criteri divisibilità e scomposizioni

LA DIVISIBILITA’
La divisione è un’operazione che non è sempre possibile all’interno dell’insieme N. Considerando un numero divisore,
il numero dividendo può rientrare in due casi:
1) DIVISIBILE -------- la divisione ha quoziente intero e resto zero.
Es: 24 : 3 = 8
resto = 0
2) Non DIVISIBILE - la divisione ha quoziente intero e resto parziale, oppure quoziente decimale.
Es; 24 : 5 = 4
resto = 4
Considerando i numeri divisibili tra loro, esistono:
-
MULTIPLI
maggiori o uguali al numero considerato;
quantità infinita
Es: multipli 30 =(30;60;90;120........)
ES: 30 : 5 = 6
resto = 0
-
DIVISORI (o Sottomultipli)
minori o uguali al numero considerato;
quantità finita
Es: divisori 30 =(1;3;5;6;10;15;30)
30 è divisibile per 5, perciò 30 è un multiplo di 5
5 è un sottomultiplo di 30 perché 30 è un multiplo di 5
PROBLEMI MATEMATICI CON I MULTIPLI E DIVISORI
Esistono vari tipi di problemi risolvibili in differenti modi:
•
Problemi semplici con multipli e divisori:
Si deve capire quale è il multiplo o il divisore in comune a ciascun gruppo elencato dal testo dell’esercizio
ES: Nell’armadio, ogni 2 giacche, ho 4 gonne e 3 camicie. Se le camicie sono 9 in tutto, quanti capi di abbigliamento
sono sistemati nell’armadio?
•
Problemi con i segmenti in ugualianza:
Si hanno oggetti identici con piccole parti differenti. Si devono usare i segmenti prendendo come segmento
unitario sempre l’elemento più piccolo, in modo tale da aggiungere pezzi di segmenti per le parti differenti
ed eliminarle quando si considera il totale.
ES: Tre botti contengono 335 litri di vino, la prima contiene 30 litri in più della seconda, che a sua volta contiene 25
litri in più della terza. Quanti litri contiene ogni botte?
•
Problemi con il metodo grafico:
Si deve raddoppiare, triplicare o dividere la quantità dei due gruppi presenti nel testo dell’esercizio in modo
che almeno un elemento del primo gruppo sia in numero uguale a quello del secondo gruppo e poi
eliminarli dalla considerazione del totale.
ES: Un mazzo di 4 gigli e 3 rose costa 11,5 euro, mentre un mazzo di 8 gigli e 5 rose costa 20,5 euro. Quanto costa un
giglio e una rosa?
CRITERI
DI DIVISIBILITA’
Un numero naturale può essere diviso per i seguenti numeri secondo determinate regole.
•
per 2 - se termina con zero ( o se termina con una cifra pari)
Es: 234544378 la cifra 8 è pari e quindi è divisibile
•
per 3 - se la somma delle sue cifre è 3 (o se è un multiplo di 3)
Es: 34521
•
per 4 - se le sue ultime cifre sono due zeri (o se è un multiplo di 4)
Es: 3400
•
(3+4+5+2+1)=15 = (5+1)= 6 multiplo di 3
termina con due zeri perciò è divisibile
per 5 - se la sua ultima cifra è 0 o 5
Es: 34225 la cifra delle unità è 5 perciò è un suo multiplo
•
per 7 - se la differenza tra il numero privato delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0 o è un
multiplo di 7
Es: 175 ottengo 17 e 5 dove la cifra delle unità è 5 x 2 = 10 e
la sottraggo al resto del numero 17 - 10 = 7
•
per 10 - se la sua ultima cifra è rispettivamente 0; 00; 000
100 Es: 1300 è divisibile sia per 10 che per 100, ma non per 1000
1000
•
per 11 - un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle
cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0 o un multiplo di 11
Es: 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0
ESERCIZI sulla DIVISIBILITA’
(suddivisi per differente scrittura del testo)
1) Antonio possiede un numero di automobiline inferiore a 30. Se le dispone in fila per 5 non ne avanza alcuna, ma
se le dispone in fila per 7 ne avanzano 4. Quante automobiline possiede in tutto?
[25]
[]
2) In una scatola vi sono meno di 50 palline. Se le contiamo a gruppi di 7 non ne resta alcuna, se le contiamo a
gruppi di 9 ne avanza 1. Quante sono le palline?
[28]
______
3) In una scatola vi sono delle matite, raggruppandole per 3 non ne rimane alcuna, raggruppandone per 5 ne
rimangono 3. Sapendo che sono il minore numero possibile per tali raggruppamenti, quante sono le matite?
[18]
4)In tasca ho delle monete; se le conto per 5 ne restano 3, se le conto per 11 non ne restano. Sapendo che sono il
minore numero possibile per tali raggruppamenti, quante sono le monete?
[33]
5)I quadri che ho in casa possono essere disposti a 2 a 2 e ne avanza 1, se li dispongo a 3 a 3 non ne avanza nessuno,
e se li dispongo a 5 a 5 ne avanzano 2. Sapendo che sono il minore numero possibile per tali raggruppamenti, quanti
sono i quadri?
[27]
6) In un sacchetto ho conservato tra le 20 e le 90 gomme. Se le conservo in 4 sacchetti me ne avanzano 3, se le
conservo in 3 o 5 sacchetti non ne avanza alcuna. Quante gomme sono?
[75]
7) In un garage sono parcheggiate più di 100 auto ma meno di 250. Contandole a 4 a 4 e a 7 a 7 non ne avanza
alcuna, mentre contandone a 5 a 5 ne avanzano 2, calcola le auto nel garage.
[112]
______
8) In un astuccio vi sono tra i 15 e i 60 pennarelli. Sapendo che il loro numero è divisibile per 6, mentre se lo divido
per 5 ottengo resto 2, calcola quanti sono i pennarelli.
[42]
9) In un giardino vi sono dei fiori; sapendo che il loro numero è compreso tra 55 e 70, che è un multiplo di 3 e che
diviso per 4 da resto 3, calcola quanti fiori ho nel giardino.
[63]
______
10) In una classe vi sono al massimo 30 alunni e il loro numero è a
contandone 4 alla volta o 5 alla volta ne avanzano sempre 2?
due cifre. Quanti sono esattamente se
[22]
11) Un libro è formato da un certo numero di pagine, inferiore a 120. Se tale numero è multiplo di 5, mentre diviso
per 11 da resto 5 e se diviso per 3 da resto 1, quante pagine ha il libro?
[115]
PROBLEMI con il METODO GRAFICO
12) devo comprare una gonna, una maglia e una giacca. Se compro la gonna e la maglia spendo 60 euro, se compro
il maglione e la giacca spendo 87 euro e se compro la gonna e la giacca spendo 97 euro. Quanto costano i tre capi
separatamente?
[62; 35; 25]
13) Per comprare 4 penne e 2 blocchi per appunti ho speso 23 euro, per comprare 4 penne e 5 blocchi ho speso 32
euro. Quanto costa una penna e un blocco?
[3; 4,25]
14) Nel recinto di una fattoria ci sono 20 animali fra capre e oche. In tutto si possono contare 64 zampe. Quante
capre e quante oche ci sono?
[12; 8]