SCIENZA DELLE FINANZE A

A.A. 2011/2012
Scienza delle Finanze
Sesta Esercitazione – Sistema Pensionistico
SOLUZIONI
Esercizio 1 - Pensioni
-
a) Qual è la differenza tra sistema pensionistico a ripartizione con metodo contributivo e sistema
pensionistico a capitalizzazione?
b) Si supponga che ciascuna generazione viva per due periodi: nel primo lavora e versa contributi
previdenziali, nel secondo cessa di lavorare e percepisce una pensione. Ipotizzando che nel paese il
monte salari Wt del primo periodo sia pari a 100, che l’aliquota contributiva α sia del 30%, il tasso di
crescita della produttività m del 2% e quello dell’occupazione n dell’1% e il tasso di interesse corrente i
sia dell’1%, si calcolino:
i contributi versati in t (Ct)
il monte pensioni in t+1 (Pt+1)
il rendimento ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi in t
a seconda che venga applicato un sistema pensionistico a ripartizione o a capitalizzazione.
Soluzione
a) In un sistema pensionistico a ripartizione i contributi riscossi in ogni periodo sono destinati al
finanziamento delle prestazioni pensionistiche erogate nello stesso periodo. Il metodo contributivo
prevede, in particolare, che la pensione annuale sia determinata uguagliando il montante contributivo
individuale (MC) al valore attuale delle pensioni future (VA), dove il montante contributivo è ottenuto
capitalizzando i contributi versati ad un tasso prefissato r. Nel sistema pensionistico a capitalizzazione i
contributi che ogni lavoratore versa nel periodo di attività sono investiti sul mercato dei capitali e
destinati a finanziare la pensione del lavoratore stesso. Il calcolo delle prestazioni pensionistiche è
analogo a quello del sistema a ripartizione con metodo contributivo, con la differenza che il MC è
determinato sulla base del rendimento effettivamente ottenuto sui contributi investiti sul mercato dei
capitali.
b) Monte salari Wt = 100
α = 0.3
m = 0.02
n = 0.01
i = 0.01
In un sistema pensionistico a ripartizione si avrà che:
Contributi versati in t = Ct = α Wt = 0.3*100 = 30
Monte pensioni in t+1 = Pt+1 = Ct+1 = α Wt+1 = α Wt (1+m)(1+n) = 0.3*100(1.02)(1.01) = 30.906
Rendimento implicito ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell’anno t:
(Pt+1 / Ct)-1 = (Pt+1/α Wt)-1 ≈ m + n = 0.02 + 0.01 = 3%
In un sistema pensionistico a capitalizzazione si avrà che:
Contributi versati in t = Ct = α Wt = 30
Monte pensioni in t+1 è pari ai contributi versati nel periodo precedente, capitalizzati al tasso di interesse
corrente i:
Pt+1 = Ct (1 + i) = α Wt (1 + i) = 30 (1.01) = 30.3
Rendimento ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell’anno t è pari al tasso di
interesse corrente i = 0.01 = 1%.
Esercizio 2 - Pensioni
Un individuo ha lavorato per 35 anni percependo per i primi 10 anni uno stipendio annuo di 30, nei
successivi 20 di 40 e negli ultimi 5 di 50. Si calcolino la pensione cui ha diritto il lavoratore ed il tasso di
sostituzione nei casi seguenti:
1. metodo di calcolo retributivo:
a) coefficiente di rendimento 2%, retribuzione pensionabile pari alla media delle retribuzioni
dell’intera vita lavorativa, nessuna rivalutazione delle retribuzioni;
b) coefficiente di rendimento 2%, retribuzione pensionabile pari alla media delle retribuzioni
degli ultimi cinque anni, nessuna rivalutazione delle retribuzioni;
2. metodo di calcolo contributivo: aliquota contributiva del 20%, nessuna rivalutazione dei contributi, tasso
di sconto del valore futuro delle pensioni pari a 0 e speranza di vita del lavoratore al momento del
pensionamento di 20 anni.
Soluzione
Nel caso in esame si ha:
numero di anni di contribuzione: L = 35 anni;
salario primi dieci anni: w1 = 30;
salario successivi vent’anni: w2 = 40;
salario ultimi cinque anni: w3 = 50;
coefficiente di rendimento: β = 2%.
1. Metodo retributivo
Ricordando che le formule per calcolare la pensione e il tasso di sostituzione sono rispettivamente:
P = β RP L;
s = P / RL;
dove RP = retribuzione pensionabile e RL = ultima retribuzione percepita, avremo:
a)
P = 2% x {[(30 x 10 + 40 x 20 + 50 x 5) / 35] x 35} = 27
s = P / RL = 27 / 50 = 54%
b) P = 2% x {[(50 / 5) x 5] x 35 } = 35
s = P / RL = 35 / 50 = 70%
2. Metodo contributivo
Poiché il tasso di sconto del valore futuro delle pensioni rZ è pari a 0, la pensione è data da:
P = MC/e(L)
dove MC è il montante contributivo individuale e e(L) è la speranza di vita del lavoratore al momento
del pensionamento.
Dati: δ = aliquota contributiva = 20%; r = tasso di rivalutazione dei contributi = 0; e(L) = 20 anni, si ha:
P = [20% x (30 x 10 + 40 x 20 + 50 x 5)] / 20 = 13,5
s = 13,5 / 50 = 27%
Esercizio 3 – Pensioni
Il Sig. A vive nel Paese X dove è in vigore un sistema pensionistico a ripartizione con metodo di calcolo
retributivo; egli lavora per due periodi percependo rispettivamente un salario di 100 e 110.
a) Calcolate la pensione del Sig. A, sapendo che la retribuzione pensionabile è pari alla media delle
retribuzioni dell’intera vita lavorativa (due periodi) rivalutate al tasso r pari al 4% e che il coefficiente di
rendimento è il 20%.
b) Come cambierebbe la pensione percepita dal Sig. A se nell’ambito del sistema a ripartizione venisse
applicato il metodo di calcolo contributivo? Rispondete utilizzando un’aliquota contributiva del 30%, un
tasso di rivalutazione dei contributi del 3%, una speranza di vita al momento del pensionamento pari a 3
anni e un tasso di sconto r z pari a zero.
Soluzione
a) Con il metodo retributivo la pensione è pari ad una percentuale (uguale al coefficiente di rendimento)
della retribuzione pensionabile moltiplicata per il numero di anni di contribuzione:
P = β RpL
Nel caso in esame Rp è la media delle retribuzioni percepite durante l’intera vita lavorativa. Nell’ipotesi
che le retribuzioni crescano al tasso m e che siano rivalutate al tasso r, la retribuzione pensionabile si può
esprimere in generale come:
L
∑
Rp =
j= 1
R1 (1 + m )
j− 1
(1 r ) L+
j
−
L
dove R1(1+m)=R2, R1(1+m)2=R3,… R1(1+m)L-1=RL.
Date le retribuzioni ricevute dal sig. A nei due periodi di attività lavorativa, la retribuzione pensionabile
sarà semplicemente:
Rp =
R1 (1 + r ) R+2
2
100(1 + 0.04) 110+
=
107
2
=
La pensione sarà quindi:
P A = 0.2 x 107 x 2 = 42.8
b) Con il metodo contributivo, si costituisce un montante contributivo attraverso la capitalizzazione, ad un
tasso fissato convenzionalmente pari a r, dei contributi versati dal lavoratore. Ovvero:
MC =
L
∑ δ R (1 + m)
1
( j − 1)
(1 + r ) ( L −
j)
j=1
dove δ è l’aliquota contributiva, r il tasso di rivalutazione dei contributi, m è definito come sopra e
R1(1+m)=R2, R1(1+m)2=R3,… R1(1+m)L-1=RL.
La pensione annua si ottiene poi (nell’ipotesi di tasso di sconto pari a zero) dividendo il montante
contributivo per la speranza di vita al momento del pensionamento, cioè:
P=
MC
e(L)
Nel caso in esame, applicando un’aliquota contributiva δ pari al 30% e un tasso di rivalutazione dei
contributi r pari al 3%, il montante contributivo è:
MC = δ R1 (1 + r ) + δ R2 = 0.3 × 100 (1 + 0.03 ) + 0.3 × 110 = 63 .9
Data e(L)=3, la pensione è quindi pari a:
PA =
63.9
= 21.3
3
Esercizio 4 – Pensioni
Si consideri un paese in cui esiste un sistema pensionistico a ripartizione. In questo paese, il salario medio
pro-capite dei lavoratori attivi è w=100; la pensione media pro-capite costituisce l'80% del salario medio
pro-capite.
•
•
•
Sapendo che nel paese ci sono 5000 pensionati e 10000 lavoratori, si calcoli l'aliquota contributiva di
equilibrio del sistema.
Si immagini che nel paese arrivino 1000 giovani immigrati, che lavorano percependo un salario di
w=100 e pagano contributi (i pensionati continuano ad essere 5000 ed il rapporto tra la pensione media
pro-capite e il salario medio pro-capite è l’80%). Qual è la nuova aliquota contributiva di equilibrio?
Se volessimo mantenere la stessa aliquota contributiva calcolata nel primo punto anche dopo l'arrivo dei
1000 immigrati, a quanto ammonterebbe il rapporto tra la pensione media pro-capite e il salario medio
pro-capite?
Soluzione
L’equilibrio finanziario del sistema pensionistico (a ripartizione) richiede che:
α x w x NL = P x NP.
Con w = 100, P = 0.8 x w = 80,
avremo:
•
α = (P x NP) / (w x NL) = (80 x 5000) / (100 x 10000) = 0.4.
•
NL = 10000+1000 = 11000
α = (P x NP) / (w x NL) = (80 x 5000) / (100 x 11000) = 0,364.
L’aliquota contributiva diminuisce, perché aumenta il numero dei lavoratori che pagano contributi a parità di
numero di pensionati e di rapporto tra pensione media pro-capite e salario medio pro-capite.
•
P / w = (α x NL) / NP = (0.4 x 11000)/ 5000 = 0.88
Il rapporto tra pensione media pro-capite e salario medio pro-capite aumenta, perché aumenta il numero dei
lavoratori che pagano contributi a parità di numero di pensionati e di aliquota contributiva.
Esercizio 5 (Tratto da tema d’esame)
a) Che cosa si intende per sistema pensionistico a ripartizione e a capitalizzazione?
b) Derivate la condizione di equilibrio finanziario di un sistema pensionistico a ripartizione, descrivendo
sinteticamente le variabili da cui dipende.
c) Come rappresentereste, utilizzando la formula del punto precedente, il rischio demograficooccupazionale? A quali condizioni tale rischio ricade solo sui pensionati? A quali condizioni ricade solo sui
lavoratori?
d) Con riferimento al rischio demografico-occupazionale, quale è la principale novità introdotta nel sistema
pensionistico italiano dalla riforma Dini?
Soluzione
a)
In un sistema a ripartizione il gettito contributivo annuale (a carico delle generazioni attive) è
destinato al finanziamento delle pensioni pagate nello stesso anno alle classi demografiche che
hanno cessato l’attività lavorativa. Non si ha dunque alcuna necessità di accumulare riserve per far
fronte al pagamento delle pensioni, né esiste alcun fondo intitolato ai singoli soggetti da utilizzare
per il calcolo della pensione.
In un sistema a capitalizzazione i contributi che ogni lavoratore versa nel periodo di attività sono
investiti sul mercato dei capitali. Nel periodo di pensionamento la pensione percepita dallo stesso
lavoratore è pari ai contributi versato aumentati del rendimento ottenuto dal loro impiego. Si ha
dunque accumulazione di riserve nel periodo che per ogni individuo intercorre fra il versamento dei
contributi e il pagamento della pensione.
b) L’equilibrio finanziario si realizza quando le entrate contributive sono uguali alle pensioni erogate.
Facendo riferimento alla definizione di sistema pensionistico a ripartizione data al punto precedente,
in tale sistema la condizione di equilibrio finanziario è la seguente:
MP = α W
PNp
→
RlNl = α
dove:
MP monte pensioni,
W
monte salari,
α
aliquota contributiva (o di equilibrio per α =
P
pensione media pro capite,
PNp
),
RlNl
Np numero di percettori di pensione,
c)
Rl
salario medio pro capite,
Nl
numero degli attivi (percettori di salario e contribuenti).
Nella condizione di equilibrio finanziario precedentemente indicata il rischio demograficooccupazionale può essere valutato tramite il rapporto tra la popolazione pensionata e quella attiva
(Np/Nl).
Riscriviamo la condizione di equilibrio finanziario:
Np
Rl
=α
.
Nl
P
Supponiamo che si verifichi un invecchiamento della popolazione, per cui il rapporto Np/Nl aumenti.
Affinché si abbia equilibrio finanziario, anche il rapporto αRl/P deve aumentare. Supponendo che il
salario medio pro capite sia esogeno e non modificabile, è possibile agire o sull’aliquota contributiva
o sulla pensione media pro capite. Il rischio demografico-occupazionale ricade solo sui pensionati se,
a parità di aliquota contributiva, la pensione media diminuisce, per cui percepiscono minori rendite
pensionistiche. Al contrario, tale rischio ricade solo sugli occupati se l’aliquota aumenta, a parità di
P, in quanto dovranno versare maggiori contribuzioni.
d) Il rischio demografico dato dall’invecchiamento della popolazione, per cui il mantenimento della
generazione inattiva, in crescita, è a carico della generazione attiva, può essere neutralizzato
riducendo il numero dei pensionati attraverso il controllo del flusso d’ingresso nella generazione dei
pensionati. La riforma Dini aveva introdotto nel sistema pensionistico italiano la possibilità di andare
in pensione in una fascia di età compresa fra i 57 e i 65 anni. Il pensionamento anticipato era
comunque disincentivato dal metodo di calcolo della pensione, che legava in modo inversamente
proporzionale all’età il coefficiente di trasformazione del montante contributivo in rendita
pensionistica.