Applicazione alla Finanza dei metodi di EDP

Applicazione alla Finanza dei metodi di
EDP-Modello di Black-Scholes
Docente:Alessandra Cutrı̀
A. Cutrı̀
25-11-2015, 30-11-2015, 02-12-2015
Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale
Descrizione del Modello - Opzioni
OPZIONE è il più semplice strumento derivato: E’ un contratto
che da’ la possibilità (ma non l’obbligo) a chi lo detiene di
acquistare (o vendere) una certa quantità di un titolo sottostante
ad una data futura ed ad un prezzo prefissati:
un bene sottostante di prezzo S (dipendente dal tempo)
un prezzo di esercizio K (strike price)
una data T (scadenza) o tempo di maturità
Opzione Europea: il diritto può essere esercitato solo alla scadenza
T
Opzione Americana: il diritto può essere esercitato in un qualsiasi
momento fino alla scadenza T
Opzione Call: Diritto di acquistare
Opzione Put: Diritto di vendere
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Call Europea con Strike K e maturità T
Consideriamo un’Opzione Europea Call: il diritto di acquisto può
essere esercitato solo alla scadenza T . Supponiamo che il bene
sottostante alla scadenza T abbia un prezzo ST
Al tempo T ci sono due possibilità:
ST > K : il valore finale dell’opzione (pay-off) corrispondente
al ricavo che si ottiene esercitando l’opzione (cioè acquistando
il bene al prezzo K e rivendendolo al prezzo di mercato ST ) è
pari a ST − K
ST < K : non conviene esercitare l’opzione ed il pay-off è nullo
In definitiva il pay-off di una Call europea è pari a
(ST − K )+ = max{ST − K , 0}
Analogamente il pay-off di una Put Europea è pari a
(K − ST )+ = max{K − ST , 0}
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Quanto costa l’Opzione?
Modello di Prezzatura delle OPZIONI di Black Scholes (per cui
ricevettero il Nobel per l’economia): formule esplicite per il prezzo
di opzioni di tipo Europeo. Ipotesi fondamentali:
Efficienza del mercato: (1965-Eugene Fama) Il mercato è
capace di rispondere immediatamente a qualsiasi nuova
informazione sul bene sottostante in modo tale che la storia
passata del bene sia interamente riflessa nel prezzo corrente
dello stesso (Il passato è nel prezzo!) ↔ La variazione di
prezzo di un bene segue un Processo Markowiano
Assenza di arbitraggio: Non ci sono possibilità di fare profitti
senza rischio (∼ variabilità sul rendimento finale) istantanei.
OSS: L’ipotesi di Efficienza di mercato è molto controversa in
economia. Si sta sviluppando una nuova teoria introdotta da
Peters nel 1994 basata su un’ipotesi di mercato stabile o mercato
frattale che si adatti meglio all’evidenza empirica.
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Variazione del prezzo del bene sottostante
Costo di un’ Opzione Europea dipende dalla variazione di prezzo
del bene sottostante:
Efficienza del mercato ⇒ La variazione di prezzo S del bene
sottostante segue un Processo Markowiano (L’andamento di S
viene descritto da un’equazione differenziale stocastica)
Oss:non è interessante valutare le variazioni assolute del prezzo del
bene (una variazione di prezzo di 2 euro su un bene che costava
100 euro è molto meno interessante rispetto alla stessa variazione
su un bene che costava 4 euro)
Oss: Importante è il RETURN (o rendimento): rapporto tra la
variazione assoluta del prezzo ed il suo valore originale:
dS
S
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Modello evolutivo del prezzo S del sottostante
dS
dSdrift
dSstock
=
+
S
S
S
Il return si compone di due parti:
parte deterministica: dSSdrift = µdt assimilabile al Return di
denaro investito senza rischio in banca e caratterizzato dal
parametro di drift µ che corrisponde al tasso medio di crescita
del prezzo del bene (andamento medio del titolo)
parte stocastica: dSStock
= σdB tiene conto delle fluttuazioni
S
del titolo dovute alla risposta del prezzo del titolo alle
informazioni esogene.
σ:Volatilità: Misura le oscillazioni del prezzo del bene rispetto
al trend e rappresenta la misura della suscettibilità del prezzo
del bene alle informazioni esogene (deviazione standard dal
return)
dB:Processo di Wiener ∼ Moto Browniano
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Moto Browniano geometrico
Dunque il prezzo S del bene sottostante è soluzione di questa
equazione differenziale stocastica:
dS = µSdt + σSdB
(Moto Browniano geometrico)
OSS: Il modello per dS è un’ astrazione matematica in quanto
segue un’evoluzione continua nel tempo (dipende dall’ipotesi
di efficienza del mercato) in quanto nella realtà i prezzi dei
beni sono quotati ad intervalli di tempo discreti ma questo
produrrebbe una quantità enorme di dati che diverrebbe
ingestibile
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Poiché il valore dell’opzione dipende dal prezzo del bene
sottostante, per valutare tale valore è necessario studiare il
comportamento di una V (S, t) quando S evolve nel tempo
secondo l’equazione differenziale stocastica
dS = µSdt + σSdB
Come si fa? Utilizzando la Formula di Ito che mette in
relazione le piccole perturbazioni di una funzione di variabile
aleatoria con le piccole fluttuazioni della variabile aleatoria
stessa.
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Richiamo:Moto Browniano
Processo Stocastico: {Xt }t∈R + è una famiglia dipendente da
un parametro t di variabili aleatorie definite su uno spazio di
probabilità (Ω, F, P)
Moto Browniano 1−dim: {Bt }t∈R + è un processo stocastico
che soddisfa le proprietà:
1
2
B0 = 0 quasi certamente
per ogni 0 ≤ s ≤ t, Bt − Bs è una v.a. indipendente da Bs
(proprietà di Markow o senza memoria che implica che per
ogni t > 0 e 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn < t si ha
P{Bt ≤ Z |Bt0 = b0 , Bt1 = b1 , . . . , Btn = bn } = P{Bt ≤ Z |Btn = bn }
3
per ogni 0 ≤ s ≤ t, Bt − Bs ha una distribuzione di probabilità
Gaussiana con media µ = 0 e varianza σ 2 = t − s
in particolare P{Bt ∈ I } =
R
I
G (ω, t)dω con
G (ω, t) = √
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ω2
1
e − 2t
2πt
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Se indichiamo con ∆Bt = Bt+∆t − Bt con ∆t > 0,
E (∆Bt ) = 0
E ((∆Bt )2 ) = ∆t
per ∆t → 0 si ha
dB ∼
√
dtN (0, 1) = N (0, dt)
R
(oss: E (X ) = Ω XdP)
Il moto Browniano si può ottenere come limite di una passeggiata
aleatoria simmetrica su un ipotetico asse x
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Media e varianza di dS
E (dS) = E (µSdt + σSdB) = µSdt
in media il valore di S a (t + dt) è maggiore o minore (dipende dal
segno di µ) per una quantità pari a µSdt
Var (dS) = E (dS 2 ) − (E (dS))2 = E ((µSdt + σSdB)2 ) − (µSdt)2
= E (µ2 S 2 dt 2 + σ 2 S 2 (dB)2 + 2µσS 2 dtdB) − µ2 S 2 dt 2
= σ 2 S 2 E ((dB)2 ) + 2µσS 2 dtE (dB) = σ 2 S 2 E ((dB)2 )
= σ 2 S 2 dt
(oss: Var (X ) = kX − E (X )k2L2 (Ω,P) =
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R
Ω |X
− E (X )|2 dP)
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Processo di Ito
Def: Sia {Bt } un Browniano 1−dim. Si definisce processo di Ito
un processo stocastico {X (t)} sempre su (Ω, F, P) che soddisfa
dX (t) = a(X (t), t)dt + b(X (t), t)dB(t)
X (0) = x0
oss: Se b = 0 si ha un processo deterministico soluzione dell’eq.
diff. X 0 (t) = a(X (t), t)
oss: S è un processo di Ito con a(x, t) = µx e b(x, t) = σx
se g (x, t) è regolare, possiamo sviluppare con Taylor ed ottenere
1
g (X (t), t) = g (X (0), 0)+gt dt+gx dX + [gxx (dX )2 +2gxt dXdt+gtt (dt)2 ]+
2
il differenziale di g si ottiene prendendo le parti lineari in dt e dX .
I termini del tipo dXdt e (dt)2 sono di ordine superiore ma il
(dX )2 = [adt + bdB]2 = a2 (dt)2 + 2abdtdB + b 2 (dB)2
ma b 2 (dB)2 ∼ b 2 dt quindi dg = [gt + agx + 21 b 2 gxx ]dt + bgx dB
2 è associato
OSS: L’operatore L = ∂t + a∂x + 12 b 2 ∂xx
all’eq.differenziale stocastica
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Applicazione calcolo di Ito al pay-off V (S, t)
Applichiamo il differenziale di Ito alla funzione pay-off calcolata al
variare dell’istante temporale t ∈ [0, T ]
V (S, t) segue l’evoluzione del prezzo S secondo la SDE del Moto
Browniano geometrico
dS = µSdt + σSdB
quindi
1
dV = [Vt + µSVS + σ 2 S 2 VSS ]dt + σSVS dB
2
Il modello di Black-Scholes si basa sulla possibilità di rendere
deterministica la variazione dV cioè eliminare il termine σSVS dB.
Come è possibile? Costruendo un portafoglio auto-finanziante
privo di rischio e che consiste di V e di opportune quantità del
bene sottostante S (si usa assenza di arbitraggio)
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Ipotesi di modello BS per calcolo di V
Le Ipotesi del modello BS sono
S evolve secondo dS = µSdt + σSdB
tasso di interesse privo di rischio r e la volatilità σ sono
costanti e NOTE ( 1E al tempo zero frutta e rT E al tempo T )
non ci sono costi di transazione
dividendi nulli (poi vediamo come si generalizzano)
E’ possibile la vendita o l’accquisto in ogni istante di una
qualsiasi quantità di bene
No ARBITRAGGIO:cioè ogni investimento istantaneo senza
rischio DEVE avere rendimento r ∼ Portafoglio
autofinanziante
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Come si rende deterministico dV ?
Si costruisce un portafoglio Π privo di rischio che consiste
dell’opzione V e di una quantità di sottostante. Per assenza di
arbitraggio Π deve crescere al tasso di interesse r :
dΠ = r Πdt
essendo
Π = V − ∆S
dove ∆ quantità di sottostante che si suppone costante
nell’intervallo (t, t + dt) uguale al valore che aveva in t. La
variazione di Π in (t, t + dt) è
1
dΠ = dV −∆dS = [Vt +µSVS + σ 2 S 2 VSS ]dt−∆[µSdt+σSdB]+σSVS dB
2
Se scegliamo ∆ in modo che σSVS dB − ∆σSdB = 0 cioè
∆ = VS (t, S) in (t, t + dt) abbiamo (per l’assenza di arbitraggio)
1
dΠ = [Vt + σ 2 S 2 VSS ]dt = r (V − SVS )dt
2
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Equazione di Black-Scholes
otteniamo l’EDP di Black-Scholes (senza pagamento dividendi):
1
Vt + σ 2 S 2 VSS − rV + rSVS = 0
2
Oss: non compare più il coefficiente µ (tasso di crescita medio del
prezzo del sottostante)
Se esercitiamo un’ opzione europea su un sottostante che paga
dividendi in tempo continuo (per esempio costituito da quote
azionarie di diverse imprese che pagano dividendi in periodi
differenti dell’anno questa ipotesi è accettabile), nell’intervallo
(t, t + dt) l’ammontare del diviedndo pagato è δSdt con δ: tasso
istantaneo di dividendo
Flusso di dividendi ∼ decremento del prezzo S in dt uguale al
tasso pagato dal dividendo (per assenza di arbitraggio) altrimenti
comprando il titolo al tempo t e rivendendolo subito dopo aver
ricevuto il dividendo si otterrebbe un guadagno pari a δSdt senza
rischio
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Equazione di Black-Scholes con flusso di dividendi
Tale modifica porta alla modifica nell’eq. BS seguente:
1
Vt + σ 2 S 2 VSS − rV + (r −δ)SVS = 0
2
E’ un EDP a coefficienti variabili
abbiamo la condizione di Cauchy al tempo T (equazione
Backward): V (ST , T ) = (ST − K )+
attraverso opportune trasformazioni arriveremo all’equazione
del calore di cui conosciamo la soluzione in forma esplicita e
poi ritrasformando otterremo la soluzione V (S, t) in forma
esplicita (tutto con metodi analitici)
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Dall’eq. di BS all’equazione del calore
Vogliamo risolvere con metodi analitici l’eq. di Black-Scholes
1
Vt + σ 2 S 2 VSS − rV + (r −δ)SVS = 0
2
(1)
definita su
DV := {(S, t) t.c.S > 0 , 0 ≤ t ≤ T }
Trasformazione di coordinate (S, t) → (x, τ ) ed un
cambiamento di incognita V (S, t) → u(x, τ ) in modo che u
soddisfi l’equazione del calore
uτ = uxx
x ∈R
0≤τ ≤
σ2
T
2
Si risolve come sappiamo l’eq. del calore e si torna indietro
ottenendo la soluzione esplicita V (S, t)
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Primo passo: trasformare (1) in una EDP a coefficienti
costanti
Poniamo:
S = Ke x
⇒
x = log
S
K
⇒ x ∈R
2τ
σ2
⇒
τ
=
(T − t) ⇒
σ2
2
Consideriamo prima la funzione ausiliaria:
t=T−
v (x, τ ) :=
0≤τ ≤
σ2
T
2
1
1
2τ
V (S, t) = V (Ke x , T − 2 )
K
K
σ
e vediamo l’equazione soddisfatta da v (x, τ )
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Poiché V (S, t) = Kv (x, τ ) abbiamo:
∂τ
Vt = Kvτ
= Kvτ
∂t
2
σ
−
2
∂x
K 1
K
= Kvx
= vx
∂S
SK
S
∂
K
K
K ∂
VSS = ∂S
S vx (x, τ ) = − S 2 vx + S ∂S (vx (x, τ )) =
K
∂x
K
K K 1
K
= − S 2 vx + S vxx ∂S = − S 2 vx + S S K vxx =
= − SK2 vx + SK2 vxx
VS = Kvx
Quindi V (S, t) soddisfa (1) ⇒ v (x, τ ) soddisfa:
−
σ2
1
K
K
Kvτ + σ 2 S 2 (− 2 vx + 2 vxx ) + (r − δ)Kvx − rKv = 0
2
2
S
S
cioè
vτ = vxx +
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2(r − δ)
2r
−
1
vx − 2 v
σ2
σ
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vτ = vxx +
Chiamando p :=
2(r −δ)
σ2
2(r − δ)
2r
− 1 vx − 2 v
σ2
σ
e ι :=
2δ
σ2
otteniamo
vτ = vxx + (p − 1) vx − (p + ι)v
(2)
Per arrivare all’equazione del calore, chiamiamo
1
γ := (p − 1)
2
e
1
β := (p + 1) = γ + 1 .
2
OSS: β 2 = γ 2 + p. Infatti: 41 (p + 1)2 = 41 (p − 1)2 + p
Infine definiamo la nuova incognita u:
v (x, τ ) = e −γx−(β
2 +ι)τ
u(x, τ )
Verifichiamo che se v soddisfa (2) allora
u(x, τ ) = e γx+(β
2 +ι)τ
v (x, τ )
soddisfa l’eq. del calore.
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v (x, τ ) = e −γx−(β
2 +ι)τ
u(x, τ )
Quindi
2
vτ = e −γx−(β +ι)τ uτ − (β 2 + ι)e −γx−(β
2
= e −γx−(β +ι)τ [uτ − (β 2 + ι)u]
vx = e −γx−(β
vxx = e −γx−(β
2 +ι)τ
2 +ι)τ
2 +ι)τ
u
[−γu + ux ]
[γ 2 u − 2γux + uxx ]
Sostituendo in (2)
2
e −γx−(β +ι)τ [uτ − (β 2 + ι)u − γ 2 u + 2γux − uxx
−(p − 1)(−γu + ux ) + (p + ι)u]= 0
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Cioè
[uτ − (β 2 + ι)u − γ 2 u + 2γux − uxx − (p − 1)(−γu + ux ) + (p + ι)u] = 0
che implica, essendo γ := 12 (p − 1) e β 2 = γ 2 + ι, che il
coefficiente che moltiplica u sia nullo; infatti:
(β 2 +ι)+γ 2 −γ(p−1)−p−ι = 2γ 2 +p−γp+γ−p = γ[2γ−p+1] = 0
quindi u soddisfa
uτ (x, τ ) = uxx (x, τ )
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x ∈R,
0≤τ ≤
σ2
T
2
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Equazione del calore
Equazione del calore unidimensionale
uτ (x, τ ) = uxx (x, τ )
x ∈R,
0≤τ ≤
σ2
T
2
con condizione iniziale
u(x, 0) = u0 (x)
x ∈R
ha per soluzione
u(x, τ ) = G (x, τ ) ? u0 (x)
dove
G (x, τ ) = √
x2
1
e − 4τ = Φ0,√2τ (x)
4πτ
cioè la densità di probabilità di una distribuzione Normale di Media
zero e Varianza 2τ .
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Qual è la condizione iniziale u0 ?
Chi è u0 (x)?
2
τ = σ2 (T − t) ⇒ τ = 0 corrisponde a t = T quindi la
condizione iniziale per u corrisponde alla condizione al tempo
T per V che è nota!
1
1 γx
e V (S, T ) = e γx V (Ke x , T )
K
K
ma V (S, T ) è il valore dell’opzione Europea call (o put) al tempo
di maturità, quindi
u(x, 0) = e γx v (x, 0) =
Vcall (S, T ) = (ST − K )+
Vput (S, T ) = (K − ST )+
Valutiamo l’opzione Call (la Put è analoga). Sia uc (x, 0) il dato
iniziale relativo all’opzione Call; abbiamo:
uc (x, 0) = K1 e γx Vcall (Ke x , T ) = K1 e γx (Ke x − K )+ = (e (γ+1)x − e γx )+
= max{e βx − e γx ; 0}
(β = γ + 1)
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Formula esplicita per ucall (x, τ )
Si ha
ucall (x, τ ) = G (x, τ ) ? uc (x, 0) = √
x2
1
e − 4τ ? uc (x, 0)
4πτ
quindi
ucall (x, τ ) = √
1
4πτ
Z
e−
(x−y )2
4τ
max{e βy − e γy ; 0}dy
R
Essendo β = γ + 1 ne segue che per y ≤ 0 l’integrando si annulla e
dunque
Z +∞
(x−y )2
1
ucall (x, τ ) = √
e − 4τ (e βy − e γy )dy := Iβ − Iγ
4πτ 0
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dove
Iα : =
=
(x−y )2
+∞ −
1
√1
e 4τ +αy dy = √4πτ
4πτ 0
2
α2 R +∞ − [(x+2τ α)−y ] )
e xα+τ
√
4τ
e
dy
0
4πτ
R
Ponendo η =
x+2τ
√ α−y ,
2τ
Iα =
R +∞
0
e−
(x 2 −2y (x+2τ α)+y 2 )
4τ
si ha
e xα+τ α
√
2π
2
Z
x+2τ
√ α
2τ
e
−η 2
2
dη
−∞
Usando la funzione di ripartizione di una normale standard di
media zero e varianza uno:
Z
−η 2
ξ
Φ(ξ) =
−∞
e 2
√ dη
2π
x + 2τ α
2
Iα = e xα+τ α Φ( √
)
2τ
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dy
Quindi
x + 2τ γ
x + 2τ β
2
2
) − e xγ+τ γ Φ( √
)
ucall (x, τ ) = Iβ − Iγ = e xβ+τ β Φ( √
2τ
2τ
Tutto va scritto in termini di Vc (S, t). A tal proposito poniamo
d1 :=
x + 2τ β
√
2τ
Poiché x = log KS e τ =
σ2
2 (T
d2 :=
x + 2τ γ
√
2τ
− t) si ha
2
log KS + σ 2 (T − t) 21 (p + 1)
log KS + ( σ2 + r − δ)(T − t)
√
√
d1 =
=
σ T −t
σ T −t
2
log KS + σ 2 (T − t) 12 (p − 1)
log KS + (− σ2 + r − δ)(T − t)
√
√
=
σ T −t
σ T −t
√
OSS: d2 = d1 − σ T − t
d2 =
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Essendo V (S, t) = Kv (x, τ ) = Ke −γx−(β
2
2 +ι)τ
u(x, τ ), abbiamo
2
2
Vc (S, t) = Ke −γx−(β +ι)τ {e βx+β τ Φ(d1 ) − e γx+γ τ Φ(d2 )}
2
2
= Ke (β−γ)x−ιτ Φ(d1 ) − Ke (γ −β −ι)τ Φ(d2 )
ma β − γ = 1, ιτ =
quindi
2
δτ
σ2
= δ(T − t), β 2 = γ 2 + p, p + ι =
2r
σ2
Ke (β−γ)x−ιτ = Se −δ(T −t)
Ke (γ
2 −β 2 −ι)τ
= Ke −r (T −t)
e
Vcall (S, t) = Se −δ(T −t) Φ(d1 ) − Ke −r (T −t) Φ(d2 )
Analogamente
Vput (S, t) = Ke −r (T −t) Φ(−d2 ) − Se −δ(T −t) Φ(−d1 )
A. Cutrı̀
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Chi è la ∆ per l’opzione Call?
Poiché
∂
(Vcall (S, t)) = e −δ(T −t) Φ(d1 ) > 0
∂S
Si ha inoltre che VS è crescente in S quindi la funzione Vcall (S, t)
è una funzione convessa in S per ogni t
Analogamente per le opzioni Put
∆=
A. Cutrı̀
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dalla passeggiata aleatoria al moto Browniamo
Consideriamo una passeggiata aleatoria (random walk) di un
”oggetto” di massa unitaria lungo l’asse x
l’oggetto parte dall’origine x = 0
in un intervallo di tempo τ l’oggetto si muove di un passo di
lunghezza h a destra o a sinistra con probailità 21
lo spostamento al passo N è indipendente da quanto avvenuto
al passo N − 1
A. Cutrı̀
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Dopo N passi, cioè in t = Nτ qual è la probabilità che
l’oggetto sia nella posizione x = mh con h ∈ Z ?
N
N
N
1
N!
1
p(x, t) =
=
K
2
K !(N − K )! 2
in quanto
N
K è il numero di cammini con K passi a sinistra e N − K
passi a destra
2N è il numero di cammini possibili dopo N passi
ovviamente m = K − (N − K ) = 2K − N mentre
x = [K − (N − K )]h = (2K − N)h
A. Cutrı̀
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Qunidi la probabilità che l’oggetto si trovi in x ad un istante t + τ
(successivo a t) è
1
1
p(x, t + τ ) = p(x + h, t) + p(x − h, t)
2
2
ed inoltre
p(0, 0) = 1 (l’oggetto si trova nell’origine all’istante iniziale
quasi certamente)
p(x, 0) = 0 per ogni x 6= 0
del resto
1
p(x + h, t) = p(x, t) + px (x, t)h + pxx (x, t)h2 + o(h2 )
2
1
p(x − h, t) = p(x, t) − px (x, t)h + pxx (x, t)h2 + o(h2 )
2
quindi
1
p(x, t + τ ) = p(x, t) + pxx (x, t)h2 + o(h2 )
2
A. Cutrı̀
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da
1
p(x, t + τ ) = p(x, t) + pxx (x, t)h2 + o(h2 )
2
si ottiene
p(x, t + τ ) − p(x, t)
1
h2
h2
= pxx (x, t) + o( )
τ
2
τ
τ
cioè, se h e τ tendono a zero in modo che
h2
→ ad un limite finito 2D
τ
1
pt (x, t) + o(1) = pxx (x, t)2D + o(1)
2
dove D rappresenta il coefficiente di diffusione
D=
A. Cutrı̀
1
2
Moto Browniano
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In tal caso
1
pt = pxx
2
lim p(x, t) = δ(x)
t→0+
dove
G (x, t) = √
⇒ p(x, t) = G( x, t)
x2
1
e − 2t
2πt
è la Gaussiana di media µ = 0 e varianza σ 2 = t
A. Cutrı̀
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OSS: τh → ∞ quindi la velocità con la quale l’oggetto effettua ogni
passo diventa infinita (tale particella si mantiene ad una distanza
media finita nell’unità di tempo a causa delle continue fluttuazioni
del suo moto) Per h, τ → 0, per il teorema del limite centrale la
passeggiata tende al moto Browniano
A. Cutrı̀
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OSS: Se xj := x(jτ ) è la posizione raggiunta dopo j passi e per
j ≥ 1 poniamo hξj = xj − xj−1
ξj valgono 1 o −1 con probabilità
1
2
dunque ξj sono indipendenti ed identicamente distribuite ⇒
E (ξj ) = 0 , E (ξj2 ) = var (ξj ) = 1
P
xN = h N
j=1 ξj in quanto
xN = xN − xN−1 + xN−1 − xN−2 + · · · + x1 − x0 = h
N
X
ξj
j=1
q
scegliendo h = 2Dt
N (t = Nτ ) e passando al limite per
N → ∞, si prova che xN converge in legge ad una variabile
aleatoria X = X (t) che ha una distribuzione normale con
media zero e varianza 2Dt = t la cui densità è G (x, t) (il
moto Browniano)
A. Cutrı̀
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