle
proprietà di tali funzioni si desume come sia proprio la concavità il
motivo della convenienza alla stipulazione del contratto assicurativo da
tutte e due le parti, in quanto l’avversità al rischio si lega alla concavità.
Nel capitolo 4 sarà effettuata un’analisi congiunta del contratto di
assicurazione e del contratto di riassicurazione, basata non sui valori medi
dei rischi che vengono ceduti, ma sulle valutazioni dei soggetti interessati.
L’operazione aleatoria oggetto del contratto assicurativo e di quello
riassicurativo, verrà quindi sempre valutata in termini di utilità perché
solamente in questo modo, con la valutazione di importi aleatori secondo
una scala alterata del valore monetario, è possibile tenere conto della
rischiosità di un’operazione aleatoria e giudicarne quindi la vantaggiosità
o meno.
Saranno quindi determinate le regioni di convenienza ai due contratti dei
vari soggetti coinvolti: l’assicuratore, la compagnia di assicurazione e il
riassicuratore.
2
Dopo aver identificato queste regioni, saranno presentati all’inizio del
capitolo 5, i principali criteri, trattati in letteratura, e i connessi risultati
per stabilire le politiche ottimali di riassicurazione, basati su politiche
unilaterali (punto di vista del solo assicuratore) o bilaterali (punto di vista
dell’assicuratore e del riassicuratore). Successivamente sarà descritto un
modello teorico, basato sulla minimizzazione della probabilità di rovina
per l’assicuratore e per il riassicuratore, per scegliere le cessioni ottimali
dei rischi, e un possibile metodo per trovare l’accordo sui premi, accordo
che deve risultare conveniente per tutti i contraenti, basato sulla
massimizzazione di una trasformazione delle utilità dei tre soggetti.
Note storiche
Nello stesso commercio marittimo in cui si trovano gli albori
dell’assicurazione, si trovano anche i primi tentativi di riassicurazione.
Infatti il primo contratto di riassicurazione di cui si ha notizia fu concluso
nel 1370 a Genova.
Durante il medioevo gli assicuratori lavoravano senza statistiche, tassi e
calcoli probabilistici, facendo assegnamento esclusivamente sulle loro
personali stime. Così, quando iniziarono a esserci delle perdite eccessive,
gli assicuratori si chiesero se avessero acquisito troppi rischi. Per
proteggersi contro tali situazioni, studiarono come trasferire parte dei
rischi presso altri assicuratori.
In aggiunta alla riassicurazione, che in quel periodo copriva solamente
singoli rischi (riassicurazione facoltativa), l’altro strumento utilizzato per
dividere i rischi era ed è tuttora la coassicurazione.
La nascita dei “Lloyd’s” di Londra, la compagnia di assicurazione più
famosa al mondo, è dovuta alla riassicurazione: fu nel 1764, quando una
legge in Inghilterra proibì la riassicurazione, che gli assicuratori si
riunirono per la prima volta in sindacati per poter coprire rischi superiori
3
ai loro mezzi finanziari individuali. La legge fece involontariamente
nascere i Lloyd’s.
Il processo di industrializzazione di quegli anni contribuì ad aumentare e
concentrare denaro; la conseguenza diretta fu l’esplosione della domanda
di riassicurazione delle compagnie di assicurazione. I trattati di
riassicurazione obbligatori, che servivano a coprire interi portafogli,
presero il posto delle forme facoltative su singoli rischi.
Un incendio catastrofico ad Amburgo nel 1842, con un ammontare di
danni pari a 18 milioni di marchi a carico della compagnia “Hamburg Fire
Fund” la cui riserva ammontava a 500 mila marchi, dette un immediato
impulso per la fondazione della “Cologne Reinsurance Company”, la
prima compagnia professionale di riassicurazione.
Conseguentemente a questo gravosissimo incidente, gli assicuratori
sentirono il bisogno di distribuire i propri portafogli di polizze tra più
soggetti, appunto perché le riserve normalmente accantonate dagli
assicuratori erano inadeguate per tali o più gravose catastrofi.
La fondazione di ulteriori compagnie professionali specializzate in
riassicurazione (Aachen Re nel 1853, Frankfurt Re nel 1857, Swiss Re nel
1863 e Munich Re nel 1880), fu di grande importanza per le operazioni
assicurative e quindi per lo sviluppo dell’industria. Ovviamente, queste
specializzazioni portarono alla nascita di nuove forme di riassicurazione e
all’utilizzo di meccanismi più complicati per soddisfare esigenze diverse.
Il ventesimo secolo è stato caratterizzato da un’ondata di nuove
compagnie di riassicurazione, fondate in numerosi paesi, e da un
incremento dell’attività riassicurativa delle compagnie già esistenti. Oggi,
Standard & Poor’s conta circa 135 riassicuratori professionali in tutto il
mondo, e 2000 compagnie di assicurazione miste.
4
CAPITOLO 2
IL MERCATO ITALIANO
2.1 PREMESSA
I dati che sono presentati in questo capitolo provengono prevalentemente
da pubblicazioni (on-line e cartacee) delle riviste in bibliografia e da dati
personalmente concessimi, nella persona del dottor Marco Marfoli
dell’ufficio statistiche e studi attuariali dell’ANIA (Associazione
Nazionale delle Imprese di Assicurazioni). Gli elementi che saranno presi
in considerazione del mercato italiano, saranno l’analisi del tipo di
imprese che esercitano l’attività assicurativa, la composizione e i
movimenti di tale mercato suddiviso per rami, e alcuni elementi del
bilancio di una gestione assicurativa.
2.2 IMPRESE ESERCENTI L’ATTIVITÀ ASSICURATIVA IN ITALIA
Nel mercato assicurativo italiano rientrano molte compagnie, italiane e
rappresentanze estere; la classificazione delle imprese al dicembre 2002,
secondo le pubblicazioni ANIA, è descritto come nella seguente tabella.
Tabella 2.1 imprese esercenti l’attività assicurativa in Italia
rappresentanze
imprese italiane
società per
mutue e
azioni
cooperative
estere
totale
imprese
solo vita
84
0
14
98
di
solo danni
88
2
36
126
assicurazione multiramo
18
2
1
21
riassicuratori professionali
3
0
6
9
5
Rispetto al totale, il numero dei riassicuratori professionali (imprese
esercenti la sola riassicurazione) è basso, solo 9. Ciò significa che sono
pochissime le compagnie che si spingono ad intraprendere la sola attività
riassicurativa, sia perché è un’attività generalmente più rischiosa di quella
assicurativa, sia perché necessita di alcune caratteristiche di cui non tutte
le compagnie dispongono. In dettaglio esse sono: una “fama” a livello
internazionale per poter acquisire parte dei rischi da tutto il mondo,
realizzando così portafogli più eterogenei e più equilibrati (se una
compagnia si occupasse di riassicurazione solo in una nazione, correrebbe
il grosso rischio che un solo catastrofico evento la faccia fallire, cosa che
non accadrebbe con una diffusione territoriale più ampia), e un capitale
molto elevato per far fronte a punte di sinistrosità effettiva non ordinaria.
2.3 COMPOSIZIONE DEL MERCATO ITALIANO DELLA RIASSICURAZIONE
I dati che l’ANIA mi ha gentilmente concesso di visionare riguardano
quattordici rami danni, con relativi premi di lavoro diretto e indiretto,
premi ceduti (a compagnie di riassicurazione) e retroceduti (dal
riassicuratore ad altri riassicuratori) e oneri relativi ai rischi assunti
(ceduti e retroceduti), in relazione ad un orizzonte temporale di 4 anni –
1998, 1999, 2000 e 2001 – gli unici anni per cui sono disponibili i dati
disaggregati per rami.
Gli oneri riguardano i sinistri dell’esercizio in corso e i sinistri degli
esercizi precedenti, liquidati tardivamente.
Nella tabella 2 sono riportati in dettaglio questi dati1, già inflazionati
secondo i tassi di inflazione ufficiali dell’ISTAT, per rendere
confrontabili i dati di anni diversi (l’anno di riferimento è così il 2001).
1
I dati sono in milioni di euro
6
Tabella 2.2: tassi d’inflazione
Anni
1998
1999
2000
2001
Tassi
1,8
1,6
2,6
2,7
Tabella 2.3: dati del mercato italiano per i rami danni
Ramo
j
Altri
danni ai
beni
Corpi di
veicoli
marittimi
Incendio, elementi
naturali
Merci da
trasporto
R.C.
generale
Assistenza
Anno Premi
diretti
e
indiretti
t
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
t
Pj
1986
1979
2025
2108
347
244
253
345
2210
2056
2091
2118
371
400
428
359
2030
2109
2203
2349
238
244
261
267
Premi
ceduti
e
retroc.
t
PjR
Oneri
relativi
a
sinistri
ceduti, _ R
retroc. P Rj
t
Xj
663
598
574
591
257
181
170
229
702
606
605
622
160
196
173
174
229
230
274
295
55
57
60
58
621
491
544
496
179
249
239
240
330
372
661
426
123
170
131
118
90
260
258
309
23
22
21
18
7
_
P
0,15
0,05
0,16
0,05
0,07
0,02
t
PjR
t
Pj
0,33
0,30
0,28
0,28
0,74
0,74
0,67
0,66
0,32
0,29
0,29
0,29
0,43
0,49
0,40
0,48
0,11
0,11
0,12
0,13
0,23
0,23
0,23
0,22
c (X j )
0,11
N Rj
^
bj
68 -0,01
0,14 -17
0,08
0,33 187
0,08
0,17
40 -0,03
0,42
28
0,10
36 -0,03
0,13
Corpi di
veicoli
terrestri
Infortuni
Perdite
pecuniarie
Cauzione
Credito
Malattia
R.C.
autoveicoli
terrestri
Altri
rami
Totale
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
1998
1999
2000
2001
2779
2800
2867
2947
2604
2559
2622
2701
149
162
175
184
689
599
551
581
257
271
325
357
1278
1297
1391
1454
12643
14016
14891
15536
282
285
360
339
27863
29018
30441
31644
195
198
236
242
383
321
319
317
26
31
34
33
369
313
275
290
128
124
136
133
126
158
175
186
581
658
781
704
102
110
170
128
3976
3781
3981
4001
102
100
144
134
220
203
210
195
25
44
137
27
91
96
118
165
-22
65
76
103
66
98
130
139
621
812
917
808
74
83
101
53
2542
3065
3686
3231
8
0,06
0,09
0,01
0,08
0,03
0,04
0,17
0,03
1,00
0,07
0,07
0,08
0,08
0,15
0,13
0,12
0,12
0,17
0,19
0,19
0,18
0,54
0,52
0,50
0,50
0,50
0,46
0,42
0,37
0,10
0,12
0,13
0,13
0,05
0,05
0,05
0,05
0,36
0,39
0,47
0,38
0,14
0,13
0,13
0,13
0,18
98
0,01
0,05 128
0,01
0,92 -27
0,16
0,29 194
0,08
0,98
75
0,22
0,31
53
0,06
0,16 108
0,01
0,26
49 -0,08
0,15 804
0,05
Dove
_ R
Pj =
_
Pj =
∑
2001
t _ R
Pj
t =1998
media aritmetica dei premi ceduti per ramo j
4
∑
2001
t _
Pj
t =1998
media aritmetica dei premi diretti e indiretti
4
Gli indici calcolati per ogni ramo sono:
_ R
Pj
percentuale del ramo j sul totale dei premi di riassicurazione
_ R
P
t
PjR
t
Pj
percentuale di cessione nell’anno t per il ramo j
c(X j ) =
Nj
∑
=
(
Vart t X j
[ ]
t
Et X j
2001
t =1998
t
)
coefficiente di variazione degli oneri per il ramo j
PjR − ∑t =1998 t X j
2001
4
guadagno medio annuale per il ramo j
 tX j 
Cov t R , t 
t
 P

^
 j  stima del parametro b per la regressione di X j da t
bj =
j
t R
Var (t )
Pj
Considerazioni.
I tre rami “altri danni ai beni”, “incendio ed elementi naturali”, “R.C.
autoveicoli”, dei quattordici considerati, comprendono quasi il 50% del
volume totale dei premi ceduti (in riassicurazione).
Ma si può notare che la percentuale di cessione in riassicurazione è
all’incirca del 5% per il ramo R.C. autoveicoli, e del 30% per gli altri due
rami, quindi in questi rami il totale dei premi ceduti è maggiore per effetto
della grande quantità di premi diretti (di assicurazione).
9
Il ramo R.C. presenta un volume (medio sui quattro anni) dei premi ceduti
pari a 681 milioni di euro, in confronto a un volume dei premi diretti e
indiretti pari a più di 14 miliardi di euro; gli altri due rami presentano
ciascuno un volume dei premi ceduti di più di 600 milioni di euro, in
confronto a un volume dei premi diretti e indiretti pari a più di 2 miliardi
di euro.
Negli altri rami con un volume di premi diretti e indiretti pari a più di 2
miliardi di euro, la percentuale di cessione è più bassa, inferiore al 9%.
Tra tali rami, ne spiccano alcuni in cui è più alta la percentuale di premi
ceduti sul totale dei premi diretti, ossia i rami in cui si effettua di più la
riassicurazione; sono il ramo “corpo di veicoli terrestri” che presenta
un’aliquota di cessione pari al 70%, poi i rami “cauzione”, “credito” e
“merci trasportate” che presentano un’aliquota di cessione dal 43% al
51%.
In termini assoluti, si nota un continuo aumento del volume dei premi
(ceduti e retroceduti) per i rami “R.C. generale”, “corpi di veicoli
terrestri” e “malattia”, con un aumento percentuale totale nei quattro anni,
rispettivamente del 29%, 24% e del 48%. Si nota invece una continua
diminuzione del volume dei premi (ceduti e retroceduti) solo nel ramo
“infortuni” con una diminuzione percentuale nei quattro anni del 17%.
In percentuale al volume dei premi diretti e indiretti, le cose cambiano un
po’: c’è un continuo aumento della percentuale di cessione solo per il
ramo “malattia” e una continua diminuzione della percentuale di cessione
e retrocessione per i rami “altri danni ai beni”, “infortuni” e “credito”; in
questi ultimi tre rami si accentua quindi la propensione delle imprese a
conservare e gestire direttamente i rischi assunti.
10
Per quanto riguarda gli oneri relativi ai sinistri ceduti, si può notare che i
rami con i valori più grandi sono gli stessi tre rami che avevano maggior
volume di premi, come c’era da aspettarsi.
Analizzando il coefficiente di variazione tra i vari anni, per ogni ramo, si
può notare che i rami più variabili sono il ramo credito e il ramo perdite
pecuniarie con coefficiente quasi unitario; poi di seguito tutti gli altri rami
con coefficiente di variazione minore di 0,41.
Effettuando il test di correlazione tra le variabili anno e rapporto oneri –
premi, con livello di significatività pari a 0,1, si ottiene che c’è una
marcata correlazione negativa per il ramo “assistenza” e per il ramo “altri
rami”, quindi una significativa decrescenza dei risarcimenti, mentre vi è
una marcata correlazione positiva (e quindi un significativo aumento dei
risarcimenti in proporzione ai premi) per i rami “cauzione”, “credito” e
“malattia”. Per i restanti rami non c’è una significativa correlazione tra le
due variabili considerate.
Per il ramo R.C. autoveicoli, c’è stata una passività (oneri maggiori dei
premi) per ognuno dei quattro anni considerati, con una perdita media
all’anno di 108 milioni di euro.
Per il ramo “corpi di veicoli marittimi” c’è stata passività per tre anni, con
una perdita media all’anno di 17 milioni di euro.
Per il ramo “perdite pecuniarie” c’è stata passività per due anni, con una
perdita media all’anno di 27 milioni di euro. È anche il ramo in cui è stata
registrata la più alta perdita, in percentuale al livello di premi introitati;
infatti gli oneri nell’anno 2000 sono stati di 133 milioni di euro, a fronte
di un introito di premi di circa 33 milioni (dati non inflazionati).
Tutti gli altri rami, compresi i rami “R.C. generale” e “incendio ed
elementi naturali”, che hanno registrato rispettivamente due e un anno di
passività, hanno sempre segnato un “attivo” medio per anno. Ciò significa
che, per questi rami, le perdite (relative alla semplice differenza tra premi
11
introitati e oneri sborsati) sono sempre state abbondantemente compensate
dai premi introitati.
Si riportano a titolo informativo, per gli anni dal 1999 al 2002, gli stessi
dati, per il ramo vita. Per questo ramo si deve ricordare però che, essendo
perlopiù coperture su contratti pluriennali, non ha senso effettuare un
confronto diretto tra i premi ceduti e oneri dello stesso anno. Infatti,
essendo i dati relativi ai pagamenti effettuati nell’esercizio in corso,
spesso accade che gli oneri sono i risarcimenti per coperture i cui premi
sono stati pagati diversi anni prima; e allo stesso modo, i premi sono per
coperture che potrebbero portare risarcimenti con molti anni di
differimento.
Poiché nel mercato riassicurativo italiano intervengono compagnie estere
e italiane, ed essendo le compagnie italiane soggette al diretto controllo
dell’ANIA, i dati relativi al lavoro prettamente italiano (di imprese aventi
la sede legale in Italia) sono più precisi e dettagliati, rispetto ai dati delle
rappresentanze di imprese estere.
Sotto, nella tabella 2.4, riguardante i dati del mercato italiano per il ramo
vita, si riportano, per gli stessi anni, gli stessi dati per il ramo danni.
Tabella 2.4: dati del mercato italiano per il ramo vita
Anno
t
1999
2000
2001
2002
Lavoro complessivo
Lavoro italiano
Risarcimenti
Risarci- RisarciPremi Premi diretti e Premi Premi
menti menti
diretti indiretti indiretti diretti indiretti diretti indiretti
35617
1564
9514 35597
1365
8727
496
39805
2013
14329 39784
1537 13314
655
46352
2131
16774 46329
1622 15744
607
55325
2068
22682 55298
1593 21539
728
12
Tabella 2.5: dati del mercato italiano per il ramo danni
Anno
t
1999
2000
2001
2002
Lavoro complessivo
Risarcimenti
Premi Premi diretti e
diretti indiretti indiretti
26419
3113
21532
28013
3388
22619
30005
3330
24073
32485
3505
23815
Lavoro italiano
Premi Premi
diretti indiretti
26246
1591
27875
1795
29926
1719
32417
1912
Risarci- Risarcimenti menti
diretti indiretti
19078
991
19839
1085
21344
1165
21284
1234
Per quanto riguarda le modalità riassicurative che vengono correntemente
utilizzate nel mercato italiano, si ha:
- la modalità “in quota”, impiegata spesso nelle assicurazioni credito,
cauzioni, incendio e responsabilità civile auto
- la modalità “per eccedente di somma”, largamente impiegata nelle
assicurazioni incendio, infortuni e trasporti.
- la modalità “per risk excess of loss” frequentemente impiegata nelle
assicurazioni di responsabilità civile
- la modalità “aggregate excess of loss” diffusamente impiegata nelle
assicurazioni grandine
- la modalità “stop loss” spesso utilizzata nelle assicurazioni contro le
catastrofi (in particolare contro le tempeste) e sulla salute
2.4 ALTRI ASPETTI DELLE GESTIONI ASSICURATIVE
I premi introitati e gli oneri sborsati non sono le uniche voci interessanti
di una gestione assicurativa. Altre voci importanti sono le spese di
gestione e le riserve tecniche.
Per il ramo danni, le riserve tecniche sono dei fondi non liberi, che
servono per coprire gli impegni derivanti dalla gestione tecnica (i
risarcimenti); sono principalmente la riserva premi, per rischi in corso e
13
per danni non ancora denunciati, e la riserva sinistri, per rischi non
liquidati, non pagati o non denunciati. Per il ramo vita, le riserve
matematiche al tempo t sono la differenza tra il valore attuariale in t delle
prestazioni eventuali e future dell’assicuratore e il valore attuariale dei
premi ancora da introitare. In entrambi i casi, le riserve rappresentano il
debito che l’assicuratore ha nei confronti degli assicurati, e sono quindi
l’indicatore principale degli impegni futuri dell’assicuratore. Ovviamente,
a fronte di tale debito vi è l’accantonamento dei premi già incassati.
Quanto appena detto vale sia per il lavoro diretto (acquisizione dei
contratti di assicurazione direttamente sul mercato), sia per il lavoro
indiretto (premi ceduti in riassicurazione); le riserve nel caso di lavoro
indiretto rappresentano quindi il debito che il riassicuratore ha nei
confronti degli assicuratori che gli hanno ceduto dei rischi, a fronte del
pagamento dei premi di riassicurazione.
Le riserve da lavoro diretto e indiretto, per gli anni dal 1999 al 2002, sono
riportate nella tabella 2.6, con la seguente simbologia:
Vt
riserva matematica, per il ramo vita
Vt P
riserva premi, per il totale dei rami danni
Vt S
riserva sinistri, per il totale dei rami danni
Tabella 2.6: Riserve matematiche (vita) e tecniche (danni)
Anno Lavoro diretto italiano ed
estero
P
S
Vt
Vt
Vt
t
1999 150515 11434 39618
2000 180708 11904 43765
2001 210944 12785 46527
2002 242983 13613 49135
Lavoro italiano
Lavoro diretto
Lavoro indiretto
P
S
Vt
Vt
Vt P Vt S
Vt
Vt
140592 10344 34411 6536 523 2600
167362 10871 38074 7784 547 3058
196375 11652 40467 8631 593 3328
227280 12447 43311 9151 488 2602
È facile e ovvio intuire come le riserve, per il ramo vita e per il ramo
danni, per il lavoro diretto e indiretto, siano crescenti con i premi
14
incassati; infatti, se il volume dei premi aumenta, significa che sono
stipulate più coperture o che le coperture sono più onerose, e allora è
ovvio che aumenti il debito di chi acquisisce i rischi, quindi le riserve.
La particolare osservazione che si può fare riguarda i rapporti tra i premi e
le rispettive riserve. Non sono molto rilevanti le fluttuazioni di questi
rapporti, ma è interessante vedere la differenza tra questi rapporti a
seconda del ramo (vita e danni) e per il lavoro diretto e indiretto; si ha
Per il ramo vita:
per il lavoro diretto il rapporto si attesta attorno al
24% (da un minimo del 23,6% del 2001 ad un
massimo del 25,3% del 1999);
per il lavoro indiretto il rapporto si attesta attorno al
19% (da un minimo del 17,4% del 2002 ad un
massimo del 20,9% del 1999)
Per il ramo danni:
per il lavoro diretto il rapporto si attesta attorno al
58% (da un minimo del 56,9% del 2000 ad un
massimo del 58,6% del 1999);
per il lavoro indiretto il rapporto si attesta attorno al
52% (da un minimo del 43,8% del 2001 ad un
massimo del 61,9% del 2002)
A parte la grande variabilità del rapporto premi – riserve che si riscontra
per il lavoro indiretto nel ramo danni, è evidentissima la differenza dei
rapporti a seconda del ramo: nel ramo vita i premi sono “solo” il 24%
delle riserve, mentre nel ramo danni i premi sono più della metà delle
riserve.
Per entrambi i rami si riscontra una diminuzione di questo rapporto,
passando dal lavoro diretto al lavoro indiretto; ciò significa che, per
quanto riguarda il lavoro indiretto, i premi sono più bassi in rapporto alle
riserve; ciò si spiega con il fatto che i riassicuratori sono generalmente
meno avversi al rischio degli assicuratori, per cui i caricamenti inseriti nei
15
premi di riassicurazione sono proporzionalmente inferiori ai caricamenti
inseriti nei premi di assicurazione.
L’altra voce importante per i bilanci delle imprese è costituita dalle spese
di gestione, riportate, per ramo e per lavoro diretto e indiretto, nella
seguente tabella.
Tabella 2.7: Spese di gestione
lavoro complessivo
Anno vita
danni
1999
3422
7249
2000
3854
7542
2001
3752
7858
2002
3762
8322
lavoro italiano
diretto
indiretto
vita
danni
vita
danni
3026
6211
367
475
3398
6471
412
518
3323
6891
351
499
3405
7328
312
564
Le spese di gestione rappresentano un altro aspetto fondamentale per il
bilancio di un’impresa. Infatti, anche per i rami in cui c’è stata una
differenza positiva tra i premi e gli oneri (vedi tabella 2.3 e relativi
commenti), questa differenza non rappresenta il guadagno dei
riassicuratori: dovendo tenere in conto le spese di gestione, il bilancio
complessivo dei riassicuratori può essere negativo anche a fronte di una
differenza positiva tra premi e oneri.
I bilanci per quanto riguarda il totale del lavoro diretto (al netto delle
cessioni in riassicurazione) e del lavoro indiretto solo per i riassicuratori
professionali sono riportati nelle seguenti tabelle.
16
Tabella 2.8: Conti economici per il mercato diretto italiano
CONTO TECNICO
1998 1999 2000 2001
Premi diretti e indiretti
61011 66965 75240 86197
Variazione riserve tecniche (-)
31919 27500 30047 32662
Utile investimenti
9941 7567 5435 3929
Oneri relativi ai sinistri (-)
29534 35583 38239 44332
Spese di gestione (-)
9167 9791 10208 10645
Altri proventi e oneri tecnici
-420 -479 -117 -118
Risultato del conto tecnico vita e danni
-88 1179 2064 2369
CONTO NON TECNICO
Altri proventi rami vita
Altri proventi rami danni
Saldo altri proventi altri oneri
Risultato attività ordinaria
Risultato attività straordinaria
Imposte (-)
Risultato dell’Esercizio
1998
593
607
168
1281
1397
1195
1483
1999
876
705
-394
2366
1067
1390
2043
2000
436
629
-1
3127
1204
1454
2877
Tabella 2.9: Conto economico per i riassicuratori professionali
Conto tecnico
Premi indiretti
Variazione riserve premi (-)
Utile investimenti
Oneri relativi ai sinistri (-)
Spese di gestione (-)
Saldo altri proventi ed oneri
Risultato
1998
1212
268
210
914
367
-8
-135
1999
1135
193
159
760
339
7
9
2000
1447
230
219
1083
425
-11
-83
2001
1356
196
176
934
404
-12
-14
Conto non tecnico
Proventi
Saldo altri proventi ed oneri
Risultato attività ordinaria
Risultato attività straordinaria
Imposte (-)
Risultato dell'esercizio
1998
49
12
-75
2
6
-79
1999
33
-34
8
-151
9
-152
2000
32
-20
-71
109
3
35
2001
21
-22
-15
-1
0
-16
17
2001
726
412
-892
2615
2251
1416
3450
Dalla tabella 2.9 si ricava che i premi indiretti del lavoro italiano ed estero
raccolti dai riassicuratori professionali sono aumentati di anno in anno
(eccetto nell’anno 1999), da 1212 milioni di euro del 1998 fino a 1356
milioni del 2001. La quota di mercato dei riassicuratori professionali sul
complesso del lavoro indiretto è cresciuta (eccetto l’ultimo anno) dal 32%
del 1997, al 35,1% del 1998, al 35,7% del 1999, al 37,5% del 2000, per
scendere al 34,6% del 2001.
Il conto tecnico è il conto delle entrate e uscite dell’attività riassicurativa
in sé. Il risultato del conto tecnico, al netto della retrocessione, è stato
generalmente
negativo.
Stesso
discorso
anche
per
il
risultato
dell’esercizio (per attività non assicurative), positivo solo nel 2000.
Si intuisce dai dati come le spese di gestione siano decisive anche per il
bilancio di una compagnia di riassicurazione: infatti il risultato è negativo
proprio a causa di queste spese, nonostante la differenza positiva tra premi
introitati e oneri pagati. Più precisamente le perdite a causa delle spese di
gestione sono più del 40% delle perdite a causa degli oneri pagati.
Tabella 2.10: Stato patrimoniale dei riassicuratori professionali
Attivo
Attivi immateriali
Investimenti
Riserve tecniche retrocessionari
Crediti
Altri elementi dell'attivo
Totale
1998
136
4118
899
679
599
6431
1999
295
4565
1084
630
475
7049
2000
294
5109
1196
590
214
7403
2001
267
5469
1260
632
255
7883
Passivo
Patrimonio netto
Riserve tecniche
Fondi e depositi da retrocessionari
Debiti ed altre passività
Totale
1998
422
4439
336
1233
6431
1999
424
4896
305
1424
7049
2000
457
5471
431
1043
7403
2001
449
5874
465
1094
7883
18
Dello stato patrimoniale (vedi tabella 2.10) è interessante, per capire la
gestione dell’attività riassicurativa, vedere soprattutto la voce delle riserve
e dei fondi e riserve di retrocessione. Esse rappresentano più del 70% del
totale del passivo e provengono dai premi che i riassicuratori hanno
introitato, e costituiscono quindi la gran parte degli investimenti.
Le riserve tecniche relative ai rischi retroceduti sono invece da contare
all’attivo: esse sono il debito dei riassicuratori retrocessionari nei
confronti degli assicuratori o riassicuratori cessionari. Da sole
rappresentano
circa
il
17%
delle
riserve
totali.
Ciò
significa
approssimativamente che i riassicuratori retrocedono il 17% dei rischi che
acquisiscono indirettamente dagli assicuratori.
19
CAPITOLO 3
TIPOLOGIE RIASSICURATIVE
3.1 PREMESSA
La riassicurazione è un rapporto tra un assicuratore cedente, ossia un
assicuratore che cede parte o tutti i rischi localizzati presso di sé, ad un
altro soggetto, chiamato cessionario. Quest’ultimo può essere un altro
assicuratore, con cui generalmente si mettono in comune parte dei rischi
assunti, oppure un riassicuratore professionale, la cui attività consiste solo
nell’acquisire parte dei rischi ceduti dall’assicuratore.
Possono formarsi anche dei pool di riassicurazione, dove più imprese
mettono in comune il proprio portafoglio e la totalità dei rischi viene
ripartita secondo opportuni criteri fissati. Le modalità di questo tipo
trattate, sono la riassicurazione di reciprocità, per le proporzionali, e
l’ADP per le non proporzionali. La coassicurazione è un altro strumento,
simile alla riassicurazione, che permette a più compagnie di raggiungere i
medesimi scopi raggiungibili con la riassicurazione, e che verrà trattato
tra le tipologie riassicurative proporzionali, perché a queste assimilabile.
La cessione dei rischi in riassicurazione si chiama riassicurazione passiva,
mentre l’assunzione si chiama riassicurazione attiva o lavoro indiretto
(perché non proveniente da acquisizione diretta sul mercato assicurativo).
La cessione dei rischi può ovviamente attuarsi secondo varie tipologie,
diversi metodi, che portano a risultati e a problemi di valutazione
differenti. La più importante differenza tra queste tipologie le distingue in
proporzionali e non proporzionali.
Nella riassicurazione proporzionale, l’assicuratore e il riassicuratore si
accordano sulla ripartizione della copertura del rischio di ogni contratto
20
del portafoglio, secondo un’aliquota ai da applicarsi ad una ben definita
quantità relativa al contratto i (es. intero risarcimento o massimale, per
danni, capitale sotto rischio o capitale assicurato, per vita). Ne consegue
che in proporzione vengono anche ripartiti il risarcimento relativo ai
sinistri verificati e il premio assicurativo, al netto delle spese di
acquisizione e della provvigione riconosciuta all’assicuratore per il
trasferimento al riassicuratore di parte degli utili attesi.
Nella riassicurazione non proporzionale, invece, l’assicuratore e il
riassicuratore si accordano su un importo monetario che corrisponde,
secondo la modalità scelta, al massimo risarcimento che l’assicuratore è
disposto ad effettuare. Non esiste quindi un rapporto diretto tra il premio
di riassicurazione pagato al riassicuratore e il rimborso ricevuto da questo.
Nella riassicurazione proporzionale l’intervento del riassicuratore in caso
di sinistro è certo, ma rimane aleatoria l’entità (a parte casi specifici, ad
esempio per le assicurazioni vita con capitale fissato); in quella non
proporzionale invece non è detto che vi sia l’intervento del riassicuratore.
La differenza tra le due modalità sta nel fatto che nella riassicurazione
non proporzionale, la ripartizione del risarcimento relativo al singolo
sinistro è individuata solamente a posteriori, cioè una volta che si sia
verificato il sinistro, o, addirittura, anche dopo l’osservazione della
sinistrosità relativa al portafoglio, se la riassicurazione è fissata per
portafoglio e non per polizze singole.
Ricapitolando quindi, la riassicurazione proporzionale attua la cosiddetta
ripartizione dei rischi, mentre quella non proporzionale attua la cosiddetta
ripartizione dei risarcimenti.
Nella pratica riassicurativa le forme proporzionali e quelle non
proporzionali sono spesso combinate tra loro, dando vita a riassicurazioni
miste. Le riassicurazioni non proporzionali vengono normalmente
stipulate
per
limitare
superiormente
21
il
risarcimento
a
carico
dell’assicuratore e sono di solito stipulate con dei riassicuratori
professionali; quelle proporzionali invece sono spesso usate quando
l’obiettivo è una omogeneizzazione dei rischi e possono essere anche
accettate dalle cosiddette imprese “miste” (che esercitano sia l’attività
assicurativa che quella riassicurativa).
La seconda distinzione riguarda la portata della riassicurazione: può
essere riassicurazione individuale, a livello di singolo contratto, o globale,
a livello di portafoglio. La riassicurazione parziale comprende solamente
determinati sottoportafogli o collettività.
Con la riassicurazione individuale, i due soggetti stabiliscono le varie
clausole del contratto, e l’assicuratore deve presentare al riassicuratore
una relazione precisa e dettagliata riguardo tutte le informazioni pertinenti
al rischio in questione. Il riassicuratore, dopo aver esaminato i dettagli,
sceglierà se accettare il rischio.
La riassicurazione globale, riguardando tutti i contratti del portafoglio,
non porta ad una selezione dei rischi, mentre quella individuale, poiché la
modalità è scelta in relazione al singolo contratto, può portare ad una
selezione del rischio: l’assicuratore, in questo caso, decide caso per caso
come riassicurare il rischio, nella modalità a lui più favorevole, quindi
sfavorevole per il riassicuratore (cosa che non può fare direttamente con
la riassicurazione globale).
Il rapporto tra l’assicuratore cedente e il riassicuratore cessionario può
avvenire secondo tre modalità dal punto di vista giuridico – contrattuale.
1) Riassicurazione facoltativa.
È effettuata contratto per contratto,
secondo le esigenze dell’assicuratore, ed è vincolata alla libera
accettazione del riassicuratore. Riguarda quindi forme individuali.
L’assicuratore ricorre alla riassicurazione facoltativa principalmente in
due casi: quando la tipologia del rischio non rientra nei trattati stipulati
22
con i riassicuratori, o quando le somme da risarcire sono eccedenti
rispetto alla gestione ordinaria dei rischi.
2) Riassicurazione obbligatoria. Il rapporto tra le parti è regolamentato
da un trattato di riassicurazione, che ne disciplina i fondamentali
aspetti (date d’inizio e fine del rapporto, modalità riassicurativa, limiti
di ritenzione e accettazione, modalità di pagamento, provvigione di
riassicurazione ...); secondo questo tipo di trattati, l’assicuratore è
obbligato a cedere assegnate quote di rischi e il riassicuratore è
obbligato ad accettarle. Oggetto di trattati obbligatori sono ovviamente
portafogli interi o sottoportafogli, per cui tutti i contratti appartenenti
ad essi sono soggetti alle stesse clausole contrattuali stabilite nel
trattato.
3) Riassicurazione “facob”. È una forma intermedia; la differenza con
l’obbligatoria sta solo nel fatto che il riassicuratore è obbligato ad
accettare, entro i limiti stabiliti dal trattato, le quote di rischi che
l’assicuratore decide liberamente di cedere di volta in volta.
Spesso, nella pratica riassicurativa, il riassicuratore non è disposto ad
accettare l’intera cessione dei rischi richiesta dall’assicuratore. Può allora
riservarsi di ricorrere ad un altro riassicuratore, trasferendo (retrocedendo)
a questo la parte di rischio che non è disposto ad accettare.
Per descrivere gli aspetti tecnico – attuariali delle varie tipologie
riassicurative, si considera un portafoglio costituito da n contratti, con
X 1 , X 2 , … , X n che esprimono i relativi risarcimenti aleatori a carico
dell’assicuratore prima della riassicurazione, con riferimento ad un
orizzonte temporale di durata annuale (in caso di assicurazioni danni
saranno direttamente i valori assicurati o i massimali o il risarcimento
intero se il contratto è a garanzia illimitata, mentre in caso di
assicurazione vita saranno i capitali relativi all’anno considerato). La
23
riassicurazione relativa al singolo contratto i del portafoglio considerato,
può essere descritta come una funzione li (.) che, applicata al risarcimento
globale X i , restituisce la parte del risarcimento ceduto al riassicuratore e
che è indicata con X iR = l i ( X i ) . La parte del risarcimento che resta alla
compagnia
di
assicurazioni,
indicata
con
X iC ,
è
quindi
X iC = X i − X iR = X i − l i ( X i ) .
In riferimento al risarcimento globale aleatorio, X = ∑i =1 X i , si ha che il
n
risarcimento globale a carico del riassicuratore è X R = ∑i =1 X iR e quello a
n
carico della compagnia di assicurazioni è X C = ∑i =1 X iC .
n
Nei paragrafi seguenti, 3.2, 3.3 e 3.4, verranno trattate modalità
riassicurative comuni alle assicurazioni danni e alle assicurazioni vita. Le
assicurazioni danni hanno generalmente durata annuale, quindi oggetto
della riassicurazione è sempre il valore assicurato nell’anno, mentre, per
quanto riguarda le assicurazioni vita, ci sono modalità che interessano
singoli anni (che verranno trattate alla pari delle assicurazioni danni, nei
paragrafi 3.2, 3.3 e 3.4) e altre modalità riguardati durate pluriennali, che
verranno trattate nel paragrafo 3.5.
3.2 FORME RIASSICURATIVE PROPORZIONALI
Nelle
modalità
riassicurative
proporzionali
l’assicuratore
e
il
riassicuratore si accordano sulla ripartizione della copertura dei rischi per
ogni contratto i , ripartendo proporzionalmente anche i premi incassati e i
risarcimenti pagati.
A livello di singolo contratto, i due soggetti devono semplicemente
accordarsi sull’aliquota ai di conservazione (ritenzione) con 0 ≤ ai ≤ 1 , in
base alla rischiosità del contratto i .
24
La riassicurazione proporzionale a livello di un portafoglio (o di un
sottoportafoglio) con n contratti, si esplica invece in un vettore a di n
aliquote ai relative agli n contratti.
Le tradizionali tipologie riassicurative a livello di portafoglio sono la
riassicurazione in quota e la riassicurazione per eccedente di somma.
a) Riassicurazione in quota (“quota-share”). È un tipo di riassicurazione a
livello globale, in cui l’assicuratore e il riassicuratore si accordano su
un’aliquota a di ritenzione, fissa per ogni contratto i e da applicarsi o
al risarcimento aleatorio del valore monetario assicurato o al
massimale di garanzia in caso di assicurazioni danni, o al capitale
assicurato in caso di assicurazioni vita.
È allora li ( X i ) = (1 − a )X i , per ogni i considerato, la parte di
risarcimento globale del rischio che deve essere pagata dal
riassicuratore. A livello di portafoglio si ha quindi che la parte di
risarcimento, pagata dal riassicuratore, è:
X R = ∑i =1 X iR = ∑i =1 (1 − a ) X i = (1 − a )∑i =1 X i = (1 − a )X
n
n
n
mentre l’assicuratore conserva
X C = ∑i =1 X iC = ∑i =1 aX i = a ∑i =1 X i = aX
n
n
n
Questa modalità riassicurativa, semplicissima a fini operativi, riduce
ovviamente valor medio e variabilità dell’esborso aleatorio; non
realizza invece un “livellamento” dei capitali assicurati, bensì solo una
loro riduzione proporzionale. Perciò, in relazione a rischi con garanzia
illimitata, non limita superiormente l’esborso dell’assicuratore. È
consigliabile per compagnie giovani, in via di sviluppo, o per
compagnie che svolgono per la prima volta attività in nuove branche.
Poiché la loro esperienza è limitata, spesso hanno difficoltà nella
definizione del premio corretto e con la riassicurazione in quota il
riassicuratore prende parte del rischio di queste stime non corrette.
25
b) Riassicurazione per eccedente di somma (“surplus”). Con questa
modalità riassicurativa, l’assicuratore e il riassicuratore si accordano
su un valore C , chiamato pieno di ritenzione, che rappresenta il
massimo valore, fisso per ogni contratto, del risarcimento che
l’assicuratore è disposto a pagare.
Volendo l’assicuratore risarcire al massimo questo valore C , il
risarcimento a suo carico, in relazione ad un contratto con massimale o
valore assicurato M i inferiore al pieno C , è l’intero risarcimento,
quindi l’aliquota di ritenzione ai è uguale a 1; in relazione ad un
contratto con M i maggiore del pieno C , invece, il risarcimento a
carico dell’assicuratore è un’aliquota pari a
C
Mi
del risarcimento
complessivo.
C
Mi
L’aliquota generica può essere quindi scritta come ai = min 

,1 .

È una copertura che si propone un diretto “livellamento”
proporzionale dei capitali assicurati, allo scopo di conseguire una
significativa riduzione della variabilità dell’esborso aleatorio.
Per vedere meglio la differenza tra le due modalità, si può ricorrere ad una
rappresentazione grafica, mettendo a confronto, sulla base di dieci
contratti con danni da rimborsare Vi tra 0 e 1000 unità (che possono
essere centinaia o migliaia di euro), le due forme di risarcimento, in
termini assoluti e percentuali a carico dell’assicuratore.
Vedi tabella 3.1, in cui il pieno C è stato fissato a 500 unità (restano
quindi determinate le aliquote implicite di ritenzione bi e i massimi
importi
a
carico
dell’assicuratore
Hi ,
secondo
il
meccanismo
precedentemente illustrato), mentre nella riassicurazione in quota
26
l’aliquota di ritenzione a è stata fissata al 75% (per cui restano
determinati i massimi esborsi a carico dell’assicuratore Gi = aVi ).
Tabella 3.1
contratto i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vi
927
878
787
654
508
485
352
243
119
65
bi
0,54
0,57
0,64
0,76
0,98
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Hi=bi*Vi
500
500
500
500
500
485
352
243
119
65
Gi=0,75*Vi
690
650
590
490
380
360
260
180
80
40
1000
800
600
Hi
400
Gi
200
Vi
0
1 2 3
4
5
6
7
8
9 10
La modalità riassicurativa in quota riduce ovviamente il valor medio e la
variabilità dell’esborso aleatorio, per singolo contratto e di portafoglio,
anche se non attua il livellamento dei capitali assicurati ritenuti, nel senso
in precedenza ricordato.
La riassicurazione per eccedente di somma si propone, invece, tale
livellamento dei capitali assicurati, conseguendo altresì una significativa
riduzione del valor medio e della variabilità dell’esborso aleatorio,
limitando sicuramente il massimo esborso dell’assicuratore. La modalità
per eccedente di somma, inoltre, azzera completamente la probabilità di
rovina, se c’è un congruo capitale “iniziale”.
27
c) Riassicurazione di n-esimo eccedente. È un metodo per formalizzare la
cessione di rischi a più riassicuratori, generalizzando la modalità per
eccedente di somma. In relazione al valore (o capitale) assicurato V ,
l’assicuratore e il riassicuratore si accordano sul pieno di
conservazione C (ovviamente minore di V ). Allora il valore V può
essere visto come un multiplo intero del pieno C più una parte
frazionaria: V = nC + S , con n ∈ N , e il residuo S ∈ [0, C ) . A carico
dell’assicuratore rimane il pieno C , perciò resta ancora da coprire un
importo pari a V − C = (n − 1)C + S .
Il riassicuratore può decidere di coprire una parte del rischio pari a m
volte il pieno C e si ha che
se m ≥ n − 1 c’è copertura totale del rischio
da parte del
riassicuratore
se m < n − 1 c’è copertura parziale del rischio, per la cui parte
rimanente, l’assicuratore deve ricorrere ad un altro
riassicuratore, se vuole conservare solo il pieno C
Se invece la modalità scelta è la riassicurazione in quota,
l’assicuratore, una volta scelta l’aliquota di conservazione a (valida
per ogni contratto), deve cedere la restante quota 1 − a ad un unico
riassicuratore o, divisa in più quote con totale 1 − a , a più
riassicuratori.
Altre
modalità
riassicurative
innovative
hanno
una
struttura
sostanzialmente diversa, per cui non è necessaria la definizione di un
massimo esborso: sono modalità attuabili da più compagnie, adatte per
pool di riassicurazione. Una modalità di un certo rilievo è la
riassicurazione di reciprocità.
28
d) Riassicurazioni di reciprocità. Sono modalità riassicurative che
riguardano un rapporto tra due o più compagnie di assicurazione, che
effettuano una reciproca cessione di parte dei rischi acquisiti sul
mercato secondo aliquote fissate, per diminuire la variabilità
dell’esborso globale aleatorio.
Un esempio particolare è il seguente.
Si considerano due compagnie di assicurazioni, A e B . Ognuna di
esse ha già acquisito sul mercato un certo numero di contratti e
incassato un certo volume di premi, e siano essi PA e PB .
Le due compagnie mettono in comune tutti i rischi acquisiti sul
mercato: la compagnia A trattiene, del volume totale dei premi
PA + PB , l’aliquota a =
l’aliquota 1 − a =
PA
, mentre la compagnia B trattiene
PA + PB
PB
.
PA + PB
Alla compagnia A rimane il volume di premi che ha acquisito, è
infatti a × (PA + PB ) = PA ; analogo discorso vale per la compagnia B
che trattiene, a titolo di premi, (1 − a ) × (PA + PB ) = PB . Poiché ogni
compagnia trattiene il volume dei premi che ha incassato, non c’è
bisogno di nessun trasferimento di denaro per applicare questa
modalità riassicurativa.
Seguendo la logica delle riassicurazioni proporzionali, la compagnia
A si fa poi carico dell’aliquota a del risarcimento globale, X A + X B e
la compagnia B dell’aliquota 1 − a .
Con questa strategia, ogni compagnia mantiene il valore atteso del
guadagno netto ma riduce fortemente la variabilità dell’esborso
globale aleatorio.
29
Più dettagliatamente:
definite σ 2 ( X A ) e σ 2 ( X B ) le varianze dei portafogli delle compagnie
prima della riassicurazione, σ 2 ( X AR ) e σ 2 ( X BR ) le varianze dopo la
σ 2 (X B )
σ (X A , X B )
riassicurazione di reciprocità, b = 2
, ρ=
, si ha
σ (X A )× σ (X B )
σ (X A )
2
(
)
σ 2 ( X AR ) = a 2 1 + 2 ρb + b 2 σ 2 ( X A )
2
2  1 + 2bρ + b
σ 2 ( X AR ) = (1 − a ) 
b2

 2
σ ( X B )

La compagnia A riduce la varianza se a 2 (1 + 2 ρb + b 2 ) < 1
 1 + 2bρ + b 2
b2

La compagnia B riduce la varianza se 

1
 <
2
 (1 − a )
Con l’ipotesi che ρ ≥ 0 , la riduzione di varianza è funzione
decrescente di b per A , crescente per B ; le implicazioni che questa
modalità riassicurativa ha sulle due compagnie sono di verso
contrario, per le due compagnie.
L’accordo ottimo può essere allora quello che comporta un’uguale
riduzione percentuale di varianza:
σ 2 ( X A ) − σ 2 ( X AR ) σ 2 ( X B ) − σ 2 ( X BR )
=
.
σ 2 (X A )
σ 2 (X B )
Tale obiettivo si realizza in corrispondenza del valore a =
per
1
, cioè
1+ b
PA σ ( X A )
=
. Perciò due compagnie con pressoché uguali raccolta
PB σ ( X B )
premi e scarto quadratico medio degli oneri aleatori, traggono il
massimo vantaggio dall’accordarsi sull’aliquota a al 50% (ogni
rischio sarebbe equamente ripartito tra A e B ).
30
e) Coassicurazione. La coassicurazione è un altro strumento che permette
all’assicuratore di raggiungere i medesimi scopi che raggiunge con la
riassicurazione, principalmente la minimizzazione della probabilità di
guadagno negativo e di rovina.
In breve, con la coassicurazione, l’assicuratore assume ogni rischio in
compartecipazione con altri assicuratori o operatori (coassicuratori),
riducendo la sua esposizione.
Lo schema è molto semplice: si stabilisce un gruppo di k imprese che
si dividono il rischio frazionato integralmente. Qualche elemento di
difficoltà può essere ravvisato solo nel calcolo della percentuale di
caricamento per spese che vanno all’impresa delegataria.
Il ricorso alla coassicurazione è una soluzione, però, che è frutto di
una scelta suggerita (o imposta) da opportunità commerciali prima
ancora che da valutazioni tecniche.
3.3 FORME RIASSICURATIVE NON PROPORZIONALI
Le forme riassicurative non proporzionali possono essere definite a livello
di contratto o a livello di portafoglio. Non sono di preminente interesse
nell’ambito delle assicurazioni sulla durata di vita, per il fatto che i
“risarcimenti” sono spesso fissi (è fissato un capitale C da corrispondere,
e fissare un’aliquota o determinare il massimo risarcimento a carico
dell’assicuratore è identico) e non fortemente variabili (come nelle
assicurazioni danni). L’unica forma riassicurativa non proporzionale
interessante per le assicurazioni vita è la cosiddetta riassicurazione
catastrofale.
Le principali modalità riassicurative non proporzionali sono basate sulla
determinazione di un certo valore che esprima, direttamente (come
31
valore) o indirettamente (dipendente da altri valori), il massimo impegno
che l’assicuratore è disposto a garantire nel risarcimento. Ci sono
principalmente due forme riassicurative: Excess of Loss e Stop Loss.
a) Riassicurazione Excess of Loss. L’assicuratore e il riassicuratore si
accordano, in genere, su due valori: uno, chiamato priorità e indicata
con
L , è il massimo valore che resta comunque a carico
dell’assicuratore, oltre il quale interviene il riassicuratore; l’altro,
chiamato portata e indicato con Q , è il massimo valore che il
riassicuratore è disposto a pagare. Per capire meglio, la priorità del
contratto riassicurativo può essere assimilata ad una franchigia di un
contratto assicurativo, mentre la portata può essere vista come il
massimale. Ovviamente, come nel contratto assicurativo, può mancare
la portata (che equivale a porla a + ∞ ) o la priorità (che equivale ad
annullarla).
La modalità riassicurativa excess of loss può essere definita a vari
livelli (individuale, globale …) e quindi assumere diversi nomi:
1) Risk excess of loss. La priorità Li e la portata Qi sono fisse per
ogni contratto i e definite a livello di ogni h -esimo sinistro Yh,i del
contratto i considerato. Si ha per ogni h e per ogni i
YhC,i = Yh ,i
-
se Yh,i ≤ Li
-
se Li ≤ Yh ,i ≤ Li + Qi YhC,i = Li
-
se Yh,i > Li + Qi
YhC,i = Yh,i − Qi
YhR,i = 0
YhR,i = Yh ,i − Li
YhR,i = Qi
oppure, in forma chiusa:
{
YhR,i = min (Yh,i − Li ) , Qi
+
}
YhC,i = min{Yh ,i , Li }+ max{0, Yh,i − Qi }
Per capire meglio come i due soggetti intervengono nel
risarcimento di questo sinistro, secondo la sua entità, si può
osservare il seguente grafico con l’importo del danno Y sulle
32
ascisse, relativo alle funzioni con cui il risarcimento viene
suddiviso tra assicuratore e riassicuratore.
Grafico 3.1
A livello di contratto i , se N i è il numero di sinistri, si ha
X iC = ∑h=i 1 YhC,i e X iR = ∑h=i 1 YhR,i
N
N
Da notare che per le assicurazioni sulla vita, con un capitale
prefissato, la modalità riassicurativa per risk excess of loss
coincide con la modalità per eccedente di somma. In tale ambito si
riscontra
l’impiego
di
questa
modalità
riassicurativa
per
assicurazioni di invalidità (la prestazione può variare sensibilmente
essendo commisurata alla gravità del sinistro o al grado di
invalidità), oppure per le rendite (l’intervento del riassicuratore può
essere previsto quando il periodo del pagamento delle rate della
rendita eccede un’assegnata durata massima).
2) Catastrophe excess of loss. Questa modalità copre il rischio che un
unico evento produca un numero aleatorio D di sinistri e
conseguente esborso X D . Viene anche qui fissata la priorità LC e
la portata Q C , per la copertura dei sinistri derivanti da quest’unico
evento, come può essere un incidente in un’area industriale o un
33
terremoto. Questo evento è anche definito come catastrofale se
l’importo dei risarcimenti supera certe soglie ed è consistente il
numero dei sinistri provocati. Si ha
{(
)
+
X DR = min X D − LC , Q C
{
}
}
{
X DC = min X D , LC + max 0, X D − Q C
}
Per le assicurazioni sulla vita (ma applicabili comunque anche alle
assicurazioni contro i danni, relativamente ai sinistri incorsi), sono
poi previsti due modelli particolari
• è fissato il valore d cons , ossia il massimo numero di decessi
(sinistri) a carico della cedente, perciò:
- a carico della cedente rimane


d cons
min  X D ,
XD
D


- a carico del riassicuratore rimane
 D − d cons

max 0,
XD
D


• è fissato il valore x cons , ossia il massimo esborso a carico della
cedente, per cui:
- a carico della cedente rimane
- a carico del riassicuratore rimane
{
max{0, X
min X D , x cons
D
}
− x cons
}
3) Aggregate excess of loss. La priorità LG e la portata Q G sono
definite a livello di portafoglio (quindi globale). Ricordando che
vale un discorso analogo a quello fatto per la modalità excess of
loss a livello di rischio, si riportano solo le espressioni dei
risarcimenti in forma chiusa:
{(
)
+
X R = min X − LG , Q G
{
}
}
{
X C = min X , LG + max 0, X − Q G
}
Se non è fissato un limite per la portata questa modalità si rivela
molto cautelativa per l’assicuratore, in quanto limita l’esborso
aleatorio; comporterebbe invece un’elevata rischiosità per il
34
riassicuratore, che in questo caso richiederà un caricamento di
sicurezza più consistente.
Si considera adesso un tipo di modalità riassicurative non più basate su
importi monetari certi, che limitano l’esborso dell’assicuratore, ma basate
su altre grandezze che incidono indirettamente sui rischi conservati.
b) Riassicurazione Stop Loss. Con questa forma riassicurativa, il
riassicuratore si impegna a rifondere, a fine esercizio, all’assicuratore
parte delle eventuali perdite della gestione assicurativa, quando queste
si originino dal superamento di un certo rapporto convenuto, r SP , tra i
risarcimenti pagati nell’esercizio e i premi lordi incassati (si
considerano solo i premi e i risarcimenti di competenza all’anno
considerato, e non quelli provenienti da liquidazioni o denunce
tardive). In tal modo si limita sempre l’esborso dell’assicuratore, ma,
invece che definire direttamente il massimo esborso, questo viene
individuato indirettamente con il valore r SP . La differenza sostanziale
con le altre tipologie riassicurative è che qui, il massimo esborso che
l’assicuratore accetta di risarcire è individuato solo al momento
dell’individuazione del totale dei premi incassati nell’anno (indicati
con P ).
All’assicuratore spetta quindi quella parte dei risarcimenti tale che il
rapporto tra il risarcimento pagato e i premi incassati, sia al massimo
r SP . Il rapporto tra il risarcimento e i premi incassati alla fine
 X SP 
,r 
P

dell’anno, per l’assicuratore, è r C = min 


e per il riassicuratore r R = max 0,
X

− r SP  .
P

35
Identificati i valori r C e r R , i risarcimenti a carico dei soggetti sono
X C = r C P e X R = r R P , cioè
se
X
≤ r SP
P
XC = X
XR =0
se
X
> r SP
P
X C = r SP P
X

X C =  − r SP  P
P

Questa modalità riassicurativa procurerebbe dei vantaggi per
l’assicuratore se non comportasse una consistente esposizione per il
rischio del riassicuratore (quindi un premio di riassicurazione alto),
difficilmente realizzabile a livello di intero portafoglio. È invece
spesso impiegata come copertura di particolari sottoportafogli molto
rischiosi. Il rischio per il riassicuratore, può derivare anche da un
possibile comportamento dell’assicuratore che, pur di incrementare il
proprio volume di premi e sentendosi fortemente coperto, potrebbe
non curare troppo oculatamente le assunzioni dei rischi.
Nelle forme di riassicurazione non proporzionale occorre tenere conto
delle conseguenze dell’inflazione, che può far sì che il risarcimento
relativo a un sinistro che colpisce uno o più rischi superi, al momento
della liquidazione (che è il momento della determinazione del
risarcimento), la priorità o la portata inizialmente fissata. Questa
evenienza si manifesta, in particolar modo, se la liquidazione dei sinistri è
notevolmente differita nel tempo.
Per fronteggiare questa evenienza, oltre a varie clausole di rivalutazione
che si possono istituire nei contratti di riassicurazione (clausola di
stabilità, per cui viene effettuata un indicizzazione dei valori), sono
previste alcune coperture che limitano l’esborso dell’assicuratore. Tali
coperture sono basate sui sinistri effettivamente verificatisi e ordinati
secondo l’ammontare dei risarcimenti, quindi aleatori al momento della
stipula del contratto di riassicurazione.
36
Per trattare le suddette modalità riassicurative, bisogna utilizzare una
simbologia leggermente diversa: si considerano gli importi X (1) , …, X ( N )
dei risarcimenti degli N sinistri, ordinati in senso non crescente, per cui si
ha che X (1) ≥ ... ≥ X ( N ) ; rimangono valide le definizioni date per l i (X (i ) ) ,
X (Ci) ,
X (Ri) ,
XC,
X R . Fissato questo aspetto, si possono ricordare
principalmente due tipologie riassicurative: “ECOMOR” e “LCR”.
c) Riassicurazione E.CO.MO.R. (“Excèdent du COut MOyen Relatif”)
Questa garanzia opera come la garanzia Excess of Loss, assumendo
come priorità l’importo dell’ m -esimo più grande sinistro, ossia X (m ) ,
per cui sono a carico del riassicuratore gli importi eccedenti tale
priorità. La soglia è aleatoria al momento della stipula e, dipendendo
dal valore m concordato, potrà determinarsi solo alla fine del periodo
considerato. A tale epoca si ha
X (Ci) = min{X (i ) , X ( m ) } e X (Ri) = max{0, X (i ) − X (m ) } e, aggregando,
X C = m × X (m ) + ∑i =m +1 X (i ) e X R = ∑i =1 ( X (i ) − X (m ) ) .
N
m
La modalità considerata soddisfa l’esigenza dell’assicuratore di
tutelarsi contro l’eventualità di grossi esborsi monetari, anche se non
in modo noto a priori nella effettiva entità.
d) L.C.R. (“Largest Claims Reinsurance”) Con questa modalità, vengono
posti interamente a carico del riassicuratore interamente gli importi
degli m (valore sempre concordato nel trattato di riassicurazione)
maggiori risarcimenti. Risulta pertanto
X C = ∑i = m+1 X (i ) e X R = ∑i =1 X (i )
N
m
Ancor più della precedente, questa modalità riassicurativa permette
all’assicuratore di tutelarsi contro l’eventualità di grossi esborsi
monetari ma risulta più gravosa per il riassicuratore, con conseguenze
talvolta pesanti negli oneri di riassicurazione.
37
Ci sono anche delle coperture riassicurative basate solamente sull’entità
degli utili della compagnia, a fine anno, senza fare riferimento ad alcun
valore che limiti l’esborso. Una delle principali coperture in questo senso
è il modello ADP.
e) ADP. Questa copertura riassicurativa è basata su un trattato tra due
compagnie, chiamate A e B . Per ognuna di queste compagnie, si va a
vedere il rapporto complessivo, a fine anno, tra i risarcimenti pagati e i
premi introitati.
Se, per una compagnia, questo rapporto è compreso nell’intervallo
(1 − ε 1 ,1 + ε 2 ) , con i valori
ε 1 ed ε 2 positivi fissati nel trattato, non ci
saranno trasferimenti. Se tale rapporto è minore del valore inferiore,
1 − ε 1 , la compagnia è in attivo, e si procede ad un trasferimento di utili
all’altra compagnia. Se esso è invece maggiore del valore superiore,
1 + ε 2 , la compagnia è in forte passivo, e ci sarà un trasferimento a suo
favore da parte dell’altra compagnia, per ripartire le perdite subite.
Quanto detto vale per entrambe le compagnie, per cui ci sono 3 × 3 = 9
esiti possibili in questo rapporto contrattuale: ovviamente se entrambe
sono in perdita netta questo rapporto riassicurativo non comporta
nessuna utilità, ma se una compagnia è in passivo e l’altra in attivo, il
rapporto consente un riequilibrio dei risultati economici.
f) Riassicurazione per “layer”.
Per contratti a garanzia illimitata o con massimale elevato, la cedente
può, analogamente alle coperture proporzionali, frazionare la copertura
in eccesso alla prima priorità L in più fasce (layers), in relazione ad una
molteplicità di riassicuratori, a cui pensa di rivolgersi.
Se M è il massimale prefigurato per il rischio e se L < M , si pone:
M = nL + S
con n ∈ N e 0 ≤ S < L
La massima copertura che l’assicuratore può richiedere è M − L .
Quando il riassicuratore è disposto a coprire parzialmente l’intero
38
rischio M − L , per una portata pari a Q (supposto multiplo m -esimo
della priorità L : Q = mL ), si hanno i due seguenti casi
- se m ≥ n l’intero importo da riassicurare rientra nella sfera di
competenza del riassicuratore
- se m < n l’importo che all’assicuratore rimane ancora da localizzare
presso un altro riassicuratore è M − L − mL = (n − m − 1)L + S
In tal modo l’assicuratore fraziona la copertura in eccesso alla priorità
L in due o più “layers”.
3.4 FORME RIASSICURATIVE MISTE
Le modalità riassicurative miste, per singoli contratti o a livello di
portafoglio, possono essere combinazioni di modalità proporzionali
(punto a), combinazioni di modalità non proporzionali (punto b), o ancora
combinazioni di modalità proporzionali e non proporzionali (punto c).
a) Riassicurazioni proporzionali miste. Si tratta di modalità riassicurative
composte da combinazioni delle precedenti modalità proporzionali.
È
trattato solo un caso particolare, quello per cui l’assicuratore
conserva per ogni contratto un’aliquota b e, per la parte restante,
stabilisce un pieno C ; allora l’aliquota di conservazione ai effettiva,
che
è
implicitamente
applicata
può
essere
scritta
come
a i = min{b, C M i }. L’aliquota di conservazione a i varia al variare della
relazione tra il massimale M i e il pieno C ; è sempre minore di b e
più precisamente è:
ai = b
se bM i < C
ai = C M
se bM i ≥ C
b) Riassicurazioni non proporzionali miste. Sono delle combinazioni delle
varie tipologie non proporzionali, trattate nel paragrafo precedente.
Verranno illustrate brevemente solo due tra tutte le possibili.
39
1) L’assicuratore, con riferimento ad un portafoglio, può stabilire una
priorità L e una portata Q , e successivamente utilizzare una
copertura “Stop Loss”, stabilendo un rapporto massimo r SP ; si ha
rR =
{
}
min ( X − L ) , Q
 X

+ max 0, − r SP 
P
 P

+
 min{X , L} + max{0, X − Q} SP 
r C = min 
,r 
P


Nel caso più semplice (e spesso utilizzato) in cui non ci sia la
portata, la parte complessiva dei rischi che rimane a carico
dell’assicuratore è minore della priorità L ed è tale che il rapporto
sinistri conservati – premi sia inferiore a r SP ; graficamente, in
relazione ad ogni possibile realizzazione della coppia risarcimento
– premi, la parte che rimane a carico dell’assicuratore è quella
sotto la spezzata, definita dalla priorità L e dalla retta r SP P .
Grafico 3.2
2) L’assicuratore può combinare le modalità “per risk” (con Li e Qi
per i = 1...n ) e “aggregate excess of loss” (con L e Q ). Sono
{
}
= ∑ min{(Y
X R = min ( X − L ) , Q + ∑i =1 X iR , dove X iR è
X iR
+
Ni
h =1
h ,i
n
− Li ) , Qi
+
40
}
X C = min{X , L} + max{0, X − Q}, dove X è
X = ∑i =1 X iC = ∑i =1 ∑h =i 1 [min{Yh ,i , Li } + max{0, Yh ,i − Qi }]
n
n
N
c) Riassicurazioni miste. Delle molteplici combinazioni, è trattata solo la
cosiddetta “Excess of loss modificato”, la più diffusa nella pratica
riassicurativa. L’assicuratore adotta una copertura “aggregate excess
of loss” con priorità LG ed una copertura proporzionale con aliquota di
ritenzione a . Si ha
{
}
{
= (1 − a ) max{0, X − L }
X C = min X , LG + a max 0, X − LG
XR
}
G
Il risarcimento a carico dell’assicuratore, a seconda della realizzazione
X , è, nel seguente grafico, la parte sotto la spezzata.
Grafico 3.3
Per il riassicuratore questa forma mista può essere preferita rispetto
alla semplice “aggregate excess of loss”, perché coinvolge l’impegno
dell’assicuratore anche quando è superata la soglia LG .
Si segnala che con analogo criterio può essere costruita una copertura
stop loss modificato.
41
3.5 ALTRI MODELLI ESCLUSIVI PER RAMO O PER ALTRE GRANDEZZE
Per trattare la modalità riassicurativa seguente, bisogna introdurre il
concetto di riserva matematica e di premio di rischio.
Chiamando, per un assicurazione generica sulla vita su una testa,
Prest [t,n] il valore attuariale delle prestazioni dell’assicuratore relative
all’intervallo da t a n , e Premi[t , n] il valore attuariale dei premi relativi
all’intervallo da t a n , si definisce
• Riserva matematica in t : Vt = Prest [t , n] − Premi[t , n]
La differenza considerata rappresenta il debito dell’assicuratore verso
l’assicurato.
Focalizzando l’attenzione sulla parte libera (premi di risparmio) dei premi
incassati dall’assicuratore, la riserva matematica rappresenta anche il
capitale maturato all’epoca t a fronte dei premi di risparmio.
Analizzando un contratto caso morte, cioè con corresponsione di un
capitale C t +1 in caso di decesso tra t e t + 1 , con la probabilità q x +t che
l’individuo considerato (di età x alla stipulazione del contratto) muoia tra
t e t + 1 , dietro pagamento del premio Pt +1 da parte dall’assicurato
all’inizio dell’anno t + 1 , si può ottenere l’equazione ricorrente di Kanner
per il calcolo della riserva matematica:
(Vt + Pt +1 )(1 + i ) = (Ct +1 − Vt +1 )q x +t + Vt +1
dove i è il tasso tecnico e di valutazione del rapporto assicurativo.
Da tale relazione appare che con l’importo Vt + Pt +1 , capitalizzato per un
anno, l’assicuratore deve coprire l’impegno di costituzione della riserva al
tempo t + 1 , e quello aleatorio (tramite q x +t ) di integrare la riserva
(detenuta in t + 1 ) per corrispondere il capitale C t +1 in caso di decesso.
Nel caso che l’evento si verifichi, l’assicuratore dovrà far fronte al
pagamento del capitale, ricorrendo a fonti diverse dalla riserva, ovvero
42
C t +1 − Vt +1 è l’importo che l’assicuratore rischia di dover pagare ricorrendo
al proprio capitale netto. Esso è anche detto capitale sotto rischio e
indicato con:
SR
C t +1 = C t +1 − Vt +1 .
Fissati questi concetti, si può allora introdurre la seguente copertura.
a) Contratti vita pluriennali. La definizione di una forma riassicurativa
applicabile ad un contratto pluriennale richiede la specifica
dell’oggetto della cessione: capitale sotto rischio o capitale assicurato.
Sono infatti dette “a premio di rischio” le forme riassicurative in cui
oggetto della cessione in riassicurazione è il capitale sotto rischio nei
vari anni di contratto. Sono invece chiamate “a premio commerciale”
le forme riassicurative basate su una ripartizione in assegnata misura,
tra cedente e riassicuratore, del capitale assicurato e di tutte le altre
componenti contrattuali (ne consegue, indirettamente, anche la
ripartizione del capitale sotto rischio nei vari anni di contratto).
La riassicurazione “a premio commerciale”, avendo le assicurazioni
vita generalmente per oggetto un valore fisso per tutta la durata del
contratto, può essere attuata mediante le stesse modalità descritte nei
paragrafi 3.2, 3.3, 3.4.
Nelle riassicurazioni a premio di rischio, invece deve essere diviso tra
i due soggetti il capitale sotto rischio. Fissata l’aliquota bt , conservata
dalla cedente nel periodo t , in caso di decesso, il risarcimento
a carico della cedente è
bt (C t − Vt ) + Vt
a carico del riass.re è
(1 − bt )(Ct − Vt )
dove C t è il capitale per l’assicurazione caso morte e Vt è la riserva
matematica al tempo t .
43
Il riassicuratore richiede un premio variabile in base alla parte
trattenuta bt e alla probabilità che l’assicurato, di età x , sopravviva
per altri t anni, p x+t .
Fissato dall’assicuratore il pieno di conservazione C cons , si hanno
principalmente due modalità:
1 RRM:
bt = C cons C
X C = C cons (1 − Vt C ) + Vt e X R = C − Vt − C cons (1 − Vt C )
2 CRM:
X C = min
 C cons 
bt = min 
,1
 SR C t 
{
SR
}
C t , C cons + Vt e X R = max
{
SR
}
C t − C cons ,0
Il capitale sotto rischio conservato è costante finché il capitale sotto
rischio riassicurato è positivo; quando si annulla, la riassicurazione
cessa.
Per capire meglio il trattamento del capitale sotto rischio conservato,
che le due modalità appena descritte producono, si può analizzare il
loro effetto, in relazione a tre contratti con capitali iniziali sotto rischio
pari a 750, 1000 e 1500, su un orizzonte temporale di dieci anni. Il
capitale sotto rischio
RS
C t (e i conseguenti capitali sotto rischio
conservati), è ovviamente decrescente nell’arco del tempo.
44
Tabella 3.2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Crisc i=1
Crisc i=2
Crisc
750
1000
667
889
583
778
500
667
417
556
333
444
250
333
167
222
83
111
0
0
Prima di Riassicurazione
i=3
1500
1333
1167
1000
833
667
500
333
167
0
1500
1000
i=1
500
i=3
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10
aliquota di ritenzione = 0,6
RRM i=1 RRM i=2 RRM i=3
450
600
900
400
533
800
350
467
700
300
400
600
250
333
500
200
267
400
150
200
300
100
133
200
50
67
100
0
0
0
capitale conservato = 600
CRM i=1 CRM i=2 CRM i=3
600
600
600
600
600
600
583
600
600
500
600
600
417
556
600
333
444
600
250
333
500
167
222
333
83
111
167
0
0
0
i=2
Riassicurazione RRM
1500
1000
i=1
500
i=2
i=3
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10
Riassicurazione CRM
1500
1000
i=1
500
i=2
i=3
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10
La differenza di effetto nella riduzione dei capitali conservati, secondo
le due modalità, è analoga alla differenza che c’è nel trattamento del
massimo esborso possibile, analizzato nel paragrafo 3.2, con la
modalità in quota e la modalità per eccedente di somma. È facile
intuire la maggiore efficacia, ai fini della riduzione del rischio
45
demografico, della modalità CRM, in quanto attua un livellamento del
capitale sotto rischio conservato nei vari anni di contratto.
b) Provvigione di riassicurazione. La cessione di quote dei rischi al
riassicuratore determina il trasferimento presso quest’ultimo di parte
degli utili inizialmente attesi da parte dell’assicuratore. A fronte di tale
trasferimento
il
riassicuratore
riconosce
all’assicuratore
una
provvigione di riassicurazione, con cui partecipa anche alle spese di
acquisizione e gestione sostenute.
La provvigione è generalmente espressa come una percentuale del
premio di riassicurazione; può essere decisa a priori, e quindi essere
fissa, oppure a posteriori, consistente in una parte fissa, provvisoria e
immediata, successivamente adeguata con una parte variabile a fine
rapporto, secondo i metodi di calcolo scelti nel trattato. Questa parte
variabile della provvigione, se, come spesso accade, direttamente
proporzionale alla percentuale tra risarcimenti e premi, può anche
essere vista come un modo per premiare l’assicuratore per la bassa
sinistrosità dei rischi ceduti, e viceversa.
La percentuale considerata nella provvigione scalare è in genere data
dal rapporto tra competenza sinistri e competenza premi (cioè di
competenza all’anno considerato), e non dai sinistri e dai premi pagati
in quell’anno.
Poiché con la riassicurazione in quota il riassicuratore ottiene di norma
utili più consistenti rispetto ad altre forme riassicurative, la
provvigione riconosciuta all’assicuratore è generalmente più elevata
che nelle altre forme di riassicurazione, come ad esempio nella
copertura per eccedente di somma; con quest’ultima si trasferiscono al
riassicuratore solo i rischi più grandi, che spesso sono i più pericolosi,
per cui il caricamento di sicurezza che il riassicuratore lascia alla
compagnia è minore.
46
c) metodi di calcolo del premio di riassicurazione
1) Burning cost. Ai fini della determinazione del premio di
riassicurazione,
nelle
riassicurazioni
non
proporzionali,
in
particolare per la modalità Excess of Loss, si considera
frequentemente l’applicazione di un tasso di premio, chiamato
“tasso di burning cost”, ottenuto a posteriori (in riferimento ad un
orizzonte temporale di m anni, con m in genere uguale a 3 o 4)
come rapporto tra i risarcimenti che sono stati effettuati dal
riassicuratore ed il volume dei premi introitati dall’assicuratore
negli m anni considerati.
Così, chiamati 1Y , … ,
m
Y gli esborsi globali del riassicuratore
negli m anni precedenti l’esercizio attuale, e 1 P T , … , m P T i premi
di tariffa incassati dalla cedente negli stessi m anni, e ipotizzando
che i rischi e le coperture utilizzate siano omogenei a quelle degli
anni passati, il tasso di burning cost è dato da:
∑
τ=
∑
m t
t =1
m t
t =1
Y
PT
o, in alternativa, dalla τ * =
1 m tY
∑
m t =1 t P T
Tale tasso, gravato da un caricamento η di sicurezza e per spese,
applicato al totale dei premi di tariffa incassati dall’assicuratore
nell’esercizio attuale (per i rischi considerati in quella copertura
riassicurativa),
m +1
P T , fornisce il premio di riassicurazione.
Più spesso il tasso effettivamente utilizzato risente sia del tasso di
burning cost (di esperienza) che della previsione della perdita che
quel particolare tipo di rischio comporta.
2) Premio fisso. In alternativa al precedente metodo di calcolo del
premio, che risulta quindi variabile nel tempo in funzione dei
risultati osservati (premio di esperienza), si può considerare
l’applicazione di un premio fisso, usualmente applicato alle
47
coperture riassicurative più impegnative, caratterizzate da sinistri
relativi ad eventi di natura catastrofale.
3) Loss ratio. Con riferimento alla modalità aggregate excess of loss,
l’accordo delle parti può essere basato anche sul rapporto sinistri
su premi di competenza (loss ratio) del portafoglio, considerando
quindi una limitazione espressa in termini percentuali, anziché in
termini monetari, per la ripartizione dell’onere aleatorio per
risarcimenti tra assicuratore e riassicuratore.
4) E.CO.MO.R e L.C.R.
Per la E.CO.MO.R, proposte per i premi equi di riassicurazione
sono state fatte da:
- Thèpaut
[ ]
E XR =
x m:n
(m − 1) con xm:n importo dell’ m -esimo
α −1
(con m stabilito nel trattato di riassicurazione) sinistro tra gli n
verificatisi e sotto l’ipotesi di distribuzione del risarcimento
data dalla Pareto(α ) : FX ( x) = 1 − x −α .
L’espressione del premio equo indicato corrisponde al valore
atteso condizionato E [X / X > x m:n ] .
- Ammeter E [X
R
]
(
)
1
Γ m −1
t α
α ottenuto con l’ipotesi che i
=
×
α − 1 Γ(m − 1)
sinistri siano i.i.d. come una Pareto(α ) e indipendenti da N la
cui distribuzione è data dalla Poisson(t ) .
Per la L.C.R., proposte per i premi equi sono state fatte da:
- Ammeter E [X
R
]
(
1
1
α ×t α Γ m +1− α
=
×
α −1
Γ(m )
)
con le stesse ipotesi
fatte per il calcolo nella E.CO.MO.R.
Benktander propone invece di approssimare E [X R ] con il premio
equo di un trattato “Excess of Loss” con una priorità
opportunamente definita.
48
3.6 NUOVA TIPOLOGIA RIASSICURATIVA
Tutte le coperture riassicurative trattate nei precedenti paragrafi
riguardano la ripartizione del risarcimento, e sono quindi dirette a
diminuire semplicemente (proporzionali) o a livellare, omogeneizzando
(non proporzionali), i massimi esborsi possibili e i capitali assicurati, e
possono riguardare ogni singolo sinistro o una collettività di rischi
omogenei o, al limite, l’intero portafoglio.
Riassicurazione di probabilità.
Un nuovo modo per effettuare la riassicurazione è quello di alterare
contrattualmente la probabilità di verificarsi del sinistro, a differenza di
tutte le altre coperture riassicurative trattate precedentemente, che
intervengono direttamente o indirettamente sulla ripartizione del
risarcimento X .
L’unico modo per poter realizzare questo risultato è aggiungere
esperimenti casuali che determinino come deve essere ripartito il danno
da risarcire tra l’assicuratore e il riassicuratore.
Il caso più estremo è quello in cui il danno viene interamente addossato
all’assicuratore o al riassicuratore, a seconda dell’esito degli esperimenti.
Esempio: si considera un contratto assicurativo vita, con modalità capitale
differito, per cui un individuo di età x , se vivo dopo n anni, con
probabilità
n
p x , riceve un capitale C . Si suppone che
n
p x = 0,8 ,
valore desunto dalle tavole di mortalità. Se l’assicuratore che ha
acquisito questo contratto, lo reputa troppo pericoloso, perché con
probabilità di verificarsi del “danno” molto alta, la può diminuire, ad
esempio fino al valore q = 0,4 . Allora può utilizzare una copertura
riassicurativa basata su un esperimento casuale con due esiti, ognuno
con probabilità ½. Il risarcimento tocca interamente all’assicuratore,
se l’evento non si verifica, e tocca interamente al riassicuratore, se
49
esso si verifica. Stipulato questo contratto di riassicurazione, la
probabilità del verificarsi dell’evento “conservata” dall’assicuratore,
è quella voluta: n p x × 1 2 = 0,4 .
Si può effettuare un confronto con una riassicurazione proporzionale e, a
parità di premio equo, vedere come questo esempio di riassicurazione di
probabilità influisce sulla varianza dell’esborso dell’assicuratore:
p
C
0 1 - p
si considera il rischio X = 
è E [X ] = pC e Var ( X ) = E [X 2 ] − E [X ]2 = C 2 p − C 2 p 2 = C 2 p(1 − p )
1) Con la riassicurazione proporzionale con aliquota ritenuta a è
E[ X 1C ] = p (aC ) = aE[ X ] e E[ X 1R ] = p(1 − a )C = (1 − a )E[ X ]
( ) [( ) ]− E [X ] = (a C )p − (apC )
Var (X ) = (1 − a ) C p (1 − p )
Var X 1C = E X 1C
2
1R
2
1C 2
2
2
2
= a 2 C 2 p (1 − p )
2
2) Con la riassicurazione di probabilità con probabilità conservata q , è
[
]
E X 2C = qC =
( p − q ) E [X ]
q
E[ X ] e E X 2 R = ( p − q )C =
p
p
[
]
( ) [( ) ]− E [X ] = (C )q − (qC ) = C q(1 − q )
Var (X ) = E [(X ) ]− E [X ] = (C )( p − q ) − [( p − q )C ] =
2
2C 2
2
2R 2
2R 2
2
Var X 2C = E X 2C
2R
2
2
2
= C 2 ( p − q )(1 − p + q )
A parità di media del rischio ceduto, cioè con aE [X ] =
q
E[ X ] , ossia
p
q = ap , si ha che la varianza del rischio con la riassicurazione
proporzionale è minore della varianza nel caso di riassicurazione di
probabilità, sia per l’assicuratore che per il riassicuratore. È infatti:
per l’assicuratore
a 2 C 2 p(1 − p ) ≤ C 2 q (1 − q ) poiché a ≤ 1
per il riassicuratore (1 − a )2 C 2 p(1 − p ) ≤ C 2 ( p − q )(1 − p + q ) poiché a ≥ 0
50
Mentre nella scelta tra le due è preferibile la riassicurazione proporzionale
(per la maggiore riduzione di varianza), in un’ottica di omogeneizzazione
dei rischi del portafoglio, queste due modalità possono essere
efficacemente combinate (vedi successivamente, tabella 3.3).
Da segnalare inoltre che anche questa copertura riassicurativa comporta
un semplice calcolo del premio equo di riassicurazione, analogo a quello
per le riassicurazioni proporzionali.
L’aspetto problematico in questa forma di riassicurazione può essere
rappresentato dalla realizzazione dell’esperimento in modo da garantire la
probabilità q contrattualmente fissata. Per evitare contestazioni si può
pensare di fissare, fin dall’inizio del periodo di assicurazione –
riassicurazione, se un singolo contratto spetta interamente all’assicuratore
o al riassicuratore.
Al di là di questa perplessità, questa copertura riassicurativa potrebbe
aiutare, come si era già detto, l’assicuratore a omogeneizzare i rischi del
portafoglio, livellandone le probabilità di accadimento degli stessi.
Qualora si utilizzassero entrambe le forme di riassicurazione (questa, di
probabilità e, ad esempio, la copertura per eccedente di somma), questo
livellamento dei rischi potrebbe essere ulteriormente rafforzato.
Il risultato di una tale omogeneizzazione, attuata in riferimento a 10
contratti con valori (o capitali o massimali) assicurati Vi , probabilità di
verificarsi del sinistro pi , relativi premi equi e Pi , con la riassicurazione
per eccedente di somma con pieno C = 5000 e con la riassicurazione sulle
probabilità con probabilità conservata per ogni sinistro pari a q = 0,4 ,
può essere visto nella seguente tabella.
51
Tabella 3.3
Senza riassicurazione
Vi
pi ePi
1 7000 0,1
700
2 9000 0,4 3600
3 5000 0,2 1000
4 5000 0,6 3000
5 6000 0,4 2400
6 7000 0,5 3500
7 8000 0,6 4800
8 1000 0,5
500
9 10000 0,2 2000
10 3000 0,4 1200
i
10000
8000
6000
P
4000
V
2000
0
1 2 3
4
5
6
7
8
9 10
Riassicurazione per eccedente di somma
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vi^
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
1000
5000
3000
pi ePi
0,1
500
0,4 2000
0,2 1000
0,6 3000
0,4 2000
0,5 2500
0,6 3000
0,5
500
0,2 1000
0,4 1200
10000
8000
6000
P
4000
V
2000
0
1 2 3
4
5
6
7
8
9 10
Riassicurazione combinata, sulle probabilità e per eccedente di somma
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vi^
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
1000
5000
3000
ePi
q
0,1
500
0,3 1500
0,2 1000
0,3 1500
0,3 1500
0,3 1500
0,3 1500
0,3
300
0,2 1000
0,3
900
10000
8000
6000
P
4000
V
2000
0
1 2 3
4 5
6
7
8
9 10
L’omogeneizzazione così ottenuta è decisamente efficace, riducendo i
vari contratti ad uno stesso “contratto ideale”, il cui massimo esborso e la
cui massima probabilità di verificarsi sono scelte dall’assicuratore.
L’omogeneizzazione a livello del solo capitale assicurato infatti può
essere talvolta non del tutto soddisfacente: un indicatore migliore del
52
livello di omogeneizzazione dei vari rischi può essere rappresentato dal
premio di assicurazione al netto del premio di riassicurazione, poiché, a
parità di capitale assicurato, se anche i premi netti sono pressoché uguali,
ciò significa che i rischi conservati sono veramente omogenei.
53
CAPITOLO 4
ANALISI DELLA CONVENIENZA ALLA
RIASSICURAZIONE
4.1 ELEMENTI DI TEORIA DELL’UTILITÀ
Spesso, nella vita di tutti i giorni, e ancor più nelle materie attuariali, si ha
a che fare con delle situazioni aleatorie, il cui esito quindi è incerto. Il più
classico e diffuso indicatore di queste situazioni è, com’è noto, il valore
monetario atteso.
Data una variabile aleatoria risultato X , con una serie di possibili esiti
x1 ,..., x n e con relative probabilità p (x1 ),..., p( x n ) , tali che
∑
n
i =1
p( xi ) = 1 , si
definisce
x = E [X ] = ∑i =1 xi p( xi ) , o anche
_
Def. di valore monetario atteso
n
x = E [ X ] = ∫ zdFx ( z ) , interpretando l’integrale nel senso di Stiltjies.
_
R
Quest’ultima formula è valida in generale, quindi anche per il caso in cui
l’insieme dei possibili risultati della variabile X sia continuo
Questo indicatore porterebbe a giudicare indifferente scambiare un
guadagno aleatorio con il suo valor medio deterministico. Ma
generalmente nella realtà non è così, e per quantificare le valutazioni che
gli individui fanno riguardo a situazioni aleatorie, si utilizza un’opportuna
trasformazione dei suddetti valori, invece che direttamente gli stessi; non
solo, quei guadagni (in senso lato poiché potrebbero prefigurarsi anche
con valori negativi) vengono considerati come variazioni della ricchezza
posseduta.
54
Esempio.
Un aumento del proprio capitale di una somma, ad esempio di 1000
(euro), viene valutata più o meno buona, a seconda del livello del
capitale già detenuto. Infatti, per un individuo che ha un capitale di 100
(euro), un introito di 1000 vale molto più di quanto possa valere per un
individuo che ha già un capitale di un milione (per il quale, un aumento
di 1000 non è più di tanto significativo).
Questa differenza, oggettivamente riconoscibile, non si riscontra se si
valuta guardando solamente l’incremento di ricchezza: la somma 1000 è
la stessa per entrambi.
Spesso come trasformazione della ricchezza detenuta viene utilizzata la
cosiddetta funzione di utilità, indicata con u , funzione che appunto
esprime l’utilità che il soggetto attribuisce al possesso di ricchezza.
u ( X ) è l’utilità dell’importo certo x ∈ R (è quindi l’utilità che l’individuo
ha con un capitale pari a x ).
Essa deve essere continua e crescente (infatti è ovvio che se un valore x1
è maggiore di un valore x 2 , l’utilità che il soggetto attribuisce al valore x1
deve essere maggiore dell’utilità attribuita al valore x 2 ), quindi, se anche
derivabile, con derivata prima maggiore o uguale a zero.
Ma nulla di generale si può dire riguardo alla concavità/convessità di
questa funzione. Infatti essa può essere lineare, concava, convessa …
Si assume che l’utilità, che l’individuo attribuisce al valore 0, sia pari a 0.
Inoltre, si può standardizzare la funzione con delle trasformazioni lineari
(si dimostra che il sistema di preferenza determinato da una funzione di
utilità è invariante per trasformazioni lineari crescenti).
55
La funzione di utilità è quindi una misura più opportuna per fare
valutazioni e l’individuo, invece di usare, come indicatore, il valore
monetario atteso, può impiegare l’utilità attesa.
Se X è la ricchezza aleatoria posseduta e U = u ( X ) è la variabile aleatoria
ottenuta dalla trasformazione u di X , allora:
Def. di utilità attesa E [U ] = E[u ( X )] = ∑i =1 u (xi ) p(xi ) = ∫ u (z )dFx (z )
n
R
Se la u si assume superiormente limitata (ad esempio da 1, con
standardizzazione della funzione), si dice di assumere l’ipotesi di
saziabilità. Ciò non è possibile nelle ipotesi di linearità e di convessità di
u , mentre l’assunzione di limitatezza può essere soddisfatta se si ammette
la concavità della funzione di utilità.
Per capire le implicazioni di queste tre ipotesi sulle scelte di un individuo,
si considera il cosiddetto equivalente certo.
Def. di equivalente certo xc = u −1 (E[u ( X )])
Ovviamente questo importo xc , confrontato con la media E [ X ] , soddisfa
differenti disuguaglianze, a seconda della concavità della funzione u (.) .
1 Se u è una funzione lineare, E [u ( X )] = u (E [X ]) e xc = E[X ]. In questo
caso si dice che l’individuo è neutrale al rischio.
2 Se u è una funzione concava, E [u ( X )] ≤ u (E [X ]) e xc ≤ E [X ] . In questo
caso si dice che l’individuo è avverso al rischio.
3 Se u è una funzione convessa, E [u ( X )] ≥ u (E [X ]) e xc ≥ E [X ] . In questo
caso si dice che l’individuo è propenso al rischio.
È interessante reinterpretare xc come ricchezza deterministica posseduta,
giudicata equivalente a quella incerta rappresentata da X .
56
Data una variabile aleatoria X che indica il capitale di un soggetto, con
realizzazioni x1 ,..., x n e relative probabilità p(x1 ),..., p(x n ) , per individui
avversi al rischio, si definisce:
Def. di premio al rischio π = E ( X ) − xc ; è quell’importo che rappresenta il
massimo valore che l’individuo (avverso al rischio) è disposto a pagare
con certezza per evitare la detenzione della ricchezza aleatoria X .
Def. di misura di avversione al rischio di Pratt r (x ) = −
u ' ' (x )
, per la quale
u' (x )
vale: π > 0 se e solo se u ' ' (x ) < 0 se e solo se r (x ) > 0 .
4.2 DEFINIZIONI GENERALI
Nota: per chiarezza, tutti i contratti nominati, non espressamente
accompagnati dal termine “riassicurativo” o simili, devono essere
automaticamente considerati come contratti di assicurazione tra
compagnia assicuratrice e soggetto; inoltre per compagnia si intenderà
sempre la compagnia assicuratrice, mentre per la compagnia
riassicuratrice verrà sempre utilizzato il termine “riassicuratore”.
Si assume nel rapporto trilaterale assicurato – compagnia – riassicuratore,
che siano noti i seguenti elementi:
X
variabile aleatoria “prestazione del contratto di assicurazione” con
distribuzione generica FX ( x ) (generalmente il punto 0 è l’unico
punto di massa di probabilità, cioè tale che Pr ( X = 0) > 0 , essendo
l’insieme di tutti gli altri punti un insieme continuo)
e
P = E[X ]
m
premio equo di assicurazione
caricamento di sicurezza che l’assicuratore inserisce nel premio puro
57
caricamento per spese per il contratto di assicurazione (supposto
s
proporzionale al premio di tariffa secondo un’aliquota data, η , senza
che l’assicuratore possa modificarla)
P
premio puro di assicurazione; P = e P + m
T
premio di tariffa per il contratto di assicurazione; T P = P + s
P
l (.) funzione che associa ad un rischio (come X ), la parte di rischio
ceduta al riassicuratore; per cui, se si verifica il sinistro con valore
del danno x , all’assicuratore spetta il risarcimento x − l (x ) e al
riassicuratore una parte del risarcimento pari a l (x )
e
P R = E[l ( X )]
premio equo di riassicurazione
m R caricamento di sicurezza inserito dal riassicuratore
sR
caricamento per spese per il contratto di riassicurazione, anche
questo supposto proporzionale, secondo un’aliquota data δ , al
premio di tariffa per il contratto di riassicurazione
P R premio puro di riassicurazione; P R = e P R + m R (si considera il premio
puro di riassicurazione, al netto della provvigione di riassicurazione)
T
P R premio di tariffa di riassicurazione; T P R = P R + s R
Con le assunzioni fatte, siano infine:
u A , u C , u R le funzioni di utilità rispettivamente dell’assicurato (A), della
compagnia (C) di assicurazione, del riassicuratore (R)
g A , gC , g R
le ricchezze iniziali (prima di concludere i contratti)
rispettivamente dell’assicurato, dell’assicuratore e del riassicuratore.
4.3 PUNTO DI VISTA DELL’ASSICURATO
Si assume che l’assicurato sia avverso al rischio, ipotesi molto
ragionevole, poiché altrimenti non prenderebbe neanche in considerazione
58
l’eventualità di assicurarsi per un rischio monetario pagando più del
danno atteso.
Se non si assicura, l’assicurato dispone della sua ricchezza g A . A suo
carico, grava il rischio X , quindi la sua è una “situazione” aleatoria. La
sua valutazione di convenienza è data dall’utilità media:
u A,1 = E[u ( g A − X )] = ∫ u A ( g A − x )dFX ( x )
_
+∞
0
4.3.1
Se si assicura, l’assicurato elimina totalmente il rischio X , tramite il
pagamento del premio di tariffa T P . La sua utilità è
_
u A, 2
( P ) = u (g
T
A
A
−T P
)
4.3.2
Perché all’assicurato convenga stipulare il contratto, deve essere:
_
u A, 2
( P) ≥ u
T
_
4.3.3
A,1
Per trovare il valore massimo del premio di tariffa, per cui all’assicurato
convenga concludere il contratto di assicurazione, si deve risolvere quindi
l’equazione nella variabile T P
_
u A, 2
( P) = u
T
_
4.3.4
A,1
Si intuisce immediatamente che, se π A è la soluzione dell’equazione
4.3.4, il valore g A − T P è l’equivalente certo, secondo la funzione di utilità
dell’assicurato, della situazione rappresentata dal capitale dell’assicurato
sotto il rischio X . π A rappresenta perciò il massimo valore del premio
oltre il quale cessa la convenienza del contratto di assicurazione per
l’assicurato.
Ricordando l’avversione al rischio dell’assicurato e la definizione di
premio al rischio, risulta ovviamente che il valore π A è maggiore del
premio equo e P e ciò rende possibile l’inserimento di un caricamento di
sicurezza da parte dell’assicuratore.
59
4.4 PUNTO DI VISTA DELL’ASSICURATORE
Si assume che anche l’assicuratore sia avverso al rischio. Egli deve
decidere se gli conviene stipulare il contratto di assicurazione, in base al
premio introitato, eventualmente riassicurandosi.
Si suppone inizialmente che l’assicuratore analizzi la convenienza
soltanto al contratto assicurativo senza riassicurarsi.
Successivamente verrà analizzato il caso in cui l’assicuratore valuti
l’ipotesi di stipulare il contratto assicurativo e contemporaneamente di
riassicurarsi
L’assicuratore dispone del capitale g C , quindi la sua utilità è
_
u C ,1 = uC ( g C )
Se
viene
stipulato
4.4.1
il
contratto
di
assicurazione,
la
ricchezza
dell’assicuratore aumenta del valore del premio puro P , ma diventa
aleatoria e non più certa. La situazione, dopo aver concluso il contratto di
assicurazione, ma prima di concludere l’eventuale contratto di
riassicurazione, include il rischio del contratto, quindi i due possibili esiti
per l’assicuratore sono:
1) l’evento oggetto del rischio si verifica
l’assicuratore, che dispone già del capitale g C , aumentato del premio
puro P (equivalente al premio di tariffa T P introitato, decurtato
dalle spese s ), subisce una perdita pari al danno verificatosi (nel
caso, supposto, di copertura integrale), che segue la distribuzione
FX ( x ) .
2) l’evento oggetto del rischio non si verifica
all’assicuratore rimane semplicemente il capitale g C + P , senza
altri esborsi
60
La valutazione di convenienza dell’assicuratore è data dall’utilità media:
_
( )
(
+∞
)
u C,2 T P = ∫ uC g C +T P − s − x dFX (x)
0
4.4.2
Perché all’assicuratore convenga il contratto di assicurazione, dev’essere:
_
u C ,2
( P) ≥ u
T
_
4.4.3
C ,1
Per l’assicuratore si può fare l’analogo discorso fatto per l’assicurato.
Per trovare il valore minimo del premio di tariffa, per cui all’assicuratore
convenga stipulare il contratto di assicurazione, si deve risolvere
l’equazione, nella variabile T P :
_
u C ,2
( P) = u
T
_
4.4.4
C ,1
Anche qui è chiaro che, se π C , 2 è la soluzione dell’equazione 4.4.4, esso
rappresenta il minimo valore sotto il quale cessa la convenienza al
contratto di assicurazione per l’assicuratore.
Per l’assicuratore si prospetta l’ipotesi di stipulare un contratto di
riassicurazione, per cedere una parte del rischio acquisito. Deve decidere
se gli conviene cedere quella parte del rischio, a seconda dei premi di
assicurazione e di riassicurazione pattuibili.
La situazione, una volta concluso il contratto di riassicurazione (e di
assicurazione) è comunque aleatoria e prevede due possibili esiti:
1) l’evento oggetto del rischio si verifica
l’assicuratore, che dispone già del capitale g C , aumentato del
premio puro (quindi al netto delle spese) di assicurazione P
introitato, e decurtato del premio di riassicurazione T P R pagato,
subisce una perdita variabile in base alla modalità riassicurativa,
che dipende da l (.)
2) l’evento oggetto del rischio non si verifica
allora l’assicuratore non è tenuto al risarcimento
61
In questa situazione quindi, la sua valutazione di convenienza è data
dall’utilità media:
_
(
)
(
+∞
)
u C ,3 T P, T P R = ∫ u C g C +( T P − s) − x− T P R + l ( x) dFX (x )
0
4.4.5
Perché all’assicuratore convenga il contratto di riassicurazione (e di
assicurazione), dev’essere per T P e per T P R
_
(
)
_
u C , 3 T P, T P R ≥ u C , 2
( P)
T
4.4.6
Anche in questo caso, per l’assicuratore esiste un valore del premio di
assicurazione, chiamato π C ,3 ( T P ) e che realizza l’uguaglianza
_
(
)
_
u C , 3 T P, T P R = u C , 2
( )
π C ,3 T P
( P)
T
4.4.7
rappresenta il massimo valore del premio di tariffa per il
contratto di riassicurazione, oltre il quale il contratto di riassicurazione
non è vantaggioso per l’assicuratore.
Il contratto di riassicurazione deve inoltre essere conveniente rispetto alla
situazione di partenza (con il solo capitale g C ); questa condizione si
tramuta nella
_
(
)
_
u C ,3 T P, T P R ≥ u C ,1
4.4.8
La convenienza alla stipulazione di entrambi i contratti dipende quindi
)
Il luogo delle coppie (
dalla coppia
(
T
P, T P R , e non è più un semplice intervallo.
T
)
P, T P R che rendono conveniente i due contratti per
l’assicuratore, sono quindi quelle coppie che soddisfano:
(
)
_
_
u C ,3 T P, T P R ≥ max u C , 2

( P ), u
T
_
C ,1



4.4.9
Nel seguito il luogo delle coppie che realizzano quella disuguaglianza
verrà indicato con
(
T
P, T P R
)
C
.
62
4.5 PUNTO DI VISTA DEL RIASSICURATORE
Si assume che anche il riassicuratore sia avverso al rischio.
È un’ipotesi molto ragionevole, perché è innanzitutto anche lui un
assicuratore, nel senso che incassa un premio certo in cambio di una
prestazione aleatoria, e, in quanto assicuratore, è avverso al rischio.
Il riassicuratore deve decidere se accettare il rischio che l’assicuratore gli
cede, in base al prezzo pattuito (premio di riassicurazione).
Il riassicuratore dispone del capitale certo g R , e la sua utilità è:
_
u R ,1 = u R (g R )
4.5.1
Assumendo che debba valutare solo questo singolo contratto di
riassicurazione, e non questo in relazione agli altri, il riassicuratore,
stipulando il contratto di riassicurazione con premio di tariffa di
T
riassicurazione
P R generico, acquisisce un rischio, quindi la sua
ricchezza non è più certa, ma aleatoria.
La sua valutazione di convenienza, dopo aver stipulato il contratto, è data
dall’utilità media:
_
u R,2
(
T
)
+∞
(
)
P R = ∫ u R g R + ( T P R − s R ) − l ( x) dFX ( x)
0
4.5.2
Perché al riassicuratore convenga il contratto di riassicurazione,
dev’essere:
_
u R,2
(
T
)
_
P R ≥ u R ,1
4.5.3
Anche in questo caso, per il riassicuratore esiste un valore π R , trovato
tramite l’equazione in T P R
_
u R,2
(
T
)
_
P R = u R ,1
4.5.4
che rappresenta il minimo valore del premio di tariffa per il contratto di
riassicurazione, sotto il quale non c’è convenienza per il riassicuratore.
63
4.6 CONVENIENZA AI CONTRATTI DI ASSICURAZIONE E RIASSICURAZIONE
Ricapitolando, per il contratto di assicurazione tra assicurato e
compagnia, si è ottenuto che all’assicurato conviene fare il contratto di
assicurazione anche se il premio di assicurazione è maggiore del premio
equo, e che la compagnia di assicurazione è disposta ad accettare il
contratto solo se il premio è maggiore del premio equo.
Ma questo non dà la certezza che esista un valore del premio che renda il
contratto vantaggioso per entrambi i contraenti. Ricordando che π A è il
massimo valore del premio che l’assicurato è disposto a pagare, e π C , 2 è il
minimo valore del premio che rende il contratto conveniente per la
compagnia, si ha che:
- se π A < π C , 2
non esistono soluzioni, e non c’è nessun accordo
- se π A = π C , 2
esiste un unico valore del premio ( T P = π A = π C , 2 ),
indifferente per entrambi i contraenti. In questo caso è difficile
che il contratto venga stipulato, perché il margine di sicurezza è
il minimo che l’assicuratore è disposto ad inserire.
- se π A > π C , 2
esiste un intervallo per il premio di assicurazione, in
cui risulta conveniente il contratto sia per l’assicurato che per la
compagnia di assicurazione.
Per il contratto di riassicurazione tra compagnia assicuratrice e
riassicuratore, il discorso si complica perché, come è stato già detto, la
regione di convenienza per l’assicuratore è una regione dipendente sia dal
premio di tariffa per il contratto di assicurazione sia da quello del
contratto di riassicurazione.
64
Si ha che:
- se la regione
(
T
P, T P R
)
C
non comprende valori per il premio di
riassicurazione maggiori di π R , allora non c’è una regione di
convenienza, e l’assicuratore non stipula il contratto di
riassicurazione; allora analizza la convenienza al singolo
contratto di assicurazione
- se la regione
(
T
P, T P R
)
C
contiene π R come punto di frontiera e
nessun altro punto di T P R tale che sia maggiore di π R , esiste un
unico
valore
che
rende
indifferente
il
contratto
di
riassicurazione; probabilmente, sempre per gli stessi motivi,
l’assicuratore non stipula il contratto di riassicurazione
- se la regione
(
T
P, T P R
)
C
comprende valori, per il premio di
riassicurazione, maggiori di π R , allora esiste una regione di
convenienza, per cui l’assicuratore stipula il contratto di
assicurazione e di riassicurazione.
Un altro possibile impiego di questi ragionamenti è l’analisi non del
singolo rischio da assicurare e riassicurare, ma l’analisi di un trattato di
riassicurazione da stipulare. Utilizzando le relazioni già trovate, si può
arrivare a delle conclusioni di carattere generale, per i trattati obbligatori e
facob. Quest’analisi verrà presentata nel paragrafo 4.7.
Per analizzare meglio la convenienza dei contratti per i tre soggetti
considerati, si fanno ora delle ipotesi più specifiche circa le loro funzioni
di utilità:
u A ( x) = 1 − e −αx funzione di utilità dell’assicurato
u C ( x) = 1 − e − βx funzione di utilità della compagnia assicurativa
u R ( x) = 1 − e −γx funzione di utilità del riassicuratore
65
È ben noto che per le funzioni di utilità esponenziali, l’indice di ArrowPratt è costante. Se u ( x) = 1 − e − λx , allora r ( x) = −
u ' ' ( x)
− λ2 e − λx
=−
=λ.
u ' ( x)
λe −λx
Quindi, nella famiglia delle funzioni di utilità considerate (esponenziali),
quanto minore è il valore del parametro, tanto meno è avverso al rischio il
soggetto di volta in volta considerato.
Con l’ipotesi di esponenzialità per le funzioni di utilità, si ha:
Per l’assicurato
_
+∞
+∞
0
0
la 4.3.1 diventa u A,1 = ∫ u A (g A − x )dFX (x ) = ∫ 1 − e −α ( g
la 4.3.2 diventa u A, 2 (T P ) = u A (g A − T P ) = 1 − e −α (g
_
A−
T
P
A −x
)
dFX ( x )
)
la convenienza all’assicurazione (4.3.3) per esso si traduce in:
1− e (
−α g A −T P
+∞
) ≥ 1 − e −α ( g
∫
A −x
)
dFX (x )
0
+∞
T
P≤
ln ∫ eαx dFX (x )
0
4.6.1
α
il valore π A che rende il contratto di assicurazione indifferente per
+∞
l’assicurato è π A =
ln ∫ eαx dFX ( x )
0
α
Per l’assicuratore
_
la 4.4.1 diventa u C ,1 = uC ( g C ) = 1 − e − βg
C
la 4.4.2 diventa
( )
(
)
u C,2 T P = ∫ uC g C + ( T P − s) − x dFX (x) = ∫ 1− e −β (gC +( P−s )− x )dFX ( x)
_
+∞
0
+∞
T
0
la convenienza all’assicurazione (4.4.3) si traduce per esso in :
∫
+∞
0
1− e −β (gC +( P−s)− x )dFX ( x) ≥ 1− e −βgC
T
66
+∞
T
P≥
ln ∫ e βx dFX ( x)
P≥
ln ∫ e βx dFX ( x)
0
β
+s
+∞
T
0
4.6.2
β (1−η)
il valore π C , 2 che rende il contratto di assicurazione indifferente per
+∞
l’assicuratore è π C,2 =
ln ∫ e βx dFX ( x)
0
β (1−η)
la 4.4.5 diventa
(
_
)
(
+∞
)
u C,3 T P, T P R = ∫ uC g C + ( T P − s)−T P R − x + l ( x) dFX (x) =
0
= ∫ 1 − e − β (g C + (
+∞
T
P −s ) −T P R − x +l ( x)
0
)dF (x)
X
la convenienza ad entrambi i contratti (4.4.9) si traduce per esso in:
_
(
)
_
_
(
)
_
u C , 3 T P, T P R ≥ u C , 2
( P)
T
u C ,3 T P, T P R ≥ u C ,1
che diventano:
+∞
T
PR ≤
ln ∫ e βx dFX ( x)
0
β
+∞
−
ln ∫ e β ( x −l ( x ) ) dFX ( x)
0
4.6.3
β
+∞
T
P R ≤ T P(1 − η ) −
ln ∫ e β ( x −l ( x ) ) dFX ( x)
0
4.6.4
β
che possono essere riassunte nella
+∞
βu

 ln +∞ e β (u −l (u ) ) dF (u )
ln
e
dF
(
u
)
X
X
∫
∫0


T
P R ≤ min  T P(1 − η ), 0
−
β
β




4.6.5
Per il riassicuratore
la 4.5.1 diventa u R (g R ) = 1 − e −γg
R
la 4.5.2 diventa:
+∞
+∞
−γ [ g + (
T R
R
∫ u R [ g R +( P − s ) − l ( x)]dFX ( x) = ∫ 1 − e R
0
0
67
T
P R − s R ) −l ( x )]
dFX ( x)
la convenienza al contratto di riassicurazione (4.5.3) si traduce in:
+∞
∫1 − e
−γ [ g R + (T P R − s R ) −l ( x )]
dFX ( x) ≥ 1 − e −γ ( g R )
0
+∞
T
PR ≥
ln ∫ e γl ( x ) dFX ( x)
+ sR
0
γ
+∞
T
PR ≥
ln ∫ e γl ( x ) dFX ( x)
0
4.6.6
γ (1 − δ )
Il valore π R che rende il contratto di riassicurazione indifferente per
+∞
il riassicuratore è π R =
ln ∫ e γl ( x ) dFX ( x)
0
γ (1 − δ )
.
Si nota immediatamente che nella determinazione dei vari π A , π C , 2 , π R , e
della regione
(
T
P, T P R
)
C
, con l’ipotesi di esponenzialità delle funzioni di
utilità, non compaiono i capitali iniziali g A , g C , g R ; questo non significa
che siano ininfluenti, infatti essi contribuiscono alla determinazione dei
parametri delle funzioni di utilità: quanto più alto è il capitale di un
soggetto, tanto meno egli è avverso al rischio, e quindi, ricordando la
relazione tra il parametro della funzione di utilità e la misura di
avversione al rischio di Arrow-Pratt, tanto più piccolo è il valore del
parametro della funzione esponenziale.
Per chiarire, confrontando l’assicurato e la compagnia di assicurazioni, il
capitale della compagnia è di gran lunga maggiore del capitale
dell’assicurato, quindi la compagnia è meno avversa al rischio di quanto
lo è l’assicurato.
È immediata conseguenza quindi che il parametro β (della funzione di
utilità della compagnia) è minore del parametro α (della funzione di
utilità dell’assicurato); occorre sottolineare che questa relazione ( α > β )
68
non garantisce l’esistenza di un intervallo di negoziazione del premio di
assicurazione, a causa delle spese che l’assicuratore deve sopportare,
η T P . Analogo discorso vale per il rapporto tra assicuratore e
riassicuratore.
Si può vedere, tramite un’analisi grafica, come varia la regione
complessiva di convenienza per i due contratti.
Per il contratto di assicurazione si è visto che la regione di convenienza
per i due contraenti è data dall’insieme dei punti tali che T P è compreso
tra π C , 2 e π A (valori dipendenti solo dalla distribuzione del danno X ):
Grafico 4.1
La regione di convenienza per il contratto di riassicurazione è più
interessante, perché dipende da due variabili. Essa deve rispettare le
condizioni imposte dalla 4.6.3, 4.6.4 e 4.6.6.
La 4.6.6 impone, per la convenienza del riassicuratore, che il premio di
riassicurazione sia superiore ad una certa soglia, indicata con π R (l )
perché dipendente dal tipo di copertura riassicurativa scelta, l (.) .
La 4.6.3 identifica il valore massimo del premio di riassicurazione, per
l’assicuratore; esso deve essere minore di un certo valore, indicato con
π C ,3 (l ) perché dipendente dalla distribuzione del danno X e dal tipo di
69
copertura riassicurativa scelta, l (.) , dato dalla differenza tra π C , 2 e il
+∞
ln ∫ e β ( x −l ( x ) ) dFX ( x)
0
valore
β
, indicato con k (l ) .
La 4.6.4 impone un ulteriore vincolo al premio
T
P R , dipendente dal
premio T P ; la limitazione imposta è data da una retta con equazione
+∞
T
e
con
P = P(1 − η ) −
R
T
inclinazione
ln ∫ e β ( x −l ( x ) ) dFX ( x)
0
β
di
un
angolo
= T P(1 − η ) − k (l )
minore
di
4.6.6
45°
(è
infatti
arctg (1 − η ) < arctg (1) = 45° ).
Poiché il punto (π C , 2 ,π C ,3 (l )) soddisfa l’equazione 4.6.6, ciò significa che
la retta data dalla 4.6.6 passa per il punto.
La figura della regione di convenienza alla riassicurazione (grigio scuro) è
quindi univocamente determinata, rispetto alla regione di convenienza per
l’assicurazione (grigio chiaro) che coincide, com’è già stato detto, con la
parte di piano delimitata, per le ascisse, dai valori π A e π C , 2 .
La regione di convenienza alla riassicurazione appare quindi come un
trapezio scaleno, come nel seguente grafico.
Grafico 4.2
La principale considerazione che si può evincere da questi risultati è che
l’area di convenienza per l’assicuratore, con la riassicurazione, si estende
70
oltre l’originaria regione di convenienza all’assicurazione, per cui
l’assicuratore può essere disposto ad acquisire il contratto di assicurazione
anche ad un prezzo inferiore a π C , 2 , perché comunque il caricamento
insufficiente è compensato dal rapporto riassicurativo.
Quindi l’assicuratore, grazie all’intervento del riassicuratore, può
proporre sul mercato assicurativo delle polizze con dei premi inferiori alla
sua originaria possibilità, premi che rendono le polizze più competitive
sul mercato rispetto a quelle di eventuali altre compagnie di assicurazione
con stessa avversione al rischio e che non ricorrono alla riassicurazione.
La forma della regione di convenienza ai contratti è sempre la stessa, ma
le dimensioni variano a seconda delle avversioni al rischio, della
distribuzione del danno X e della copertura riassicurativa l (.) .
Per ricercare, in quest’area di convenienza, una soluzione che sia
soddisfacente per i tre soggetti, si deve introdurre un criterio di ottimalità,
che verrà presentato nel capitolo 5, dopo un breve sguardo ai principali
criteri utilizzati in letteratura.
4.7 CONVENIENZA AI TRATTATI DI RIASSICURAZIONE
Con gli stessi risultati ottenuti per analizzare le regioni di convenienza ai
contratti di assicurazione e riassicurazione, si può anche effettuare
un’analisi dei trattati di riassicurazione e delle relative regioni di
convenienza. Le scelte ottimali di riassicurazione verranno trattate sempre
nel capitolo 5, anche nel caso dei trattati obbligatori e facob.
71
Caso I: riassicurazione facob
Il limite superiore per il premio di assicurazione rimane sempre dato
da π A ; la differenza è che il premio di riassicurazione, essendoci un
trattato, è una funzione g (.) del premio di assicurazione e della parte
di rischio ceduta (spesso anche questa fissata nel trattato), per cui il
premio di riassicurazione è automaticamente identificato.
Questa funzione g (.) è crescente, e può essere lineare (come g1 ),
convessa (come g 2 ), …
Grafico 4.3
La regione di convenienza per la riassicurazione coincide con il
grafico di questa funzione, per valori del premio di assicurazione
inferiori a π A e superiori ad un certo valore generalmente fissato nel
trattato, chiamato π * , sotto il quale il contratto non rientra nel trattato
(questo valore π * è più piccolo del minimo valore del premio di
tariffa a cui l’assicuratore è disposto a vendere il contratto di
assicurazione, π C ,3 , ed è comunque maggiore o uguale del premio di
tariffa che introiterebbe il riassicuratore acquisendo direttamente il
rischio sul mercato). Per il caso invece, in cui l’assicuratore decida di
non riassicurarsi, allora la regione di convenienza comprende i restanti
punti tali che il premio T P è delimitato da π C , 2 e π A .
72
Caso II: riassicurazione obbligatoria
Il discorso si ripete analogo a quello fatto per le riassicurazioni facob,
con l’unica differenza che appunto l’assicuratore, se acquisisce il rischio
sul mercato, deve cederlo al riassicuratore secondo i patti stabiliti nel
trattato; l’assicuratore non ha facoltà di scelta, quindi la regione di
convenienza, in questo caso, coincide con il grafico della funzione g (.) .
Grafico 4.4
Un’altra interessante applicazione di questi ragionamenti può essere
svolta in riferimento non ad un preesistente trattato di riassicurazione, ma
nell’analisi degli effetti che comporterebbe l’eventuale stipulazione di un
trattato di riassicurazione, per la scelta della funzione g (.) . Anche
quest’applicazione trattata nel capitolo 5.
73
CAPITOLO 5
POLITICHE OTTIMALI DI RIASSICURAZIONE
5.1 PREMESSA
L’analisi delle regioni di convenienza ai contratti di assicurazione e di
riassicurazione effettuata nel precedente capitolo, si inserisce in una più
ampia ottica di ricerca della miglior copertura riassicurativa, secondo gli
interessi del solo assicuratore (politiche unilaterali) o dell’assicuratore e
del riassicuratore (politiche bilaterali).
Le preoccupazioni principali dell’assicuratore riguardano le fluttuazioni
annuali dei risultati economico – patrimoniali, che potrebbero portare a
perdite gravose compromettendo gli assetti e gli equilibri aziendali. Per
evitare questo o diminuire la probabilità di questi eventi negativi,
l’assicuratore può intervenire aumentando il caricamento di sicurezza, ma
essendo una scelta che complica l’acquisizione dei contratti sul mercato, è
preferibile spesso ricorrere a strumenti come la riassicurazione e la
coassicurazione, con qualche sacrificio in termini di guadagno atteso di
portafoglio.
Tenendo come base le modalità riassicurative trattate nel capitolo 3,
verranno
presentati
vari
approcci,
basati
essenzialmente
sulla
minimizzazione della probabilità di rovina e sulla massimizzazione
dell’utilità attesa, per la determinazione di una politica ottimale di
riassicurazione da applicare ad un determinato portafoglio.
Verrà di seguito utilizzata la seguente simbologia a livello di portafoglio:
- n numero, ipotizzato sufficientemente grande, di contratti omogenei
(rischi analoghi, tenuto conto di caratteristiche rilevabili a priori)
afferenti al portafoglio considerato.
74
- X i variabile aleatoria, per ogni contratto i , con media E [X i ]= e Pi e
varianza Var ( X i ) = σ i2 . A livello di portafoglio: X , e P , σ 2 .
- m = ∑i =1 mi caricamento di sicurezza introitato per tutti gli n contratti
n
- m R = ∑i =1 miR caricamento di sicurezza utilizzato dal riassicuratore
n
- Gi = e Pi + mi − X i è il guadagno (aleatorio) relativo al generico contratto i
- G = ∑i =1 Gi guadagno aleatorio sull’intero portafoglio
n
- GiC = e Pi + mi − ( e Pi R + miR ) − X iC guadagno aleatorio relativo al contratto i
riassicurato; E [GiC ] = mi − miR , Var (GiC ) = Var (X iC ), µ 3 (GiC ) = − µ 3 (X iC )
- G C = ∑i =1 GiC guadagno aleatorio dell’assicuratore relativo ai rischi
n
conservati; E [G C ] = m − m R , Var (G C ) = Var (X C ), µ 3 (G C ) = − µ 3 (X C )
5.2 POLITICHE OTTIMALI DI RIASSICURAZIONE
Politiche unilaterali
In letteratura come politiche unilaterali di riassicurazione sono trattati
principalmente i due criteri della massimizzazione dell’utilità attesa e
quello della minimizzazione della probabilità di rovina.
A) Massimizzazione dell’utilità attesa.
L’utilità
attesa
della
ricchezza
dell’assicuratore,
se
effettua
la
riassicurazione, è E [u (g C + G C )] ; con l’ipotesi di esponenzialità per la
funzione di utilità, riprendendo la stessa notazione del capitolo 4, diventa
[
E [e
C
E 1 − e − β (g C + G )
(
− β g C +G C
]
]
e massimizzare questo valore significa minimizzare
[
]
[
) = e − βg E e − βG , o analogamente E e − βG
C
C
Modalità “in quota globale”. È
m R = (1 − a )k R , dove k R
X C = aX
C
] o ln(E[e ]).
− βG C
e si fa l’ipotesi che
è il caricamento che il riassicuratore
inserirebbe se il complessivo rischio X fosse localizzato presso di lui.
75
Approssimando
([
ln E e − βG
l’espressione
C
]),
che
è
la
funzione
generatrice dei cumulanti di G C nel punto − β , con il polinomio di
Taylor di ordine 3, si ottiene che l’obiettivo si sposta nella
minimizzazione di − βE [G C ] +
β2
β3
Var G C −
µ 3 G C , al variare del
2
6
( )
( )
parametro a .
Poiché tale espressione equivale, con le ipotesi assunte, a
(
)
− m − (1 − a )k R +
(
= − m − (1 − a )k
R
)
β
β2
Var X C +
µ3 X C =
2
6
( )
( )
β 2 2 β2 3
+ aσ +
a µ3 ,
2
6
si ottiene
se µ 3 = 0
 kR 
a* = min 1,
2 
 βσ 
se µ 3 > 0
 σ 2
a* = min 1,
 βµ 3
 

k R µ3

 1+ 2
−
1
2
 

σ2
( )
Modalità “in quota individuale”. È X iC = ai X i e si fa l’ipotesi, analoga a
quella
fatta
precedentemente,
che
miR = (1 − a i )k iR ,
e
quella
d’indipendenza tra gli n rischi.
Per la ricerca della soluzione ottima vale un discorso analogo a quello
fatto per la modalità in quota globale; risulta infatti
([
ln E e − βG
C
]) = ln E e
−β
([
])
([
])
∑i =1 GiC   = ln n E e − βGiC = n ln E e − βGiC .
∑i =1
∏i=1
 
n
La ricerca della soluzione ottima per ogni contratto i , sempre tramite
l’approssimazione di Taylor della funzione generatrice dei cumulanti
GiC
di
(
nel punto
)
− mi − (1 − ai )k iR +
−β,
porta alla ricerca del minimo di
β 2 2 β2 3 i
ai σ i +
ai µ 3 .
2
6
76
Analogamente è
se µ 3i = 0
 kR 
ai * = min 1, i 2 
 βσ i 
se µ > 0
 σ2

a i * = min 1, i i
 βµ 3
i
3

 
k iR µ 3i
 1+ 2
− 1 
2

 
σ i2

( )
Modalità “per risk excess of loss”. È X iC = ∑h=i min (Yh ,i , Li ) = ∑h =1 Λ h ,i .
Ni
Ni
Si fa l’ipotesi che la portata sia totale, che i rischi abbiano un
massimale M i e che Yh,i iid come Yi . Si definisce K Y ( x) = 1 − FY ( x) .
i
i
Con l’ipotesi che il premio di riassicurazione è calcolato secondo il
criterio del valor medio, Pi R = (1 + η i )E[ N i ]∫ K Y (x )dx (con η aliquota
Mi
i
Li
di caricamento), e con l’ipotesi che la distribuzione di X C sia Poissoncomposta, si ha
[
]
[ ]
Mi
C
C
E e − βGi = exp − βPi + β (1 + η i )E ( N i )∫ K Yi ( x )dx  E e βX i .
Li


[ ]
β
È E e βX = E e ∑

C
i
Ni
Λ
h =0 h ,i
È E (e βΛ ) = ∫ e βu dFY ( x ) + e βL
0
Li
i
[ [ ] ])
(

βΛ i
−1 .
 = exp E (N i ) E e
i
i
∫
Mi
Li
dFYi ( x ) = 1 + β ∫ e βu K Yi ( x )dx , ottenuto
Li
0
integrando per parti e semplificando il tutto. Si ha quindi che
[
]
ln E e − βGi = − βP + β (1 + η ) E ( N ) ∫ K Yi ( x )dx + E ( N i )β ∫ e βx K Yi ( x )
C
Mi
Li
Li
0
Il problema di ottimo si riduce alla ricerca del
min Li (1 + η i ) ∫ K Yi ( x )dx + ∫ e βx K Yi ( x )dx .
Mi
Li
Li
0
Annullando la derivata di questa funzione della priorità Li , si ha
− (1 + η i )K Yi (Li ) + e
βLi
K Z i ( Li ) = 0 ⇒ Li → +∞
ln(1 + η )
= 0 se
L=
β

La soluzione ottima si può riassumere con Li * = min M i ,

77
ln(1 + η i ) 
.
β

X C = min{X , L} ; risulta
Modalità “aggregate excess of loss”. È
( )
L
L
L
E X C = ∫ K X ( x )dx e Var (X C ) = 2 ∫ xK X ( x )dx −  ∫ K X ( x)dx  , definito
0
0
 0

2
+∞
K X ( x ) = Pr{X ≥ x} . Si fa l’ipotesi m R = η ∫ K X ( x )dx , per cui risulta
L
+∞
P R = (1 + η )∫ K X ( x )dx .
L
Per semplicità si arresta lo sviluppo in serie di Taylor dell’espressione
([
ln E e − βG
C
]) al secondo termine: − βE[G ]+ β2 Var (G ), ovvero
2
C
Φ(L ) = 2 ∫ xK X ( x )dx −  ∫
0
 0
L
L
C
+∞
2 m − η ∫ K X ( x )dx 
L
.
K X ( x )dx  − 

β
2
Derivando questa funzione rispetto a L , si vede subito che essa
presenta due possibili estremi: L tale che K X (L ) = 0 (ma in questo
caso non esiste questo valore), o L tale che L − ∫ K X (x )dx =
L
0
η
.
β
Con l’ipotesi di distribuzione esponenziale per X , per esempio, si
ottiene, approssimando con il polinomio di Taylor del terzo ordine,
L* =
2 E ( X )η
.
β
B) Minimizzazione della probabilità di rovina.
La probabilità di rovina nell’esercizio dell’assicuratore nell’esercizio è
data da
G C − m − gC − m 
 gC + m 
<
Pr G C < − g C = Pr 
 = Φ −

σ
σ 

 σ

{
}
dove Φ è la funzione di distribuzione della variabile G C standardizzata.
Per diminuire questa probabilità, l’assicuratore interviene tramite la
riassicurazione, diminuendo quello che viene chiamato l’indice di stabilità
78
del portafoglio. In luogo di quest’indice s =
gC + m
, si considera l’indice
σ
in presenza di riassicurazione: s C =
gC + mC
con m C e σ C caricamento e
σC
scarto
rischio
quadratico
medio
del
di
portafoglio
conservato
dall’assicuratore.
Il cosiddetto “problema dei pieni relativi” procede all’analisi delle
soluzioni ottime di riassicurazione per una data riduzione del guadagno
medio di portafoglio. Si tratta quindi di un problema di ottimo vincolato:
si minimizza la varianza del portafoglio conservato dall’assicuratore
nell’ipotesi, semplificatrice, di indipendenza dei rischi degli n contratti,
sotto vincolo di una predeterminata riduzione del guadagno atteso di
portafoglio, m − m C .
Nel caso di riassicurazione proporzionale, ad esempio, si devono
determinare le aliquote di ritenzione ai , con 0 ≤ ai ≤ 1 , che minimizzano
la varianza σ 2 (G C ) = ∑i =1σ 2 (GiC ) = ∑i =1σ 2 (ai X i ) = ∑i =1 aiσ i2 , per una data
n
n
n
riduzione del guadagno atteso di portafoglio m − m C = ∑i =1 (1 − ai )k i , in
n
accordo con le precedenti ipotesi fatte sulla determinazione del premio di
riassicurazione nel caso di riassicurazione proporzionale.
[
]
Considerata la g (a1 ,..., a n ) = ∑i =1 ai2σ i2 + 2λ ∑i =1 (1 − ai )k i − m + m C si può
n
n
ottenere la soluzione ottima con il metodo di Lagrange. Annullando
quindi le derivate parziali della funzione g rispetto alle aliquote ai , si
ottengono le soluzioni ai = λ
ki
; dovendo rispettare il vincolo della
σ i2
∑
riduzione del portafoglio, si ottiene λ =
n
i =1
(
ki − m − m C
k i2
∑i =1 σ 2
i
n
79
)
.
Se per questi valori di ai e di λ si soddisfano anche i vincoli 0 ≤ ai ≤ 1 ,
allora quella trovata è, ovviamente la soluzione ottima. Se così non fosse,
un’analisi più accurata mostrerebbe che la soluzione è
 k 
ai = min ξ i2 ,1 , dove ξ =
 σi 
∑
n*
i =1
(
ki − m − mC
k i2
∑i =1 σ 2
i
)
, avendo indicato con n * il
n*
massimo degli indici tali che, ordinati i contratti i in modo che i rapporti
ki
k
risultino non decrescenti, non sia superiore a uno il rapporto ξ i2 .
2
σi
σi
Il cosiddetto “problema dei pieni assoluti” prende in considerazione dei
criteri per scegliere opportunamente la riduzione m − m C . Generalmente si
utilizza il seguente criterio: definita ε* la soglia della probabilità di rovina
accettabile dall’assicuratore, la riduzione m − m C si trova numericamente
risolvendo la seguente equazione nelle variabili m C e σ C , entrambe
univocamente determinate in funzione della riduzione m − m C ,
gC + mC
= Φ −1 (ε *) .
C
σ
Politiche bilaterali
I due criteri appena presentati prendono in considerazione solo il punto di
vista dell’assicuratore. Potrebbe essere che i risultati più vantaggiosi per
l’assicuratore siano i meno vantaggiosi per il riassicuratore, poiché le
implicazioni che ogni politica ha sui due soggetti sono spesso di verso
contrario dal punto di vista della loro convenienza. Si dicono politiche
bilaterali quelle che prendono in considerazione contemporaneamente i
punti di vista dei due soggetti interessati.
Si valutino le situazioni che si creano con la riassicurazione con il criterio
dell’utilità attesa, con funzioni di utilità dell’assicuratore e del
riassicuratore uguali a quelle trattate nel capitolo 4:
80
u C ( x ) = 1 − e − βx e u R ( x ) = 1 − e −γx .
Considerando la massimizzazione dell’utilità attesa per i due soggetti, si
ha che la riassicurazione è conveniente (con le usuali tecniche degli
sviluppi accorciati di Taylor)
per l’assicuratore
se P R ≤ E (X R ) +
[
( )]
β 2
σ (X ) − σ 2 X C
2
γ
2
per il riassicuratore se P R ≥ E (X R ) + σ 2 (X R )
e il rapporto riassicurativo può risultare non svantaggioso per entrambi i
soggetti solo se, considerato Ψ =
[
( )]
β 2
γ
σ (X ) − σ 2 X C − σ 2 X R , è Ψ > 0 .
2
2
( )
I due soggetti, per scegliere la cessione ottimale dei rischi e la
conseguente
definizione
del
premio
di
riassicurazione,
possono
concordare quella cessione che massimizza l’ampiezza dell’intervallo di
negoziazione, che è stato indicato con Ψ .
Modalità “in quota globale”. È X C = aX . La funzione da massimizzare è
Ψ (a ) =
β
γ
2
1 − a 2 σ 2 ( X ) − (1 − a ) σ 2 ( X )
2
2
(
)
annullando la derivata, si ha per a* =
e
il
massimo,
ottenuto
γ
.
β +γ
La ripartizione di X nelle due componenti aX e (1 − a )X avviene
quindi proporzionalmente alle avversioni al rischio dei due soggetti.
Effettuando un confronto con l’aliquota ottimale trovata con il criterio
della massimizzazione dell’utilità attesa (politiche unilaterali), che
diventa a* =
kR
γ
=
con l’ipotesi che il caricamento sia valutato dal
2
2β
βσ
riassicuratore secondo il criterio della varianza ( k R = γ
σ2
), si ha che
2
questa soluzione è minore della soluzione ottenuta con il criterio
utilizzato per questa politica bilaterale.
81
Modalità “aggregate excess of loss”. È X C = min{X , L} ; con l’ipotesi
della
distribuzione
del
risarcimento
globale
con
distribuzione
decumulata K X (x ) , la funzione da massimizzare è Ψ (L ) =
=
β
2
2
2
 +∞
 +∞ K ( x )dx  − 2 L xK ( x )dx +  L K ( x )dx   +
2
xK
x
dx
−
(
)
X
X
 ∫0
∫0 X
 ∫0

 ∫0 X
 

−
2
γ  +∞
 + ∞ K (x )dx  
2
x
−
L
K
x
dx
−
(
)
(
)
X
X
 ∫L
 
2  ∫L
La priorità ottimale è quella che annulla la derivata di Ψ (L ) :
L
+∞
Ψ ' (L ) = β  K X (L ) ∫ K X ( x )dx − L  − γ  ∫ K X (x )dx (K X (L ) − 1) = 0 .

 L

 0

5.3 CESSIONI OTTIMALI DEI RISCHI
Si considera qui un criterio che prende contemporaneamente in
considerazione le esigenze dei due soggetti. Si mira a minimizzare la
probabilità di rovina di almeno uno dei due soggetti nell’esercizio: è un
criterio che si riferisce alla copertura riassicurativa sull’intero portafoglio
acquisito nell’anno.
La ricerca dell’accordo ottimo tra assicuratore e riassicuratore, per la
definizione dei livelli dell’aliquota di ritenzione a (per la modalità in
quota) o della priorità L (per la modalità aggregate excess of loss), va
ricondotta dunque, alla minimizzazione, rispetto al tipo di copertura
riassicurativa l (.) , della probabilità di rovina di almeno uno tra
assicuratore e riassicuratore:
min l Pr{almeno uno rovina} = min l [1 − Pr{nessuno rovina}] =
= max l Pr{nessuno rovina}
La probabilità che nessuno dei due soggetti vada in rovina, si può scrivere
come:
{
Pr{nessuno rovina} = Pr X − l ( X ) ≤ g C + P − P R ∩ l ( X ) ≤ g R + P R
82
}
Si devono ora considerare separatamente i due casi, prima accennati.
A) Riassicurazione “aggregate excess of loss”. È l ( X ) = max{X − L,0} e il
premio di riassicurazione è una funzione della priorità L , P R (L ) . Si ha
{
}
Pr X − l ( X ) ≤ g C + P − P R (L ) ∩ l ( X ) ≤ g R + P R (L ) =
{
= Pr{min{X , L} ≤ g
}
= Pr min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) =
C
+ P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) ∩
∩ [( X ≥ L ) ∪ ( X < L )]} =
{[
]
= Pr min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) ∩ X ≥ L ∪
[
]}
∪ min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) ∩ X < L =
grazie alle leggi di De Morgan; e, poiché i due eventi sono incompatibili,
{
}
= Pr min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) ∩ X ≥ L +
{
}
+ Pr min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) ∩ X < L =
{
}
= Pr min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) / X ≥ L ×
× Pr{X ≥ L} +
{
}
+ Pr min{X , L} ≤ g C + P − P R (L ) ∩ max{X − L,0} ≤ g R + P R (L ) / X < L ×
× Pr{X < L} =
{
}
+ Pr{X ≤ g + P − P (L ) ∩ 0 ≤ g + P (L ) / X < L}Pr{X < L} =
= Ψ{
} Pr{X ≤ L + g + P (L ) / X ≥ L}Pr{X ≥ L} +
= Pr L ≤ g C + P − P R (L ) ∩ X − L ≤ g R + P R (L ) / X ≥ L Pr{X ≥ L} +
R
R
C
R
R
L≤ gC + P − P R
R
{
}
+ Pr X ≤ g C + P − P R (L ) / X < L Pr{X < L} =
dove Ψ{L≤ g
C + P−P
R
( L )}
è la funzione indicatrice dell’evento certo o
impossibile, L≤gC+P-PR(L)
= Ψ{L ≤ g
C + P−P
R
( L )} Pr
{L ≤ X ≤ L + g
R
}
{
{
}}
+ P R (L ) + Pr X < min g C + P − P R (L ), L
A questo punto si devono considerare i due casi:
83
• 1) Se L è tale che L ≤ g C + P − P R (L ) , la probabilità di non rovina di
entrambi è
{
}
{
}
Pr L ≤ X ≤ L + g R + P R (L ) + Pr{X < L} = Pr X ≤ L + g R + P R (L )
Il valore di L tale che sia massima questa probabilità, è lo stesso
valore che rende massimo
L + g R + P R (L )
o equivalentemente
L + P R (L ) .
Dovendo risultare L + P R (L ) ≤ g C + P , il massimo si ha per quel valore
di L tale che sia L + P R (L ) = g C + P .
Il valore massimo della probabilità di non rovina di entrambi è
{
}
Pr X ≤ L + g R + P R (L ) = Pr{X ≤ g C + P + g R }
• 2) Se L è tale che L > g C + P − P R (L ) , la probabilità di non rovina di
entrambi è Pr{X < g C + P − P R (L )}
Il valore di L tale che sia massima questa probabilità, è lo stesso
valore che rende massimo g C + P − P R (L ) ; tale massimo lo si ha
quando il premio di riassicurazione è 0, cioè per L che tende a più
infinito.
Il valore massimo di questa probabilità è pertanto
{
}
lim L →+∞ Pr X < g C + P − P R (L ) = Pr{X < g C + P}
• Un diretto confronto tra le due probabilità massime, fa vedere
immediatamente come il valore massimo della probabilità di non
rovina dei due soggetti si abbia per il valore L * tale che
L* = g C + P − P R (L *) , che dipenderà dalla distribuzione del danno X
e dal metodo di calcolo del premio di riassicurazione.
È un risultato prevedibile: con quel valore della priorità si azzera
completamente la probabilità di rovina dell’assicuratore, che si assume
il massimo rischio per lui sopportabile, e subordinatamente si
minimizza la probabilità di rovina del riassicuratore.
84
Il valore massimo della probabilità di non rovina di entrambi è
{
}
Pr X ≤ L + g R + P R (L ) = Pr{X ≤ g C + P + g R }
ed è come se l’assicuratore e il riassicuratore mettessero insieme le
loro intere disponibilità, g C + P − P R e g R + P R , per far fronte alla
perdita complessiva.
B) Riassicurazione in quota. l ( X ) = (1 − a )X , il premio di riassicurazione è
calcolato come P R = (1 − a )Q , dove Q è il volume totale dei premi che
imporrebbe il riassicuratore, se il complesso dei rischi fosse
interamente localizzato presso di lui (il valore Q è quindi
ragionevolmente minore del valore P ). Si ha
{
}
Pr X − l ( X ) ≤ g C + P − P R ∩ l ( X ) ≤ g R + P R =
= Pr{aX ≤ g C + P − (1 − a )Q ∩ (1 − a ) X ≤ g R + (1 − a )Q} =
g + P − (1 − a )Q
g


= Pr  X ≤ C
∩ X ≤ R + Q =
a
1− a



 g + P − (1 − a )Q g R

,
= Pr  X ≤ min  C
+ Q 
1− a
a



Per massimizzare questa probabilità, si deve massimizzare la funzione:
 g + P − (1 − a )Q g R

h(a ) = min  C
,
+ Q  con a ∈ [0,1]
a
1− a


Si cercano ora i valori di a per cui vale la disuguaglianza:
g C + P − (1 − a )Q
g
≥ R +Q
a
1− a
(
)
g C − ag C + P − aP − 1 − 2a + a 2 Q ≥ ag R + aQ − a 2 Q
g C + P − Q + a (− g C − P + 2Q − Q − g R ) ≥ a 2 (Q − Q )
a(g C + g R + P − Q ) ≤ g C + P − Q
a≤
gC + P − Q
gC + g R + P − Q
85
Si ha quindi che:
 g C + P − (1 − a )Q

a

h(a ) = 
 gR + Q
1 − a
per
gC + P − Q
≤ a ≤1
gC + g R + P − Q
per 0 ≤ a ≤
gC + P − Q
gC + g R + P − Q
Bisogna allora cercare il massimo di
g C + P − (1 − a )Q
gC + P − Q
con
≤ a ≤1
a
gC + g R + P − Q
1)
È
g C + P − (1 − a )Q g C + P − Q
+Q
=
a
a
e questa funzione è tanto più grande, quanto più piccolo è il
valore di
a=
a.
Il massimo si trova quindi nel punto
gC + P − Q
gC + g R + P − Q
gC + P − Q
gR
+ Q con 0 ≤ a ≤
1− a
gC + g R + P − Q
2)
Questa funzione è tanto più grande quanto 1 − a è più piccolo,
quindi quanto più a è grande; il massimo della funzione sarà
quindi nel punto a =
gC + P − Q
gC + g R + P − Q
L’aliquota di ritenzione a che minimizza la probabilità di rovina di
almeno uno dei due soggetti è quindi:
a=
gC + P − Q
.
gC + g R + P − Q
Poiché il volume totale dei premi che incassa l’assicuratore, P , non è
molto più grande del volume che incasserebbe il riassicuratore, Q ,
l’aliquota di ritenzione (per l’assicuratore) ottima può essere approssimata
con a ≈
gC
. Quest’aliquota comporta che ognuno dei due soggetti
gC + g R
trattenga una parte del rischio complessivo, proporzionale alle ricchezze
detenute.
86
5.4 ACCORDI OTTIMI DI CONTRATTAZIONE DEI PREMI
Per la scelta del premio di assicurazione e riassicurazione si deve tenere
conto dei punti di vista di tutti i soggetti interessati e trovare un accordo
che assicuri un certo guadagno ad ognuno di essi, e quindi spostare, per
tutti, il punto di accordo sui premi dalle linee di indifferenza a quelle di
convenienza. Un criterio di ricerca dei premi ottimi può essere quello di
massimizzare il prodotto tra le differenze delle utilità dei soggetti in
presenza del contratto e dell’utilità iniziale degli stessi.
Sono due i problemi da analizzare, perché l’assicuratore può decidere, una
volta concluso il contratto di assicurazione, se riassicurarsi. Quindi
l’assicuratore effettua l’analisi dei due casi, mettendo a confronto il suo
incremento di utilità: sulla base di questo confronto, deciderà se
riassicurarsi oppure no, a seconda che la sua utilità con il solo contratto di
assicurazione sia minore o maggiore della sua utilità con la
riassicurazione.
Le equazioni che esprimono le utilità attese dei soggetti, prima (indice 1)
e dopo (indice 2 e 5) i contratti di assicurazione e riassicurazione, sono le
seguenti
_
+∞
+∞
0
0
4.3.1 u A,1 = ∫ u A (g A − x )dFX (x ) = ∫ 1 − e −α ( g
4.3.2 u A, 2 (T P ) = u A (g A − T P ) = 1 − e −α (g
_
_
4.4.1 u C ,1 = uC ( g C ) = 1 − e − β ( g
C
A−
T
P
A −x
)
dFX ( x )
)
)
4.4.2 u C,2 ( T P) = ∫ uC (gC +T P − s − x)dFX (x) = ∫ 1− e −β (g
0
0
_
+∞
+∞
T
C + P(1−η ) − x
)dF (x)
X
4.4.5 u C ,3 ( T P,T P R ) = ∫0 u C (g C +( T P − s ) − x − T P R + l ( x))dFX (x ) =
_
+∞
= ∫ 1 − e − β (g C +
+∞
T
P (1−η ) − x −T P R + l ( x )
0
_
4.5.1 u R ,1 = u R (g R ) = 1 − e −γ ( g
R
)
87
)dF (x )
X
4.5.2 u R , 2 ( T P R ) = ∫ u R (g R + ( T P R − s R ) − l ( x) )dFX ( x) =
0
_
+∞
= ∫ 1 − e − γ (g R +
+∞
P R (1−η ) − l ( u )
T
0
)dF (u )
X
A) Accordo ottimo per il solo contratto di assicurazione
La ricerca dell’accordo ottimo tra assicuratore e assicurato si riduce alla
ricerca del massimo, rispetto a T P di:
f
( P ) =  u ( P ) − u
_
T

_
T
A, 2
A,1
 _
 u C , 2

( P) − u
T
_
C ,1

=

+∞
T
= 1 − e −α (g A − P ) − 1 − ∫ e −α ( g A − x ) dFX ( x )  ×

 
0

× 1 − ∫ e − β (g C +
0

+∞
T
P (1−η ) − x
[
]
)dF ( x ) − 1 − e − β ( g )  =
X
C
+∞
+∞
T
= e −αg A − βgC ∫ e − β ( gC − x ) dFX ( x ) ∫ eαx dFX ( x ) − e −α P  ×
0

 0
(
−1
T
 +∞

×   ∫ e − β ( g C − x ) dFX (x ) − e − β (1−η ) P  =
0



= k1 a1 − eα
T
P
)(c − e ),
− λ TP
1
a1 ≥ eα
con vincoli
T
P
e
c1 ≥ e − λ P , e avendo posto
T
+∞
+∞
0
0
k1 = e −αg A − βgC ∫ e − β ( gC − x ) dFX ( x ) , a1 = ∫ eαx dFX ( x ) , c1 =
λ = β (1 − η ) ,
1
∫
+∞
0
e − β ( g C − x ) dFX ( x )
,
delle espressioni che non dipendono dalla variabile rispetto a cui si
massimizza e che possono essere considerate come delle costanti positive.
La funzione f in
T
P è continua ed ammette derivate di ogni ordine.
Risulta
( ) [
f ' ' ( P ) = k [− α
f ' T P = k1 − α e α
T
1
T
P
(c − e )+ λ e (a − e )]
(c − e ) − 2α λe e − λ e (a − e )]
− λ TP
α TP
1
2 α TP
e
−λ TP
1
− λ TP
α TP
1
− λ TP
2
−λ TP
α TP
1
88
Dai vincoli segue che i valori dentro le parentesi quadre sono non
negativi e quindi, essendo negativo il secondo addendo, per ogni T P è
( )
f ' ' T P < 0 e quindi f è strettamente concava.
f è pertanto una funzione, in una variabile, che si annulla in π C , 2 e in π A .
Per il teorema di Weierstrass, essendo f continua su un compatto
(l’intervallo chiuso [π C , 2 − π A ]), ammette un unico punto di massimo (per
la stretta concavità).
Poiché la funzione f
vale zero nei punti di frontiera (si annulla
l’incremento di utilità di uno dei due soggetti), l’unico punto di massimo
è interno e si può determinare con l’annullamento della derivata prima:
[
( )
f ' T P = k1 − α e α
T
P
(c − e )+ λ e (a − e )] = 0 ,
− λ TP
−λ TP
α TP
1
1
ossia se eα P e − λ P (α − λ ) = α c1eα P − λ a1e − λ P
T
T
T
T
Non è possibile risolvere in forma analitica chiusa l’equazione rispetto a
T
P e quindi si deve ricorrere a tecniche numeriche.
B Accordo ottimo per il contratto di assicurazione e di riassicurazione
La ricerca dell’accordo ottimo tra i tre soggetti può concretizzarsi nella
ricerca del massimo, rispetto a T P e T P R , della funzione:
(
)
_
h T P , T P R =  u A, 2

( P) − u
T
_
A,1
 _
 u C ,3

(
T
)
_
 _
P, T P R − u C ,1  u R , 2

(
T
)
_

P R − u R ,1  =

+∞
T
= 1 − e −α (g A − P ) − 1 − ∫ e −α ( g A − x ) dFX ( x )  ×
 
0


× 1 − ∫ e − β (g C +
0

+∞
T
P (1−η ) − T P R − x + l ( x )
× 1 − ∫ e −γ (g R +
0

+∞
T
P R (1−η ) − l ( x )
[
)dF ( x ) − 1 − e − β ( g
X
C
)
] ×
)dF ( x ) − [1 − e −γ ( g ) ] =

X
R

+∞
+∞
+∞
T
= e −αg A − βg C −γg R ∫ e − β (− x +l ( x ) ) dFX ( x )∫ e γl ( x ) dFX ( x ) ∫ e −αx dFX ( x ) − eα P  ×
0
0
0


−1
T
T R
 +∞
×   ∫ e − β (− x +l ( x ) ) dFX ( x ) − e − λ P e β P

 0
89
−1
T R
   +∞ γl ( x )
 ×   ∫ e dFX ( x ) − e −θ P

  0

 =

(
= k 2 a1 − eα
T
P
con vincoli
)(c
− e −λ P e β
T
2
T R
P
a1 ≥ eα P ,
T
)(r − e
−θ TP R
1
)
c2 ≥ e −λ P e β P ,
T
r1 ≥ e −θ
T R
+∞
+∞
0
0
T R
P
, e avendo posto
+∞
k 2 = e −αg A − βgC −γg R ∫ e − β (− x +l ( x ) ) dFX ( x )∫ e γl ( x ) dFX ( x ) ,
+∞
c 2 =  ∫ e − β (− x +l ( x ) ) dFX ( x )
 0

−1
r1 = ∫ e γl ( x ) dFX ( x ) ,
0
e θ = γ (1 − δ ) , tutte e quattro costanti positive.
Per il teorema di Weierstrass, poiché h è continua su un compatto
(regione analizzata nel capitolo 4, e che si presenta come nel grafico 4.2),
h ammette massimo, interno perché se fosse sui vincoli vorrebbe dire che
h (che è non negativa) è la funzione 0.
Risolvendo quindi il sistema dato dall’annullamento delle due derivate
prime parziali, si trovano i punti candidati ad essere i massimi di h:
[
(
)
)](
(
)
∂h
− λ T P β TP R
− λ T P β TP R
α TP
α TP
γ TP R
=
k
−
e
c
−
e
e
+
e
e
a
−
e
r
−
r
e
=0
α
λ
2
2
1
1
2
∂T P
T
T
T R
T R
T R
T
T R
∂h
= k 2 a1 − eα P − β e − λ P e β P r1 − e −θ P + θ e −θ P c 2 − e − λ P e β P = 0
T R
∂ P
(
)[
(
)
)]
(
Una volta definiti tutti i valori numerici, l’assicuratore potrà agilmente
decidere se riassicurarsi o no. Si considerano i seguenti valori: α = 0.01 ,
β = 0.005 , γ = 0.003 , η = 0.15 , δ = 0.13 , l ( X ) = 0.3 X , f X ( x ) = 0.02e −0.02 x .
Si ottiene π A = 69,31 , π C , 2 = 67,69 , π C ,3 = 19,06 , π R = 17,64 .
La regione di negoziazione per il contratto di assicurazione è l’intervallo
(
)(
chiuso [67,69 − 69,31] . La funzione è f (T P ) = 2 − e 0,01 P 0,75 − e −0,00425 P
con vincoli 2 − e 0, 01 P ≥ 0 e 0,75 − e −0, 00425 P ≥ 0 .
T
T
Il grafico di questa funzione è
90
T
T
)
Grafico 5.1
La soluzione di massimo per f si ha per T P* = 68,50 .
Per la negoziazione dei premi di assicurazione e riassicurazione, invece si
ha che, con quei valori dei vari parametri, la regione di convenienza per
entrambi i contratti è un triangolo:
Grafico 5.2
91
Questa situazione prefigura un ampliamento della regione di convenienza;
l’assicuratore potrà allora, se le esigenze di competitività sul mercato lo
richiedono, proporre la copertura assicurativa ad un costo (premio)
inferiore a quello a cui avrebbe potuto offrirla senza l’intervento del
riassicuratore.
Se questo genere di esigenze non ci sono, allora l’accordo sui premi può
essere trovato tramite la massimizzazione della funzione h , che in questo
caso
con
è
) (
(
h T P, T P R = 2 − e −0, 01
vincoli
0,955 − e −0, 0026
T
PR
T
2 − e −0, 01
T
P
P
)(0,825 − e
≥0
e
)(0,955 − e
−0 , 00425T P + 0 , 005T P R
0,825 − e −0, 00425
T
P + 0 , 005T P R
−0 , 0026T P R
≥0
)
e
≥ 0 . Il suo grafico è
Grafico 5.3
La funzione si presenta come una piramide a base triangolare, con gli
angoli smussati.
Annullando la derivata di h , si ottiene un unico punto appartenente
all’insieme vincolato; pertanto questo punto è l’unica soluzione di
massimo per h . Tale punto è
(
T
)
P, T P R * = (68,22 , 18,54) .
92
Si ha che l’aumento di utilità, in percentuale al valore e − βg , è maggiore
C
nel caso di riassicurazione; infatti si ha
_
u C ,2
_
( P) − u
T
(
_
C ,1
)
= 0,00345e − βgC
_
u C ,3 T P, T P R − u C ,1 = 0,00485e − βgC
Come si vede chiaramente, l’utilità dell’assicuratore è maggiore nel caso
di riassicurazione, perciò egli opterà per la stipulazione di entrambi i
contratti.
Non è questo il caso, ma, in teoria, la soluzione ottima nel caso di
assicurazione e riassicurazione potrebbe configurare una situazione in cui
l’utilità dell’assicuratore è minore rispetto al caso di sola assicurazione.
Allora il riassicuratore, pur di acquisire una parte del rischio (e quindi una
parte degli utili attesi trasferiti), può essere disposto ad accettare un
premio di riassicurazione inferiore a quello determinato con la
massimizzazione di h nel rapporto trilaterale, aumentando l’utilità
dell’assicuratore in caso di riassicurazione, quindi rendendogli più
conveniente riassicurarsi.
5.5 ACCORDI OTTIMI IN PRESENZA DI TRATTATI DI RIASSICURAZIONE
Nel precedente paragrafo è stato presentato un modello di scelta dei premi
di assicurazione e riassicurazione nel caso di assoluta libertà per i
contraenti. Nella pratica assicurativa però, ci sono spesso trattati di
riassicurazione che regolano, rendendoli sovente obbligatori, i rapporti di
cessione del rischio dall’assicuratore al riassicuratore.
In presenza dei trattati di riassicurazione, si deve considerare un altro
elemento, rispetto alle precedenti analisi: la funzione g , che, applicata al
premio di assicurazione
T
P e al tipo di copertura riassicurativa l (.) ,
93
restituisce il corrispondente premio di riassicurazione, per cui è
T
(
)
P R = g T P,l (.) .
Il problema è comunque analogo a quello trattato nel capitolo precedente;
l’unica differenza è che il premio di riassicurazione
T
P R non è una
variabile incognita a sé, ma è la funzione g (T P,l (.)). Perciò la funzione h
è una funzione di una sola variabile, T P .
Nel luogo di negoziazione dei premi (nel caso assicurazione e
riassicurazione) non si è più liberi di muoversi bidimensionalmente, ma si
deve trovare la soluzione di equilibrio per i tre soggetti, muovendosi
nell’intersezione tra il luogo suddetto con i punti ammissibili per il
trattato di riassicurazione, così come espresso dalla funzione g .
In particolare, per i trattati facob, l’assicuratore deve fare gli stessi
ragionamenti, confrontando le sue utilità ottime nei casi di assicurazione e
di assicurazione – riassicurazione; invece per i trattati obbligatori (che
obbligano l’assicuratore a cedere determinate parti dei rischi acquisiti),
l’assicuratore valuta la propria e le altrui utilità solo nel caso di
assicurazione e riassicurazione.
Un’altra interessante applicazione di questi ragionamenti può essere
svolta in riferimento non ad un preesistente trattato di riassicurazione, ma
nell’analisi degli effetti che comporterebbe l’eventuale stipulazione di un
trattato di riassicurazione, e, in particolare, di alcune proprietà che deve
avere la funzione g e i relativi accorgimenti di cui il riassicuratore deve
tenere conto nella scelta e nella negoziazione di tale funzione.
È un’analisi valida sia per i trattati facob che per quelli obbligatori;
andrebbe fatta in relazione a ogni possibile esplicitazione della funzione
l (.) , a causa delle varie implicazioni che le varie modalità riassicurative
comportano, ma verranno tratte solo delle considerazioni in generale.
94
In assenza di trattati, all’interno della regione di convenienza, le curve di
indifferenza dell’assicuratore (derivate dalla 4.6.4), si presentano come:
T
P(1 −η )− T P R − k (l ) = c
dipendenti dai premi
T
P,
T
P R e dalla modalità riassicurativa l (.) , oltre
che dalla distribuzione del danno FX ( x ) .
Fissata l (.) , la curva d’indifferenza è una retta parallela alla retta data
dalla 4.6.6; l’utilità allora aumenta, per l’assicuratore, nel verso della
freccia (nel grafico sotto).
Grafico 5.4
La soluzione di maggiore convenienza per l’assicuratore sarebbe
ovviamente il punto (π R (l ), π A ) , per cui c’è il massimo caricamento nel
premio di assicurazione e il minimo in quello di riassicurazione.
Al riassicuratore, d’altro canto, lo stesso discorso non va bene, perché non
è disposto a lasciare all’assicuratore l’intero caricamento da lui introitato;
di conseguenza si premunisce contro quest’eventualità, imponendo alcune
condizioni per la determinazione del premio di riassicurazione in funzione
del premio di assicurazione, con la funzione g :
-
Dovendo
aumentare
la
convenienza
per
l’assicuratore,
all’aumentare del premio T P , la funzione g deve essere tale che il
95
punto
(
T
) (
P, T P R =
T
(
P , g T P, l
)) si trovi su una retta di indifferenza
con utilità maggiore; la pendenza della funzione g deve
essere,
pertanto, sempre minore della pendenza della retta d’indifferenza,
cioè (1 − η ) .
-
Quanto più è alto il premio T P (e di conseguenza il caricamento
insito), tanto più alto deve essere il caricamento a carico
dell’assicuratore, per premiarlo appunto per il fatto di aver inserito
un caricamento alto; allora, per valori del premio
T
P alti, la
pendenza della funzione g deve essere sempre minore, in modo da
passare più velocemente da una curva d’indifferenza all’altra.
Invece, quanto più è basso il premio T P , tanto maggiore sarà la
pendenza di g .
La funzione g deve essere una funzione quindi concava per premiare
l’assicuratore (per valori alti di T P ), invece convessa per penalizzarlo
(per valori bassi di
T
P ). Allora la funzione g assumerà una forma
analoga a quella del seguente
Grafico 5.5
Si segnala un’importante differenza tra i trattati obbligatori e quelli facob.
A parità di distribuzione del danno FX ( x ) , del premio T P e della modalità
96
riassicurativa l (.) , il premio di riassicurazione per trattati obbligatori sarà
minore del premio di riassicurazione per trattati facob. Questo perché i
trattati facob lasciano la libertà di cedere il contratto all’assicuratore, che
opterà per riassicurarsi se reputa troppo rischioso il contratto; quindi, con
i trattati facob, sono in genere ceduti i contratti più rischiosi, motivo per
cui il riassicuratore richiede un caricamento più alto.
97
CAPITOLO 6
CONCLUSIONE
I risultati che sono stati ottenuti mettono in evidenza l’importanza delle
avversioni al rischio dei soggetti nella negoziazione dei contratti di
assicurazione e riassicurazione.
Nella pratica assicurativa (e riassicurativa) i modelli presentati non sono
applicabili perché le avversioni al rischio sono dei concetti astratti, quindi
idonei solo per discorsi e analisi teoriche, tralasciando il problema della
costruzione delle funzioni di utilità, e quindi della definizione delle
misure di avversione al rischio.
Aldilà della limitata portata operativa, i risultati descritti danno delle
indicazioni sugli obiettivi che si possono ottenere con il ricorso alla
riassicurazione.
In particolare l’analisi svolta nel capitolo 4 sulle regioni di convenienza ai
contratti di assicurazione e riassicurazione, fa vedere come l’area di
convenienza per l’assicuratore, con la riassicurazione, si può estendere
oltre la regione originaria di convenienza; in virtù di questo risultato,
l’assicuratore può essere disposto ad acquisire il contratto di assicurazione
anche ad un prezzo inferiore alle sue originarie possibilità, perché
comunque il caricamento insufficiente è compensato dal rapporto
riassicurativo.
Nel capitolo 5 invece è stato visto come, tramite un criterio basato sulle
funzioni di utilità dei soggetti (supposte esponenziali), l’accordo sui
premi può essere ricondotto ad un problema di massimizzazione di una
certa funzione, la cui forma piramidale è indipendente dalla modalità
riassicurativa; in particolare, modalità differenti con stessa utilità media
portano alla stessa funzione da massimizzare.
98
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durata di vita”, Edizioni LINT, Trieste, 2000
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"L'assicurazione italiana nel 1999", "L'assicurazione italiana
nel 1998"
99