INTRODUZIONE AL GPS

INTRODUZIONE AL GPS
Cenni di geodesia spaziale
La geodesia moderna si basa in gran parte su dati acquisiti da satelliti artificiali. Ad esempio, lo
studio delle orbite di un gran numero di satelliti ha fornito informazioni importanti sulla struttura
del campo della gravità, che dipende dalla distribuzione delle masse nel corpo della terra.
Se un'irregolarità superficiale nella distribuzione di massa può essere evidenziata da misure locali di
gravità eseguite sulla superficie, irregolarità più profonde hanno effetti su regioni molto estese, che
possono essere ben evidenziati dall'osservazione delle orbite dei satelliti.
Grande importanza hanno avuto nell'ultimo decennio i satelliti altimetrici, che sono in grado di
misurare con grande precisione la loro altezza sulla superficie degli oceani, che coprono circa il
70% della superficie terrestre; la conoscenza delle loro orbite fornisce quindi informazioni sulla
forma della terra.
I satelliti artificiali vengono poi usati per il posizionamento terrestre: viene misurata, con tecniche
diverse, la distanza (range) (laser, GPS), o la variazione di distanza (range-rate) (Doppler, ora in
disuso) fra il satellite o la costellazione di satelliti e la stazione. Se la posizione dei satelliti è nota,
misure ripetute consentono di determinare univocamente la posizione della stazione.
E' quindi di fondamentale importanza la determinazione dell'orbita del satellite (ovvero della sua
posizione istante per istante), mediante lo studio delle forze a cui è sottoposto. A questo scopo, è
necessario porsi in un sistema di riferimento inerziale, perché in caso contrario bisognerebbe tenere
conto delle forze apparenti dovute al moto non rettilineo uniforme del sistema di riferimento.
Poiché d’altra parte i satelliti sono osservati da punti sulla superficie terrestre, è necessario tenere
conto del moto della terra per eseguire la trasformazione da un sistema di riferimento solidale con la
terra a uno inerziale.
fig.1 – precessione e nutazione
fig.2 – moto del polo (dal 1962 al 1977)
Vengono qui descritti sommariamente i principali componenti del moto della terra rispetto ad un
sistema inerziale: oltre al moto orbitale intorno al sole ed alla rotazione diurna, si ha una
precessione dell'asse di rotazione intorno alla direzione normale all'eclittica (che è il piano
dell'orbita intorno al sole), rispetto a cui è inclinato di circa 23.5 0 , con una velocità angolare di
circa 50'' all'anno; una nutazione, cioè una piccola oscillazione dell'asse intorno alla sua posizione
media definita dalla precessione, con un'ampiezza di 10-20'' e un periodo di circa 18.5 anni (fig.1).
Si hanno inoltre spostamenti del polo rispetto alla superficie terrestre, con ampiezza dell'ordine
della decina di metri e andamento approssimativamente periodico con periodo di poco più di 400
giorni (fig.2). Tutti questi moti, che possono essere descritti con buona approssimazione partendo
dalla teoria del moto del corpo rigido e modellando opportunamente la deformabilità della terra
legata alla sua struttura materiale, manifestano notevoli irregolarità, e devono essere sottoposti a
continua osservazione se si vuole giungere alla definizione di un sistema riferimento di elevata
precisione (compatibile con la precisione nel posizionamento ottenibile con gli strumenti oggi
disponibili).
Alla luce di queste considerazioni, si usa definire un sistema di riferimento inerziale legato alle
stelle e un sistema di riferimento solidale con la terra la cui posizione rispetto al sistema inerziale è
variabile nel tempo in virtù dei moti sopra descritti. Per una definizione ad elevata precisione del
sistema inerziale è necessaria la conoscenza della posizione di un certo numero di corpi celesti e dei
loro moti relativi apparenti. A tale scopo, sono disponibili cataloghi stellari basati su un numero
molto elevato di osservazioni astronomiche svolte in un certo intervallo di tempo; in epoca recente,
alcune missioni spaziali hanno consentito di eseguire osservazioni all’esterno dell’atmosfera, con un
notevole incremento di precisione nella determinazione delle posizioni.
In realtà, proprio per il fatto che la presenza di moti relativi fra le stelle rende difficile la definizione
di un sistema di riferimento basato sulla loro posizione ad elevatissimi livelli di precisione
(l'obiettivo è oggi il millesimo di arcsec), in tempi recenti si è scelto di adottare un sistema di
riferimento basato sulla posizione di sorgenti radio extragalattiche. Tale sistema è denominato
Sistema Inerziale Convenzionale (CIS). Fra le tecniche di osservazione di tali sorgenti utilizzate per
la determinazione precisa della posizione relativa di stazioni sulla superficie terrestre è da citare il
VLBI (Very Long Baseline Interferometry)
Orbite dei satelliti artificiali
In un campo di forze centrale (come il campo gravitazionale generato da una massa puntiforme o,
più realisticamente, da una distribuzione di masse a simmetria sferica), il moto è regolato delle 3
leggi di Keplero, formulate all’inizio del ‘600 per descrivere il moto dei pianeti nel sistema solare, e
spiegate un secolo dopo dalle leggi della dinamica formulate da Newton.
La prima legge afferma che le orbite sono piane ed ellittiche, con un fuoco nel centro di massa; la
seconda afferma che l’area della porzione di superficie delimitata da un arco orbitale percorso in un
tempo ∆t e dai raggi congiungenti gli estremi dell’arco con il centro di gravità è proporzionale a
∆t ; la terza afferma che il quadrato del periodo orbitale è proporzionale al cubo del semiasse
maggiore dell’ellisse (tab.1).
Le orbite ellittiche sono caratterizzate da 6 parametri (elementi kepleriani) (fig.3):
b2
- a (semiasse maggiore), e (eccentricità, definita da e 2 = 1 − 2 , dove b è il semiasse
a
minore) descrivono la geometria dell'orbita;
-
i (inclinazione sul piano equatoriale), Ω (longitudine del nodo ascendente, cioè
dell'intersezione fra piano equatoriale e piano dell’orbita, dal lato in cui il satellite percorre
l’orbita inclinata dall’emisfero sud verso quello nord) definiscono l'orientazione del piano
orbitale;
-
ω (angolo della direzione del pericentro, ossia della più vicina al centro di gravità fra le 2
intersezioni dell’orbita con il suo semiasse maggiore, con la linea del nodo ascendente)
definisce l'orientazione dell'ellisse nel piano orbitale
-
un parametro (ad esempio l’istante t 0 di passaggio al nodo) definisce la posizione
dell'oggetto in moto lungo l'orbita.
i
a
ω
Ω
fig.3 – parametri orbitali
NOTA: poiché le orbite dei satelliti artificiali della terra vengono studiate in un sistema inerziale,
l’angolo Ω deve essere determinato rispetto ad una direzione di riferimento fissa rispetto a questo
sistema. Generalmente si usa la direzione del punto γ , che è diametralmente opposta alla direzione
del sole nell’equinozio di primavera.
a
luna
~400000km
satelliti geostazionari
~42000km
satelliti GPS
~26000km
satelliti per telerilevamento
~7000km
tab.1 – terza legge di Keplero a 3 = kT 2
T
~29giorni
23h56’
11h58’
~1h1/2
Se il campo delle forze a cui è sottoposto il satellite non è esattamente centrale, a causa di una
distribuzione non perfettamente simmetrica delle masse o della presenza di forze non gravitazionali,
l’orbita non è più esattamente ellittica, e di conseguenza, a rigore, i parametri sopra definiti sono
privi di significato.
Tuttavia, in un qualsiasi campo di forze, il moto è completamente determinato quando sono dati i
vettori posizione e velocità ad un dato istante (condizioni iniziali), complessivamente descritti da 6
numeri. In particolare, in un moto kepleriano i parametri orbitali sono in corrispondenza biunivoca
con le condizioni iniziali del moto. E’ quindi possibile, anche quando l'orbita non è esattamente
kepleriana, definire istante per istante gli elementi kepleriani (quelli che competerebbero ad
un'orbita kepleriana con medesime condizioni iniziali in quell'istante), che però non sono costanti
nel tempo. Tuttavia è ugualmente utile prenderli in considerazione nella descrizione del moto, dato
che, a differenza della posizione del satellite lungo l’orbita, variano lentamente, secondo equazioni
ben note (equazioni di Lagrange), se le perturbazioni al campo di forze centrale sono piccole. Ad
esempio, una variazione nel tempo di ω si traduce in una rotazione degli assi dell’ellisse nel piano
orbitale. Inoltre, alcune variazioni sono piccole oscillazioni periodiche del parametro attorno al suo
valore medio, nel qual caso l’orbita si mantiene stabile, mentre altre manifestano una ben precisa
tendenza alla crescita o alla diminuzione. In questo caso si ha un allontanamento definitivo
dell’orbita dalle sue caratteristiche iniziali: ad esempio, se il semiasse minore tende a diminuire
permanentemente, prima o poi il satellite cade sulla terra.
Dato un modello di forze, utilizzando le equazioni di Lagrange è possibile studiare il moto orbitale.
Viceversa, l'osservazione del moto orbitale consente di trarre informazioni sul modello delle forze
(perturbazioni gravitazionali e non, rispetto ad un campo centrale).
Le perturbazioni che agiscono su un satellite artificiale sono:
-
le deviazioni del campo gravitazionale terrestre rispetto a un campo centrale, dovute ad una
distribuzione irregolare delle masse;
-
il campo gravitazionale della luna e del sole;
-
la pressione di radiazione esercitata della luce solare e da quella riflessa dalla terra;
-
l'azione frenante dell'atmosfera residua (rilevante solo a quote basse – poche centinaia di km
– dove, pur essendo estremamente rarefatta, produce ancora un effetto apprezzabile);
-
altri effetti vari di minore rilievo.
Il problema è trovare modelli adeguati per descrivere questi effetti. Quanto più grande è l’effetto,
tanto più accurato deve essere il modello che lo descrive.
Gli effetti degli errori di modello si accumulano nel tempo, cioè l'orbita predetta sulla base del
modello si discosta sempre di più dall'orbita vera.
La ricostruzione dell'orbita si basa su un modello parametrico e su un procedimento di predizionecorrezione (minimi quadrati) per la stima dei valori dei parametri: la posizione viene osservata in
certi istanti e confrontata con la posizione predetta sulla base di un modello contenente parametri
incogniti; i parametri vengono stimati in modo da minimizzare le differenze fra posizioni predette e
osservate.
Descrizione del sistema
La determinazione della posizione di un punto con il sistema GPS si basa sulle misure di distanza
fra il ricevitore e un certo numero di satelliti. Poiché la posizione nello spazio fisico è individuata
da 3 coordinate, è necessario misurare simultaneamente le distanze da almeno 3 satelliti, di cui sia
nota la posizione. Poiché inoltre, come si vedrà, è necessario utilizzare le osservazioni per
sincronizzare la scala dei tempi del ricevitore con quella dei satelliti, occorre introdurre un'incognita
tempo accanto alle coordinate del punto nelle equazioni di osservazione, e di conseguenza devono
essere almeno 4 i satelliti da cui vanno misurate le distanze.
I satelliti, che costituiscono il segmento spaziale del sistema, sono previsti in numero di 24, disposti
su 6 orbite circolari con un raggio di circa 26000km (quindi a una distanza dalla superficie terrestre
di circa 20000km), corrispondente ad un periodo orbitale di mezzo giorno sidereo (11 ore e 58
minuti). Tali orbite sono inclinate di 55 0 sull'equatore e distanziate di 60 0 in longitudine (fig.4). A
loro volta i 4 satelliti su ciascuna orbita sono equidistanziati. In questo modo si realizza una
distribuzione spaziale che consente, almeno in regioni della superficie terrestre non troppo vicine ai
poli, la visibilità in ogni istante di un adeguato numero di satelliti (minimo 4, ma in generale 7 o 8,
o anche più).
I lanci sono iniziati nel 1978. E’ previsto che i satelliti restino in attività alcuni anni e poi vengano
rimpiazzati da nuovi satelliti con caratteristiche tecnologiche aggiornate.
fig.4 – costellazione dei satelliti GPS
La gestione dell'intero sistema è affidata a 5 stazioni a terra, che costituiscono il segmento di
controllo. 4 di esse (Hawaii, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein) sono nella fascia tropicale,
uniformemente distribuite in longitudine attorno al globo; la quinta (Colorado Springs, negli Stati
Uniti) svolge funzioni di coordinamento centrale dell'intero sistema (fig.5). La loro funzione
consiste nella raccolta dei dati per la determinazione delle orbite dei satelliti, la loro elaborazione e
la loro memorizzazione sui satelliti stessi, insieme con altre informazioni da trasmettere ai ricevitori
a terra, la correzione delle orbite, quando queste si discostano troppo dalle orbite nominali, il
controllo della scala dei tempi sugli orologi a bordo dei satelliti.
Ovviamente le stazioni di controllo devono poter determinare la loro posizione con metodi
indipendenti dal GPS, per esempio con il Laser Ranging o con il VLBI, già citati in precedenza.
Queste tecniche richiedono di avere a disposizione complesse apparecchiature scientifiche, e
possono quindi essere utilizzate soltanto in centri appositamente attrezzati.
Le stazioni riceventi a terra, che costituiscono il segmento di utilizzo, ricevono dai satelliti un
segnale elettromagnetico che, oltre a consentire di misurare la distanza, contiene tutte le
informazioni sulla posizione e sullo stato del satellite che permettono di elaborare le misure per
ricavare la posizione del ricevitore.
Inizialmente il sistema GPS è stato concepito essenzialmente per scopi militari; la sua funzione
principale era di assistere la navigazione, ossia di consentire a un veicolo in movimento la
determinazione della propria posizione in tempo reale con l'accuratezza di un centinaio di metri.
Successivamente sono state sviluppate tecniche di elaborazione dei segnali ricevuti che consentono
di determinare con accuratezza sub-centimetrica, sia pure non in tempo reale, il vettore
congiungente due diverse stazioni in posizione fissa che ricevono contemporaneamente segnali
GPS. Negli ultimi tempi si stanno sviluppando tecniche per la determinazione precisa e in tempo
reale delle posizioni di stazioni in movimento.
fig.5 – stazioni di controllo
Oltre al sistema GPS è attualmente in funzione il sistema GLONASS progettato in Russia, e si
prevede che nei prossimi anni sarà attivato il sistema europeo GALILEO. Questi sistemi nel loro
insieme costituiscono il GNSS (Global Navigation Satellite System), gestito dal servizio IGS
(International GNSS Service), che ha attivato un elevato numero di stazioni distribuite su tutto il
globo e 8 centri di analisi dei dati.
Il segnale GPS
Il segnale elettromagnetico inviato dai satelliti GPS è costituito da due onde portanti sinusoidali,
indicate con L1 e L2, con frequenze f1 = 1575.42MHz e f 2 = 1227.60MHz , corrispondenti a 154
e 120 volte la frequenza fondamentale dell'oscillatore a bordo dei satelliti, che è f 0 = 10.23MHz .
Le lunghezze d'onda di L1 e L2, ricavate dalla formula λ = c / f , dove c è la velocità di
trasmissione del segnale elettromagnetico ( c ≅ 3 *10 8 m/sec ), sono rispettivamente di circa 19cm e
24cm. Le informazioni sono trasmesse sotto forma di modulazioni delle onde portanti. Fra i
ricevitori in commercio, i più semplici (monofrequenza) ricevono soltanto la frequenza L1; i
ricevitori bifrequenza sono naturalmente più costosi e sono essenziali per rilievi di alta precisione.
L'espressione analitica di un'onda sinusoidale in funzione del tempo ha la forma
y (t ) = A cos(ωt + ϕ ) , dove ϕ è la fase, ω è legato alla frequenza f dalla relazione ω = 2πf e A è
un'ampiezza costante; una modulazione di ampiezza appare come un fattore moltiplicativo
dipendente dal tempo, per cui l'espressione di un'onda modulata è y (t ) = B(t ) cos(ωt + ϕ ) .
Di particolare interesse per lo studio del GPS è il caso in cui B(t) è una funzione costante a tratti che
assume i valori +1 e -1 (fig.6). Nei punti in cui B(t) cambia il suo valore si ha un cambiamento di
segno di y(t), corrispondente ad un cambiamento di fase di 180 0 (fig.7). Modulazioni di questo tipo
sono introdotte nel segnale usato per la misura della distanza. Esse sono regolate da codici binari,
nel senso che il presentarsi ad un certo istante di uno dei 2 valori del codice determina in
quell’istante il cambiamento di segno del segnale, mentre il presentarsi dell’altro valore fa sì che in
quell’istante il segnale rimanga inalterato.
Più precisamente, sono presenti due distinte modulazioni, in cui i cambiamenti i segno sono
determinati da codici binari pseudo-random, ossia tali che la sequenza dei 2 valori non presenta
apparenti regolarità. Questi codici debbono essere conosciuti dai ricevitori per poter eseguire la
misura.
fig6-modulazione binaria non periodica
fig.7-onda sinusoidale con modulazione binaria
Nel codice detto C/A (coarse acquisition, ossia acquisizione grossolana), che modula la portante L1
ed è di pubblico dominio, la sequenza pseudocasuale ha frequenza f 0 / 10 , pari a circa 1MHz
(corrispondente ad una lunghezza d'onda di circa 300m), è costituita di 1023 bit e si ripete ogni
millisecondo. Il codice C/A è diverso da satellite a satellite, ed è quindi utilizzato anche come
segnale identificativo. Il codice detto P (precision) ha una sequenza pseudocasuale di frequenza f 0
(corrispondente ad una lunghezza d'onda di circa 30m) e si ripete ogni circa 267 giorni; modula sia
una componente della portante L1 sfasata di π / 2 , sia la portante L2. Per fare in modo che questo
codice sia riservato esclusivamente all'uso militare, esso viene criptato con il codice W, dando
luogo al codice Y. La maggiore accuratezza del codice P rispetto al codice C/A deriva proprio dalla
frequenza più elevata della sequenza pseudo-casuale.
A questi codici si aggiunge il cosiddetto messaggio D, di frequenza 50Hz, che contiene
informazioni sulla posizione e sullo stato di salute dei satelliti.
Il segnale GPS può quindi essere espresso nella forma
S (t ) = AC C (t ) D(t ) sin( 2πf1t + ϕ 1 ) + AP P(t ) D(t ) cos(2πf 1t + ϕ1 ) + AP P(t ) D(t ) cos(2πf 2 t + ϕ 2 )
(1)
dove C(t) rappresenta il codice C/A, P(t) il codice P, D(t) il messaggio; AC , AP sono le ampiezze,
f1 , f 2 ; ϕ 1 , ϕ 2 le frequenze e le fasi di L1 e L2.
Si noti che il codice C/A modula soltanto la frequenza L1, e che le portanti L1 modulate dai due
diversi codici sono sfasate di π / 2 .
Se τ è il tempo di percorrenza del segnale dal satellite al ricevitore, il segnale ricevuto al tempo t è
S r (t ) = S (t − τ ) . Il ricevitore determina τ , da cui si può ricavare la distanza fra satellite e
ricevitore, d = cτ .
L'espressione della distanza fra l'i-esimo ricevitore e il k-esimo satellite in funzione delle loro
coordinate è
[
d ik = ( x k − xi ) 2 + ( x k − xi ) 2 + ( x k − xi ) 2
]
1/ 2
(2)
dove la posizione del satellite è riferita all'istante di emissione, quella del ricevitore all'istante di
ricezione. Si noti che per convenzione l’indice relativo al satellite è posto in alto (da non
confondersi con un esponente), quello riferito al ricevitore è posto in basso.
Il metodo per la determinazione di τ è sostanzialmente simile a quello usato nei distanziometri
terrestri, e si basa sulla determinazione dello sfasamento fra S (t ) e S r (t ) (fig.8). C’è però una
differenza sostanziale: mentre nei distanziometri terrestri il segnale segue un percorso di andata e
ritorno, e generatore e ricevitore sono parti di uno stesso strumento, nel GPS il segnale segue un
percorso di sola andata dal satellite al ricevitore a terra, e quindi il ricevitore deve essere in grado di
produrre una copia del segnale inviato per poterlo confrontare con il segnale ricevuto. E' quindi
necessario che la scala dei tempi del ricevitore sia sincronizzata con quella del satellite. Si osservi
che un errore di sincronizzazione di 10 −9 sec comporta un errore di 30cm nella misura della
distanza.
fig.8 – sfasamento fra segnale prodotto e segnale ricevuto
La misura eseguita utilizzando il segnale modulato dai codici C/A e P è detta pseudo-range. Poiché
il ricevitore deve essere in grado di riprodurre una copia del segnale, il codice deve essere noto.
L'accuratezza con cui è possibile rilevare lo sfasamento fra il segnale ricevuto e quello prodotto
varia da circa 3m a qualche dm per il codice C/A; per il codice P è potenzialmente migliore di circa
un ordine di grandezza, ma, come si è detto, questo codice è criptato, e l’accuratezza del codice Y
risulta degradata.
Si potrebbe pensare che, dato che il codice C/A si ripete ogni msec, si possa generare ambiguità
nella scelta della particolare sequenza pseudo-casuale prodotta dal ricevitore, da confrontare con il
segnale ricevuto. Tuttavia, bisogna osservare che l’intervallo temporale di 1msec corrisponde, alla
velocità di propagazione del segnale, ad una lunghezza di 300km, e questo è il minimo errore
commesso nella determinazione della distanza utilizzando nella misura una copia sbagliata del
codice. Poiché questo errore è molto maggiore dell'incertezza a priori sulla posizione del ricevitore,
non c'è rischio di ambiguità; l'argomento vale a maggior ragione per il codice P, che ha un periodo
molto più lungo.
Per misure di alta precisione è possibile utilizzare la differenza di fase delle portanti che, come si è
visto, hanno una lunghezza d'onda dell'ordine di 20cm, e consentono quindi un'accuratezza molto
più elevata nella determinazione della differenza di fase, dell'ordine di 2mm (ma, come si vedrà più
avanti, il contributo più grande all'incertezza della misura non viene da questo errore casuale, ma
dai ben più rilevanti errori sistematici). Nelle misure di differenza di fase si pone il problema
dell'ambiguità, dato che la lunghezza d'onda è molto più piccola dell'incertezza a priori sulla
distanza misurata.
Quindi, per determinare la distanza non basta conoscere la parte frazionaria dello sfasamento, ma
occorre anche conoscere il numero intero di lunghezze d'onda. Il numero intero di cicli prodotti fra
l'emissione e la ricezione del segnale è dell'ordine di 10 8 , e deve essere noto esattamente se si vuole
conoscere la posizione con precisione centimetrica.
Il problema può essere risolto sfruttando il fatto che, per tutto il tempo del collegamento del
ricevitore con un satellite, viene tenuta memoria della variazione del numero intero di lunghezze
d'onda (che non è costante, dato che la distanza fra satellite e ricevitore varia nel tempo), anche se le
acquisizioni dei dati vengono fatte a tempi discreti (ad esempio, ogni secondo, ogni 5sec, ogni
30sec, a seconda delle condizioni operative); l'unica quantità incognita è quindi l'ambiguità iniziale.
E' pertanto possibile utilizzare la ridondanza delle osservazioni durante una sessione per stimare il
numero intero di lunghezze d'onda all'istante iniziale, ad esempio con il metodo dei minimi
quadrati. E' da notare che il risultato di questa procedura di stima non è in generale un numero
intero e l'algoritmo di stima deve quindi prevedere anche una procedura per la scelta di un numero
intero (la scelta più immediata è quella dell'intero più vicino). Bisogna tener presente che in ogni
caso, a causa degli errori nelle misure, il risultato è stocastico, e presenta un'incertezza che
diminuisce con l'aumentare della ridondanza, e quindi con la durata della sessione; per poter fissare
il valore intero, occorre che l’incertezza sia inferiore all’unità. Una inadeguata trattazione di questo
problema può portare ad una sottostima degli errori quadratici medi delle coordinate del punto.
Bisogna inoltre tener presente che durante una sessione di misura ci possono essere interruzioni
fortuite del collegamento fra ricevitore e satellite, dovute a presenza di ostacoli o a difetti di
trasmissione. In questo caso si ha un'interruzione nel conteggio del numero intero di lunghezze
d'onda (cycle slip) e la procedura di stima dell'ambiguità deve essere ricominciata da capo.
E' chiaro da quanto visto sopra che l'osservazione della differenza di fase non consente la
determinazione istantanea della posizione, e non è quindi adatta all'uso del GPS per navigazione.
Infatti, durante il moto del veicolo (specialmente se si tratta di veicolo terrestre) è facile che si
verifichino occultazioni, ed ogni volta si richiede un certo tempo per rideterminare l’ambiguità. Per
la sua elevata accuratezza, l’osservazione della differenza di fase è invece adatta per il
posizionamento di alta precisione, con lunghe sessioni di osservazione e post-processing dei dati.
Gli errori sistematici
Si è accennato sopra all'errore casuale dovuto a imprecisioni nella determinazione dello sfasamento
fra segnale ricevuto e segnale riprodotto. A questo si aggiungono errori sistematici dovuti
all'inaccurata conoscenza della posizione dei satelliti, a difetti di sincronizzazione fra gli orologi, a
perturbazioni nella propagazione e nella ricezione del segnale (fig.9). L'entità di questi errori può
essere molto superiore a quella degli errori casuali; per questo sono stati studiati attentamente, per
cercare di modellizzarli al meglio. Non è però possibile stimare i loro effetti ad un livello
soddisfacente per una determinazione di precisione centimetrica della posizione di un singolo
punto. Come si vedrà più avanti, è tuttavia possibile utilizzare come osservabili differenze fra
distanze per la determinazione dei vettori congiungenti due stazioni che acquisiscono
contemporaneamente (baselines). Poiché nel fare le differenze diversi errori si cancellano o si
riducono di molto, la determinazione delle baselines risulta molto più accurata del posizionamento
di un singolo punto. Per questo è importante poter fare stazione su punti di cui sia nota la posizione
precisa, come i vertici della rete IGM95, o, in prospettiva, le stazioni permanenti.
fig.9 – quadro sintetico degli errori sistematici del GPS
Come si è detto, la posizione del satellite è comunicata all'utilizzatore mediante un messaggio
contenuto nel segnale. Si è già visto che le orbite sono approssimativamente circolari; tuttavia esse
si discostano da quelle previste dalle leggi di Keplero in primo luogo perché il campo di gravità
della terra non è esattamente a simmetria sferica, a causa delle irregolarità nella distribuzione delle
masse, in secondo luogo perché alla gravità si sommano forze non gravitazionali (la più rilevante è
la pressione di radiazione, dovuta alla luce proveniente direttamente dal sole o riflessa dalla terra).
Queste perturbazioni, pur essendo piccole, fanno sì che l'orbita reale si discosti da quella kepleriana
di una quantità rilevante e crescente nel tempo. La loro modellizzazione, necessaria per il calcolo
dell'orbita mediante soluzione numerica delle equazioni del moto, eseguita dal segmento di
controllo e trasmessa ai satelliti, dipende da un certo numero di parametri che possono essere
stimati sulla base delle osservazioni dei satelliti stessi. Poiché queste orbite calcolate sono ancora
affette da errori crescenti nel tempo, è necessario aggiornare continuamente (ad esempio, ogni
giorno) la soluzione, utilizzando le osservazioni immediatamente precedenti. Gli errori su queste
soluzioni possono essere dell'ordine del centinaio di metri. Un'accuratezza più elevata (errori
dell'ordine del metro sulla posizione del satellite) può essere ottenuta utilizzando, anziché le orbite
trasmesse dai satelliti e basate su osservazioni in tempi precedenti, orbite calcolate sulla base di
osservazioni eseguite nello stesso intervallo di tempo, adottando quindi una procedura di
interpolazione anziché di predizione. Questi dati sono reperibili via Internet dopo alcuni giorni, e
non sono quindi utilizzabili per il posizionamento in tempo reale. Per avere un'idea dell'effetto
dell'errore d'orbita sulle baselines, si può fare riferimento alla regola empirica δr / r = δb / b , dove r
è la distanza fra satellite e stazione (dell’ordine di 20000km) e b è la lunghezza della baseline;
quindi, ad esempio, su una base di 20km l'errore è dell'ordine di 1/1000 dell'errore d'orbita.
Per quanto riguarda gli errori dovuti alla sincronizzazione fra gli orologi, va detto che il sistema
GPS adotta una sua scala dei tempi, e fornisce informazioni sulla sincronizzazione degli orologi dei
satelliti rispetto a questa scala; inoltre, una stima dell'errore di sincronizzazione dell'orologio del
ricevitore rispetto alla scala dei tempi GPS viene, come si è già accennato, dalla ridondanza delle
osservazioni eseguite contemporaneamente dalla stazione. E' anche importante tenere conto
dell'instabilità degli orologi, e della deriva che ne consegue, di maggior entità per gli orologi al
quarzo, più contenuta per gli orologi atomici (quelli al cesio sono più stabili di quelli al rubidio).
Il tempo di percorrenza del segnale fra satellite e ricevitore viene alterato dal fatto che la velocità
della luce varia nell'attraversamento dei diversi strati dell'atmosfera. Occorre distinguere fra la
ionosfera, che è al di sopra dei 40-50km di altezza, in cui la radiazione elettromagnetica interagisce
con elettroni liberi, e la troposfera, ad altezza inferiore, in cui sono presenti atomi e molecole
neutre. Va inoltre osservato che l'errore dovuto all'attraversamento dell'atmosfera è più rilevante,
ovviamente, se il satellite è basso sull'orizzonte, dato che, in questo caso, il percorso del segnale
dentro l’atmosfera è molto più lungo che se il satellite si trova sulla verticale del ricevitore. Per
questa ragione, in generale, le osservazioni al di sotto dei 15 0 sull’orizzonte vengono considerate
inaffidabili e scartate. Gli stessi ricevitori possono essere tarati in modo da registrare soltanto
osservazioni di satelliti la cui altezza sull'orizzonte supera un dato valore.
L'errore ionosferico è variabile nel tempo a causa di variazioni di densità degli elettroni liberi
dovute per esempio all'attività solare, e dipende dalla lunghezza d'onda della radiazione incidente.
Più precisamente, la variazione del tempo di percorrenza è approssimativamente proporzionale
all'inverso del quadrato della frequenza; di conseguenza, confrontando i risultati ottenuti con L1 e
L2, è possibile stimare l'entità dell'effetto, e anche costruire una combinazione delle due
osservazioni che non è affetta dall'errore. Per questa ragione per rilievi di alta precisione è
essenziale disporre di ricevitori bifrequenza.
L'errore troposferico, al contrario, è indipendente dalla frequenza, ed è costituito da due termini, le
cosiddette componenti secca e umida. In particolare, il termine umido dipende dalla quantità di
vapore acqueo contenuto nell'atmosfera, ed è difficilmente stimabile a causa della difficoltà di avere
informazioni accurate sull'umidità atmosferica, che è rapidamente variabile sia con la quota sia con
la posizione planimetrica. Per questa ragione l'errore troposferico costituisce il limite principale
all'accuratezza delle determinazioni GPS di alta precisione.
Infine, altri errori possono avere origine dalle condizioni di ricezione del segnale. L'errore di
multipath è dovuto al fatto che il segnale può giungere al ricevitore non solo per via diretta, ma
anche dopo riflessione su superfici presenti nelle vicinanze. Inoltre sono possibili interferenze di
altri segnali elettromagnetici nella stessa banda di frequenze. Questi inconvenienti possono essere
evitati con un'accurata scelta del sito per la messa in stazione dello strumento; a volte anche piccoli
spostamenti possono modificare significativamente la qualità del segnale.
Si riportano qui di seguito alcune formule relative alle osservabili GPS, in cui è esplicitato il
contributo degli errori sistematici.
Si indica con t ( k ) il tempo misurato dall'orologio del k-esimo satellite, con t (i ) il tempo misurato
dall'orologio dell'i-esimo ricevitore, con t GPS il tempo riferito alla scala dei tempi del sistema GPS.
t ( k ) = t GPS + δt ( k )
(3)
t ( i ) = t GPS + δt (i )
Se il segnale è inviato al tempo t GPS ,1 ed è ricevuto al tempo t GPS , 2 , il tempo di trasmissione è
∆t GPS = t GPS , 2 − t GPS ,1 . All'istante dell'invio il tempo indicato dall'orologio del satellite è
t ,(1k ) = t GPS ,1 + δt ( k ) ; all'istante della ricezione il tempo indicato dall'orologio del ricevitore è
t (i ), 2 = t GPS , 2 + δt ( i ) .
Il
tempo
di
trasmissione
determinato
dalla
stazione
è
τ = t (i ), 2 − t ,(1k ) = ∆t GPS + δt (i ) − δt ( k ) . Lo pseudo-range è quindi
pik = cτ = c∆t GPS + cδt ( i ) − cδt ( k )
(4)
A sua volta, c∆t GPS non rappresenta esattamente la distanza da misurare, dato che l'attraversamento
della ionosfera e della troposfera modifica la velocità del segnale. In ultima analisi, l'equazione di
osservazione per lo pseudo-range si può scrivere
pik = d ik + ∆d ion + ∆d trop + cδt ( i ) − cδt ( k ) + ε + ν
(5)
dove con ε sono indicati errori sistematici dovuti al moto del satellite e alle condizioni di ricezione
e con ν il rumore di osservazione (errori casuali a media nulla).
Se vengono osservati gli sfasamenti ψ (misurati in cicli: il valore iniziale di ψ è compreso fra 0 e
1), la distanza che risulta dalla misura è (ψ + N )c / f , dove N è l'ambiguità iniziale del numero
intero di cicli, f è la frequenza del segnale. Quindi
ψ ik = d ik
f
+ ∆ψ ion + ∆ψ trop + fδt ( i ) − fδt ( k ) − N ik + ε + ν
c
(6)
L'uso di osservazioni differenziate
Si è già accennato al fatto che, usando come osservabili differenze fra distanze misurate, gli errori
sistematici possono essere cancellati o significativamente ridotti. Ad esempio, l'errore dell'orologio
del ricevitore è cancellato nella differenza delle distanze misurate fra una singola stazione e due
diversi satelliti; se uno stesso satellite viene osservato da due stazioni vicine (fig.10), in modo che i
percorsi del segnale attraversano porzioni di atmosfera vicine fra loro, è presumibile che gli errori
atmosferici siano fra loro non molto diversi e si cancellino quasi completamente nell'eseguire la
differenza.
Si è anche detto che le osservazioni differenziate, quando riguardano stazioni diverse, vengono
utilizzate per determinare le baselines. Infatti la differenziazione produce in ogni caso una perdita di
informazione, e si può provare che l'uso di osservazioni differenziate per determinare la posizione
assoluta di un singolo punto è, se non impossibile, tale in ogni caso da causare inaccettabili
amplificazioni degli errori di osservazione, che cancellano il vantaggio della riduzione degli errori
sistematici; questo problema non si presenta, al contrario, nelle determinazioni delle baselines.
I vantaggi nella cancellazione degli errori che si ottengono differenziando da un lato osservazioni di
2 satelliti da una stessa stazione, dall'altro osservazioni di uno stesso satellite da 2 stazioni, possono
essere combinati costruendo differenze doppie, ossia differenze delle differenze relative ad una
stessa coppia di stazioni e a due distinti satelliti (o, equivalentemente, ad una stessa coppia di
satelliti e a due distinte stazioni) (fig.11). In effetti, le differenze doppie delle misure di sfasamento
sulla portante sono le quantità normalmente utilizzate per il posizionamento relativo
(determinazione delle baselines) di alta precisione.
fig.10 – differenze singole
fig.11 – differenze doppie
fig.12 – differenze triple
Si è visto che gli sfasamenti della portante misurati nel corso di una sessione tengono memoria della
variazione del numero intero di cicli e che l'incognita da determinare è unicamente il numero intero
di cicli all'istante iniziale. Quando si presenta un cycle slip, questa memoria si perde, e si ha una
discontinuità dello sfasamento misurato. Questa discontinuità ovviamente si mantiene quando si
fanno le differenze, se il cycle slip si manifesta su uno solo degli sfasamenti misurati. In particolare,
nelle differenze doppie, che sono funzioni lentamente variabili nel tempo, il cycle slip si evidenzia
chiaramente come un gradino in una funzione liscia.
Se si eseguono differenze fra le differenze doppie degli sfasamenti relativi ad una stessa coppia di
stazioni e ad una stessa coppia di satelliti ad istanti diversi, t1 e t 2 , con t 2 > t1 , separati da un
intervallo di tempo costante τ , si ottengono le differenze triple (fig.12), in cui, se nell'intervallo fra
t1 e t 2 non si verifica alcun cycle slip, si cancella l'incognita del numero intero di cicli. Se si
osserva una differenza tripla nel corso di una sessione, un cycle slip al tempo t dà luogo ad una
discontinuità per t 2 = t e ad una discontinuità di segno opposto per t1 = t . Il cycle slip si presenta
quindi come un picco nel segnale che può essere facilmente evidenziato da un'analisi automatica dei
dati.
Vengono qui riportate le espressioni esplicite dei vari tipi di differenze di misure di fase:
- Differenze singole di osservazioni simultanee di due ricevitori su uno stesso
satellite:
∆ψ ijk = ψ ki − ψ ij
(7)
- Differenze singole di osservazioni simultanee di due satelliti distinti da
parte di una stessa stazione:
∇ψ i jk = ψ ik − ψ i j
(8)
- Differenze doppie (due satelliti e due stazioni):
hk
∇∆ψ ijhk = ∆ψ ijk − ∆ψ ijh = ∇ψ hk
j − ∇ψ i
(9)
- Differenze triple (differenze fra differenze doppie ad epoche diverse):
δ∇∆ψ ijhk (t1 , t 2 ) = ∇∆ψ ijhk (t 2 ) − ∇∆ψ ijhk (t1 )
(10)
Il sistema di riferimento
Le posizioni determinate con il GPS sono espresse in un sistema di riferimento solidale con la terra
denominato WGS84 (World Geodetic System 1984). Vengono fornite coordinate cartesiane riferite
ad una terna di assi geocentrica (ossia con l'origine nel centro di massa della terra) con l'asse z nella
direzione dell'asse convenzionale di rotazione e l'asse x diretto verso il meridiano di Greenwich.
Queste possono essere facilmente trasformate in coordinate geografiche ϕ , λ , h riferite ad un
ellissoide geocentrico di parametri geometrici noti a,f (GRS80: Geodetic Reference System 1980).
Si ricorda che la quota h è l’altezza rispetto all’ellissoide, che differisce dalla quota ortometrica H
(altezza sul livello del mare) per l’ondulazione del geoide: h=H+N.
In realtà il sistema di riferimento è definito dal fatto che le posizioni di un certo numero di stazioni
sono considerate note; esso subisce piccole variazioni nel tempo, dovute a movimenti crostali.
Nell'ultimo decennio sono state istituite reti di stazioni permanenti GPS, che acquisiscono dati in
continuo, elaborati da appositi organismi internazionali. Annualmente vengono fornite stime
aggiornate delle posizioni delle stazioni che definiscono il sistema di riferimento e della loro
velocità di variazione. Queste stime vengono indicate con le sigle ITRFxx (International Terrestrial
Reference Frame) per la rete globale, o ETRFxx (European Terrestrial Reference Frame) per la
rete regionale europea (xx indica l’anno). Attualmente in Italia sono attive circa dieci stazioni
permanenti gestite dal Centro di Geodesia Spaziale dell'ASI (Agenzia Spaziale Italiana), ed è
prevista l'istituzione di nuove stazioni nel prossimo futuro.
fig.13 – vertici della rete IGM95
L’aggiornamento del sistema di riferimento è necessario sia per il controllo delle orbite dei satelliti,
sia per il rilevamento dei movimenti crostali, che è di grande importanza nello studio dei fenomeni
geofisici. Tuttavia, per un operatore interessato ad eseguire rilevamenti in un area limitata, in cui è
presumibile che i movimenti relativi delle stazioni siano trascurabili, non è conveniente che le
coordinate delle stazioni di riferimento cambino frequentemente nel tempo. Si è stabilito quindi di
fornire queste coordinate in un sistema di riferimento costante nel tempo, precisamente ITRF89, che
corrisponde all’anno di attivazione del servizio internazionale.
Inoltre, l'Istituto Geografico Militare ha istituito la rete IGM95 (fig.13) , costituita di circa 1200
vertici, uniformemente distribuiti su tutto il territorio nazionale, con distanze dell'ordine di 20km, di
cui sono note le coordinate determinate con il GPS. E' quindi possibile, facendo stazione su questi
vertici, determinare delle baselines che possono poi essere utilizzate per calcolare, partendo dalle
posizioni note dei vertici IGM95, le coordinate di altri punti di stazione.
Inoltre, l'IGM fornisce, insieme con le coordinate dei vertici IGM95, un software, denominato
VERTO, per il calcolo delle trasformazioni necessarie per ricavare le coordinate geodetiche nel
sistema di riferimento Roma40, che sono la base per il calcolo delle coordinate cartografiche GaussBoaga. A causa delle deformazioni presenti nella rete Roma40, i parametri delle trasformazioni
(roto-traslazioni con variazione di scala) sono in generale diversi da punto a punto, e la loro
applicabilità è limitata ad una piccola area intorno a ciascun vertice. Non è quindi possibile adottare
un’unica formula, e il calcolo delle trasformazioni deve essere eseguito localmente con opportuni
procedimenti numerici.
Recentemente alcune regioni, in collaborazione con centri universitari, si sono attivate per creare
sia reti locali di stazioni permanenti, sia nuovi vertici di rete, che raffittiscono quelli IGM95 già
esistenti, fino a raggiungere distanze medie di 6-7km.
GPS differenziale
Con la sigla DGPS (GPS differenziale) si indica quella modalità di posizionamento puntuale che si
avvale della stima degli errori eseguita da una stazione posta nelle vicinanze la cui posizione è nota.
Infatti, se la posizione di una certa stazione è nota, si può calcolare la sua distanza dai satelliti GPS,
e, sottraendo da essa la distanza osservata, si ottiene l'errore di osservazione, che, come si è visto, è
somma degli errori orbitali, degli errori di orologio dei satelliti e delle stazioni e degli errori nella
propagazione del segnale. Se la stazione di cui si vuole determinare la posizione è posta nelle
vicinanze, e osserva lo stesso satellite nello stesso istante, si può assumere che gli errori di
propagazione non siano molto differenti, e gli errori dovuti al satellite sono identici. L'errore
stimato per la prima stazione può quindi essere applicato anche alla seconda, e solo l'errore di
orologio delle stazioni deve essere trattato a parte.
Questa procedura di correzione può essere applicata sia ad osservazioni di codice sia di fase. Le
informazioni dalla stazione di riferimento possono essere acquisite in tempo reale via radio o
tramite telefono cellulare, e sono standardizzate secondo un protocollo internazionale indicato con
la sigla RTCM.
Si noti che il DGPS consente il posizionamento puntuale, e comporta un trattamento dei dati
differente da quello usato per determinare le baselines con le osservazioni di differenze di distanze.
Concettualmente, tuttavia, le due procedure non sono molto dissimili: in ogni caso, per ottenere una
sensibile riduzione dell'errore, è necessario che sia nota la posizione di un'altra stazione non molto
distante.
GPS cinematico
L'uso del GPS per la navigazione, basato sul posizionamento puntuale in tempo reale con misure di
codice, inizialmente è stato adottato sulle navi, e non era sufficientemente accurato per essere
adottato su un veicolo terrestre che si muove su un sistema stradale. Per questa ragione
l'applicazione del GPS ai veicoli terrestri si è sviluppata soltanto in tempi relativamente recenti; i
sistemi più sofisticati, installati a bordo di veicoli attrezzati ad esempio per rilevamenti territoriali e
ambientali, utilizzano anche le misure di fase e i metodi differenziali, sia DGPS sia misure
differenziate.
Si assume quindi che sia disponibile nelle vicinanze una stazione di posizione nota, e, per il
posizionamento in tempo reale (RTK, real time kinematics), è necessario poter ricevere i dati
relativi alle osservazioni di questa stazione via radio o mediante telefono cellulare; sono stati
istituiti servizi di trasmissione basati su satelliti di telecomunicazioni. In Italia non è ancora
disponibile un servizio di trasmissione funzionante su tutto il territorio; nell'Italia settentrionale è
possibile utilizzare servizi forniti da paesi confinanti, e in alcune regioni si stanno istituendo servizi
legati alle nuove reti di stazioni permanenti.
La possibilità di utilizzare misure di fase, come si è visto, è legata alla determinazione
dell'ambiguità del numero intero di cicli. Nel caso che la misura venga eseguita per una posizione
fissa, si sfrutta il fatto che, nel corso di una sessione di misura, viene eseguito un numero elevato di
misure riferite tutte alla stessa posizione della stazione ed allo stesso valore dell'ambiguità iniziale,
mentre i satelliti si muovono nel tempo. Se invece la stazione è in movimento, le incognite di
posizione sono diverse ad ogni misura. Questo non esclude che si possa avere ridondanza, dato che
ad ogni nuova misura si aggiungono 3 coordinate incognite, oltre all’errore di orologio, ma i satelliti
osservati sono in generale più di 4.
Per essere più precisi, considerando le misure di fase su una singola frequenza, il numero totale di
osservazioni in un intervallo temporale contenente nt epoche, in cui vengono osservati n s
satelliti, è nt n s .
Nel caso statico le incognite sono le 3 coordinate del punto, nt errori di sincronizzazione (uno per
ogni epoca) e n s ambiguità intere (una per ogni satellite, purché non ci siano cycle-slips). Quindi
deve essere nt n s > 3 + nt + n s , ossia nt > (3 + n s ) /(n s − 1) (quindi almeno 3 epoche con 4
satelliti, almeno 2 se il numero di satelliti è maggiore).
Nel caso cinematico ad ogni epoca cambiano le coordinate del punto, quindi in totale le incognite
sono 4nt + n s . Di conseguenza deve essere nt n s > 4nt + n s ⇒ nt > n s /(n s − 4) . Quindi i satelliti
osservati devono essere almeno 5, e il numero di epoche è in ogni caso maggiore che nel caso
statico.
Tuttavia è necessario, specialmente se si è interessati al posizionamento in tempo reale, che la
determinazione dell'ambiguità sia fatta nel tempo più breve possibile.
Nell'uso cinematico del GPS si richiedono osservazioni eseguite ad intervalli molto brevi, ad
esempio 1sec, mentre nel caso di una stazione fissa sono preferibili intervalli maggiori, ad esempio
30sec, con stazionamento più lungo, in modo da ottenere differenze maggiori nelle configurazioni
della costellazione dei satelliti durante la sessione.
Nelle prime applicazioni del GPS cinematico differenziale (ad esempio, l'uso del GPS a bordo di un
aereo che esegue riprese fotogrammetriche, in modo da ridurre la necessità di punti di appoggio a
terra), la determinazione dell'ambiguità (inizializzazione) veniva effettuata mantenendo fissa la
stazione; questa procedura richiedeva però che durante il moto non ci fossero cycle-slips. Questa
condizione si verifica difficilmente nel caso del moto di un veicolo a terra in ambiente urbano, dove
sono continuamente presenti ostacoli alla visibilità della volta celeste. Diventa dunque disagevole
(quando non impossibile, come nel moto di un aereo) fermare il veicolo per l'inizializzazione ogni
volta che si verifica un cycle-slip. Sono stati elaborati algoritmi (indicati con la sigla OTF, on the
fly) che, utilizzando contemporaneamente misure di fase e di codice e adottando metodi di stima di
tipo sequenziale, consentono la stima dell'ambiguità iniziale con un numero molto piccolo di
misure, e quindi con un ritardo molto breve.
Nelle applicazioni più avanzate il ricevitore GPS viene integrato da un sistema INS (inerziale) in
grado di misurare le accelerazioni, e di ricostruire quindi il moto negli intervalli di interruzione
della ricezione GPS. Si tratta però di apparecchiature molto costose, la cui utilizzazione è limitata a
veicoli destinati a particolari campagne di rilevamento.
L'accuratezza raggiungibile nel GPS cinematico è senz'altro inferiore al metro e può raggiungere
pochi cm. Non è certamente paragonabile all'accuratezza del posizionamento di una stazione fissa
con stazionamento di lunga durata, ma è senz'altro di gran lunga migliore di quella del
posizionamento puntuale, ed è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni pratiche.
La modalità cinematica (ossia con il ricevitore acceso durante gli spostamenti) viene spesso
utilizzata anche per rilievi speditivi su piccole aree, con brevi stazionamenti nei vertici da rilevare.
Reti GPS
Come si è già accennato, la determinazione precisa della posizione delle stazioni GPS richiede lo
stazionamento per un periodo di tempo abbastanza lungo (anche diverse ore), per avere un'ampia
ridondanza di dati indipendenti, relativi a configurazioni di satelliti molto diverse. Inoltre, poiché
l'accuratezza elevata si ottiene sulle baselines e non nella determinazione puntuale della posizione, è
necessario che almeno due ricevitori acquisiscano contemporaneamente e che uno almeno sia
stazionato in un punto noto; quest'ultimo può essere il sito di una stazione permanente, nel qual caso
il ricevitore è già installato e i dati possono essere acquisiti via rete, oppure un vertice della rete
IGM95, che è individuato da un caposaldo su cui l'operatore deve mettere in stazione un suo
strumento, le cui coordinate sono fornite a pagamento dall'IGM. Si ottiene un livello maggiore di
accuratezza usando strumenti bifrequenza, che consentono la correzione dell'errore ionosferico.
Disponendo di più di due ricevitori, è possibile determinare più di una baseline per ogni sessione.
Va però osservato che tutte le misure di baselines uscenti da un vertice utilizzano gli stessi dati
relativi a quel vertice, e non sono quindi fra loro indipendenti. Occupando n vertici in una sessione
è possibile determinare soltanto n-1 basi (algebricamente) indipendenti; le misure delle altre basi,
che utilizzano gli stessi dati relativi a ciascun vertice, sono completamente determinate dalle misure
delle n-1 basi indipendenti, e non possono quindi essere utilizzate in una compensazione di rete
come misure ridondanti.
Inoltre, due basi aventi un vertice comune, anche se sono algebricamente indipendenti, sono
statisticamente correlate, poiché usano gli stessi dati relativi al vertice comune.
A livello di una singola sessione, i calcoli sono finalizzati alla determinazione delle componenti
delle baselines, compensando la rete i cui vertici sono le stazioni a terra e le posizioni dei satelliti
nei diversi istanti di acquisizione, e le cui osservabili sono gli pseudo-range e le differenze di fase.
In questo caso, essendo le equazioni di osservazione non lineari, debbono essere note le coordinate
approssimate delle stazioni e i loro errori di orologio approssimati. Questi dati possono essere
ottenuti in tempo reale da osservazioni di pseudo-range. La compensazione fornisce anche le
matrici di covarianza delle componenti, che dipendono soprattutto dalle condizioni geometriche di
osservazione.
L'elaborazione dei dati può essere fatta separatamente per ciascuna delle baselines, oppure,
utilizzando i programmi di elaborazione più avanzati, anche in modalità multibase, con cui tutte le
baselines indipendenti di una sessione vengono trattate simultaneamente. Soltanto con quest'ultima
procedura si possono ottenere le correlazioni statistiche fra le diverse basi.
Per compensare una rete è necessario eseguire più sessioni di misure, dato che baselines misurate in
sessioni diverse sono fra loro indipendenti. I ricevitori vengono spostati in maniera da ottenere le
ridondanze necessarie. I dati di ingresso della compensazione sono le componenti cartesiane delle
baselines determinate nelle diverse sessioni, e la ridondanza ha origine dal fatto che le somme dei
lati di poligonali chiuse devono avere componenti nulle. La procedura di compensazione, quindi, è
simile a quella per le reti altimetriche, e se ne differenzia soltanto per il fatto che ogni lato ha 3
componenti. Dal punto di vista della scelta della forma ottimale della rete e delle baselines da
misurare in ogni sessione, va osservato che, poiché le quantità misurate sono le distanze dai satelliti,
la geometria complessiva della rete comprende anche i satelliti, e i criteri di ottimalità sono quindi
diversi da quelli che si seguono quando le misure sono fatte con strumenti a terra.
Per la compensazione della rete devono essere fornite le matrici di covarianza delle baselines
determinate. Se l'elaborazione è stata fatta separatamente per ciascuna delle baselines, sono
disponibili soltanto le correlazioni fra le diverse componenti di una stessa baseline, mentre baselines
diverse devono essere necessariamente trattate come se fossero incorrelate.
E' intuitivo che l'accuratezza con cui una posizione puntuale o una baseline viene determinata
dipende dalla configurazione geometrica dei satelliti osservati. Al limite, se tutti i satelliti fossero
allineati nella stessa direzione, la determinazione della posizione sarebbe impossibile; se i satelliti
sono raggruppati in una piccola porzione di volta celeste, la determinazione è possibile, ma piccoli
errori di osservazione comportano grossi errori nelle coordinate della stazione o nelle componenti
della baseline. Si dice in questo caso che il sistema di equazioni è mal condizionato. I migliori
risultati, viceversa, si ottengono se i satelliti sono uniformemente distribuiti su tutta la volta celeste.
Il parametro che stabilisce il rapporto fra errori di osservazione e errori di stima è indicato con la
sigla DOP (dilution of precision), ed un suo valore troppo grande è indice di una cattiva qualità
della determinazione. Sono stati introdotti diversi DOP, a seconda dei parametri di interesse per il
particolare rilievo; ad esempio, il DOP relativo alla posizione puntuale è indicato con PDOP, quello
riferito alla posizione relativa con RDOP.