Geometria delle masse: Baricentri
Transcript
Geometria delle masse: Baricentri
ESERCIZI SULLA GEOMETRIA DELLE MASSE 1) Calcolo del baricentro Si scompone, dapprima, la figura complessiva in figure semplici (rettangoli, triangoli, ecc), dopodiché si applica la relazione derivante dal Teorema di Varignon in cui le forze sono sostituite dalle singole aree delle figure in cui si è scomposta la figura; in questo modo, le coordinate del baricentro varranno: n XG = n å A i × x Gi i =1 ; n åA YG = åA i × y Gi i =1 (1) n åA i i =1 i i =1 in queste relazioni, i simboli hanno il seguente significato: XG, YG = Coordinate del baricentro della figura rispetto al sistema di riferimento scelto; xGi, yGi = Coordinate del baricentro delle figure elementari rispetto al sistema di riferimento scelto: Ai = Aree delle figure elementari; n åA i = A = Somma delle aree delle figure elementari, quindi area dell’intera figura. i =1 Nel calcolo dei baricentri occorre ricordarsi di una proprietà fondamentale degli stessi: se la figura possiede un asse di simmetria, il baricentro si trova su tale asse; se gli assi di simmetria sono due, il baricentro sarà il punto di intersezione degli stessi. Esercizio n. 1 (trave in c.a.p.) 30 100 A4 A5 G3 40 A3 G4 G5 A7 A2 40 20 40 G6 X G7 G2 50 73.33 26.67 28.33 142.5 7.5 A6 15 40 G1 285 A1 256.67 175 G X Scomposta la figura in sette figure elementari si ha: A1 = 20×255 = 5100 cm2; A2 = 100×15 = 1500 cm2; A3 = 100×30 = 3000 cm2; A4 = A5 = A6 = A7 = 0.5×40×40 = 800 cm2 Applicando le relazioni (1) si trova: XG = 5100 × 50 + 1500 × 50 + 3000 × 50 + 800 × 26.67 + 800 × 26.67 + 800 × 73.33 + 800 × 73.33 5100 + 1500 + 3000 + 800 + 800 + 800 + 800 YG = 5100 × 256.67 + 1500 × 7.5 + 3000 × 285 + 800 × 256.67 + 800 × 256.67 + 800 × 28.33 + 800 × 28.33 5100 + 1500 + 3000 + 800 + 800 + 800 + 800 sviluppando le operazioni si trova: XG = 640000 = 50 cm (il calcolo poteva evitarsi perché la figura è monosimmetrica) 12800 YG = 2631267 = 205.57 cm 12800 Esercizio n. 2 (impalcato da ponte) Y 30 720 70 A1 A2 75 A3 30 150 A4 30 150 30 A5 150 30 75 X Y G1 85 G 35 G2 G3 G4 X 90 270 360 450 630 Scomposta la figura in cinque figure elementari si ha: A1 = 720×30 = 21600 cm2; G5 A2 = A3 = A4 = A5 = 30×70 = 2100 cm2 Applicando le relazioni (1) si trova: XG = 21600 × 360 + 2100 × 90 + 2100 × 270 + 2100 × 450 + 2100 × 630 21600 + 2100 + 2100 + 2100 + 2100 YG = 21600 × 85 + 2100 × 35 + 2100 × 35 + 2100 × 35 + 2100 × 35 21600 + 2100 + 2100 + 2100 + 2100 sviluppando le operazioni si trova: XG = 10800000 = 360 cm (il calcolo poteva evitarsi perché la figura è monosimmetrica) 30000 YG = 2130000 = 71 cm 30000 Esercizio n. 3 (profilato generico) 60 220 A1 G1 245 Y G2 A3 55 152.5 135 65 200 G3 X 77.5 187.5 287.5 Scomposta la figura in 3 figure elementari si ha: A1 = 155×60 = 9300 cm2; A2 = 305×65 = 19825 cm2 ; Applicando le relazioni (1) si trova: XG = 9300 × 77.5 + 19825 × 187.5 + 7425 × 287.5 9300 + 19825 + 7425 YG = 9300 × 275 + 19825 × 152.5 + 7425 × 27.5 9300 + 19825 + 7425 sviluppando le operazioni si trova: A3 = 135×55 = 7425 cm2 27.5 Y 275 A2 250 155 X XG = 10800000 = 179.83 cm 30000 YG = 2130000 = 158.28 cm 30000