D. Ravanelli

Transcript

D. Ravanelli

Università degli studi di Trento
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Fisica e Tecnologie Biomediche
Daniele Ravanelli
Valutazione della dose assorbita dal
paziente in radiologia digitale:
sviluppo di un modello fisico basato
sull’imaging digitale
Tesi di Laurea Specialistica
Sessione Dicembre 2008
Anno Accademico 2007/2008
2
Università degli studi di Trento
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Fisica e Tecnologie Biomediche
Valutazione della dose assorbita dal paziente in radiologia
digitale:
sviluppo di un modello fisico basato sull’imaging digitale
Relatori:
Laureando:
Daniele Ravanelli
Prof.
Aldo Valentini
....................................
....................................
Prof.
Renzo Antolini
....................................
Sessione Dicembre 2008
Anno Accademico 2007/2008
Parole chiave: Digital Radiology, X-Ray Imaging Simulation, Ray-tracing,
Grafica 3D, Dose efficace, Dose assorbita, Scattering Compton, Scattering Rayleigh
2
Indice
1 Introduzione
3
2 Aspetto Legislativo legato alle Radiazioni Ionizzanti
5
3 Raggi-X
3.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Radiazioni Ionizzanti e Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Grandezze Radiometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Il Coefficiente di Attenuazione Lineare ed Attenuazione Esponenziale
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4 La Fisica dell’Interazione Radiazione-Materia
4.1 Effetto Fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Scattering Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Rayleigh . . . . . .
4.3 Scattering Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 La Probabilità di collisione Compton: la formula di Klein-Nishina
4.3.2 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Compton . . . . .
4.4 Produzione di Coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Attenuazione di un fascio di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Dosimetria
5.1 Le Condizioni di Equilibrio . . . . . . .
5.2 L’Energia Impartita . . . . . . . . . . .
5.3 La Dose Assorbita . . . . . . . . . . . .
5.4 Il calcolo della Dose Assorbita . . . . . .
5.5 Il Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 La Dose Assorbita e il Kerma . . . . . .
5.7 La Misura della Dose Assorbita . . . . .
5.8 Dose-Area Product DPA . . . . . . . . .
5.8.1 Valutazione della dose agli organi
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6 Rischio Radiologico e Dati di Interesse
6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace . . . . . . . . . . .
6.2 Valutazione del Rischio Stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Produzione di Raggi-X in radiologia
7.1 Tubo a Raggi-X . . . . . . . . . . . .
7.2 Anodo e Catodo . . . . . . . . . . .
7.3 Spettro dei Raggi-X . . . . . . . . .
7.3.1 Interazione degli elettroni con
7.3.2 Radiazione caratteristica . . .
7.3.3 Radiazione Bremsstrahlung .
7.3.4 Distribuzione Angolare . . . .
INDICE
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8 Radiologia Digitale
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Computed Radiography (CR) . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Il Plate PSP (Photostimulable Storage Phosphor)
8.2.2 Scanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Digital Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Sistema Indiretto a Fotodiodi CsI(Tl)-a-Si . . . . .
8.3.2 Sistema Diretto con Fotocatodo a-Se . . . . . . . .
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9 Modello Analitico del Software
9.1 Modello Fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Simulazione dello Scatter al Primo Ordine . . . . . . . . . . .
9.1.3 Simulazione dello Scatter Multiplo . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Simulazione della Sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Caratterizzazione dell’Output dell’Apparecchio Radiologico .
9.2.2 Generazione degli Spettri per un Apparecchio Radiologico . .
9.3 Simulazione del Fascio di Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Simulazione del Detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Simulazione del Fantoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Simulazione Dosimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Legge dell’Inverso del Quadrato delle Distanze . . . . . . . .
9.6.2 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro monoenergetico
9.6.3 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro polienergetico .
9.6.4 Contributo della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . .
9.6.5 Contributo della Radiazione Diffusa . . . . . . . . . . . . . .
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10 Descrizione del Software
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10.1 Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Elaborazione Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.3 Dati Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11 Validazione del Software con Tomografia Assiale Computerizzata
113
11.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2.1 Scattering di un singolo Voxel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2.2 Contributo dello Scattering al Primo Ordine nell’imaging di trasmissione 123
11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.3.1 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12 Applicazione Pratica
12.0.2 Misure Sperimentali Necessarie allo Sviluppo del Software
12.0.3 Applicazione pratica del Software . . . . . . . . . . . . . .
12.0.4 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . .
12.0.5 Considerazioni Energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Conclusioni
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INDICE
3
A Elementi di Geometria Vettoriale e Ray-Tracing
A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori . . . . . . .
A.2 Rotazioni nello Spazio 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Equazioni di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Equazioni Parametriche di Superfici . . . . . . . .
A.4 Operazioni con Piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Operazioni con Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (Ray-Tracing)
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B Grafica 3D con DirectX 8.0
B.1 DirectX 8.0 SDK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0 . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Appunti di Geometria: coordinate omogenee
B.2.2 World Matrix e Trasformazione dei Vertici . .
B.2.3 View Matrix e View Space . . . . . . . . . .
B.2.4 Projection Matrix e Camera Space . . . . . .
B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0 . . . . . . . .
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C Calcolo Analitico dello Scatter al Primo Ordine
187
D Regressione Lineare Multipla ed Inferenza Statistica
193
E Immagini delle Simulazioni
197
E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
E.2 Immagini delle varie tipologie del rivelatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione . . . . . . . . . . . . . . 205
F Tabella dei Dati necessari al funzionamento del Software
209
Bibliografia
217
Capitolo
1
Introduzione
La valutazione della dose assorbita dal paziente, nella diagnosi e terapia medica, è uno degli
obiettivi della Fisica Sanitaria al fine di assicurarne la radioprotezione o la maggior probabilità di
effetti terapeutici.
Questa esigenza oggi è ancor più necessaria, viste le nuove direttive europee recepite anche da leggi
nazionali (D.Lgs. 187/2000) che impongono la stima della dose efficace relativa al paziente.
In radioterapia le valutazioni di dose assorbita sono supportate da lunga esperienza, modelli ed
algoritmi di calcolo affidabili, a partire da determinazioni sperimentali delle caratteristiche di distribuzione dei fasci radianti in mezzi omogenei.
Per quanto riguarda la valutazione della dose nell’ambito diagnostico ci si limita generalmente alla
stima della dose in ingresso partendo da misure o calcoli effettuati su fascio radiante primario.
L’avvento della nuova tecnologia digitale - Computed Radiography (CR) e Direct Radiology (DR) permette ora di gestire in modo informatizzato l’immagine generata, ovvero i valori di trasmissione
della radiazione attraverso il paziente, misurati pixel per pixel.
Obiettivo della tesi è quello di sviluppare un software basato su un modello fisico, al fine di poter
valutare la dose assorbita a partire dalle letture (pixel values) ottenute dai sistemi digitali diagnostici. Si dovrà affrontare la problematica teorica dell’interazione della radiazione con la materia, la
sua scomposizione in componente trasmessa diretta e componente diffusa che a sua volta in parte
può contribuire all’immagine e in parte non essere rilevata.
In una prima fase verrà affrontato il problema della simulazione di un fascio radiante utilizzando
strumenti informatici come l’ambiente Visual Basic 6.0 e strumenti analitici quali geometria vettoriale, tecniche di ray-tracing e grafica 3D.
Allo scopo di validare il modello utilizzato con dati presenti in letteratura, si determineranno delle
immagini radiologiche relative a fantocci omogenei in tomografia assiale computerizzata (TAC).
Si analizzerà approfonditamente la generazione di un fascio radiante e i parametri ad essa connessi,
come verrà poi studiato a fondo anche il fenomeno della rilevazione della radiazione.
Constatata la bontà del modello, infine si passerà all’applicazione del software creato. Si analizzeranno poi gli effetti che il fascio radiante genera nel corpo umano, al fine di stimare il rischio
radiologico di induzione tumorale.
La valutazione della dose al paziente non deve essere vista come una procedura volta ad una precisione estrema, ma deve essere messa in pratica con metodi semplici e affidabili che permettano di
raggiungere l’ottimizzazione degli esami radiologici, la diminuzione della dose data alla popolazione
e la valutazione corretta dei rischi connessi all’esposizione medica.
6
Introduzione
Capitolo
2
Aspetto Legislativo legato alle
Radiazioni Ionizzanti
Si riporta di seguito quanto concerne l’attuale legislazione in materia di radiazioni ionizzanti;
vengono mostrati i principi base e le leggi a cui l’esperto in Fisica Medica deve ottemperare.
Il Decreto Legislativo del 26 Maggio 2000, n.187 impone l’attuazione della direttiva 43/97/EURATOM riguardante la protezione sanitaria delle persone contro i pericoli delle radiazioni
ionizzanti connesse ad esposizioni mediche. In particolare tali direttive attuano una serie di
principi che sono recepiti dalle raccomandazioni internazionali della International Commission
on Radiological Protection (ICRP):
• Articolo 3: (Comma 1)(Principio di giustificazione) È vietata l’esposizione non giustificata. Le esposizione mediche . . . devono mostrare di essere sufficientemente efficaci
mediante la valutazione dei potenziali vantaggi diagnostici o terapeutici complessivi da
esse prodotti, inclusi i benefici diretti per la salute, della persona e della collettività,
rispetto al danno alla persona, che l’esposizione potrebbe causare, tenendo conto dell’efficacia dei vantaggi e dei rischi di tecniche alternative disponibili, che si propongono lo
stesso obiettivo, ma che non comportano un’esposizione, ovvero comportano una minore
esposizione alle radiazioni ionizzanti.
• Articolo 4: (Comma 1)(Principio di Ottimizzazione) Tutte le dosi dovute ad esposizioni
mediche per scopi radiologici . . . ad eccezione delle procedure radioterapeutiche devono
essere mantenute al livello più basso ragionevolmente ottenibile e compatibile con il raggiungimento dell’informazione diagnostica richiesta, tenendo conto dei fattori economici
e sociali (principio noto anche come ALARA, ovvero As Low As Reasonably Achievable).
• Articolo 4: (Comma 3) Ai fini dell’ottimizzazione dell’esecuzione degli esami radiodiagnostici, si deve tener conto dei Livelli Diagnostici di Riferimento (LDR) secondo le linee
guida indicate nell’allegato II . . .
A questo scopo il Servizio di Fisica Sanitaria attua delle misurazioni sul fascio radiante in
ingresso al paziente per assicurare che i valori relativi al fascio radiante siano entro i limiti
dettati dai LDR. Tuttavia dato che nessuna esposizione a radiazioni ionizzanti è priva di rischio
di induzione di tumori, anche a valori molto bassi di esposizione, il decreto legislativo obbliga
il responsabile dell’impianto ad una valutazione della dose data al paziente:
• Articolo 4:(Comma 1). . . Il principio di ottimizzazione riguarda la scelta delle attrezzature, la produzione di un’informazione diagnostica appropriata o del risultato terapeutico,
8
Aspetto Legislativo legato alle Radiazioni Ionizzanti
la delega degli aspetti pratici, nonchè i programmi per la garanzia di qualità, inclusi il
controllo della qualità dell’esame e la valutazione delle dosi o delle attività somministrate
al paziente.
• Articolo 7: (Comma 5) Le attività dell’esperto in fisica medica sono quelle dirette prevalentemente alla valutazione preventiva, ottimizzazione e verifica delle dose impartite
nelle esposizioni mediche, nonchè ai controlli di qualità degli impianti radiologici . . .
• Articolo 8: (Comma 2) Il responsabile dell’impianto radiologico, avvalendosi dell’esperto
in fisica medica, provvede a che siano intrapresi adeguati programmi di garanzia della
qualità, compreso il controllo di qualità, nonchè di valutazione della dose o dell’attività
somministrata ai pazienti . . .
• Articolo 8: (Comma 9) I dati relativi ai programmi, ai controlli e alle prove di cui
al Comma 2 sono registrati e conservati per almeno 5 anni a cura del responsabile
dell’impanto radiologico, anche su supporto informatico; in tale caso deve essere garantita
la permanenza delle registrazoni anche mediante la duplicazione del supporto.
Adempiere a questi aspetti del decreto legislativo rientra nei compiti del Servizio di Fisica
Sanitaria ed in questo contesto si rende necessario lo sviluppo di tecniche che permettano la
valutazione della dose assorbita dal paziente.
Capitolo
3
Raggi-X
Indice
3.1
Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.1 Radiazioni Ionizzanti e Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 Grandezze Radiometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti . . . . . . . 10
3.2.1 Il Coefficiente di Attenuazione Lineare ed Attenuazione Esponenziale 11
In questo capitolo si presentano le principali definizioni necessarie alla comprensione e analisi di quanto verrà presentato nei capitoli seguenti; seguirà una parte introduttiva riguardante
l’interazione delle radiazioni indirettamente ionizzanti con la materia.
3.1
3.1.1
Definizioni
Radiazioni Ionizzanti e Raggi-X
Per radiazione si intende il trasferimento di energia da un mezzo che la produce, definito
come radiante, ad un mezzo che la riceve, definito come irradiato. In fisica classica si è soliti
distinguere le radiazioni in corpuscolari ed onde elettromagnetiche. Nel caso di radiazioni
elettromagnetiche la trasmissione avviene per mezzo di fotoni (caratterizzati da frequenza e
lunghezza d’onda), nel caso di radiazioni corpuscolari per mezzo di particelle (caratterizzate
da massa, carica e velocità).
Le radiazioni sono dette ionizzanti quando sono in grado di trasferire una sufficiente quantità
di energia, tale da liberare degli elettroni dagli atomi del mezzo irradiato e quindi produrre
ionizzazione. L’azione lesiva delle particelle ionizzanti sull’organismo è una diretta conseguenza
dei processi fisici di eccitazione e ionizzazione degli atomi e delle molecole dei tessuti biologici
dovuti all’interazione della radiazione con la materia.
Tipicamente le radiazioni ionizzanti che si presentano come onde elettromagnetiche vengono
spesso suddivise, a seconda del processo di produzione della radiazione stessa, in due categorie:
i Raggi-X se l’origne è atomica, e i Raggi-Γ, se l’origine è nucleare. In radiologia si utilizzano
solo raggi-X, mentre raggi-Γ e radiazioni corpuscolari vengono utilizzate in medicina nucleare
e radioterapia, dove vengono impiegati tuttavia anche raggi-X ad alta energia (superirore ad
un MeV).
Secondo la Legge di Plank, ad un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto è associata
un’energia pari a E = hν = c/λ dove vale:
10
Raggi-X
Figura 3.1: Spettro elettromagnetico relativo ai vari impieghi nella pratica clinica ospedaliera
• E ≡ energia elettromagnetica dei fotoni ( misurata in 1eV = 1.602 ∗ 10−19 J)
• h ≡ costante di Plank ( pari a 6.626 ∗ 10−34 Js )
• ν = c/λ ≡ frequenza (misurata in Hz)
• λ ≡ lunghezza d’onda (misurata in m)
• c ≡ velocità della luce (pari a 2.99 ∗ 108 ms−1 )
Come è possibile osservare dall’immagine 3.1 in medicina vengono utilizzate energie che, per
le radiazioni indirettamente ionizzanti, variano da 25 a 700 KeV con lunghezze d’onda che variano da 0.5 a 0.01 ∗ 10−10 m. La relazione per passare dall’energia di un’onda elettromagnetica
alla sua lunghezza d’onda è la seguente:
E(KeV ) =
3.1.2
1.24
λ(nm)
(3.1)
Grandezze Radiometriche
Il modo più semplice per descrivere un campo di radiazione è quello di contare punto per
punto il numero di particelle presenti. Si definisce Fluenza di particelle in un certo punto di
un mezzo materiale irradiato e si indica con il simbolo φ la quantità:
φ=
dN
dA
[φ] = m−2
(3.2)
dove dN rappresenta il numero delle particelle incidenti su una sfera di sezione massima dA
avente centro nel punto considerato. Si fa riferimento ad una sfera perchè viene cosı̀ soddisfatta
nel modo più semplice la condizione di avere la sezione elementare dA sempre perpendicolare
alla direzione d’incidenza delle particelle.
Scrivendo la 3.2 si è fatto uso della notazione differenziale in quanto la definizione deve potersi
applicare anche nel caso di campi non uniformi, nei quali quindi la fluenza varia da punto a
punto. A causa della natura statistica propria dei campi di radiazione, le variabili con le quali
si tratta sono sempre di tipo casuale. Tale è anche il numero di particelle N , il cui differenziale
dN deve intendersi come differenziale del numero medio atteso di particelle.
L’Intensità o Rateo di Fluenza di Particelle ϕ, spesso chiamata anche Densità di Flusso di
Particelle, è a sua volta definita da:
ϕ=
dφ
d2 N
=
dT
dAdT
[ϕ] = m−2 s−1
(3.3)
dove dT indica l’intervallo di tempo.
Quando si vuole esprimere l’intensità (o il rateo) di fluenza di particelle che si propaga in
3.1 Definizioni
11
una fissata direzione entro un angolo solido dΩ è utile introdurre la Radianza di Particelle P
definita come:
dϕ
d3 N
P =
=
[P ] = m−2 s−1 sr−1
(3.4)
dΩ
dAdT dΩ
in cui dΩ è misurato in steradianti [sr].
Per una descrizione più completa del campo di radiazione è però necessario considerare anche la dipendenza dall’energia cinetica E delle particelle. Ciò può essere fatto attraverso la
Distribuzione Spettrale della Radianza di Particelle PE , espressa da:
PE =
d4 N
dP
=
dE
dAdT dΩdE
[PE ] = m−2 s−1 sr−1 J −1
(3.5)
La grandezza PE rappresenta il numero di particelle di determinata energia cinetica che passa
in un certo istante in un prefissato punto dello spazio, propagandosi in una fissata direzione,
per unità di superficie perpendicolare alla direzione del loro moto, per unità di tempo, per
unità di angolo solido e per unità di energia.
Integrando la 3.5 si può pensare di ridefinire la fluenza di particelle in modo alternativo alla
3.2:
Z
Z
Z
φ=
dT
dE
PE dΩ
(3.6)
T
E
Ω
e quindi:
Z
φ=
Z
Z
dT
T
dE
E
dΩ
Ω
dN
d4 N (T, E, Ω)
=
dAdT dΩdE
dA
Valgono naturalmente anche le seguenti relazioni:
Z
P =
PE dE
E
Z Z
ϕ =
PE dEdΩ
E
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Ω
In numerose occasioni vi è maggiore interesse a conoscere l’energia totale trasportata dalle
particelle in una certa regione, piuttosto che il loro numero.
Conviene allora introdurre l’Energia Radiante R, misurata in [J], che coincide con l’energia
delle particelle (escluse quelle di quiete) emessa, trasferita o ricevuta. Come nel caso della
radianza di particelle, si usa definire la Distribuzione Spettrale dell’Energia Radiante RE :
RE =
dR(E)
dE
(3.10)
Il trasporto di energia delle particelle nello spazio può allora essere descritto per mezzo di
un’altra grandezza, la Fluenza di Energia delle Particelle Ψ:
Ψ=
dR
dA
[Ψ] = Jm−2
(3.11)
dove dR rappresenta l’energia radiante incidente su una sfera infinitesima di sezione massima
dA centrata nel punto considerato, ovvero la somma delle energie, escluse quelle di quiete, di
tutte le particelle che attraversano una sezione massima dA di tale sfera.
Anche in questo caso ha senso considerare Intensità di Fluenza di Energia o Densità di Fluenza
di Energia ψ, definta da:
ψ=
dΨ
d2 R
=
dT
dAdT
[ψ] = Jm−2 s−1 = W m−2
(3.12)
L’intensità (o il rateo) di fluenza di energia delle particelle che si propaga in una fissata direzione
entro un angolo solido dΩ si esprime mediante la Radianza di Energia r:
r=
dψ
d3 R
=
dΩ
dAdT dΩ
[r] = W m−2 sr−1
(3.13)
12
Raggi-X
Ovviamente nel caso di una distribuzione spettrale della radianza di particelle PE valogono le
seguenti relazioni:
Z
r =
EPE dE
(3.14)
ZE Z
ψ =
EPE dEdΩ
(3.15)
E Ω
Z Z Z
Ψ =
EPE dEdΩdT
(3.16)
E
Ω
T
Sempre nel caso di un campo di radiazione costituito da particelle aventi un certo spettro
di energia, si è soliti spesso far uso anche di altre funzioni di distribuzione delle grandezze
sopra definite. In particolare con φ(E) e Ψ(E) si intenderanno rispettivamente la fluenza di
particelle di energia cinetica non superiore ad E. Si tratta dunque di funzioni crescenti con
E, i cui valori limite sono φ e Ψ.
Le distribuzioni differenziali di fluenza di particelle e di fluenza di energia, alle quali ci si riferisce anche con la notazione di Spettri Differenziali, sono a loro volta definite rispettivamente
come:
φ(E)
(3.17)
dE
Ψ(E)
(3.18)
ΨE =
dE
Si noti che φE dEdA rappresenta il numero medio di particelle di energia cinetica compresa
tra E e E + dE che entrano in un volume sferico il cui cerchio di area massima è dA. Analogamente ΨE dEdA è l’energia cinetica media trasportata da particelle di energia compresa tra
E e E + dE nel predetto volume.
Le grandezze introdotte tramite le equazioni 3.17 e 3.18 sono legate dalle seguenti relazioni:
φE
ΨE
=
φ(E)
=
=
EφE
Z E
φE dE
(3.19)
(3.20)
0
Z
Ψ(E)
=
E
Z
ΨE dE =
0
E
EφE dE
(3.21)
0
Quando i precedenti integrali delle equazioni 3.20 e 3.21 sono estesi a tutte le possibili energie,
i loro valori coincidono rispettivamente con la fluenza di particelle e di energia totali.
Ha senso calcolare il valore medio dell’energia delle particelle presenti E, pesando la media sia
sulla fluenza di particelle che sulla fluenza di energia. Nei due casi si trova rispettivamente:
R Emax
EφE dE
0
Eφ =
(3.22)
R Emax
φ
dE
E
0
R Emax
EΨE dE
0
EΨ =
(3.23)
R Emax
ΨE dE
0
Poichè in generale φE è diversa da ΨE , anche i due valori medi sopra definiti saranno diversi
tra loro. In pratica, parlando di energia media di un certo campo di radiazione, è quindi
sempre opportuno specificare bene a quale dei due valori medi ci si intenda riferire [1].
3.2
Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti
Quando un fascio di raggi-X, ovvero un fascio di fotoni, attraversa un mezzo assorbente
come i tessuti del corpo umano, parte dell’energia portata dal fascio viene ceduta al mezzo a
3.2 Interazioni delle radiazioni indirettamente ionizzanti
13
causare in questo modo dei danni biologici. L’energia ceduta per unità di massa del mezzo è
nota come dose assorbita ed è una quantità molto utile nel predire i danni biologici. Tuttavia
gli eventi che correlano la quantità di dose assorbita al danno biologico sono assai complicati.
Essi sono riportati nella figura 3.2.
Figura 3.2: Effetti delle Radiazioni Indirettamente Ionizzanti
Tipicamente il primo step del processo coinvolge la collisione di un fotone e di alcuni elettroni del mezzo, risultando nello scattering della radiazione incidente e nella messa in moto
di elettroni ad alta velocità. Nell’attraversare il mezzo, l’elettrone ad alta velocità produce
una traccia, lungo la quale avvengono le ionizzazioni o le eccitazioni degli atomi, che possono
portare alla rottura dei legami molecolari e quindi ad un possibile danno. Tuttavia la maggior parte dell’energia è convertita in calore, producendo nessun effetto biologico grave se non
il riscaldamento locale del tessuto stesso. Alcuni elettroni di alta velocità possono collidere
con il nucleo dell’atomo del mezzo producendo radiazione di Bremsstrahlung che a sua volta
può subire delle interazioni del tutto analoghe a quelle che accadono alla radiazione incidente
sul mezzo. Tipicamente per il range di energie utilizzato in radiologia e per mezzi tessutoequivalenti sono richieste circa 30 interazioni prima che tutta l’energia del fotone sia convertita
in movimento elettronico.
I raggi-X possono interagire con il mezzo assorbitore e risultare nella messa in moto di elettroni attraverso quattro importanti meccanismi, noti come Effetto Fotoelettrico, Scattering
Incoerente o (Compton), Scattering Coerente o (Rayleigh), Produzione di Coppie. Da notare
che i quattro processi spesso avvengono contemporaneamente all’interno dello stesso mezzo
irradiato, per cui la descrizione globale e deterministica di ogni singolo fenomeno diventa assai
complessa ed articolata [2].
3.2.1
Il Coefficiente di Attenuazione Lineare ed Attenuazione Esponenziale
Immaginiamo che un detector, posto ad un punto P possa registrare il numero di fotoni di
un fascio di raggi-X che lo attraversano. Se il numero di fotoni registrato è N e lo spessore
del materiale che viene interposto tra detettore e fascio incidente è ∆x, un numero n di
fotoni interagirà con il mezzo attenuatore e verrà rimosso dal fascio. Ora un fotone non può
essere fermato parzialmente dagli atomi del mezzo attenuatore. Esso si avvicinerà abbastanza
all’atomo da interagire ed essere cosı̀ rimosso o non sarà influenzato per niente. Cosı̀ il numero
n di fotoni rimosso dipenderà direttamente dal numero di fotoni presenti e dallo spessore
dell’attenuatore, ovvero
n = µN ∆x
(3.24)
dove µ è una costante di proporzionalità, definita come Coefficiente di Attenuazione Lineare. L’equazione è valida fintantochè N rimane costante, ovvero fintantochè µ∆x << 1.
14
Raggi-X
L’equazione 3.24 può essere scritta in un’altra forma. Sia ∆N il numero di fotoni rimosso dal
fascio che attraversa un mezzo assorbitore di spessore ∆x. Allora poichè N si riduce di un
fotone per ogni singola interazione, vale ∆N = −n ed otteniamo in questo modo:
∆N = −µN ∆x
(3.25)
Da notare che l’equazione 3.25 descrive come cambia il numero di fotoni di un fascio N ,
quando passa attraverso un attenuatore, mentre l’equazione 3.24 restituisce il numero di interazioni che avvengono quando il mezzo attenuatore è bombardato dal fascio di N fotoni. Per
determinare le dimensioni con cui esprimere µ, ricordiamo che N , ∆N e n sono adimensionali
in quanto numeri puri. Allora l’unità di misura sarà l’inverso di una lunghezza, per esempio
cm−1 . Supponiamo per ora che µ sia costante, anche se come si vedrà più avanti dipenderà in
maniera complicata dall’energia e dalla natura del mezzo. Riarrangiando l’equazione 3.24 si
ottiene:
n/N
(3.26)
∆x
che dimostra che µ altro non è che la frazione di fotoni che interagisce per unità di spessore
di attenuatore. Ora se scegliamo ∆x sufficientemente piccolo e calcoliamo lo spessore di un
attenuatore come somma di tanti piccoli sottili spessori, è possibile calcolare il numero totale
di fotoni che vengono trasmessi attraverso l’attenuatore integrando sul numero di fotoni che
sopravvivono ad ogni sottile spessore che compone l’attenuatore.
µ=
N = N0 e−µx
(3.27)
L’equazione 3.27 rappresenta il numero N di fotoni trasmessi attraverso un mezzo di spessore x a partire da un fascio con un numero di fotoni iniziali pari a N0 .
Il vantaggio di quest’ultima equazione è che a differenza della 3.25, valida solo quando la riduzione frazionale del numero di fotoni è piccola, l’equazione 3.27 è applicabile ad ogni spessore
di materiale [2].
Capitolo
4
La Fisica dell’Interazione
Radiazione-Materia
Indice
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Effetto Fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scattering Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Rayleigh . . . . . . .
Scattering Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 La Probabilità di collisione Compton: la formula di Klein-Nishina .
4.3.2 Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Compton . . . . . .
Produzione di Coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Attenuazione di un fascio di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I coefficienti d’interazione usati in dosimetria . . . . . . . . . . .
13
16
18
19
21
23
26
26
27
In questa sezione si considereranno brevemente i processi di interazione a cui partecipano i
fotoni all’interno di un mezzo materiale in modo molto più approfondito rispetto a quanto fatto
nei capitoli precedenti. Verranno cosı̀ poste le basi per un processo di modellizzazione necessario
per una simulazione analitica di tali fenomeni.
4.1
Effetto Fotoelettrico
Nel processo fotoelettrico, illustrato nella figura 4.1 un fotone di energia hν collide con un
atomo ed espelle uno degli elettroni legati delle shell (per esempio K, L, M o N). L’elettrone
espulso viene definito Fotoelettrone ed esce dall’atomo con energia pari ad hν − Es dove Es
rappresenta l’energia di legame dell’elettrone espulso nella sua shell. L’atomo viene lasciato in
uno stato eccitato e si possono verificare due situazioni: emissione di radiazione caratteristica
(che spesso risulta essere radiazione di fluorescenza) o emissione di elettroni Auger. Nel primo caso la lacuna lasciata dal fotoelettrone viene riempita dagli elettroni della shell esterni,
mentre nel secondo caso vengono emessi gli elettroni che determinano lo stato di eccitazione
dell’atomo, riportandolo allo stato fondamentale non eccitato.
16
La Fisica dell’Interazione Radiazione-Materia
Figura 4.1: Effetto Fotoelettrico
Il coefficiente di attenuazione lineare per il processo fotoelettrico è tipicmente rappresentato
dalla lettera graca τ ed il coefficiente massico da τ /ρ. Il coefficiente massico, come rappresentato in figura 4.2, varia in funzione dell’energia portata dal fotone ed anche in funzione del
numero atomico del materiale attraversato dalla radiazione.
Tale comportamento è dovuto principalmente al fatto che il processo dipende dallo stato di
Figura 4.2: Coefficiente Massico del Piombo per il processo Fotoelettrico in funzione
dell’energia del fotone
legame degli elettroni nel materiale preso in considerazione. La probabilità di estrarre un elettrone è massima se il fotone ha abbastanza energia per togliere l’elettrone stesso dalla shell in
cui si trova. Approssimativamente la sezione d’urto fotoelettrica varia con l’energia del fotone
incidente secondo 1/(hν)3 .
La sezione d’urto presenta, quindi, un andamento decrescente con l’energia dei fotoni, con
improvvise discontinuità in corrispondenza delle energie di soglia del processo per le differenti
orbite (K, L, M). Dette energie di soglia sono approssimativamente date dalla Legge di Moseley:
E = 13.6
(Z − σ)2
n2
[eV ]
(4.1)
4.1 Effetto Fotoelettrico
17
in cui σ è la costante di schermo che può essere assunta pari ad 1 per l’orbita K, 5 per L e
13 per M ed n è il numero quantico dell’orbita (n = 1 per K, n = 2 per L, n = 3 per M); le
discontinuità sono più evidenti e numerose per i materiali di elevato numero atomico.
È essenziale che l’elettrone sia legato per la conservazione dell’energia e della quantità di moto
del sistema fotone-atomo. Proprio per questo, la probabilità che il processo avvenga aumenta
rapidamente al crescere dell’energia di legame degli elettroni (circa l’80% di queste interazioni
interessa gli elettroni della shell K). L’energia trasferita come energia cinetica Te all’elettrone
può essere calcolata se è noto a priori l’energia di legame della shell da cui verrà espulso l’elettrone: Te = hν − Es − Ta ≈ hν − Es , avendo trascurato l’energia cinetica acquistata dall’atomo
Ta in quanto molto più piccola delle altre energie in gioco.
Rimane poi da calcolare come viene riempita la lacuna prodotta dall’espulsione dell’elettrone.
Tipicamente si presentano due casi: emissione di elettorni Auger o emissione di radiazione di
fluorescenza. Il primo predomina per elementi a basso numero atomico, il secondo per elementi
ad alto numero atomico.
Capita spesso che la radiazione di fluorescenza abbia cosı̀ poca energia che viene effettivamente
riassorbita in prossimità del fenomeno di ionizzazione. Tipicamente in una collisione fotoelettrica in un materiale a basso numero atomico si assume che l’energia in eccesso rispetto a
quella di legame sia infatti localmente assorbita.
I fotoelettroni messi in moto da fotoni a basse energie tendono ad essere espulsi ad angoli perpendicolari alla direzione del fascio e la distribuzione angolare dei fotoelettroni emessi
nell’angolo solido dΩ, per radiazione incidente non polarizzata, è data da:
sin2 θ
dN
=
dΩ
(1 − β cos θ)2
(4.2)
dove θ è l’angolo tra la direzione del fotone incidente e il fotoelettrone e β è il rapporto tra la
velocità del fotoelettrone e la velocità c del fotone.
Figura 4.3: Distribuzione angolare del fotoelettrone al variare dell’energia incidente del fotone
Essa presenta dei lobi simili a quelli mostrati in figura 4.3. Al crescere dell’energia dei
fotoni, i lobi tendono ad allinearsi verso la direzione di propagazione del fascio. La radiazione
di fluorescenza al contrario viene emessa isotropicamente.
Una valutazione esatta della sezione d’urto atomica per l’effetto fotoelettrico richiederebbe una
trattazione teorica piuttosto complicata ed inoltre non esiste nessuna espressione analitica che
sia in buon accordo con i dati sperimentali per ogni energia dei fotoni.
Sperimentalmente si è trovato che la dipendenza della sezione d’urto dal numero atomico Z
dell’elemento considerato è del tipo: σF otoelettrico ∝ Z n dove l’esponente n varia da 4 a 4.6 in
un range energetico che varia da 100 KeV a 2.62 MeV.
18
4.2
Scattering Rayleigh
Nel processo di Scatter Coerente (o Rayleigh) non si ha nessuna conversione dell’energia
della radiazione in energia cinetica di particelle secondarie, ma essa viene totalmente diffusa.
Il processo è rappresentato schematicamente nella figura 4.4 dove viene mostrata un’onda elettromagnetica con lunghezza d’onda λ che incide su un atomo.
Lo scattering Rayleigh viene spesso anche chiamato Scattering Classico, dato che è spiegabi-
Figura 4.4: Scattering Coerente
le interamente tramite un approccio basato sulla fisica classica. Quando un fascio di fotoni,
ovvero classicamente parlando un’onda elettromagnetica, investe un elettrone, quest’ultimo
viene momentaneamente accelerato dal campo elettrico dell’onda incidente ed irraggia energia
secondo le leggi dell’elettrodinamica con una lunghezza d’onda λ0 pari a quella della radiazione
incidente λ. Questo processo viene chiamato Scattering Thomson e come detto precedentemente la sezione d’urto di tale processo può essere calcolata dalla fisica classica.
Le onde scatterate dagli elettroni all’interno dell’atomo si combinano e interferiscono tra loro
per formare l’onda elettromagnetica diffusa. Lo scattering risulta perciò da un fenomeno cooperativo e viene quindi definito come coerente.
Figura 4.5: Propagazione di un’onda elettromagnetica nello spazio
~ e magneSi immagini un’onda elettromagnetica rappresentata dal suo vettore elettrico E
~
tico B ortogonali alla direzione di propagazione, come mostrato in figura 4.5 che si propaga a
velocità della luce c. Questo perchè qualsiasi radiazione non polarizzata è comunque scomponibile nelle sue componenti in onde polarizzate.
Si consideri il caso di un’elettrone investito da un’onda che si muove in direzione ẑ con un
angolo θ nel piano XZ. L’elettrone subisce allora delle accelerazioni che saranno legate ai
campi dell’onda elettromagnetica nel seguente modo:
Ex = Ex0 eiωt
−→
iωt
−→
Ey = Ey0 e
~r¨x = eEx /me
~r¨y = eEy /me
(4.3)
4.2 Scattering Rayleigh
19
~
L’energia incidente per unità di area su un elettrone è data dal Vettore di Poynting S:
Sx = c0 Ex2 ẑ
Sy = c0 Ey2 ẑ
(4.4)
Utilizzando la Formula di Larmor e facendo la media sul tempo si ottiene l’intensità della
radiazione diffusa in un angolo solido dΩ:
dW
e4 cos2 θ
−
Sx dΩ
dΩ =
dt x
16π 2 m2e 20 c4
dW
e4 cos2 θ
Sy dΩ
−
dΩ =
dt y
16π 2 m2e 20 c4
(4.5)
Considerando fotoni non polarizzati, ovvero Sx = Sy = S/2, definendo la sezione d’urto
differenziale come l’energia irradiata per unità di tempo e angolo solido su energia incidente
per unità di tempo e area si ottiene:
1 + cos2 θ
e4
r2
dσ0
=
= 0 (1 + cos2 θ)
2
2
2
4
dΩ
16π me 0 c
2
2
(4.6)
Figura 4.6: Sezione Differenziale d’Urto Thomson
0
La quantità dσ
dΩ è chiamata coefficiente classico di scattering per elettrone e per unità di
angolo solido. È spesso chiamata anche Coefficiente Thomson e dato che non viene ceduta
energia all’elettrone, la frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione scatterata sono le
stesse di quelle incidenti. Può venir considerata perciò come una frazione del numero di fotoni
diffusi per unità di angolo solido ad un determinato angolo θ.
In figura 4.6 è mostrato l’andamento in funzione dell’angolo della sezione d’urto Thomson:
◦
0
si nota che per θ = 90◦ il valore di dσ
dΩ è circa metà rispetto ai valori per θ = 0 e θ =
◦
180 , significando che l’elettrone diffonde energia maggiormente nella direzione di propagazione
dell’onda incidente o nella direzione opposta.
20
Ora integrando sull’angolo solido dΩ = 2π sin θdθ per tutti i possibili angoli θ, si ottiene la
sezione d’urto totale dello scattering Thomson per un elettrone:
σ0 =
8
e4
= πr02 = 66.525 ∗ 10−30
2
4
2
6πme 0 c
3
m2
(4.7)
Come si è notato questa sezione d’urto risulta essere indipendente dall’energia del fotone
incidente.
4.2.1
Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Rayleigh
Come detto nei paragrafi precedenti, all’interno dell’atomo ci sono più elettroni legati che
contribuiscono alla diffusione Rayleigh. Lo scattering di differenti parti della nuvola atomica
si combina per dare uno scatter coerente, ovvero una diffusione in cui si ha una radiazione
diffusa della stessa lunghezza d’onda della radiazione incidente. Questo processo si manifesta
soprattutto ad energie basse per valori di Z elevati, dove le elevate energie di legame degli
elettroni non permettono il manifestarsi dell’effetto Compton. Il processo può essere descritto
sin( θ2 )
in cui λ rappresenta la lunghezza d’onda del fotone
in termini del parametro X =
λ
incidente e θ l’angolo a cui viene diffuso il fotone. Allora è possibile calcolare la sezione d’urto
differenziale per lo scattering Rayleigh utilizzando dei valori tabulati che descrivono il risultato
dell’interferenza e combinazione dei singoli elettroni a partire dal parametro X, introducendo
la funzione F (X, Z) chiamata Fattore di Forma Atomico:
r2
dσ0
dσRayleigh
= 0 (1 + cos2 θ)[F (X, Z)]2 =
[F (X, Z)]2
dΩ
2
dΩ
(4.8)
Il grafico 4.7 riporta la sezione d’urto del processo di scattering coerente in funzione dell’energia
e dell’angolo: la funzione di correzione modula la sezione d’urto di Thomson, spostando la
probabilità del processo ad angoli θ piccoli e quindi il processo risulta importante per angoli
lungo la direzione di propagazione.
Figura 4.7: Sezione Differenziale d’Urto Rayleigh con F(X,Z) tabulata
4.3 Scattering Compton
21
Una semplice approssimazione del fattore di forma atomico è stata proposta da Viegele,
utilizzando il modello di Thomas-Fermi:
h
i
0.388
θ
137
sin
F (U ) = Z 1 − e−0.3 e−1.49U
+ 0.00327
con U = 2
(4.9)
2
αZ 1/3
dove α = hν/me c2 . Come è possibile osservare dalla figura 4.8 è possibile notare delle differenze
tra i valori della sezione d’urto calcolata con il modello di Thomas-Fermi e quella calcolata
con i dati tabulati, che tuttavia rispecchia meglio i dati sperimentali.
Figura 4.8: Sezione Differenziale d’Urto Rayleigh secondo il modello di Thomes-Fermi
Approssimativamente si può scrivere la sezione d’urto del processo Rayleigh come:
σRayleigh ∝ (hν)−2 Z 2.5
(4.10)
Si tratta quindi di un effetto che assume rilievo nei materiali pesanti ed alle basse energie. In
tali condizioni esso è tuttavia molto meno importante dell’effetto fotoelettrico, che è responsabile dell’attenuazione del fascio di fotoni per oltre il 95%.
La sezione d’urto σRayleigh dello scatter coerente decresce rapidamente con il crescere dell’energia dei fotoni e sono del tutto trascurabili per energie che superano il MeV per materiali di
basso numero atomico. Lo scatter coerente avviene principalmente nella direzione del fascio
primario, cosicchè l’effetto del processo è quello di aumentare la larghezza angolare del fascio
stesso.
Di questo processo si deve tuttavia tener conto ai fini della valutazione dei coefficienti d’interazione e nei problemi di trasporto della radiazione, come verrà mostrato nei capitoli successivi.
4.3
Scattering Compton
Lo Scattering Compton di fotoni, detto anche Diffusione Compton, cioè la diffusione di
fotoni da parte di elettroni liberi è uno degli esperimenti fondamentali a conferma del concetto di quanto di un’onda elettromagnetica. Dal punto di vista dell’elettromagnetismo classico
infatti il cambiamento di frequenza dei fotoni diffusi, sperimentalmente osservato in funzione
22
dell’angolo, non può essere spiegato. Esso trova invece una spiegazione naturale se si ammette
che la radiazione incidente di frequenza ν sia descrivibile come un fascio di fotoni ciascuno dei
quali ha un’energia hν e che la diffusione sia descrivibile come un urto anelastico tra i fotoni
del fascio radiante e gli elettroni liberi del mezzo. Infatti si ipotizza che l’energia del fotone
incidente sia maggiore dell’energia di legame dell’elettrone orbitale. Nell’interazione il fotone
viene diffuso in una direzione diversa da quella di incidenza, mentre a sua volta l’elettrone
viene messo in moto con una certa energia cinetica. Si tratta, come detto precedentemente
di un processo anelastico a causa della frazione di energia spesa per vincere l’energia di legame dell’elettrone, ed incoerente, poichè gli elettorni si comportano come se fossero liberi,
diffondendo liberamente uno dall’altro. La cinematica del processo è mostrata in figura 4.9.
Figura 4.9: Scattering Incoerente
Imponendo la conservazione dell’energia si ottiene la relazione:




1
hν − hν 0 = E = m0 c2 q
−1
2


1 − vc2
(4.11)
mentre imponendo la conservazione dell’impulso, assegnando l’impulso p al fotone incidente,
p0 a quello diffuso e q all’elettrone, la somma di p0 e q deve uguagliare p, il che significa:
q 2 = p2 + (p0 )2 − 2pp0 cos θ
(4.12)
che può essere scomposta in due componenti:
hν
hν 0
m0 v
=
cos θ + q
cos φ
2
c
c
1 − vc2
(4.13)
hν 0
m0 v
sin θ = q
sin φ
2
c
1 − vc2
(4.14)
Eliminando v e φ dalle precedenti equazioni si ottiene:
hν
hν 0 = hν
1+
(1
−
cos
θ)
me c2
(4.15)
che può essere scritta, ricordando che ν = c/λ, in funzione della lunghezza d’onda come
λ0 − λ =
h
(1 − cos θ)
me c
o ancora esprimendo l’equazione in funzione dell’energia dei fotoni
1
1
1
−
=
(1 − cos θ)
0
E
E
me c2
(4.16)
(4.17)
23
avendo indicato con E 0 = hν 0 l’energia del fotone diffuso e con E = hν l’energia del fotone
incidente. La quantità mhe c = 2.42 ∗ 10−12 m delle formule precedenti, viene chiamata la
lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.
La sezione d’urto del processo è data, classicamente dalla formula di Thomson
dσ
1 + cos2 θ
= re2
dΩ
2
(4.18)
dove
e2
= 2.82 10−15 m
me c2
è il cosidetto raggio classico dell’elettrone.
re2 =
4.3.1
(4.19)
La Probabilità di collisione Compton: la formula di KleinNishina
Nel paragrafo precedente si è visto come è possibile analizzare la collisione di un fotone
con un elettrone libero in dettaglio in modo classico. Tuttavia è possibile dare una descrizione
del fenomeno secondo le leggi della meccanica quantistica. Nello stato iniziale il sistema
coinvolge un elettrone a riposo e un fotone con energia hν e momento hν/c. Lo stato finale
dell’elettrone ha energia E e momento q ad un angolo φ, mentre il fotone ha energia hν 0 e
momento hν 0 /c ad un angolo θ. Per stimare la probabilita di questa transizione, si devono
descrivere lo stato iniziale e finale del sistema attraverso adatte funzioni d’onda. Allora la
probabilità della transizione da uno stato ad un altro può essere determinata dalla meccanica
quantistica. Da una complessa analisi di questo tipo, Klein e Nishina hanno mostrato che la
sezione d’urto differenziale per unità di angolo solido è determinata dal prodotto della sezione
d’urto differenziale classica di Thomson per un fattore FKN dove, imposto α = mhν
2 , si ha:
ec
1
dσ
1 + cos2 θ
=re2
×
dΩ
2
[1 + α(1 − cos θ)]2
(4.20)
α2 (1 − cos θ)2
× 1+
(1 + cos2 θ)[1 + α(1 − cos θ)]
e quindi
FKN =
α2 (1 − cos θ)2
1
1
+
[1 + α(1 − cos θ)]2
(1 + cos2 θ)[1 + α(1 − cos θ)]
(4.21)
FKN è sempre minore di 1.0 e quando α è piccolo tale funzione tende al valore 1.0 mentre
l’equazione 4.20 si riduce all’espressione classica della sezione d’urto differenziale di Thomson,
come accade anche se l’angolo θ = 0 e l’elettrone rinculato non acquista nessuna energia.
L’equazione 4.20 è interpolata e mostrata in figura 4.10 per diversi valori di energia dei
fotoni incidenti a diversi angoli di diffusione θ.
Per trovare la probabilità totale che un fotone interagisca con un elettrone libero attraverso
un processo Compton, l’equazione 4.20 deve essere moltiplicata per l’elemento di angolo solido
dΩ = 2π sin θdθ ed integrata su tutti i possibili angoli θ. In questo modo si ottiene la sezione
d’urto totale del processo Compton tra un elettrone ed un fotone:
(
1+α
2(1 + α) ln(1 + 2α)
3
σComptonT ot = σ0
−
+
4
α2
1 + 2α
α
)
(4.22)
ln(1 + 2α)
1 + 3α
+
−
2α
(1 + 2α)2
Per valori di α = 0 questa sezione d’urto si riduce a quella classica totale di Thomson σ0 .
Al fine di calcolare la frazione di energia cinetica trasferita alle particelle cariche in ogni
24
Figura 4.10: Sezione Differenziale d’Urto Klein-Nishina
singolo processo Compton, si moltiplica la sezione d’urto differenziale dell’equazione 4.20 per
la frazione di energia trasferita all’elettrone, ottenendo:
dσtr
1 + cos2 θ
α(1 − cos θ)
= re2
FKN
(4.23)
dΩ
2
1 + α(1 − cos θ)
che integrata come precedentemente permette la stima del coefficiente totale di trasferimento per il processo Compton:
σtr
(
3
(1 + 3α)
(1 + α)(1 + 2α − 2α2 )
2(1 + α)2
= σ0
−
+
−
2
2
4
α (1 + 2α) (1 + 2α)
α2 (1 + 2α)2
)
4α2
1+α
1
1
−
−
−
+
ln(1 + 2α)
3(1 + 2α)3
α3
2α 2α3
(4.24)
Come si può notare dalla figura 4.11, la sezione d’urto di trasferimento di energia cresce con
il crescere dell’energia fino a circa 0.5 MeV per poi decrescere progressivamente all’aumentare
dell’energia.
Si definisce poi anche il coefficiente di scatter per il processo Compton σs , ottenuto come
differenza tra la sezione d’urto totale ed il coefficiente di trasferimento totale:
σs = σComptonT ot − σtr
(4.25)
Per energie basse σs è all’incirca uguale alla sezione d’urto totale del processo Compton, dato
che a queste energie l’elettrone colpito non riceve praticamente nessuna energia cinetica, mentre
ad alte energie esso rappresenta solo una piccola frazione.
È ora possibile anche ricavare il valore dell’energia media trasferita all’eletttrone libero σ Ētr
per il singolo processo Compton:
σ Ētr
= hν
σtr
σComptonT ot
(4.26)
25
Figura 4.11: Sezione d’Urto totale di Klein-Nishina a diverse energie del fotone incidente
In ultima analisi, nel caso in cui l’elettrone è considerato libero, è possibile anche in seguito
ad alcuni passaggi matematici ricavare dall’equazione 4.20 la sezione d’urto per la produzione
di un elettrone dσ/dE con energia compresa tra E e E + dE. La figura 4.10 mostra l’andamento in funzione dell’energia di tale probabilità. Le curve, ognuna delle quali relative ad una
singola energia iniziale del fotone, mostrano tutte più o meno lo stesso andamento: presentano un picco alla massima energia possibile che l’elettrone può acquisire e un picco iniziale
a cui corrisponde una energia nulla ed un minimo compreso tra i due picchi. Quindi si può
concludere che in un processo Compton è più probabile che vengano prodotti elettroni a bassa
o alta energia che elettroni aventi un’energia intermedia. L’area sotto una determinata curva
rappresenta la sezione d’urto totale del processo Compton per quella energia.
4.3.2
Effetto dell’Energia di Legame nello Scattering Compton
Finora si è ipotizzato che l’elettrone sia libero e stazionario. In realtà si deve tener conto che
gli elettroni nell’atomo si trovano in uno stato legato e che è richiesta dell’energia per espellere
dalla shell dell’atomo gli elettorni. Naturalmente la conoscenza della posizione e della velocità
di un elettrone in un atomo implica una conoscenza delle funzioni d’onda di tutti i singoli
elettroni all’interno dell’atomo stesso. Anche se si fosse a conoscenza di tali funzioni d’onda
rimane il problema della stima della probabilità di transizione che per essere calcolata implica
passaggi molto complessi.
Tuttavia si può procedere con la seguente approssimazione, ovvero considerare solo lo stato
legato e non le quantità di moto portata dagli elettroni del mezzo. La probabilità Compton
viene rappresentata come prodotto di due fattori, A e B. Il primo fattore A è dato dalla sezione
d’urto di Klein-Nishina calcolata dalla elettrodinamica quantistica per un elettrone libero. Essa
rappresenta la probabilità che un fotone sia diffuso ad un angolo θ e l’elettrone acquisti un
momento q come se fosse libero. Il secondo fattore B rappresenta la probabilità che l’elettrone
che ha ricevuto un momento q da un fotone, lasci l’atomo con energia E. Ovviamente il
secondo fattore B implica la conoscenza di alcune proprietà dell’atomo. Quest’ultimo fattore
B risulta essere molto importante per collisioni in cui il momento trasferito q è piccolo tanto
che l’elettrone può avere una probabilità finita di non scappare dall’atomo.
Il momento trasferito è calcolato a partire dall’equazione 4.12:
r
q=
(hν)2
(hν 0 )2
2hνhν 0
+
−
cos θ
c2
c2
c2
(4.27)
26
Per fotoni a bassa energia (α piccolo) l’elettrone acquista poca energia e quindi vale hν ≈ hν 0 .
Allora il momento q diventa:
s
hν p
hν
θ
2hν
θ
q≈
2(1 − cos θ =
4 sin2
=
sin
(4.28)
c
c
2
c
2
sin( θ )
Ora se definiamo X = λ 2 e sapendo che c = λν si ottiene q = 2hX.
Quindi il momento trasferito all’elettrone è proporzionale al parametro X che dipende dall’angolo di scatter θ e dall’energia del fotone secondo λ.
Il fattore B può anche esser calcolato utilizzando la meccanica quantistica determinando la probabilità che un elettrone in seguito ad una collisione Compton venga espulso con un momento
q. Il fattore B viene tipicamente rappresentato da una funzione S(X, Z), chiamata Funzione
di Scatter Incoerente che dipende da X e dal numero atomico del mezzo considerato Z. Al
giorno d’oggi esistono tabulazioni di tale funzione che permettono la stima corretta della probabilità differenziale del processo Compton. Nella libreria EPDL97 (Evalueted Photons Data
Libreries) i dati sono salvati in file ENDF/B. Gli stessi dati vengono utilizzati anche in tutte
le simulazioni MonteCarlo in quanto sono accettati e revisionati sia dall’IAEA (International
Atomic Energy Agency) che dagli autori Dermott E. Cullen, John H. Hubbell e Lynn Kissel
della University of California per conto del Lawrence Livermore National Laboratory. Allora
la sezione d’urto differenziale è riscrivibile come:
dσCompton
dσIncoerente
=
S(X, Z)
dΩ
dΩ
(4.29)
mentre la sezione d’urto totale può essere cacolata solo integrando numericamente e non
analiticamente la dσIncoerente
:
dΩ
Z
π
σIncoerente =
θ=0
r02
FKN S(X, Z)2π sin θdθ
2
(4.30)
Nei grafici seguenti, riportati in figura 4.12 è possibile notare come le sezioni d’urto differenziali
calcolate con l’equazione 4.29 siano assai diverse dalle sezioni d’urto differenziali di KleinNishina (in cui non si è tenuto conto dell’energia di legame dell’elettrone) soprattutto per
energie basse, a dimostrazione di quanto detto in precedenza.
Tuttavia come precedentemente mostrato per lo scattering coerente, Viegele ha utilizzato il
modello di Thomas-Fermi per dare una relazione analitica alla funzione di scatter incoerente in
modo da poter calcolare matematicamente l’equazione 4.30. Secondo tale modello la funzione
S(X, Z) è calcolabile come:
h
i
0.858
2 137
θ
)
S(V, Z) = Z 1 − e−(4.88V
dove
V =
sin
(4.31)
2
3 αZ 3
2
in cui come al solito α = hν/me c2 . Nella seguente immagine 4.13 è possibile osservare la
differenza con i valori ottenuti utilizzando invece i valori tabulati della funzione di scatter
incoerente.
Figura 4.12: Sezione d’Urto Comtpon con S(x,Z) tabulata
Figura 4.13: Sezione d’Urto Compton con S(x,Z) secondo il modello Thomas-Fermi
27
28
4.4
Produzione di Coppie
Nella creazione di coppie il fotone viene assorbito e la sua energia viene in parte trasferita
in massa di quiete di una coppia elettrone-positrone e in parte come energia cinetica di queste
due particelle. Dai principi di conservazione dell’energia e del momento si può vedere che
questo effetto è possibile soltanto nel campo coulombiano di un nucleo o di un elettrone.
Si tratta ovviamente di un processo a soglia, che può aver luogo, nel campo del nucleo, soltanto
quando hν ≥ 2me c2 = 1.022M eV . La quantità di energia trasformata in energia cinetica della
coppia di particelle prodotte è Ee+ + Ee− = hν − 2me c2 e l’energia non si distribuisce in parti
uguali tra le due particelle, in quanto il positrone mediamente tende a riceverne un po’ di più
dell’elettrone a causa della repulsione da parte del nucleo, ma questa differenza finisce con lo
scomparire al crescere dell’energia. Successivamente il positrone si annichila emettendo due
quanti da 511 KeV in direzioni opposte. La produzione di coppie può avvenire anche nel campo
coulombiano di un elettrone orbitale. In questo caso si ha una produzione di una tripletta: la
coppia elettrone-positrone, alla quale si aggiunge l’elettrone orbitale nel cui campo si produce
la coppia e che viene emesso dall’atomo. Questo processo è notevolmente meno probabile di
quello che avviene nel campo del nucleo ed ha una soglia in energia pari a 4me c2 . Quando
sono verificate le condizioni di approssimazione di Born, la sezione d’urto atomica del processo
di creazione di coppie nel campo di un nucleo è data da:
28
hν
218
2
ln
2
−
(4.32)
σZ
σ
=
a Coppie
9
me c2
27
Quando invece il processo avviene nel campo di un elettrone si ottiene:
28
hν
2
ln 2
−
11.3
e σCoppie = σZ
9
me c2
(4.33)
r2
e
= 5.794 ∗ 10−28 cm2 . Si noti che la sezione
in cui per entrambe le equazioni vale σ = 137
d’urto dipende dal numero atomico Z secondo Z 2 o da Z a seconda che il processo avvenga
nel campo di un nucleo o di un elettrone.
4.5
Attenuazione di un fascio di fotoni
Si consideri ora un fascio collimato di fotoni incidenti su un assorbitore di densità ρ in
condizione cosiddette di buona geometria. Ci si trova in tali condizioni allorchè un rivelatore
posto sull’asse del fascio, dietro l’assorbitore, difficilmente può essere raggiunto da fotoni che
hanno subito interazioni nell’assorbitore stesso. Nella figura 4.14 è mostrato un tipico esperimento condotto in condizioni di buona geometria.
Figura 4.14: Condizioni di buona geometria
La frazione dN/N di fotoni che subisce interazioni nel tratto dl di assorbitore e non viene
quindi rilevata dal rivelatore è evidentemente data da:
4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria
29
dN
NA
=ρ
·a σtot dl
N
A
(4.34)
dove ρNA /A rappresenta il numero di atomi presenti per cm3 di assorbitore e a σtot la sezione
d’urto atomica totale, cioè la somma delle sezioni d’urto atomiche per i vari processi esaminati
nei paragrafi precedenti, ricordando che la sezione d’urto atomica è ottenuta moltiplicando
quella del singolo processo per il numero atomico Z, ovvero a σ =e σZ,:
a σtot
=a σF otoel. +a σCompton +a σRayleigh +a σCoppie
(4.35)
Nello scrivere la 4.34 si è trascurato l’effetto fotonucleare che può raggiungere un contributo
del 5-10% alle alte energie, con ciò di fatto ipotizzando per i fotoni in esame un’energia inferiore
ai 10 MeV.
Integrando la 4.33 si ottiene:
N = N0 e−µl
(4.36)
avendo posto:
µ=ρ
NA
·a σtot
A
(4.37)
Il coefficiente µ viene detto Coefficiente di Attenuazione Lineare e si misura in [m−1 ].
Facendo uso delle sezioni d’urto dei singoli processi, esso può essere disaggregato nei contributi
dovuti a ciascuno di essi:
NA
(a σF otoel. +a σCompton +a σRayleigh +a σCoppie )
A
= τF otoel. + σCompton + σRayleigh + κCoppie
µ=ρ
(4.38)
dove τF otoel. = ρ NAA ·a σF otoel. , σCompton = ρ NAA ·a σCompton , σRayleigh = ρ NAA ·a σRayleigh ,
κCoppie = ρ NAA ·a σCoppie , sono i coefficienti di attenuazione lineare rispettivamente per l’effetto
fotoelettrico, per l’effetto Compton, per la diffusuione coerente e per la produzione di coppie.
Il reciproco del coefficiente di attenuazione lineare λ = 1/µ rappresenta il libero cammino
medio, cioè lo spessore in cui l’intensità del fascio si riduce a 1/e.
4.6
I coefficienti d’interazione usati in dosimetria
Spesso, in dosimetria, anzichè del coefficiente di attenuazione lineare, si preferisce far uso
del Coefficiente di Attenuazione Massico µ/ρ, che si ottiene dividendo il primo per la densità
del mezzo. Questo nuovo coefficiente, che si esprime in [m2 Kg −1 ] ha la proprietà di essere
indipendente dallo stato fisico e dalla densità dell’assorbitore.
Tenendo conto che:
µ
NA
=
·a σ
(4.39)
ρ
A
la 4.36 può essere riscritta:
dove:
σ
µ
N = N0 e− ρ ρl
(4.40)
µ
τ
σCompton
σRayleigh
κ
= +
+
+
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
(4.41)
σ
avendo indicato con τρ , Compton
, Rayleigh
, κρ , i coefficienti di attenuazione massici rispettivaρ
ρ
mente ad ogni singolo processo fisico. L’andamento di µ/ρ e delle sue componenti in funzione
dell’energia dei fotoni è mostrato in 4.15 a titolo d’esempio nel caso del piombo.
30
Figura 4.15: Coefficiente Massico del Piombo in funzione dell’energia del fotone incidente
Se il mezzo considerato è una miscela di più elementi, il suo coefficiente di attenuazione massico µ/ρ può essere approssimativamente valutato mediante una media pesata dei coefficienti
µi /ρi degli elementi costituenti:
X
µi
µ
=
wi
(4.42)
ρ
ρi
i
dove wi è la frazione in peso dell’i-esimo elemento. La precedente equazione può anche
essere utilizzata nel caso di composti chimici in quanto le energie di legame chimico tra gli
atomi delle molecole sono molto modeste. La sua applicazione fornisce ottimi risultati, specie
per energie superiori ai 10 MeV, dove gli errori risultano minori di qualche %. Al decrescere
dell’energia aumentano le incertezze, che possono comportare un errore anche di un fattore 2
nell’intervallo compreso tra 10 e 100 eV.
Quando ci si voglia riferire solo alla parte di energia dei fotoni primari che è stata trasferita
sottoforma di energia cinetica delle particelle secondarie cariche messe in moto, si introduce
un altro coefficiente, il Coefficiente di Trasferimento di Energia Massico, µtr /ρ definito come:
µtr
1 dEtr
=
ρ
ρEN dl
(4.43)
tr
in cui dE
EN , rappresenta appunto la frazione dell’energia dei fotoni incidenti trasferita in
energia cinetica di particelle cariche secondarie a causa delle interazioni subite nel tratto dl
del mezzo di densità ρ. Nel computo di µtr /ρ si devono dunque escludere tutte le cessioni
di energia che non ricompaiono sotto forma di energia cinetica dei secondari carichi messi in
moto.
Si possono naturalmente esplicitare i contributi relativi ai vari effetti, analogamente a quanto
fatto nella 4.41 a proposito del coefficiente massico:
µtr
τtr
=
+
ρ
ρ
tr σCompton
ρ
+
κtr
ρ
(4.44)
σ
dove τρtr , tr Compton
, κρtr , rappresentano i coefficienti di trasferimento di energia massici
ρ
relativi ai singoli processi. In particolare:
τtr
τ
δ
=
1−
(4.45)
ρ
ρ
hν
avendo indicato con δ l’energia emessa in media per fluorescenza per ogni fotone assorbito
per effetto fotoelettrico;
4.6 I coefficienti d’interazione usati in dosimetria
tr σCompton
ρ
=
σCompton E e
ρ
hν
31
(4.46)
avendo indicato con E e l’energia media degli elettroni Compton per fotone assorbito;
κtr
κ
2me c2
=
1−
(4.47)
ρ
ρ
hν
Da notare che non viene considerata la diffusione coerente in quanto non si ha nessun
trasferimento di energia nel mezzo assorbente. Analogamente a quanto fatto per il coefficiente
massico, per valutare il coefficiente massico di trasferimanto di un composto vale la relazione:
X µtr
µtr
=
wi
(4.48)
ρ
ρ i
i
Quando infine si è interessati a conoscere l’energia effettivamente depositata in un certo
elemento di volume, è necessario far uso del Coefficiente di Assorbimento di Energia Massico
µen /ρ definito come:
µtr
µen
=
(1 − g)
ρ
ρ
(4.49)
avendo indicato con g la frazione di energia che i secondari carichi dissipano in radiazione
di frenamento nel materiale di interesse. I valori numerici di g risultano elevati alle alte energie
e nei materiali pesanti, mentre sono del tutto trascurabili per materiali biologici ed energie
utilizzate in ambito medico. Pertanto i valori µtr /ρ ≈ µen /ρ e sono quindi apprezzabilmente
diversi soltanto quando le energie delle particelle cariche prodotte sono molto maggiori della
loro energia di quiete e specialmente nel caso di materiali di elevato numero atomico [1].
Merita di essere sottolineato il fatto che dal momento che le sezioni d’urto dei singoli processi
dipendono dall’energia dei fotoni incidenti e dal numero atomico del materiale irradiato, anche
tutti i coefficienti, sia quelli lineari che massici, dipendono dall’energia e dal numero atomico:
µ
µ
= (E, Z)
ρ
ρ
µtr
µtr
=
(E, Z)
ρ
ρ
µen
µen
=
(E, Z)
ρ
ρ
32
Capitolo
5
Dosimetria
Indice
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Le Condizioni di Equilibrio . . . . . . . . . .
L’Energia Impartita . . . . . . . . . . . . . . .
La Dose Assorbita . . . . . . . . . . . . . . . .
Il calcolo della Dose Assorbita . . . . . . . . .
Il Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Dose Assorbita e il Kerma . . . . . . . . .
La Misura della Dose Assorbita . . . . . . . .
Dose-Area Product DPA . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Valutazione della dose agli organi . . . . . . .
.
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. . . .
. . . .
. . . . .
31
32
32
33
34
34
36
39
41
In questo capitolo si affrontano argomenti legati alla dosimetria; vengono definite le principali
definizioni ed esposto il problema della misura della grandezza dose assorbita.
Gli effetti indotti dal passaggio di radiazioni ionizzanti nella materia hanno all’origine processi di ionizzazione ed eccitazione. Nel caso dell’organismo umano il trasferimento di energia
dalle particelle ionizzanti ai vari tessuti e organi irradiati può concludersi con la manifestazione
di un certo effetto biologico.
Il problema fondamentale è quello di mettere in relazione gli effetti osservati con le caratteristiche fisiche del campo di radiazione. Poichè tutti gli effetti, sia biologici che fisici e
chimici, indotti dalle radiazioni ionizzanti si manifestano soltanto quando avviene una cessione di energia alla materia, si è tentato di risolvere il problema mediante l’introduzione della
Dose Assorbita che come si vedrà più avanti coincide con l’energia assorbita dall’unità di massa
del mezzo. La misura o il calcolo della dose assorbita costituisce il principale obiettivo della
Dosimetria.
Oltre alla dose assorbita, sono state introdotte in dosimetria, altre grandezze fisiche che vengono comunemente dette grandezze dosimetriche allo scopo di descrivere le varie fasi dei processi
di trasferimento di energia [1].
5.1
Le Condizioni di Equilibrio
Si parla in genere di Equilibrio di Radiazione in un certo punto di un mezzo irradiato
quando il valore atteso dell’energia radiante che entra in un volume infinitesimo intorno a quel
34
Dosimetria
punto è uguale a quello dell’energia radiante che ne esce.
Talvolta può accadere che in un certo punto dello spazio le condizioni sopra richiamate siano
verificate soltanto per un particolare gruppo di particelle. Se tali condizioni si verificanno per
le particelle cariche si parla di Equilibrio delle Particelle Cariche o se riguarda i raggi-δ si parla
di Equilibrio di raggi-δ.
Tipicamente le radiazioni indirettamente ionizzanti come i fotoni con energia minore di 1-2
MeV, a causa del loro elevato libero cammino medio, raramente soddisfano l’equilibrio di radiazione, ma poichè mettono in moto secondari carichi il cui percorso è considerevolmente minore
del libero cammino medio dei primari, viene soddisfatto l’equilibrio delle particelle cariche.
Nel rapporto ICRU80, si definisce l’equilibrio di particelle cariche quando il numero, l’energia
e la direzione delle particelle cariche si mantengono costanti nel volume d’interesse, ossia quando non varia attraverso esso la distribuzione spettrale della radianza delle particelle cariche.
Come conseguenza di tale definizione, devono essere uguali le somme delle energie cinetiche
delle particelle che entrano ed escono dal volume considerato [1].
5.2
L’Energia Impartita
L’Energia Impartita in un certo volume di un mezzo irradiato da particelle ionizzanti che
lo attraversano è la grandezza basilare della dosimetria delle radiazioni. In accordo con la
definizione data nel rapporto ICRU80 è data da:
= Rin − Rout +
X
Q
[J]
(5.1)
dove Rin rappresenta l’energia radiante incidente nel volume considerato, cioè la somma delle
energie (escluse quelle di quiete) di tutte le particelle direttamente e indirettamente ionizzanti
che entrano nel volume considerato, Rout l’energia radiante uscente dallo stesso volume, cioè
la somma delle energie (escluse quelle
P di quiete) di tutte le particelle direttamente e indirettamente ionizzanti che ne escono e
Q la somma di tutte le energie liberate, diminuita della
somma di tutte le energie consumatePin ogni trasformazione di nuclei e particelle elementari
avvenuta in tale volume (in pratica
Q rappresenta l’energia spesa per aumentare la massa
del sistema).
L’energia impartita è una grandezza stocastica e come tale è soggetta a fluttuazioni casuali
che possono essere molto grandi sia se ci si riferisce ad elementi di volume di dimensioni particolarmente ridotte, sia se la densità di flusso delle particelle cariche presenti è particolarmente
modesta e per questo motivo si introduce il valor medio, indicato con .
Ovviamente danno contributo a soltanto le particelle ionizzanti che interagiscono nel volume
considerato; particelle che vi entrano e ne escono senza subirvi interazioni non danno invece
alcun contributo, in quanto la loro energia cinetica si mantiene la stessa in ingresso e in uscita.
Cosı̀ come è stata definita, quindi, dipende dal volume di interesse e dal tempo di osservazione prescelto. Si è allora data una definizione alternativa di come somma dei contributi
indipendenti dal tempo e dal volume associati ai vari processi elementari di base:
=
X
∆i
(5.2)
i
dove ∆i è l’energia impartita in ciascuno degli i eventi discreti che si verificano nel volume
considerato, ovvero quella frazione dell’energia cinetica delle particelle interagenti che viene
convertita in forme di energia diversa dall’energia cinetica di particelle ionizzanti o in energia
di quiete di nuclei o di particelle elementari.
I singoli contributi ∆i in cui la viene disaggregata risultano quindi indipendenti dal tempo
di osservazione e dal volume, cosicchè la dipendenza di da queste due variabili discende dalla
distribuzione nello spazio e nel tempo dei processi di base che li originano [1].
5.3 La Dose Assorbita
5.3
35
La Dose Assorbita
La grandezza stocastica energia impartita serve per introdurre la definizione della più
importante delle grandezze dosimetriche, la Dose Assorbita D:
D=
d
dm
(5.3)
in cui d rappresenta il valor medio dell’energia impartita nel volume di massa dm. Per
determinare il valore della dose assorbita in un punto con l’equazione 5.3, sono necessari due
passaggi al limite. Il primo riguarda la valutazione di che, in linea di principio, richiede
ripetute esposizioni di elementi finiti di massa nel campo di radiazione interessato con relativa
operazione di media dei valori misurati. Il valor medio è cosı̀ proporzionale alla dose assorbita
media, dalla quale si può passare alla dose assorbita nel punto di interesse facendo tendere a
zero la massa dell’elemento di volume considerato:
1 = lim
m→0 m
V →0 ρ V
D = lim
(5.4)
Nel sistema internazionale, la dose assorbita si misura in Gray [Gy], dove 1Gy = 1J/Kg. Si
definisce anche il Rateo o Intensità di Dose Assorbita, Ḋ come:
Ḋ =
dD
dt
(5.5)
misurato in Gys−1 e in cui dt rappresenta l’unità di tempo misurato in secondi [1].
5.4
Il calcolo della Dose Assorbita
Il calcolo della dose assorbita in un punto di un mezzo irradiato risulta essere un problema
assai arduo da risolvere. Ipotizzando che nel volume di interesse ci sia un numero di processi
elementari per unità di massa dN/dm e che per ciascun processo il valore medio di ∆ sia ∆,
il valore della dose assorbita può essere calcolato come:
D=
dN
∆
dm
(5.6)
Si consideri dapprima il caso in cui le deposizioni di energia nel mezzo siano dovute a particelle
soltanto di un certo tipo. Per applicare la 5.5 è necessario valutare il numero di interazioni che
tali particelle subiscono nell’unità di volume e l’energia ceduta in media in ciascuna interazione. Per ottenere la prima quantità basta moltiplicare la fluenza di particelle per la relativa
probabilità di interazione per unità di lunghezza, che per un fascio di fotoni risulta essere il
coefficiente di attenuazione lineare µ. Se è verificata la condizione di equilibrio delle particelle
cariche, il calcolo della dose assorbita, per un fascio di fotoni, può essere infatti effettuato a
prescindere dalla conoscenza della fluenza di particelle cariche nel punto di interesse. Si può
infatti dimostrare che in tali condizioni vale:
Z
µen (E)
D=
ΨE,u dE
(5.7)
ρ
avendo per semplicità considerato il caso in cui siano presenti particelle indirettamente ionizzanti di un solo tipo di fluenza d’energia differenziale ΨE,u e avendo indicato con µen (E)/ρ il
coefficiente di assorbimento di energia massico del mezzo in questione per tali radiazioni.
Quando l’energia persa per irraggiamento dai secondari carichi messi in moto dalle particelle
primarie può essere trascurata, µen /ρ ≈ µtr /ρ, la precedente equazione si riduce a:
Z
µtr (E)
D=
ΨE,u dE
(5.8)
ρ
36
Dosimetria
Nel caso invece di un mezzo materiale omogeneo irraggiato con particelle cariche, ipotizzando
una condizione di equilibrio dei raggi-δ ed ipotizzando la produzione di radiazione di frenamento trascurabile, come abitualmente avviene per basse energie e per bassi valori del numero
atomico, la dose assorbita può essere calcolata come:
Z
S
D = φE,p
dE
(5.9)
ρ col
rappresenta il potein cui φE,p è la fluenza differenziale di paricelle cariche primarie e Sρ
col
re frenante massico per collisione del mezzo, ovvero la perdita media di energia per unità di
percorso dovuto a collisioni anelastiche [1].
5.5
Il Kerma
Il processo di trasferimento di energia al mezzo da parte delle radiazioni indirettamente
ionizzanti avviene sostanzialmente in due fasi successive. Nella prima la radiazione primaria
mette in moto i secondari carichi. Nella seconda questi ultimi depositano l’energia attraverso
le collisioni che subiscono nel mezzo. La dose assorbita è stata introdotta per tener conto
dell’effetto finale del processo sopra illustrato. Per descivere soltanto la prima parte si è soliti
far uso in dosimetria di un’altra grandezza, il Kerma K, il cui nome trae origine da un acronimo
che in lingua inglese sta per Kinetic Energy Released to the MAtter, ed è definito come:
K=
dEtr
dm
(5.10)
dove dEtr è la somma delle energie cinetiche iniziali di tutte le particelle cariche prodotte da
particelle indirettamente ionizzanti in un certo elemento di volume di specificato materiale e
di massa dm.
Si noti che nel termine dEtr è anche inclusa l’energia che le particelle secondarie cariche
irradiano sottoforma di radiazione di frenamento e le energie di particelle cariche prodotte in
processi secondari (come per esempio gli elettroni Auger) nell’elemento di volume considerato.
Si definisce anche il Rateo o Intensità di Kerma K̇:
K̇ =
dK
dt
(5.11)
Il kerma e il rateo di kerma si esprimono nelle stesse unità di misura rispettivamente della dose
assorbita e del rateo di dose assorbita.
Nota la fluenza di energia delle particelle indirettamente ionizzanti in un punto di un mezzo il
cui coefficiente di trasferimanto di energia massico sia µtr /ρ, si può determinare il valore del
Kerma in quel punto [1]. Infatti si ha:
K=
µtr
Ψ
ρ
ovvero nel caso di particelle primarie aventi uno spettro differenziale ΨE
Z
µtr
K=
ΨE dE
ρ
5.6
(5.12)
(5.13)
La Dose Assorbita e il Kerma
Sebbene il kerma e la dose assorbita siano grandezze concettualmente assai simili, non
esiste in generale alcuna semplice relazione tra di esse. La situazione si semplifica invece
notevolmente nelle condizioni di equilibrio. Sotto questa ipotesi si suppone ulteriormente che
le perdite per irraggiamento subite dai secondari carichi messi in moto siano trascurabili. Se
5.6 La Dose Assorbita e il Kerma
37
si indica allora con d l’energia impartita in media all’elemento di volume in parola, si può
scrivere:
(5.14)
d = (dRin )c + (dRin )u − (dRout )c − (dRout )u + (dQ)u
dove (dRin )c rappresenta l’energia cinetica delle particelle cariche che enrtano nell’elemento di
volume, (dRout )c l’energia cinetica delle paarticelle cariche che ne escono, (dRin )u e (dRout )u
gli analoghi termini per le particelle neutre e (dQ)u l’energia spesa per aumentare la massa
del sistema.
Se sono verificate le condizioni di equilibrio delle particelle cariche vale:
(dRin )c = (dRout )c
per cui la 5.14 diviene:
d = (dRin )u − (dRout )u + (dQ)u
(5.15)
il secondo termine della 5.15 non rappresenta altro che l’energia trasferita al mezzo sottoforma di energia cinetica delle particelle cariche secondarie, prodotte da parte dei primari dtr .
Quindi:
d = dtr
e dunque:
d
dtr
=
=K
(5.16)
dm
dm
Dalla 5.16 si ritrova la 5.8, se si passa dal caso di uno spettro monoenergetico a quello di uno
spettro continuo.
La situazione può essere illustrata graficamente considerando un fascio di particelle indirettamente ionizzanti incidente su certo assorbitore e riportando l’andamento del kerma e della
dose assorbita in funzione dello spessore attraversato, limitatamente a profondità per le quali
sia ragionevole trascurare l’assorbimento. L’iniziale crescita della dose assorbita con lo spessore, si spiega con la crescita della fluenza dei secondari carichi messi in moto, che in ciascun
punto vi contribuiscono e si arresta quando quest’ultima raggiunge il suo massimo. Nella zona
in cui il kerma e dose assorbita sono uniformi, vi è equilibrio di particelle cariche e le due
grandezze assumono lo stesso valore. Se cosı̀ non fosse, si dovrebbe ipotizzare in tale regione
una creazione o distruzione di energia incompatibile con il principio di conservazione.
D=
Figura 5.1: Dose Assorbita e kerma in funzione della profondità
In pratica però l’assorbimento non è affatto trascurabile e tenendone conto si ottiene la
situazione mostrata nella figura 5.1. Le condizioni di equilibrio delle particelle cariche non si
verificano in un’intera regione, ma bensı̀ soltanto in un punto, dove la curva del kerma interseca
quella della dose assorbita. Vi è però un’ampia regione nella quale le due quantità si mantengono strettamente proporzionali e che diviene sede di condizioni dette di quasi equilibrio. In
queste condizioni si possono ancora applicare le relazioni ricavate in condizioni di equilibrio
pur di introdurre i necessari fattori di correzione.
Se si tiene infine conto anche delle perdite di energia per irraggiamento da parte dei secondari
38
Dosimetria
carichi, si ottiene la situazione illustrata nella figura 5.1. Le differenze tra kerma e dose assorbita tendono a diminuire, a causa della riduzione della dose assorbita nei vari punti del mezzo
irradiato, e le due curve sono quindi più vicine di quanto non lo fossero nel caso precedente. In
queste circostanze si può anche verificare come la curva della dose assorbita resti completamente al di sotto di quella del kerma, e come le due grandezze non coincidano quindi neanche nei
punti in cui siano eventualmente verificate le condizioni di equilibrio tra le particelle cariche.
Le due quantità continuano però ad essere proporzionali nella stessa regione in cui lo erano
nel caso precedente.
Alle alte energie divengono più rare le situazioni in cui sono verificate le condizioni di equilibrio
di particelle cariche. Tuttavia le differenze tra kerma e dose assorbita tendono a diminuire,
sicchè è probabile che le correzioni da apportare ad eventuali relazioni ricavate in tali condizioni siano abbastanza modeste.
Il kerma viene abitualmente usato come valore approssimato della dose assorbita nei mezzi estesi irradiati con neutroni, sebbene questa approssimazione non valga alle alte energie
(E > 30 MeV) e in prossimità della superficie di separazione di differenti mezzi.
Una significativa chiarificazione delle relazioni intercorrenti tra il kerma e la dose assorbita,
può essere ottenuta ripartendo il kerma in due componenti, una relativa a quella parte dell’energia cinetica delle particelle cariche secondarie che è successivamente spesa in collisioni,
Kerma per collisioni Kc :
µen
K
(5.17)
Kc =
µtr
e l’altra alla parte invece spesa per irraggiamento, Kerma per irraggiamento Kr :
Kr =
µtr − µen
K
µtr
(5.18)
Si noti che in virtù della seguente equazione, nell’ipotesi di radiazione neutra e di equilibrio
delle particelle cariche:
X
ntr = (dRin )u − (dRout )unon−r − Rur +
Q = tr − Rur
(5.19)
dove (dRin )u è l’energia radiante delle particelle neutre che entra nel volume di interesse,
(dRout )non−r
l’energia radiante delle particelle neutre che lascia il il volume, Rur è l’energia
u
radiante emessa sottoforma di irraggiamento
da parte delle particelle cariche originate nel
P
volume di interesse e come al solito
Q rappresenta l’energie spesa per aumentare la massa
del sistema. Allora vale:
du
Kc = tr
(5.20)
dm
mentre:
r
dRu
Kr =
(5.21)
dm
Poichè in condizioni di equilibrio di particelle cariche risulta:
= tr
dalla 5.3 e dalla 5.20 si trova:
D = Kc =
µen
Ψ
ρ
(5.22)
indipendentemente dalla presenza o meno di perdite per irraggiamento da parte dei secondari carichi, come peraltro si era già scritto per uno spettro continuo, con la 5.7 e come è
qualitativamente illustrato in figura 5.1 [1].
5.7
La Misura della Dose Assorbita
Conviene ora affrontare, seppur soltanto per gli aspetti concettuali, il problema della misura
della dose assorbita in un punto di un mezzo materiale irradiato. Per effettuare la misura in
5.7 La Misura della Dose Assorbita
39
parola si dovrebbe poter praticare una cavità intorno al punto di interessee introdurre in essa un
materiale C sensibile alla dose, cioè un dosimetro. Se il materiale C fosse della stessa natura
del materiale M costituente il mezzo irradiato, la procedura descritta non perturberebbe il
campo preesistente e il valore della dose assorbita cosı̀ determinato non risulterebbe diverso
da quello cercato.
In genere però il mezzo ed il rivelatore non sono affatto omogenei, per cui l’energia assorbita
sarà diseguale nei due diversi materiali. Per risalire dalla dose DC alla dose DM nel mezzo
imperturbato, si dovrà moltiplicare la prima per un opportuno fattore di correzione:
1
DC
f
DM =
(5.23)
La determinazione del valore del fattore di correzione f costituisce l’obiettivo fondamentale
della Teoria della Cavità, che verrà descritta nei suoi aspetti più generali.
Intuitivamente, viene da pensare che tanto più piccola è la cavità praticata intorno al punto
nel quale si vuole effettuare la misura, tanto minore è la perturbazione apportata al campo
di radiazione e tanto più vicini saranno quindi i valori di DM e DC . Si inizia quindi col
considerare una cavità piccola, definita come tale se verifica le seguenti condizioni:
• le sue dimensioni sono cosı̀ modeste rispetto al percorso dei secondari carichi messi in
moto nel mezzo, che questi perdono in essa attraversandola soltanto una piccola frazione
della loro energia;
• le sue dimensioni sono sufficientemente modeste rispetto al libero cammino medio dei
quanti primari, da poter trascurare le interazioni che questi subiscono nella cavità stessa
Per semplicità si ipotizzi che la fluenza differenziale φE,M dei secondari prodotti nel mezzo
M dai quanti primari incidenti sia uniforme e che le cessioni di energia avvengano secondo il
modello di rallentamento continuo. Sotto queste ipotesi, la presenza della cavità non perturba
la fluenza dei secondari, che risulta essere la stessa nei due mezzi. Allora la dose assorbita in
un certo punto del mezzo M è allora data da:
Z
S
dE
(5.24)
DM = φE,M
ρ col,M
Analogamente, quando è invece presente il mezzo C si può scrivere per la dose assorbita nello
stesso punto:
Z
S
DC = φE,M
dE
(5.25)
ρ col,C
Dalle due precedenti relazioni si ricava che:
R
dE
φE,M Sρ
DM
col,M
= R
S
DC
φ
dE
E,M
ρ
col,C
Dividendo a secondo membro numeratore e denominatore per
DM
=
DC
(5.26)
R
φE,M ( S
ρ )col,M dE
R
φE,M dE
R
φE,M ( S
ρ )col,C dE
R
φE,M dE
R
φE,M dE si ottiene:
(5.27)
Ora è possibile osservare che le quantità al denominatore e numeratore
secondo membro,
del
non rappresentano altro che i valori rispettivamente di Sρ
e Sρ
mediati sullo
col,M
col,C
spettro di rallentamento dei secondari carichi. Si può quindi scrivere:
S
ρ
DM
col,M
= DC
S
ρ
col,C
(5.28)
40
Dosimetria
Ponendo:
C
SM
S
ρ
col,M
= S
ρ
(5.29)
col,C
allora è possibile esprimere la dose assorbita nel mezzo a partire da quella ricavata dal dosimetro
come:
1
DM = C DC
(5.30)
SM
C
che è uno dei modi di scrivere la fondamentale relazione di Bragg-Gray. La costante SM
, una
delle più importanti in dosimetria, rappresenta quindi il rapporto tra i valori medi dei poteri
frenanti massici per collisione nei due mezzi C e M dove la media si intende effettuata sullo
spettro di rallentamento dei secondari carichi. Essa fornisce, nel caso di cavità piccola, il valore
C
da attribuire al fattore di correzione f dell’equazione 5.23. Il calcolo esatto di SM
è operazione
piuttosto complessa, in quanto presuppone la conoscenza della fluenza degli elettroni secondari nel punto di interesse, incluso quindi lo spettro dei raggi-δ. Ipotizzando che le cessioni
di energia da parte dei primari avvengano secondo il modello di rallentamento continuo ed
C
equilibrio di raggi-δ, si possono ricavare i valori si SM
. In figura 5.2, per esempio, è mostrato
l’andamento di tale parametro in funzione dell’energia degli elettroni nel caso di un dosimetro
di polietilene immerso in acqua (1), carbonio (2), alluminio (3), ferro (4) e piombo (5).
Figura 5.2: Rapporto dei poteri frenanti per un dosimetro in polietilene per diversi materiali
L’altro problema pratico da risolvere nell’applicazione della relazione di Bragg-Gray è la
realizzazione di cavità di dimensioni sufficientemente modeste, che viene quasi sempre risolto
facendo ricorso a mezzi gassosi.
Al crescere delle dimensioni della cavità, le interazioni dei fotoni primari nel materiale C
non possono più essere trascurate. Quando dette dimensioni diventano molto maggiori del
percorso dei secondari carichi provenienti dal mezzo circostante (caso della Cavità Grande) la
dose assorbita nella cavità è di fatto dovuta quasi esclusivamente alle interazioni dei fotoni
nella cavità stessa e il suo valore risulta quindi direttamente proporzionale al coefficiente di
assorbimento di energia massico (µen /ρ)C del materiale che riempie la cavità. Se si tiene conto
che la dose assorbita nel mezzo M è a sua volta determinata dal corrispondente coefficiente di
assorbimento di energia massico (µen /ρ)M si trova:
f=
(µen /ρ)C
(µen /ρ)M
(5.31)
L’andamento di tale rapporto, che spesso si usa denotare con il simbolo µC
M è mostrato in
figura 5.3 in funzione dell’energia dei fotoni, nel caso di un dosimetro in polietilene immerso
negli stessi materiali di cui alla precedente figura 5.2.
5.7 La Misura della Dose Assorbita
41
Figura 5.3: Rapporto dei coefficienti massici di trasferimento per un dosimetro di polietilene
per diversi materiali
Nel passare da una cavità piccola ad una grande, il coefficiente f cambia progressivamente
C
da SM
a µC
M . Quindi nel caso in cui le dimensioni della cavità siano confrontabili con il
percorso degli elettroni secondari, la dose assorbita nel materiale del dosimetro è causata sia
dagli elettroni messi in moto nel mezzo circostante fuori dal dosimetro, sia da quelli generati
nel materiale del dosimetro stesso. Si può allora dimostrare che vale:
C
f = dSM
+ (1 − d)µC
M
in cui vale:
(5.32)
1 − e−βg
(5.33)
βg
β essendo un coefficiente di attenuazione efficace per gli elettroni e g il percorso medio nella
cavità, pari a quattro volte il suo volume diviso per la superficie. Naturalmente, quando le
dimensioni in gioco non sono trascurabili, nel computo della dose si dovrà tener conto anche
dell’attenuaziuone subita dal fascio di fotoni primari.
C
e di µC
L’applicazione pratica delle relazioni sopra riportate, richiede il calcolo di SM
M e la
realizzazione di cavità effettivamente rispondenti alle ipotesi introdotte nella loro derivazione.
Detti problemi si semplificano però completamente quando i due mezzi M e C hanno la stesssa
C
che µC
composizione chimica. In tal caso infatti, sia SM
M valgono 1 e vale DC = DM , indipendentemente dalle dimensioni della cavità e dalle altre ipotesi introdotte precedentemente.
In realtà la richiesta di equivalenza chimica è eccessiva, bastando che siano per essi uguali i
rispettivi
coefficienti di interazione, vale a dire che abbiano lo stesso potere frenante massico
S
e lo stesso coefficiente di assorbimento di energia massico µen . Quando si verifica
ρ
coll
questa condizione i due mezzi vengono detti equivalenti e la cavità è definita omogenea. Alle
stesse conclusioni si poteva giungere servendosi del Teorema di Fano che afferma che in un
mezzo di data composizione chimica, esposto ad una fluenza uniforme di radiazione primaria,
la fluenza della radiazione corpuscolare associata è anch’essa uniforme e indipendente dalla
densità del materiale.
e µen dal numero atomico Z, in pratica è però asA causa della diversa dipendenza di Sρ
coll
sai difficile trovare dei materiali che possano considerarsi completamente equivalenti per tutte
le energie. Per quanto riguarda le interazioni dei fotoni, si è soliti associare a ciascun materiale
(composto o miscela) un numero atomico efficace Zef f , valutabile in base alla sua composizione elementare. Materiali aventi un uguale Zef f si comportano come mezzi equivalenti in
rapporto alle interazioni con i fotoni. Poichè tuttavia il coefficiente di assorbimento di energia
massico è dipendente dall’energia dei fotoni incidenti, l’equivalenza tra i due materiali è di
norma valida all’interno di un intervallo di energia.
In molte circostanze il dosimetro può avere pareti di natura diversa da quelle del rivelatore e
del mezzo circostante. Se lo spessore delle pareti è molto modesto in confronto con il percorso
dei secondari, la loro presenza non avrà alcuna influenza sull’energia assorbita nel mezzo rivelatore. Al contrario, quando le pareti sono molto spesse, l’energia depositata nella cavità è
d=
42
Dosimetria
principalmente originata da secondari carichi messi in moto da esse. Nelle varie condizioni è
possibile ricavare dalla teoria il valore da attribuire al fattore f che compare nella 5.23 [1].
5.8
Dose-Area Product DPA
Negli ultimi 30 anni le dosi assorbite dai pazienti e dagli operatori nelle procedure di radiodiagnostica sono progressivamente diminuite, grazie all’attuazione di seri programmi di radioprotezione e alla veloce evoluzione tecnologica. D’altra parte, il numero degli esami radiologici
è sensibilmente aumentato; questo giustifica il perchè la dosimetria del paziente rimane un
argomento di enorme importanza. In quest’ottica i Livelli Diagnostici di Riferimento (LDR)
introdotti nel D.Lgs.187/2000, che recepisce la direttiva Euratom 97/43, si riferiscono a livelli
di dose nelle pratiche radiodiagnostiche mediche relativamente a ben specificate tipologie di
esame, pazienti di corporatura standard o fantocci standard e determinate attrezzature.
Per agevolare il lavoro di ottimizzazione è molto più conveniente far riferimento a grandezze
fisiche facilmente misurabili ed indipendenti dai particolari fattori correttivi e fattori di peso
degli organi/tessuti wT relativi al particolare indicatore di rischio utilizzato.
Queste caratteristiche sono soddisfatte dalla grandezza fisica energia impartita al paziente, la
quale è relativamente
R semplice da valutare attraverso la misura del Kerma in aria integrato
sull’area del fascio ( A KAria dA) mediante una camera a ionizzazione piatta posta perpendicolarmente all’asse del fascio stesso. Per i raggi-X utilizzati in diagnostica, essendo generalmente
soddisfatte le condizioni di equilibrio elettronico, il Kerma può essere assunto uguale alla dose
assorbita: per questo
R motivo le camere a trasmissione (e gli elettrometri associati) per la misura della quantità A KAria dA sono denominate KAP-meter o DAP-meter.
Infatti il Dose-Area Product o Dose Areale (DAP) è definito come la dose assorbita in aria
integrata sull’area del fascio ed è espresso quindi come:
Z
DAP =
DAria dA
(5.34)
A
Questa quantità è misurabile con una camera a ionizzazione a trasmissione piatta, opportunamente calibrata avente un’area maggiore della massima sezione del
fascio utile
inserita nelle
guide poste all’uscita del tubo radiogeno; il risultato è espresso in mGy · cm2 .
Le caratteristiche di funzionamento e di prova di un DAP-meter, sono descritte nella norma
IEC 580 e tradotte in italiano nella norma CEI 62-7. Alcune delle caratteristiche che devono
avere i DAP-meter secondo le suddette norme sono di seguito indicate:
• il volume utile della camera a ionizzazione deve poter essere fissato in modo che, variando
la sezione del campo utile e mantenendo costanti tutte le altre condizioni, la corrente di
uscita della camera sia proporzionale all’area di tale sezione;
• l’attenuazione equivalente introdotta non deve superare 0.5mm Al;
• se la camera a ionizzazione è destinata ad essere montata su un diaframma luminoso, la
trasparenza di quest’ultima alla luce visibile deve essere tale da trasmettere almeno il
70% del flusso luminoso;
• l’errore totale del valore della misura indicata non deve superare il ±25%;
R
La quantità DAP = A DAria dA è indipendente dalla distanza della camera dal fuoco, almeno
finchè l’attenuazione dell’aria può essere trascurata: questa proprietà è utilizzata nella procedura di verifica della calibrazione del DAP-meter.
Infatti dalla misura di Kerma in aria sull’asse del fascio, ottenuta posizionando un rivelatore
tarato in termini di Kerma in aria in modo da poter trascurare la radiazione diffusa, note le
dimensioni del campo utile in corrispondenza del rivelatore (con una pellicola radiografica i
limiti del campo sono definiti dal 50% della densità ottica nel campo), si può confrontare il
prodotto tra il Kerma in aria misurato dal rivelatore per l’area del campo utile alla distanza
5.8 Dose-Area Product DPA
43
fuoco-rivelatore (in mGy · cm2 ) con il valore misurato dal DAP-meter ed apportare, se del
caso, le dovute correzioni.
L’utilità di uno strumento non invasivo come il DAP-meter diventa ancora più evidente alla
luce del D.Lgs.187/2000 il quale prevede, all’art. 8 p.to 8, che le attrezzature radiodiagnostiche di nuova installazione devono essere munite, se fattibile, di un dispositivo che informi lo
specialista circa la quantità di radiazioni ionizzanti prodotte dall’attrezzatura nel corso della
procedura radiologica.
La dose areale è considerata un buon indicatore del rischio radiologico, in quanto tiene conto
sia della dose erogata, sia dell’area corporea irraggiata. L’uso di un DAP-meter è vantaggioso
in quanto permette una visualizzazione in tempo reale della quantità di radiazione ricevuta
dal paziente durante un esame senza interferire con esso; lo strumento è particolarmente indicato per la dosimetria in vivo routinaria in un reparto, sopprattutto per esami che richiedono
diverse proiezioni e l’utilizzo sia di grafia che di scopia.
Con un DAP-meter, come detto, viene misurata la dose areale che viene emessa dal tubo: il
valore letto potrebbe quindi sovrastimare, per una serie di fattori, la dose areale effettivamente
impartita al paziente. Un primo fattore è costituito dalla radiazione retrodiffusa dal paziente
che dipende dall’area del fascio e dalla qualità della radiazione, ma si può considerare trascurabile ad una distanza superiore ai 30-40 cm dal paziente. Occorre poi tenere conto che il fascio
emesso può eccedere le dimensioni del paziente, percui non tutta la dose misurata dalla camera
a ionizzazione va effettivamente ad incidere su di esso. Da considerare inoltre, come fonte di
imprecisione, la radiazione diffusa dai collimatori, misurata dalla camera ma non incidente sul
paziente.
Un’altro fattore di sovrastima può essere dovuto all’assunzione, in sede di calibrazione, che il
Kerma in aria misurato sull’asse del fascio rappresenti un valore costante sull’intera area A del
campo; questa è comunque una buona approssimazione per campi di modesta ampiezza (es.
10x10 cm2 ) [19].
5.8.1
Valutazione della dose agli organi
Per la stima del rischio stocastico è necessario conoscere la dose media assorbita in ciascun
organo radiosensibile di interesse. Questa può essere determinata con l’ausilio di dosimetri
piccoli e sensibili (per esempio dosimetri termoluminescenti) posizionati sul corpo del paziente
o in cavità interne. Nei casi in cui l’organo di interesse è piccolo e situato in prossimità del
dosimetro, solo piccole correzioni alla lettura sono necessarie (per esempio il cristallino, tiroide,
gonadi maschili). Nel caso di organi di grandi dimensioni o distribuiti all’interno del corpo,
la dose assorbita media può essere determinata attraverso simulazioni in fantocci sperimentalmente o mediante calcoli.
Il principale svantaggio nell’uso di dosimetri sul/nel corpo del paziente è dovuto al fatto che la
loro applicazione disturba l’esame radiologico ed inoltre la comparsa della loro immagine può
disturbare la diagnosi.
Negli esami radiodiagnostici solo una parte limitata del corpo è esposta al campo di radiazioni:
per una valutazione del rischio radiologico è necessario quindi determinare la Dose Efficace
E. Il calcolo formale di questa grandezza definita nel ICRP60, richiede la dose ai 12 organi o
tessuti con lo specificato fattore di peso ed ai 10 organi rimanenti (ghiandole surrenali, cervello,
intestino tenue, intestino crasso superiore, rene, muscolo, pancreas, milza, timo e utero).
I fattori di peso dell’ICRP60 sono stati ottenuti con una popolazione di riferimento con uguale
numero di maschi e di femmine e per una larga fascia di età.
La dose efficace E sostituisce l’analoga grandezza Equivalente di Dose Efficace HE , introdotta
con l’ICRP26 per valutazioni di irradiazioni non uniformi ricevute in campo occupazionale,
ma gradualmente adottata come indice di dose per irradiazioni diagnostiche.
In alternativa alla determinazione della dose ai singoli organi mediante dosimetri sul/nel corpo
del paziente e/o simulazioni in fantocci, è possibile stimare la dose efficace ricavandola direttamente dalla misura di DAP, utilizzaando fattori di conversione calcolati col metodo Monte
Carlo su fantocci matematici.
44
Dosimetria
La dose agli organi è calcolata attraverso coefficienti di conversione determinati col metodo
Monte Carlo applicato ad un fantoccio rappresentativo di pazienti adulti, per diverse proiezioni
e posizioni del campo sul corpo del paziente.
I fattori di conversione, espressi in mSv/Gy · cm2 , sono poi ricavati per diversi valori di
tensione (da 50 a 140 kVp) e di filtrazione totale sul fascio (da 1,5 a 4 mm Al).
È possibile stimare con un margine di incertezza accettabile, la dose efficace anche utilizzando un numero ristretto
di coefficienti: ad esempio con un fattore di conversione pari a
0, 21 mSv/Gy · cm2 si può stimare la dose efficace in proiezioni antero-posteriori per colonna
cervicale, torace, rene, addome e pelvi con un’incertezza del 30% rispetto al valore ottenuto
utilizzando il calcolo della dose agli organi [19].
Da quanto detto risultano ora chiare le limitazioni della stima della dose assorbita utilizzando
i DAP-meter, metodo considerato ormai come convenzionale e standard:
• necessaria calibrazione al variare di alcuni parametri dell’apparecchio radiologico (tensione, filtraggio, corrente anodica . . . )
• interferenza del DAP-meter con il fascio primario della radiazione
• sovrastima della dose assorbita: radiazione retrodiffusa, dose areale del fascio vs dose
areale del paziente, errori di calibrazione
ma anche la valutazione della dose agli organi effettuata nel modo convenzionale sopra descritto
pone dei problemi:
• perturbazione della misura con il fascio primario e degrado dell’immagine radiologica
• invasività nel caso di inserzione di rivelatori all’interno del paziente
• costo computazionale in termini di tempo nell’utilizzo di simulatori Monte Carlo per la
valutazione dei fattori di conversione
• fattori correttivi legati a dimensioni e valori standard
Il software che è stato progettato e sviluppato si pone proprio come obiettivo quello di ottenere
una simulazione rapida e veloce che sia dinamica al variare dei parametri in gioco e che superi
i limiti legati alle procedure standard per la valutazione della dose assorbita e della dose agli
organi, utilizzando un modello fisico che permetta la simulazione oltre che del fascio primario
anche del fascio diffuso.
La simulazione tuttavia non può essere effettuata in tempo reale, ma rispetto a simulazioni
Monte Carlo i tempi necessari all’ottenimento dei dati relativi permettono un’applicazione
clinica come strumento per la valutazione della dose assorbita dal paziente in radiologia.
Un modello che viene utilizzato per valutare l’energia impartita al paziente e quindi in seguito la
dose assorbita, è il metodo Gkanatsios & Huda. Questi autori hanno effettuato delle simulazioni
di energia impartita a fantocci infiniti di vari spessori con fasci di varie energie, utilizzando il
metodo Monte Carlo. Trovano che l’energia impartita per unità di erogzione e per unità di
area del campo radiante è direttamente proporzionale all’ Half Value Layer HVL, ovvero lo
strato emivalente. La relazione fra energia impartita per unità di erogazione e unità di area e
la quantità ωk (y, T ensione, HV L), funzione dello spessore del fantoccio y, della tensione di
lavoro T ensione e dell’HV L (che descrive la qualità del fascio radiante stesso), è per gli autori
data da:
ωk (z, T ensione, HV L) = αk (z, T ensione) · HV L + βk (z, T ensione)
(5.35)
in cui l’unità di misura di αk è [J · Gy −1 · m−2 /mmAl], di βk e ωk è [J · Gy −1 · m−2 ] e dell’HV L
è [mmAl]. Pertanto l’energia impartita al fantoccio infinitamente esteso risulta quindi essere
5.8 Dose-Area Product DPA
45
data dalla relazione:
(z, T ensione HV L, K, Area) = ωk (z, T ensione, HV L) · K · Area
= ωk (z, T ensione, HV L) · KAP
= ωk (z, T ensione, HV L) · DAP
= (αk (z, T ensione) · HV L + βk (z, T ensione)) · DAP
(5.36)
in cui K è il kerma calcolato in aria all’ingresso del fantoccio, Area è l’area del fascio radiante,
KAP è il kerma area product che per le energie utilizzate e per l’aria equivale al DAP , ovvero
dose area product [20].
46
Dosimetria
Capitolo
6
Rischio Radiologico e Dati di
Interesse
Indice
6.1
Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace . . .
43
6.2
Valutazione del Rischio Stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Energie al di sopra di qualche KeV possono causare danni permanenti alle strutture cellulari
colpite. È quindi un tipo di indagine diagnostica da effettuare con cautela e l’uso di schermi di
radioprotettivi è molto importante, come la verifica della corretta erogazione dei raggi-X tramite
controlli di qualità e di funzionalità dell’apparecchiatura.
6.1
Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed
Efficace
L’esposizione alle radiazioni ionizzanti comporta dei rischi di effetti sanitari per gli esseri
viventi e richiede quindi l’adozione di adeguate cautele.
Gli effetti sanitari indotti sull’uomo vengono distinti in effetti somatici ed effetti genetici a
seconda che si manifestino sull’individuo esposto o sui suoi discendenti.
Gran parte degli effetti somatici sono di tipo non stocastico. La loro gravità è in relazione
alla dose assorbita nell’organo o tessuto di interesse e, per ciascun effetto, esiste un valore di
soglia della dose assorbita soltanto superato il quale esso si manifesta. I valori delle dosi corrispondenti alle varie soglie sono sempre piuttosto elevati e conosciuti in genere con accettabile
accuratezza.
Tutti gli effetti genetici e i più importanti effetti somatici (leucemia, carcinogenesi) hanno invece carattere stocastico. Sono cioè caratterizzati da una probabilità di accadimento funzione
della dose ricevuta e dall’assenza di un valore di soglia sotto il quale l’effetto non si manifesti.
Allo scopo di assicurare la protezione degli individui esposti, della loro progenie e del genere
umano nel suo insieme, dagli eventuali danni che potrebbero derivare dallo svolgimento delle
attività con rischio da radiazioni ionizzanti si è andata sviluppando, parallelemente all’uso
delle tecnolgie nucleari, una ormai relativamente nuova disciplina, la Radioprotezione.
Si tratta di una materia fortemente interdisciplinare che richiede la conoscenza di nozioni di
fisica, biologia, medicina, chimica, economia e alla quale non è ormai estranea nemmeno la
politica.
48
Rischio Radiologico e Dati di Interesse
Nessuna delle grandezze dosimetriche presentate (dose assorbita, kerma, energia impartita) è
per sua natura idonea ad interpretare in modo completo gli effetti provocati dal trasferimento
di energia dalle radiazioni ionizzanti alla materia vivente. La dose assorbita, che pur resta di
fondamentale importanza, non consente in particolare di tener conto della diversità degli effetti
biologici indotti da radiazioni di diversa qualità. Uno dei problemi centrali della radioprotezione è proprio quello di individuare delle grandezze atte a quantificare i rischi di esposizione
ai diversi tipi di radiazioni ionizzanti.
Una soluzione rigorosa di questo problema non è ancora stata trovata. Sono state tuttavia
definite una serie di grandezze che fungono da indicatori del rischio da radiazoni ionizzanti e
che consentono di dare un soddisfaciente assetto al momento preventivo. Queste grandezze,
che costituiscono nel loro insieme la famiglia delle grandezze radioprotezionistiche, permettono
di tener conto, seppur in modo empirico, anche della qualità della radiazione.
La prima e più elementare di esse è la dose equivalente H, per mezzo della quale la dose
assorbita viene ponderata con opportuni fattori correttivi per tener conto della qualità della
radiazione e delle condizioni di irradiazione.
La dose equivalente H in un certo punto di un tessuto irradiato è definita come:
H = QDN
(6.1)
dove D è la dose assorbita, Q è il fattore di qualità della radiazione ed N il prodotto di tutti
gli altri fattori correttivi, tra i quali potrebbero rientrare quelli che servono a descrivere le
caratteristiche specifiche dell’irradiazione (frazionamento della dose, rateo di dose,. . . ).
In effetti, poiche l’ICRP ritiene di poter assegnare ad N il valore unitario, la 6.1 può più
semplicemente essere riscritta come:
H = QD
(6.2)
Il fattore di qualità serve a tener conto della distribuzione dell’energia assorbita a livello microscopico ed è quindi il parametro per mezzo del quale si prende in considerazione la diversa
qualità della radiazione. Poichè tale distribuzione dipende dalla natura e dalla velocità delle
particelle cariche che liberano la dose, essa può essere caratterizzata attraverso la grandezza
fisica LET.
Il LET (Linear Energy Transfer) o trasferimento lineare di energia è definito come:
dE
(6.3)
L∆ =
dl ∆
dove dE rappresenta l’energia ceduta localmente per collisioni da una particella carica lungo un
segmento di traccia dl, avendo considerato nel computo di dE solo le collisioni che comportano
un
trasferimento
di energia minore di ∆ (di solito in eV). Abitualmente si esprime il LET in
KeV · µm−1 . Naturalmente se si tengono conto di tutte le perdite di energia, senza imporre
alcun limite, si ottiene per il LET, che in questo caso si indica con il simbolo L∞ , lo stesso
valore numerico del potere frenante per collisione.
Finora l’ICRP ha raccomandato i valori di Q servendosi del L∞ in acqua. I valori numerici
prescelti sono riportati nella seguente tabella:
L∞ in acqua KeV · µm−1
3.5(o meno)
7
23
53
175(o più)
Q
1
2
5
10
20
Nel caso in cui le cessioni di energia avvengano con un certo spettro di valori di L∞ , in luogo
di Q si dovrà calcolare un opportuno valore efficace Q̄ dato da:
Z
1
Q̄ =
Q(L∞ )D(L∞ )dL∞
(6.4)
D
6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace
49
dove D(L∞ )dL∞ è la dose assorbita nell’intervallo di LET compreso tra L∞ e L∞ + dL∞ nel
punto di interesse.
Una difficoltà pratica nell’applicazione dell’equazione 6.4 risiede nella circostanza che soltanto raramente sono disponibili dettagliate informazioni sulla distribuzione di dose assorbita in
funzione del L∞ . Quando tali dati non siano disponibili, un’accettabile approssimazione di Q̄
è quella mostrata nella segente tabelle:
Tipo di radiazione
Raggi-X, Raggi-Γ ed elettroni
Neutroni, protoni e particelle di carica unitaria e di massa a riposo
più grande dell’unità di massa atomica
Particelle alfa e particelle di carica multipla o non conosciuta
Q̄
1
10
20
I valori del fattore di qualità e il concetto stesso di fattore di qualità si intendono applicabili
soltanto nell’ambito di basse dosi. Nello stesso ambito si deve pertanto intendere limitato anche
l’uso della grandezza dose equivalente. Quando le dosi ricevute eccedono i limiti raccomandati,
le valutazioni radioprotezionistiche devono essere effettuate in termini di dose assorbita.
i
h
J
Nel sistema internazionale delle unità di misura, la dose equivalente si esprime in Sv = Kg
e nel caso di particelle con fattore di qualità Q = 1 allora vale 1Sv = 1Gy = 1JKg −1 .
La variazione di H nell’unità di tempo viene definita come Rateo di Dose Equivalente dH
dt
misurato in Sv
e relativi multipli e sottomultipli.
s
Come si sarà già notato, la dose equivalente non è una grandezza fisica, ma soltanto un mezzo per esprimere su scala comune gli effetti prodotti alle basse dosi da radiazioni di qualità
diversa. La debolezza intrinseca di questa quantità riflette la mancanza di chiarezza tuttora
esistente in merito agli effetti delle piccole dosi sugli organismi viventi.
Gli effetti prodotti sull’uomo dalle piccole dosi di radiazioni (carcinogenesi, effetti ereditari)
sono di natura stocastica. La relazione che lega la probabilità di accadimento alla dose ricevuta
non è però ancora completamente ben nota. È questo il problema centrale che la radioprotezione deve ancora risolvere.
I dati radiobiologici disponibili raramente si riferiscono poi all’intervallo di dosi cui si è interessati in radioprotezione. Spesso si tratta infatti di risultati di studi epidemiologici o di
esperimenti condotti con elevati valori di dose o rateo di dose assorbita, che devono quindi
essere estrapolati alla zona delle basse dosi. Nel far questo si deve introdurre una qualche
ipotesi sul tipo di legge che lega la frequenza degli effetti stocastici osservati alla dose ricevuta.
L’ICRP giudica cautelativo assumere tale relazione di tipo lineare senza soglia. È questo il
mattone fondamentale sul quale la predetta organizzazione fonda tutto il suo sistema di limitazione delle dosi.
Sulla base di una tal ipotesi, l’estrapolazione alle basse dosi degli effetti osservati dovrebbe
dare risultati tanto più conservativi quanto più sigmoide è la relazione effettiva tra dose ed
effetto. In realtà si è attualmente portati a credere che per le particelle di alto LET la relazione
dose-effetto sia effettivamente di tipo lineare.
Nel caso della radiazione di basso LET, l’ipotesi di linearità senza soglia potrebbe invece costituire un’approssimazione cautelativa almeno per certi effetti. Secondo i risultati di numerose
osservazioni sperimentali e l’analisi dei dati epidemiologici, la risposta dei sistemi biologici
fino a dosi dell’ordine di qualche gray sembra, per vari effetti stocastici, ben rappresentata da
un’espressione del tipo:
E = aD + bD2
(6.5)
dove E è la frequenza degli effetti osservati, D la dose assorbita, a e b due costanti.
Sebbene 6.5 si sia dimostrata valida per una gran varietà di effetti, i valori delle costanti a
e b cambiano da osservazione a osservazione. Soltanto raramente possono poi essere ricavati
studiando dati relativi a irradiazioni con non più di 0.5 Gy. Si deve in genere procedere quindi
alle sopra menzionate estrapolazioni, con le sovrastime che esse potrebbero comportare alle
basse dosi.
I valori delle costanti a e b dovrebbero comunque essere tali che il termine quadratico della
50
equazione 6.5 predomina ad elevate dosi assorbite (generalmente sopra a 1 Gy) e ad elevati
ratei di dose (dell’ordine di 1 Gy al minuto), mentre il termine lineare predomina a basse dosi
e bassi ratei di dose.
Per alcuni effetti tuttavia, ad esempio il cancro alla mammella o della tiroide, anche nel caso
della radiazione di basso LET, la relazione con la dose assorbita dovrebbe essere di tipo lineare.
In considerazione della definizione di dose eqiuvalente, l’ipotesi di linearità tra frequenza degli
effetti indotti e dose assorbita si traduce in un’analoga relazione tra frequenza
degli effetti
indotti e dose equivalente. Il fattore di proporzionalità, che si esprime in Sv −1 , rappresenta
la frequenza degli effetti attesi per unità di dose equivalente ricevuta nell’organo di interesse.
I sopra menzionati coefficienti di proporzionalità tra la frequenza degli effetti stocastici legati
all’irradiazione dei vari organi e tessuti e le dosi equivalenti ricevute, estrapolati dai dati
disponobili ad alte dosi, risultano in generale diversi tra loro.
Volendo tener conto del rischio di effetti stocastici d’insieme connesso all’esposizione di tutti
i vari organi e tessuti dell’individuo esposto, l’ICRP ha introdotto un’apposita grandezza, la
Dose Efficace E definita da:
TX
=N T
E=
wT HT
(6.6)
T =1
dove HT è la dose equivalente ricevuta dal tessuto o organo T e wT il fattore di ponderazione
relativo a tale tessuto o organo ricavato in base a considerazioni sul rischio radiologico. I valori
di wT adottati dall’ICRP sono mostrati nella seguente tabella:
Organo o Tessuto
Gonadi
Mammella
Midollo osseo rosso
Polmoni
Tiroide
Superficie ossea
Colon
Stomaco
Vescica
Fegato
Esofago
Pelle
Rimanenti organi e tessuti
Stima del rischio (casi per 10−3 Sv −1 )
3.3
0.8
2.0
2.0
0.8
0.1
2.0
2.0
0.8
0.8
0.8
0.1
0.8
wT
0.20
0.05
0.12
0.12
0.05
0.01
0.12
0.12
0.05
0.05
0.05
0.01
0.05
Tabella 6.1: Valori di wT adottati dall’ICRP
Osservando la tabella si può notare che per ciascun organo o tessuto, il valore di wT è uguale
al rapporto tra il rischio stocastico per l’irradiazione di tale organo o tessuto ed il rischio
stocastico globale relativo all’irradiazione uniforme del copro intero, che risulta essere pari a
1.65 ∗ 10−2 Sv −1 .
Recentemente l’ICRP ha pubblicato i nuovi fattori di wT , che sono riportati invece in figura
6.1, ma non vengono ancora adottati in clinica dato che per legge devono essere utilizzati i
coefficienti di tabella 6.1.
Conviene ricordare che nel computo dei valori wT , l’ICRP ha preso in considerazione soltanto i cancri con esito fatale e gli effetti ereditari relativi alle prime due generazioni. La dose
efficace quindi è un indicatore del rischio legato ai predetti effetti e non del rischio globale per
tutti gli effetti stocastici. Secondo stime dell’ICRP stessa, l’aver trascurato il rischio dei cancri
non fatali e gli effetti genetici relativi alle generazioni successive alla seconda, comporta una
sottostima dell’ordine soltanto del 24%. Allo scopo di meglio precisare il significato dei valori
di wT , si osservi che se il rischio globale risultante da una data dose di radiazione distribuita
6.1 Energia Impartita, Dose Assorbita, Equivalente ed Efficace
51
Figura 6.1: Tabella dei nuovi coefficienti wt come pubblicato dall’ICRP in data 13/02/07
uniformemente al corpo intero viene assunto uguale ad 1, allora tale rischio si deve considerare ripartito tra i vari organi e per i vari effetti secondo le percentuali indicate nella tabella
precedente.
Il probelma degli effetti indotti dall’esposizione di gruppi di individui a basse dosi di radiazioni
ionizzanti è tra i più delicati da affrontare per via delle numerose incertezze tuttora esistenti
sui vari aspetti che esso presenta.
L’ICRP ha ritenuto opportuno introdurre appositamente alcuni nuovi concetti allo scopo di
fornire una guida per valutare più puntualmente i livelli di rischio cui sono esposti gruppi più
o meno numerosi di individui della popolazione.
Al fine di identificare e quantificare per quanto possibile l’insieme di tutti gli effetti dannosi (effetti sanitari stocastici e non stocastici, effetti dannosi di tipo non sanitario), è stato introdotto
il concetto di detrimento. Tale quantità è in linea generale definita come l’attesa matematica
di ogni danno subito da una certa popolazione a causa dell’esposizione alle radiazioni, tenuto
conto di tutti i tipi di possibili effetti dannosi e della gravità di ciascuno di essi.
Nel detrimento possono dunque distinguersi due componenti di natura diversa: una di tipo
oggettivo che riguarda le conseguenze sanitarie presumubilmente patite dalle popolazioni esposte; l’altra a carattere più soggettivo che concerne invece effetti di natura non sanitaria, ma
pur sempre collegabili allo stato di salute e di benessere degli individui. Un esempio di questo
tipo sono gli stati di ansietà psicologica talvolta indotti nelle popolazioni dalla vicinanza delle
loro abitazioni ad impianti radiogeni. Il caso più noto è quello dei gruppi di popolazione che
vivono in prossimità delle centrali nucleari.
Nel seguito ci si limiterà a trattare la prima componente, quella oggettiva, la sola per la quale
siano attualmente possibili valutazioni, sebbene ancora insufficienti, di tipo quantitativo.
Se si indica con pi la probabilità che un certo individuo della popolazione sia colpito dall’effetto
i, la cui gravità sia espressa da un fattore di severità gi , il detrimento sanitario G subito da
un guppo di N individui può esprimersi come:
X
G=N
pi gi
(6.7)
i
Per scopi di radioprotezione si può assumere in prima approssimazione che il detrimento sia
prevalentemente dominato da eventi quali i tumori letali e gli effetti ereditari gravi nelle prime
due generazioni, effetti per i quali si può porre gi = 1. Allora si esprime il detrimento sanitario
come:
X
G=N
pi
(6.8)
i
La relazione intercorrente tra grandezze radioprotezionistiche e detrimento non è in genere nota. In molte situazioni pratiche tale quantità può però essere correlata ad una nuova grandezza,
52
la Dose Eefficace Colllettiva SE , definita come:
Z ∞
EN (E)dE
SE =
(6.9)
0
in cui N (E)dE è il numero di individui esposti che ricevono in ogni precisato organo o tessuto,
una dose efficace compresa tra E e E + dE. La dose efficace collettiva si esprime abitualmente
in [Sv − man].
Il concetto di dose efficace collettiva tuttavia è fortemente legato al numero di individui che
costituiscono il gruppo della popolazione in esame. Più il gruppo è numeroso, più elevata risulta, a parità di ogni altra condizione, la dose collettiva. Talvolta può essere quindi significativo
far riferimento anche al concetto di dose efficace ricevuta da un ipotetico individuo medio
appartenente al gruppo. Si parla allora di Dose Efficace Pro-capite, che si ottiene dividendo la
dose efficace collettiva per il gruppo di popolazione in esame in un dato istante per il numero
degli individui che lo compongono [1].
6.2
Valutazione del Rischio Stocastico
Ai fini della radioprotezione, il rischio di danni stocastici è proporzionale alla somma dei
contributi delle dosi assorbite dai vari organi moltiplicate per opportuni fattori di ponderazione
dipendenti dall’organo. La dose efficace esprime appunto il concetto di dose media, uniformemente distribuita sull’organismo, ottenuta come somma dei contributi della dose equivalente
dai vari organi pesata dai fattori wT . Detta E, la dose efficace, e con fR un coefficiente detto
brevemente Fattore di Rischio, il rischio viene valutato come:
R = fr E
(6.10)
dove R è espresso in numero di cancri fatali e non fatali ed effetti ereditari inducibili (spesso riassunto con il termine Detrimento); E è espresso in dose efficace collettiva misuarta in
[Sv − man].
L’ICRP 60 (1990) fornisce la seguente tabella dei coefficienti nominali di rischio per effetti
stocastici (usabili per il calcolo del detrimento):
Popolazione
Esposta
Lavoratori
Adulti
Popolazione
Cancri Fatali
[Sv −1 ]
5.0 · 10−2
Cancri NON
Fatali [Sv −1 ]
0.8 · 10−2
Effetti ereditari [Sv −1 ]
0.8 · 10−2
Totale [Sv −1 ]
5.0 · 10−2
1.0 · 10−2
1.3 · 10−2
7.3 · 10−2
6.6 · 10−2
Ai fini della radioprotezione del paziente e al fine della valutazione del rischio degli operatori, come già detto, la grandezza che va stimata è la dose efficace E.
Infatti il rischio legato all’esposizione a radiazioni ionizzanti è direttamente proporzionale alla
grandezza radioprotezionistica dose efficace, (grandezza non misurabile) ovvero alla somma
delle dosi equivalenti nei diversi organi e/o tessuti, opportunamente pesati. Nelle valutazioni
adottate dall’Azienda Per i Servizi Sanitari di Trento si assume che fR = 7.3 ∗ 10−2 Sv −1 .
Nella parte seguente si assume che ai fini della radioprotezione, il rischio di danni stocastici è
proporzionale alla somma dei contributi dell’energia assorbita dai vari organi moltiplicate per
opportuni fattori peso che tengono conto delle diverse sensibilità cellulari e dimensioni degli
organi stessi (tramite il fattore wT ) e si ipotizza che il fattore di ponderazione della qualità
della radiazione ionizzante sia wR = 1 in quanto valido per tutti i tipi di fotoni.
Nota l’energia impartita ad un volume (di densità uniforme) è possibile calcolare la dose media
assorbita nel volume irradiato dalla relazione:
D̄ [Gy] =
[J]
m [Kg]
(6.11)
6.2 Valutazione del Rischio Stocastico
53
dove m è la massa irradiata e vale la relazione m = V ρ in cui V è il volume considerato e ρ è
la densità di tale volume. La dose efficace DE viene calcolata con la nota relazione:
DE [Sv] =
TX
=N T
DT [Gy] · wT [Sv/Gy]
(6.12)
T =1
La somma è estesa a tutti gli organi o tessuti (T = 1 . . . N T ) interessati all’irraggiamento e
dove wT è il fattore di ponderazione per l’organo o tessuto T , DT è la dose equivalente che
nel caso di radiazione elettromagnetico, come già detto precedentemente è uguale alla dose
assorbita dall’organo T , cha a sua volta dipende dall’energia impartita [J]. La precedente
relazione si può esplicitare anche come:
DE [Sv] =
TX
=N T
DT [Gy] · sT [Sv/Kg/Gy] · mT [kg] =
TX
=N T
T =1
εT [J] · sT [Sv/J]
(6.13)
T =1
in cui sT è la sensibilità alle radiazioni ionizzanti, specifica per l’organo o tessuto T, mT è la
massa dell’organo T e T è l’energia impartita all’organo T. Al fine della stima del rischio si
effettuano due ipotesi distinte, che portano ad uno stesso risultato:
a) La dose assorbita dall’organo non è nota. La miglior stima di DE si ottiene assegnando ad
ogni organo una dose pari al valor medio della dose agli organi irradiati, ovvero la stima
della dose efficace si ottiene quindi da:
DE [Sv] =
TX
=N T
DT [Gy] · wT [Sv/Gy] ≈
= D̄[Gy] ·
TX
=N T
T =1
T =N
PT
D̄[Gy] · wT [Sv/Gy]
T =1
T =1
dove m =
TX
=N T
TX
=N T
ε [J]
·
wT [Sv/Gy]
wT [Sv/Gy] =
m [Kg]
(6.14)
T =1
mT è la massa complessiva irradiata. Nell’ipotesi che non siano noti
T =1
esattamente gli organi irradiati o, per i vari organi, la frazione irradiata e quindi i fattori
wT , in prima approssimazione si può assumere:
T =N
PT
wT [Sv/Gy] =
T =1
m [Kg]
M [Kg]
· w̄T B [Sv/Gy]
dove :
w̄T B [Sv/Gy] = F attore peso T otal Body = 1 Sv/Gy
(6.15)
e quindi per un uomo definito come standard avente massa corporea pari a 75 Kg risulta:
ε [J]
m [Kg]
ε [J]
·
· w̄T B [Sv/Gy] =
· w̄T B [Sv/Gy]
m [Kg] M [Kg]
M [Kg]
ε [J]
=
· w̄T B [Sv/Gy] = 0.0133 [Sv/J] · ε [J]
75 [Kg]
DE [Sv] =
(6.16)
b) La sensibilità alla radiazione dei vari tessuti sT non è nota (non sono esattamente noti
i tessuti irradiati). La miglior stima di DE si ottiene assegnando sT = sT B , ovvero
ipotizzando una sensibilità dei vari organi pari alla sensibilità media al corpo intero. La
stima della dose efficace si ottiene quindi da:
DE [Sv] =
TX
=N T
εT [J] · sT [Sv/J]
T =1
≈
TX
=N T
εT [J] · sT B [Sv/J] = sT B [Sv/J] ·
T =1
= sT B [Sv/J] · ε[J]
TX
=N T
T =1
(6.17)
εT [J]
54
dove ε =
T =N
PT
εT è l’energia totale impartita agli organi irradiati. Ora:
T =1
wT B [Sv/Gy] = sT B [Sv/J] · MT B [kg]
dove:
MT B [kg] = M = Massa corpo intero
(6.18)
e quindi:
DE [Sv] = sT B [Sv/J] · ε[J] =
wT B [Sv/Gy]
· ε[J]
M [kg]
(6.19)
analoga alla relazione ottenuta con l’ipotesi a).
Il Rischio, per un uomo di peso pari a 75 Kg, è quindi dato dalla relazione:
R = fR [Sv −1 ] · DE [Sv] = 7.3 · 10−2 [Sv −1 ] · 0.0133 [Sv/J] · ε [J]
= 0.00097 [J −1 ] · ε [J]
≈ 10
−3
[J
−1
(6.20)
] · ε [J]
Questa relazione fornisce quindi la stima del rischio stocastico in funzione dell’energia impartita. Riprendendo le stime dell’energia impartita nelle due situazioni di radiologia interventistica
e radiodiagnostica per un esame di routine:
εIN T ERV EN T IST ICA = 0.51 [J]
εRADIODIAGN OST ICA = 0.03 [J]
(6.21)
e quindi si ha che, per un uomo definito come standard avente massa corporea pari a 75 Kg,:
[DE ]IN T ERV EN T IST ICA = 6.783 [mSv]
[DE ]RADIODIAGN OST ICA = 0.399 [mSv]
(6.22)
da cui si ottiene allora una stima del rischio pari a:
ovvero:
RIN T ERV EN T IST ICA ≈ 10−3 [J −1 ] · ε [J] = 51 · 10−5
RRADIODIAGN OST ICA ≈ 10−3 [J −1 ] · ε [J] = 3 · 10−5
(6.23)
RIN T ERV EN T IST ICA ≈ 510 casi/milione di interventi
RRADIODIAGN OST ICA ≈ 30 casi/milione di radiografie
(6.24)
Da sottolineare che questi sono valori del tutto indicativi (per un uomo standard di 75 Kg) e che
per una stima più corretta bisogna essere a conoscenza di molteplci parametri che influenzano
pesantemente la stima del rischio.
Capitolo
7
Produzione di Raggi-X in
radiologia
Indice
7.1
7.2
7.3
Tubo a Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anodo e Catodo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spettro dei Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Interazione degli elettroni con il target . . . .
7.3.2 Radiazione caratteristica . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Radiazione Bremsstrahlung . . . . . . . . . .
7.3.4 Distribuzione Angolare . . . . . . . . . . . . .
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53
55
55
56
57
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Di seguito verranno mostrate la tecnologia ed i principi fisici necessari alla produzione di un
fascio di raggi-X in radiologia; verrà descritto in modo particolare il tubo radiogeno in tutte le sue
componenti e si porrà particolare attenzione alla radiazione generata da tale tecnologia.
7.1
Tubo a Raggi-X
La tecnologia che più diffusamente viene utilizzata nella generazione di un fascio di RaggiX in radiologia diagnostica è il Tubo a Raggi-X, in cui si sfrutta il principio che quando
una sostanza viene bombardata da elettroni ad alta velocità si produce radiazione-X. Come
mostrato in figura 7.1 qualsiasi tubo radiogeno è formato da due elettrodi, l’anodo e il catodo
posti sotto vuoto in un tubo di vetro.
Figura 7.1: Tubo a Raggi-X
56
Produzione di Raggi-X in radiologia
Il catodo in realtà è formato dal filamento di tungsteno e dalla coppa di focalizzazione.
Quando il filamento viene portato ad alte temperature, tramite corrente, vengono emessi degli
elettroni dal filamento stesso per effetto termoionico. Se ora l’anodo viene posto ad un voltaggio positivo rispetto al filamento (tipicamente 20 − 150 KVolt), questi elettroni verranno
attratti dall’anodo stesso a creare una corrente, detta Corrente di Tubo che tipicamente è nell’ordine dei milliampere (mA).
Dal momento che nello spazio tra anodo e catodo è creato il vuoto, gli elettroni non collidono
con le molecole del gas nell’attraversare il tubo stesso ed acquistano velocità. Alla superficie
dell’anodo, l’energia cinetica acquistata da questi elettroni vale ECinetica = ∆V e, in cui ∆V
rappresenta la differenza di potenziale tra anodo e catodo ed e = 1.602 ∗ 10−19 Coulomb la
carica portata da un elettrone (il prodotto della differenza di potenziale per la carica dell’elettrone è appunto un’energia: 1eV = 1.602 ∗ 10−19 C ∗ 1volt = 1.602 ∗ 10−19 J).
Quando gli elettroni ragginugono l’anodo, essi collidono con l’anodo stesso, emettendo radiazione in tutte le direzioni. Almeno metà di questa radiazione è assorbita dal target stesso e
della rimanente, solo quella che emerge dalla finestra del fascio primario è utilizzata, dato che
l’intero sistema è poi schermato per impedire qualsiasi uscita di radiazione diversa da quella
del fascio primario. Per i voltaggi applicati in diagnostica, meno dell’1% dell’energia portata
dagli elettroni è convertita in raggi-X, mentre il rimanente 99% viene trasformata in calore,
che deve essere allontanato dall’anodo stesso. La coppa focalizzante è disegnata in modo da
concentrare gli elettroni su una piccolo zona dell’anodo, detta macchia focale. La parte dell’anodo dove vengono focalizzati gli elettroni è fatta tipicamente di tungsteno o una lega di
tungsteno e rodio (90% tungsteno, 10% rodio). L’aggiunta del rodio serve a rendere più duttile
il target per evitare le rotture causate da un eccessivo riscaldamento.
Per capire come viene utilizzato il tubo a raggi-X in un circuito elettrico, è essenziale sapere
Figura 7.2: Effetto della Tensione applicata al tubo radiogeno
come la corrente di tubo dipende dal voltaggio applicato per un dato filamento di eccitazione,
come mostrato in figura 7.2. Quando si applicano pochi kV di voltaggio, la corrente di tubo
risulta essere piccola a causa dell’effetto della carica spaziale presente al catodo. Infatti a
causa del basso voltaggio non tutti gli elettroni vengono accelerati, e una nuvola di elettroni
circonda il filamento tendendo a respingere indietro gli elettroni sul filamento finchè non è
applicato un voltaggio che li accelera e quindi li sottrae al catodo ad un rate pari a quello
di produzione degli elettroni stessi per effetto termoionico. Questa nuvola di elettorni viene
spesso chiamata Carica Spaziale. Quando il voltaggio aumenta, l’effetto della carica spaziale
viene gradualmente eliminato e la corrente del tubo cresce finchè tutti gli elettroni liberati
dal filamento sono accelerati sull’anodo. Molti dei tubi radiogeni usati in diagnostica operano
in un range di voltaggio che sta sopra la regione dove si presentano le limitazioni dell carica
spaziale e sotto la regione di saturazione, dove anche aumentando il voltaggio non si ha un
aumento della corrente di tubo poichè non vengono generati elettroni per effetto termoinico
ad un rate sufficiente.
La figura 7.2 mostra, per esempio, che un cambiamento nella corrente di filamento del 2.5%
altera la corrente di tubo del 25% se il potenziale applicato tra anodo e catodo è di 100 KV.
7.2 Anodo e Catodo
57
Quindi per ottenere stabilità nelle operazioni con tubi a raggi-X è necessario che la corrente
di filamento sia ben stabilizzata e controllata.
La forma delle curve riportate in figura 7.2 dipende inoltre da molti fattori, quali la distanza
tra anodo e catodo, la configurazione della coppa focalizzante, la macchia focale e la temperatura del filamento. Tuttavia il fattore che maggiormente influenza l’andamento delle curve
sopra riportate è il potenziale della coppa focalizzante rispetto a quello del filamento. Se la
coppa viene portata ad essere molto negativa rispetto al filamento, la nuvola elettronica viene
ad essere contenuta nella coppa stessa ed allora, a causa della repulsione, non passa nessuna
corrente di tubo. Utilizzando questo principio è allora possibile ottenere tubi con tempi di
switching dell’ordine dei millisecondi, oppure è possibile ottenere macchie focali di diverse dimensioni, come mostrato in figura 7.3.
Figura 7.3: Sezione di un Catodo
7.2
Anodo e Catodo
I tubi a raggi-X diagnostici sono progettati per generare un’immagine del paziente. Perfino
se il paziente è immoblizzato, alcuni movimenti fisiologici sono sempre presenti, come per
esempio la respirazione e il battito cardiaco. A tale scopo l’esposizone al fascio deve essere
breve e molto precisa per eliminare ogni possibile movimento. Questo implica che per avere
un’immagine precisa bisogna che la sorgente sia puntiforme e per avere un tempo di esposizione
corto che il flusso di elettroni sul target sia molto alto. Questo implica che l’anodo andrebbe
distrutto poichè verrebbero concentrati un alto flusso di elettroni su un area infinitesima. Molti
costruttori hanno trovato il modo di distribuire gli elettroni su un’area maggiore per evitare
le rotture dei tubi stessi e di far apparire il fascio di raggi-X come se uscisse da un’area molto
più piccola. Come mostrato dalla figura 7.4 gli elettorni sono fatti collidere su un’area di
lunghezza ab di un target che presenta un’inclinazione di un angolo θ. La lunghezza dell’area
in uscita ricavata geometricamente risulta quindi essere cd = ab sin θ. In questo modo il fascio
di raggi-X sembra provenire da un’area piccola del target, mentre il fascio di elettroni colpisce
un’area maggiore di target. I tubi diagnostici presentano angoli che variano da 6◦ a 21◦ .
L’Anodo Rotante è stato sviluppato per aumentare il carico possibile del tubo radiogeno,
facendo ruotare rapidamente il target durante l’erogazione della corrente di tubo. Gli elettroni
allora colpiscono una regione che risulta essere 2πR/ef volte maggiore rispetto all’area di un
anodo fisso ef. Con questo accorgimento si può ottenere un carico molto maggiore dell’apparecchio. La costruzione dell’anodo rotante comporta uno sviluppo tecnologico significante,
dato che la porzione dell’anodo rotante deve lavorare sotto vuoto e ruotare ad alta velocità con
dei cuscinetti. L’anodo è collegato ad un’armatura di un motore ad induzione, che è guidato
da bobine poste all’esterno del tubo in vetro. Un diagramma di questo anodo è mostrato in
figura 7.5.
58
Figura 7.4: Anodo Rotante e Macchia Focale Elettronica ed Ottica
Per incrementare la versatilità dei tubi a raggi-X il catodo viene spesso munito di due fila-
Figura 7.5: Anodo Rotante
menti, come mostrato in figura 7.6. Un filamento è costruito per focalizzare gli elettroni su
di un’area larga dell’anodo ed è utilizzato quando il tubo deve esser caricato pesantemente.
Il secondo filamento, uno molto più fino, è utilizzato per focalizzare gli elettroni su un’area
piccola del target e viene utilizzato quando è richiesta alta risoluzione ed il carico dell’apparecchio non è un problema. Entrambi i filamenti devono focalizzare gli elettroni sulla stessa
parte dell’anodo in modo che la macchia focale sia centrata sullo stesso punto in entrambe le
modalità di funzionamento.
In maniera del tutto analoga, i costruttori forniscono anche anodi rotanti con due angoli di
Figura 7.6: Filamenti del Catodo
inclinazione. L’angolo più piccolo è utilizzato con la macchia focale minore, mentre quello più
grande con quella maggiore. Molti anodi al giorno d’oggi, sono fatti di una lega di tungsteno
7.3 Spettro dei Raggi-X
59
e rodio (90:10) innestati su un disco di molibdeno. La lega resiste maggiormente al bombardamento degli elettroni che il solo tungsteno, presentando quindi un tempo di vita maggiore;
infatti con l’utilizzo, tutti i tubi si deteriorano sull’anodo che presenta dei fori dovuti al bombardamento degli elettroni. Un anodo forato può influenzare il campo elettrico tra catodo e
anodo stesso, alterando in questo modo le dimensioni della macchia focale.
7.3
Spettro dei Raggi-X
Per comprendere i processi fondamentali coinvolti nella produzione dei raggi-X conviene
dapprima analizzare le proprietà di un tipico fascio di raggi-X.
Figura 7.7: Spettri Energetici
La figure 7.7 mostra delle tipiche distribuzioni spettrali di fotoni emessi a diversi voltaggi
del tubo. Il grafico mostra il numero relativo di fotoni per ogni singolo intervallo di energia.
L’area sottesa alla curva rappresenta il numero totale di fotoni emessi. Gli stessi dati possono
essere rappresentati in un’altra maniera, ponendo in funzione dell’energia del singolo fotone
l’intensità, ottenuta moltiplicando il numero relativo di fotoni per l’energia portata dai fotoni
stessi. L’area sottesa alla curva in questo caso è proporzionale all’energia trasportata dal fascio.
Da questi spettri misurati è evidente che lo spettro consiste di uno spettro continuo chimato
anche Radiazione di Frenamento o Radiazione di Bremsstrahlung a cui è sovrapposto uno spettro a righe che viene spesso detto Radiazione Caratteristica dato che le posizione delle righe
spettrali dipendono dal numero atomico del materiale utilizzato come anodo.
7.3.1
Interazione degli elettroni con il target
Quando un elettrone ad alta velocità colpisce una superficie di un target, esso collide in
molti modi diversi tra loro. Molte collisioni coinvolgono un trasferimento di energia che porta
ad una ionizzazione degli atomi del target. Un’altra classe di collisioni porta alla produzione
di radiazione. Per quanto concerne la prima tipologia, prima che l’elettrone si fermi e ionizzi
l’atomo avvengono molte collisioni con trasferimento di energia piccola, che appare macroscopicamente come calore. Molto più interessanti risultano le collisioni più rare in cui si ha
produzione di raggi-X.
Se l’elettrone colpisce uno degli elettroni della shell K dell’atomo di tungsteno dell’anodo, si
60
crea una lacuna ed i due elettroni proseguono poi il loro percorso. La lacuna viene poi riempita
da un elettrone della shell più esterna, emettendo radiazione caratteristica della shell K. Infatti
se l’elettrone non ha sufficiente energia per espellere l’elettrone della shell K nello spettro dei
raggi-X non compare la riga spettrale K.
Quando l’elettrone passa invece vicino al nucleo, l’elettrone subisce la forza del campo coulombiano del nucleo stesso ed esce da tale campo con un’energia ridotta, dato che parte dell’energia
iniziale è stata emessa sottoforma di radiazione di frenamento.
Ultima tipologia di interazione è la collisione dell’elettrone con il nucleo stesso dell’atomo ed
in questa collisione viene fermato: l’intera energia cinetica viene emessa come radiazione di
frenamento. Questa tipologia ovviamente è assai rara.
Come detto in precedenza, a 100kV, per esempio, gli elettroni che collidono il target perdono
il 99% della loro energia in collisioni che ionizzano il target e quindi l’energia viene poi persa
sottoforma di calore, mentre solo l’1% dell’energia viene convertita in radiazione. Va inoltre
sottolineato che i processi di collisione dell’elettrone fin qui descritti possono verificarsi contemporaneamente lungo la traiettoria di un singolo elettrone e che la radiazione generata deve
poi emergere dal target, che si comporta quindi anche come attenuatore della radiazione se
essa viene generata in profondità.
7.3.2
Radiazione caratteristica
Figura 7.8: Processo di formazione della radiazione caratteristica e diagramma dei livelli
energetici di tale radiazione per il tungsteno
Per comprendere la produzione di radiazione caratteristica, è necessario introdurre un
diagramma dei livelli di energia molto più dettagliato rispetto a quello di Bohr basato sulle
orbite elettroniche e mostrato in figura 7.8. Studi più accurati hanno mostrato che la shell
L è formata da 3 subshell, la shell M da 5 subshell e la shel N da 7 subshell. Quando viene
espulso un elettrone dalla shell K, la lacuna lasciata può essere riempita da un elettrone della
shell L, M, N, dando luogo ad una cosiddetta Transizione e l’energia rilasciata sottoforma di
radiazione corrisponde alla differenza energetica della shell L, M, N con quella K. Tuttavia,
dalla meccanica quantistica, non tutte le transizioni sono possibili, ma risultano tali solo quelle
che seguono delle determinate regole di selezione.
Per esempio la Kα1 e la Kα2 risultano dalla transizione tra LIII e LII con K, separate solo da
10 KeV da Kβ1 e la Kβ2 che risultano dalla transizione tra MIII e MII con K. L’importanza
della radiazione caratteristica rispetto allo spettro di frenamento dipende principalmente dal
voltaggio applicato e dalla filtrazione della radiazione stessa. Per raggi-X diagnostici tale
contributo è all’incirca il 30%.
7.3.3
61
Radiazione Bremsstrahlung
Quando un elettrone accelerato, che colpisce la superficie dell’anodo, passa in prossimità
del nucleo di un atomo del materiale target, esso interagisce con il campo coulombiano del
nucleo, cambia la sua direzione di moto e viene quindi accelerato. In accordo con la teora classica, una particella carica accelerata irradia un’onda elettromagnetica, cosicchè una porzione
dell’energia cinetica dell’elettrone incidente viene convertita in radiazione elettromagnetica di
frequenza ν e porta un’energia pari a E = hν.
Questo processo è chiamato Radiazione di Bremsstrahlung ed è mostrato in figura 7.9. Elet-
Figura 7.9: Processo di formazione di radiazione di Bremsstrahlung
troni che sfiorano il campo coulombiano del nucleo emettono soltanto una piccola porzione
dell’energia cinetica, mentre elettroni che colpiscono direttamente il nucleo possono emettere
fotoni con energia cha al massimo può essere la frazione totale dell’energia cinetica dell’elettrone. La massima frequenza possibile che può raggiungere un fotone emesso quando l’energia cinetica dell’elettrone è interamente convertita in radiazione, può essere determinata dal
bilancio dell’energia:
∆V e
(7.1)
νmax =
h
Una teoria che simuli l’interazione degli elettroni e la conseguente produzione di raggi-X in un
target deve tener conto di:
• il percorso dell’elettrone nel target
• cambiamento nella direzione di moto dell’elettrone ad ogni singola interazione
• la probabilità di una perdita di energia cinetica per ionizzazione e per radiazione di
frenamento ad ogni incremento di percorso
• la direzione e l’emissione della radiazione di Bremsstrahlung
• attenuazione e scattering dei raggi-X prodotti nell’emergere dal target stesso
La complessità di tutto il processo non permette una soluzione teorica del problema. Se ci si
limita ad un target sottile, cosicchè nessun elettrone subisce più di una collisione in media nel
passare attraverso il target, allora è possibile risolvere il problema. Una teoria semplificata
indica che quando un fascio di elettroni di energia E1 collide su un target sottile, l’intensità
della radiazione emessa per ogni intervallo di energia del fotone da 0 a E1 è costante. Poichè
l’intensità è proporzionale al prodotto del numero di fotoni per la loro energia, un fotone con
energia E1 /2 sarà prodotto con probabilità doppia rispetto ad un fotone con energia E1 . Se
si grafica il numero di fotoni per intervallo di energia in funzione dell’energia, si ottiene una
curva che presenta valori elevati per per piccole energie, come mostrato dall afigura 7.10. L’area
sottesa da tale curva rappresenta l’energia irradiata totale ed è proporzionale sia ad E1 che al
numero atomico Z dell’elemento costituente il target dell’anodo. Questa teoria semplificata è
in buon accordo per elettroni a basse energie (fino a 100 KeV) con le misure sperimentali, ma
risulta soltanto un’approssimazione per energie superiori.
Ora è possibile immaginare un target spesso come somma di molti taregt sottili. Allora lo
spettro finale risulta essere la somma dei singoli spettri generati da ogni singolo strato sottile,
e vale quindi l’equazione:
I(E) = CZ(Emax − E)
(7.2)
62
Figura 7.10: Spettri generati in un tubo Radiogeno
dove I(E) è l’intensità di radiazione per l’energia E, Emax è l’energia massima del fotone
emesso che risulta essere pari all’energia cinetica massima dell’elettrone, Z è il numero atomico dell’elemento che costituisce il target e C è una costante. L’area sottesa da questa curva
riportata in figura 7.10 rappresenta l’energia irradiata come raggi-X e risulta proporzionale a
2
Emax
.
Rimane infine da tener conto dell’attenuazione e della filtrazione che tale spettro subisce a
causa della finestra del tubo a raggi-X o per l’aggiunta di filtri, tipicamente in alluminio, per
modulare lo spettro stesso di raggi-X. Infatti ponendo dei materiali in uscita al fascio si possono attenuare i raggi-X a basse energie, che in radiologia non contribuiscono all’immagine
e danno solo una dose maggiore al paziente in quanto depositano tutta la loro energia nel
paziente stesso, generando lo spettro riportato in figura 7.10.
7.3.4
Distribuzione Angolare
Se un fascio di elettroni a bassa energia incide su un target sottile, si trova che i raggi-X
sono emessi principalmente nella direzione perpendicolare a quella di propagazione del fascio
di elettroni, come mostrato nella figura 7.11, mentre per energie maggiori (circa 10 MeV) la
distribuzione tende alla direzione di propagazione (notare che la lunghezza delle frecce indica
l’intensità relativa alle diverse direzioni).
Figura 7.11: Distribuzione angolare dei raggi-X per diversi materiali e diverse energie degli
elettroni incidenti
63
Figura 7.12: Effetto Heel
In realtà, il target dell’anodo è uno strato spesso, che riesce a fermare l’elettrone. Questo
porta ad una distribuzione angolare dei raggi-X verso la direzione perpendicolare alla direzione di propagazione, ma poichè l’anodo presenta una superficie inclinata, emergeranno dal
target solo i fotoni dalla parte inclinata, mentre nella direzione opposta saranno ovviamente
attenuati.
Facendo riferimanto alla figura 7.12, dove è riportata la distribuzione angolare dei fotoni generati, la resa massima si ottiene per angoli compresi tra 5 − 10◦ per un tipico tubo a raggi-X
utilizzato in diagnostica.
L’intensità varia tipicamente di un 30% su tutto il fascio utile di raggi-X presentando il valore
più basso verso la parte dell’anodo. Tale effetto è spesso chiamato Effetto Heel.
64
Capitolo
8
Radiologia Digitale
Indice
8.1
8.2
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Computed Radiography (CR) . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Il Plate PSP (Photostimulable Storage Phosphor)
8.2.2 Scanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Digital Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Sistema Indiretto a Fotodiodi CsI(Tl)-a-Si . . . . .
8.3.2 Sistema Diretto con Fotocatodo a-Se . . . . . . . .
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65
66
69
La radiologia digitale è un sistema radiologico che sta largamente diffondendosi per molteplici
motivazioni; si mostreranno i principi fisici di funzionamento e le varie tipologie con i rispettivi
vantaggi ad esse legate. Infine verrà mostrato in ogni singolo passaggio il processo di formazione
dell’immagine radiologica nelle varie tecniche di imaging digitale.
8.1
Introduzione
La produzione di immagini radiologiche in ambito medico in questi ultimi anni è stata radicalmente rivoluzionata dall’introduzione della tecnologia digitale. I vantaggi di un’immagine
digitale rispetto ad una convenzionale radiografia in pellicola sono molteplici:
• possibilità di separare il processo di rivelazione da quello di visualizzazione delle immagini
prodotte
• abbattimento dei costi delle pellicole radiografiche a fronte di plate riutilizzabili
• possibilita di elaborare a posteriori le immagini
• possibilità di integrare le informazioni cliniche di immagini acquisite con modalità diverse
• informazione della rivelazione data in formato di matrice numerica
• archiviazione e gestione elettronica dell’immagine stessa, abbattendo i costi di gestione
Il passaggio da radiologia convenzionale a quella digitale rimane graduale: inizialmente non ha
richiesto la sostituzione degli apparecchi radiologici delle varie Unità Operative di Radiologia.
66
Radiologia Digitale
Infatti l’introduzione della Computed Radiography (CR) basata su piastre ai fosfori (Photostimulable Plates) ha richiesto solo la sostituzione delle cassette radiografiche.
Tuttavia anche la CR è destinata ad essere soppiantata dalla Radiologia Digitale (Digital Radiology o DR), basata su pannelli rivelatori (Flat Panel Transistor) costituiti da una matrice
di elementi fotosensibili e di transistors a film sottile, sopra al quale è depositato uno strato
di materiale scintillante drogato come lo CsI(Tl).
Tipicamente lo schema di acqusizione delle immagine radiografiche è il seguente, come
Figura 8.1: Sistema di acquisizione dell’immagine radiologica
mostrato in figura 8.1
• generatore di raggi-X: tipicamente si tratta di un tubo radiogeno;
• filtro di alluminio: rimuove i fotoni a bassa energia (processo noto anche come beamhardening) che non contribuiscono alla formazione dell’immagine ma soltanto all’aumento
della dose rilasciata perchè totalmente assorbiti dal paziente;
• collimatore: necessario per generare un fascio ben definito sulla regione del paziente che
deve essere irraggiata;
• paziente: cioncide da un punto di vista fisico ad un mezzo attenuante e diffondente;
• griglia: matrice collimatrice di tungsteno che assorbe i fotoni diffusi (o scatterati),
fermando tuttavia solo quelli a grande angolo di incidenza;
• rivelatore: può essere una combinazione schermo-pellicola, un’intensificatore d’immagine
con camera CCD, una cassetta per CR o DR con lo scopo di rilevare la radiazione
attenuata dal paziente.
Il processo di produzione dell’immagine prevede la generazione di un fascio di raggi-X con
spettro noto e filtrato adeguatamente allo scopo diagnostico, la rivelazione dell’attenuazione
spaziale del fascio (causata dal passaggio della radiazione attraverso il paziente) ed il trasferimento di questa informazione in scala di grigi.
Con l’avvento della radiologia digitale si introduce nella procedura di formazione dell’immagine una nuova fase, quella dell’elaborazione dell’immagine. Questa tesi si pone come obiettivo
quello di calcolare la dose rilasciata al paziente a partire dall’immagine radiologica, vista ora
come matrice di pixel-values legati alla rivelazione della radiazione sia primaria che diffusa.
L’aspetto dell’immagine radiografica dipende da:
• caratteristiche del fascio primario di raggi-X generato
• geometria di acquisizione dell’immagine
• caratteristiche del paziente (interazione della radiazione con i vari tessuti del paziente)
• caratteristiche del sistema di rivelazione dei raggi-X trasmessi
8.2 Computed Radiography (CR)
67
Un’immagine digitale è una matrice costituita da elementi detti pixel e la dimensione di un’immagine è data dal numero di pixel presenti nelle righe e nelle colonne. Un pixel è caratterizzato
da 3 numeri: due definiscono la sua posizione all’interno dell’immagine ed il terzo l’intensità
dell’immagine che viene indicata matematicamente con I(m, n). I(m, n) è una variabile discreta che può assumere 2n valori, in cui n è chiamato numero di bit; in radiografia si usano
tipicamente immagini fino a 12 bit, cioè con 212 = 4096 intensità o livelli di grigio. Allora
la dimensione di un’immagine è data da (M × N )K, in cui (M × N ) rappresenta il numero
totale di pixel presenti nell’immagine digitale e K = n è la profondità dell’immagine ovvero il
numero di bit dell’immagine.
Per avere immagini di buona qualità e non perdere informazione, la dimensione del pixel deve
essere quanto più piccola possibile e il numero di bit quanto più elevato possibile.
I segnali digitali si ottengono con un campionamento, ad intervalli discreti sia in posizione che
in intensità (quest’ultima detta anche quantizzazione) dei segnali analogici, che al contrario
presentano una variazione continua sia spaziale che in intensità.
8.2
Computed Radiography (CR)
Lo schermo, o plate, ai fosfori fotostimolabili, chiamato anche Photostimulable Storage
Phosphor o PSP, utilizzato dai sistemi della radiografia computerizzata, è del tutto simile a
quelli usati in radiografia tradizionale ed è contenuto in cassette di forma e dimensioni uguali
a quelle delle abituali cassette portapellicola.
Quando lo schermo viene esposto ad un fascio di raggi-X, si imprime sullo schermo un’immagine elettronica latente dell’oggetto interposto tra la sorgente di raggi-X ed lo schermo, sotto
forma di elettroni intrappolati in stati metastabili mediante assorbimento dei fotoni del fascio
incidente. Il PSP se eccitato con luce laser di opportuna frequenza, tipicamente nella fequenza
della luce rossa, emette luminanza fotostimolata nella frequenza della luce blu, di maggiore e
minore intensità in funzione degli elettroni intrappolati negli stati metastabili e dell’intensità
stessa del laser utilizzato per la lettura. Infine un fotocatodo raccoglie la luce emessa dal PSP
e la converte in un segnale elettronico, inviato poi ad un convertitore analogico-digitale. In
questo modo è possibile ottenere un’immagine radiologica digitale proporzionale agli elettroni
intrappolati negli stati metastabili, ottenuti tramite drogaggio dei fosfori dello schermo.
8.2.1
Il Plate PSP (Photostimulable Storage Phosphor)
Le piastre al fosforo possono essere costruite con diversi materiali fosforescenti quali BaFBr:Eu2+, BaFCl:Eu2+, ZnS:Cu, LaOBr:Tb. I plates utilizzati presso l’Azienda Provinciale
per i Servizi Sanitari di Trento sono costituiti da Bromofluoruro di Bario con impurezze di
Europio (BaFBr:Eu2+).
Nell’immagine 8.2 è schematizzata la sezione di un plate con valori indicativi dei rispettivi
Figura 8.2: Sezione di un Plate PSP
68
Radiologia Digitale
spessori di materiale, che varia da ditta a ditta. Il primo strato è lo strato protettivo posteriore, tipicamente in alluminio, ricoperto poi da uno strato protettivo posteriore per la luce, da
uno strato di supporto, da uno strato riflettente la luce e conduttore elettrico, da uno strato
di fosforo drogato ed infine un ultimo strato protettivo tipicamente in fibra di carbonio.
L’immagine latente nei sistemi a plate PSP è data dalla distribuzione spaziale, ovvero dalla densità, degli elettroni intrappolati nei livelli metastabili della banda proibita. Infatti gli
elettroni vengono eccitati dai fotoni incidenti e passano dalla banda di valenza alla banda di
conduzione (la differenza di energia è pari a 8,3 eV per il PSP considerato). Da questo stato
instabile gli elettroni tendono a ritornare alla banda di conduzione, ma vengono intrappolati
nella banda proibita a causa della presenza di stati energetici metastabili generati dal drogaggio dei fosfori del plate. Queste impurezze introdotte nel plate sono di tipo Br- per gli elettroni
e di tipo Eu2+ per le lacune. In figura 8.3 viene riportata la teoria che spiega il processo di
assorbimento dell’energia e la formazione dei centri di luminescenza.
Figura 8.3: Teoria di Von Seggern e Takahashi
8.2.2
Scanner
In seguito alla creazione dell’immagine latente, in un intervallo di tempo che va da 10 minuti
a 8 ore successivi all’esposizione, è possibile esplorare gli stati metastabili mediante un raggio
laser (avente spettro uguale allo spettro di assorbimento del Br- ). Tipicamente si utilizza una
luce di stimolazione (rossa) con frequenza diversa da quella di fotoluminescenza (blu). La luce
di luminescenza può quindi essere separata dalla luce laser incidente, essere convogliata su un
tubo fotomoltiplicatore che la converte in segnale elettronico analogico; infine un convertitore
analogico digitale (Analogic to Digital Converter ADC) trasforma quest’ultimo segnale in dato
digitale. In figura 8.4 è mostrato il sistema di lettura del plate.
Mediante una serie di dispositivi ottici, il laser è focalizzato sul plate e con appositi deflettori
lo spot è fatto muovere lungo la direzione ortogonale al trascinamento meccanico del plate
stesso. Poichè l’intensità della luce di luminescenza è proporzionale a quella emessa dal laser in fase di lettura, una parte del raggio laser viene deviata su un rivelatore di riferimento
per individuare possibili fluttuazioni di intensità del laser ed eventualmente compensarle. La
componente maggiore del fascio è invece convogliata sul plate, attraversando una serie di componenti ottiche che generano una distribuzione della macchia focale del laser incidente avente
profilo gaussiano. In seguito alla lettura del laser, sul plate rimane un segnale residuo determinato dagli elettroni ancora presenti. L’eliminazione di tale segnale, ovvero la cancellazione
8.3 Digital Radiography
69
del plate, avviene per mezzo di tubi fluorescenti che emettono luce bianca molto intensa.
Come detto precedentemente, l’intensità del segnale prodotto è proporzionale alla dose assorbita nel volume eccitato dalla luce del laser e all’intensità del fascio laser stesso. Il plate
risulta essere lineare all’esposizione per più di cinque ordini di grandezza, contro i tre ordini
di grandezza tipici dei sistemi schermo-pellicola. Questo significa che non ci sono problemi di
perdita di informazione per sovra o sotto esposizione.
La risoluzione spaziale inoltre risulta confrontabile con i sistemi convenzionali ed è limitata
solo dalla sezione del fascio laser nella fase di lettura. La velocità di scansione invece è determinata dal movemento meccanico del plate sempre in fase di lettura e la dose data al paziente
risulta essere confrontabile con i metodi convenzionali.
Tuttavia ci sono altre importanti limitazioni:
• azzeramento dell’informazione contenuta nel plate in fase di lettura
• necessità di azzerare le trappole stimolandole con luce bianca per evitare effetti di
memoria
• necessità operativa di trasferire il plate dal sistema di esposizione (apparecchio radiologico) al sistema di lettura e azzeramento (scanner)
• tempi complessivi di ottenimento dell’immagine sono ancora troppo lunghi
• non è possibile utilizzare il plate in scopia
Figura 8.4: Sistema di lettura di un plate CR
8.3
Digital Radiography
I nuovi rivelatori a matrice attiva di TFTs (Thin Film Transistors, o film sottile di transistor) o FDP (Flat Panel Detector) possono essere distinti in due categorie principali: quelli
che attuano la conversione diretta dei raggi-X incidenti in un segnale elettrico e quelli invece
che necessitano della conversione in radiazione luminosa della radiazione-X incidente. I rivelatori diretti sono costituiti da un fotoconduttore, come ad esempio il selenio amorfo (a-Se),
che converte direttamente i fotoni-X in una carica elettrica. Nei rivelatori indiretti invece la
radizione incidente viene prima convertita in luce visibile quindi in carica elettrica, mediante
una matrice di fotodiodi di silicio amorfo (a-Si). Per entrambe le metodiche, mostrate in figura 8.5, la carica elettrica viene convogliata ad un sistema di lettura per essere convertita da
70
Radiologia Digitale
segnale analogico a digitale.
Figura 8.5: Sistemi Digital Radiography
Una tipica matrice attiva di TFTs, detta anche AMA (Active Matrix Arrays) consiste in
una matrice bidimensionale di transistor a film sottile realizzati in materiale semiconduttore
amorfo o policristallino. L’unità elementare della matrice, come mostrato in figura 8.6, è il
pixel costituito da:
Figura 8.6: Flat Panel Detector
• un TFT per la scansione elettronica
• un elettrodo collettore per raccogliere la carica generata nel fotoconduttore o fotodiodo
• un condensatore che immagazzina la carica prima che venga letta
Ciascun pixel porta la carica attraverso l’elettrodo collettore al condensatore Cij la cui carica
può essere letta per mezzo del transistor T F Tij quando è attivato dalla porta della linea iesima (gate line) e dalla sorgente della linea j-esima (data line). Infatti durante l’esposizione i
gates sono chiusi e la carica si accumula; la lettura di una riga avviene variandone il potenziale
71
(gates aperti): sorgenti e collettori sono, in questo modo, in contatto ed i pixel di ogni riga
scaricano la carica accumulata. I segnali delle varie righe vengono serializzati, amplificati ed
inviati al convertitore analogico-digitale (ADC).
8.3.1
Sistema Indiretto a Fotodiodi CsI(Tl)-a-Si
Figura 8.7: Sistema DR Indiretto
Lo schema in figura 8.7 rappresenta il sistema di formazione dell’immagine tramite DR
indiretto. I raggi-X colpiscono il materiale scintillatore, che in quanto stimolato emette luce.
Questa viene raccolta dal fotodiodo di ogni singolo pixel che converte il segnale luminoso in
carica elettrica, che viene letta tramite un TFT. Tale segnale elettrico viene amplificato e
mandato ad un convertitore analogico-digitale per la formazione dell’immagine digitale.
I tre componenti del FPD possono essere realizzati diversamente in relazione alla ditta produttrice. I componenti sono: uno scintillatore, un fotodiodo (che converte la luce in carica
elettrica) e una matrice TFT (che permette il trasferimento indipendente della carica raccolta
in ogni pixel verso l’elettronica esterna in cui viene amplificata e quantizzata).
Il silicio amorfo (a-Si) è un semiconduttore che è pratico per la costruzione di fotodiodi ed
interruttori attivi su superfici molto grandi, presenta un’alta efficienza per l’assorbimento dei
fotoni nel range visibile, mentre ha una grande stabilità relativa ai raggi-X. Altri vantaggi nella formazione dell’immagine tramite il sistema indiretto vengono portati dal materiale
scintillatore:
• lo scintillatore CsI:Tl può essere depositato su grandi superfici
• lo scintillatore CsI:Tl ha un’alta efficienza di assorbimento di raggi-X
• lo scintillatore CsI:Tl ha un’alta efficienza di conversione dell’energia assorbita in luce
visibile
• lo scintillatore CsI:Tl ha una buona trasmissione (foto-conduzione) verticale che rende
possibile una alta risoluzione geometrica con cristalli a struttura tubulare
La risoluzione spaziale è limitata dalla dimensione del fotodiodo e la velocità di scansione è
limitata dai tempi di spazzolamento delle righe e delle colonne, ovvero dalla velocità dell’elettronica in fase di lettura. Rispetto alla CR non vi è la necessità di un succesivo azzeramento
della matrice e si prospetta una significativa diminuzione della dose al paziente. Il vantaggio
principale è la formazione istantanea dell’immagine digitale, senza alcuna rimozione o inserimento di cassette e quindi senza alcun sistema di lettura a parte. Si presenta quindi anche
come ottimo sistema di formazione dell’immagine anche per la scopia
72
Radiologia Digitale
Figura 8.8: Cristalli Scintillanti di CSI a formare un pixel
La tecnologia basata sullo ioduro di cesio rappresenta il miglior equilibrio tra qualità di
immagine e dose di radiazioni per il paziente. La funzione dello scintillatore di CsI nel sistema
DR è identica alla funzione dello schermo di rinforzo nei sistemi convenzionali pellicola-schermo
e cioè l’amplificazione dei fotoni X, con conseguente riduzione di dose, senza deterioramento,
della qualità d’immagine: ciascun cristallo di CsI infatti, grazie alla struttura ordinata ad aghi
dei cristalli all’interno dello scintillatore, funge da guida d’onda eliminando la diffusione tipica
degli schermi di rinforzo, come mostrato in figura 8.8
La DR indiretta sfrutta, anzichè il fenomeno della fosforescenza (tempi di intrappolamento lunghi), il fenomeno della fluorescenza (tempi di intrappolamento brevissimi). Il cristallo
scintillatore (attualmente si usa il CsI:Tl, come detto precedentemente) è sempre un semiconduttore il cui principio fisico di funzionamento può essere schematizzato dal grafico seguente
8.9:
Le fasi del processo sono:
Figura 8.9: Fluorescenza di un Cristallo Scintillatore
1. un fotone di un fascio di raggi-X incide sul semiconduttore. Esso cede parte o tutta la
sua energia agli elettroni del cristallo che in termini energetici si trovano in una delle
bande di valenza
2. gli elettroni acquisiscono energia sufficiente a portarsi nella banda di conduzione
3. gli elettroni si trovano in uno stato non legato e tendono a tornare, appena possibile, al
loro stato fondamentale, ovvero alla banda di valenza
4. durante il processo di ritorno alla banda di valenza alcuni elettroni possono venir catturati
da delle trappole, ovvero delle buche di potenziale, dovute alla non perfetta regolarità
73
della struttura del cristallo scintillatore e dall’introduzione del Tallio come materiale
drogante.
5. gli elettroni catturati rimangono nelle buche di potenziale per tempi brevissimi
6. gli elettroni ritornano allo stato legato perdendo la loro energia sotto forma di luce con
lunghezza d’onda caratteristica a seconda di ogni cristallo.
La tecnologia impiegata per la realizzazione delle AMA a silicio amorfo idrogenato (a-Si:H),
invece, è analoga a quella impiegata nella fabbricazione di pannelli solari, fotocopiatrici, fax,
nonché nei monitor a cristalli liquidi (LCD) dei PC. Nel caso delle AMA, strati successivi di
film sottili sono depositati su di un supporto di vetro di grandi dimensioni (fino ad 1m x 1m)
impiegando il gas Silano (SiH4). Il processo avviene in un reattore al plasma alla temperatura
di circa 250◦ C, impiegando, generalmente, la tecnica PECVD (Plasma Enhanced Chemical
Vapor Deposition). Le caratteristiche salienti sono:
1. il singolo film silicio amorfo (a-Si:H), presenta, contemporaneamente, caratteristiche di
ordine a corto raggio e di disordine a lungo raggio, con proprietà che possono variare,
in relazione ai parametri di deposizione (temperatura o frequenza di plasma) tra quelle
dei materiali cristallini e di quelli amorfi (nano, micro e policristallini). Ne deriva una
configurazione energetica a bande, tipica dei materiali cristallini, insieme con la formazione di stati all’interno della banda proibita, che sarebbero impossibili in un cristallo
perfetto. L’aspetto disordinato è responsabile, tra l’altro, dell’altissima tolleranza ai difetti indotti dalle radiazioni X e gli stati nella banda proibita determinano le principali
proprietà elettriche del materiale.
2. durante il processo di deposizione, diversi gas possono essere introdotti nel plasma, per
controllare accuratamente il livello di drogaggio degli strati successivi del materiale,
che includono strati isolanti, conduttori e quelli dedicati alle interconnessioni tra i vari
componenti elettronici (ad esempio transistors, fotodiodi o condensatori), necessari per
consentire l’operatività delle AMA.
3. l’impiego di tecniche fotolitografiche, infine, permette di rimuove selettivamente le parti
non utili del sistema, che, a seconda della complessità può essere costituito da 4 a 12
strati.
8.3.2
Sistema Diretto con Fotocatodo a-Se
Il metodo diretto è la modernissima e più efficace tecnologia presente oggi sul mercato.
Visti i recenti sviluppi si conosce una sola tecnica in grado di fare la conversione diretta del
segnale, con uno schermo FPD. Il detettore a conversione diretta è costruito aggiungendo uno
strato fotoconduttore in posizione adiacente al TFT in silicio amorfo e al condensatore di
accumulo di carica.
Il selenio amorfo (a-Se) è utilizzato come materiale costituente il fotoconduttore per le sue
eccellenti proprietà di rivelazione dei raggi-X e per la sua elevatissima risoluzione spaziale
intrinseca. Il processo di formazione dell’immagine utilizzando la metodica del sistema diretto
è mostrato in figura 8.10.
Prima dell’esposizione si applica un campo elettrico attraverso lo strato di selenio amorfo,
mediante un elettrodo di polarizzazione posto sulla superficie superiore del selenio. Durante
l’assorbimento dei raggi-X nel rivelatore, le cariche elettriche generate vengono prelevate lungo
le linee del campo elettrico e condotte direttamente agli elettrodi del condensatore di accumulo
di carica, come mostrato in figura 8.11.
La sottostante elettronica di lettura amplifica la carica raccolta in ogni condensatore di
accumulo e la quantizza in codice digitale per ogni pixel.
Gli elementi del rivelatore sono efficacemente separati dal campo elettrico all’interno dello
74
Radiologia Digitale
Figura 8.10: Sistema Diretto
Figura 8.11: Raccolta delle cariche tramite applicazione di un campo elettrico
75
strato di selenio e quindi l’intera superficie di selenio è disponibile per la conversione della
carica generata dai raggi-X. Pertanto la struttura dell’elettrodo di raccolta della carica ha un
Fattore di Riempimento Effettivo, ovvero il rapporto di area sensibile rispetto all’area totale
esposta del rivelatore, prossimo al 100%. Tale valore è ottenibile utilizzando linee di campo
elettrico che coprono anche lo spazio fra gli elettrodi. Con la DR indiretta si ottiene invece
un fattore di riempimento effettivo che è all’incirca 81%, come mostrato in figura 8.12, il che
significa che il 19% della radiazione incidente non contribuisce alla formazione dell’immagine.
Figura 8.12: Pixel di una matrice atttiva
Dato che il selenio è usato nella sua forma amorfa, è possibile creare ampie piastre di
questo materiale mediante deposizione in fase vapore, una tecnologia altamente riproducibile
ed economicamente vantaggiosa.
Una caratteristica peculiare di questa metodica è che il rivelatore a conversione diretta non
modifica la sua risoluzione al variare dello spessore del selenio amorfo assorbente. Grazie al
maggiore fattore di riempimento, il sistema indiretto permette una effettiva riduzione di dose
al paziente a parità di qualità dell’immagine.
In figura 8.13 si riporta infine il confronto tra le tre modalità per quanto concerne la risoluzione
spaziale, espressa in termini di line spread function o funzione di distribuzione lineare: la netta
superiorità della conversione diretta è ben osservabile.
Figura 8.13: Confronto dei tre sistemi principali utilizzati per la formazione dell’immagine
radiologica
76
Radiologia Digitale
Capitolo
9
Modello Analitico del Software
Indice
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Modello Fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Simulazione dello Scatter al Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Simulazione dello Scatter Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulazione della Sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Caratterizzazione dell’Output dell’Apparecchio Radiologico . . . . .
9.2.2 Generazione degli Spettri per un Apparecchio Radiologico . . . . . .
Simulazione del Fascio di Raggi-X . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulazione del Detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulazione del Fantoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulazione Dosimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Legge dell’Inverso del Quadrato delle Distanze . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro monoenergetico . . . .
9.6.3 Attenuazione e Trasmissione per uno spettro polienergetico . . . . .
9.6.4 Contributo della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.5 Contributo della Radiazione Diffusa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
75
76
82
83
84
84
86
88
90
90
90
92
93
95
99
In questo capitolo si cercherà di spiegare da un punto di vista matematico come è stato
sviluppato il software che stima la dose assorbita effettiva, attraverso la simulazione del fascio
primario e della radiazione diffusa. Da un punto di vista fisico verrà esposto il modello analitico
sviluppato e adottato, definendo le motivazioni delle scelte effettuate
9.1
Modello Fisico
Quando un oggetto viene posto in un fascio di raggi-X, ogni punto di questo oggetto può
essere considerato come una seconda sorgente. In questo modo un detector, ovunque esso sia
posto, riceve oltre che al contributo della radiazione primaria, anche il contributo della radiazione diffusa dall’oggetto stesso.
Al fine di dare una stima corretta della dose assorbita dal paziente in radiologia diagnostica ed
interventistica, risulta quindi necessario considerare lo scattering generato dal paziente stesso.
Questo viene effettuato mediante la simulazione, oltre che del fascio primario anche della radiazione diffusa, tramite l’utilizzo di modelli fisici basati tutti sulla teoria del passaggio della
78
radiazione nella materia e sulla tecnica del Ray Tracing o Ray Casting.
L’Approssimazione del Fattore di Forma Atomico, ovvero Form-Factor Aproximation, è il
modello maggiormente utilizzato nella simulazione dello scattering Rayleigh nella teoria del
trasporto di fotoni. Esso decrive lo scattering a partire dalle distribuzioni delle cariche atomiche. Nel campo di applicazione di questa approssimazione, la sezione d’urto differenziale per
lo scattering di fotoni incidenti non polarizzati è scritta come:
r2
dσ0
dσRayleigh
= 0 (1 + cos2 θ)[F (q, Z)]2 =
[F (q, Z)]2
dΩ
2
dΩ
(9.1)
0
dove dσ
dΩ è la sezione differenziale d’urto di Thomson, θ è l’angolo tra la direzione del fotone
incidente e quella del fotone scatterato, r0 il raggio classico dell’elettrone; F (q, Z) indica il
fattore di forma atomico, funzione della grandezza momento trasferito q e del numero atomico
Z; q è determinato dalla relazione:
θ
E
(9.2)
q = 2 sin
c
2
dove E è l’energia el fotone e c la velocità della luce nel vuoto. In letteratura viene spesso
utilizzata la variabile X invece che q. La relazione tra X e q è la seguente:
sin θ2
q
=
(9.3)
X=
2h
λ
dove h è la costante di Plank e λ è la lunghezza d’onda del fotone incidente.
Come conseguenza delle variazioni del fattore di forma atomico, la sezione d’urto differenziale
è fortemente piccata nella direzione di propagazione del fotone incidente. Molte tabulazioni
dei vari fattori di forma atomici (ottenute con metodi sia relativistici che non relativistici) sono
disponibili, e tra queste quelle di Hubble et al. sono largamente utilizzate. I fattori di forma
atomici non relativistici di Hubbel sono inclusi nel database EPDL97, distribuito da Cullen et
al.
Molti gruppi di ricerca hanno tabulato i valori delle sezioni d’urto differenziali relative allo
scattering Rayleigh, investigando la validità delle diverse possibili approssimazioni (Fattore
di Forma Atomico, Fattore di Forma Atomico Modificato, Fattore di Scattering Anomalo,
Matrice-S).
L’approssimazione del fattore di forma atomico non è il modello più accurato, ma ad oggi è
largamente utilizzata per la sua semplicità e la relativa buona precisione. Gli aspetti principali
di tale approssimazione sono i seguenti:
• Non approssima bene per energie di fotoni vicine o sotto la soglia dell’effetto fotoelettrico
della shell K, e per trasferimenti di momenti molto alti
• Sopra la soglia della shell K, le sezioni d’urto predette dall’approssimazione del fattore
di forma atomico sono molto buone (errori minori di qualche percento) nella direzione
di propagazione del fotone incidente, per tutti gli elementi
• Le sezioni d’urto differenziali calcolate con l’approssimazione del fattore di forma atomico
sono corrette (errori minori del 10%) per tutti gli angoli e tutti gli elementi, tranne che
per elementi pesanti; per questi resta valida per angoli piccoli su di un range energetico
che si estende dalla soglia della shell K fino a valori energetici pari a dieci volte tale soglia
• Ci sono evidenze teoriche e sperimentali che suggericono che i fattori di forma atomici relativistici producano piccole variazioni rispetto al calcolo tradizionale, in modo
particolare per gli atomi pesanti
Infine deve essere ricordato che l’approssimazione del fattore di forma atomico si basa sulla
teoria dello scattering di fotoni di un singolo atomo. Questo implica che non vengano considerati nessun tipo di effetto di legame chimico tra i vari elementi o tra i singoli atomi di un
9.1 Modello Fisico
79
unico elemento. Dato che gli effetti di interferenza tra gli atomi o molecole che diffondono sono
tipicamente piccoli nella maggior parte delle metodiche di imaging con raggi-X, si utilizzerà in
seguito l’approsimazione di additività, ovvero la sezione d’urto di un mezzo (sia esso composto
da un singolo elemento o un composto) sarà approssimata come la somma delle singole sezioni
d’urto atomiche dei singoli atomi costituenti il mezzo stesso.
Per quanto concerne lo scattering Compton, il modello a cui si fa riferimento è l’approssimazione
della Funzione di Scatter Incoerente, ovvero Incoherent Scatter Function Aproximation. Nel
caso della diffusione di un elettrone libero in quiete, la conservazione dell’energia e del momento, espresse nel campo della cinematica relativistica, restituisce le seguenti relazioni tra
l’energia del fotone incidente E, l’energia del fotone scatterato E 0 e l’angolo compreso tra la
direzione di propagazione del fotone primario e la direzione del fotone diffuso:
1
1
1
−
(1 − cos θ)
(9.4)
=
0
E
E
me c2
dove me è la massa a riposo dell’elettrone.
Applicando la teoria quantisitica relativistica, Klein e Nishina hanno derivato la seguente
espressione angolare della sezione d’urto differenziale, nell’ipotesi di radiazione non polarizzata
e ponendo α = mEe c2 :
dσKN (θ, E)
=re2
dΩ
1 + cos2 θ
2
1
×
[1 + α(1 − cos θ)]2
α2 (1 − cos θ)2
× 1+
(1 + cos2 θ)[1 + α(1 − cos θ)]
(9.5)
A causa dell’effetto di legame dell’elettrone di ogni singolo atomo, la sezione d’urto differenziale
atomica di Klein-Nishina non può essere corretta. La correzione più largamente utilizzata per
considerare l’elettrone non come libero ma legato, è appunto l’approssimazione della funzione
di scatter incoerente. In questa approssimazione, la sezione d’urto differenziale atomica dello
scattering Compton è il prodotto della sezione d’urto differenziale angolare di Klein-Nishina
per una funzione di scatter incoerente S(X, Z):
dσCompton
dσKN (θ, E)
=
S(X, Z)
dΩ
dΩ
(9.6)
La funzione di scatter incoerente è una semplice approssimazione per tener conto del fatto
che gli elettroni legati possono contribuire allo scattering Compton solo se l’energia trasferita
E − E 0 è molto più grande della energia di legame Eb della shell considerata. S(X, Z) è una
misura del numero di elettroni che contribuiscono allo scattering come se questi fossero liberi.
In ogni caso non viene considerato l’effetto Doppler Broadening, ovvero non viene considerato
l’effetto della quantità di moto posseduta dall’elettrone coinvolto nel processo Compton.
Diverse tabulazioni della funzione di scatter incoerente sono disponibili, tra le quali quelle di
Hubbel et al. sono le più utilizzate. Questo set di funzioni è inclusa nel database EPDL97.
A basse energie, la funzione di scatter incoerente svolge un ruolo importante nel sopprimere
la componente di scatter che si propaga in direzione del fotone incidente. Ad alte energie, la
funzione di scatter incoerente gioca un ruolo meno importante, eccetto che per piccoli valori
di angolo di diffusione in cui sopprime lo scattering in direzione di propagazione del fotone
primario.
La validità dell’approssimazione della funzione di scatter incoerente è stata oggetto di studio
di diversi gruppi di ricerca, confrontando i valori teorici con i set di dati ottenuti sperimentalmente. I valori della funzione S(X, Z) ottenuti utilizzando l’approssimazione di Waller e
Hartree concordano quasi completamente con quelli ottenuti dall’approssimazione dell’impulso
relativistica, eccetto che per piccole differenze osservabili a piccoli momenti trasferiti nel caso di
elettroni delle shell più interne. Nella sua revisione delle informazioni esistenti a riguardo dello
scattering incoerente di fotoni, Hubbell conclude che l’approssimazione della funzione di scatter incoerente è ancora uno strumento utile per i calcoli riguardo il trasoprto della radiazione
80
nella materia. Afferma inoltre che per angoli piccoli, ovvero lungo la direzione di propagazione
del fotone primario, e per numeri atomici piccoli e medi, le tabulazioni non relativistiche di
S(X, Z) sono accurate entro il 5% o addirittura meglio, mentre per angoli maggiori e materiali
più pesanti le incertezze arrivano ad un massimo di 20%.
La teoria della matrice-S relativistica al secondo ordine sembra essere la miglior interpretazione della diffusione Compton, unica che permette un’applicazione a tutti gli spettri di energia.
Pratt e collaboratori hanno effettuato nuovi importanti calcoli dello scattering Compton sia
di elettroni delle singole shell interne che degli atomi utilizzando questa teoria. Tuttavia i
risultati non sono ancora disponibili in una forma sufficientemente conveniente per l’utilizzo
nei calcoli di simulazione del trasprto di radiazione nella materia.
Infine si deve ricordare che, utilizzando l’approssimazione di funzione di scatter incoerente, non
viene considerato nessun effetto di stato solido. Nei materiali, l’additività delle sezioni d’urto
differenziali viene tipicamente considerata come una legge soddisfacente, facendo l’assunzione
che gli atomi siano isolati, ovvero che lo stato solido abbia un effetto minimo sulle energie di
legame degli elettroni negli atomi.
9.1.1
Simulazione della Radiazione Primaria
La tecnica del Ray Tracing o Ray Casting, per altro utilizzata anche nella grafica 3D per
simulare le riflessioni e trasmissioni della luce sugli oggetti, utilizza la geometria vettoriale per
individuare i punti di intersezione di un raggio con gli oggetti interposti sul suo cammino.
Tipicamente il raggio viene simulato attraverso una retta nello spazio 3D e gli oggetti vengono
descritti dalle loro superfici 3D.
Per la simulazione di un fascio di raggi-X si utilizza appunto un approccio basato sulla teoria del Pencil-beam, ovvero si ipotizza che il fascio totale di raggi-X sia costituito da tanti
piccoli fasci, chiamati pencil-beam, che possono quindi essere approssimati a delle rette. Poi
si calcola l’intersezione con gli oggetti 3D di ogni singolo pencil-beam, sia in entrata che in
uscita. Risulta cosı̀ possibile stimare lo spessore attraversato dalla retta e quindi dal pencilbeam di raggi-X. In questo modo è possibile calcolare il deposito di energia che avviene lungo
il percorso nell’oggetto a partire dalle caratterisitiche stesse dell’oggetto e del fascio primario.
È possibile anche stimare l’intensità trasmessa di ogni singolo pencil-beam e simulare quindi
anche il deposito di energia che avviene sul rivelatore, in modo da ottenere il contributo della
radiazione primaria alla formazione dell’immagine radiologica rilevata. Inoltre sarà proprio
lungo il percorso nell’oggetto che si svilupperà la simulazione della radiazione diffusa, dato
che la diffusione dell’aria risulta trascurabile rispetto a quella dell’oggetto interposto sul fascio
di raggi-X. Infatti l’energia assorbita dall’aria è trascurabile rispetto a quella assorbita dal
fantoccio o dal paziente.
9.1.2
Simulazione dello Scatter al Primo Ordine
Si è deciso di simulare soltanto lo scatter al primo ordine, ovvero considerare solo i fotoni
che raggiungono il detector dopo solo un’interazione di diffusione avvenuta nel mezzo. Si è
poi deciso di utilizzare lo stesso approccio deterministico usato per le immagini generate dal
fascio primario e generalizzare quindi gli algoritmi utilizzati nel ray-tracing con pencil-beam.
Le principali motivazioni per cui si è deciso di considerare soltanto il primo ordine di scatter
sono le seguenti:
• Limitandosi al primo ordine di scatter, l’approccio deterministico è molto più veloce
delle simulazioni Monte Carlo, con nessuna presenza di rumore nei risultati, dato che
una simulazione analitica fornisce direttamente il numero di fotoni che colpiscono il
detector.
• Gli algoritmi per il primo ordine di scatter sono abbastanza semplici, veloci e facili da
implementare ed ottimizzare rispetto agli algoritmi per ordini maggiori di scatter.
9.1 Modello Fisico
81
• La simulazione di scatter multiplo utilizzando un approccio completamente deterministico richiede un enorme costo computazionale. Infatti per lo scatter multiplo risulta più
conveniente utilizzare simulazioni Monte Carlo.
L’approssimazione del fattore di forma atomico e l’approssimazione delle funzione di scatter
incoerente vengono ritenute il miglior compromesso per modellizzare lo scatter Rayleigh e
Compton con sufficiente accuratezza e complessità accettabile.
Il software progettato presenta tre differenti modalità di calcolo e simualzione del fascio radiante generato dall’apparecchio radiologico, tutte basate sulla tecnica del ray-tracing e sull’approssimazione di pencil-beam per stimare il deposito di energia nel fantoccio e l’energia
uscente dal fantoccio stesso. Le tre modalità differiscono tra loro per la tecnica con cui si
campiona la radiazione sia primaria che secondaria e su come viene calcolato il contributo
della radiazione diffusa al primo ordine.
La modalità di “verifica” è suddivisa in due parti:“verfica step” e “verifica fast”. La prima
modalità di verifica campiona il fascio della radiazione primaria in base al campionamento
del rivelatore; dopo aver calcolato se il rivelatore ricopre totalmente o parzialmente il fascio
radiante primario, si campiona dapprima la radiazione primaria che non cade nel rivelatore
con lo stesso step di campionamento del rivelatore, per poi passare a calcolare i pencil-beam
della primaria che cadono nel rivelatore; per ogni singolo raggio primario, definiti i relativi
punti di entrata e uscita del fantoccio e definti i vari centri diffusori lungo il percorso interno
al fantoccio secondo un campionamento definito dall’utente, si calcolano tutte le semirette che
cadono sui vari pixel del rivelatore. In questo modo è possibile, grazie alla geometria vettoriale,
ricavare l’angolo di ogni singolo raggio diffuso e poter stimare cosı̀ la probabilità di diffusione
utilizzando le formule dei capitoli precedenti.
Questa modalità viene chiamata “verifica” perchè è possibile simulare un’immagine radiologica
da confrontare con quella reale per ogni singolo apparecchio e per un determinato fantoccio
omogeneo al fine di verificare la bontà del modello adottato e stimare i parametri necessari per
il calcolo dello scatter multiplo; l’immagine simulata viene infatti creata sommando l’intensità
che cade nel rivelatore sia della radiazione primaria che secondaria al primo ordine che lo scatter multiplo. Questà modalità permette anche di confrontare le simulazione del software con
quelle che si trovano in letteratura riguardanti la Cone-Beam Computed Tomography, sempre
allo scopo di validare il software creato.
La modalità “verifica” fin qui descritta viene chiamata nel software “verifica step”. Questo
perchè la radiazione diffusa viene campionata secondo un determinato “step” (o passo) ed
il numero di centri diffusori è quello che determina il costo computazionale: aumentando
il campionamento si aumanta il tempo si simulazione. È possibile tuttavia utilizzare una
tecnica, che nel software è definita “verifica fast”, che permette di ridurre notevolmente il
costo computazionale basata sulla integrazione della radiazione diffusa al primo ordine che
cade su un singolo pixel.
L’idea di base è quella mostrata in figura 9.2, in cui invece che calcolare la radiazione di
ogni singolo pixel come la somma di tutti i contributi dei singoli centri diffusori, si calcola
tale contributo come integrale di tutti i punti della retta che approssima il pencil-beam della
radiazione primaria all’interno del fantoccio. Si hanno per questo motivo due fondamentali
vantaggi:
• riduzione del costo computazionale
• stima più accurata del contributo della radiazione diffusa
La stima risulta essere più accurata perchè il campionamento in modalità “verifica step”
non riesce a simulare, in tempi accettabili, centri diffusori su scala atomica e quindi non si
ha una corretta valutazione del contributo della diffusa. Appunto perchè i centri diffusori
reali si trovano a distanze che stanno su scala atomica o quantomeno molecolare, è possibile
ipotizzare una loro distribuzione continua lungo il percorso della radiazione primaria, dato
che le dimensioni dei pixel del rivelatore simulato sono su scala millimetrica. Risulta quindi
82
Figura 9.1: Modalità verifica
9.1 Modello Fisico
83
possibile, con opportuni accorgimenti, integrare, lungo il percorso della radiazione primaria
effettuato all’interno del fantoccio, il contributo della radiazione diffusa su ogni singolo pixel,
come mostrato in figura 9.2. Questo è proprio quello che effettua la modalità “verifica fast”.
Figura 9.2: Esempio schematico del principio di integrazione e schema di interpolazione lineare
Per il calcolo numerico del contributo dello scatter singolo è stato implementato il seguente schema: dapprima l’intero fascio primario è stato campionato in Npx · Npy pencil-beam
primari. Per ogni singolo raggio primario si sono calcolati i punti di ingresso e uscita dal
fantoccio e per migliorare l’accuratezza del calcolo, lungo la lunghezza all’interno del fantoccio
di ogni singolo raggio primario si sono selezionati un numero di centri diffusori (da 3 ad un
numero a piacere dell’utente) per i quali è calcolato esattamente il contributo su ogni singolo
pixel secondo il modello fisico adottato e presentato nei capitoli precedenti. Si vengono in
questo modo a definire dei segmenti che campionano il raggio primario lungo il suo percorso
all’interno del fantoccio. Per integrare il contributo dello scatter al primo ordine lungo questi
segmenti, si utilizza una tecnica basata sull’interpolazione lineare delle sezioni d’urto e della
lunghezza attraversata dal pencil-beam diffuso all’interno del fantoccio, calcolate esattamente
per i centri diffusori presenti lungo il percorso della radiazione primaria. La figura 9.2 mostra
lo schema di interpolazione lineare utilizzato. Si è adottata questa approssimazione perchè
risulta impossibile avere una risoluzione analitica dell’integrazione del contributo della radiazione diffusa lungo il percorso della primaria, dato che per ogni singola tipologia di fantoccio
le condizioni al contorno cambiano radicalmente.
Con riferimento alla figura 9.2 si ipotizzi la simulazione di un fascio primario e si selezionino
lungo il percorso del pencil-beam primario, per esempio quello centrale al fascio, tre centri
diffusori alle posizioni s0 , s1 , s2 . Per ognuno di questi centri diffusori, la probabilità di scattering σ (θ) deve essere calcolata come l’integrale di superficie sulla sezione d’urto di scattering
dσ
differenziale angolare dΩ
(θ) per l’intera superficie del pixel del detector Adet , ovvero:
Z
dσ
σ (θ) =
(θ) dΩ
(9.7)
Adet dΩ
che può essere approssimata per aree piccole dei pixel del detector (tipicamente nelle simulazioni sono dell’ordine di pochi mm2 ) e grandi distanze r dal centro diffusore al pixel del detector
(tipicamente nelle simulazioni sono dell’ordine delle centinaia o migliaia di mm) come:
dσ
Adet · cos (φ)
(9.8)
(θ) ·
dΩ
r2
In questa equazione, φ è l’angolo tra la normale del pixel del rivelatore e il pencil-beam diffuso
del centro diffusore che cade sul pixel stesso, come mostrato in figura 9.3. La sezione d’urto di
scattering differenziale angolare è ottenuta a partire dai modelli fisici precedentemente descritti utilizzando le tabelle fornite dalla libreria EPDL97, sia per il processo Compton che Rayleigh.
σ (θ) ≈
La figura 9.3 mostra i fattori che influenzano il calcolo della radiazione diffusa al primo
ordine. Per una determinata posizione della sorgente del pencil-beam primario e del pixel sul
84
Figura 9.3: Fattori componenti la stima della radiazione diffusa al primo ordine
detector viene determinata la lunghezza del pencil-beam primario e diffuso percorsa all’interno del fantoccio. Il contributo all’intensità di scatter Scd di questo pencil-beam primario
alla radiazione diffusa di primo ordine è ottenuto considerando l’attenuazione all’interno del
fantoccio del pencil-beam primario e−µd1 fino al centro diffusore cd, la probabilità di diffusione in dipendenza dall’angolo tra il pencil-beam primario ed il pencil-beam diffuso σ (θ) e
dell’attenuazione dentro il fantoccio della radiazione diffusa e−µd2 . Allora risulta che, come
mostrato in figura 9.3:
Scd ∝ e−µd1 · σ (θ) · e−µd2
(9.9)
Definiamo la quantità che rappresenta l’attenuazione all’interno del fantoccio per il singolo
pencil-beam primario ed il corrispettivo pencil-beam diffuso e−µD = e−{µd1 +µd2 } . Da notare
che µ non può essere raccolto, in quanto µ (E) ovvero dipendente dall’energia della radiazione.
Infatti modellizzando lo scatter, se per lo scatter Rayleigh l’energia della radiazione diffusa E 0
risulta essere la stessa della primaria E, per lo scatter Compton si ha una dipendenza dall’angolo di scatter e quindi l’energia della radiazione diffusa non coincide con quella primaria. In
termini di coefficienti lineari di attenuazione µ (E) 6= µ (E 0 ).
Si vuole ora calcolare il contributo della radiazione diffusa dovuta ad un singolo pencil-beam
primario in modo da poter considerare ogni singolo centro diffusore lungo il percorso della
primaria all’interno del fantoccio, ovvero integrando lungo il percorso del pencil-beam primario. Con riferimento alla figura 9.2 si calcola per esempio il contributo Spi (s0 , s1 ) del segmento
[s0 , s1 ] all’intensità di scatter nel seguente modo:
Spi (s0 , s1 ) =
Z
s1
σ (s) e−µD(s) ds
(9.10)
s0
Come mostrato in figura 9.2, sia la probabilità di scattering σ (θ) che l’attenuazione µD
sono interpolate linearmente in funzione del parametro di posizione s. Valgono quindi le
seguenti relazioni:
σ(s)−σ0
σ1 −σ0
s−s0 = s1 −s0
(9.11)
µD(s)−µD0
0
= µDs11 −µD
s−s0
−s0
da cui si ricava:
σ (s) =
µD (s)
h
i
σ1 (s−s0 )
1 −s)
+ σ0s(s
1 −s0
hs1 −s0
i
0)
1 −s)
= µDs11(s−s
+ µDs01(s
−s0
−s0
(9.12)
L’equazione 9.10 può allora essere scritta come:
Spi
Zs1 σ0 ·
(s0 , s1 ) =
s0
s1 − s
s − s0
+ σ1 ·
s1 − s0
s1 − s0
·e
s −s
s−s
− µD0 · s 1−s +µD1 s −s0
1
0
1
0
ds
(9.13)
9.1 Modello Fisico
85
Allora per un caso più generale il contributo dello scattering relativo ad un raggio primario
tra due centri diffusori adiacenti si e si+1 all’interno del percorso nel fantoccio, per qualsiasi
combinazione di posizione della sorgente e del fantoccio è calcolato come:
Spi
sZi+1
σi ·
(si , si+1 ) =
si+1 − s
s − si
+ σi+1 ·
si+1 − si
si+1 − si
·e
s
−s
− µDi · s i+1−s +µDi+1 s
i+1
i
s−si
i+1 −si
ds
si
(9.14)
L’integrale, ora analitico, in seguito ad alcuni passaggi matematici e semplificazioni, risulta
essere quindi:
Spi (si , si+1 ) =
σi si
σi+1 si+1
· e−µDi+1 +
· e−µDi −
µDi − µDi+1
µDi − µDi+1
σi si+1
σi+1 si
−
· e−µDi −
· e−µDi+1 +
µDi − µDi+1
µDi − µDi+1
(σi+1 si+1 − σi si+1 − σi+1 si + σi si ) e−µDi − e−µDi+1
+
·
µDi − µDi+1
µDi − µDi+1
(9.15)
Se ora si pone si = 0 l’integrale ulteriormente si semplifica in:
Spi (si , si+1 ) =
σi · si+1
σi+1 · si+1
· e−µDi+1 −
· e−µDi +
µDi − µDi+1
µDi − µDi+1
−µDi
σi+1 · si+1
− e−µDi+1
σi · si+1
e
+
−
·
µDi − µDi+1
µDi − µDi+1
µDi − µDi+1
(9.16)
Per il caso specifico in cui s0 = 0 e per il calcolo del primo segmento del pencil-beam primario
centrale al fascio riportato in figura 9.2, semplificando alcuni contributi del precedente integrale
si ottiene:
σ1 · s1
σ0 · s1
Spi (s0 , s1 ) =
· e−µD1 −
· e−µD0 +
µD0 − µD1
µD0 − µD1
−µD0
(9.17)
− e−µD1
σ0 · s1
e
σ1 · s1
−
·
+
µD0 − µD1
µD0 − µD1
µD0 − µD1
Infine il contributo totale SP ixel dello scatter al primo ordine che finisce nel singolo pixel è
calcolato sommando dapprima i contributi degli N segmenti formanti in percorso del raggio
primario all’interno del fantoccio e poi sommando gli Npx · Npy raggi primari che intersecano
k
k
, sempre sotto l’ipotesi che la
che Rayleigh SR
il fantoccio per lo scatter sia Compton SC
diffusione dovuta all’aria sia trascurabile.
"
#
Npx ·Npy
Npx ·Npy N −1
N
−1
X
X
X
X
P
i
i
SP ixel =
Stot =
SR (si , si+1 ) +
SC (si , si+1 )
(9.18)
P =1
P =1
i=0
i=0
La modalità “verifica fast” può essere interpretata come un caso estremo di filtraggio convolutivo, dove per ogni singolo pencil-beam primario la Single Scatter Point Spread Function
è calcolata ottimamente in base alla conoscenza della forma del fantoccio. Maggiori saranno
infatti i centri diffusori, migliore risulterà la stima del contributo dello scatter al primo ordine,
ma maggiore sarà anche il costo computazionale. Infatti anche con solo tre punti diffusori la
stima risulta essere accurata ed il tempo di calcolo risulta essere assai ridotto rispetto alla
“verifica step”. Infatti calcolando il costo computazionale (costo) per le due modalità si hanno le seguenti situazioni; per un fascio radiante con un detector campionato con Npx · Npy
pencil-beam primari e quindi anche Ndx · Ndy = Npx · Npy pencil-beam diffusi per ogni singolo
centro diffusore, si comprende benissimo che per esempio per un fantoccio cilindrico infinitamente lungo e di spessore 300 mm (in una tipica simulazione di apparecchio radiologico con
un definito spettro energetico), se consideriamo un campionamento dei centri diffusori pari ad
1 mm, 0.5 mm e 0.25 mm per la modalità “verifica step” (ovvero Ncd = 300, 600, 1200 centri
diffusori) e di solo Ncd = 2, 3, 4 centri diffusori (ovvero 1,2,3 segmenti lungo un raggio primario
86
che interseca il fantoccio) per la modalità “verifica fast”, si ottiene la seguente tabella 9.4 di
confronto dei tempi di calcolo espressi in secondi, in cui il tempo di calcolo è stato stimato
2
come costo (Npx , Npy , Ncd ) = Ncd (·Npx · Npy ) , ovvero esiste quasi un fattore 300 di differenza.
Figura 9.4: Tabella riportante la stima dei tempi di calcolo per le due modalità verifica
La terza modalità implementata nel software è chiamata “verifica voxel” ed è stata implementata per ottenere oltre che alla simulazione di un fascio radiante e della radiazione
diffusa, anche il calcolo della energia depositata nel paziente non solo in base al principio
di conservazione dell’ energia, ma anche calcolando la dose assorbita dal paziente stesso in
ogni suo organo. Per fare questo si è campionato il fantoccio con dei voxel e per ogni singolo voxel è stato
calcolato la dose assorbita dalla radiazione primaria secondo la relazione
R
µ
D a = ΨE · ρ
dE a partire dalla fluenza di energia ΨE . L’intensità della radiazioM ateriale
ne primaria è calcolata come al solito attraverso il Ray-Tracing descritto per le altre modlità,
ma con la differenza che in questo caso al posto dei pixel del rivelatore ci sono i punti centrali
dei voxel. Analogamente per la radiazione diffusa si calcola la dose assorbita da ogni singolo
voxel come nel caso della radiazione primaria, con la differenza che ogni voxel viene visto come
una sorgente secondaria che contribuisce alla dose assorbita di tutti i voxel. Questo processo
di somma delle radiazioni diffuse viene poi ripetuto per k-volte fino ad un valore minimo di
energia assorbita chiamato di cut-off per il quale la dose assorbita dovuta a tale radiazione
diffusa non è importante. Tipicamente da dati noti in letterature l’ordine minimo per ottenere dei valori corretti è 4, ovvero si deve considerare lo scatter multiplo fino al quarto ordine
[23], [24]. Per stimare poi la radiazione diffusa che cade sul rivelatore si procede come nella
modalità “verifica step”. A questo punto si comprende benissimo che questa modalità, anche
se permette di ottenere una distribuzione spaziale 3D della dose assorbita dal paziente, da
un punto di vista computazionale aggiunge un costo computazionale enorme, direttamente
k
proporzionale a Nvoxel
in cui k rappresenta l’ordine di scatter sul quale effettuare il cut-off
ed Nvoxel il numero di voxel che compongono il fantoccio. Inoltre le dimensioni dei voxel, al
fine di non introdurre artefatti nei valori stimati, devono essere di dimensioni molto piccola
rispetto a quelle del paziente. Tutto questo può essere superato utilizzando dei cluster di pc,
mentre la simulazione con questa modalità su un singolo pc risulta essere impossibile. Unica
simulazione fattibile con questa modalità è lo scatter al primo ordine che è stato confrontato
con i valori ottenuti con le altre modalità mostrando un completo accordo. Tuttavia all’Ospedale S.Chiara è in previsione di utilizzare un cluster di pc e quindi è stato implementato sul
software anche questa modalità per essere utilizzata in futuro per determinare non solo la dose
assorbita dal paziente in radiologia digitale, ma anche in radioterapia, sfruttando il fatto che
questa modalità permette di ottenere una distribuzione tridimensionale della dose assorbita
all’interno del pazienta senza alcuna procedure invasiva sul paziente.
9.2 Simulazione della Sorgente
87
In sintesi, dopo aver verificato che tutte e tre le modalità implementate restituiscono gli stessi
valori, si è deciso di sfruttare per le varie simulazioni, sia in fase di validazione del modello
fisico adottato che in fase di simulazione reale, la modalità “verifica fast” in quanto permette
di effettuare simulazioni con tempi che variano da pochi minuti ad alcune ore su un unico pc
e con rivlatori con un campionamento maggiore rispetto alle altre modalità.
9.1.3
Simulazione dello Scatter Multiplo
Nei paragrafi precedenti è stato mostrato come, a partire da una rappresentazione 3D di un
oggetto e da un modello fisico, sia possibile calcolare con molta accuratezza in modo analitico
la distribuzione dell’intensità della radiazione diffusa al primo ordine.
Tuttavia, come detto in precedenza, un considerevole contributo della radiazione diffusa che
viene rilevata dal detector proviene dallo scatter multiplo originatosi all’interno dell’oggetto.
Per scatter multiplo si intende la radiazione che subisce più di un evento di diffusione; la simulazione analitica di questo fenomeno porta ad un costo computazionale enorme, dato che
tipicamente l’ordine di scatter minimo da considerare per una simulazione, sia essa Monte
Carlo od analitica, è il quarto.
Per ovviare a questo dispendio di tempo si è adottato un modello fisico diverso da quello analitico utilizzato precedentemente per la stima dello scatter al primo ordine e diverso anche da
quello utilizzato nella modalità “verifica voxel” dato l’enorme dispendio temporale di questa
tecnica. Si tratta di un modello parametrico che sfrutta il detector e l’immagine da esso creata per determinare il contributo della radiazione multipla. L’innovazione della tesi consiste
proprio nell’utilizzo dell’immagine radiologica vista ora non solo come immagine medica diagnostica ma come matrice bidimensionale di valori che esprimono i contributi della radiazione
totale, sia primaria che diffusa, che viene assorbita dal rivelatore stesso.
In letteratura è noto che la probabilità di scatter multiplo è legata all’intensità della radiazione incidente, all’attenuazione di tale radiazione ed alle dimensioni dell’oggetto all’interno del
quale lo scatter multiplo si origina. Si è pertanto adottato un modello fisico parametrico che
considerasse tutti questi aspetti, ovvero matematicamente parlando si è stimato il contirbuto
Mij dello scatter multiplo per ogni singolo pixel ij come:
Mij = p1 + p2 · Sij · +p3 · Sij · µD̄ij + p4 · Sij · Fij
(9.19)
in cui gli indici ij rappresentano gli indici del pixel della matrice del rivelatore, Sij il contributo
dello scatter al primo ordine calcolato analiticamente come detto nei paragrafi precedenti, µD̄ij
l’attenuazione media per ogni pixel della radiazione diffusa al primo ordine e Fij un fattore
di copertura che rappresenta il rapporto dell’area del pixel con l’area totale del detector se il
pixel stesso si trova nella proiezione dell’oggetto sul rivelatore, altrimenti assume valore nullo.
I parametri p1 , p2 , p3 , p4 sono calcolati secondo la tecnica della regressione lineare multipla
per ogni immagine radiologica generata. In questo modo risulta possibile ottenere un modello
adattivo per ogni acquisizione a partire dalla simulazione analitica dello scatter al primo ordine
in tempi molto ridotti, che rendono possibile una stima della dose assorbita dal paziente in
poco tempo.
Stimati i parametri a partire da profili ricavati dall’immagine radiologica opportunamente
convertita in valori di dose assorbita dal rivelatore, risulta pertanto possibile ottenere per ogni
singolo pixel il contributo dello scatter multiplo.
9.2
Simulazione della Sorgente
La simulazione della sorgente è stata effettuata con alcune approssimazioni ed utilizzando il
programma Xcomp5, basato sulla modellizzazione del fenomeno di Bremsstrhalung, descritto
nei capitoli precedenti, per anodi radiologici in tungsteno, riportato in figura 9.5.
88
Figura 9.5: Presentazione programma Xcomp5
Tale programma è un file eseguibile .exe che presenta la seguente schermata, riportata in
figura 9.6 in cui inserire i dati necessari per la simulazione di una sorgente di raggi-X.
Figura 9.6: Dati Input per Xcomp5
Vengono richiesti in input la tensione, la corrente e l’angolo anodico dell’apparecchio radiologico, gli spessori e i materiali di filtrazione del fascio di raggi-X. I dati di output del
programma sono quelli riportati in figura 9.2, ovvero lo spettro energetico del fascio di raggi-X
uscente dall’apparecchio radiologico, come quello presentato in figura e altri dati relativi al
flusso di fotoni totale, il flusso di fotoni della shell K e L ed i rispettivi valori di kerma alla
distanza di riferimento dall’apparecchio radiologico, precedentemente richiesta in fase di input
dei dati, come mostrato in figura 9.2.
(a) Spettro
9.2.1
(b) Dati Output
Caratterizzazione dell’Output dell’Apparecchio Radiologico
Introdotta la grandezza Rateo di Kerma in Aria, definita alla distanza d dalla sorgente
radiogena puntiforme alimentata con una corrente I e di un dato spettro di emissione Spettro,
si può scrivere:
I
K̇Spettro (d, I) = ΓRK,Spettro · 2
Gys−1
(9.20)
d
9.2 Simulazione della Sorgente
89
e definita la grandezza Air Kerma Strength:
AKSSpettro (d, I) = K̇Spettro (d, I) · d2 = ΓRK,Spettro · I
Gym2 s−1
(9.21)
si ottiene la grandezza Output Standardizzato
K̇SpettroRif (d0 , I0 ) 2
AKSSpettroRif (d0 , I0 )
· d0 =
(9.22)
I0
I0
che, misurato in Gym2 s−1 A−1 = mGym2 s−1 mA−1 , caratterizza il singolo apparecchio ed
è determinata dalla misura del rateo di kerma in aria ad una data distanza di riferimento
per la distanza stessa al quadrato diviso la corrente di alimentazione ad una fissata tensione
di riferimento T ensRif che definisce lo spettro di emisione di riferimento SpettroRif . Le
grandezze precedentemente utilizzate hanno le seguenti unità di misura:
ΓRK,SpettroRif =
K̇ = Rateo di Kerma in aria [Gy/s]
I = Corrente al tubo radiologico [mA]
d = Distanza sorgente punto di interesse [m]
I0 = Corrente di taratura al tubo radiologico [mA]
d0 = Distanza di taratura sorgente punto di interesse [m]
Spettro = { Tensione, Filtro, SEV, Angolo Anodo, Materiale Anodo, Forma onda, ... }
SpettroRif = { TensioneRif, Filtro, SEV, Angolo Anodo, Materiale Anodo, Forma onda, ... }
Il rateo di kerma in aria per tensioni diverse dalla tensione di riferimento è ottenuto dalla
seguente relazione approsimata:
n
T ensione
I
(9.23)
K̇{T ensione, F iltro, ....} (d, I) = ΓRK,{T ensRif, F iltro, ....} · 2 ·
d
T ensRif
dove n = parametro sperimentale ≈ 2. Tipici valori di Output Standardizzato sono:
mGy · m2
ΓRK,{80kV p, 2mmAl,T ungsteno,18◦ } ≈ 0.065
mAs
Ogni singolo apparecchio radiologico è caratterizzato oltre che dall’Output Standardizzato
anche da una funzione chiamata Isotropia che definisce come varia il valore Output Standardizzato lungo tutto il fascio di raggi-X. Tale funzione tiene conto dell’effetto Heel e delle varie
influenze dei collimatori utilizzati in ogni singolo apparecchio e risulta pertanto caratteristica
del singolo sistema radiologico. Descrive quindi come viene modulato il fascio di raggi-X rispetto ad una emissione isotropa pura. Per questo motivo nella fase di simulazione si è deciso
di porre tale funzione di default come una funzione a gradino: questa funzione ha valore pari ad
1 se le coordinate del raggio simulato appartengono alla piramide che simula il fascio radiante,
pari a 0 se non vi appartengono. Tuttavia il controllo non viene fatto sulle coordinate, ma
sull’ampiezza del pencil-beam simulato rispetto agli angoli che definiscono il fascio di raggi-X.
In caso che sia nota dai tecnici come viene effettuata la modulazione, allora è possibile cambiare la funzione isotropia da quella posta di default a quella caratteristica del singolo apparecchio.
9.2.2
Generazione degli Spettri per un Apparecchio Radiologico
A questo punto risulta possibile stimare lo spettro di fotoni numerico secondo il seguente
modello:
• creazione dello Spettro Normalizzato a partire dallo spettro generato dal programma
XComp5
• calcolo della numerosità dei fotoni a partire dal valore di Output Standardizzato
90
L’andamento del parametro Output Standardizzato è calcolato a partire dalla tensione applicata utilizzando il fit ottenuto dalle misurazioni sperimentali effettuate con il dosimetro.
Il Kerma in aria è definito da:
K=
dET r
µT r
µT r
=
· ΨE =
· E · Ψn
dm
ρ
ρ
(9.24)
che nel caso di spettro non monoenergetico diviene:
K=
i=L
P
i=i
µT r (Ei )
ρ
· ΨE =
i=L
P
i=i
µT r (Ei )
ρ
· Ei · Ψn
L
livelli energetici spettro
h =
i numero
µ
m2
=
ρ
Kg
[E] = J
[Ψn ] = n Fotoni · m−2
[K] = Gy
(9.25)
Dato lo spettro energetico SpettrosorgenteRX = { ni , Ei } = N · { wi , Ei } dove:
i)
[ni ] = n fotoni(E
@ 1 m.
m2
[Ei ] = J
[wi ] = numero
i=N
P
ni
N=
i=1
wi = nNi
i=N
P
wi = 1
i=1
e definito anche Ψn = ni ·
d0 2
,
d
allora si ha che:
KSpettro.sorgenteRX (d) =
i=N
P
i=i
µEn (Ei )
ρ
Aria
dove :
d = Distanza sorgente - punto interesse
d0 = Distanza sorgente - punto riferimento
· ni ·
d0 2
d
· Ei
(9.26)
Definite queste quantità risulta ora posibile ricavare la numerosità dei fotoni, ovvero N , dalle
misure di di Output Standardizzato. Noti lo Spettro Energetico Normalizzato e l’ Output
Standardizzato pari al Kerma in aria ad 1 metro standardizzato [Output] = Gy/mAs@1m =
Gy ∗ m2 /mAs si ha che:
2
K(T ensione0 , d) dd0 · d20
OutputSpettro.SorgenteRX (d0 , T ensione0 ) =
Carica
2
d
2
KSpettro.SorgenteRX (T ensione0 , d) · d0 · d0
=
Carica
(9.27)
i=N
P µEn (Ei ) ·
n
·
E
· d20
i
i
ρ
Aria
Spettro.SorgenteRX
= i=i
Carica
i=N
P µEn (Ei ) ·
w
·
E
· d20
N·
i
i
ρ
Aria
Spettro.SorgenteRX
i=i
=
Carica
in cui Carica rappresenta le carica generata dal tubo radiogeno ed è misurata tipicamente in
[mAs]. A questo punto la numerosità N dei fotoni ricavata dall’Output Standardizzato può
essere moltiplicata per lo Spettro Normalizzato ed ottenere in questo modo uno Spettro di
Fotoni.
9.3 Simulazione del Fascio di Raggi-X
9.3
91
Simulazione del Fascio di Raggi-X
I punti geometrici di maggior interesse sono: Punto Sorgente, Punto Isocentro, Punto
Centro Fantoccio, Punto Centro Rivelatore. Scelto un sistema cartesiano con origine nel
Punto Isocentro abbiamo:
I = P Isocenter = {0, 0, 0}
La sorgente è definita dalle coordinate:
S = P Source = {xSource , ySource , zSource }
Il fantoccio è centrato nel punto:
C = P P hantom = {XP hantom , YP hantom , ZP hantom }
Il centro del rivelatore è definito come:
R = P Detector = {XDetector , YDetector , ZDetector }
e per i casi in cui tale rivelatore non è puntuale, si definscono le coordinate dei singoli pixel
{xDetettore , yDetettore , zDetettore } rispetto al centro stesso del detettore. Si definiscono poi le
grandezze legate alla geometria di irradiazione, ovvero le distanze:
SID = DSource−Isocenter = Source - Isocenter Distance
IDD = DIsocenter - Detector = Isocenter - Detector Distance
Definiti gli angoli che individuano l’asse del fascio radiante, rispetto al punto Sorgente:
θ0 = angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano XZ (in SRI)
φ0 = angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano YZ (in SRI)
Definito il Sistema Locale di Riferimento (SLR), solidale con la sorgente e quindi con il fascio
radiante, ed il Sistema di Riferimento Isocentro (SRI) (solidale con il fantoccio descritto dalle
coordinate x, y, z), si introduce ora un sistema di coordinate polari in cui, con riferimento alla
figura 9.7, la rappresentazione angolare è definita come:
Figura 9.7: Sistema di coordinate polari adottato
generico angolo θ = angolo nel SRI della proiezione del vettore sul piano XZ
generico angolo φ = angolo nel SRI della proiezione del vettore sul piano YZ
Con questo sistema di riferimento le relazioni diventano:
x = ρ · cos(φ) · sin(θ)
z = ρ · cos(φ) · cos(θ)
y = ρ · sin(φ) · cos(θ)
92
dove:
_
θ = K OPXZ
_
φ = K OPY Z
e quindi:
ρ · cos(φ) = OPXZ = proiezione del vettore sul piano XZ del SLR
ρ · cos(θ) = OPY Z = proiezione del vettore sul piano YZ del SLR
x = (ρ · cos(φ)) · sin(θ) = proiezione sul piano XZ riproiettato sull’asse X del SLR
y = (ρ · cos(θ)) · sin(φ) = proiezione sul piano YZ riproiettato sull’asse Y del SLR
z = ρ · cos(φ) · cos(θ) = (ρ · cos(φ)) · cos(θ) = proiezione sul piano XZ riproiettato sull’asse Z del SLR
~ = Vettore Punto Rivelazione = IR , la sor~ = Vettore Sorgente = IS e R
Introdotti i vettori S
~
gente è quindi definita anche dalle terne S = SID·{cos(θS ) · sin(φS ), sin(θS ) · sin(φS ), cos(θS )}.
Ora nel SLR si introducono gli angoli che definiscono la direzione del generico raggio:
α = Angolo di vista del raggio di interesse sul piano XZ
β = Angolo di vista del raggio di interesse sul piano σ ortogonale a XZ
λ = Angolo di rotazione attorno all’asse del fascio
e nel SRI si introducono i rispettivi angoli che definiscono sempre la stessa direzione del generico
raggio come:
ω = Angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano XZ
= α − 180
γ = Angolo della proiezione dell’asse fascio sul piano σ⊥XZ
= β − 180
Il fascio radiante è geometricamente definito dalle dimensioni del campo proiettate sul
piano XY a livello dell’isocentro: LX · LY quando la sorgente è allineata all’asse Z. Gli angoli
dei bordi sottesi sono definiti dalle relazioni seguenti:
LX = Ampiezza
campo ad Isocentro sul
piano XY
nella direzione
X
α1 = arctan - LX /2/DSource - Isocenter = arctan - LX /2/SID
α2 = arctan +LX /2/DSource - Isocenter = arctan +LX /2/SID
ed analogamente:
LY = Ampiezza
Y
campo ad Isocentro sul
piano XY
nella direzione
L
/2
L
/2
Y /
Y /
β1 = arctan
DSource - Isocenter = arctan
SID
+L
/2
+L
/2
Y
Y
/DSource - Isocenter = arctan
/SID
β2 = arctan
~ e dagli angoli α0 + α, β0 + β nel
Il raggio di interesse generico è individuato dal punto S
sistema di riferimento SLR, dove gli angoli relativi sono condizionati da:
α1 ≤ α ≤ α2
β1 ≤ β ≤ β2
Gli angoli α, β sono definiti angoli-raggio e definiscono l’ampiezza angolare della direzione
del raggio (nel SLR) rispetto all’asse del fascio, rispettivamente nel piano XY e σ⊥XZ. I
corrispondenti angoli nel SRI sono: ω = α − 180 e γ = β − 180. Gli angoli α e β sono infatti
definiti nel SRL, mentre ω e γ nel sistema SRI.
Nel SRI in coordinate polari si hanno i seguenti casi particolari:
~
θ = 0 e φ = qualunque ⇒ Vettore coincidente con Z
~
θ = 90 e φ = 0 ⇒ Vettore coincidente con X
~
θ = 90 e φ = 90 ⇒ Vettore coincidente con Y
9.4 Simulazione del Detector
93
Nel SRL sono interessanti le combinazioni di movimenti angolari cosi definite (nei casi in cui
φ = qualunque allora si assume φ = 0):
~
α = 0 e β = qualunque ⇒ Asse coincidente con + X
~
α = 90 e β = 0 ⇒ Asse coincidente con + Z
~
α = 180 e β = qualunque ⇒ Asse coincidente con - X
~
α = 270 e β = 0 ⇒ Asse coincidente con - Z
~
α = 90 e β = 90 ⇒ Asse coincidente con + Y
~
α = 270 e β = 90 ⇒ Asse coincidente con - Y
~
α = 90 e β = 180 ⇒ Asse coincidente con . + Z
~
α = 270 e β = 180 ⇒ Asse coincidente con + Z
~
α = 270 e β = 270 ⇒ Asse coincidente con + Y
9.4
Simulazione del Detector
Si è deciso di confrontare i dati ottenuti dalla simulazione con quelli presenti in letteratura
che avessero le stesse energie ed analoghi parametri rispetto alla radiologia digitale. Per questo
motivo si sono creati detector per tomografia computerizzata assiale e detector per radiologia
digitale ed interventistica. I primi sono dei pixel distribuiti su una superficie cilindrica, che a
seconda della tipologia del tomografo sono centrati rispetto all’isocentro o alla sorgente, mentre i secondi sono disposti come in un plate e quindi a formare un piano. Per ogni tipologia di
detector viene richiesta la coordinata spaziale del centro del detector e le dimensioni geometriche totali del detector. Poi si decide quanti pixel simulare all’interno del detector, sapendo che
all’aumentare del numero di pixel aumenta logicamente il costo computazionale, ma i risultati
sono più accurati.
Si passano ora in rassegna le principali tipologie di detectors considerate nella simulazione:
• Puntuale: geometricamente rappresentato da un punto a distanza IDD (Isocenter-Detector
Distance) dall’isocentro ed appartenente al piano XZ
• Lineare a Corona: geometricamente rappresentato da un settore circolare di ampiezza
angolare α ed appartenente al piano XZ
• Lineare a Segmento: geometricamente rappresentato da un segmento rettilineo di ampiezza angolare α ed appartenente al piano XZ (congiungente i punti estremi del rivelatore a settore circolare della stessa ampiezza, ovvero la corda del settore circolare) e con
distanza IDD dall’isocentro al centro del detettore medesimo.
• Superficie Cilindrica: geometricamente rappresentato da una superficie definita da un
settore cilindrico di ampiezza angolare α lungo il piano XZ e di lunghezza con apertura
angolare β lungo il piano Y Z. Il cilindro inoltre può essere scelto come avente il centro
all’isocentro oppure alla sorgente, a seconda di quale tomografo si voglia simulare.
• Superficie Piana: geometricamente rappresentato da un rettangolo di dimensioni DX ·DY
corrispondente ad un’ampiezza angolare α nel piano XZ e β nel piano Y Z. La distanza
dal centro di tale superficie all’isocentro è pari a IDD e il plate può essere orientato a
piacere nello spazio 3D.
• Rivelatore Sferico: geometricamente rappresentato da una superficie sferica definita da
¯
un raggio R e dal centro della sfera stessa C̄ che tipicamente coincide con l’isocentro I.
Il punto di intersezione del detector con i singoli raggi che simulano il fascio di raggi-X è
vincolato agli intervalli angolari α1 ≤ α ≤ α2 e β1 ≤ β ≤ β2 , ovvero dall’ampiezza del campo.
Definite le distanze:
IDD = Isocenter Detector Distance = DDI = Distanza Detettore - Isocentro
SDD = Source Detector Distance = DDS = Distanza Detettore - Sorgente
ISD = Isocenter Source Distance
94
a seconda dei vari rivelatori si ha che, utilizzando il Teorema dei seni:
• Puntuale: (
α1 = α2 = θ0 + θ e β1 = β2 = φ0 + φ
DDI = IDD
SID
e tale che
sin(180−θ−arcsin( IDD
·sin(θ)))
DDS = IDD ·
sin(θ)

- DX /2
- DX /2
 α1 = arctan
=
arctan
DDetector - Isocenter
IDD • Lineare a Corona:
+ DX /2
+ DX /2
 α2 = arctan
DDetector - Isocenter = arctan
IDD
e tale che (
α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2
DDI = IDD
SID
e tale che
sin(180−θ−arcsin( IDD
·sin(θ)))
DDS = IDD ·
sin(θ)

- DX /2
DX /2
 α1 = arctan
= arctan - IDD
D
Detector
Isocenter
• Lineare a Segmento:
+ DX /2
+ DX /2
 α2 = arctan
=
arctan
IDD
e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2
DDI = IDD
e tale che
DDS = (IDD + SID) · cot(θ)

- DX /2
- DX /2

α
=
arctan
=
arctan

1


IDD 

+ DX /2
+ DX /2
 α2 = arctan
=
arctan
DDetector - Isocenter IDD • Superficie Cilindrica:
- DY /2
- DY /2

β = arctan DDetector - Isocenter = arctan


 1
IDD 

+ DY /2
+ DY /2
 β2 = arctan
=
arctan
IDD
e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2 e β1 = β2 = φ0 + φ
DDI = IDD
e tale che
DDS = (IDD + SID) · cot(θ) · cot(φ)

- DX /2
- DX /2

α
=
arctan
=
arctan

1


IDD 

+ DX /2
+ DX /2
 α2 = arctan
=
arctan
DDetector - Isocenter IDD • Superficie Piana:
- DY /2
- DY /2


 β1 = arctan DDetector - Isocenter = arctan IDD 


+ DY /2
+ DY /2
 β2 = arctan
DDetector - Isocenter = arctan
IDD
e tale che α1 ≤ θ0 + θ ≤ α2 e β1 = β2 = φ0 + φ
DDI = IDD
p
e tale che
DDS = (IDD + SID) · cot(θ0 + θ)2 + cot(φ0 + φ)2
R = Raggio Sfera
• Rivelatore Sferico:
C̄ = I¯ = Isocentro = Centro Sfera
Definita la geometria del rivelatore, il programma permette all’utente di selezionare la
tipologia del materiale costituente il rivelatore stesso. Dato che il software è pensato per un
utilizzo principalmente in radiodiagnostica, interventistica e tomografia assiale computerizzata
nei database dei coefficienti massici si sono inseriti anche i coefficienti di assorbimento massico
per i due materiali più diffusi in radiologia digitale: i cristalli allo ioduro di cesio CsI per la
tipologia di DR indiretta ed il selenio amorfo a-Se per la tipologia DR diretta.
I rivelatori di raggi-X devono interagire, tipicamente con un processo di assorbimento di energia
che tende ad essere il maggiore possibile, dato che i raggi-X che attraversano il rivelatore senza
essere assorbiti vengono essenzialmente persi. Infatti il segnale generato da un rivelatore è
proporzionale all’ammontare dell’energia assorbita nel materiale costituente il detector stesso.
Per un dato spessore d di un determinato materiale, la frazione di energia assorbita η come
funzione dell’energia E del fotone incidente può essere approssimata come:
µ
η (E) = 1 − e−( ρ (E))en ·ρ· cos(θ)
d
(9.28)
9.5 Simulazione del Fantoccio
in cui
µ
ρ
(E)
95
è il coefficiente massico di assorbimento del materiale, dipendente dall’energia
en
d
del fotone incidente E, di densità ρ e cos(θ)
rappresenta il percorso effettuato nel materiale
dalla radiazione incidente con un generico angolo θ rispetto alla normale del rivelatore stesso.
9.5
Simulazione del Fantoccio
Il fantoccio viene simulato come un oggetto convesso che può essere una sfera, un elissoide,
un cilindro ellittico, un cilindro retto e un parallelepipedo di un materiale omogeneo. Anche
in questo caso gli oggetti sono descritti dalle loro superfici 3D e ciò che è di interesse è il punto
di intersezione dei vari raggi, componenti il fascio di raggi-X ed il fascio di raggi-X diffuso, sia
in ingresso che in uscita. Nella tecnica di Ray-Traycing si sono utilizzate la retta parametrica
~ e per il centro di ogni singolo pixel R,
~ vettorialmente descritta
passante per la sorgente S
~
~
~
~
come P = S + t(R − S), e nel caso di intersezione con il fantoccio i punti di entrata ed uscita
dal fantoccio stesso sono stati calcolati determinando il valore t1 e t2 corretto del parametro t
della retta, secondo le leggi della geometria vettoriale, come descritto in Appendice A.
Il fantoccio è ipotizzato essere costituito da un singolo materiale omogeneo. I vari materiali
di interesse sono acqua, polimetilmetacrilato (plexiglass), tessuto osseo, tessuto polmonare,
tessuto molle e perfino aria (nel qual caso si ottine un fascio di raggi-X che risulta attenuato
e diffuso solo dall’aria). Per quanto concerne la composizione e le costanti dei materiali,
esse sono riportate nella seguente tabella 9.1. Le composizioni dei vari tessuti umani sono
state calcolate a partire dalle indicazioni del ICRU Report 44 (1989). Vengono riportati: il
valor medio del rapporto tra numero e massa atomica < Z/A >, il valor medio dell’energia
di ionizzazione < I >, la densità del materiale stesso e la frazione di massa di ogni singolo
elemento costituente il materiale stesso.
Per i dati relativi ai coefficienti massici, fattori di forma atomici e funzioni di scatter incoerente
si rimanda alle tabulazioni riportate in Appendice F.
9.6
Simulazione Dosimetrica
In questo paragrafo si discuterà principalmente della trasmissione del fascio principale e
diffuso, considerando la geometria del sistema di rilevazione, a partire dalla distribuzione spettrale del fascio del singolo apparecchio radiologico.
9.6.1
Legge dell’Inverso del Quadrato delle Distanze
Data una sorgente puntiforme, l’intensità del fascio Id , ovvero la sua fluenza energetica (in
quanto per il semplice caso monoenergetico Id = N (E)E in cui N (E) è il numero di fotoni con
energia E), risulta essere dipendente dalla distanza dalla sorgente stessa d secondo la seguente
legge:
I0
(9.29)
Id = 2
d
in cui I0 è la fluenza energetica iniziale della sorgente puntiforme stessa.
Dato che fisicamente non è possibile ottenere l’intensità iniziale, in quanto questa è definita
per una distanza nulla, si ottiene l’attenuazione dovuta alla distanza a partire da una misura
sperimentale di intensità Iref ad una distanza nota dref , detta Distanza di Riferimento. Allora
si ottiene l’attenuazione nel seguente modo:
2
dref
(9.30)
Id = Iref
d
La legge del quadrato dell’inverso delle distanze è da utilizzarsi anche per fasci di raggi-X
divergenti e nella simulazione di fasci radianti con pencil-beam di apparecchi radiologici è ne-
96
Materiale
< Z/A >
0.49919
<I>
(eV)
8,75
Densità
(g/cm3 )
1,21E+00
Air, Dry
(near sea level)
Water-Liquid
0.55508
75,00
1,00E+03
PMMA
0.53937
74,00
1,19E+03
Lung Tissue
0.55048
75,20
1,05E+03
Tissue-Soft
0.54996
74,70
1,06E+03
Bone-Cortical
0.51478
112,00
1,92E+03
Bone-Plastic
0.52740
85,90
1,45E+03
Elemento
C
N
O
Ar
H
O
H
C
O
H
C
N
O
Na
P
S
Cl
K
H
C
N
O
Na
P
S
Cl
K
H
C
N
O
Na
Mg
P
S
Ca
H
C
N
O
F
Ca
Composizione
(Z)
6
7
8
18
1
8
1
6
8
1
6
7
8
11
15
16
17
19
1
6
7
8
11
15
16
17
19
1
6
7
8
11
12
15
16
20
1
6
7
8
9
20
Tabella 9.1: Tabella dei dati relativi ai materiali del fantoccio simulato
Frazione
(in peso)
0.000124
0.755268
0.231781
0.012827
0.111898
0.888102
0.080541
0.599846
0.319613
0.103000
0.105000
0.031000
0.749000
0.002000
0.002000
0.003000
0.003000
0.002000
0.102000
0.143000
0.034000
0.708000
0.002000
0.003000
0.003000
0.002000
0.003000
0.034000
0.155000
0.042000
0.435000
0.001000
0.002000
0.103000
0.003000
0.225000
0.065473
0.536942
0.021500
0.032084
0.167415
0.176585
9.6 Simulazione Dosimetrica
97
cessario tener conto dell’attanuazione dell’intensità dovuta a tale fenomeno per ogni singolo
pencil-beam, sia primario che secondario.
9.6.2
Attenuazione e Trasmissione per uno spettro monoenergetico
Sia P~ (t) un generico punto di interazione della radiazione approssimata da un pencil-beam.
Questo punto è individuato dalle equazioni:
x(t) = XSorgente + t · (xDetector − XDetector − XSorgente )
z(t) = ZSorgente + t · (zDetector − ZDetector − ZSorgente )
y(t) = YSorgente + t · (yDetector − YDetector − YSorgente )
ovvero altro non è che un punto della retta parametrica passante per la sorgente ed il pixel
del rivelatore. Ora, ricavando l’intersezione della retta con il fantoccio è possibile ottenere lo
spessore s attraversato dal pencil-beam all’interno del materiale stesso.
Detto N (E, s) il numero di fotoni di un pencil-beam che attraversano lo spessore s, vale la
relazione dell’attenuazione in condizioni di buona geometria:
i
h ·
ρ
·
s
N (E, s) = N (E, 0) · exp − µ(E,Z)
ρ
dove :
µ(E,
Z) = Coefficiente attenuazione lineare m−1
(9.31)
µ(E,Z)
= Coefficiente attenuazione massico m2 · Kg −1
ρ
s = Spessore materiale [m]
ρ = Densità materiale Kg · m−3
Si introducono i due fattori, Fattore di attenuazione (di fotoni monoenergetici) e Fattore di
trasmissione (di fotoni monoenergetici), che utilizzando il concetto di coefficiente massico di
attenuazione, si scrivono:
h
µ(E)
−
·ρ·s
Attenuazione(M ateriale, E, ρ, s) = 1 −h e ( ρ )M aterialei
µ(E)
·ρ·s
−
T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) = e ( ρ )M ateriale
i
(9.32)
Vale allora anche
Attenuazione (M ateriale, E, ρM ateriale , s) =
(9.33)
= 1 − T rasmissione (M ateriale, E, ρM ateriale , s)
Il coefficiente massico totale di attenuazione µ(E)
è la somma dei contributi delle
ρ
M ateriale
sezioni d’urto per foto-assorbimento, scatter Compton, Rayleigh e produzione di coppie. I
valori di questi coefficienti si trovano su varie pubblicazioni ed anche in rete, per esempio nel
database EPDL97 e nell’XCOM del NIST. I coefficienti massici di assorbimento dei materiali
di interesse utilizzato nelle simulazioni sono riportati nelle tabelle della Appendice F.
9.6.3
Attenuazione e Trasmissione per uno spettro polienergetico
Lo spettro reale di fluenza dell’emissione fotonica di un apparecchio radiologico è definito
dalla funzione Spettro(E) legata alla grandezza N (E) cosı̀ definita:
N (E)dE = numero totale di fotoni emessi con energia nell’intervallo E - E + dE
su tutto l’angolo solido 4π
(9.34)
Introdotto il concetto di Spettro di Fluenza di Fotoni, come:
Spettro(E) · dE =
dN (E)
· dE
dA
[Spettro] = m−2
(9.35)
98
la fluenza di fotoni
dN
dA ,
misurata in f otoni/m2 risulta essere:
E=∞
Z
Spettro(E) · dE =
dN
dA
(9.36)
E=0
ed il numero di fotoni N pertanto può essere ricavato come:
E=∞
Z
Spettro(E) · dA = N
(9.37)
E=0
Si definisce poi la Densità di Flusso o Intensità di Fotoni come:
dSpettro(E)
= Ṡpettro(E)
dt
ed anche il concetto di Spettro Normalizzato come:
[m−2 · s−1 ]
Intensita(E) · dE =
SpettroN ormalizzato(E) =
Spettro(E)
E=∞
R
(9.38)
(9.39)
Spettro(E) · dE
E=0
per cui:
E=∞
Z
SpettroN ormalizzato(E) · dE = 1
(9.40)
E=0
La trasmissione è definita come il rapporto fra il numero di fotoni di energia E che superano
lo spessore s rapportati al numero entrante di fotoni:
T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) =
N (E, s)
N (E)
(9.41)
Il concetto di trasmissione può essere associato al concetto di frequenza relativa (numero
di fotoni che superano lo spessore s) nel caso si considerino un set di fotoni entranti o alla
probabilità di trasmissione (ovvero che il singolo fotone superi lo spessore s) qualora si consideri
la storia del singolo fotone.
La probabilità di attenuazione e quindi di trasmissione di ogni fotone di energia E è data dalla
relazione precedentemente vista per fotoni monoenergetici, dipendente dal materiale, densità
e spessore attraversato, ovvero:
h i
Attenuazione(M ateriale, E, ρ, s) = 1 − exp − µ(E)
·ρ·s
ρ
M ateriale i
h (9.42)
T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) = exp − µ(E)
·ρ·s
ρ
M ateriale
La fluenza totale di fotoni trasmessi sarà quindi:
dN
dA (M ateriale, ρ, s)
E=∞
R
Spettro(E) · T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) · dE =
=
=
=
E=0
E=∞
R
E=0
h Spettro(E) · exp − µ(E)
ρ
(9.43)
i
· ρ · s · dE
M ateriale
e l’unità di misura sarà quindi numero di fotoni/m2 . Il Coefficiente di Trasmissione Globale
di Fotoni è quindi definito come:
T rasmissioneSpettro(M ateriale, ρ, s) =
E=∞
R
=
SpettroN ormalizzato(E) · T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) · dE =
=
E=0
E=∞
R
E=0
h SpettroN ormalizzato(E) · exp − µ(E)
ρ
i
· ρ · s · dE
M ateriale
(9.44)
99
Da un punto di vista fisico è conveniente introdurre il concetto di Spettro Energetico cosı̀
definito:
SpettroEnergetico(E) = Spettro(E) · E
(9.45)
Allora il Flusso di Energia Trasmessa è dato dalla relazione:
T rasmissioneEnergia(M ateriale, ρ, s) =
E=∞
R
SpettroEnergetico(E) · T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) · dE =
=
=
=
E=0
E=∞
R
E=0
E=∞
R
E=0
(9.46)
Spettro(E) · E · T rasmissione(M ateriale, E, ρ, s) · dE =
h Spettro(E) · E · exp − µ(E)
ρ
i
· ρ · s · dE
M ateriale
ed il Valor Medio Spettrale viene definito come:
E=∞
R
hEiSpettro =
E=∞
R
SpettroEnergetico(E) · dE
E=0
E=∞
R
E · Spettro(E) · dE
E=0
E=∞
R
=
Spettro(E) · dE
E=0
(9.47)
Spettro(E) · dE
E=0
Ora, essendo:
SpettroN ormalizzato(E) =
Spettro(E)
E=∞
R
(9.48)
Spettro(E) · dE
E=0
si ottiene che:
E=∞
Z
hEiSpettro =
E · SpettroN ormalizzato(E) · dE
(9.49)
E=0
Se si considera invece lo spettro normalizzato e lo spettro energetico, definiti come in precedenza, e dato che vale:
SpettroEnergetico(E) = E · Spettro(E)
SpettroEnergeticoN ormalizzato(E) = E · SpettroN ormalizzato(E)
(9.50)
Allora si ottiene il Valor Medio Spettrale Normalizzato come:
E=∞
R
hEiSpettroN ormalizzato =
SpettroEnergeticoN ormalizzato(E) · dE
E=0
E=∞
R
=
SpettroN ormalizzato(E) · dE
E=0
E=∞
R
E=0
=
SpettroEnergetico(E)
E=∞
R
· dE
(9.51)
SpettroEnergetico(E 0 )·dE 0
E=0
E=∞
R
E=0
Spettro(E)
E=∞
R
· dE
Spettro(E 0 )·dE 0
E=0
Nella figura 9.8 sono riportati i quattro casi in cui si ha uno spettro di fotoni, uno spettro
normalizzato di fotoni, uno spettro energetico di fotoni e uno spettro energetico normalizzato
di fotoni.
100
Figura 9.8: Confronto tra le diverse tipologie di spettri
9.6.4
Contributo della Radiazione Primaria
Nel grafico 9.9 sottostante è simboleggiata un’interazione di un fotone primario emesso dal~ con un punto diffusore D
~ del fantoccio ed il suo percorso all’interno del fantoccio
la sorgente S,
~ e del fotone diffuso dal punto diffusore
da P~1 fino a P~2 e quindi fino al punto di rivelazione R
~ fino a P 0 e quindi fino al punto di rivelazione R
~ 0 e le grandezze geometriche che descrivono
D
2
il processo.
Figura 9.9: Geometria di diffusione
101
Le grandezze geometriche in gioco sono:
~r2 = Vettore(SP2 )
~r3 = Vettore(SR)
~r0 = ~r30 = Vettore(DR)
~r20 = Vettore(DP20 )
d1 = Distanza(S, P1 ) = |~r1 |
d2 = Distanza(S, P2 ) = |~r2 |
d3 = Distanza(S, R) = |~r3 |
d(t) = Distanza(P1 , D) = |~r − ~r1 |
d02 = Distanza(D, P20 ) = |~r20 |
d03 = Distanza(D, R0 ) = |~r30 − ~r20 |
L’intensità del singolo pencil-beam monoenergetico è data dalla relazione:
I
P rimaria
(θ, φ, E, d) =I
P rimaria
(0, 0, E, d0 ) ·
d0
d
2
· Isotropia(θ, φ)·
(9.52)
· T rasmissione (M ateriale, E, ρ, s)
e il flusso energetico è dato dalla relazione:
P rimaria
IE
(θ, φ, E, d)
P rimaria
=IE
(0, 0, E, d0 ) ·
d0
d
2
(9.53)
· T rasmissione (M ateriale, E, ρ, s)
dove:
-2
I P rimaria (θ, φ, E, d) = Densità di flusso di fotoni [m · s−1 ]
I P rimaria (0, 0, E, d0 ) =Densità di flusso di fotoni alla distanza di riferimento
(in aria) in assenza di attenuazione
e
P rimaria
(θ, φ, E, d) = Densità di flusso di energia fotonica [J · m - 2 · s−1 ]
IE
P rimaria
IE
(0, 0, E, d0 ) =Densità di flusso di energia fotonica alla distanza di
riferimento (in aria) in assenza di attenuazione
ed inoltre vale:
d0 2
= Correzione quadrato delle distanze
d
Isotropia(θ, φ) = Funzione di anisotropia sferica normalizzata a 1
T rasmissione (M ateriale, E, ρ, s) =Fattore di trasmissione
nel materiale interposto
=Probabilità di trasmissione nel materiale interposto
Possiamo scrivere le relazioni che regolano il trasferimento della radiazione primaria dalla
sorgente al rivelatore suddividendo il percorso in vari step:
• Step 0: Sorgente
La distribuzione spaziale della radiazione è modulata dall’apertura dei diaframmi, dalla
diffusione all’interno della testata, dalla dimensione del fuoco, dall’omogeneità di generazione (effetto Heel) e da altri fenomeni. La funzione di isotropia descrive la modulazione
del fascio rispetto ad una emissione isotropa pura.
La funzione isotropia può essere, in prima approssimazione, definita dalla seguente
relazione:
Isotropia(θ, φ) = [H(θ − θ1 ) − H(θ − θ2 )] · [H(φ − φ1 ) − H(φ − φ2 )]
(9.54)
102
dove H(x) è la funzione a gradino di Heaviside1 . In questo caso, scelto come default, si
pone la funzione Isotropia come una funzione a gradino che assume il valore 1 all’interno
della piramide che simula il fascio radiante ed il valore 0 fuori dal fascio di raggi-X.
• Step 1: Sorgente-Ingresso Fantoccio
Nel caso specifico di trasmissione attraverso l’aria pre-fantoccio si ha che:
I P rimaria (θ, φ, E, d1 ) =I P rimaria (0, 0, E, d0 ) ·
d0
d1
2
(9.55)
· T rasmissione (Aria, E, ρAria , s)
dove:
d1 = Distanza Sorgente − Entrata fantoccio
ρAria q
= 1.205 kg/m3
2
2
2
d1 = (x1 − xSource ) + (z1 − zSource ) + (y1 − ySource )
P1 = {x1 , y1 , z1 }
• Step 2: Ingresso Fantoccio-Uscita Fantoccio
Segue la trasmissione attraverso il fantoccio omogeneo di un determinato materiale:
I
P rimaria
(θ, φ, E, d2 ) = I
P rimaria
(θ, φ, E, d1 ) ·
d1
d2
2
·
(9.56)
· T rasmissione (M ateriale, E, ρM ateriale , s)
dove:
d2 = Distanza Sorgente − Uscita fantoccio
ρM ateriale = Densità
Materiale
q
s = d2 − d1 =
2
2
2
(x2 − x1 ) + (z2 − z1 ) + (y2 − y1 ) =
= percorso in fantoccio
• Step 3: Uscita Fantoccio-Rivelatore
Infine si calcola la trasmissione attraverso l’aria dopo il fantoccio come:
I
P rimaria
(θ, φ, E, d3 ) =I
P rimaria
(θ, φ, E, d2 ) ·
d2
d3
2
·
(9.57)
· T rasmissione (Aria, E, ρAria , s)
dove:
d3 = Distanza Sorgente − Detettore
3
ρAria = 1.205 kg/m
q
s = d3 − d2 =
2
2
2
(xR − x2 ) + (zR − z2 ) + (yR − y2 )
Combinando le trasmissioni, si ottiene la relazione complessiva per la radiazione primaria in
1 La funzione a gradino di Heaviside, o funzione a gradino unitaria è una funzione discontinua che ha valore
zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi:
0,
x<0
H(x) =
1,
x>0
La funzione di Heaviside è l’integrale della Delta di Dirac: H(x) =
Rx
−∞
δ(t)dt
103
approssimazione di pencil-beam e nel caso monoenergetico:
I P rimaria (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = I P rimaria (0, 0, E, d0 ) · Isotropia(θ, φ)·
2
d0
·
· T rasmissione (Aria, E, ρAria , d1 ) ·
d1
2
d1
·
· T rasmissione (M ateriale, E, ρM ateriale , d2 − d1 ) ·
d2
2
d2
·
· T rasmissione (Aria, E, ρAria , d3 − d2 )
d3
(9.58)
ovvero:
I
P rimaria
(θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = I
−
h
·e
P rimaria
i
(0, 0, E, d0 ) ·
h
i
·ρAria ·(d3 −d2 )
( µρ )Aria ·ρAria ·d1 · e− ( µρ )Aria
2
d0
d3
·e
h
− (µ
ρ)
M ateriale
·ρM ateriale ·(d2 −d1 )
i
(9.59)
Assunto:
Isotropia(θ, φ) = [H(θ1 ) − H(θ2 )] · [H(φ1 ) − H(φ2 )] = 1
⇒ ( entro il fascio)
allora è possibile semplificare:
I P rimaria (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = I P rimaria (0, 0, E, d0 ) ·
·e
−
d0
d3
2
·
(9.60)
h
i
h
( µρ )Aria ·ρAria ·(d1 +d3 −d2 ) · e− ( µρ )M ateriale ·ρM ateriale ·(d2 −d1 )
i
dove:
I P rimaria (0, 0, E, d0 ) = Intensità di taratura
I P rimaria
(θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = Intensità nella regione coperta dal fascio
µ(E)
= Coeff. massico dell’ Aria per fascio monocromatico di energia E
ρ
Aria
µ(E)
= Coeff. massico del Materiale per fascio monocromatico di energia
ρ
M ateriale
d1 , d2 , d3 = distanze in funzione di θ, φ
E
(9.61)
Introdotta la funzione:
T (E, M ateriale1 , d1 , M ateriale2 , d2 , ..., ) =
e
µ(E)
− ( ρ )
M ateriale1
·ρM ateriale1 ·d1
−
·e
( µ(E)
ρ )M ateriale ·ρM ateriale2 ·d2
2
· ...
(9.62)
= T (E, M ateriale1 , d1 ) · T (E, M ateriale2 , d2 ) · T (E, ..., ... )
e la funzione:
F (E, M ateriale1 , d1 , M ateriale2 , d2 ) = T (E, M ateriale1 , d1 , M ateriale2 , d2 ) =
=e
µ(E)
− ( ρ )
M ateriale1
·ρM ateriale1 ·d1
·e
−
( µ(E)
ρ )M ateriale ·ρM ateriale2 ·d2
2
(9.63)
Allora si ottiene:
I
P rimaria
(θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = I
P rimaria
(0, 0, E, d0 ) ·
d0
d3
2
(9.64)
· T (E, M ateriale1 , d1 ) · T (E, M ateriale2 , d2 ) · T (E, M ateriale3 , d3 )
ovvero:
I
P rimaria
(θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = I
P rimaria
(0, 0, E, d0 ) ·
d0
d3
2
·
· F (E, Aria, d1 + d3 − d2 , M ateriale, d2 − d1 )
(9.65)
104
9.6.5
Contributo della Radiazione Diffusa
~ 0 , il contributo a questo pixel della radiazione scatterata
Per un dato punto del rivelatore R
si ottiene calcolando tutti i possibili contributi dei punti P~ (t) lungo il raggio primario interni al
fantoccio, quindi definiti dal parametro t nell’intervallo [t1 , t2 ] oppure [0, 1] 2 . Questa modalità
di calcolo viene definita “verifica step”3 .
L’equazione parametrica, del raggio diffuso, diventa quindi:
x0 (t) = xP (t) + t0 ·
z 0 (t) = zP (t) + t0 ·
y 0 (t) = yP (t) + t0 ·
t ∈ [t1 · · · t2 ],
x0Detector − XDetector − xP (t)
0
zDetector
− ZDetector − zP (t) 0
yDetector − YDetector − yP (t)
t0 ∈ [0 · · · t03 ]
dove:
P~ 0 (t0 ) = {x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 )} = punto su raggio diffuso
P~ (t) = xP (t) , yP (t) , zP (t) = punto su raggio primario
0
0
~ 0 = {x0
R
Detector , yDetector , zDetector } = punto rivelazione secondaria
0
0
t ∈ [0 · · · t3 ]
t ∈ [t1 · · · t2 ]
È possibile ora calcolare l’attenuazione della radiazione diffusa come:
I Scatter (θ, φ, E, d(t), θ0 , E 0 , d02 , d03 ) = I P rimaria (θ, φ, E, d(t)) · σ(E, ϑ0 )·
2
d(t)
·
· T rasmissione (M ateriale, E 0 , ρM ateriale , d02 − d(t)) ·
d02
0 2
d2
· T rasmissione (Aria, E 0 , ρAria , d03 − d02 )
·
d03
(9.66)
ovvero:
I Scatter (θ, φ, E, d(t), θ0 , E 0 , d02 , d03 ) = I P rimaria (0, 0, E, d0 ) · Isotropia(θ, φ)·
2
d0
·
d1
2
d1
· T rasmissione (M ateriale, E, ρM ateriale , d(t) − d1 ) ·
·
d(t)
· σ(E, ϑ0 )·
2
d(t)
·
d02
0 2
d2
·
d03
(9.67)
2 L’intervallo parametrico in cui varia il parametro t (che parametrizza il raggio primario) è assunto [0, 1]
poiché l’origine della semiretta parametrica si assume nel punto di entrata nel fantoccio. Qualora si assumesse il
punto sorgente S come origine della semiretta, allora il percorso nel fantoccio sarebbe determinato dall’intervallo
[t1 , t2 ]. L’intervallo [0, t1 ] individua il percorso sorgente - punto entrata fantoccio, l’intervallo [t1 , t2 ] il percorso
nel fantoccio e [t2 , t3 ] il percorso punto uscita fantoccio - punto rivelazione radiazione primaria. I due sistemi
di riferimento sono assolutamente equivalenti (si tratta solo di una traslazione dell’origine della semiretta). Nel
0
testo verrà utilizzato indifferentemente l’uno o l’altro a seconda
della convenienza di notazione. Il parametro t
(che parametrizza il raggio diffuso) varia nell’intervallo 0, t02 dove descrive il percorso nel fantoccio dal punto
di diffusione al punto di uscita del fantoccio e l’intervallo t02 , t03 che descrive il raggio diffuso dal punto di
uscita del fantoccio al punto di rivelazione della radiazione diffusa.
3 Nella modalità “verifica step” si fissa il pixel di interesse e si vanno a calcolare tutti i contributi di radiazione
diffusa dei punti campionati lungo il raggio primario entro il fantoccio (e quindi ad angoli di diffusione noti) e
per tutti i raggi primari campionati del fascio.
105
dove, come si è precedentemente visto:
d1 = Distanza Sorgente − Entrata fantoccio
d2 = Distanza Sorgente − Uscita fantoccio
~
d(t) − d1 = Spessore attraversato nel fantoccio per arrivare in D
0
d2 = distanza punto diffusione - uscita fantoccio della radiazione scatterata
d03 = distanza punto diffusione - detector
σ(E, ϑ0 ) = Probabilità di scatter
ϑ0 = θ 0 − θ
~
d(t)
q− d1 = Spessore attraversato nel fantoccio per arrivare in D =
2
2
2
2
2
2
= (x(t) − x1 ) + (z(t) − z1 ) + (y(t) − y2 )
d02 q
− d(t) = distanza d(t) - uscita fantoccio della radiazione scatterata =
= (x02 − x(t)) + (z20 − z(t)) + (y20 − y(t))
d03 q
− d02 = distanza (uscita fantoccio della radiazione scatterata) - detector =
=
2
2
2
(xR0 − x02 ) + (zR0 − z20 ) + (yR0 − y20 )
Utilizzando le definizioni delle funzioni di trasmissione della radiazione primaria, possiamo
scrivere anche per la radiazione diffusa la seguente equazione:
I Scatter (θ, φ, E, d(t), θ0 , E 0 , d02 , d03 ) = I P rimaria (0, 0, E, d0 ) ·
2
d0
· Isotropia(θ, φ) ·
·
d03
(9.68)
· T rasmissione (M ateriale, E, ρM ateriale , d(t) − d1 ) ·
· σ(E, ϑ0 )·
od anche:
I Scatter (θ, φ, E, d(t), θ0 , E 0 , d02 , d03 ) = I P rimaria (0, 0, E, d0 ) · Isotropia(θ, φ) ·
· F (E, Aria, d1 , d(t) − d1 ) ·
d0
d03
2
·
(9.69)
· σ(E, ϑ0 )·
· F (E 0 , M ateriale, d02 − d(t), Aria, d03 − d02 )
L’intensità al rivelatore per singolo pencil-beam primario è determinata dal contributo della
radiazione primaria sommata a tutti i contributi dei vari pencil-beam diffusi lungo il percorso
effettuato dalla primaria stessa nel fantoccio, ovvero:
I Rivelatore (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) = I P rimaria (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) +
Zt=1
I Scatter (θ, φ, E, d(t), θ0 ) · dt
+
(9.70)
t=0
Nel caso si consideri il rivelatore rettangolare (o analogamente quello cilindrico sostituendo i
rispettivi angoli) e fascio monoenergetico, la radiazione totale che cade nel rivelatore è data
106
da:
θ=θ
Z 2 φ=φ
Z 2
I Rivelatore (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) · dθdφ =
θ=θ1 φ=φ1
θ=θ
Z 2 φ=φ
Z 2
I P rimaria (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) · dθdφ+
=
(9.71)
θ=θ1 φ=φ1
θ=θ
Z 2 φ=φ
Z 2 Zt=1
I Scatter (θ, φ, E, d(t), θ0 ) · dt · dθdφ
+
θ=θ1 φ=φ1 t=0
mentre se il fascio è polienergetico allora risulta:
θ=θ
Z 2 φ=φ
Z 2
EZ
M AX
I Rivelatore (θ, φ, E, d1 , d2 , d3 ) · dθdφ =
dE
0
θ=θ1 φ=φ1
EZ
M AX
I
=
P rimaria
θ=θ
Z 2 φ=φ
Z 2
(0, 0, E, d0 ) · dE
0
d0
d3
2
·
θ=θ1 φ=φ1
(9.72)
· F (E, Aria, d1 + d3 − d2 , M ateriale, d2 − d1 ) · dθdφ+
EZ
M AX
I
+
0
P rimaria
θ=θ
Z 2 φ=φ
Z 2 Zt=1
(0, 0, E, d0 ) · dE
Isotropia(θ, φ) ·
θ=θ1 φ=φ1 t=0
d0
d03
2
·
· F (E, Aria, d1 , d(t) − d1 ) · σ(E, ϑ0 )·
· F (E 0 , M ateriale, d02 − d(t), Aria, d03 − d02 ) · dt · dθdφ
Quanto descritto fino ad adesso descrive come vengono calcolate le relativi matrici di intensità
fotonica poi convertite in fluenza di energia, oppure in dose assorbita calcolata a partire dalla
fluenza di energia stessa e dello spettro di fotoni al rivelatore, per la modalità “verifica step”.
Per la modalità “verifica fast” vengono utilizzate le stesse formule per un numero limitato di
centri diffusori, mentre le interpolazioni e le integrazioni lungo il percorso della radiazione primaria relativamente alla radiazione diffusa al primo ordine, vengono effettuate secondo quanto
descritto nei paragrafi precedenti e nell’Appendice C.
Come detto in precedenza il software restituisce le matrici relative alla fluenza di energia (o
equivalentemente dose assorbita in aria) del rivelatore per tutte le componenti del fascio radiante: radiazione primaria, diffusa al 1◦ ordine e diffusa multipla. Questo permette di stimare
l’energia impartita al paziente tramite l’applicazione del principio di conservazione dell’energia. Infatti il software calcola l’energia erogata dall’apparecchio radiologico e rispetto a tale
valore sottrae i contributi energetici delle varie componenti della radiazione in modo da ottenere direttamente l’energia impartita che opportunamente moltiplicata con i rispettivi fattori
restituisce la dose efficace. Si comprende benissimo ora che le matrici relative al rivelatore
decrivono solamente il contributo della radiazione, sia primaria che diffusa che cade sul rivelatore stesso, sovrastimando in questo modo l’energia impartita. Per questo motivo è stato
creato un rivelatore sferico che permette di raccogliere tutta la radiazione che arriva su tale
sfera. Tuttavia tale rivelatore necessita dei parametri per la stima dello scatter multiplo per
una corretta valutazione dell’energia impartita e quindi deve essere effettuata una simulazione
con il rivelatore delle stesse dimensioni di quello reale per stimare tali parametri a partire dall’immagine radiologica, vista ora come matrice bidimensionale di valori di trasmissioni della
radiazione totale. I parametri vengono stimati con la tecnica della regressione lineare multipla.
Per superare la limitazione di calcolare la dose assorbita dal paziente come differenza di valori
di energia, si è implementato nel software la modalità “verifica voxel”, che permette di stimare
107
la dose assorbita agli organi, dato che restituisce una distribuzione spaziale delle dose assorbita
da ogni singolo voxel, che costituisce l’oggetto 3D posto sotto il fascio di fotoni. Come detto
nei paragrafi precedenti tale modalità necessita di tempi di simulazione enormi e all’Ospedale
S.Chiara verrà installato un cluster di pc permettendo quindi una simulazione corretta, dato
che su un singolo pc emergono artefatti in quanto le dimensioni dei voxel sono troppo grandi,
ma l’aumento in numerosità dei voxel comporta un dispendio temporale enorme, impedendo
qualsiasi simulazione.
I conti dosimetrici sono esattamente gli stessi effettuati con la modalità “verifica step”, con la
sola differenza che viene considerato come punto di deposito di energia il centro dei vari voxel
invece che i vari pixel del detector. Per la radiazione diffusa, come già detto, viene calcolato il
contributo della radiazione diffusa di tutti i voxel rispetto ad un singolo voxel. Questo processo
viene ripetuto fino a che non si raggiunge un limite minimo di energia chiamato cut-off in cui
si decide che l’energia impartita risulta essere trascurabile. Tipicamente, da dati noti in letteratura [23], [24], l’ordine minimo per ottenere simulazioni corrette di distribuzione spaziale
della dose assorbita risulta essere il quarto.
108
Capitolo
10
Descrizione del Software
Indice
10.1 Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Elaborazione Dati Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.3 Dati Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
In questo capitolo si è deciso di mostrare come il software creato si presenta all’utente (ovvero
la sua interfaccia con l’utente), mostrando i dati che devono essere forniti (Dati Input), come essi
vengono elaborati (Elaborazione Dati Input) e come vengono restituiti all’utente (Dati Input).
Il software è stato costruito a partire da nozioni fondamentali di informatica con Visual Basic 6.0 ed utilizzando i modelli fisici esposti nei capitoli precedenti. Per il calcolo dei parametri
e delle distanze da inserire nel modello fisico si sono utilizzate le tecniche del Ray-Tracing a
partire dall’introduzione della geometria vettoriale nello spazio 3D e si sono utilizzate le librerie
DirectX 8.0 (collezione di API grafiche) per permettere anche una visualizzazione dell’apparecchio radiologico simulato in 3D che fosse anche interattiva. Si rimanda quindi all’Appendice
A e B il compito di descrivere come sono state utilizzate e introdotte nel software le nozioni
di Geometria Vettoriale, Ray-Tracing e Grafica 3D, mentre nel seguente capitolo si descriverà
fisicamente come il software si presenta all’utente e come può essere gestito, senza entrare nello
specifico, dato che tutti i dati di interesse relativi ai modelli fisici e alle tecniche utilizzate sono
descritti precedentemente o nelle appendici.
Nei seguenti paragrafi si parlerà di radiazione diffusa; con questo termine si indicherà infatti
non solo la radiazione diffusa una sola volta, secondo i modelli precedentemente descritti, ma
anche quella che deriva dallo scatter multiplo. Invece ci si riferirà alla radiazione scatterata solamente una volta come radiazione diffusa singolarmente o come radiazione secondaria singola.
10.1
Dati Input
Il software necessita che vengano inseriti dei parametri in ingresso al fine di ottenere una
simulazione corretta. Un file .xls contenente il foglio “Set-Up”, mostrato in figura 10.1 ed in
figura 10.2 mostra quali siano i parametri necessari per avviare il programma. Di seguito si
descrive cosa essi siano e come possono influenzare la simulazione.
Ogni parametro viene descritto con un simbolo, ha un valore di default (colonna azzurra)
e un valore che può essere specificato dall’utente (colonna gialla). Vengono poi riportate a
110
Figura 10.1: Prima parte dei dati di input
fianco le unità di misura ed alcune note utili per la comprensione dei dati da inserire. Gli
stessi parametri vengono suddivisi in piccoli gruppi per una migliore comprensione.
I primi dati da inserire sono quelli relativi alla rotazione della testata. Ipotizzando infatti
che il fascio generato dall’apparecchio radiologico sia di tipo piramidale, nella simulazione è
possibile simulare una rotazione della testata dell’apparecchio. Poichè si vuole ottenere una
rotazione nello spazio 3D in qualsiasi punto, è necessario utilizzare tre rotazioni: due sono
lungo i piani ZX e ZY, la terza attorno all’asse del fascio radiante.
Per queste rotazioni si definiscono l’angolo minimo, l’angolo massimo e lo step di campionamento. Queste rotazioni permettono di simulare un sistema radiologico che esegue più scansioni
(per esempio la TAC), tuttavia vengono utilizzate in ogni caso in radiologia e interventistica
per posizionare nello spazio la testata come desidera l’utente. La terza rotazione è introdotta
solo per poter ruotare nello spazio la testata ed è una rotazione attorno all’asse del fascio:
in poche parole si ruota la base della piramide tenendo fisso l’apice. Da notare che tutte e
tre le rotazioni vengono eseguite nell’ordine che compaiono nel file e che quindi i movimenti
effettuati dalla testata saranno proprio in tale ordine (la composizione di più rotazioni non è
commutativa). L’effetto che generano queste rotazioni è quello di ruotare la testata rispetto
al sistema di riferimento solidale al paziente, come mostrato in figura 10.3 e gli angoli relativi
non sono altro che gli angoli che si formano tra l’asse del fascio (riportato in figura con il colore
giallo) e i rispettivi assi cartesiani solidali con il fantoccio (colore rosso per l’asse X, colore
verde per l’asse Y, colore blu per l’asse Z). Da notare che tutto questo è ben visibile nell’area
selezionata in rosso: nella prima simulazione la testata e l’asse del fascio sono situati lungo
l’asse Z, mentre nel secondo caso sono inclinati rispetto a tutti e tre gli assi
Per quanto concerne la geometria del fascio dell’apparecchio si inseriscono le coordinate dell’isocentro (dove si applicherà il sistema di riferimento globale, solidale con il fantoccio), la
distanza sorgente-isocentro (SID) e la distanza isocentro-centro detector (IDD). Si definisce
poi l’ampiezza del campo di radiazione all’isocentro lungo l’asse X e l’asse Y.
Il fantoccio viene descritto dalla tipologia (in quanto può essere di tipo ellissoide, parallelepipedo, cilindrico o cilindrico ellittico), dai tre semiassi lungo asse X, Y, Z (per il caso del
parallelepipedo sono le tre semilunghezze e per il caso cilindrico sono il raggio e la lunghezza
10.1 Dati Input
111
Figura 10.2: Seconda parte dei dati di input
del fantoccio stesso) ed infine dalla coordinata del centro del fantoccio.
In Appendice E vengono riportate le simulazioni di un appareccho radiologico avente un detector piano con le diverse tipologie di fantoccio. Più complessa risulta la descrizione del
rivelatore. La tipologia del rivelatore può essere una delle seguenti:
• Puntuale: geometricamente rappresentato da un punto a distanza IDD dall’isocentro ed
appartenente al piano XZ
• Lineare a Corona: geometricamente rappresentato da un settore circolare di ampiezza
angolare α ed appartenente al piano XZ
• Lineare a Segmento: geometricamente rappresentato da un segmento rettilineo di ampiezza angolare α ed appartenente al piano XZ (congiungente i punti estremi del rivelatore a settore circolare della stessa ampiezza, ovvero la corda del settore circolare) e con
distanza IDD dall’isocentro al centro del detettore medesimo.
• Superficie Cilindrica: geometricamente rappresentato da una superficie definita da un
settore cilindrico di ampiezza angolare α lungo il piano XZ e di lunghezza con apertura
angolare β lungo il piano Y Z. Il cilindro inoltre può essere scelto come avente il centro
all’isocentro oppure alla sorgente, a seconda di quale tomografo si voglia simulare.
• Superficie Piana: geometricamente rappresentato da un rettangolo di dimensioni DX ·DY
corrispondente ad un’ampiezza angolare α nel piano XZ e β nel piano Y Z. La distanza
dal centro di tale superficie all’isocentro è pari a IDD e il plate può essere orientato a
piacere nello spazio 3D.
• Rivelatore Sferico: geometricamente rappresentato da una superficie sferica definita da
¯
un raggio R e dal centro della sfera stessa C̄ che tipicamente coincide con l’isocentro I.
112
Figura 10.3: Confronto di simulazioni aventi diverso posizionamento della testata
In Appendice E vengono riportate le simulazioni di un appareccho radiologico avente un fantoccio cilindrico con le diverse tipologie di rivelatore.
Si definiscono poi le coordinate del vettore spostamento del detector: esse indicano le coordinate del centro del detector rispetto al punto sull’asse del fascio a distanza IDD dall’isocentro.
Vengono definite in seguito le due dimensioni del detector lungo l’asse X e Y del sistema radiologico: per la tipologia di superficie cilindrica queste dimensioni sono riferite ai quattro vertici
che determinano tale superficie (in pratica viene richiesta la lunghezza della corda dell’arco di
circonferenza che è disegnata dal rivelatore).
Gli angoli di Tilt e Flip sono gli angoli da introdurre nel caso in cui il rivelatore invece di essere
perfettamente ortogonale al fascio presenta una certa inclinazione lungo l’asse X (angolo di
Tilt) e lungo l’asse Y (angolo di Flip), come mostrato in figura 10.4
Figura 10.4: Esempio di Tilt e Flip di un rivelatore piano
Per quello che riguarda la sorgente, viene richiesto di inserire il valore dell’Output Standardizzato, costante che viene caricata anche nel file dello spettro energetico di un apparecchio
radiologico ma che viene qui richiesta per evitare di caricare file che non siano corretti. Viene
10.1 Dati Input
113
richiesta anche la tensione e l’area di taratura a cui il valore di Output Standardizzato è stato
misurato.
Per quanto concerne i parametri di interazione, essi riguardano principalmente la specifica di
quale materiale sia fatto il fantoccio e il caricamento dei file contenenti tutti i dati fisici del
materiale in questione. Viene poi anche inserito il materiale aria per una corretta simulazione
del sistema radiologico. Da notare che in questo caso la colonna di default è colorata di verde,
a dimostrazione che si tratta di inserire la path (dove si trovano i dati relativi ai due materiali
scelti per la simulazione), il nome del file e i due materiali scelti (aria e materiale costituente
il fantoccio omogeneo).
Analogamente per il caricamento dei dati dello spettro relativo si devono introdurre il nome
della path, del file e la tipologia di spettro relativa all’apparecchio, codificata da un codice
contenente la tensione di lavoro, l’angolo anodico, la distanza di riferimento a cui simulare lo
spettro, lo spessore di filtrazione e la tipologia del materiale utilizzato nella filtrazione.
Viene poi richiesto di inserire i dati necessari a creare le tabelle relative alle probabilità di diffusione singola sia Rayleigh che Compton, con i diversi modelli presentati nei capitoli precedenti,
per un determinato set di angoli e di energie per cui si deve fornire un angolo mimino, uno
massimo e lo step con cui campionare tale intervallo. Analogamente si inseriscono i dati per
quanto concerne l’energia del fotone. Nel paragrafo “default tabella probabilità” se il valore
minimo e massimo dell’energia sono entrambi uguali a zero si carica lo spettro salvato nel file
.xls e se ne utilizza il range energetico; se entrambi sono diversi da zero e diversi tra loro si
utilizzano questi parametri per generare uno spettro uniforme e quindi le relative tebelle di
probabilità; se entrambi sono diversi da zero ma uguali tra loro viene generato uno spettro
monoenergetico.
Figura 10.5: Angoli del fascio primario
I parametri relativi al fascio primario sono gli angoli, minimo e massimo, e lo step di
campionamento del fascio primario, ovvero geometricamente parlando è il campionamento
della piramide che rappresenta il fascio radiologico primario, come mostrato in figura 10.5.
Viene poi richiesta la modalità di calcolo da utilizzare nella simulazione ed i parametri di
campionamento della radiazione diffusa singolarmente, del detector e del rivelatore sferico. Si
deve scegliere poi se i valori delle varie matrici di Dati Output calcolate debbano essere
in
h
i
KeV µGy
fluenza di energia, misurata in cm2 , o in dose standardizzata, ovvero misurata in mAs .
L’utente deve poi inserire i parametri p1, p2, p3, p4 relativi al modello parametrico dello scatter
multiplo; se tali valori sono tutti nulli allora lo scatter multiplo non viene nemmeno simulato.
Infine si richiede la path ed il nome del file .xls che contiene i dati della funzione di scatter
incoerente e del fattore di forma atomico degli elementi che compongono il materiale del
114
fantoccio per poter calcolare sia le tabelle delle probabilità che simulare il fascio radiante.
Sempre in fase di raccolta di dati input, il software carica tutti i file relativi allo spettro
energetico dell’apparecchio radiologico che si vuole modellizzare e ed i file relativi ai parametri
fisici del materiale costituente il fantoccio omogeneo ed il materiale assorbente che simula
il rivelatore. Vengono sempre caricati i file relativi all’aria, dato che l’attenuazione della
radiazione primaria e diffusa singolarmente in aria viene sempre considerata per ogni tipologia
di rivelatore e fantoccio. Vediamo ora in particolare come sono costituiti questi file.
Figura 10.6: Heder del file contenente gli spettri energetici dei vari apparecchi radiologici
Un file .xls contiene tutti gli spettri relativi ai vari apparecchi radiologici per le diverse
condizioni di tensione, filtraggio e inclinazione dell’angolo anodico. Per selezionare il foglio di
excel contenente lo spettro desiderato, il software utilizza il codice che è stato immesso nel
parametro dei dati di input. Prima dei vari spettri esiste un foglio excel chiamato “header”,
riportato in figura 10.6, che mostra come sono strutturati i fogli excel contenenti lo spettro e
spiega cosa sia inserito in ogni singola cella del foglio. In figura 10.7 si riporta un esempio del
foglio contente un tipico spettro.
Figura 10.7: Esempio di un foglio contenente i dati dello spettro energetico
Analogamente esiste un foglio header mostrato in figura 10.8 per i file relativi ai coefficienti
massici e agli altri dati relativi al materiale che compone il fantoccio omogeneo.
10.2 Elaborazione Dati Input
115
Figura 10.8: Header del file contenente i coefficienti massici dei vari materiali e altri parametri
fisici
Un tipico foglio contenente i dati del materiale è mostrato in 10.9
Figura 10.9: Esempio di un foglio contenente i dati fisici di un materiale
Infine anche per il calcolo delle probabilità il programma carica un file .xls contenente un
foglio header riportato in figura 10.10 ed i dati relativi al singolo elemento.
In figura 10.11 è riportato il foglio contenente i dati relativi alla funzione di scatter incoerente
Figura 10.10: Header del file contenente le funzioni di scatter incoerente e i fattori di forma
atomici dei singoli elementi
e al fattore di forma atomico in funzione del parametrio X descritto nei paragrafi precedenti.
10.2
Elaborazione Dati Input
Caricati tutti i dati di input, il software chiede all’utente di selezionare quale tipologia di
calcolo e risultato vuole ottenere. La schermata che compare è quella riportata in figura 10.12.
Selezionando la prima opzione si decide di calcolare una tabella che viene poi graficata
in un file .xls. Vengono cosı̀ calcolate le curve che mostrano la distribuzione angolare della
radiazione diffusa singolarmente sia per lo scattering Compton, sia per lo scattering Rayleigh.
La seconda opzione grafica invece l’apparecchio radiologico in base ai dati di input inseriti
nella fase di lettura iniziale. Vengono create tre finestre in cui sono graficati il piano XY, ZX,
116
Figura 10.11: Esempio di un foglio contenente i dati relativi alla funzione di scatter incoerente
e il fattore di forma atomico
Figura 10.12: Menù delle diverse modalità
ZY (vedi Appendice E per alcuni esempi di simulazione e chiarimenti) e un’ultima in cui si
visualizza una grafica 3D. La grafica è necessaria per visualizzare che tutti i dati in ingresso
sono stati inseriti correttamente e permette inoltre una visualizzazione diretta dei conti, dato
che viene simulato il fascio radiante in modo interattivo: il colore blu indica che il pencil-beam
non interseca il rivelatore, il colore rosso se lo interseca ma non interseca il fantoccio. Se il
pencil-beam primario viene rilevato ed interseca il fantoccio allora viene colorato di rosso fino
al punto di ingresso del fantoccio, di blu all’interno del fantoccio e di verde dal punto di uscita
del fantoccio fino al punto di rivelazione. Per la radiazione diffusa singolarmente i codici dei
colori sono i seguenti: rosso mentre attraversa il fantoccio e verde da quando esce dal fantoccio
fino al punto di rivelazione. Da notare che i colori descritti sono quelli di default. L’utente
può modificare a piacere questi colori.
È possibile quindi monitorare passo per passo quello che viene simulato. Inoltre è possibile
decidere se graficare anche la radiazione diffusa singolarmente oppure soltanto la primaria,
dato che graficare la simulazione della radiazione diffusa singolarmente comporta un carico
assai pesante da un punto di vista computazionale con una spesa temporale assai ingente. Si
consiglia quindi di utilizzare un campionamento del rivelatore assai grossolano in una fase di
grafica (e quindi verifica della correttezza dei dati) per poi passare ad una simulazione più fine
soltanto utilizzando i conti (per la radiazione diffusa singolarmente), ottenendo un risparmio
di tempo assai notevole.
La terza opzione permette il calcolo della energia impartita sia della radiazione primaria sia
della radiazione diffusa singolarmente utilizzando soltanto i conti, senza mandare nulla in grafica. Analogamente con la quarta e quinta scelta si seleziona soltanto il contributo della primaria
10.3 Dati Output
117
e della secondaria singola. Da sottolineare che computazionalmente parlando ciò che impiega
un tempo maggiore per essere calcolato è il contributo della radiazione diffusa singolarmente,
mentre il contributo della radiazione primaria è calcolato in tempi molto rapidi. Risulta quindi
possibile e consigliabile calcolare il contributo della primaria con uno step di campionamento
del rivelatore assai piccolo per dare una descrizione molto accurata della radiazione primaria,
mentre si potrebbe utilizzare un campionamento più largo e quindi risparmiare del tempo per
il calcolo del contributo della radiazione diffusa singolarmente, dato che in ogni caso sia per
la radiazione primaria che per la radiazione secondaria singola un campionamento inferiore
determina una sovrastima della energia impartita e quindi una stima in eccesso del rischio.
Da notare che tutte le modalità “verifica” calcolano solamente la radiazione che cade all’interno del detector, campionandola secondo il passo di campionamento del detector stesso. Si
comprende bene ora che in questo modo si considera soltanto una parte della radiazione diffusa, quella che cade nel detector. A tale scopo si è deciso di introdurre un rivelatore sferico
(ovviamente in fase di simulazione) che raccolga tutta la radiazione sia primaria che diffusa
che viene generata all’interno dell’oggetto diffondente.
Una regola di cui tener conto è che all’aumentare del campinamento, sia del fascio che del detector, che del rivelatore sferico, aumenta l’accuratezza delle simulazioni effettuate ma aumenta
conseguentemente anche il tempo di calcolo.
10.3
Dati Output
I dati di Output generati dal sofwtare dipendono dall’opzione selezionata dall’utente:
1. Viene generata una tabella contenente al variare del range energetico assegnato in fase
di input dei dati, gli angoli e la probabilità di diffusione per un fotone sia per lo scattering Compton che per lo scattering Rayleigh. Vengono poi costruite anche le tabelle
che stimano la probabiltà di diffusione per un fotone con i diversi modelli fisici precedentemente descritti: modello Thomson, modello di Thomas-Fermi, modello basato sulle
tabelle della EPDL (approssimazione del fattore di forma atomico e della funzione di
scatter incoerente)
2. Viene graficata la geometria del sistema radiologico che si vuole simulare: si ottengono
le tre visualizzazioni ortogonali tra loro lungo i piani XY, ZX, ZY ed anche una grafica
3D. Tutte le finestre sono interattive nel senso che mostrano lo sviluppo dei calcoli
modificando la loro visualizzazione a seconda dell’avanzamento della simulazione stessa.
Il software permette di fermare la simulazione e di salvare dei file temporanei contenenti
le immagini di tutte le finestre, in modo da poter esportare le immagini della simulazione
stessa.
3. Viene generato un file .xls contenente l’intensità della radiazione primaria per ogni singolo pixel del rivelatore. Viene poi generata una seconda mappa contenente l’intensità
di ogni singolo pixel sia per la componente della radiazione diffusa singolarmente Compton che Rayleigh per quanto concerne le modalità di “verifica step” e “verifica fast”. Si
genera poi un’immagine totale in cui si sommano la componente primaria e diffusa singolarmente (non è da confondere con l’immagine radiologica in quanto manca lo scatter
multiplo). Infine si calcola una mappa del SP R1 , ovvero del Single Scatter to Primary
Ratio, definito come il rapporto dell’intensità della componente diffusa singolarmente
rispetto a quella primaria per ogni singolo pixel e per ogni singolo processo modellizzato
(sia Compton che Rayleigh). Vengono poi riportate le matrici dell’attenuazione media
per ogni singolo pixel e la matrice di copertura, calcolate per la stima dei parametri
dello scatter multiplo. Infine viene riportata anche la matrice relativa all’intensità dello
scatter multiplo stimato con i parametri forniti in fase di input dati.
4. Viene generato in output quanto detto per il caso precedente solamente riferito alla
componente primaria
118
5. Viene generato in output quanto detto per il caso precedente solamente riferito alla
componente diffusa
Da notare che per ogni modalità con cui si simula la radiazione sia primaria che diffusa
che cade sul rivelatore viene automaticamente calcolato anche l’energia del fascio radiante e
quella che cade sul rivelatore stesso, al fine di poter stimare l’energia impartita al paziente a
partire dal principio di conservazione dell’energia.
Capitolo
11
Validazione del Software con
Tomografia Assiale
Computerizzata
Indice
11.1 Simulazione della Radiazione Primaria . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine . . . . . . 121
11.2.1 Scattering di un singolo Voxel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2.2 Contributo dello Scattering al Primo Ordine nell’imaging di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla . . . . . . . . . . . 125
11.3.1 Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . . . . . . . . 129
In questo capitolo viene descritta la procedura di validazione del modello fisico sviluppato
utilizzando dati relativi alla tomografia assiale computerizzata (TAC) nelle sue componenti principali
relative alla simulazione della radiazione primaria, diffusa al primo ordine e diffusa multipla.
La Verifica di un Software è un processo in cui si determina se il programma codifica correttamente ed adempie a specifiche richieste. La Validazione di un codice è un processo di
verifica del software al fine di assicurarne la corretta Compliance con l’applicabilità fisica del
processo che si vuole modellizzare. La procedura di validazione di un codice quindi consiste
nel confrontare i dati di output con dei dati noti, sia sperimentali che in letteratura, al variare
dei parametri fisici che vengono richiesti in fase di input dei dati al software stesso.
La validazione è un processo necessario e fondamentale per lo sviluppo di un modello fisico.
Senza questa fase nell’applicazione del software stesso si rischia infatti di ottenere dati in output che possono essere non del tutto corretti.
Per quanto concerne la simulazione di un apparecchio radiologico si è cercato in letteratura
se esistessero dei modelli in cui viene simulato il trasporto di energia sia per la radiazione
primaria che diffusa, sia al primo ordine che scattering multiplo.
Esistono dei modelli che forniscono dati che riguardano la simulazione di un fascio primario e diffuso in Tomografia Assiale Computerizzata, in particolare la Cone Beam Computed
Tomography o (CBCT) in quanto la non presenza della griglia antidiffusione ha costretto i
costruttori a sviluppare tecniche di correzione dello scatter presente sull’immagine dato che
gli algoritmi di ricostruzione delle immagini TAC necessitano di proiezioni della radiazione
120
Validazione del Software con Tomografia Assiale Computerizzata
primaria che non contengano contributi della radiazione diffusa, pena la creazione di artefatti
nell’immagine radiologico. Se nel passato tuttavia tali problemi non esistevano, visto che i
detectors presentavano poche slice di rivelatori e quindi la radiazione era raccolta in condizioni
di buona geometria, con l’avvento della tecnica multislice si è ampliato il campo di rivelazione
e con esso anche le tecniche di correzione dell’immagine. I metodi Monte Carlo non possono
essere utilizzati in quanto troppo dispendiosi da un punto di vista temporale e quindi vengono
adottati modelli analitici o misure sperimantali eseguite sull’immagine radiologica stessa, a
discapito di alcuni pixel del rivelatori che vengono utilizzati per quest’ultima tecnica, oppure
si utilizzano tecniche Monte Carlo dedicate, rese veloci per poter correggere lo scatter presente
e ricostruire l’immagine in tempi accettabili ma con incertezze molto importanti.
Risulta possibile confrontare delle simulazioni pubblicate per la CBCT con i risulatati ottenuti
utilizzando il software sviluppato, dato che all’interno del software stesso è possibile effettuare
anche delle simulazioni TAC.
Prima di illustrare la validazione del modello fisico adattato è necessario sottolineare alcuni
aspetti relativi alla operazione di confronto dei dati ottenuti.
Se per la geometria del sistema radiologico simulato non è possibile che esistano delle variazioni
da un codice all’altro, per quanto concerne i dati presenti nei databse dei singoli programmi
deve essere fatta attenzione sul valore del discostamento che potrebbe risultare nella fluenza
dei fotoni. Infatti può essere che i risultati differiscano perchè i database utilizzati non sono
gli stessi.
Nelle simulazioni del trasporto e deposito di energia nei materiali è necesario sottolineare che i
coefficienti massici compaiono all’esponente e quindi il valore delle fluenze di energia calcolate
possono differire di parecchio.
Anche il confronto con dati sperimentali tuttavia può fornire delle discrepanze; infatti le impurità presenti nel materiale che compongono il fantoccio, in particolar modo quelle ad alto Z,
possono generare una variazione sostanziale delle fluenza di energia, in quanto come si è visto
nei capitoli precedenti le sezioni d’urto dei singoli processi dipendono dal numero atomico Z.
Quindi per una validazione di un software risulta più corretto confrontare i valori ottenuti in
output con dei dati presenti in letteratura ed accettati come corretti piuttosto che validare
il modello con misure sperimentali, in quanto se per il primo confronto è presente solo la discrepanza dovuta ai coefficienti massici diversi utilizzati nei rispettivi database, nel secondo
confronto sono presenti inoltre anche gli errori legati alle impurità dei materiali ed altre discrepanze dovute al fatto che in un caso si sta simulando una situazione ideale mentre nell’altro
si stanno effettuando misure e ci si aspetta quindi una discrepanza maggiore rispetto al caso
precedente.
11.1
Simulazione della Radiazione Primaria
I valori della trasmissione della radiazione primaria per due fantocci di acqua cilindrici
con differente diametro sono stati comparati con i valori ottenuti con il codice Monte Carlo
MCNP5. Questi valori sono stati anche ottenuti dalle simulazioni con il ToolKit CT-Mod
(simulatore Monte Carlo dedicato per la CBCT reso più veloce dall’introduzione di alcune
approssimazioni).
Le proiezioni della radiazione primaria sono state calcolate in una geometria che simula uno
scanner utilizzato in Computed Tomograpyh (CT). La geometria consiste in una sorgente puntiforme, un fantoccio cilindrico ad un array di punti che simulano il rivelatore disposti su una
superficie cilindrica centrata nella sorgente stessa.
La sorgente emette fotoni monoenergetici con energie iniziali di 30, 60, 90, 120 KeV rispettivamente. La distanza della sorgente dall’isocentro è SID=700 mm mentre il centro del rivelatore
si trova a IDD=300 mm. La larghezza del fascio, corrispondente a quella del rivelatore, è pari
a w=200 mm, mentre la lunghezza è l=700 mm, analogamente per il rivelatore come mostrato
in figura 11.1.
11.1 Simulazione della Radiazione Primaria
(a) Piano ZX
(c) Piano ZY
121
(b) Piano XY
(d) 3D
Figura 11.1: Geometria di simulazione
122
I fantocci simulati sono di acqua, omogenei e con lunghezza pari a 25 cm e di diverso raggio,
8 cm e 16 cm, con asse posto all’isocentro e parallelo all’asse Y. Il software è stato settato
in modo da poter ottenere la fluenza di energia al rivelatore e l’erogazione dell’apparecchio
radiologico è stata calcolata in modo che la sorgente emetta un fotone su angolo solido, come
riportato nell’articolo di Malusek et Al.[16].
Si è simulato un rivelatore con 64 × 13 elementi, al fine di avere le stesse coordinate spaziali
dei punti ottenuti con la simulazione Monte Carlo; il software infatti permetterebbe di avere
un rivelatore con molti più elementi in tempi ridotti. Infatti, come descritto in [17], il codice
MCNP5 fornisce la fluenza di energia solo in 12 punti data la grandissima quantità di tempo
impiegato per una simulazione. I dati forniti dal MCNP5 sono stati confermati poi anche
dal ToolKit CT-Mod con una discrepanza dell’ordine del 0.5%. Questi valori vengono quindi
assunti come corretti e come parametro di confronto.
Nelle tabelle riportate in figura 11.2 sono riportati i valori ottenuti con il codice MCNP5 e
quelli ottenuti dalle simulazione del software con una interpolazione lineare dei coefficienti
massici utilizzati nella simulazione stessa della radiazione primaria, per le diverse energie e
per i due diversi fantocci e la differenza relativa. I valori rappresentano la fluenza energetica
espressa in KeV /cm2 relativa ai singoli pixel della slice centrale del rivelatore .
(a)
(b)
Figura 11.2: Tabelle riportanti i valori di fluenza energetica in KeV /cm2 per i due diversi
raggi del fantoccio di 8 cm a e di 16 cm b in funzione dell’indice del pixel i e dell’energia
del fascio monocromatico E di 30, 60, 90, 120 KeV delle simulazioni con MCNP5 e con il
software sviluppato. In fondo alle tabelle vengono riportate i dati relativi alla simulazione con
il software utilizzando una interpolazione logaritmica dei coefficienti massici rispetto a quella
lineare.
Le differenze relative ∆E sono inferiori del 2,2% per il fantoccio di raggio 8 cm, mentre
inferiori al 4,5% per il fantoccio di raggio di 16 cm, come mostrato dalle tabelle riportate in
figura 11.3.
Come si vede dalla figura 11.4 il software sviluppato permette di ottenere dei porfili molto
più accurati rispetto al codice MCNP5 con un dispendio temporale enormemente inferiore.
123
(a)
(b)
Figura 11.3: Differenza relativa dei valori di fluenza energetica del software rispetto ai valori
calcolati con MCNP5 per i due casi di fantoccio con raggio di 8 cm a e di 16 cm b
124
Infatti i profili della radiazione primaria, riportati su scala logaritmica, vengono calcolati in
pochi minuti.
Nelle tabelle della figura 11.2 vengono riportati i valori ottenuti dalle simulazione del software
con una interpolazione logaritmica dei coefficienti massici: le differenze relative in questo caso
sono inferiori del 0,6% per il raggio di 8 cm e di 1,3% per il raggio di 16 cm (vengono riportate
solo i valori per le energie di 90 e 120 KeV perchè sono quei valori che maggiormente si dicostano da quelli dati dalle simulazioni MCNP5), a dimostrazione che la maggiore discrepanza
ottenuta nelle precedenti simulazioni era dovuta soltanto alla tipologia di interpolazione. Per
questo motivo sul software si è deciso di far scegliere manualmente all’utente quale tipologia
di interpolazione utilizzare, ricordando che per interpolazione lineare lin-lin si intende:
y = yi +
yi+1 − yi
· (x − xi )
xi+1 − xi
(11.1)
in cui y = f (x) è una funzione che è campionata da un set di n-punti (xi , yi ) tale che 1 ≤ i ≤ n,
mentre per interpolazione logaritmica log-log si intende:
ln(yi+1 − ln(yi ))
y = exp ln(yi ) +
· (ln(x) − ln(xi ))
(11.2)
ln(xi+1 − ln(xi ))
In figura 11.5 viene mostrato il discostamento per le due energie di 90 e 120 dato che sono le
due energie per le quali maggiormente si manifesta la differenza nell’utilizzo delle interpolazioni.
125
Figura 11.4: Fluenza di energia in aria primaria per gli spettri monoenergetici di 30, 60, 90,
120 KeV per i due casi di fantoccio cilindrico avente diametro pari a 160 e 320 mm in funzione
della distanza del pixel dall’isocentro lungo l’asse X per la slice centrale del plate.
126
Figura 11.5: Confronto tra le diverse tipologie di interpolazione per gli spettri monoenergetici
di 90 e 120 KeV per le due tipologie di fantoccio di diametro pari a 160 e 320 mm
11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine
127
11.2
Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine
11.2.1
Scattering di un singolo Voxel
Prima di iniziare con la simulazione dello scattering di un oggetto 3D macroscopico, risulta
istruttivo e necessario validare il modello della radiazione diffusa per il caso di un oggetto
avente un volume infinitesimo, non solo per verificare la coerenza delle simulazioni effettuate
con il software rispetto ai dati presenti in letteratura, ma anche per migliorare la comprensione
del fenomeno di scattering da parte di un voxel. Infatti lo scattering di un singolo voxel risulta
essere la base per simulare la diffusione generata da oggetti macroscopici.
Dato che in letteratura non sono presenti simulazioni di voxel puntiformi nè in radiologia digitale nè in tomografia computerizzata, si è deciso di validare la diffusione di un voxel puntiforme
con i dati presenti in letteratura relativi all’utilizzo di radiazioni ionizzanti per la radiografia
di materiali. In particolare si è deciso di confrontare i risultati ottenuti dalla simulazione del
software con quelli ottenuti con un modello deterministico e relativi allo scatter al primo ordine
che riguardassero rispettivamente il contributo sia Compton che Rayleigh.
Con riferimento all’articolo di Freud, Duvauchelle et Al.[7] si è simulato un voxel di ferro
cubico molto piccolo di lato x = 1 µm. In questo modo sia l’attenuazione dei fotoni che la
probabilità di scatter multiplo possono essere considerate trascurabili. Infatti la probabilità
che un fotone di 100 KeV venga trasmesso senza alcuna interazione attraverso il voxel è pari a
µ
p = e−( ρ ·ρ·x) = 0, 9997 dove µρ è il coefficiente massico del ferro a 100 KeV e ρ = 7, 87 g/cm3 .
I parametri geometrici sono gli stessi presenti nell’articolo di Freud et Al., ovvero si ha una
distanza del voxel dalla sorgente pari a SID=100 mm ed il detector piano è posto ad una
distanza IDD=500 µm, formato da 75 × 75 pixel ognuno avente dimensione pari a 1,778 µm2 a
differenza dei 500×500 pixel calcolati nell’articolo di confronto. La sorgente è ipotizzata essere
puntiforme, monocromatica con fotoni di energia pari a 100 KeV con emissione di N0 = 1012
fotoni.
Di seguito vengono riportate dapprima le immagini relative alle simulazioni dell’articolo di
Freud et Al. ed i profili dei pixel centrali relativi allo scattering sia Compton che Rayleigh.
(a) Compton
(c) Profilo
Compton
dello
(b) Rayleigh
scatter (d) Profilo
Rayleigh
dello
scatter
Figura 11.6: Immagini radiologiche del numero di fotoni che arrivano sul rivelatore e rispettivi
profili dei pixel centrali generate dallo scatter di un voxel puntiforme di ferro dall’articolo di
Freud et Al [7].
128
Le seguenti immagini invece mostrano le immagini ed i profili dei pixel centrali ottenuti
con il software creato: la concordanza con i dati precedenti è ben evidente e quindi il software
risulta pertanto essere validato per il caso dello scattering al primo ordine di un voxel puntiforme per il caso sia Compton che Rayleigh.
(a) Compton
(b) Rayleigh
(c) Profilo dello scatter Compton
(d) Profilo dello scatter Rayleigh
Figura 11.7: Immagini radiologiche del numero di fotoni che arrivano sul rivelatore e rispettivi
profili dei pixel centrali generate dallo scatter di un voxel puntiforme di ferro
11.2 Simulazione della Radiazione Diffusa al Primo Ordine
11.2.2
129
Contributo dello Scattering al Primo Ordine nell’imaging di
trasmissione
Constatata la bontà dello scattering di un voxel assunto come puntiforme, si è deciso di simulare lo scattering da parte di un oggetto 3D macroscopico. Si è deciso di simulare dapprima
un caso semplice: un plate di ferro, geometricamente parlando un parallelepipedo, irradiato
con un fascio monocromatico. Questo tipo di configurazione può essere utilizzata per valutare
la percentuale di fotoni diffusi rilevati da un detector posto dietro l’oggetto 3D per differenti
valori di energia del fascio, spessore del plate e differenti materiali. Si è deciso di simulare la
configurazione descritta nell’articlo di Freud at al.[7] per effettuare un confronto del software
creato per oggetti 3D macroscopici.
La sorgente è puntiforme con emissione isotropica di 1012 fotoni/steradianti di energia pari
a 100 KeV ad una distanza dall’oggetto SID = 1000 mm ed un rivelatore posto a distanza
IDD = 10 mm con dimensioni 2 mm × 100 mm. Il plate di ferro presenta le seguenti dimensioni: 50 mm × 50 mm × 5 mm e in base a quanto letto nell’articolo di Freud et al. si è deciso
di effettuare una discretizzazione dell’oggetto e del rivelatore che impiegasse il minor tempo
possibile ma che permettesse una corretta valutazione dei profili della radiazione diffusa al
primo ordine sia Compton che Rayleigh senza introdurre artefatti di campionamento (1 mm3
per la voxelizzazione del plate di ferro e 1 × 50 per il numero dei pixels del rivelatore).
Di seguito si riportano i profili del rivelatore ottenuti con tale configurazione di simulazione
ed i profili ottenuti da Frued con una simulazione avente voxel di lato 200 µm ed il numero
di pixel del rivelatore pari a 500 × 500: si nota che la concordanza tra i due andamenti è del
tutto verificata.
(a) Freud et al.
(c) Freud et al.
(b) Modalità Verifica Voxel
(d) Modalità Verifica Voxel
Figura 11.8: Confronto dei profili dello scatter al 1◦ ordine sia Rayleigh che Compton ed
influenza dello scatter rispetto al profilo generato sul rivelatore dalla radiazione primaria.
130
Verificata quindi la bontà del modello relativo allo scatter Compton e Rayleigh al 1◦ ordine
nell’imaging di trasmissione si è deciso di verificare il modello per oggetti macroscopici 3D che
siano di interesse radiologico e con una geometria di acquisizione delle immagini radiologiche
che sia quanto più simile a quella degli apparecchi diagnostici utilizzati in clinica.
Anche per il caso dello scatter al primo ordine si è ricorsi alla tomografia assiale computerizzata per verificare che le simulazioni effettuate fossero corrette.
Si sono confrontati i dati con quelli presenti in un articolo di Yiannis Kyriakou et Al. [11] per
quello che rigurda il contributo allo scatter al primo ordine sia Compton che Rayleigh.
Il setup della simulazione di tale articolo viene descritto in un altro articolo di Willy A. Kalender [4] e consiste in una sorgente, il fantoccio ed il rivelatore. La geometria del sistema
radiologico è quella che descrive un tipico C-Arm Flat Panel Detector Computed Tomography
System: l’Axiom Artis dTA della Siemens Medical Solution.
La distanza della sorgente dall’isocentro è SID=785 mm, il detector è un plate di dimensioni
pari a 40 cm × 30 cm a distanza IDD=415 mm dall’isocentro con materiale scintillante CsI di
spessore pari a 0,6 mm, con un fascio radiante di dimensioni 261 cm × 200 cm all’isocentro.
La sorgente è simulata come puntiforme con emissione monocromatica di fotoni aventi energia
pari a 40, 80 e 120 KeV ed il fantoccio è cilindrico di acqua omogeneo.
Si sono effettuate diverse simulazioni per diversi raggi del fantoccio al variare dell’energia dei
fotoni emessi; questo è stato possibile grazie alla velocità di simulazione che il software permette. Si sono poi elaborati i dati relativi al pixel centrale del rivelatore per poterli confrontare
con qulli noti dall’articolo. Infatti viene graficato in funzione dell’energia dei fotoni radianti
primari il rapporto Ri = Si /Stot in cui Si rappresenta l’intensità della radiazione diffusa al
primo ordine tale che i ∈ {Compton, Rayleigh} ed Stot rappresenta lo scatter al primo ordine,
ovvero la somma dei contributi Compton e Rayleigh.
In figura 11.9 vengono riportati gli andamenti ottenuti con la simulazione e quelli dell’articolo
di Yiannis Kyriakou et Al.: si nota la completa concordanza degli andamenti e la bontà del modello adottato. Dato che non sono dati nell’articolo i valori dei punti che descrivono tali curve
non è stato possibile quantificare il discostamento delle simulazioni effettuate. Si nota tuttavia
un discostamento degli andamenti per l’energia relativa ai 40 KeV per entrambi i contributi sia
Rayleigh che Compton. Questa differenza verrà spiegata ampiamente nel paragrafo successivo.
(a) Yiannis Kyriakou et Al.[11]
(b) Simulazione
Figura 11.9: Confronto dei contributi relativi Ri della componente Rayleigh e Compton rispetto all’intensità dello scatter al primo ordine per il pixel centrale del rivelatore in funzione
del raggio del fantoccio al variare delle energie del fascio monocromatico simulato [11].
11.3 Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla
11.3
131
Simulazione della Radiazione Diffusa Multipla
Validato il modello fisico adottato per quanto rigurda la radiazione primaria e diffusa al
primo ordine, si è deciso di adottare come modello fisico per lo scattering multiplo il modello
parametrico presentato nei paragrafi precedenti. Anche in questo caso la validazione è stata
effettuata in tomografia assiale computerizzata, riferendosi ai lavori eseguiti da A. Malusek et
Al. [12][16][17], che riportano simulazioni effettuate sia con il codice Monte Carlo MCNP5 che
con il ToolKit CT-Mod.
La geometria e le tipologie di simulazione sono le stesse di quelle descritte per la radiazione
primaria e si rimanda a tale paragrafo per ulteriori dettagli. I valori della fluenza di energia in
aria della radiazione diffusa totale simulata con MCNP5 sono stati assunti come valori corretti
sui quali effettuare la regressione lineare multipla al fine di estrarre i parametri dello scatter
multiplo: si è sottratto infatti a tali valori il contributo della radiazione diffusa al primo ordine
ed in seguito sono stati stimati i parametri relativi ad ogni singola energia di 30, 60, 90, 120
KeV per le due tipologie di fantoccio cilindrico di acqua omogeneo di raggio di 8 cm e 16 cm.
(a)
(b)
Figura 11.10: Tabelle relative ai valori di fluenza di energia in aria in KeV /cm2 in funzione
delle diverse energie E 30, 60, 90 e 120 KeV e dell’inidce i dei pixel della slice centrale per i
due fantocci di raggio a di 8 cm e b di 16 cm delle due diverse simulazioni con MCNP5 ed il
software sviluppato e relativa differenza
La regressione lineare è stata effettuata solo sui dodici punti del rivelatore, dato che la
simulazione Monte Carlo restituisce solo pochi punti del rivelatore; come al solito questi punti
descrivono il profilo dei pixel della slice centrale; i valori relativi alle simulazioni effettuate
sia con MCNP5 che con il software sviluppato sono riportate nelle tabelle di figura 11.10 e
per una migliore comprensione sono state graficati in figura 11.12 in cui si riporta lo scatter
totale calcolato con MCNP5 e lo scattering multiplo e al primo ordine calcolato con il software
sviluppato. L’interpolazione utilizzata per coefficienti massici utilizzati è logaritmica, mentre
per il fattore di forma atomico e la funzione di scatter incoerente si è utilizzato un’interpolazione lineare. Come si nota dalle tabelle di figura 11.10 la discrepanza tra le due simulazioni
132
sono dell’ordine del 1-2%, eccetto che per l’energie di 30 KeV dove si raggiungono incertezze
anche del 20%. Questa discrepanza dipende solamente dai database utilizzati per i coefficienti
massici, XCOM del NIST per il software sviluppato e DLC-200 per il MCNP5 e già nel confronto con il ToolKit CT-Mod Malusek et Al., nel lavoro [17], hanno mostrato che per basse
energie, dove i coefficienti variano maggiormente tra i diversi database, una differenza del 4%
nel coefficiente massico lineare dell’acqua per un’energia di 30 KeV per un fantoccio avente un
raggio di 16 cm, genera una discrepanza nella fluenza di energia che risulta essere dell’ordine
del 38%. In figura 11.11 vengono mostrate le differenza relative alle varie sezioni d’urto e
quindi al coefficiente di attenuazione lineare per l’energia di 30 KeV supponendo una densità
dell’acqua pari a ρ = 1 g/cm3 .
Figura 11.11: Confronto delle sezioni d’urto per l’interazione Rayleigh ΣCo , incoerente ΣIn ,
effetto fotoelettrico ΣP h e totale Σtot relative all’energia di 30 KeV supposta una densità
dell’acqua pari a ρ = 1 g/cm3 per i diversi database [17].
In figura 11.13 vengono mostrati i profili della slice centrale del rivelatore: la simulazione
della radiazione diffusa che cade su tutto il rivelatore è stata stimata con i parametri ricavati
dai valori dei dodici punti simulati con MCNP5 e che vengono opportunamente riportati per
un confronto immediato: è possibile apprezzare il miglior dettaglio del profilo calcolato con il
software.
133
Figura 11.12: Fluenza di energia in aria diffusa per gli spettri monoenergetici di 30, 60, 90, 120
KeV per i due casi di fantoccio cilindrico avente diametro pari a 160 e 320 mm in funzione della
distanza del pixel dall’isocentro lungo l’asse X per la slice centrale del plate. Sono riportati i
valori relativi ai dodici punti del profilo centrale.
134
Figura 11.13: Fluenza di energia in aria diffusa per gli spettri monoenergetici di 30, 60, 90,
120 KeV per i due casi di fantoccio cilindrico avente diametro pari a 160 e 320 mm in funzione
della distanza del pixel dall’isocentro lungo l’asse X per la slice centrale del plate. Sono anche
riportati i valori dei dodici punti calcolati con MCNP del profilo centrale.
11.3.1
135
Inferenza Statistica sui parametri stimati
La modellizzazione della radiazione diffusa multipla viene effettuata attraverso un modello
parametrico a partire da dati ottenuti da una simulazione iniziale e dalla conoscenza dell’effettivo valore di fluenza di energia di ogni singolo pixel per lo scattering multiplo. I dati
riguardanti l’intensità della radiazione diffusa totale calcolati con MCNP5 sono stati assunti
come andamenti teorici corretti, da cui ricavare i valori della fluenza di energia attraverso la
sottrazione dei valori della fluenza di energia dello scatter al 1◦ ordine. Questo ha permesso di
stimare i parametri del modello parametrico dello scattering multiplo attraverso la Regressione
Lineare Multipla secondo l’equazione:
Mij = p1 + p2 · Sij · +p3 · Sij · µD̄ij + p4 · Sij · Fij
(11.3)
in cui gli indici ij rappresentano gli indici del pixel della matrice del rivelatore, Mij rappresenta il contibuto dello scatter multiplo calcolato a partire dai dati ottenuti con MCNP5, Sij
il contributo dello scatter al primo ordine calcolato analiticamente come detto nei paragrafi
precedenti, µD̄ij l’attenuazione media per ogni pixel della radiazione diffusa al primo ordine e
Fij un fattore di copertura che rappresenta che rappresenta il rapporto dell’area del pixel con
l’area totale del detector se il pixel stesso si trova nella proiezione dell’oggetto sul rivelatore,
altrimenti assume valore nullo.
Si rimanda all’ Appendice D la descrizione ed il significato di questa tecnica, dove viene descritto anche la tecnica di inferenza statistica ANOVA sui parametri stimati che è stata applicata
per verificare la bontà del modello parametrico stesso. Di seguito vengono analizzati i risultati
ottenuti dall’applicazione di queste due tecniche.
I parametri p1 p2 p3 p4 sono riportati nella tabella di figura 11.14 al variare delle diverse energie
e per le due diverse tipologie di fantoccio (raggio pari ad 8 cm o 16 cm). Vengono riportate
2
anche i valori dei rispettivi R-quadro aggiustato Radj
ed i p-value. Dato che il massimo valori
2
di Radj può essere 1, si nota chiaramente che le esplicative, ovvero le variabili indipendenti, sono state capaci di catturare la variabilità della variabile dipendente, ovvero il contributo dello
2
scattering multiplo. I valori dell’Radj
sono tutti maggiori di 0,9958 indicando che il modello
segue molto bene l’andamento dei dati raccolti. E’ stato poi eseguito il test ANOVA per ricavare i p-value relativi alle varie simulazioni per verificare la significatività del modello lineare
stesso adottato. Scelto come livello critico del p-value lo 0,05, valore tipicamente accettato
per ottenere una confidenza del modello che sia del 95%, si è osservato che tutti i p-value
stimati sono minori di questo valore, determinando quindi un livello di confidenza dei relativi
parametri che supera il 95%.
Figura 11.14: Tabella riassuntiva dei parametri determinati attraverso la regressione lineare
multipla ed inferenza statistica con il test ANOVA
136
Per verificare che tutte le variabili indipendenti fossero significative, ovvero che i singoli
parametri stimati fossero tutti necessari per una corretta descrizione della variabile dipendente,
si è deciso di effettuare il test t-Student per ogni parametro per stimare la significatività singola
del parametro stesso. I risultati del test sono i p-value relativi ai parametri stimati per le
diverse energie adottate per i due diversi casi del fantoccio di diametro pari a 160 mm e 320
mm, riportati in figura 11.15. Tutti i valori deel p-value sono inferiori al 0.05, confermando il
fatto che tutte le variabili indipendenti sono necessarie al modello parametrico stimato.
Figura 11.15: p-value dei singoli parametri ricavati con il t-Student per le diverse energie e
per i due fantocci di diametro pari a 160 mm e 320 mm
Il test ANOVA restituisce anche i valori dei residui per ogni singola simulazione. I Box-Plot
relativi a tali residui (per maggiori dettagli sul significato di questi grafici si rimanda all’Appendice D) per tutte le diverse energie e rispettivamente per i due fantocci simulati sono stati
analizzati e mostrati in figura 11.16. Dai Box-Plot presentati si osserva che effettivamente i
residui presentano tutti media nulla ed i valori dei residui minimo e massimo sono equidistanti.
Tuttavia la distribuzione non risulta normale, in quanto la mediana non risulta coincidere con
la media ed essere quindi equidistante dai percentili che descrivono la distribuzione dei residui
stessi. Questo è dovuto al fatto che la regressione lineare multipla è stata fatta su un set
limitato di punti, solamente 12 a causa del fatto che in letteratura tali dati sono ricavati con
MCNP5 e non su un numero sufficientemente elevato per effettuare un’analisi statistica, ma
2
data la bontà dell’Radj
, i parametri possono essere assunti come corretti vista anche la media
nulla dei residui e l’equidistanza dei valori minimo e massimo. Ci si aspetta che aumentando
il numero di punti con cui effettuare la regressione lineare i valori dei residui possano assumere una distribuzione normale, confermando pienamente la correttezza dei parametri stimati.
137
(a) φ = 16 cm
(b) φ = 16 cm
(c) φ = 16 cm
(d) φ = 16 cm
(e) φ = 32 cm
(f) φ = 32 cm
(g) φ = 32 cm
(h) φ = 32 cm
Figura 11.16: Box-Plot dei residui relativi alle simulazioni effettuate per le energie di 30, 60,
90, 120 KeV per i due casi di fantoccio con diametro φ pari a 16 cm e 32 cm
138
Capitolo
12
Applicazione Pratica
Indice
12.0.2
12.0.3
12.0.4
12.0.5
Misure Sperimentali Necessarie allo Sviluppo del Software
Applicazione pratica del Software . . . . . . . . . . . . . .
Inferenza Statistica sui parametri stimati . . . . . . . . .
Considerazioni Energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
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133
135
139
141
Si è deciso di simulare un tipico caso clinico utilizzando un fantoccio cilindrico, utilizzato
anche in tomografia assiale computerizzata per dosimetria, per un sistema radiologico digitale
utilizzato all’Ospedale S.Chiara di Trento. Si tratta dell’apparecchio digitale Siemens Aristos
FX della Siemens Medical Solution del Pronto Soccorso, riportato in figura 12.1.
12.0.2
Misure Sperimentali Necessarie allo Sviluppo del Software
Prima di effettuare le simulazioni con il software sviluppato è stato necessario effettuare
delle misurazioni e delle verifiche per poter poi passare alla fase di simulazione e confronto dei
profili di trasmissione delle immagini radiologiche.
Una prima procedura effettuata sulle immagini radiologiche ottenute è la Standardizzazione
delle immagini radiologiche stesse. Questa procedura consiste nella divisione dei pixel-values
dell’immagine per il valore della carica generata dal tubo radiogeno. Questa procedura risulta
Figura 12.1: Siemens Aristos FX
140
corretta solo se la risposta del rivelatore alla variazione di carica generata è lineare. In una
prima fase quindi si è reso necessario verificare la linearità della risposta del rivelatore alla
variazione della carica generata. Questo è stato effettuato tramite la generazione di immagini
radiologiche senza fantoccio per diversi valori di carica generata per le diverse tensioni che
si vogliono simulare. Per ogni immagine si è evidenziata una ROI, ovvero una Region Of
Interest (regione di interesse), al centro dell’immagine e si è letto il pixel-value medio. Questa
procedura è stata ripetuta per diversi valori di carica generata alle diverse tensioni.
Figura 12.2: Linearità dei livelli di grigio (o pixel-values) PV in funzione della Carica generata
dal tubo radiogeno misurata in [mAs]
La figura 12.2 mostra l’andamento lineare dei pixel-values PV al variare della carica generata alla tensione applicata di 90 kVp: il valore R2 = 1 mostra che l’andamanto è sicuramente
lineare. Curve analoghe sono state ottenute per gli altri valori di tensione 70 kVp e 113 kVp,
confermando che il rivelatore digitale possiede una risposta lineare in funzione della carica
generata del tipo P V = a · Carica + b. I valori dei coefficienti a e b sono riportati nella tabella
di figura 12.3 assieme al valore R-quadro per la valutazione della linearità supposta.
Figura 12.3: Tabella riportante i parametri del fit lineare dei PV rispetto alla Carica generata
per le diverse tensioni di lavoro
Le immagini radiologiche del fantoccio omogeneo di PMMA sono state quindi standardizzate rispetto alla carica generata dividendo i PV per la carica generata. L’immagine presenta
tuttavia una distorsione causata dall’effetto Heel. Questa distorsione dell’immagine viene eliminata utilizzando ancora le immagini radiologiche acquisite senza fantoccio standardizzate
rispetto alla carica generata; infatti dividendo l’immagine acquisita con il fantoccio stesso per
l’immagine radiologica senza fantoccio si ottiene direttamente l’immagine della trasmissione
del fantoccio stesso corretta dall’effetto Heel, dato che questo si presenta in entrambe le immagini.
Rimane un’ultima procedura da effettuare prima di passare ad una simulazione di un apparecchio radiologico reale; se in fase di simulazione la numerosità dei fotoni viene data come
141
parametro di input, per i casi reali lo spettro di fotoni non è un dato noto, nemmeno nei
data sheet degli apparecchi radiologici stessi. Per evitare questo problema si è utilizzato uno
spettro normalizzato generato dal programma XComp5 che è stato poi moltiplicato per la
numerosità ricavata dall’Output Standardizzato secondo quanto esposto nel paragrafo relativo
alla simulazione della sorgente. Si è reso quindi necessario misurare a diverse tensioni l’Output
Standardizzato, al fine di ricavare una curva che permetta di ottenere l’Output Standardizzato
per ogni voltaggio settato.
Figura 12.4: Tabella riportante le misure effettuate con il PMX-III
Per questo tipo di misure, riportate nella tabella di figura 12.4, è stato utilizzato il sistema
impiegato di norma per i controlli di qualità, costituito dal dosimetro PMX-III della RTI
Electronics (riportato in figura 12.5), formato da un elettrometro al quale possono essere
connessi diversi tipi di rivelatori a stato solido, tra cui l’MX al silicio a barriera di superficie,
per le misure in modalità grafia.
Figura 12.5: PMX-III con sonda MX al silicio a barriera di superficie
Il multimetro PMX-III può essere collegato ad un calcolatore tramite il quale è possibile
acquisire automaticamente le misure con il software di gestione ORTIGO. Per la misura dei
kVp e dei tempi di esposizione le caratteristiche sono recuperate nel file dicom dell’immagine
radiologica stessa. Tutti i valori presentano un’incertezza che è pari ad un digit per cui nelle
varie tabelle non vengono riportate tutte le incertezza per motivi di spazio. La sonda è stata
posta a 1000 mm dalla sorgente radiogena, impostando una carica pari a 20 mAs per un tempo
pari a 500 ms.
In figura 12.6 viene mostrato il fitting dei dati sperimentali raccolti: questa curva permette
di stimare l’Output Standardizzato a partire dalla tensione applicata, utilizzando il fit ricavato.
Il valore dell’R2 = 0, 9983 mostra che la tensione di lavoro e l’Output Standardizzato seguono
con buona approssimazione la curva del tipo y = axb tale che a = 0, 0081 e b = 1, 9779.
142
Figura 12.6: Fit dei dati sperimentali ottenuti
A questo punto risulta possibile effettuare una simulazine completa dell’apparecchio radiologico.
12.0.3
Applicazione pratica del Software
Constatata la linearità dei pixel values rispetto alla carica generata dall’apparechio radiologico ed ottenuta la relazione che lega le tensioni di lavoro alla grandezza Output Standardizzato, si è passati alla simulazione vera e propria dell’apparecchio radiologico.
La sorgente è ipotizzata puntiforme con spettri polienergetici dipendenti dal voltaggio e filtrazione applicata. I voltaggi applicati sono 70, 90 e 113 KV e la filtrazione del fascio radiante è
di 2.1 mm di Cu. Gli spettri normalizzati di queste configurazioni, da cui tramite la procedura
descritta nel paragrafo relativo al modello della sorgente radiologica, si sono ricavati gli spettri
utilizzati nelle simulazioni, sono mostrati in figura 12.7:
Figura 12.7: Spettri Utilizzati
La sorgente si trova ad una distanza dall’isocentro pari a SID=1060 mm, mentre il rive-
143
latore digitale si trova ad una distanza pari a IDD=380 mm ed è piano, composto da 100 ×
100 pixel con dimensioni pari a 430 cm × 430 cm e con uno spessore di CsI pari a 0,6 mm.
Il fascio radiante copre l’intero rivelatore con dimensioni che all’isocentro sono 325,77 mm ×
325,77 mm. Il fantoccio è cilindrico, omogeneo di PMMA e di lunghezza pari a 150 mm e di
diametro pari a 160 mm. L’erogazione, ovvero l’Output Standardizzato dipende dal voltaggio
applicato ed è stata calcolato come descritto nel paragrafo precedente.
Le immagini radiologiche sono state acquisite con e senza il fantoccio per poter correggere
l’effetto Heel sulla immagine stessa ed ottenere cosı̀ delle immagini che rappresentano le trasmissioni della radiazione sia primaria che diffusa del paziente, velocizzando in questo modo le
simulazioni per le quali la funzione Isotropia è stata impostata quindi come funzione a gradino. Da notare che tali immagini sono state acquisite senza griglia antidiffusione. Le immagini
tuttavia sono state acquisite con diversa corrente del tubo radiogeno e quindi, verificata l’effettiva linearità dei pixel-values alla carica generata, si sono normalizzate tali immagini.
Figura 12.8: Immagine radiologica del fantoccio cilindrico a 113 kVp
Analogamente a quanto fatto per le immagini reali, per la simulazione si sono generate delle
immagini radiologiche con il fantoccio cilindrico che sono state poi corrette con le immagini
ottenute con una simulazione senza il fanotoccio. In questa fase si è introdotta l’innovazione
della tesi, ovvero da un profilo ottenuto dall’immagine radiologica elaborata come detto in
precedenza, si sono ricavati i parametri relativi allo scatter multiplo.
In figura 12.9 sono mostrati i profili di trasmissione, ricavati dall’immagine radiologica, confrontati con i valori ottenuti dalle simulazioni sia della radiazione primaria che totale in funzione
dell’indice del pixel della slice centrale del rivelatore per i diversi voltaggi applicati all’apparecchio radiogeno. Tali valori sono stati riportati in scala logaritmica per poter meglio apprezzare
la correzioni dovuta allo scatter rispetto alla radiazione primaria ed a fianco è riportato il
relativo Scatter to Primary Ratio SP R = SPrimaria /SDiffusaTot in cui SPrimaria rappresenta
l’intensità della radiazione primaria e SDiffusaTot è l’intensità della radiazione diffusa totale,
calcolata come somma dell’intensità dello scatter multiplo e al 1◦ ordine.
144
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 12.9: Confronto tra i profili misurati e simulati per diverso voltaggio applicato e
rispettivo SPR: a e b per 70 kVp, c e d per 90 kVp, e ed f per 113 kVp
145
12.0.4
Inferenza Statistica sui parametri stimati
La modellizzazione della radiazione diffusa multipla viene effettuata attraverso un modello
parametrico a partire da dati ottenuti da una simulazione iniziale e dall’ipotesi che l’immagine radiologica costituisce la somma della radiazione primaria, diffusa al 1◦ ordine e diffusa
multipla. In questo modo è possibile stimare i parametri del modello dello scattering multiplo
utilizzando, come descritto in fase di validazione del software, la tecnica di regressione lineare
multipla e poi utilizzando il test ANOVA per verificare la bontà del modello stesso.
Figura 12.10: Tabella riassuntiva dei parametri determinati attraverso la regressione lineare
multipla ed inferenza statistica con il test ANOVA
I valori dei vari parametri sono riportati nella tabella di figura 12.10 per le diverse tensioni
adottate, dove vengono riportati anche i valori dell’R-quadrato aggiustato e del rispettivo pvalue. In questo caso è ben osservabile la significatività dei parametri stimati, dato che tutti i
p-value sono nulli, mentre il valore dell’R-quadrato risulta essere inferiore ai valori ottenuti in
fase di validazione del modello, ma comunque molto buona dato che il peggiore dei valori risulta
essere 0,83166. Questo significa che il modello riesce a spiegare circa l’83% della variabilità
insita nell’insieme dei valori dei pixel (PV). Il rimanenete 17% della vaariabilità non è spiegato
probabilmente perchè nel caso reale si è dovuto ricavare il profilo della radiazione multipla
dall’immagine radiologica e la fase di matching del profilo reale con quello simulato, dato che
la simulazione non riesce ad ottenere i 1900 × 1900 pixel del rivelatore reale, ha introdotto
sicuramente degli errori. Inoltre il profilo ricavato dal plate presenta del rumore intrinseco.
Sicuramente una fase di processing dell’immagine radiologica in cui si toglie parzialmente
il rumore (operazione nota come smootihng) potrebbe migliorare il valore dell’R-quadrato
aggiustato. Si è poi verificata la siginficatività di ogni singolo parametro con il test t-Student
per determinare se tutte le variabili indipendenti adottate fossero necessarie al modello stesso.
I risultati, riportati in figura 12.11, mostrano che i relativi p-value sono tutti inferiori al valore
0.05 e che quindi tutti i parametri stimati sono neccessari per una corretta simulazione.
Figura 12.11: p-value relativi ai singoli parametri al variare della tensione di lavoro per il
fantoccio di diametro pari a 160 mm
Anche per questi parametri si è effettuata un’analisi dei residui che hanno mostrato, come
nel caso della validazione, una media praticamente nulla e una distribuzione normale rispetto
a tale media. I relativi Box-Plot sono riportati in figura 12.12.
146
(a)
(b)
(c)
Figura 12.12: Box-Plot dei residui relativi alle simulazioni effettuate per le tensioni di a 70
kVp, b 90 kVp e c 113 kVp
147
12.0.5
Considerazioni Energetiche
Ottenuti i valori dei parametri per determinare lo scattering multiplo, in una seconda fase si è nuovamente simulato l’apparecchio radiologico nelle diverse condizioni di setup. Si è
calcolata la fluenza di energia utilizzando non più il rivelatore piano, ma il rivelatore sferico,
ovvero una sfera virtuale composta da vari pixel, centrata all’isocentro che racchiude tutto
il sistema radiologico (l’utente difinisce il raggio, posto pari a 1070 mm per le simulazioni
dell’apparecchio digitale Siemens Aristos FX) e che permette una stima dello scattering totale
dovuto al fantoccio stesso. A questo punto per il principio di conservazione dell’energia, l’energia impartita al paziente risulta essere la differenza tra l’energia del fascio stesso e quella
rilevata dal rivelatore.
Di seguito vengono riportati i valori relativi all’energia del fascio e del rivelatore. Quest’ultima è calcolalta nelle sue due componenti, primaria e diffusa, permettendo quindi anche una
verifica della bontà del modello in quanto l’energia della radiazione primaria calcolata con il
rivelatore sferico deve essere la stessa di quella calcolata con il rivelatore piano, a meno della
discretizzazione dei pixel dei due rivelatori (per tutti i casi si sono utilizzati 100 × 100 pixel
per il rivelatore piano e 100 × 65 pixel per il rivelatore sferico).
Nella tabella di figura 12.13 vengono riportate le varie energie per i diversi voltaggi applicati.
In seguito si sono stimate le energie impartite al fantoccio di PMMA a partire dal DAP se-
Figura 12.13: Tabella relativa al conto energetico effettuato con il rivelatore sferico per 70, 90,
113 kVp dell’apparecchio radiologico simulato
condo il metodo di Gkanatsios & Huda, descritto nei paragrafi precedenti. Per poter utilizzare
questo modello si è dovuto misurare in funzione della tensione di lavoro il valore di HVL per
la configurazione utilizzata nella simulazione realizzate, per poter in seguito stimare i coefficienti di conversione del DAP in energia impartita. In figura 12.14 viene riportato anche la
relazione ricavata dalle misurazioni dell’HVL dell’apparecchio Siemens Arisots FX in funzione
della tensione di lavoro utilizzata.
Figura 12.14: Variazione dell’HVL in funzione della tensione applicata
Il valore del DAP viene dato nel file DICOM dell’immagine radiologica stessa e quindi, noti
148
gli HVL alle varie tensioni è stato possibile stimare i coefficienti utilizzati del modello. Tutti i
dati relativi al calcolo dell’energia impartita sono riportati nella tabella di figura 12.15.
La differenza dei dati ottenuti risiede nel fatto che il metodo Gkanatsios & Huda considera
Figura 12.15: Energia Impartita e parametri necessari alla stima a partire dal DAP per 70, 90
e 113 kVp, utilizzando il metodo Gkanatsios & Huda
un fantoccio infinitamente esteso ed i coefficienti αk e βk utilizzati sono quelli relativi ad un
fantoccio omogeneo di acqua e non di PMMA. La motivazione della scelta di confrontare i
valori ottenuti della energia impartita risiede nel fatto che non esistono in letteratura altri
metodi, che a partire dal DAP restituiscano il valore dell’energia impartita o dei parametri
ad essa connessi. I coefficienti utilizzati nel metodo Gkanatsios & Huda vengono forniti per
fantocci omogenei di acqua, ma si ricordi che la differenza che esiste tra coefficienti massici
dell’acqua e del PMMA non è sull’ordine di grandezza, che risulta essere lo stesso per il
range di energie utilizzate in radiodiagnostica. Infatti a conferma di questo i risultati ottenuti
mostrano lo stesso ordine di grandezza dei valori stimati. Inoltre i coefficienti massici utilizzati
nella simulazione Monte Carlo di Gkanatsios & Huda non sono gli stessi utilizzati nel software
sviluppato.
A questo punto è stata determinata la Dose Assorbita Standardizzata DStandardizzata , ovvero
la dose assorbita per unità di carica generata, dato che tutte le simulazioni effettuate sono
state eseguite per unità di carica generata dal tubo radiogeno, a partire dall’energia impartita
per unità di carica generata, secondo la definizione stessa di dose assorbita:
DStandardizzata [Sv/mAs] =
[J/mAs]
=
m [Kg]
ρ·V
(12.1)
in cui m rappresenta la massa, ρ la densità e V il volume dell’oggetto irradiato. Nella tabella
riportata in figura 12.16 vengono presentate le dosi assorbite standardizzate calcolate a partire
dall’energia impartita stimata dalle simulazioni per le diverse tensioni di lavoro. Vengono mostrate anche le stime della dose assorbita Dinterventistica e Dradiodiagnostica secondo la relazione
Dassorbita = DStandardizzata · Carica · T empo a cui viene sottoposto un paziente per casi tipici
clinici: in radiodiagnostica approssimativamente la carica erogata è stimata essere (in eccesso)
circa 40 mAs per un tempo pari ad un secondo, mentre in interventistica tipci valori sono 2.5
mAs per 1000 secondi.
Figura 12.16: Tabella riportatante le dosi DStandardizzata , Dradiodiagnostica , Dinterventistica
stimate a partire dall’energia impartita alle varie tensioni di lavoro
Capitolo
13
Conclusioni
Nella prima parte di questa tesi si è effettuato un approfondito studio sulle definizioni
fisiche, dosimetriche e radioprotezionistiche necessario per la comprensione degli obiettivi prefissati riguardanti la tesi stessa. Si è analizzato in particolare l’interazione della radiazione
indirettamente ionizzante con la materia, sopprattutto per comprendere i processi fisici della
generazione, trasmissione e rilevazione di un fascio radiante di raggi-X. Quest’analisi approfondita ha permesso di ottenere una simulazione di un apparecchio radiologico in tutte le sue
componenti, che non fosse troppo complessa, come accade nei codici Monte Carlo, ma che
ugualmente tenesse conto dei parametri fondamentali per l’ottenimento di risultati corretti e
affidabili. Infatti nella valutazione della dose assorbita dal paziente in radiologia digitale è necessario introdurre uno strumento che permetta una stima della dose assorbita in modo veloce,
al fine di poter utilizzare tale strumento nella pratica clinica. Infatti se il gold standard nella
simulazione di fasci radianti rimane il metodo Monte Carlo, tuttavia un approccio deterministico permette, sotto alcune approssimazioni ed ipotesi, di stimare parametri dosimetrici in
modo veloce ed accurato, superando i limiti del Monte Carlo stesso. Con il software sviluppato
si possono ottenere immagini radiologiche in tempi ristretti (da pochi minuti ad alcune ore)
su un singolo pc, cosa impraticabile per una simulazione Monte Carlo, che anche su cluster di
pc necessita ugualmente di un enorme tempo di simulazione.
Lo studio sulla interazione della radiazione indirettamente ionizzante ha permesso di sviluppare un modello fisico per la radiazione primaria e diffusa al primo ordine che necessita solo dei
database relativi ai coefficienti massici, ai fattori di forma atomici ed alle funzioni di scatter
incoerente. Per altro questi database sono costamtemente aggiornati dall’IAEA (International
Atomic Energy Agency) e dai laboratori del NIST (National Institute of Standards and Technology) e possono quindi essere aggiornati adeguatamente ai progressi tecnologici. Il modello
sviluppato si basa sulla tecnica della simulazione del fascio radiante chiamata Pencil-Beam,
ovvero la scomposizione di tale fascio in fasci più piccoli tali che la loro somma rappresenta
il fascio stesso. Il deposito di energia del fascio radiante viene calcolato lungo il percorso dei
pencil-beams primari all’interno dell’oggetto 3D posto sotto il fascio di fotoni. Il percorso dei
vari pencil-beams all’interno dell’oggetto è stato calcolato con la tecnica del Ray-Tracing: l’oggetto 3D è stato approssimato con una superficie geometrica ed i songoli pencil-beam vengono
considerati come rette parametriche nello spazio tridimensionale che intersecano tale superficie. Quindi è stato possibile calcolare i punti di ingresso e uscita delle rette 3D con la superficie
adottata. Lo sviluppo di queste due tecniche da un punto di vista informatico ha richiesto
uno studio approfondito di geometria vettoriale nello spazio 3D e l’utilizzo di Visual Basic
per la programmazione vera e propria. Visual Basic è stato adottato, oltre che per le ottime
prestazione di compilazione in fase di creazione del codice, anche perchè permette di generare un’interfaccia grafica utente-software e di generare dei file .exe e di setup che consentono
l’installazione del software sviluppato su qualsiasi pc, senza necessariamente installare Visual
Basic stesso.
Prima della creazione del software per la simulazine di apparecchi radiologici si è deciso di
150
Conclusioni
aggiungere al software la possibilità di determinare gli andamenti di alcuni parametri del modello stesso, come le tabelle riportanti le sezioni d’urto differenziali dei vari processi fisici.
Questo ha permesso poi in fase di sviluppo del modello fisico di adottare scelte corrette relative, per esempio, alla sezioni d’urto differenziali. Infatti si è scelto come modello fisico per le
sezioni d’urto quello dell’Approssimazione del Fattore di Forma Atomico e dell’Approssimazione della Funzione di Scatter Incoerente a discapito di altri modelli come quelli proposti da
Thomas-Fermi. Sempre durante la fase di creazione del codice relativo al modello fisico, si è
implementata anche una grafica 3D degli oggetti simulati con la libreria DirectX 8. Questo
consente di verificare che gli oggetti simulati ed i conti effettuati siano corretti e concordanti
tra loro, oltre che fornire all’utente la visualizzazione delle impostazioni che ha scelto in fase
di input dei dati geometrici e la visualizzazione di come il software procede nella simulazione
stessa, permettendo un’interruzione qualora qualche parametro non sia stato definito nel modo
corretto.
In una seconda fase si sono analizzati tutti i parametri tecnici relativi alla radiologia digitale
per avere un quadro generale ed approfondito di questa nuova tecnica che sta diffondendosi
largamente nei vari ospedali; in particolare ci si è soffermati sulla generazione e rivelazione del
fascio di raggi-X con le nuove metodiche presenti sul mercato, la Computed Radiography e la
Direct Radiography. Questo ha permesso poi in fase di elaborazione del software di introdurre
tutti i parametri necessari ad una corretta simulazione.
Le novità assolute che la tesi presenta nell’ambito della radiologia digitale sono le seguenti:
• utilizzo dell’immagine radiologica non solo come strumento diagnostico ma anche come
rivelatore del fascio radiante
• sviluppo di un modello fisico basato su un approccio analitico che permette simulazioni
con un singolo pc in tempi molto brevi rispetto a quelli utilizzati con Monte Carlo o ad
altri algoritmi deterministici
Infatti il software sviluppato utilizza il rivelatore non solo come strumento per la formazione
di immagine, ma anche come rivelatore del fascio di fotoni che investe l’oggetto 3D posto
nel fascio stesso. L’immagine radiologica in questo modo viene interpretata come matrice
bidimensionale delle trasmissioni della radiazione stessa che attraversa l’oggetto 3D. Dall’immagine radiologica vengono ricavati dei parametri che verranno poi utilizzati nel modello fisico
sviluppato per ottenere una simulazione completa della radiazione diffusa.
Come detto in precedenza il modello fisico non è un modello puramente teorico, come lo sono
il Monte Carlo od altri modelli analitici, non solo perchè devono essere ricavati i parametri
relativi allo scatter multiplo, ma perchè per una simulazione completa di un apparecchio reale
è necessario effettuare alcune misurazioni, in particolare ricavare la curva tensione di lavoro Output Standardizzato, dato che le ditte fornitrici dell’apparecchio radiologico non forniscono
questo parametro al variare delle tensioni.
La velocità del software sviluppato dipende dal fatto che il modello stesso non calcola direttamente lo scatter multiplo, ma ne stima l’intensità a partire dallo scatter al primo ordine ed ai
parametri stimati tramite regressione lineare dall’immagine radiologica. Inoltre nella modalità
di verifica fast il software calcola lo scatter al primo ordine in modo ancor più veloce perchè
calcola tutti i contributi dei centri diffusori come interpolazione ed integrazione effettuata solo
su pochi centri diffusori. L’integrazione analitica permette quindi un risparmio in termini di
tempo tale da poter utilizzare questo software nella pratica clinica, affiancandolo agli altri
estimatori del rischio radiologico utilizzati finora.
La terza fase ha riguardato principalmente la validazione del modello creato. Dato che in
ambito della radiologia digitale non è stato trovato nessun articolo o lavoro che trattasse del
problema di una simulazione di un apparecchio radiologico digitale, si è deciso di studiare i
lavori effettuati in Tomografia Assiale Computerizzata (TAC). Il motivo principale per cui si è
studiato lo scatter in TAC è che il software sviluppato, oltre ad essere utilizzato per il calcolo
della dose assorbita dal paziente in radiologia, permette anche la simulazione di un apparecchio
TAC; è stato quindi possibile validare il modello sui dati presenti in letteratura. In particolare
si è fatto riferimento alla Cone-Beam Computed Tomography, che possiede come rivelatori
151
proprio i flat panel detector e che quindi presenta la stessa problematica concernente lo scatter
della radiologia digitale.
La validazione del modello fisico rappresenta una fase fondamentale nello sviluppo di un software di simulazione, in quanto viene testata la compliance che la simulazione stessa mostra al
variare dei parametri di input della simulazione stessa.
Per quello che riguarda la validazione del modello fisico relativo alla radiazione primaria si è
fatto riferimento ai lavori di Malusek et Al. [16], [17], [15] in CBCT in quanto hanno permesso
un’analisi quantitativa ed un confronto diretto dei porfili centrali del rivelatore della radiazione
primaria in termini di fluenza di energia con il codice Monte Carlo MCNP5. Tali risultati sono
stati confermati entro lo 0,5% anche dal ToolKit CT-Mod, una versione più veloce del codice
Monte Carlo dedicata alla simulazione di fasci radianti in TAC. I dati sono presentati per
sorgenti monocromatiche ad energie di 30, 60, 90 e 120 KeV, permettendo quindi un’analisi
ed un confronto dettagliato ma veloce delle simulazioni. In una prima fase si sono effettuate le
simulazioni col software sviluppato, ottenendo un’incertezza sui valori di fluenza energetica al
plate che ha mostrato una discrepanza che tipicamante per il fantoccio di acqua omogeneo di
diametro pari a 160 mm è risutlata essere nel caso peggiore di 2,19 %, mentre per il fantoccio
di diametro di 320 mm sempre nel caso peggiore è risultata essere del 4,50 %. Il fatto che ci
fosse un aumento della discrepanza all’aumentare dello spessore attraversato tra valori simulati e i dati noti in letteratura ha fatto ipotizzare che ci fosse qualche errore nel modello fisico
sviluppato. Si è deciso allora di approfondire come il codice Monte Carlo stima i coefficienti
massici [18] e si è notatao che, come prima differenza tra i due codici, il metodo MCNP5 ha
un’interpolazione logaritmica dei coefficienti massici, mentre il codice creato presentava un’interpolazione lineare dei coefficienti massici. Si è deciso quindi di inserire nel software entrambe
le tipologie di interpolazione e di lanciare nuovamente le simulazioni per confrontare i valori
ottenuti con quelli di Malusek et Al. [17]. I risultati ottenuti relativi alla fluenza di energia
della radiazione primaria sono stati eccellenti: l’incertezza si è abbassata a 0,64 % per il primo
fantoccio ed a 1,32 % per il fantoccio più grande, sempre nei casi peggiori. Già nella fase di
determinazione dei profili della radiazione primaria è stato possibile apprezzare il vantaggio di
una simulazione analitica rispetto ad una effettuata con codici Monte Carlo; per prima cosa
le simulazioni sono veloci e poi il numero di pixel del rivelatori che possono essere simulati
aumenta drasticamente (vengono dati 12 punti con l’MCNP5 contro i 64 × 13 utilizzati dal
software), ottenendo quindi dei profili molto più dettagliati. Se questo non è di rilevanza per
la radiazione primaria in quanto presenta un andamento che non varia molte volte lungo un
profilo, per la radiazione diffusa che presenta andamenti che hanno alte fequenze spaziali, questo fatto permette di ottenere una migliore descrizione dello scatter che raggiunge il plate.
La validazione della radiazione diffusa è risultata invece più difficile da analizzare, data la
maggiore complessità del fenomeno fisico. Per prima cosa si è confrontato, anche se solo qualitativamente, con i dati ottenuti da Freud et Al. [7], lo scattering al primo ordine e le immagini
radiologiche relative al contributo allo scatter sia Rayleigh che Compton, generate da un singolo voxel di ferro supposto puntiforme per verificare la correttezza del modello fisico stesso e
osservare come un singolo voxel genera la radiazione diffusa al primo ordine. Questo perchè
lo scattering di un singolo voxel risulta essere la base per lo scattering generato da oggetti 3D
macroscopici. Il voxel è stato scelto puntiforme di ferro come nell’articolo [7] perchè in questo
modo lo scattering multiplo risulta essere trascurabile rispetto a quello al primo ordine. I dati
ottenuti e le immagini del numero di fotoni che raggiungono il rivelatore sono in completo
accordo con i dati dell’articolo. Sempre in riferimento a questo lavoro di Freud et Al. si è effettuato anche una validazione dello scatter al primo ordine per quello che riguarda l’imaging
di trasmissione, effettuando una simulazione di una radiografia ad un plate di ferro. Sotto
l’ipotesi di assenza di scatter muliplto, si sono ricavati i profili relativi alla radiazione diffusa
Compton e Rayleigh lungo il rivelatore e confrontati qualitativamente con quelli presenti nell’articolo di Freud et Al.[7]. È stato possibile apprezzare come il contributo della radiazione
diffusa rispetto a quello della primaria di un oggetto 3D macroscopico non sia assolutamente
trascurabile, ma anzi proprio nella parte dell’immagine in cui si vuole effettuare una diagnosi,
lo scatter contribuisca quasi come la radiazione primaria stessa.
Verificata quindi la bontà del modello relativo allo scatter Compton e Rayleigh al 1◦ ordine
152
Conclusioni
nell’imaging di trasmissione si è deciso di verificare il modello per oggetti macroscopici 3D
che siano di interesse radiologico e con una geometria di acquisizione delle immagini, che sia
quanto più simile a quella degli apparecchi diagnostici utilizzati in clinica. Anche per il caso
dello scatter al primo ordine si è ricorsi alla tomografia assiale computerizzata per verificare
che le simulazioni effettuate fossero corrette. Si sono confrontati i dati con quelli presenti in
un articolo di Yiannis Kyriakou et Al. [11] per quello che rigurda il contributo allo scatter al
primo ordine sia Compton che Rayleigh. È stato verificato in questo modo la simulazione del
rivelatore anche come materiale assorbente. Per ottenere i grafici dei vari contributi Compton
e Rayleigh alle energie di 40, 80 e 120 KeV al variare del raggio del fantoccio (20, 40, 60, 80,
100, 120, 140, 160 mm) è stato di fondamentale importanza il fatto che il software fosse veloce
e permettesse quindi di ottenere i profili di fluenza energetica assorbita in tempi accettabili. In
questo caso si è notato un perfetto accordo dei dati con l’unica eccezione dell’energia relativa
ai 40 KeV, dove i valori dei relativi contributi presentano lo stesso andamento ma con valori
differenti. Visto che nell’articolo non viene riportato alcun valore ma soltanto i grafici, non è
stato possibile effettuare una stima quantitativa sia della bontà che del discostamento dei dati
ottenuti con la simulazione stessa.
Validato il software per la componente primaria e diffusa al primo ordine si è deciso di adottare
per la radiazione mutipla un modello parametrico. Questo stima il contributo dello scatter
multiplo con un modello lineare basato sul fatto che la componente multipla dello sactter presenta una dipendenza lineare dallo scatter singolo, dall’attenuazione media e dalle dimensioni
dell’oggetto 3D. Anche in questo caso la validazione è stata effettuata in tomografia assiale
computerizzata, riferendosi ai lavori eseguiti da A. Malusek et Al. [12] [16] [17], che riportano
simulazioni effettuate sia con il codice Monte Carlo MCNP5 che con il ToolKit CT-Mod.
I valori della fluenza di energia in aria della radiazione diffusa totale simulata con MCNP5
sono stati assunti come valori corretti sui quali effettuare la regressione lineare multipla al fine
di estrarre i parametri necessari al modello dello scatter multiplo. Si è sottratto infatti a tali
valori il contributo della radiazione diffusa al primo ordine simulato ed in seguito sono stati
stimati i parametri relativi ad ogni singola energia di 30, 60, 90, 120 KeV per le due tipologie
di fantoccio cilindrico di acqua omogeneo di raggio di 8 cm e 16 cm. Stimati i parmetri è stato
possibile confrontare quantitativamente i contributi dello scatter totale con i dati relativi al
MCNP5. La differenza relativa tra le due simulazione è risultata essere quasi sempre inferiore
all’1%, tranne che per l’energia di 30 KeV che presenta discrepanze dell’ordine dell’1,38% per
il fantoccio di diametro di 160 mm e del 20,79% per il diametro di 320 mm. Questa discrepanza dipende solamente dai database utilizzati per i coefficienti massici, XCOM del NIST per
il software sviluppato e DLC-200 per il MCNP5. Già nel confronto con il ToolKit CT-Mod,
Malusek et Al. hanno mostrato, nel lavoro [17] (come anche descritto in [8]), che per basse
energie, dove i coefficienti variano maggiormente tra i diversi database, una differenza del 4%
nel coefficiente massico lineare dell’acqua per un’energia di 30 KeV per un fantoccio avente un
diametro di 320 cm, genera una discrepanza nella fluenza di energia che risulta essere dell’ordine del 38%. Questo spiega anche il perchè nella validazione della radiazione diffusa al primo
ordine l’andamento del contributo allo scatter sul pixel centrale sia Compton che Rayleigh non
seguisse perfettamente quello riportato nell’articolo relativo.
Per verificare la significatività del modello parametrico adottato e la bontà del modello stesso si
2
è effettuata un’inferenza statistica sui parametri stimati. I valori dell’Radj
sono tutti maggiori
di 0,9958 indicando che il modello segue molto bene l’andamento dei dati raccolti. E’ stato
poi eseguito il test ANOVA per ricavare i p-value relativi alle varie simulazioni per verificare
la confidenza del modello lineare stesso adottato. Scelto come livello critico del p-value lo
0,05, valore tipicamente accettato per ottenere una confidenza del modello che sia del 95%,
si è osservato che tutti i p-value stimati sono minori di questo valore, determinando quindi
un livello di confidenza del modello adottato che supera il 95%. Oltre a questo si è deciso di
effettuare l’analisi dei residui per confermare la correttezza dei parametri stimati. Dai BoxPlot presentati è stato osservato che effettivamente i residui presentano tutti media nulla ed
il minimo ed il massimo sono equidistanti. Tuttavia la distribuzione non risulta normale, in
quanto la mediana non è equidistante dai percentili che descrivono la distribuzione dei residui
stessi. Questo è dovuto al fatto che la regressione lineare multipla è stata fatta su un set
153
limitato di punti. Infatti questi sono solamente 12 poichè in letteratura tali dati sono ricavati
con MCNP5 e non su un numero sufficientemente elevato per effettuare un’analisi statistica;
2
data la bontà dell’Radj
, i parametri possono essere assunti come corretti vista anche la media
nulla dei residui e l’equidistanza dei valori minimmo e massimo. Ci si aspetta che aumentando
il numero di punti con cui effettuare la regressione lineare i valori dei residui possano assumere
una distribuzione normale. Per verificare la significatività di ogni singolo parametro adottato
nel modello si è applicato il test di t-Student per ottenere il p-value relativo ai singoli parametri. Per entrambi i fantocci e per tutte le energie, i valori del p-value dei singoli parametri
sono stati inferiori al 0.05, mostrando che tutti i parametri introdotti nel modello hanno una
confidenza che supera il 95%.
A questo punto il modello fisico sviluppato che sta alla base del software risulta completamente
validato in tutte le sue parti ed è stato utilizzato per applicazioni pratiche in casi d’interesse
radiologico.
Si è deciso di simulare un tipico caso clinico utilizzando un fantoccio cilinidrico per un sistema radiologico digitale utilizzato all’Ospedale S.Chiara di Trento. Si tratta dell’apparecchio
digitale Siemens Aristos FX della Siemens Medical Solution del Pronto Soccorso. Sono state
effettuate delle misure sperimentali per ricavare la curva che relaziona la tensione di lavoro
con l’Output Standardizzato. Questo perchè nella modellizzazione della sorgente è necessario
ricavare la numerosità dei fotoni, dato che lo spettro generato dal programma XComp5 viene assunto come spettro normalizzato. Questo permette di ottenere una sorgente radiologica
estremamente reale e corretta. Prima della simulazione dell’apparecchio radiologico si è reso
necessario confermare che il rivelatore presenta una risposta lineare alla carica generata dal
tubo radiogeno, dato che spesso in radiologia si utilizza una carica diversa per le immagini
acquisite con e senza fantoccio per non entrare nel range di saturazione stessa del plate (nel
qual caso si ottiene un’immagine radiologica che presenta valori di livelli di grigio che sono
tutti pari a 4095, il che significa che il rivelatore non riesce a rilevare tutta la carica generata
nel plate stesso). Nella fase di acquisizione delle immagini radiologiche è stato necessario effettuare quindi esposizioni senza fantoccio anche per poter poi ottenere i profili di trasmissione
della radizione dividendo l’immagine con il fantoccio per quella senza il fantoccio. In questo
modo si è eliminato anche l’effetto Heel presente nell’imagine stessa. Stessa procedura è stata effettuata per le immagini radiologiche ottenute con la simulazione, allo scopo di poterle
confrontare per stimare i parametri del modello dello scatter multiplo. Il profilo della trasmissione della slice centrale del rivelatore è stato ricavato dall’immagine eleborata come detto
precedentemente e tramite regressione lineare si sono ricavati i parametri ricercati. Anche per
2
questi parametri non ci si è limitati ad un’analisi dell’Radj
, che risulta essere sempre superiore
al valore 0,8316, confermando un buon fitting dei dati, ma si è applicato nuovamente il test
ANOVA per la stima della significatività del modello lineare stesso. I relativi p-value per le
varie tensioni di lavoro mostrano che nuovamente il modello, posto come livello critico del
p-value lo 0,05, ha una confidenza per più del 95%. Infine anche per il caso reale si è effettuata
l’analisi dei residui. I Box-Plot mostrano chiaramente come tutti hannno media nulla, valori
di minimo e massimo equidistanti dalla media stessa e una distribuzione normale in quanto
la mediana è equidistante dai vari percentili e media mediana sono quasi uguali. Questo fatto
conferma le ipotesi effettuate in fase di validazione, in cui si era ottenuta una distribuzione per
i residui con media differente dalla mediana a causa del piccolo numero di punti utilizzati per
2
la regressione lineare stessa. La motivazione della differenza dei valori di Radj
tra validazione
e caso reale risiede nel fatto che mentre nella fase di validazione lo scatter multiplo utilizzato
era del tutto corretto, passando ad un caso reale si è dovuto ricavare il profilo della radiazione
multipla dall’immagine radiologica. La fase di matching del profilo reale con quello simulato,
dato che la simulazione non riesce ad ottenere i 1900 × 1900 pixel del rivelatore reale, introduce sicuramente un errore. Inoltre il profilo ricavato dal plate presenta del rumore intrinseco.
Certamente una fase di processing dell’immagine radiologica in cui si toglie parzialmente il
2
rumore potrebbe migliorare il valore dell’Radj
. Come per la fase di validazione, anche per il
caso reale si è applicato il test t-Student ai parametri singoli del modello lineare; i p-value di
ogni parametro sono tutti inferiori al livello critico di 0,05, mostrando quindi una confidenza
che per ogni parametro risulta essere maggiore del 95%. Quindi il modello lineare necessita di
154
Conclusioni
tutti i parametri stimati.
Infine per valutare l’energia impartita al paziente per questo caso reale si sono effettuate delle
simulazioni con il rivelatore sferico. Questo ha permesso una stima dell’energia impartita a
partire dal principio di conservazione dell’energia, calcolandola come differenza dell’energia
erogata dall’apparecchio radiologico e quella raccolta dal rivelatore. In questo modo è stato
possibile stimare anche i contributi all’energia impartita dovuti alla radiazione sia primaria
che diffusa. Si sono infine confrontati i valori cosı̀ ottenuti con quelli stimati a partire dal
DAP attraverso il metodo Gkanatsios & Huda. La differenza dei dati ottenuti risiede nel fatto
che il metodo Gkanatsios & Huda considera un fantoccio infinitamente esteso ed i coefficienti
utilizzati sono quelli relativi ad un fantoccio omogeneo di acqua e non di PMMA. La motivazione della scelta di confrontare i valori ottenuti della energia impartita con quelli stimati dal
DAP con il metodo Gkanatsios & Huda risiede nel fatto che non esistono in letteratura altri
metodi che a partire dal DAP restituiscano il valore dell’energia impartita o dei parametri
ad essa connessi. I coefficienti utilizzati in quest’ultimo metodo vengono forniti per fantocci
omogenei di acqua, ma si ricordi che la differenza che esiste tra coefficienti massici dell’acqua
e del PMMA non è sull’ordine di grandezza, che risulta essere lo stesso per il range di energie
utilizzate in radiodiagnostica. Infatti a conferma di questo i risultati ottenuti mostrano lo
stesso ordine di grandezza dei valori stimati.
Il vantaggio nell’utilizzo del DAP come parametro da cui ricavare l’energia impartita casomai
è l’immediatezza della misura del DAP stesso, al contrario delle simulazioni effettuate che
richiedono un tempo di simulazione, seppur breve e la sua invarianza rispetto alla distanza
dalla sorgente. Tuttavia bisogna sempre ricordarsi che il valore è stato ottenuto con delle approssimazioni introdotte nella stima dell’energia impartita che non sono del tutto trascurabili.
Riassumendo brevemente gli obiettivi della tesi raggiunti sono i seguenti:
• analisi e studio dell’interazione di un fascio di raggi-X con la materia
• analisi e studio della nuova tecnologia digitale in radiologia
• sviluppo di un modello fisico
• ottimizzazione del modello fisico adottato
• implementazione del modello fisico in un software con interfaccia grafica per l’utente e
grafica 3D
• validazione del software creato
• inferenza statistica sul modello adottato
• applicazione del software ad un caso reale
Brevemente i vantaggi che tale software presenta sono i seguenti:
• possibilità di effettuare una simulazione di un apparecchio radiologico su un singolo pc
• possibilità di effettuare una simulazione di un apparecchio radiologico in tempi accettabili
per un’applicazione clinica
• utilizzo, nel modello fisico adottato, dell’immagine radiologica come matrice bidimensionale di valori di trasmissione
• completa parametrizzazione dell’apparecchio radiologico, che permette di ottenere qualsiasi configurazione geometrica e tipologia di rivelatore
• il software fornisce in ogni punto di interesse sia lo spettro primario trasmesso che diffuso
al primo ordine (sonda spettrometrica)
• il software è stato costruito per poter essere facilmente estendibile a fantocci disomogenei
• possibilità di accedere al codice per eventuali modifiche o futuri sviluppi
155
Vanno ricordati anche i limiti di questo software:
• non vengono considerate le disomogeneità
• sono possibili simulazioni con oggetti 3D che possono essere descritti solo matematicamente da un superficie
• servono delle misurazioni sperimentali
• servono le acqusizioni delle immagini radiologiche
• l’energia impartita al paziente è calcolata tramita l’applicazione del principio di conservazione dell’energia e non viene quindi determinata una distribuzione spaziale della dose
assorbita
Tuttavia tali limitazioni non sono poi cosı̀ vincolanti. Infatti per quello che concerne le disomogeneità non trattate basti ricordare che i tessuti che compongono il corpo umano presentano
dei valori di coefficienti massici e di poteri frenanti che sono dello stesso ordine dell’acqua e che
quindi, in termini di interazione della radizione, i vari tessuti presentano un comportamento
che non si discosta molto da quello dell’acqua. Le misurazioni sperimentali che vengono richieste servono a dare una descrizione dell’Output Standardizzato dell’apparecchio radiologico
stesso e quindi possono essere effettuate solo una volta per un determinato apparecchio radiologico. Diverso invece è il discorso per l’acqusizione delle immagini radiologiche che devono
essere acquisite con e senza il fantoccio per ogni singola simulazione. Per superare appunto le
limitazioni delle disomogeneità e della mancata distribuzione spaziale della dose, si è implementato nel software una modalità che permette la simulazione dell’oggetto 3D composto da
un numero finito di voxel. Ad ogni voxel è possibile associare un materiale diverso ed anche la
forma del fantoccio stesso può essere scelta di qualsiasi tipo. Questa modalità calcola la dose
assorbita dal singolo voxel secondo lo stesso modello fisico sviluppato per le altre modalità.
Problema di quest’ultima modalità è il tempo molto lungo per convergere a dei valori corretti
e quindi la necessità di un cluster di processori per poter effettuare in tempi brevi e con voxel
di dimensioni adeguate una simulazione reale. All’Ospedale S.Chiara è installato un cluster
di 16 CPU che, adottata una GRID, permetterà l’utilizzo di tale modalità, per ora solo implementata nel software. L’obiettivo sarà quello di utilizzare come voxel quelli generati dalle
immagini TAC del paziente o del fantoccio. In questo modo il software sviluppato potrà essere
utilizzato per studiare gli assorbimenti nei vari organi ed ottenere quindi una miglior stima
della dose efficace.
Per risolvere il problema delle disomogeneità, come descritto nel lavoro di J.Wiegert [14], il
modello analitico dello scatter al primo ordine può essere semplicemente corretto creando una
mappa di voxel con i rispettivi materiali ed utilizzando un Fast Ray Casting, ovvero un algoritmo che permetta di calcolare le intersezioni di un pencil-beam su di una griglia predefinita,
che in questo caso sarebbero i centri dei voxel stessi. Questo consente di ottenere immagini
per oggetti qualsiasi ed eterogenei, aumentando però il costo computazionale. In ogni caso
sarebbe possibile effettuare tali simulazioni su un singolo pc. Infatti il modello parametrico
dello scatter multiplo permette di risparmiare tempo rispetto alle simulazioni standard con
Monte Carlo o modelli deterministici.
Il software sviluppato permette inoltre di effettuare studi sullo scatter presente sia in radiologia
digitale che in tomografia assiale computerizzata. Per il caso reale si è anche stimato l’SPR
presente sul plate ed i valori ottenuti sono in completo accordo con quelli che si trovano in letteratura. Senz’altro il programma verrà utilizzato per analizzare come i parametri geometrici
e fisici di input modificano il contributo della radiazione diffusa sul rivelatore e quindi stimare
la distorsione dell’immagine radiologica indotta da essa. Questo se per la radiodiagnostica non
è un problema dato l’utilizzo di griglie antidiffusione, per quello che rigurda la Computed Tomography comporta la creazione di artefatti chiamati cupping-artifact. Essi si mostrano come
diverse gradazioni di livelli di grigio al centro dell’immagine. Sono gli artefatti di ricostruzione
TAC più difficili da essere individuati ed eliminati, dato che essi vengono generati quando
viene ricostruita l’immagine dalle proiezioni secondo l’antitrasformata di Radon o l’algoritmo
156
Conclusioni
FDK; le proiezioni ottenute dovrebbero essere quelle relative solamente alla radiazione primaria, mentre in realtà è presente anche la radiazione diffusa. Questo accade perchè al giorno
d’oggi si utilizzano plate di rivelatori sempre più ampi e quindi lo scatter si manifesta maggiormente. In radiologia digitale tale problema è risolto adottando griglie antidiffusione, anche
se studi [25] hanno mostrato che in realtà l’SNR, ovvero il Signal to Noise Ratio, migliora con
l’adozione della griglia antidiffusione solo per condizioni di scatter elevato, ovvero con dimensioni dell’oggetto 3D molto grandi rispetto a quelle del rivelatore mentre per le condizioni di
medio-basso scatter l’adozione della griglia stessa risulta questionabile dato l’aumento di dose
al paziente per avere un’immagine radiologica che presenti un buon contrasto. Questi studi
sono stati effettuati con un software deterministico simile a quello sviluppato ed un possibile
futuro sviluppo del software creato sarà proprio quello di implementare un modello per le griglie antidiffusione e poter cosı̀ verificare quanto detto in letteratura a riguardo del guadagno
sull’SNR.
Questo non è stato fatto nella tesi, come tutti gli sviluppi futuri proposti, per evidenti
motivi di tempo, dato che lo sviluppo, la validazione e l’applicazione del modello fisico basato
sull’imaging ha richiesto un lavoro di un anno intero.
Altre applicazioni del software, che non sono state impiegate sempre per motivi di tempo,
riguardano l’utilizzo del software stesso per la valutazione della dose assorbita in radiologia
digitale, oltre cha dal paziente anche dagli operatori, come l’utilizzo del software per l’ottimizzazione di un apparecchio radiologico e come la correzione dello scatter del plate utilizzato
nella IGRT per la verifica della corretta irradiazione degli organi in radioterapia.
Il software è inoltre immediatamente adattabile alle problematiche radioterapiche, dato che le
uniche aggiunte da effettuare sono introdurre la fisica della creazione di coppie nel modello
fisico adottato ed adottare gli spettri degli acceleratori nella fase di simulazione della sorgente
del fascio di fotoni.
Appendice
A
Elementi di Geometria Vettoriale
e Ray-Tracing
Indice
A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori . . . . . . . . . . . 151
A.2 Rotazioni nello Spazio 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.3 Equazioni di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.3.1 Equazioni Parametriche di Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.4 Operazioni con Piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.5 Operazioni con Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.6 Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (Ray-Tracing) . . . 166
A.1
Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori
Figura A.1: Cerchio unitario con la descrizione delle principali funzioni trigonometriche
Definito un sistema cartesiano destrorso, con origine nell’isocentro del fascio radiante, ricordate le funzioni trigonometriche che saranno impiegate successivamente e riportate in figura
A.1, si definsce l’orientazione del sistema cartesiano di riferimento stesso, come mostrato in
figura A.2:
• asse x (colore rosso) nella direzione perpendicolare all’asse del fascio
• asse z (colore blu) nella direzione dell’asse del fascio, definito come la congiungente della
sorgente con il centro del detettore per una simulazione di default come quella riportata
in figura A.2
• asse y (colore verde) nella rimanente direzione lungo il paziente o fantoccio
158
Elementi di Geometria Vettoriale e Ray-Tracing
Figura A.2: Sistema di riferimento destrorso
Il sistema di assi cartesiani si assume con origine al centro. Quindi il piano XZ è il piano
di movimentazione dell’apparecchio radiologico, mentre il piano XY è il piano di rivelazione
del fascio.
Per poter simulare un fascio radiante di raggi-X nello spazio 3D è necessario introdurre un
approccio matematico basato sulla geometria vettoriale, che permette una trattazione della
modellizzazione degli oggetti nello spazio a partire dalla definizione di vettore.
~:
Definiamo un vettore nello spazio come V


Vx
V = {Vx , Vy , Vz } =  Vy 
(A.1)
Vz
dove
{Vx ,oVy , Vz } sono le componenti del vettore lungo gli assi cartesiani individuati dai versori
n
îx , îy , îz . Vengono poi definite la somma e la differenza tra due vettori:

Vx1 + Vx2
~somma = V
~1 + V
~2 =  Vy1 + V 2 
V
y
Vz1 + Vz2

Vx1 − Vx2
~dif f erenza = V
~1 − V
~2 =  Vy1 − V 2 
V
y
Vz1 − Vz2

(A.2)
Va sottolineato che i vettori utilizzati per la simulazione sono vettori riportati alla stessa
origine, non sono vettori applicati, e quindi anche il vettore somma o differenza rimangono
applicati all’isocentro. Se questo sembra essere una limitazione, in realtà si osserverà in seguito
che questo fatto se da un lato complica formalmente le operazioni di simulazioni, dall’altro
lato grazie alla flessibilità di tale sistema è possibile semplificare alcune operazioni vettoriali.
Si definisce poi la norma di un vettore come il modulo della sua lunghezza:
q
~ k= Vx2 + Vy2 + Vz2
norma =k V
(A.3)
~:
Allora è possibile definire anche il versore, indicato con v̂ di un dato vettore V


√ 2 Vx 2 2
Vx +Vy +Vz


~
V
√ 2 Vy 2 2 
=
v̂ = 

~
y +Vz
 Vx +V

V V
z
√ 2 2 2
(A.4)
Vx +Vy +Vz
In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato
per indicare una particolare direzione e verso. Vengono spesso utilizzati i versori associati agli
assi cartesiani nello spazio tridimensionale:


 


1
0
0
îx =  0  îy =  1  îz =  0 
(A.5)
0
0
1
A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori
159
~ e B,
~ aventi versori Â e B̂ come:
Definiamo poi il prodotto scalare tra due vettori A
~•B
~ =k A
~ kk B
~ k cos (θ)
A
(A.6)
~ e B
~ e quindi possiamo definire anche le rispettive
in cui θ è l’angolo tra i due vettori A
→
−
→
−
~
~
~
~
~
~ :
proiezioni di B su A, pr A~ (B), e di A su B, pr B~ (A)
→
−
~ =k B
~ k cos (θ) Â
pr A~ (B)
→
−
~ =k A
~ k cos (θ) B̂
pr (A)
(A.7)
~
B
~•B
~ > 0, se è ottuso A
~•B
~ < 0 e se è retto, ovvero
Se l’angolo tra i due vettori è acuto A
◦
~
~
θ = 90 , allora vale A • B = 0.
Il prodotto scalare è esprimibile anche in funzione delle componenti del vettore come:
~•B
~ = Ax îx • Bx îx + Ay îy • By îy + Az îz • Bz îz
A
= Ax Bx + Ay By + Az Bz
(A.8)
Questo perchè il prodotto scalare di vettori base ortonormali soddisfa le seguenti equazioni,
secondo la definizione stessa di prodotto scalare:
îx • îx =k îx k2 = 1 îx • îy = îy • îx = 0
îy • îy =k îy k2 = 1 îy • îz = îz • îz = 0
îz • îz =k îz k2 = 1 îz • îx = îx • îz = 0
(A.9)
Utilizzando l’ultima definizione di prodotto scalare e invertendo l’equazione A.6 è possibile
ricavare l’angolo tra due vettori θ:


!
~
~
Ax B x + Ay B y + Az B z
A•B

q
= arccos  q
(A.10)
θ = arccos
~ kk B
~ k
2
kA
A + A2 + A2 · B 2 + B 2 + B 2
x
y
z
x
y
z
~ per un vettore non parallelo B
~
Viene introdotto anche il prodotto vettoriale del vettore A
~ che si cotruisce nel modo seguente:
definito come il vettore C
1. il suo modulo è numericamente uguale all’area del parallelogramma costruito sui vettori
~ e B,
~ ovvero pari a k C
~ k=k A
~ kk B
~ k sin (θ), in cui come al solito θ è l’angolo compreso
A
tra i due vettori
2. la sua direzione è perpendicolare al piano del parallelogramma menzionato
~ è scelto in modo che la terna sia destrorsa, ovvero con la regola
3. il senso del vettore C
della mano destra
~ =A
~ × B.
~ Se i due vettori A
~ eB
~ sono
La notazione per il prodotto scalare è la seguente: C
tra loro paralleli, allora l’area del parallelogrammo menzionato è nulla e quindi il prodotto
vettoriale diventa il vettore nullo.
Il prodotto vettoriale applicato ad una base ortonormale, secondo la sua definizione determina
le seguenti relazioni:
îx × îx = 0
îy × îx = −îz
îz × îx = îy
îx × îy = îz
îy × îy = 0
îz × îy = −îx
îx × îz = −îy
îy × îz = îx
îz × îz = 0
(A.11)
Vediamo ora, come nel caso del prodotto scalare, come è possibile legare il pordotto vettoriale
alle componenti di un vettore, data una base ortonormale. A tale scopo si deve introdurre il
concetto di matrice e determinante di una matrice.
Si definisce una matrice 2x2 M̂2×2 una struttura di dati ordinati nel seguente modo:
m11 m12
M̂2×2 =
(A.12)
m21 m22
160
mentre una matrice 3x3 può essere definita come:

m11 m12
M̂3×3 =  m21 m22
m31 m32

m13
m23 
m33
(A.13)
Il determinante di una matrice 2x2 viene indicato con due barre e definito nel seguente modo:
m11 m12 = m11 m22 − m12 m21
(A.14)
det M̂2×2 = m21 m22 mentre il determinante di una matrice 3x3 viene calcolato nel seguente modo, a partire dalla
definizione di determinante di una matrice 2x2 secondo una formula ricorsiva:


m11 m12 m13 det M̂3×3 =  m21 m22 m23 
m31 m32 m33 (A.15)
m21 m22 m21 m23 m22 m23 − m12 = m11 m31 m33 + m13 m31 m32 m32 m33 Da quanto detto precedentemente è possibile
~eB
~ come:
delle coordinate dei vettori A
 Ay Az
 By Bz
  ~ =A
~×B
~ =  Az Ax
C
 Bz Bx
  Ax Ay
Bx By
ora scrivere il prodotto vettoriale in funzione

 


Ay B z − Az B y

 =  Az Bx − Ax Bz 


Ax By − Ay Bx

(A.16)
Altro oggetto geometrico che deve essere definito e che si mostrerà molto utile è il piano che
~ 0 = (x0 , y0 , z0 ) ed è perpendicolare al vettore ~n = (A, B, C),
passa per un determinato punto M
detto vettore normale. I punti appartenenti a tale piano soddifano la seguente equazione:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) + D = 0
(A.17)
Oltre che in questa forma il piano può essere dato anche in forma parematrica, a partire da un
~0 e da due vettori che appartengono al piano stesso e non coinpunto ad esso appartenente V
~ direzione e V
~ direzione , permettendo il calcolo di ogni singolo P unto(s, t) appartenente
cidenti V
1
2
al piano stesso, al variare dei parametri s e t tali che s, t ∈ <:
 1 
 2 
 0 
Vx
Vx
Vx
~0 + sV
~ direzione + tV
~ direzione =  V 0  + s  V 1  + t  V 2  (A.18)
P unto(s, t) = V
1
2
y
y
y
Vz1
Vz2
Vz0
n
o
~origine , V
~direzione ,
Analogamente si definisce l’ente geometrico retta in forma parametrica come Retta = V
~origine è il punto per il quale la retta passa e V
~direzione è il vettore che segue la direzioin cui V
ne della retta stessa, da cui è sempre possibile ricavare un punto appartenente a data retta,
scegliendo un valore appropriato del parametro t ∈ <:
 origine 
 direzione 
Vx
Vx
(A.19)
P unto(t) =  Vyorigine  + t  Vydirezione 
Vzorigine
Vzdirezione
~1 e V
~2 che
Infine definiamo un segmento come un ente geometrico definito da due vettori, V
sono rispettivamente il punto nello spazio di inizio e del segmento e il punto nello spazio di
fine del segmento
n
o
~1 , V
~2
Segmento = V
(A.20)
A.1 Definizioni Generali ed Operazioni con Vettori
161
Figura A.3: Sistema di riferimento sferico
Si definisce poi anche il vettore sferico, ovvero il vettore descritto secondo il sistema sferico
mostrato in figura A.3, in cui il set di coordinate è: {ρ, θ, φ} in cui ρ è la distanza dall’origine,
θ è l’elevazione o colatitudine e φ è l’azimut o longitudine.
I due sistemi di coordinate cartesiano e sferico sono in relazione tra loro tramite le seguenti
equazioni:
p
ρ = x2 +y 2 + z 2 0 ≤ ρ < +∞
√ 2 2
x +y
z
(A.21)
θ = arctan
= arccos √ 2 2 2
0≤θ≤π
z
x +y +z
y
0 ≤ φ ≤ 2π
φ = arctan x
e le loro inverse:
x = ρ sin(θ) cos(φ)
y = ρ sin(θ) sin(φ)
x = ρ cos(θ)
(A.22)
Quindi è possibile scrivere in forma matriciale anche le relazioni tra i versori dei rispettivi
sistemi di coordinate sferico e cartesiano:

 
 

îr
îx
sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) − sin(φ)
 îθ  =  cos(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ) − sin(θ)  ·  îy 
(A.23)
− sin(θ)
cos(θ)
0
îφ
îz
oppure utilizzare la matrice inversa:

 
îx
sin(θ) cos(φ)
 îy  =  sin(θ) sin(φ)
cos(θ)
îz
 

îr
cos(θ) cos(φ) − sin(φ)
cos(θ) sin(φ)
cos(θ)  ·  îθ 
− sin(θ)
0
îφ
(A.24)
Deve essere quindi introdotto il prodotto di un vettore per una matrice. Generalmente i
vettori di n-dimensioni possono essere considerati delle matrici ad una colonna. Per questo
motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della
~ (di dimensione n × 1) sarà moltiplicabile, a
moltiplicazione di matrici, un vettore colonna V
sinistra o a destra, per una matrice M̂ a condizione che il numero di colonne di M̂ sia n. Il
~ 0 con le stesse dimensioni di V
~ . Per il nostro caso quindi, dato che
risultato sarà un vettore V
i vettori sono tridimensionali, l’unico vincolo da porre ad una matrice M̂ che moltiplica tale
vettore è che la sua dimensione sia 3.
Allora si ottiene che:
 0  
 

Vx
m11 m12 m13
Vx
0
~ = M̂3×3 · V
~ =  Vy0  =  m21 m22 m23  ·  Vy  =
V
m31 m32 m33
Vz
Vz0
(A.25)


Vx m11 + Vy m12 + Vz m13
=  Vx m21 + Vy m22 + Vz m23 
Vx m31 + Vy m32 + Vz m33
162
A questo punto si introduce anche il prodotto di uno scalare λ ∈ <, ovvero di un numero, per
~ al fine di ottenere un vettore V
~ 0 cosı̀ definito:
un vettore V
 0 

 

Vx
Vx
λVx
~0 =λ·V
~ =  Vy0  = λ ·  Vy  =  λVy 
V
(A.26)
Vz
λVz
Vz0
Un’altra importante operazione che si effettua con i vettori applicati all’origine del sistema di
~1 e V
~2 , definita come:
riferimento è la distanza, definita positiva, tra i due vettori V
q
2
2
2
(A.27)
Distanza = (Vx2 − Vx1 ) + Vy2 − Vy1 + (Vz2 − Vz1 )
Infine si definiscono due vettori come paralleli se l’angolo tra i due vettori stessi è pari a 0◦
o 180◦ , mentre si definiscono ortogonali o perpendicolari se l’angolo tra i due vettori risulta
essere 90◦ o 270◦ .
A.2
Rotazioni nello Spazio 3D
Si definisce anche la rotazione nello spazio di un generico vettore tridimensionale in coordinate cartesiane, dato che tramite le matrici sopra riportate è sempre possibile passare dal
sistema sferico a quello cartesiano. La rotazione di un vettore nello spazio tridimensionale è
determinata da un asse, ortogonale alla direzione di rotazione, e da un angolo θ di rotazione.
Per evitare ambiguità si fissa una direzione sull’asse e si considera la rotazione di angolo θ
effettuata in senso antiorario rispetto all’asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più
sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale, scelta
come quella cartesiana per comodità. Allora la rotazione trasforma il vettore di coordinate
Vx , Vy , Vz in Vx0 , Vy0 , Vz0 . La rotazione di angolo θ attorno ad un asse determinato dal versore
avente conponenti x̂, ŷ, ẑ risulta pertanto essere:
 0  


Vx
Vx
cos(θ) + (1 − cos(θ))x̂2 (1 − cos(θ))x̂ŷ − sin(θ)ẑ (1 − cos(θ))x̂ẑ + sin(θ)ŷ
 Vy0  =  (1 − cos(θ))ŷx̂ + sin(θ)ẑ cos(θ) + (1 − cos(θ))ŷ 2 (1 − cos(θ))ŷẑ − sin(θ)x̂ · Vy 
(1 − cos(θ))ẑ x̂ − sin(θ)ŷ (1 − cos(θ))ẑ ŷ + sin(θ)x̂ cos(θ) + (1 − cos(θ))ẑ 2
Vz
Vz0
(A.28)
~ 0 = R̂~n (θ) · V
~ in cui si è posto
che può essere riscritta in forma vettoriale come: V


cos(θ) + (1 − cos(θ))x̂2 (1 − cos(θ))x̂ŷ − sin(θ)ẑ (1 − cos(θ))x̂ẑ + sin(θ)ŷ
R̂~n (θ) =  (1 − cos(θ))ŷx̂ + sin(θ)ẑ cos(θ) + (1 − cos(θ))ŷ 2 (1 − cos(θ))ŷẑ − sin(θ)x̂ 
(1 − cos(θ))ẑ x̂ − sin(θ)ŷ (1 − cos(θ))ẑ ŷ + sin(θ)x̂ cos(θ) + (1 − cos(θ))ẑ 2
(A.29)
~ in
e in cui ~n rappresenta il versore dell’asse di rotazione per un angolo θ di un vettore V
~ 0 . Tipicamente si trova in letteratura, che una rotazione generale nello spazio è
un vettore V
data dalla moltiplicazione delle tre matrici di rotazione attorno ai singoli assi cartesiani. Per
mostrare l’equivalenza della matrice di rotazione definita nell’equazione A.29, si mostra come
è possibile ricavare le tre rotazioni attorno agli assi, ponendo appunto come assi di rotazione
i versori cartesiani.
 
 0  
 

Vx
1
1
0
0
Vx
~n = x̂ =  0  ⇒  Vy0  =  0 cos(θ) − sin(θ)  ·  Vy 
(A.30)
0
0 sin(θ) cos(θ)
Vz
Vz0
 



 0  
Vx
cos(θ) 0 sin(θ)
Vx
0
 ·  Vy 
0
1
0
(A.31)
~n = ŷ =  1  ⇒  Vy0  = 
0
sin(θ) 0 cos(θ)
Vz
0
Vz
 
 0  
 

Vx
0
cos(θ) − sin(θ) 0
Vx
~n = ẑ =  0  ⇒  Vy0  =  sin(θ) cos(θ) 0  ·  Vy 
(A.32)
1
0
0
1
Vz
Vz0
A.3 Equazioni di Superfici
163
Ora, risulta molto più comodo e più veloce da un punto di vista computazionale utilizzare
una singola matrice per la rotazione nello spazio 3D di un generico vettore attorno ad un asse
generico, definito da un versore, piuttosto che moltiplicare tre matrici di rotazione attorno ai
singoli assi.
Si introduce ora una rototraslazione, ovvero una rotazione di un generico vettore nello spazio
3D che non sia applicato nell’origine del sistema di riferimento. Infatti tutte le matrici di
rotazioni finora introdotte servono alla rotazione di generici vettori che hanno tutti la coda
del vettore applicata al centro del sistema di riferimento. Per descrivere una rotazione di un
vettore, che può coincidere analogamente ad una rotazione di un segmento nello spazio, si
devono utilizzare sia la matrice di rotazione che effettuare una traslazione. Si parlerà quindi
di una rototraslazione di un segmento, definito come in precedenza, per non confondersi con
la rotazone di un generico vettore applicato al centro del sistema di riferimento.
Per ruotare nello spazio un generico segmento è necessario conoscere il versore dell’asse di rotazione, che essendo un versore è applicato all’origine del sistema di riferimento. Il segmento è
definito da due vettori, quello di inizio e quello di fine. La loro differenza determina un vettore
che cioncide con il segmento stesso, ma che a differenza del segmento, che si trova distante
dall’origine, questo, in quanto vettore, si trova traslato già all’origine. Allora risulta possibile
applicare la rotazione al vettore differenza, dato che anche il versore dell’asse di rotazione è
applicato all’origine. Il vettore ruotato cosı̀ ottenuto deve poi essere traslato dall’origne al punto iniziale del segmento, dove si ipotizza che sia applicato il centro di rotazione del segmento
stesso. Si somma quindi il vettore iniziale al vettore ruotato, che coincide con l’effettuare una
traslazione.
Il segmento ruotato sarà quindi un segmento che ha come vettore iniziale lo stesso del segmento
non ruotato e come vettore finale la somma del vettore iniziale con la differenza tra vettore
iniziale e finale ruotata dell’angolo voluto e lungo l’asse descritto dal versore di rotazione.
A.3
Equazioni di Superfici
Un’equazione che lega tra loro le coordinate x, y, z, si chiama Equazione di una Superficie
S se sono soddisfatte le due seguenti condizioni:
• le coordinate x, y, z di ogni punto della superficie S verificano questa equazione
• le coordinate di ogni punto che non giace sulla superficie S non verificano questa equazione
Da osservare che se si trasforma il sistema di coordinate, anche l’equazione di una superficie
viene trasformata in un’altra equazione, ottenuta mediante le formule di trasformazione delle
cordinate applicate alle cordinate della precedente superficie.
Una superficie generata dal moto di una retta, per questo detta generatrice, che durante il
moto resta parallela ad una retta fisssa, si chiama Superficie Cilindrica. Ogni linea intersecata (in un solo punto) dalla generatrice in qualunque sua posizione, si chiama direttrice della
superficie cilindrica.
Ogni equazione che non contiene la coordinata z e che sul piano XOY rappresenta una certa
linea L, rappresenta nello spazio una superficie cilindrica, la cui generatrice è parallela all’asse
OZ e della quale la linea L è una direttrice.
L’equazione:
y2
x2
+
=1
a2
b2
(A.33)
rappresenta sul piano XOY l’ellisse ABA0 B 0 con i semiassi a = OA e b = OB, come mostrato
in figura A.3. Nello spazio essa rappresenta la superficie cilindrica S con le generatrici parallele
all’asse OZ e l’ellisse ABA0 B 0 ne è una sua direttrice. Tale superficie è detta cilindro ellittico
e nel caso particolare in cui i due semiassi siano di uguale lunghezza, si ottiene come direttrice
164
(a) Cilindro ellittico
(b) Cilindro iperbolico
delle superficie una circonferenza e suddetta superficie viene chiamata cilindro circolare retto.
L’equazione:
y2
x2
−
=1
(A.34)
a2
b2
rappresenta una superficie cilindrica riportata in figura A.3 con le generatrici parallele all’asse
OZ e una sua direttrice è l’iperbole CDC 0 D0 detta cilindro iperbolico.
L’equazione:
y 2 = 2px
(A.35)
rappresenta un cilindro parabolico, riportato in figura A.4, avente generatrici ancora parallele
all’asse OZ e una sua direttrice è la parabola EOF .
Figura A.4: Cilindro parabolico
Da notare che se la direttrice è una retta, la superficie cilindrica è piana. Cosı̀ l’equazione
Ax + By + D = 0 rappresenta nello spazio un piano parallelo all’asse OZ, ovvero un piano
come definito nei paragrafi precedenti.
Si chiama equazione algebrica di secondo grado (in tre incognite x, y, z) ogni equazione della
forma:
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + F zx + Gx + Hy + Kz + L = 0
(A.36)
dove almeno uno dei coefficienti A, B, C, D, E, F , non sia uguale a zero. In maniera analoga
si definiscono le equazioni algebriche di qualsiasi altro grado.
Se una superficie S è rappresentata in un sistema di coordinate ortogonali da un’equazione di nesimo grado, in ogni altro sistema di coordinate ortogonali essa è rappresentata da un’equazione
del medesimo grado.
Una superficie rappresentata da una equazione algebrica di n-esimo grado si chiama superficie
algebrica dell’n-esimo ordine. Ogni superficie del primo ordine è un piano, come i precedenti
cilindri altro non sono che superfici algebriche del secondo ordine.
L’equazione di secondo grado:
x2 + y 2 + z 2 = R 2
(A.37)
A.3 Equazioni di Superfici
165
rappresenta una sfera di raggio R con il centro nell’origine delle coordinate. Se l’origine delle
coordinate non coincide con il centro della sfera, quest’ultima è ugualmente rappresentata dalla
seguente equazione di secondo grado:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
(A.38)
dove a, b, c sono le coordinate del centro della sfera.
L’equazione di secondo grado:
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + F zx + Gx + Hy + Kz + L = 0
(A.39)
rappresenta una sfera se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
D=0
A=B=C
E=0
G2 + H 2 + K 2 − 4AL > 0
F =0
(A.40)
In tali condizioni infatti si ottiene che:
G
a = − 2A
H
b = − 2A
K
c = − 2A
R2 =
G2 +H 2 +K 2 −4AL
4A2
(A.41)
La superficie rappresentata dall’equazione :
y2
z2
x2
+
+
=1
a2
b2
c2
(A.42)
si chiama ellissoide ed è rappresentato in figura A.5. Questo perchè la curva di intersezione
ABA0 B 0 di tale equazione con il piano XOY è rappresentata dal sistema:
2
y2
x
z2
a2 + b2 + c 2
(A.43)
z=0
la cui risoluzione determina l’ellisse:
x2
y2
+
=1
a2
b2
(A.44)
Figura A.5: Ellissoide
Analogamente l’intersezione dell’ellissoide con gli altri due piani determinano altre due ellissi aventi un semiasse in comune.
Si chiama superficie conica ogni superficie generata dal moto di una retta, detta come precedentemente generatrice, che in ogni posizione passa per un punto fisso, definito come vertice
della superficie conica. Ogni curva non passante per il vertice che interseca la generatrice in
qualunque sua posizione si chiama direttrice. La superficie di equazione:
y2
z2
x2
+ 2 − 2 =0
2
a
b
c
(A.45)
che, come sarà mostrato più avanti, è conica, si chiama cono del secondo ordine, in quanto la superficie stessa appartiene alle superfici algebriche di secondo ordine ed è mostrato in figura A.6.
166
Figura A.6: Cono del secondo ordine
A.3.1
Equazioni Parametriche di Superfici
In matematica, l’equazione parametrica è un’equazione in cui le variabili (indipendente e
dipendente) di una funzione sono espresse a loro volta in funzione di uno o più parametri.
Una retta e una curva in genere possono essere sempre espressi parametricamente. Mentre la
parametrizzazione della retta, definita vettorialmente nello spazio 3D, è gia stata introdotta
precedentemente, come analogamente è stato fatto per il piano nello spazio 3D, rimane da
definire la parametrizzazione delle curve e delle superfici nello spazio 3D riportate nel paragrafo precedente. Da notare che, in genere, la parametrizzazione non è mai unica, infatti il
parametro (o i parametri) può essere scelto in diversi modi a seconda del tipo di curva, di
equazione o in modo da semplificare i calcoli.
La parametrizzazione, se da un lato complica le equazioni delle curve e delle superfici, dall’altro ne permette un uso molto più ampio e logico per poter individuare per esempio in maniera
immediata le intersezioni tra i vari enti geometrici fin qui presentati.
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e di raggio ρ è rappreNella geometria 3D, una sfera con il centro nel punto M
sentata dall’insieme di punti {x, y, z} tali che (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = ρ. I punti
della sfera possono quindi essere parametrizzati nel segunete modo:

 x = x0 + ρ sin(t∗) cos(s∗)
0 ≤ t∗ ≤ π
y = y0 + ρ sin(t∗) sin(s∗)
tale che
(A.46)
0
≤ s∗ < 2π

z = z0 + ρ cos(t∗)
in cui t∗ e s∗ sono i patrametri, o alternativamente:

 x = x0 + ρ sin(2πt) cos(2πs)
y = y0 + ρ sin(2πt) sin(2πs)

z = z0 + ρ cos(2πt)
tale che t, s ∈ <
(A.47)
Ogni punto della sfera è descritto da una sola coppia di valori dei parametri ((t∗, s∗) o (t, s)),
tranne che per i poli della sfera, che devono essere imposti: la coppia (0, s∗) rappresenta il
polo nord della sfera, mentre (π, s∗) il polo sud per qualsiasi valore di s∗. Solitamente ci si
riferisce a t∗ come latitudine, mentre a s∗ come longitudine.
In maniera del tutto analoga è possibile generalizzare la parametrizzazione della sfera ad un
ellissoide di semiassi a, b, c, ottenendo:

 x = x0 + a sin(t∗) cos(s∗)
0 ≤ t∗ ≤ π
y = y0 + b sin(t∗) sin(s∗)
tale che
(A.48)
0 ≤ s∗ < 2π

z = z0 + c cos(t∗)
in cui t∗ e s∗ sono i parametri o alternativamente:

 x = x0 + a sin(2πt) cos(2πs)
y = y0 + b sin(2πt) sin(2πs)

z = z0 + c cos(2πt)
tale che t, s ∈ <
(A.49)
A.4 Operazioni con Piani
167
La superficie laterale di un cilindro ellittico con semiassi a e b ed avente altezza pari ad h e
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } può essere parametrizzata nel seguente modo:
base passante per il punto M

 x = x0 + a cos(t∗)
0 ≤ t∗ < 2π
y = y0 + b sin(t∗)
tale che
(A.50)
0≤k≤h

z = z0 + k
in cui t∗ e k sono i parametri, oppure anche come

 x = x0 + a cos(2πt)
t∈<
y = y0 + b sin(2πt)
tale che
0≤k≤h

z = z0 + k
(A.51)
in cui t e k sono i parametri utilizzati.
~0 =
Infine è possibile parametrizzare anche la superficie di un cono con base centrata in M
{x0 , y0 , z0 } di altezza h e raggio ρ:

 x = x0 + h−k
h ρ cos(t∗)
0 ≤ t∗ < 2π
tale che
(A.52)
y = y0 + h−k
h ρ sin(t∗)
0≤k≤h

z = z0 + k
in cui t∗ e k sono i parametri, o alternativamente:

 x = x0 + h−k
h ρ cos(2πt)
t∈<
tale che
y = y0 + h−k
h ρ sin(2πt)
0≤k≤h

z = z0 + k
(A.53)
in cui t e k sono i parametri.
A.4
Operazioni con Piani
1. Condizione di Parallelismo e Perpendicolarità fra Due Piani
Se i piani A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 e A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 sono paralleli, allora
i vettori normali ~n1 e ~n2 sono collineari e vale anche viceversa. Perciò la condizione di
parallelismo necessaria e sufficiente risulta essere:
A2
B2
C2
=
=
A1
B1
C1
(A.54)
Se i piani A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 e A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 sono perpendicolari,
allora sono perpendicolari anche i loro vettori normali ~n1 e ~n2 e viceversa. Perciò la
condizione di perpendicolarità risulta essere:
A2 A1 + B2 B1 + C2 C1 = 0
(A.55)
2. Angolo tra due Piani
I due piani A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 e A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 formano quattro
angoli diedri, a due a due uguali. Uno di essi è uguale all’angolo formato dai vettori
normali ~n1 e ~n2 . Indicando con φ uno qualunque di questi angoli diedri, si ottiene:
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2
p
cos(φ) = ± p 2
A1 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22
(A.56)
Scegliendo il segno positivo si ottiene il coseno dell’angolo tra i due vettori normali, mentre con il meno si ottiene l’altro angolo diedro diverso da quello tra i due vettori normali.
Per ricavare l’angolo basta applicare la funzione inversa del coseno.
168
3. Piano passante per un Punto Dato e Parallelo ad un Piano Dato
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e parallelo al piano Ax+By +Cz +D = 0
Il piano passante per il punto M
è rappresentato dall’equazione:
A(x − x1 ) + B(y − y1 ) + C(z − z1 ) = 0
(A.57)
come segue dall’applicazione della definizione di parallelismo fra piani e di equazione di
un piano passante per un punto.
4. Piano Passante per Tre Punti
~ 0 = {x0 , y0 , z0 }, M
~ 1 = {x1 , y1 , z1 }, M
~ 2 = {x2 , y2 , z2 } non giacciono su una
Se i punti M
stessa retta, il piano che li contiene ha per equazione:
x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0
(A.58)
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 che risolta applicando la definizione di determinante per una matrice 3x3 porta ad
ottenere i coefficienti A, B, C, D di un piano pari a:
A = [(y1 − y0 )(z2 − z0 ) − (y2 − y0 )(z1 − z0 )]
B = − [(x1 − x0 )(z2 − z0 ) − (x2 − x0 )(z1 − z0 )]
C = [(x1 − x0 )(y2 − y0 ) − (x2 − x0 )(y1 − y0 )]
D = − x0 [(y1 − y0 )(z2 − z0 ) − (y2 − y0 )(z1 − z0 )] +
(A.59)
+ y0 [(x1 − x0 )(z2 − z0 ) − (x2 − x0 )(z1 − z0 )] −
− z0 [(x1 − x0 )(y2 − y0 ) − (x2 − x0 )(y1 − y0 )]
Se i tre punti giacciono sulla stessa retta, l’equazione precedente diventa una identità e
per questi punti è possibile tracciare un’infinità di piani.
5. Piano Passante per Due Punti e Perpendicolare a un Piano Dato
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e M
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e perpendicolare
Il piano passante per i due punti M
al piano Ax + By + Cz + D = 0 è dato dall’equazione:
x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0
(A.60)
A
B
C
che risolta permette di stimare i coefficienti dell’equazione del piano cercato A0 , B 0 , C 0
e D0 :
A0 = [(y1 − y0 )C − B(z1 − z0 )]
B 0 = − [(x1 − x0 )C − A(z1 − z0 )]
C 0 = [(x1 − x0 )B − A(y1 − y0 )]
D0 = − x0 [(y1 − y0 )C − B(z1 − z0 )] + y0 [(x1 − x0 )C − A(z1 − z0 )] −
(A.61)
− z0 [(x1 − x0 )B − A(y1 − y0 )]
~0 e M
~ 1 sia perpendicolare al piano dato, il piano
Nel caso in cui la retta passante per M
ricercato non è definito e l’equazione precedente diventa una identità, in quanto esistono
infiniti piani paralleli ad un dato piano.
6. Piano Passante per un Punto Dato e Perpendicolare a Due Piani Dati
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e perpendicolare ai due piani dati tra
Il piano passanto per il punto M
A.4 Operazioni con Piani
169
loro non paralleli di equazione rispettivamente A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 e A2 x + B2 y +
C2 z + D2 = 0 ha per equazione:
x − x0 y − y0 z − z0 A1
B1
C1 = 0
(A.62)
A2
B2
C2 ovvero i suoi coefficienti A,B, C, D sono:
A = [B1 C2 − B2 C1 ]
B = − [A1 C2 − A2 C1 ]
C = [A1 B2 − A2 B1 ]
D = −x0 [B1 C2 − B2 C1 ] + y0 [A1 C2 − A2 C1 ] − z0 [A1 B2 − A2 B1 ]
(A.63)
Nel caso in cui i due piani dati siano tra loro paralleli, l’equazione del piano risulta essere
un’identità ed il piano ricercato rimane non definito, ovvero ci sono infiniti piani tra loro
paralleli.
7. Punto di Intersezione di Tre Piani
Tre piani possono non avere alcun punto in comune (se almeno due di essi sono paralleli
tra loro o anche quando le loro rette di intersezione sono tra loro parallele), oppure
possono avere una infinità di punti in comune (quando tutti e tre passano per una stessa
retta), oppure infine possono avere un solo punto in comune. Nel primo caso il sistema
di equazioni

 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
(A.64)

A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0
non ha soluzioni, nel secondo ha un insieme infinito di soluzioni, nel terzo soltanto una
singola soluzione. Il modo più semplice di studiare i vari casi risulta essere come applicato
precedentemente l’utilizzo del determinante
8. Distanza di un Punto da un Piano
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } dal piano di equazione
La distanza d, definita positiva, di un punto M
Ax + By + Cz + D = 0 è uguale al valore assoluto della quantità δ, cioè:
d = |δ| =
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
A2 + B 2 + C 2
(A.65)
9. Retta come Intersezione di Due Piani
Ogni retta dello spazio può essere rappresentata da un sistema di due equazioni
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
(A.66)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
che rappresentano, se considerate separatamente, due piani P1 e P2 qualsiasi distinti
passanti per la retta data. Il sistema sopra riportato viene detto equazione generale di
una retta. Questo significa che le coordinate di ogni punto M appartenente alla retta
soddisfano simultaneamente entrambe le equazioni del sistema e che i punti non appartenenti alla retta non soddifano almeno una delle due equazioni del sistema.
Inoltre i coefficienti A2 , B2 , C2 , D2 non devono essere proporzionali a A1 , B1 , C1 , D1 ,
in quanto per definire una retta i due piani devono essere distinti, ovvero non paralleli
tra loro e non coincidenti.
Ora ogni vettore non nullo ~v = {l, m, n} che giace sulla retta si chiama vettore direttore
di questa retta e le coordinate {l, m, n} si chiamano coefficienti direttori della retta.
Allora, vista la definizione di retta nello spazio come intersezione di due piani, è possibile
ricavare il vettore direttore di una retta sfruttando la proprietà del prodotto vettoriale
170
e il fatto che la retta generata dai due piani è ortogonale ad entrambi i vettori normali
dei piani che la originano: ~v = ~n1 × ~n2 in cui, con riferimento all’equazione generale di
una retta ~n1 = {A1 , B1 , C1 } e ~n2 = {A2 , B2 , C2 }.
10. Equazione del Piano Passante per un Punto Dato e Perpendicolare ad una Retta Data
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e perpendicolare alla retta passante per
lo stesso punto con equazione scritta in forma frazionaria:
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
l1
m1
n1
(A.67)
ha per vettore normale il vettore direttore della retta stessa ~v = {l1 , m1 , n1 } e quindi ha
per equazione:
l1 (x − x1 ) + m1 (y − y1 ) + n1 (z − z1 ) = 0
(A.68)
da cui è possibile ricavare i rispettivi coefficienti dell’equazione generale del piano A = l1 ,
B = m1 , C = n1 , D = l1 x1 + m1 y1 + n1 z1
11. Equazione di un Piano Passante per un Punto e per una Retta Dati
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e per la retta con vettore direttore
~ 0 ma passante per il punto M
~ 1 = {x1 , y1 , z1 }, ha
~v = {l, m, n} non contenente il punto M
per equazione la seguente:
x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0
(A.69)
l
m
n
da cui si ricavano facilmente i coefficienti:
A = [(y1 − y0 )n − m(z1 − z0 )]
B = − [(x1 − x0 )n − l(z1 − z0 )]
C = [(x1 − x0 )m − l(y1 − y0 )]
D = − x0 [(y1 − y0 )n − m(z1 − z0 )] + y0 [(x1 − x0 )n − l(z1 − z0 )] −
(A.70)
− z0 [(x1 − x0 )m − l(y1 − y0 )]
~ 0 , allora l’equazione del piano diventa una identità e il proSe la retta contiene il punto M
blema ha inifinite soluzioni, ottenendo un fascio di piani avente asse lungo la retta stessa.
12. Equazione di un Piano Passante per un Punto Dato e Parallelo a due Rette Complanari
Date
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e parallelo alle rette complanari date,
vincolate ad essere non parallele tra loro, aventi vettori direttori ~v = {l1 , m1 , n1 } e
~v = {l2 , m2 , n2 }, ha per equazione:
x − x0 y − y0 z − z0 l1
m1
n1 = 0
(A.71)
l2
m2
n2 da cui si ricava:
A = [m1 n2 − m2 n1 ]
B = − [l1 n2 − l2 n1 ]
C = [l1 m2 − l2 m1 ]
D = −x0 [m1 n2 − m2 n1 ] + y0 [l1 n2 − l2 n1 ] − z0 [l1 m2 − l2 m1 ]
(A.72)
Se le due rette sono tra loro parallele, l’equazione del piano diventa una identità ed il
~0
problema ha infinite soluzioni: si ottiene un fascio di piani il cui sostegno passa per M
ed è parallelo alle altre due rette date.
A.5 Operazioni con Rette
171
13. Equazione di un Piano Passante per una Retta Data e Perpendicolare ad un Piano Dato
Il piano passante per la retta data, definita dal vettore direttore ~v = {l1 , m1 , n1 }, passante
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e perpendicolare al piano dato di equazione Ax + By + Cz + D = 0
per M
ha per equazione:
x − x0 y − y0 z − z0 l1
m1
n1 = 0
(A.73)
A
B
C
overo i coefficienti A0 , B 0 , C 0 , D0 del piano ricrcato sono:
A0 = [m1 C − Bn1 ]
B 0 = − [l1 C − An1 ]
C 0 = [l1 B − Am1 ]
D0 = −x0 [m1 C − Bn1 ] + y0 [l1 C − An1 ] − z0 [l1 B − Am1 ]
(A.74)
14. Piano Normale ad una Retta Data e Passante per un Punto Dato
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e
Il piano di equazione Ax + By + Cz + D = 0 passante per il punto M
normale ad una data retta definita da un vettore direttore ~v = {l1 , m1 , n1 } deve avere
necessariamente il vettore normale coicidente con il vettore direttore della retta data e
quindi rimane soltanto da vincolare il paramentro D affinchè tale piano passi per il punto
~ 0 , ovvero:
M
A = l1
B = m1
(A.75)
C = n1
D = −(l1 x0 + m1 y0 + n1 z0 )
A.5
Operazioni con Rette
1. Coseni Direttori di una Retta
In geometria analitica, i coseni direttori di una retta sono i coseni degli angoli convessi
che la retta forma con gli assi coordinati. I coseni direttori sono univocamente individuati
in valore e segno se la retta è orientata, ed individuati in valore, ma non in segno, se la
retta non è orientata. Cambiando orientamento alla retta, i coseni direttori cambiano
simultaneamente di segno.
Nello spazio, se si ricavano i coseni direttori di una retta, si ottengono tre scalari che
costituiscono le coordinate del versore del vettore direttore della retta ~v = {l, m, n},
ovvero del vettore che giace lungo la retta:
cos(α) =
cos(β) =
cos(γ) =
l
l2 +m2 +n2
m
√
l2 +m2 +n2
n
√
l2 +m2 +n2
√
(A.76)
2. Angolo Fra Due Rette
Sfruttando il fatto che una retta nello spazio può essere rappresentata dal suo vettore
direttore, è possibile calcolare l’angolo tra due rette φ come l’angolo tra i due vettori
direttori, ~v = {l, m, n} e ~v 0 = {l0 , m0 , n0 }, utilizzando il prodotto scalare definito sulle
componenti dei vettori direttori stessi, per cui si ottiene che:
cos(φ) = √
ll0 + mm0 + nn0
√
l2 + m2 + n2 · l02 + m02 + n02
(A.77)
3. Angolo fra una Retta ed un Piano
L’angolo ψ fra una retta con vettore direttore ~v = {l, m, n} e il piano di equazione
Ax + By + Cz + D = 0 si trova applicando la definizione del prodotto vettoriale, definito
sulle componenti del vettore direttore della retta e del vettore normale al piano,:
sin(ψ) = √
l2
|lA + mB + nC|
√
+ m 2 + n 2 · A2 + B 2 + C 2
(A.78)
172
4. Condizioni di Parallelismo e Perpendicolarità tra Retta e Piano
La condizione di parallelismo fra una retta con coefficienti direttori l, m, n e un piano di
equazione Ax + By + Cz + D = 0 è la seguente:
Al + Bm + Cn = 0
(A.79)
Essa esprime la condizione di perpendicolarità tra vettore normale ~n = {A, B, C} del
piano e la retta stessa.
Con le stesse notazioni, la condizione di perpendicolarità fra la retta ed il suddetto piano
è:
m
n
l
=
=
(A.80)
A
B
C
che esprime il parallelismo tra il vettore direttore delle retta ed il versore normale al piano.
5. Equazione di una Retta Passante per Due Punti Dati
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e M
~ 2 = {x2 , y2 , z2 } ha per equazioni:
La retta passante per i punti M
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
(A.81)
6. Equazione di una Retta Passante per un Punto Dato e Perpendicolare ad un Piano Dato
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e perpendicolare al piano Ax + By +
La retta passante per il punto M
Cz + D = 0 ha come vettore direttore il vettore normale al piano stesso, ovvero ~n =
{A, B, C} = ~v , e quindi l’equazione della retta è esprimibile in forma frazionaria come:
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
A
B
C
(A.82)
7. Lunghezza della Perpendicolare Abbassata da un Punto Dato su una Retta Data
~ 0 = {x0 , y0 , z0 } e la retta con vettore direttore ~v = {l1 , m1 , n1 } e passante
Dati il punto M
~
per il punto M1 = {x1 , y1 , z1 }, la perpendicolare abbassata da tale punto su tale retta
d, altro non è che la lunghezza della perpendicolare, ovvero del segmento più corto che
~ 0 con la retta, tra il punto dato e la retta data:
collega il punto M
s
y0 − y1 z0 − z1 2 z0 − z1 x0 − x1 2 x0 − x1 y0 − y1 2
+
+
n1
l1
m1
n1
l1
m1
p
d=
l12 + m21 + n21
(A.83)
in cui non si sono svolti i determinanti delle matrici 2x2 per non appensantire la notazione.
8. Condizione di Complanarità di due Rette
Se due rette con vettori direttori ~v1 = {l1 , m1 , n1 } e ~v2 = {l2 , m2 , n2 } e passanti rispet~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e M
~ 2 = {x2 , y2 , z2 } giacciono sullo stesso piano, ovvero
tivamente per M
sono complanari, allora si ha che verificano questa equazione:
x − x0 y − y0 z − z0 l1
m1
n1 = 0
(A.84)
l2
m2
n2 A.6
Intersezioni tra Retta e Oggetti Geometrici (RayTracing)
L’intersezione tra una retta nello spazio e diversi enti geometrici risulta di interesse poichè è
possibile, tramite l’utilizzo della forma parametrica della retta, identificare il punto di ingresso
173
e di uscita di una retta che interseca l’oggetto in questione. Si è scelta questa tecnica, detta
anche Ray Tracing o Ray Casting, poichè in fase di simulazione fisica del fascio radiante di
raggi-X si utilizza un approccio pencil-beam ovvero la simulazione di un fascio come composto
da tanti piccoli fasci, detti appunto pencil-beam, approssimati da una retta. I punti di intersezione risultano essere necessari per determinare la lunghezza che il pencil beam attraversa
nell’oggetto, per poi poter simulare il deposito di energia lungo il percorso all’interno dell’oggetto geometrico stesso.
1. Intersezione Retta-Retta
L’algebra di intersezione di due rette complanari nello spazio 3D diventa molto più complicata che nel caso dell’intersezione di due rette complanari nel piano 2D.
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e M
~ 2 = {x2 , y2 , z2 } e per i punti
Date due rette passanti per i punti M
~
~
M3 = {x3 , y3 , z3 } e M4 = {x4 , y4 , z4 } rispettivamente, la loro intersezione può essere trovata direttamente risolvendo simultaneamente il seguente sistema di rette parametriche,
in cui il vettore direttore di ogni singola retta è calcolato come differenza tra i due punti
per cui la retta stessa passa ed i parametri sono come al solito s e t tali che s, t ∈ <:
~ 1 + s(M
~2 −M
~ 1)
~x = M
~ 3 + t(M
~4 −M
~ 3)
~x = M
(A.85)
con la condizione che i quattro punti appartengano ad un unico piano, ovvero che siano
rette complanari e non sghembe:
x1 y1 z1 1 h
i
x2 y2 z2 1 ~
~
~
~
~
~
(A.86)
x3 y3 z3 1 = (M3 − M1 ) • M2 − M1 × M4 − M3 = 0
x4 y4 z4 1 Allora risulta possibile stimare il parametro s, definite le seguenti entità vettoriali:
~2 −M
~1
~a = M
~b = M
~4 −M
~3
~
~1
~c = M3 − M
(A.87)
Il parametro s risulta quindi stimato dalla seguente equazione vettoriale, definiti il
prodotto vettoriale ed il prodotto scalare:
s=
(~c × ~b) • (~a × ~b)
2
~a × ~b
(A.88)
Sostituendo il parametro s nell’equazione della retta si ottiene il punto di intersezione
cercato.
2. Intersezione Retta-Piano
In geometria analitica, l’intersezione di una retta con un piano può essere un insieme
vuoto, un punto o una retta stessa, come mostrato in figura A.7. Sono possibili due
approcci per calcolare la soluzione del problema.
Il primo utilizza le forme parametriche sia della retta che del piano: una retta parametrica
~ a = {xa , ya , za } e M
~ b = {xb , yb , zb } ha
di parametro t ∈ < passante per i punti M
equazione:
~ a + t(M
~b −M
~ a)
M
(A.89)
~ 0 = {x0 , y0 , z0 }, M
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e M
~2 =
mentre un piano, passante per i punti M
{x2 , y2 , z2 } è parametrizzabile con i parametri u ∈ < e v ∈ <:
~ 0 + (M
~1 −M
~ 0 )u + (M
~2 −M
~ 0 )v
M
(A.90)
174
Figura A.7: Intersezione Retta-Piano
Il punto di intersezione può essere determinato imponendo che il punto della retta
parametrica sia uguale a quello del piano parametrico, ovvero in forma matriciale:

 
 

xa − x0
xa − xb x1 − x0 x2 − x0
t
 ya − y0  =  ya − yb y1 − y0 y2 − y0  ·  u 
(A.91)
za − z0
za − zb z1 − z0 z2 − z0
v
Allora la soluzione è ottenuta invertendo tale matrice e determinando in questo modo i
parametri t, u e v:
 
xa − xb
t
 u  =  ya − yb
za − zb
v

x1 − x0
y1 − y0
z1 − z0
−1 

x2 − x0
xa − x0
y2 − y0  ·  ya − y0 
z2 − z0
za − z0
(A.92)
Vediamo ora di risolvere il problema con un approccio basato sul formalismo vettoriale.
Il piano definito come Ax + By + Cz + D = 0 può essere scritto come prodotto scalare
~ 0 = {x, y, z} appartenente al piano stesso: −D =
del vettore normale ~n per un punto M
~ 0 • ~n. Il vettore normale ~n può essere trovato come prodotto scalare di due vettori
M
appartenenti al piano stesso calcolati come differenza di due punti del piano, ovvero
~1 − M
~ 0 ) × (M
~2 − M
~ 0 ). Imponendo allora che il punto del piano ~x sia anche
~n = (M
~ a = {xa , ya , za } e
quello della retta parametrica con parametro t passante per i punti M
~
Mb = {xb , yb , zb }, si ottiene:
i
h
~ a + t(M
~b −M
~ a ) • ~n = −D
~x = M
(A.93)
Il punto di intersezione si ottiene ponendo il seguente valore del parametro t nell’equazione parametrica della retta:
t=−
~ a • ~n
Axa + Bya + Cza
D+M
=−
~
~
A(x
−
x
b
a ) + B(yb − ya ) + C(zb − za )
(Mb − Ma ) • ~n
(A.94)
Da notare che se la retta è perpendicolare al piano, allora il denominatore dell’equazione
che restituisce il valore del parametro t risulta essere nullo; se la retta appartiene al
piano stesso, allora sia il numeratore che il denominatore sono nulli e ogni valore di t è
soluzione del problema.
3. Intersezione Retta-Sfera
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e M
~2 =
Un punto ~x = {x, y, z} di una retta passante per i punti M
{x2 , y2 , z2 } è descritto in forma parametrica del parametro t ∈ < come:

 

x
x1 + t(x2 − x1 )
~ 1 + t(M
~2 −M
~ 1 ) =  y  =  y1 + t(y2 − y1 ) 
~x = M
z
z1 + t(z2 − z1 )
(A.95)
175
~ c = {xc , yc , zc } e di raggio r presenta un’equazione
Una sfera con il centro nel punto M
che in coordinate può essere scritta come:
(x − xc )2 + (y − yc )2 + (z − zc )2 = r2
(A.96)
Allora risulta possibile calcolare i punti di intersezione tra la retta e la sfera sostituendo
l’equazione del punto di una retta parametrica nell’equazione della sfera. I risultato è
un’equazione quadratica del tipo:
at2 + bt + c = 0
(A.97)
dove:
a = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
b = 2 [(x2 − x1 )(x1 − xc ) + (y2 − y1 )(y1 − yc ) + (z2 − z1 )(z1 − zc )]
c = x2c + yc2 + zc2 + x21 + y12 + z12 − 2 [xc x1 + yc y1 + zc z1 ] − r2
(A.98)
La risoluzione dell’equazione quadratica restituisce i valori t1 e t2 del parametro t con
cui poi calcolare i punti di intersezione:
√
−b ± b2 − 4ac
(A.99)
t1,2 =
2a
Il comportamento della soluzione è determinato dall’espressione sotto la radice quadrata,
ovvero da b2 − 4ac, ed i tre casi sono riportati in figura A.8:
• se b2 − 4ac < 0 allora la retta non interseca la sfera
• se b2 − 4ac = 0 allora la retta è tangente alla sfera ed il punto di intersezione è uno
soltanto per t = −b
2a
• se b2 − 4ac > 0 allora la retta interseca la sfera in due punti distinti dello spazio
determinati da t1 e t2
Figura A.8: Intersezione Retta-Sfera
4. Intersezione Retta-Ellissoide
Analogamente a quanto fatto precedentemente per l’intersezione di una sfera con una
retta, l’intersezione di un ellissoide con una retta è determinata a partire dall’equazione
parametrica della retta e dall’equazione della superficie dell’ellissoide
~ 1 = {x1 , y1 , z1 } e M
~2 =
Un punto ~x = {x, y, z} di una retta passante per i punti M
{x2 , y2 , z2 } è descritto in forma parametrica del parametro t ∈ < come:

 

x
x1 + t(x2 − x1 )
~ 1 + t(M
~2 −M
~ 1 ) =  y  =  y1 + t(y2 − y1 ) 
~x = M
(A.100)
z
z1 + t(z2 − z1 )
176
~ c = {xc , yc , zc } e di semiassi A, B, C presenta
Un ellissoide con il centro nel punto M
un’equazione della sua superficie che in coordinate può essere scritta come:
(y − yc )2
(z − zc )2
(x − xc )2
+
+
=1
A2
B2
C2
(A.101)
Sostituendo l’equazione parametrica delle singole coordinate nell’equazione della superficie dell’ellissoide si ottiene una equazione quadratica del tipo:
at2 + bt + c = 0
(A.102)
dove:
a = B2 C 2 (x2 − x1 )2 + A2 C 2 (y2 − y1 )2 + A2 B 2 (z2 − z1 )2
b =2 B 2 C 2 (x2 − x1 )(x1 − xc ) + A2 C 2 (y2 − y1 )(y1 − yc ) +
+ 2 A2 B 2 (z2 − z1 )(z1 − zc )
2
2 2 2
c = B2 C 2 x2c + A2 C 2 yc2 + A2 B 2 zc2 + B 2 C 2 x
C y1 + A2 B 2 z12
1 + A
2 2
2 2
2 2
2 2 2
−2 B C xc x1 + A C yc y1 + A B zc z1 − A B C
(A.103)
√
−b ± b2 − 4ac
t1,2 =
(A.104)
2a
Da notare che l’intersezione di una retta con una sfera è un caso degenere dell’intersezione
di una retta con l’ellissoide, nel caso in cui appunto A = B = C = r. Come nel caso
della sfera il comportamento della soluzione è determinato dall’espressione sotto la radice
quadrata, ovvero da b2 − 4ac:
• se b2 − 4ac < 0 allora la retta non interseca l’ellissoide
• se b2 − 4ac = 0 allora la retta è tangente all’ellissoide ed il punto di intersezione è
uno soltanto per t = −b
2a
• se b2 − 4ac > 0 allora la retta interseca l’ellissoide in due punti distinti dello spazio
determinati da t1 e t2
5. Intersezione Retta-Cilindro
L’intersezione di una retta con un cilindro è calcolata a partire come al solito dall’equazione parametrica della retta, definita come nei casi precedenti, ma data la non differenziabilità della superficie del cilindro all’incontro tra la superficie delle basi e la superficie
laterale è necessario un passaggio ulteriore. In una prima fase si calcola l’intersezione di
una retta con un cilindro infinitamente lungo, per poi imporre delle condizioni sulle basi
e calcolare l’intersezione della base del cilindro stesso con le retta parametrica.
~ c = {xc , yc , zc }
Si suppone che il cilindro abbia l’asse lungo l’asse Y, il centro nel punto M
e la base abbia il raggio paria a r. In questo modo la superficie parametrica di un cilindro
infinitamente lungo, avente asse parallelo all’asse Y, è ottenibile esprimendo soltanto le
due cordinate x e z in funzione del parametro t∗ tale che t∗ ∈ [0, 2π]:
x = xc + r cos(t∗)
(A.105)
z = zc + r sin(t∗)
Sostituendo le equazioni delle coordinate della retta in quelle della superficie del cilindro
si ottiene:
(
1)
c
cos(t∗) = x1 −x
+ t (x2 −x
r
r
(A.106)
(z2 −z1 )
z1 −zc
sin(t∗) = r + t r
Imponendo la relazione trigonometrica cos2 (t∗) + sin2 (t∗) = 1 si ottiene un’equazione di
secondo grado del tipo:
at2 + bt + c = 0
(A.107)
dove:
a = (x2 − x1 )2 + (z2 − z1 )2
b = 2 [(x2 − x1 )(x1 − xc ) + (z2 − z1 )(z1 − zc )]
c = x2c + zc2 + x21 + z12 − 2 [xc x1 + zc z1 ] − r2
177
(A.108)
√
−b ± b2 − 4ac
t1,2 =
(A.109)
2a
Il comportamento della soluzione è determinato dall’espressione sotto la radice quadrata,
ovvero da b2 − 4ac:
• se b2 − 4ac < 0 allora la retta non interseca la superficie laterale del cilindro
infinitamente lungo
• se b2 − 4ac = 0 allora la retta è tangente alla superficie laterale del cilindro
infinitamente lungo ed il punto di intersezione è uno soltanto per t = −b
2a
• se b2 −4ac > 0 allora la retta interseca la superficie laterale del cilindro infinitamente
lungo in due punti distinti dello spazio determinati da t1 e t2
Rimane ora da imporre la condizione sulla terza coordinata y. Per fare questo il metodo più intuitivo e veloce è calcolare la coordinata y utilizzando l’equazione della retta
parametrica con i parametri t1,2 precedentemente calcolati per l’intersezione della retta
stessa con un cilindro infinito. In questo caso si ottengono al massimo due valori di
y, y1,2 che devono essere confrontati con la lunghezza L del cilindro. Per semplicità si
ipotizzi il sistema di riferimento al centro del cilindro stesso, in modo che − L2 ≤ y ≤ L2
rappresenta la coordinata y di un punto della sua superficie. Allora se il valore di y1,2
è compreso nell’intervallo − L2 , L2 le coordinate y1,2 sono corrette e descrivono i punti
di intersezione del fantoccio, altrimenti se entrambi i valori non appartengono a tale
intervallo non c’è intersezione tra la retta ed il cilindro. Infine il caso in cui solo uno dei
due valori di y1,2 appartiene all’intervallo richiesto significa che la retta entra nel cilindro
dalla superficie laterale ed esce dalla superficie di una delle basi o viceversa. Allora si
impone che il valore della coordinata y sia pari a − L2 o L2 a seconda del segno del valore
di y1,2 che non appartiene all’intervallo. Si ricalcolano poi le coordinate x e z sapendo
che la retta deve passare per il punto di intersezione presente sulla superficie laterale del
cilindro stesso e per il punto sorgente del fascio radiante primario.
6. Intersezione Retta-Parallelepipedo
L’intersezione di una retta con un parallelepipedo altro non è che un caso particolare di
intersezione di una retta con un poliedro convesso (che per semplicità d’ora in poi verrà
detto poliedro).
In questo caso si riduce il problema ad identificare se la retta interseca o meno il poligono
descritto sul piano passante per ogni singola faccia del poliedro stesso. Il problema
quindi diventa quello di determinare l’intersezione di una retta con un poligono, che
nel caso di un parallelepipedo altro non è che un rettangolo. In una seconda fase poi
oltre a determinare se la retta interseca le singole facce del poliedro, si tratteranno i casi
particolari di intersezione, ma in ogni caso a partire sempre dall’intersezione della retta
con i poligoni dei vari piani delle facce poliedriche.
Per prima cosa si calcola l’intersezione della retta parametrica con il piano passante per
i vertici che delimitano la faccia del poligono. A questo punto rimane da verificare se
il punto appartiene o meno al poligono descritto dai vertici. Questa operazione viene
effettuata calcolando la congiungente di ogni vertice con il punto di intersezione, come
retta passante per due punti; si costruiscono poi le rette di ogni singolo lato del poligono,
si determina la distanza tra tali rette e tra il punto di intersezione e poi si isola la distanza
minima. Si calcola l’angolo tra una congiungente e la successiva, ovvero l’angolo sotteso
al lato del poligono. Infine si sommano tutti gli angoli e si effettua il controllo finale:
178
• se la distanza minima è nulla allora il punto di intersezione si trova sul bordo della
poligonale
• se l’angolo totale è minore di 360◦ e la distanza è diversa da zero, allora il punto di
intersezione è interno al poligono
• se l’angolo totale è maggiore di 360◦ e la distanza diversa da zero, allora il punto
di intersezione è esterno
Ora bisogna effettuare tale operazione su un poligono descritto da una poligonale chiusa,
ovvero per un rettangolo si devono considerare come vertici 5 punti (i 4 vertici del
rettangolo ed il primo vertice nuovamente).
A questo punto non rimane che effettuare il controllo dell’intersezione con tutti i poligoni
di ogni singola faccia del poliedro e tener conto di ogni singolo risultato dell’intersezione,
considerando intersezione anche l’intersezione con il bordo. Per semplicità si consideri il
caso di un parallelepipedo a 4 facce. Allora si hanno i seguenti casi:
• nessuna intersezione =⇒ la retta non interseca il parallelepipedo
• una sola intersezione =⇒ la retta interseca il parallelepipedo lungo una faccia intera
• due intersezioni =⇒ la retta interseca il parallelepipedo su due facce o è tangente
ad uno spigolo tra due facce
• tre intersezioni =⇒ la retta interseca lo spigolo tra due facce e la faccia contrapposta
a tale spigolo o è tangente allo spigolo tra tre facce
• quattro intersezioni =⇒ la retta interseca lo spigolo tra tre facce e la faccia contrapposta a tale spigolo
• cinque intersezioni =⇒ la retta interseca lo spigolo tra tre facce e lo spigolo tra due
facce ad esso contrapposto contemporaneamente
• sei intersezioni =⇒ la retta interseca contemporaneamente due spigoli tra tre facce
contrapposti uno all’altro
In questo modo si possono calcolare i punti di intersezione di una retta con un poliedro
nello spazio 3D, come i punti di intersezione di ogni singolo poligono descritto sul piano
di ogni singola faccia del poliedro.
Appendice
B
Grafica 3D con DirectX 8.0
Indice
B.1 DirectX 8.0 SDK . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0 . . . . . . . . . .
B.2.1 Appunti di Geometria: coordinate omogenee
B.2.2 World Matrix e Trasformazione dei Vertici . .
B.2.3 View Matrix e View Space . . . . . . . . . .
B.2.4 Projection Matrix e Camera Space . . . . . .
B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0 . . .
B.1
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. . . . 173
. . . . 176
. . . . . 176
. . . . . 177
. . . . . 179
. . . . . 181
. . . . 185
DirectX 8.0 SDK
DirectX è un set di istruzioni API (Application Programming Interfaces) dedicate allo
sviluppo di applicazioni multimediali che include il supporto per grafica 2D e 3D (attraverso
una serie di interfacce note come DirectX Graphics), effetti sonori e musica (DirectX Audio),
il controllo di dispositivi di input (DirectInput), lo sviluppo di Networked Applications e
giochi Multiplayer (DirectPlay) ed infine funzioni di Mediastreaming (DirectShow). Dato che
il nostro interesse è volto principalmente verso il 3D (ovvero la DirectX 3D Graphics) si inizierà
a dare uno sguardo all’architettura interna della Direct3D per comprendere le relazioni che
intercorrono tra i vari blocchi ed il percorso che compiono le informazioni che si forniranno
prima di rappresentare la grafica su monitor.
Uno schema molto semplificato, chiamato Pipeline, è riportato in B.1.
Vertex Input sono i dati che forniamo in input e che rappresentano le primitive da visualizzare in 3D. I dati vengono raccolti in appositi buffer (VertexBuffer) ed inviati all’unità che
si occupa della loro prima elaborazione. Vertex Shaders esegue tutta una serie di istruzioni
sullo stream di dati in ingresso (come ad esempio il prodotto tra vettori o matrici) ed in uscita
fornisce informazioni sulla posizione, il colore ed eventuali texture associate alla geometria.
Le Primitive Operations sono una serie di funzioni che si occupano di disegnare le primitive
trasformate dal Vertex Shader (non viene ancora visualizzato nulla sullo schermo) ed infine i
dati sui pixel da graficare vengono inviati al blocco successivo. I Pixel Shaders si occupano di
eseguire determinate operazioni sui pixel (gli vengono passate anche tutte le informazioni su
colore e texture) ed eseguono operazioni di colore, alpha blending e texture mapping sui singoli
pixel. A questo punto il pixel è pronto per poter essere inviato al monitor (Pixel Output).
Da notare che sia il Pixel Shader che il Vertex Shader sono unità completamente programmabili e dotate di un apposito linguaggio fatto di Istruzioni Assembly e opportune Macro per
accelerare le operazioni più semplici. In ogni caso maggiori informazioni a riguardo possono
essere ottenute consultando la documentazione dell’SDK.
180
Figura B.1: Pipeline semplificato
Lo scopo principale delle DirectX è quello di fornire al programmatore una serie di funzioni ed
interfacce che siano il più possibile indipendenti dall’hardware video che si trova sul computer
dell’utente. Questo viene ottenuto mediante l’HAL (Hardware Abstraction Layer); l’HAL viene
in pratica fornito dal produttore delle schede video ed implementato mediante appositi driver
o DLL esterne; compito del DirectX è fornire un’interfaccia semplice ed intuitiva che consenta
di sfruttare a pieno le possibilità delle schede video in commercio interagendo direttamente
con l’infrastruttura fornita dall’HAL.
L’Hardware Abstraction Layer implementa quindi un codice che è strettamente device-dependent
(dipendente dal dispositivo) e fortemente ottimizzato dal costruttore stesso. L’HAL non consente emulazione di funzioni o caratteristiche non supportate dalla periferica (per questo in
genere la DirectX implementa anche opportune funzioni di emulazione che scavalcano l’HAL
per simulare via software caratteristiche non presenti nell’hardware della scheda video); da
ultimo notiamo che l’HAL non effettua alcun tipo di controllo sui parametri che gli vengono
passati (con il risultato che se questi ultimi non sono corretti l’applicazione va irrimediabilmente in crash o produce risultati di scarsissima qualità visiva). È compito della libreria DirectX
(e del programmatore) effettuare la validazione dei parametri.
In ultimo (ma su questo si tornerà in seguito) si ricorda che l’HAL ha tre modi fondamentali
di gestire e processare le informazioni sui vertici: Software Vertex Processing, Hardware Vertex
Processing e Mixed Vertex Processing; (ovviamente da un punto di vista di pure prestazioni è
molto conveniente far gestire tutto dall’hardware della scheda senza oberare di lavoro la CPU).
In conclusione si può riassumere le relazioni che intercorrono tra il Direct3D (D3D) e la scheda
video come quelle riportate nel diagramma mostrato in B.2 (in cui si esegue anche un confronto
con la precedente architettura GDI).
Direct3D consente quindi due distinti metodi per operare con l’hardware video:
• attraverso l’HAL, fornendo tutta una serie di funzioni che siano capaci di identificare a
run-time le caratteristiche supportate dalla scheda.
• attraverso emulazione-software per fornire comunque un modo per implementare determinate funzionalità o caratteristiche quando queste non siano integrate nella scheda
video.
Direct3D, cosi come DirectX in generale, viene implementato mediante oggetti ed interfacce
COM (Component Object Model). In un progetto D3D il primo oggetto ad essere creato
è il Direct3D Object; esso contiene tutta una serie di strutture per recuperare, enumerare e
mantenere le funzioni supportate dalla scheda video che verranno memorizzate in opportuni
Direct3D Device (dispositivi D3D) permettendo all’applicazione di accedere a più dispositivi
senza doverli ricreare ogni volta. Data la sua funzione di contenitore, il Direct3D Object non
solo sarà il primo oggetto ad essere creato, ma anche l’ultimo a venir distrutto (pena crash di
B.1 DirectX 8.0 SDK
181
Figura B.2: Architettura presente tra D3D e scheda video
sistema o memory leakege per via di altri moduli non deallocati).
Il Direct3D Device è il componente che si occupa di effettuare il rendering a video, viene
quindi creato subito dopo il D3D Object; si occupa di eseguire trasformazioni, operazioni
di lighting (illuminazione) e rasterizzazione (ovvero illuminazione dei pixel sullo schermo per
formare l’immagine voluta) dell’immagine su una superficie; ognuna di queste operazioni viene
eseguita da un modulo separato. Se si sviluppano funzioni proprie per eseguire le trasformazioni
geometriche e le operazioni di illuminazione, i corrispondenti moduli del D3D possono essere
facilmente bypassati. Tre sono le tipologie di device supportate da D3D:
• Hardware Abstraction Layer (HAL), di cui si è già parlato sopra: le funzioni operate
dai tre moduli sopra indicate (trasformazione, illuminazione e rasterizzazione) vengono
eseguite in hardware dalla scheda. (Attenzione: non tutte le funzioni presenti in D3D
possono essere utilizzate in quanto non tutte implementate dai costruttori delle schede
accelerate)
• Reference Device (dispositivo di riferimento): sfruttano funzioni realizzate via software
per garantire l’accuratezza della visualizzazione piuttosto che elevate prestazioni; fanno
uso di particolari set di istruzioni specifiche delle nuove generazioni di processori (SSE e
3DNOW!) ed implementano tutto il set di funzioni disponibili in D3D; lo svantaggio è
la non elevata velocità di esecuzione.
• Software Device: emulano le funzioni di rasterizzazione dell’hardware 3D via software,
possono fare uso dei set di istruzioni specifici di ogni processore se opportunamente
programmati; comunicano con l’hardware grafico mediante una interfaccia simile all’hardware device driver interface (DDI, vedi schema precedente). Maggiori informazioni
sui Software Device e la documentazione per svilupparne possono essere reperite nel
Direct3D DDK.
Possiamo riassumere i concetti sino ad ora esposti nello schema riportato in B.3.
Come si è già detto tutta la libreria DirectX è implementata attraverso oggetti ed interfacce
COM; un oggetto COM non è altro che una collezione di interfacce, che a loro volta sono collezioni di funzioni (il tutto è organizzato in maniera analoga alle classi di Visual Basic). Ogni
interfaccia COM viene derivata da una classe base chiamata IUnknown (la I nella Ungarian
Notation adottata da Microsoft sta per Interface; Unknown sta per sconosciuto nel senso che
si tratta di funzioni comuni ad ogni oggetto e quindi non qualificabili in altro modo).
Dato che oggetti diversi possono presentare diverse interfacce e che queste ultime possono
essere comuni a più di un oggetto occorre un metodo per poter distinguere univocamente
182
Figura B.3: Schema funzionamento D3D
gli oggetti e le relative interfacce (possono esistere oggetti con lo stesso nome descrittivo,
ad esempio Idirect3D8, ma che fanno riferimento ad entità separate e con funzionalità differenti). Questo viene ottenuto mediante l’utilizzo di codici detti GUIDs (Globally Unique
Identifiers). Un GUID è una struttura a 128 bit creata in modo da garantire che non ne possa
esistere un’altra identica. Generalmente vengono espressi sotto forma di stringhe del tipo:
{V V V V V V V V − W W W W − XXXX − Y Y Y Y − ZZZZZZZZZZZZ}, dove ogni lettera
corrisponde ad un numero esadecimale. Dato che sarebbe impossibile ricordare i GUIDs dei
vari oggetti solitamente ne viene fornito un identificativo equivalente che ricordi il particolare
oggetto a cui sono associati.
Note queste prime conoscenze base di come opera la libreria DirectX 8.0 e come questa si
interfaccia con il monitor è ora possibile passare alla descrizione della grafica 3D di oggetti
geometrici.
B.2
B.2.1
Appunti di Geometria: coordinate omogenee
Lavorando con le DirectX 8.0 si utilizza come base per lo spazio vettoriale <3 una terna
ortonormale sinistrorsa, perchè in un certo modo più intuitiva per la rappresentazione; infatti
gli oggetti posti sullo schermo per convenzione vengono graficati come aventi l’asse Z che entra
nello schermo e asse X e Y lungo le due dimensioni dell schermo (Y lungo le ordinate e X lungo
le ascisse). Se si utilizza tuttavia una terna sinistrorsa si deve porre attenzione all’operazione
di prodotto vettoriale, che viene calcolato in modo differente a quanto descritto nei capitoli
precedenti. Infatti la formula e le proprietà risultano essere le stesse di quelle relative alle
terne destrorse solamente con i segni cambiati.
Ora è possibile definire la grafica 3D a partire da vettori omogenei. Questo perchè se da un
lato complica la notazione matematica iniziale, per la gestione delle trasformazioni che vengono
applicate ad un vettore questa tecnica risulta essere facile ed immediata nell’impiego.
Quando si utilizzano coordinate omogenee è necessario porre particolare attenzione quando
si eseguono operazioni tra vettori. Utilizzando coordinate omogenee non è possibile sommare
membro a membro le componenti perchè altrimenti si giunge ad un risultato non corretto.
La soluzione più ovvia è portare i vettori operandi in forma normale (w = 1) e poi eseguire
la normale operazione di addizione sulle prime tre coordinate. In questo modo però sono
necessarie sei divisioni oltre alle normali addizioni. Risulta quindi consigliabile trovare la
formulazione corretta per l’operazione di somma con vettori espressi con coordinate omogenee.
B.2 Grafica 3D con DirectX 8.0
183
Nel caso tridimensionale si ha quindi:
x1 y1 z1
x2 y2 z2
,
,
,1 +
,
,
,1
w1 w1 w1
w2 w2 w2
w2 x1 + w1 x2 w2 y1 + w1 y2 w2 z1 + w1 z2
=
,
,
,1
w1 w2
w1 w2
w1 w2
(B.1)
(x1 , y1 , z1 , w1 ) + (x2 , y2 , z2 , w2 ) = (w2 x1 + w1 x2 , w2 y1 + w1 y2 , w2 z1 + w1 z2 , w1 w2 )
(B.2)
(x1 , y1 , z1 , w1 ) + (x2 , y2 , z2 , w2 ) =
La formula risultante è quindi
In questo modo si utilizzano solamente addizioni e moltiplicazioni eliminando la divisione che
è sicuramente più pesante dal punto di vista computazionale. Un discorso analogo può essere
fatto per il prodotto scalare e vettoriale. Per il primo si può scrivere:
x2 y2 z2
x1 y1 z1
,
,
,1 •
,
,
,1
(x1 , y1 , z1 , w1 ) • (x2 , y2 , z2 , w2 ) =
w1 w1 w1
w2 w2 w2
(B.3)
x1 x2
y1 y2
z1 z2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
=
+
+
=
w1 w2
w1 w2
w1 w2
w1 w2
e quindi non è possibile eliminare del tutto le divisioni. Per il prodotto vettoriale invece:
x1 y1 z1
x2 y2 z2
(x1 , y1 , z1 , w1 ) × (x2 , y2 , z2 , w2 ) =
,
,
,1 ×
,
,
,1
w1 w1 w1
w2 w2 w2
(B.4)
y1 z2 − z1 y2 z1 x2 − x1 z2 x1 y2 − y1 x2
,
,
,1
=
w1 w2
w1 w2
w1 w2
quindi in definitiva il prodotto vettoriale in coordinate omogenee richiede solamente una
moltiplicazione in più.
(x1 , y1 , z1 , w1 ) × (x2 , y2 , z2 , w2 ) = (y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 , w1 w2 )
(B.5)
La moltiplicazione per uno scalare c ∈ < rimane sostanzialmente immutata e non comporta
operazioni aggiuntive:
c (x1 , y1 , z1 , w1 ) = (cx1 , cy1 , cz1 , w1 )
(B.6)
B.2.2
World Matrix e Trasformazione dei Vertici
I vettori (o vertici) non sono sufficienti per codificare le operazioni che si possono effettuare su oggetti 3D. Occorrono altri strumenti capaci di raggruppare insiemi bidimensionali di
numeri: le matrici sono lo strumento matematico destinato a tale scopo.
Tra numeri, vettori e matrici sono state definite numerose operazioni matematiche. Queste
operazioni vengono adoperate nella grafica 3D per eseguire le varie operazioni necessarie a
costruire le immagini. I vettori sono importanti nella grafica 3D perchè sono utilizzati per
memorizzare le coordinate dei punti che compongono i vari oggetti modellati. Vengono anche
utilizzati per determinare l’orientamento delle superfici e le velocità di movimento degli oggetti.
Le matrici memorizzano invece tutte le operazioni di trasformazione e di proiezione che occorrono per realizzare rotazioni, traslazioni, cambi di scala, skew ed altro. Generalmente tutte le
trasformazioni relative ad un vettore (o altrimenti detto vertice) possono essere conglobate in
un’unica matrice che viene chiamata spesso World Matrix. Le trasformazioni si applicano ai
punti moltiplicando il vettore corrispondente al punto per la matrice che identifica la trasformazione totale. Moltiplicando tra loro le matrici che rappresentano le varie trasformazioni si
riduce l’intero processo di trasformazione ad una unica matrice, appunto la World Matrix.
Si definsce traslazione la trasformazione affine che sposta i punti sommando a tutti i punti un
~ ovvero dato un vettore P~ si ottiene il vettore traslato P~ 0 = P~ + d.
~
vettore di spostamento d,
184
Passando ora ad una notazione in coordinate omogenee è possibile rappresentare la traslazione
tramite una matrice T̂ 4x4 tale che P~ 0 = P~ T̂ . Allora vale


1 0 0 dx
 0 1 0 dy 

(B.7)
T̂ (dx , dy , dz ) = 
 0 0 1 dz 
0 0 0 1
~
in cui {dx , dy , dz } sono le componenti del vettore di spostamento d.
ottiene invertendo la matrice di traslazione T̂ :

1 0 0

0
1 0
T̂ −1 (dx , dy , dz ) = T̂ (−dx , −dy , −dz ) = 
 0 0 1
0 0 0
La traslazione inversa si

−dx
−dy 

−dz 
1
(B.8)
Si definisce Rotazione una trasformazione affine che:
• non cambia la distanza tra i punti (è rigida)
• lascia fisso (almeno) un punto: centro di rotazione (Caso particolare: rotazione attorno a
un asse in cui restano fissi tutti i punti di una retta data definita come asse di rotazione)
Qualunque rotazione si può ottenere mediante una sequenza di tre rotazioni attorno ad assi
indipendenti. Caso particolare sono le rotazioni attorno agli assi coordinati, asse X, asse Y e
asse Z. In coordinate omogenee è possibile esprimere una rotazione tramite l’utilizzo di una
matrice R̂ che trasforma un vettore dato P~ in un vettore ruotato P~ 0 = R̂P~ , in cui vale:

rxx
 ryx
R̂ = 
 rzx
0
rxy
ryy
rzy
0
rxz
ryz
rzz
0

0
0 

0 
1
(B.9)
dove R̂ rappresenta una rotazione generica centrata all’origine ed i vettori {rxx , rxy , rxz },
{ryx , ryy , ryz }, {rzx , rzy , rzz } hanno norma uno e sono ortogonali tra loro. Vale sempre R̂−1 =
R̂T e qualunque rotazione si può esprimere come combinazione di tre rotazioni attorno agli
assi coordinati. Quindi data una R̂ rotazione attorno all’origine, esistono sempre R̂x , R̂y ,
R̂z matrici di rotazione attorno ai tre assi coordinati tali che R̂ = R̂z R̂y R̂x . L’ordine delle
tre rotazioni risulta essere fondamentale, dato che per il prodotto di matrici non è valida la
proprietà di commutazione. Definito θ l’angolo di rotazione attorno al singolo asse, le tre
matrici di rotazione attorno agli assi coordinanti risultano pertanto essere:




cos (θ) − sin (θ) 0 0
cos (θ) 0 sin (θ) 0
 sin (θ) cos (θ) 0 0 

0
1
0
0 
 R̂y = 

R̂z = 



0
0
1 0
− sin (θ) 0 cos (θ) 0 
0
0
0 1
0
0
0
1

(B.10)
1
0
0
0
 0 cos (θ) − sin (θ) 0 

R̂x = 
 0 sin (θ) cos (θ) 0 
0
0
0
1
La Scalatura è una trasformazione che lascia un punto fisso e dilata o comprime lo spazio
attorno a quel punto in una o più direzioni per un dato fattore di scala. Esiste la scalatura
uniforme, ovvero la dilatazione o compressione dello stesso fattore di scala nelle tre direzioni
cardinali e la scalatura direzionale in cui si dilata solo lungo una direzione (arbitraria). Fattori
di scala negativi producono riflessioni. In coordinate omogenee si ottiene una scalatura di un
vettore P~ moltiplicandolo per una matrice Ŝ definita nel seguente modo:


sx 0 0 0
 0 sy 0 0 

Ŝ (sx , sy , sz ) = 
 0 0 sz 0 
0 0 0 1
185
(B.11)
in cui {sx , sy , sz } sono detti appunto fattori di scala lungo gli assi coordinanti.
Diverse trasformazioni si possono comporre in sequenza ed ogni trasformazione è rappresentata
da una matrice. Applicare una trasformazione significa moltiplicare una matrice per un vettore e quindi l’applicazione di una sequenza di trasformazioni corrisponde ad una sequenza di
moltiplicazioni di matrici. La matrice che ne risulta contiene tutte le informazioni per traslare,
scalare e ruotare un vettore (o un insieme di vettori) nello spazio 3D e viene indicata come
World Matrix. Infatti con questa tenica è possibile generare un modello 3D di un oggetto e poi
moltiplicando tutti i suoi vertici per la World Matrix è possibile posizionarlo correttamente
nello spazio.
B.2.3
View Matrix e View Space
Dopo che tutti gli oggetti sono stati posizionati nello spazio mediante le World Matrix è
necessario stabilire la posizione e l’orientazione dell’osservatore. Quello che si desidera effettivamente è calcolare le coordinate dei vertici espresse secondo un nuovo sistema di riferimento
~ 0 , î0 , ĵ 0 , k̂ 0 in cui l’origine O
~ 0 coincide con la posizione dell’osservatore,
che sia ortonormale O
l’asse Z 0 coincida con la direzione di osservazione e la direzione dell’asse Y 0 identifica sullo
schermo il sopra e la direzione dell’asse X 0 identifica sullo schermo lo spostamento verso destra.
Questo nuovo sistema di riferimento, chiamato View Space risulta particolarmente comodo per
eseguire le operazioni di clipping e di proiezione. La legge generale che regola il cambiamento
del sistema di riferimento può essere scomposta nella parte traslazionale ed in quella rotazionale ed il problema viene quindi scomposto in due sottoproblemi più semplici. Per la parte
traslazionale si ha che:
~ = xî + y ĵ + z k̂
P~ − O
~
~ 0 = x0 î + y0 ĵ + z0 k̂
(B.12)
O−O
0
~
~
P − O = (x − x0 )î + (y − y0 )ĵ + (z − z0 )k̂
Ovvero per passare dalle coordinate del vecchio a quelle del nuovo sistema di riferimento è
sufficiente sottrarre dalle coordinate correnti dei punti quelle del centro del nuovo sistema di
~ ≡O
~ 0 ) si possono
riferimento. Per la parte rotazionale invece (si consideri in questo caso O
effettuare le seguenti considerazioni, basate sul fatto che le terne sono ortonormali:
~ = xî + y ĵ + z k̂
P~ − O
~
~
P −O0 = x0 î0 + y0 ĵ 0 + z0 k̂ 0
î = î • î0 · î0 + î • ĵ 0 · ĵ 0 + î • k̂ 0 · k̂ 0
ĵ = ĵ • î0 · î0 + ĵ • ĵ 0 · ĵ 0 + ĵ • k̂ 0 · k̂ 0
k̂ = k̂ • î0 · î0 + k̂ • ĵ 0 · ĵ 0 + k̂ • k̂ 0 · k̂ 0
(B.13)
Questo risulta essere vero perchè se tutti i vettori hanno modulo unitario, il loro prodotto
rappresenta il coseno dell’angolo tra essi compreso e rappresenta anche il valore della proiezione
dell’uno sull’altro.
A questo punto è possibile sostituire gli ultimi tre valori nella seconda equazione ed ottenere
la matrice 3x3 di rotazione che rappresenta il cambiamento del sistema di riferimento.
 

 0  
cos(îî0 ) cos(ĵ î0 ) cos(k̂ î0 )
x
x
 y 0  =  cos(îĵ 0 ) cos(ĵ ĵ 0 ) cos(k̂ ĵ 0 )  ·  y 
(B.14)
z0
z
cos(îk̂ 0 ) cos(ĵ k̂ 0 ) cos(k̂ k̂ 0 )
186
Se ora si considera l’espressione dei versori del nuovo sistema di riferimento rispetto al vecchio
si ha che:
î0 = xi î + yi ĵ + zi k̂
ĵ 0 = xj î + yj ĵ + zj k̂
0
k̂
k î + y
k ĵ + zk k̂
 = 0x

 

(B.15)
x
xi yi zi
x
 y 0  =  xj yj zj  ·  y 
z0
xk yk zk
z
A questo punto conviene passare alle coordinate omogenee per rappresentare il cambiamento
di sistema con una sola matrice. Per trovare la matrice che rappresenta tutta la trasformazione
basta considerare che le coordinate nel nuovo sistema si trovano combinando una traslazione
con una rotazione e pertanto si ha che:

 

 
xi yi zi − xi Ox0 + yi Oy0 + zi Oz0 1 0 0 −Ox0
xi yi zi 0
 xj yj zj 0   0 1 0 −Oy0   xj yj zj − xj Ox0 + yj Oy0 + zj Oz0 
 

 

 xk yk zk 0  ·  0 0 1 −Oz0  =  xk yk zk − xk Ox0 + yk Oy0 + zk Oz0 
0
0 0 1
0 0 0
1
0
0 0
1
(B.16)
Si riconosce nell’ultima colonna il prodotto scalare tra i vari versori delle nuove direzioni e
il vettore che identifica il nuovo centro di riferimento, quindi la precedente matrice viene
solitamente espressa in questo modo:


~0
xi yi zi − î0 • O



~0 
 xj yj zj − ĵ 0 • O

(B.17)




0
0
~
 xk yk zk − k̂ • O 
0
0 0
1
La View Matrix può essere definita mediante la posizione dell’origine e le coordinate dei suoi
assi rispetto al sistema di riferimento attuale. Non è però nè facile nè intuitivo definire l’orientazione dell’osservatore facendo attenzione affinchè il nuovo sistema sia ortonormale; per
questo motivo si utilizzano modi alternativi per definire la View Matrix. La notazione che
~ rappresenta la direzione
viene utilizzata per denominare gli assi è solitamente: UVN, dove N
0
~
~
di osservazione, V la direzione sopra (asse Y ) e il terzo asse U viene calcolato sulla base dei
primi due. Solitamente si realizzano delle routine che generano la View Matrix partendo da
dati che bene identificano il nuovo sistema nello spazio. Una volta che si è definito la nuova
~ è sufficiente infatti stabilire il vettore V
~ per determiorigine e la direzione di osservazione N
~
~ deve essere
nare poi in modo univoco il rimanente versore U . La difficoltà è che il vettore V
−→
~
normale ad N e di lunghezza unitaria. La soluzione è stabilire un generico vettore U p che
→
~ proiettando il vettore −
indica la direzione sopra in maniera generale e poi ricavare V
U p nel
~ e normalizzandolo. In questo modo i dati passati alla routine sono C,
~
piano parallelo ad N
~ , U~p da cui si ricavano i tre assi del nuovo sistema di riferimento:
N
~ ≡C
~
O
~
~
N ≡N
−
→
→ ~
~ ≡ U p − (−
~
V
Up • N
)·N
~
~
~
U =N ×V
(B.18)
In questo modo la terna che si è creata è sinistrorsa e per ottenerla destrorsa è sufficiente
~ è sufficiente ricavare
invertire l’ordine dell’ultimo prodotto vettoriale. Per trovare il vettore V
−→
il vettore proiezione di U p sulla normale al piano.
~ , il punto dove
Un modo alternativo di definire la View Matrix è specificare la nuova origine C
−
→
−→
osservare At e il vettore U p come nel caso precedente. In questo caso si ricava inizialmente il
~ come:
vettore N
~ = {Atx − Cx , Aty − Cy , Atz − Cz }
N
(B.19)
187
e poi si procede come nel caso precedente. La libreria DirectX 8.0 mette a disposizione due
routine differenti chiamate D3DXMatrixLookAtLH e D3DXMatrixLookAtRH che ricavano la
View Matrix con quest’ultima tecnica, seguendo una strada leggermente differente: dopo aver
→
~ , invece di calcolare la proiezione di −
~,
ricavato il versore N
U p nel piano perpendicolare ad N
−
→
~
~
si ricava immediatamente U dal prodotto vettoriale di U p e N e successiva normalizzazione.
~ si ricava semplicemente con il prodotto vettoriale di U
~ eN
~ . Da
A questo punto il vettore V
ricordare che la libreria DirectX 8.0 utilizza una terna sinistrorsa, quindi l’usuale formula di
prodotto vettoriale non è valida e deve essere corretta cambiando di segno ogni termine presente, come detto nei paragrafi precedenti.
B.2.4
Projection Matrix e Camera Space
Capire a fondo la matrice di proiezione non è facile e bisogna procedere per gradi in modo
da comprendere tutte le implicazioni racchiuse in essa. La Projection Matrix viene applicata
dopo la View Matrix e quindi tutte le coordinate sono espresse nello spazio dell’osservatore,
chiamato anche Camera Space. L’osservatore coincide con l’origine ed osserva lungo l’asse delle
Z con la direziona Y considerata come sopra. Il tipo di proiezioni che rappresenta meglio la
percezione della realtà che abbiamo con i nostri occhi è sicuramente la proiezione prospettica;
si considererà quindi questo tipo di proiezione. Si posizioni a tal scopo un piano di proiezione
parallelo all’asse delle Z e sia d la distanza di questo piano dall’origine; la situazione può essere
rappresentata comodamente in 2D nel piano x=0 con la figura B.2.4:
Lo scopo è trovare le coordinate del punto proiettato; da semplici considerazioni geometriche si ricava dalla similitudine dei triangoli Pp QO0 e P OQ che:
yp
y
y
= ⇒ yp = d
d
z
z
(B.20)
La stessa considerazione può essere effettuata per la coordinata x e quindi per torvare le
coordinate dei punti proiettate nel piano è sufficiente moltiplicare le coordinate x ed y del
fattore d/z e la coordinata z assume naturalmente il valore d per qualsiasi punto proiettato.
Nello spazio omogeneo la matrice che realizza questa trasformazione è la seguente:


1 0 0 0
 0 1 0 0 


(B.21)
 0 0 1 0 
0 0 d1 0
Infatti un generico vettore (x, y, z, 1) trasformato diventa (x, y, z, z/d) e quindi quando si divide
per w per tornare nelle coordinate 3D si ha la proiezione nel piano. Il termine della quarta
riga e terza colonna della matrice dovrebbe tuttavia essere pari ad 1, ovvero:


d 0 0 0
 0 d 0 0 


(B.22)
 0 0 d 0 
0 0 1 0
Questa matrice trasforma un vettore (x, y, z, 1) nel vettore (xd, yd, zd, z) che riportato in 3D ha
lo stesso valore del precedente, in questo modo però la coordinata w del vettore trasformato
188
assume il valore z e quindi può essere utilizzato efficacemente per implementare un Depth
Buffer, come lo Z-Buffer. Le matrici che hanno questa proprietà sono chiamate nella DirectX
come W-Friendly Projection Matrix.
Tuttavia nessuno troverà mai la precedente matrice utilizzata nelle librerie grafiche 3D come
la DirectX o le OpenGL per un motivo molto semplice: il Clipping. Dopo aver definito la
posizione e l’orientazione dell’osservatore mediante la View Matrix è necessario infatti definire
oltre alla distanza del piano di proiezione una dimensione della finestra di proiezione, in modo
da sapere quali vertici saranno visibili e quali no. Questa semplificazione risulta necessaria
perchè risparmia operazioni al rasterizzatore che deve elaborare solamente i vertici visibili
dall’osservatore; tale situazione è rappresentata nella figura B.2.4.
Le coordinate umin , umax , vmin , vmax , zn , zf determinano in maniera univoca il volume
di proiezione: tutti i vertici che si trovano all’esterno di tale volume non sono visibili dall’osservatore. Il piano posto a distanza zn dall’origine viene chiamato Front Clipping Plane e
per analogia quello posto a zf viene chiamato Far Clipping Plane. Il volume individuato in
questo modo assume il nome di Viewing Frustum (ovvero tronco di piramide della visuale).
Naturalmente tutte queste coordinate sono state espresse secondo il sistema di riferimento
dell’osservatore.
Prima di applicare la matrice di proiezione vista nel paragrafo precedente è necessario effettuare il clipping con le coordinate 3D dei punti, operazione che non è nè intuitiva nè semplice,
soprattutto da implementare in hardware. La soluzione che si adotta è quella di trovare una
matrice di trasformazione che faccia coincidere il viewing frustum con un volume di riferimento
in cui il clipping sia molto semplice da fare; nel caso in esame si considera il volume individuato dai piani x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = 1, che prende il nome di Volume
Canonico. Fare il clipping in questo volume è veramente semplice ed inoltre le coordinate dei
punti risultano già proiettate e pronte per essere mandate al rasterizzatore.
Ora è necessario trovare la catena di trasformazioni che trasformano il viewing frustum nel
volume canonico. Come prima cosa dobbiamo definire alcuni termini: la posizione dell’osservatore e quella in cui convergono i raggi prospettici viene chiamata PRP (Perspection Projection
Point), mentre il centro della finestra di visualizzazione definita da umin , umax , vmin , vmax
prende il nome di CW (Center of Window). La prima operazione è effettuare uno shearing
per fare in modo che l’asse Z passi per il punto CW. Questa operazione consiste appunto in
uno shearing delle coordinate x e y ed è rappresentata dalla matrice:

1
 0

 0
0
0
1
0
0

Shx 0
Shy 0 

1
0 
0
1
(B.23)
Una tale operazione non influisce sulle coordinate z, ma aggiunge alle coordinate x e y una
frazione della coordinata z espressa dai parametri di shearing. Ora come prima cosa bisogna
trovare il valore di questi parametri imponendo la condizione che la direzione di osservazione (CW-PRP) coincida con l’asse Z. Il vettore (CW − P RP ) = (CWx , CWy , zn , 1) dopo la
trasformazione deve divenire

1 0 Shx
 0 1 Shy

 0 0
1
0 0
0
189
quindi (0, 0, zn , 1), ovvero deve valere:
  umax +umin   umax +umin
0
+ zn Shx
2
2
 vmax +vmin   vmax +vmin + zn Shy
0 
2
2
·
=
 
0  
zn
zn
1
1
1




(B.24)
Ponendo a zero le prime due coordinate del vettore risultato si trovano i valori cercati per i
due coefficienti:
min
Shx = − umax2z+u
n
(B.25)
vmax +vmin
Shy = − 2zn
Ora bisogna calcolare le nuove coordinate che definiscono la finestra di vista sul front plane, ad
esempio l’angolo in alto a destra di coordinate (umax , vmax , zn ) viene trasformato nel punto:
 
 


min
min
1 0 − umax2z+u
umax − umax2z+u
0
umax
n
n
 0 1 − vmax +vmin 0   vmax   vmax − vmax +vmin 
2zn
2zn

=
·

(B.26)

 0 0
1
0   zn  
zn
1
0 0
0
1
1
Ripetendo lo stesso calcolo si trova che i nuovi limiti della finestra di vista sono divenuti:
min
min
− umax −u
< x < umax −u
2
2
vmax −vmin
vmax −vmin
−
<
y
<
2
2
(B.27)
Ora il viewing frustum è centrato nell’asse Z, la successiva operazione è quella di rendere le
lunghezze dei piani laterali pari ad 1 (dato che le altre lunghezze del viewing frustum sui due
piani sono già state calcolate); tale risultato si ottiene semplicemente con uno scaling delle
coordinate x e y. I nuovi limiti della finestra debbono divenire in modulo pari a zn in modo
che i piani laterali abbiano lunghezza unitaria. È facile allora pervenire alla matrice di scaling
corrispondente, considerando le nuove espressioni delle coordinate dei limiti della finestra di
visualizzazione:


2zn
0
0 0
umax −umin
2zn

0
0 0 


vmax −vmin
(B.28)

0
0
1 0 
0
0
0
1
L’ultima trasformazione rimasta è la più complessa: infatti si deve effettuare una espansione
nell’asse Z per trasformare un volume piramidale in un volume di tipo parallelepipedo; secondariamente si deve fare in modo che il piano z = zn vada a coincidere con il piano z = 0 ed il
piano z = zf vada a coincidere con il piano z = 1.
Per trovare la matrice che rappresenta questa trasformazione bisogna procedere per gradi.
Dopo lo scaling precedente i limiti della finestra di visualizzazione sono ora tutti eguali e pari
a zn ; la prima cosa da fare è dividere le coordinate x e y per il valore z, in modo che il volume
diventa un parallelepipedo, utilizzando la seguente matrice:


1
0
0
0
 0
1
0
0 


(B.29)
 Cx Cy Cz Cw 
0
0
1
0
dove i valori della terza riga sono lasciati appositamente in sospeso con i termini Cx ,Cy ,Cz ,Cw .
In questo modo si ottiene la divisione per z delle coordinate x e y ma è necessario che il front
plane, che si trova a distanza zn , venga mappato sul piano z = 0 ed il far clipping plane
che si trova a distanza zf sia mappato sul piano z = 1. L’operazione che fa questo non
è immediata e non fa parte delle trasformazioni 3D standard, ma la si può ricavare con un
semplice ragionamento. La riga della matrice di trasformazione che genera la nuova coordinata
z è la terza, lasciata appositamente incognita fino ad ora. La prima considerazione è che la
190
trasformazione cercata è indipendente dai valori di x e y e che i piani paralleli al piano z = 0
lo rimangono anche dopo la trasformazione. Se chiamiamo Cx , Cy , Cz , e Cw gli elementi della
terza riga della matrice, allora si ha che Cx = Cy = 0. Per trovare il valore di Cz e Cw si
procede in questo modo: la coordinata z trasformata è pari a zCz + wCw e bisogna quindi
imporre due condizioni per trovare i due coefficienti incogniti. Le condizioni cercate derivano
naturalmente dalla trasformazione del far e del near clipping plane, ovvero:
(
wzn Cz +wCw
=0
wzn
(B.30)
wzf Cz +wCw
=1
wzf
Nella formula è stata correttamente inclusa anche l’operazione di divisione per la nuova coordinata w (che è pari a wz), necessaria per portarsi dallo spazio omogeneo a quello 3D. È
necessario considerare che per le trasformazioni precedenti i punti che delimitano il viewing
frustum assumono i valori seguenti umax = vmax = −umin = −vmin = zn . Risolvendo il
sistema si ha che:
(
zf
Cz = zf −z
n
(B.31)
z z
Cw = − zff−znn
La trasformazione finale è pertanto:

1 0
 0 1

 0 0
0 0
0
0
zf
zf −zn
1
0
0



z z
− zff−znn 
0
(B.32)
Per trovare la matrice di trasformazione finale è sufficiente comporre le matrici di shearing, di
scaling e l’ultima appena trovata che è a tutti gli effetti una matrice di proiezione. Il risultato
è:


2zn
umax +umin
0
0
umax −umin
umin −umax
2zn
vmax +vmin


0
0
vmax −vmin
vmin −vmax

(B.33)
zf
zf zn 

0
0
− zf −zn 
zf −zn
0
0
1
0
La matrice è anche W-Friendly dato che mantiene la coordinata z nella coordinata omogenea
w. Dopo aver applicato questa trasformazione effettuare il clipping è molto semplice perchè
basta controllare che siano valide le seguenti disuguaglianze:
x
−1 < w
−w < x < w
<1
−1 < wy < 1 ⇒ −w < y < w
0 < wz < 1
0<z<w
(B.34)
Come è evidente l’operazione di clipping risulta ora veramente banale. Le coordinate x e y
dei punti che sono accettati dal clipping debbono subire un’ultima semplice trasformazione
che rappresenta il Mapping nel Viewport finale, che nel nostro caso è lo schermo o più in
generale la finestra di rendering. Nella libreria DirectX la funzione che realizza questa matrice
a partire dalle dimensioni del viewing frustum è la D3DXMatrixPerspectiveOffCenterLH().
Naturalmente per i sistemi di riferimento destrorsi il discorso è assolutamente uguale, ma
svolgendo i conti si ottiene una matrice leggermente differente:


2zn
umax +umin
0
0
umax −umin
umax −umin
2zn
vmax +vmin


0
0
vmax −vmin
vmax −vmin

(B.35)
zf
zf zn 


0
0
0
0
zn −zf
zn −zf
−1
0
Quello che si è cosı̀ ottenuto è una serie di moltiplicazioni di matrici 4x4 che a partire dai
singoli vertici rappresentati in coordiante omogenee permette di ottenere la rappresentazione
proiettiva su di un piano della disposizione 3D dei songoli oggetti. Tale rappresentazione è 2D
e quindi può essere mandata infine a schermo utilizzando il rasterizzatore. In sintesi tutto il
processo di grafica 3D può essere riassunto nel seguente schema riportato anche in B.2.4:
B.3 Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0
191
• definizione dei vertici (vettori in coordinate omogenee) componenti l’oggetto, creati a
piacere nello spazio 3D
• moltiplicazione dei singoli vertici per la World Matrix e disposizione corretta nello spazio
degli oggetti
• moltiplicazione per la View Matrix al fine di cambiare sistema di riferimento per la
visualizzazione 3D
• moltiplicazione per la Projection Matrix per ottenere un’immagine 2D degli oggetti 3D
B.3
Grafica 3D Interattiva con DirectX 8.0
In questo paragrafo verrà trattata brevemente la grafica tridimensionale nei prodotti interattivi. In particolare verrano presentate le più comuni tecniche per integrare la grafica 3D
nei linguaggi di programmazione. La quantità di codice necessaria per visualizzare oggetti
tridimensionali in tempo reale è enorme. Per questo si ricorre solitamente a librerie di funzioni
già realizzate come la DirectX 8.0.
I principali livelli di funzionalità (che possono variare in funzione del particolare motore
considerato) sono:
1. Disegno dei triangoli
2. Proiezione e clipping
3. Visualizzazione di modelli 3D
4. Visualizzazione dei mondi 3D
Il livello di Disegno dei triangoli si occupa di disegnare velocemente sullo schermo triangoli
bidimensionali. Ogni triangolo può venire disegnato anche con una texture ed un modello di
illuminazione. Il livello di Proiezione e clipping, si occupa di proiettare triangoli (definiti in
uno spazio tridimensionale) sullo schermo del calcolatore, cosı̀ come apparirebbero agli occhi
di un osservatore posizionato in un dato luogo (come descritto nei paragrafi precedenti). Il
livello di Proiezione e clipping identifica gli oggetti che non sono visibili (clipping), calcola
le coordinate dei triangoli in due dimensioni (corrispondenti alle proiezioni dei triangoli 3D)
ed infine utilizza le primitive del livello precedente per visualizzarli sullo schermo. Il livello
di Visualizzazione dei modelli 3D scompone ogni oggetto tridimensionale in un insieme di
triangoli, calcolandone opportunamente le posizione dei vertici nello spazio, ed utilizza le
primitive del livello precedente per rappresentarli sullo schermo. Il livello di Visualizzazione
dei mondi 3D gestisce la presenza contemporanea di più oggetti tridimensionali, ottimizza la
visualizzazione scartando quelli troppo lontani o comunque non visibili, e gestisce semplici
animazioni degli elementi coinvolti.
Affinchè un programma possa utilizzare le procedure di un motore di rendering o di una
libreria di supporto, come appunto le DirectX 8.0, deve rispettare un’architettura precisa.
In particolare deve eseguire un insieme di operazioni in un determinato ordine. Le fasi da
rispettare sono le seguenti:
192
1. Inizializzazione della libreria
2. Inizializzazione dell’applicazione
3. Ciclo di rendering
4. Rilascio delle risorse
Nella fase di Inizializzazione della libreria si richiamano un insieme di procedure appartenenti
alla libreria grafica o al motore di rendering per definire i requisiti grafici richiesti dall’applicazione. Ad esempio si stabiliscono la risoluzione dell’applicazione, il tipo di grafica adottata
(2D, 3D, presenza di illuminazione, texture, . . . ). Nella fase di Inizializzazione dell’applicazione si creano tutte le struttre dati necessarie a realizzare l’applicazione. Ad esempio si caricano
le geometrie degli oggetti, le texture, le definizioni dei mondi virtuali, si azzerano i timer e i
contatori. Il Ciclo di Rendering, rappresenta invece il cuore dell’applicazione. Esso si ripete
fino a quando il programma non termina. Il suo scopo è quello di ridisegnare continuamente la
grafica dell’applicazione, secondo i cambiamenti avvenuti nel frattempo. Il ciclo di rendering si
occupa solamente di ridisegnare la grafica sullo schermo. Qualsiasi modifica o interazione deve
avvenrie in risposta ad eventi esterni quali timer o input provenienti da periferiche collegate al
sistema. L’uscita dal ciclo di rendering si verifica solamente quando un evento esterno stabilisce la fine del programma, ad esempio impostando una particolare variabile. Bisogna quindi
sempre ricordarsi di inserire qualche meccanismo per consentire l’uscita dal ciclo. È possibile
quindi, tramita l’utilizzo dell’uscita dal cilco di rendering, far funzionare in parallelo sia la
grafica 3D che qualsiasi altro codice, a discapito solo della prestazione della CPU in termini
di velocità di esecuzione del codice stesso. La fase di Rilascio delle risorse conclude l’applicazione liberando le risorse occupate dalle strutture dati allocate durante le fasi precedenti.
Vengono utilizzate a tal scopo sia funzioni specifiche dell’applicazione sia funzioni generiche
della libreria.
Per quanto concerne l’utilizzo della libreria DirectX 8.0 e di tutte le sue funzioni si è deciso di non riportare i vari codici, rimandando alla documentazione della SDK per maggiori
informazioni e dettagli.
Appendice
C
Calcolo Analitico dello Scatter al
Primo Ordine
In figura C.1 viene mostrata la geometria di calcolo che sta alla base dell’integrazione del
contributo dello scattering che cade su un punto generico dello spazio 3D.
Figura C.1: Geometria di integrazione
Si analizzerà di seguito il contributo della radiazione diffusa al primo ordine per il caso
monoenergetico nell’ipotesi che l’attenuazione della radiazione diffusa nell’aria sia trascurabile,
scomposta nelle sue due principali componenti: lo scattering Rayleigh e lo scattering Compton.
Inizialmente si prenderà in considerazione il contributo Rayleigh in quanto i conti svolti sono
formalmente meno pesanti dato che il coefficiente di attenuazione della radiazione primaria µP
R
è lo stesso del coefficiente della radiazione diffusa µD
R e quindi vale la seguente relazione:
P
D
P
µP
R Di = µR si + µR di = µR (si + di )
P
D
P
µP
D
=
µ
s
+
µ
d
R i+1
R i+1
R i+1 = µR (si+1 + di+1 )
(C.1)
con riferimento all’immagine C.1.
Interpolando linearmente le sezioni d’urto e le attenuazioni che avvengono all’interno del fantoccio per il pencil-beam sia primario che diffuso al primo ordine, per un caso generale, il
contributo dello scattering Rayleigh relativo ad un raggio primario tra due centri diffusori
adiacenti posti ad una distanza si ed si+1 dal punto di entrata del pencil-beam primario
nel fantoccio, per qualsiasi combinazione di posizione della sorgente e del fantoccio stesso è
194
Calcolo Analitico dello Scatter al Primo Ordine
calcolato come:
i
SR
sZi+1
σi ·
(si , si+1 ) =
si+1 − s
s − si
+ σi+1 ·
si+1 − si
si+1 − si
·e
si+1 −s
P
− µP
R Di · s
−s +µR Di+1 s
i+1
i
s−si
i+1 −si
ds
si
(C.2)
Questo integrale può essere svolto analiticamente e si vedranno in seguito i principali passaggi
necessari alla risoluzione di tale integrazione. La prima semplificazione da effettuare sono le
seguenti sostituzioni, al fine di poter scomporre e scrivere l’integrale stesso in una forma più
comoda:
si+1
ds = (si+1 − si ) dx
x = si+1s−si A = si+1si−si B = si+1
(C.3)
−si
Allora il precedente integrale risulta essere:
i
SR
ZB
(si , si+1 ) =
P
P
[σi (B − x) + σi+1 (x − A)] · e−[µR Di (B−x)+µR Di+1 (x−A)] · (si+1 − si ) dx
A
(C.4)
che sviluppato diviene:
i
SR
(si , si+1 ) =
ZB
P
P
P
P
(si+1 − si ) · [σi B − σi+1 A + x (σi+1 − σi )]·e−µR Di B+µR Di+1 A ·ex(µR Di −µR Di+1 ) dx
A
(C.5)
P
Posto C = µP
R Di − µR Di+1 e portando fuori dall’integrale le costanti si ottiene:
i
SR
(si , si+1 ) = (si+1 − si ) · e
P
−µP
R Di B+µR Di+1 A
ZB
·
[σi B − σi+1 A + x (σi+1 − σi )] · exC dx (C.6)
A
Raggruppando tutte le costanti in λ:
P
P
λ = (si+1 − si ) · e−µR Di B+µR Di+1 A
(C.7)
risulta ora possibile separare l’integrale in due parti, a) e b), ed integrare singolarmente ognuna
di esse (le costanti che moltiplicano entrambi gli integrali verranno moltiplicate in seguito):
a) χ =
b)
ξ=
RB
A
RB
[σi B − σi+1 A] · exC dx
(C.8)
[x (σi+1 − σi )] · exC dx
A
Allora per l’integrale a) si ottiene che:
ZB
χ=
[σi B − σi+1 A] · exC dx =
[σi B − σi+1 A] CB
· e
− eCA
C
(C.9)
A
mentre per l’integrale b) si ha che, utilizzando l’integrazione per parti:


ZB
 eCx B ZB eCx 
−
ξ = [x (σi+1 − σi )] · exC dx = (σi+1 − σi ) ·
x·
dx


C C
A
A
A
CB
eCB
eCA
e
eCA
= (σi+1 − σi ) · B ·
−A·
−
− 2
C
C
C2
C
(C.10)
195
Ora prima di esplicitare λ, il risultato dell’integrazione può essere semplificato ulteriormente
in:
(
)
σi BeCB − σi+1 AeCB − σi BeCA + σi+1 AeCA
i
+
SR (si , si+1 ) = λ · (χ + ξ) =λ ·
C
(
)
σi+1 BeCB − σi BeCB − σi+1 AeCA + σi AeCA
+λ·
+
C
CB
e
eCA
+ λ · (σi − σi+1 ) ·
− 2
C2
C
(C.11)
che risulta in:
CB
−σi+1 AeCB − σi BeCA + σi+1 BeCB + σi AeCA
eCA
e
−
+λ·(σi − σi+1 )·
C
C2
C2
(C.12)
Ora rimane solo da esplicitare λ precedentemente stimata. Tuttavia risulta più comodo effettuare dapprima la moltiplicazione dell’esponenziale costante con i due esponenziali che sono
presenti nell’integrale svolto, ovvero si ottiene che:
i
SR
(si , si+1 ) = λ·
P
P
P
P
P
P
P
P
e−µR Di B+µR Di+1 A · eCA = e−µR Di B+µR Di+1 A · eµR Di A−µR Di+1 A = e−µR Di (B−A) = e−µR Di
P
P
P
P
P
P
P
P
e−µR Di B+µR Di+1 A · eCB = e−µR Di B+µR Di+1 A · eµR Di B−µR Di+1 B = e−µR Di+1 (B−A) = e−µR Di+1
(C.13)
dato che vale:
si
si+1
−
=1
(C.14)
B−A=
si+1 − si
si+1 − si
1)
2)
Risulta allora possibile moltiplicare i due integrali calcolati per le costanti rimanenti ottenendo
il seguente risultato:
i
SR
(si , si+1 ) =
i
P
P
P
P
(si+1 − si ) h
· −σi+1 Ae−µR Di+1 − σi Be−µR Di + σi+1 Be−µR Di+1 + σi Ae−µR Di +
C
"
#
P
P
(si+1 − si )
e−µR Di+1
e−µR Di
+
· (σi − σi+1 ) ·
−
C
C
C
(C.15)
Infine sostituendo i valori di A e B si ottiene la soluzione finale:
i
SR
(si , si+1 ) =
P
P
σi+1 si+1
σi si
· e−µR Di+1 + P
· e−µR Di −
P
P
P
µR Di − µR Di+1
µR Di − µR Di+1
P
σi si+1
σi+1 si
−µP
D
i
− P
·e R − P
· e−µR Di+1 +
P
P
µR Di − µR Di+1
µR Di − µR Di+1
"
+
−µP
R Di
−µP
R Di+1
e
(σi+1 si+1 − σi si+1 − σi+1 si + σi si )
−e
·
P
P
P
µR Di − µR Di+1
µR Di − µP
R Di+1
(C.16)
#
i
SR
(0, si+1 ) =
P
P
σi · si+1
σi+1 · si+1
· e−µR Di+1 − P
· e−µR Di +
PD
PD
µP
D
−
µ
µ
D
−
µ
R i
R i+1
R i
R i+1
−µP Di
P
σi+1 · si+1
σi · si+1
e R − e−µR Di+1
+
−
·
P
P
P
µP
µP
µP
R Di − µR Di+1
R Di − µR Di+1
R Di − µR Di+1
(C.17)
Per il caso Compton invece si deve tener conto del fatto che il coefficiente di attenuazione
della radiazione primaria µP
C è diverso dal coefficiente di attenuazione della radiazione diffusa
µD
in
quanto
il
coefficiente
di attenuazione massico dipende dall’energia E del fotone, ovvero
C
196
µ = µ (E). Allora µD
C dipende dall’energia della radiazione diffusa e quindi dall’angolo che
viene a formarsi tra il pencil-beam primario e diffuso, secondo l’andamento dato dalla sezione
d’urto differenziale di Klein-Nishina.
D
Quindi dato che µP
C 6= µC , si avrà che:
Di
µC Di = µP
C si + µC di
D
P
µC Di+1 = µC si+1 + µC i+1 di+1
(C.18)
D
i+1
i
poichè come è comprensibile dalla figura C.1 l’angolo tra il fotone primario
in cui µD
C 6= µC
e quello diffuso è diverso dato che si 6= si+1 e quindi saranno diversi anche i coefficienti di
attenuazione lineare.
Interpolando linearmente le sezioni d’urto e le attenuazioni che avvengono all’interno del fantoccio, è possibile calcolare il contributo dello scatter Compton per un generico punto nello
spazio utilizzando lo stesso integrale visto per il caso Rayleigh: unica differenza consite nel
porre attenzione all’esponenziale, diverso in quanto non è possibile raccogliere il coefficiente di
attenuazione lineare.
i
SC
sZi+1
(si , si+1 ) =
s − si
si+1 − s
+ σi+1 ·
σi ·
si+1 − si
si+1 − si
·e
s
−s
− µC Di · s i+1−s +µC Di+1 s
i+1
i
s−si
i+1 −si
ds
si
(C.19)
Le procedure per la risoluzione di questo integrale sono del tutto uguali a quelle mostrate per
il contributo dello scatter Rayleigh; la solo differenza sta nel fatto che ora il coefficiente C
utilizzato nell’integrazione risulta essere più complicato:
Di+1
Di
P
C = (µC Di − µC Di+1 ) = µP
s
+
µ
d
−
µ
s
−
µ
d
i
i
i+1
i+1
C
C
C
C
h
i
(C.20)
D
D
i+1
i
= µP
di+1
C (si − si+1 ) + µC di − µC
Il contributo dovuto allo scattering Compton risulta pertanto essere pari a:
σi si
σi+1 si+1
i
· e−µC Di+1 +
· e−µC Di −
SC
(si , si+1 ) =
µC Di − µC Di+1
µC Di − µC Di+1
σi si+1
σi+1 si
−
· e−µC Di −
· e−µC Di+1 +
µC Di − µC Di+1
µC Di − µC Di+1
(σi+1 si+1 − σi si+1 − σi+1 si + σi si ) e−µC Di − e−µC Di+1
·
+
µC Di − µC Di+1
µC Di − µC Di+1
σi+1 · si+1
σi · si+1
i
SC
(0, si+1 ) =
· e−µC Di+1 −
· e−µC Di +
µC Di − µC Di+1
µC Di − µC Di+1
−µC Di
σi+1 · si+1
− e−µC Di+1
σi · si+1
e
+
−
·
µC Di − µC Di+1
µC Di − µC Di+1
µC Di − µC Di+1
(C.21)
(C.22)
Inifne integrando su tutto il percorso del pencil-beam primario e sommando tutti i contributi
degli N − 1 segmenti costituenti il percorso all’interno del fantoccio del pencil-beam primario
stesso sia per Compton che Rayleigh, lo scatter dovuto a tale pencil-beam per un singolo pixel
del rivelatore risulta essere pari a:
P
P
P
Stot
= SR
+ SC
=
N
−1
X
i
SR
(si , si+1 ) +
i=0
N
−1
X
i
SC
(si , si+1 )
(C.23)
i=0
Allora il contributo della radiazione diffusa su un singolo pixel dovuta alla radiazione primaria
costituita da Npx · Npy pencil-beam primari, nell’ipotesi che tutti i pencil-beam intersechino il
fantoccio, risulta essere:
"
#
Npx ·Npy
Npx ·Npy N −1
N
−1
X
X
X
X
P ixel
P
i
i
Sq
=
Stot =
SR (si , si+1 ) +
SC (si , si+1 )
(C.24)
P =1
P =1
i=0
i=0
197
Infine il contributo dello scatter al primo ordine su tutto il plate è stimato come somma sui
Ndx · Ndy pixel che campionano il detector:

#
Ndx ·Ndy
Ndx ·Ndy Npx ·Npy "N −1
N
−1
X
X
X
X
X
late
i
i

STPOT
=
SqP ixel =
SR
(si , si+1 ) +
SC
(si , si+1 )  (C.25)
q=1
q=1
P =1
i=0
i=0
L’interpolazione e l’integrazione analitica fin qui presentata risulta essere corretta per il caso
in cui C 6= 0. I casi in cui C = 0 si presentano quando il pencil-beam diffuso cade sullo stesso
pixel del pencil-beam primario, oppure in direzione opposta, ovvero quando, definito θ l’angolo
tra il pencil-beam primario e il pencil-beam diffuso, vale θ = 0 o θ = 180.
In questi casi infatti si ha che si + di = si+1 + di+1 , ovvero vale:
C = µ · (Di − Di+1 ) = µ · (si + di − (si+1 + di+1 )) = 0
(C.26)
Allora la risoluzione dell’integrale lungo il tratto [si+1 − si ] può essere effettuata nel seguente
modo:
SR (si , si+1 ) = (si+1 − si ) · e
P
−µP
R Di B+µR Di+1 A
ZB
·
[σi B − σi+1 A + x (σi+1 − σi )] · exC dx
A
= (si+1 − si ) · e
P
−µP
R Di B+µR Di+1 A
ZB
·
[σi B − σi+1 A + x (σi+1 − σi )] dx
A
(C.27)
in cui si è considerato solo il caso dello scatter Rayleigh dato che per il caso Compton fisicamente non è possibile la diffusione nella direzione di propagazione del pencil-beam primario e
nel caso di θ = 180 l’energia del pencil-beam diffuso non risulta essere la stessa del pencil-beam
primario e quindi anche i coefficienti di attenuazione non saranno gli stessi in modo che C 6= 0.
Si definisce allora la quantità η come:
ZB
[σi B − σi+1 A + x (σi+1 − σi )] dx
η=
(C.28)
A
che integrando risulta essere:
η = (B − A) · (σi B − σi+1 A) +
Poiché vale:
2
2
B −A =
si+1
si+1 − si
2
−
B 2 − A2
2
si
si+1 − si
· (σi+1 − σi )
(C.29)
si+1 + si
si+1 − si
(C.30)
· (σi+1 − σi )
(C.31)
2
=
il precedente risultato può essere riscritto come:
σi si+1
σi+1 si
1
η=
−
+ ·
si+1 − si
si+1 − si
2
si+1 + si
si+1 − si
Allora è possibile stimare il contributo dello scatter al primo ordine per un pencil-beam
primario per un intervallo [si+1 − si ]:
P
P
1
(C.32)
SR (si , si+1 ) = e−µR Di B+µR Di+1 A σi si+1 − σi+1 si + · (si+1 + si ) · (σi+1 − σi )
2
che può essere riscritto come:
SR (si , si+1 ) = e
P
−µP
R Di B+µR Di+1 A
(si+1 − si ) · (σi+1 + σi )
2
(C.33)
198
Appendice
D
Regressione Lineare Multipla ed
Inferenza Statistica
La Regressione Lineare Multipla, anche detta Regressione Lineare Multivariata, è un’estensione della regressione lineare semplice in cui esistono molteplici variabili indipendenti.
Si utilizza per analizzare l’effetto che le varie variabili indipendenti {x1 , x2 . . . xk } hanno sulla variabile dipendente y. Quindi per un dato set di variabili indipendenti {x1 , x2 . . . xk },
la regressione lineare multipla stima i parametri che legano le variabili indipendenti a quella
dipendente secondo il seguente modello:
y = β0 + β1 x 1 + β2 x 2 + β3 x 3 + . . . . . . + βk x k + ε
(D.1)
in cui β0 rappresenta l’intercetta della regressione lineare multipla e {β1 , β2 . . . βk } vengono
chiamati parametri del modello.
Per stimare i parametri del modello si assume che i residui, definiti come:
resi = yi − (β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + . . . . . . + βk xk )
(D.2)
σi2 .
seguano una distribuzione con media nulla e varianza uguale a
Allora la stima dei parametri
βi viene effettuata attraverso il criterio di massimoverosimiglianza minimizzando il χ2 . Per il
caso della regressione lineare semplice questo coincide con il seguente calcolo:
χ2 =
n
2
X
(yi − ŷi )
i=1
σi2
(D.3)
dove σi sono gli errori delle variabili indipendenti misurate. Se queste non sono presenti si
pone σi = 1. Per la regressione lineare mutipla le cose si fanno formalmente più complesse ma
l’idea di base rimane la stessa. Per un set di n-osservabili e k-predittori si possono stimare i
parametri β̂i con il metodo dei minimi quadrati risolvendo le seguenti equazioni
P
P
P
β̂0 n
+
β̂1 xn1 +
. . . . . . + β̂k xnk
=
y
P
P 2
P
P n
β̂0 xn1 +
β̂1 xn1 +
. . . . . . + β̂k xn1 xnk =
xn1 yn
(D.4)
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
P
P
P
P
β̂0 xnk + β̂1 xnk xn1 + . . . . . . +
β̂k x2nk =
xn1 yn
Tutto risulta più comprensibile utilizzando una notazione matriciale. Allora il modello risulta
essere semplicemente Y = XB + E dove:








y1
1 x11 x12 · · · x1k
β1
ε1
 y2 
 1 x21 x22 · · · x2k 
 β2 
 ε2 








Y = .  X= .
B= .  E= . 
(D.5)

.
.
.
..
..
.. 
 .. 
 ..
 .. 
 .. 
···
yn
1 xn1 xn2 · · · xnk
βn
εn
200
Regressione Lineare Multipla ed Inferenza Statistica
Allora la stima dei parametri è calcolata come:


β̂1
 β̂2 
−1 t


B̂ =  .  = X t X
X Y
 .. 
(D.6)
β̂n
in cui X t è la matrice trasposta della matrice X. Stimati i parametri come descritto, risulta
possibile effettuare un’inferenza statistica sul modello della regressione lineare adottato per
verificare le seguenti cose:
• adattamento del modello ai dati
• bontà del modello lineare
• significatività dei parametri stimati
Per effettuare questo vengono stimati i residui, definiti come:
yi − ŷi = yi − β̂0 + β̂1 xi1 + β̂2 xi2 + β̂3 xi3 + . . . . . . + β̂k xik
(D.7)
e la somma del quadrato degli errori risulta essere:
h
i2
yi − β̂0 + β̂1 xi1 + β̂2 xi2 + β̂3 xi3 + . . . . . . + β̂k xik
X
X
2
SS (residual) =
(yi − ŷi ) =
σi2
(D.8)
Dato che ci sono k coefficienti, i gradi di libertà per la somma dei quadrati sono n − (k + 1) e
quindi si definiscono le deviazioni standard residue sepsilon come:
s
SS (residual)
sε =
(D.9)
n − (k + 1)
Il coefficiente di determinazione R2 , utilizzato per stimare la bontà di adattamento della
regressione lineare effettuata, viene calcolato come:
R2 =
SS(total) − SS(residual)
SS(total)
(D.10)
P
2
dove SS(total) =
(yi − ȳ) . Tuttavia il parametro da utilizzare per stimare la bontà
2
del modello lineare risulta essere l’Radj
ovvero il coefficiente di determinazione corretto, per
considerare i gradi di libertà del sistema:
2
Radj
= 1 − 1 − R2 ·
(n − 1)
n − (k + 1)
(D.11)
in cui n = numero di osservazioni e k = numero di variabili indipendenti. La deviazione
standard di ogni singolo parametro invece viene calcolata come:
v
u
1
u
sβ̂ρ = sε t P
(D.12)
2
(xij − x̄j ) · 1 − Rx2 ρ
in cui V è l’R2 calcolato con la xj come variabile dipendente e le altre xi come variabili indipendenti. Riassumendo la bontà del modello lineare viene determinata non solo dal valore
2
assunto dall’Radj
(0 per un modello pessimo ed 1 per uno perfetto), ma anche dalle singole
deviazioni standard dei singoli parametri e dall’analisi dei residui, che devono presentarsi a
media nulla e con una distribuzione normale attorno a questa media. Questo perchè tale è
201
l’andamento che ci si aspetta, pena la non validità delle ipotesi fatte stesse con cui si sono
ricavati i parametri del modello lineare. La distribuzione dei residui può essere descritta in
modo molto sintetico e compatto tramite l’utilizzo dei Box-Plot. Quelli riportati in questa tesi
sono stati generati con OriginLab 8 e di seguito viene riportata la legenda per una migliore
comprensione dei risultati [31].
Figura D.1: Legenda di un Box-Plot
Una volta valutata, sulla base dell’analisi dei residui, l’adeguatezza del modello di regressione lineare multipla, è possibile verificare se ci sia una relazione significativa tra la variabile
dipendente e l’insieme delle variabili indipendenti. Dal momento che si è in presenza di più
di una variabile esplicativa, l’ipotesi nulla e quella alternativa vanno specificate nella maniera
seguente:
• H0 : βi = 0 ∀ i (Non vi è alcuna relazione lineare tra la variabile dipendente e le variabili
esplicative.)
• H1 : almeno βi 6= 0 (Vi è almeno una relazione lineare tra la variabile dipendente e una
delle variabili esplicative.)
Come nel caso del modello di regressione lineare semplice, tale problema di verifica di ipotesi
viene risolto ricorrendo al test F. Questo test, utilizato dall’ANOVA restituisce i valori F-value
che vengono poi utilizzati dal test ANOVA per ottenere il p-value relativo alla significatività
del modello lineare. Definito un livello di significatività critica α, che tipicamente risulta essere
α = 0, 005, si confronta il p-value restituita dall’ANOVA per il modello adottato; se p−value ≤
α allora il modello adottato presenta una confidenza del 95%, mentre se p − value ≥ α allora
il modello non è significativo per il 95%. L’accettazione della significatività del modello come
si può ben capire dipende quindi dal valore α che viene usato nel confronto con il p-value del
modello lineare stesso.
Per stimare invece la significatività di ogni singolo parametro ci si riferisce al test t-Student
per ottenere i p-value relativi ai singoli parametri del modello lineare. Anlogamente a quanto
detto per la significatività del modello in generale, anche per i parametri singoli, il p-value
viene confrontato con un livello critico che tipicamente è 0.05. Se il p-value del parametro è
sopra tale livello il parametro stesso può essere tolto dal modello lineare adottato perchè il suo
contributo è ininfluente.
202
Regressione Lineare Multipla ed Inferenza Statistica
Appendice
E
Immagini delle Simulazioni
E.1
Immagini delle varie tipologie di fantoccio
Di seguito vengono inserite le immagini relative a delle simulazioni con le diverse tipologie di
fantoccio (cilindro, cilindro ellittico, sfera, ellissoide e parallelepipedo) aventi tutte la tipologia
di rivelatore piano.
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) htbp
(d) Piano ZY
Figura E.1: Fantoccio cilindrico
204
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.2: Fantoccio cilindrico ellittico
E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio
205
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.3: Fantoccio sferico
206
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.4: Fantoccio ellissoide
E.1 Immagini delle varie tipologie di fantoccio
207
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.5: Fantoccio parallelepipedo
208
E.2
Immagini delle varie tipologie del rivelatore
Si mostrano ora le immagini relative a simulazioni effettuate con diverse tipologie di rivelatore (superficie cilindrica SID, superficie cilindrica IDD e piano) con fantoccio di tipologia
cilindrica. Le altre tipologie di rivelatori (lineare a segmento, lineare a corona e puntuale) sono
casi degeneri di queste principali tipologie.
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.6: Rivelatore con superficie cilindrica (SID)
E.2 Immagini delle varie tipologie del rivelatore
209
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.7: Rivelatore con superficie cilindrica (IDD)
210
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
(d) Piano ZY
Figura E.8: Rivelatore con superficie piana
E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione
E.3
211
Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
Figura E.9: Rivelatore maggiore della base del fascio di Raggi-X
212
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
Figura E.10: Rivelatore minore della base del fascio di Raggi-X; si nota anche il primo punto
diffusore e la radiazione diffusa che cade sul rivelatore stesso
E.3 Immagini delle varie tipologie di calcolo di simulazione
(a) 3D
(b) Piano XY
(c) Piano ZX
Figura E.11: Esempio di Ray-tracing che non interseca il fantoccio
213
214
Appendice
F
Tabella dei Dati necessari al
funzionamento del Software
Vengono di seguito riportate alcune tabelle riguardanti i dati necessari al funzionamento
del Software sviluppato. Non sono stati riportati tutti i dati del database del programma in
quanto si è deciso di mostrare solo alcune tabelle a titolo di esempio. Infatti i coefficienti
massici e le funzioni di scatter incoerente ed i fattori di forma atomici presenti nei file .xls del
software si presentano esattamente in questa forma e sono stati convertiti in questo formato a
partire dai formati presenti nei database della libreria EPDL97 e X-COM NIST per permettere
all’utente una migliore comprensione ed una rapida verifica dei dati richiesti in fase di input.
Vengono riportate le tabelle relative ai coefficienti massici dei principali materiali di interesse
dosimetrico e a titolo di esempio le tabelle relative alla funzione di scatter incoerente ed il
fattore di forma atomico delli idorgeno e del carbonio.
Tutti i dati relativi ad altri materiali ed elementi sono tuttavia reperibili in [29] e [30].
216
Tabella dei Dati necessari al funzionamento del Software
Aria Secca
Energia
[M eV ]
1,00E-03
1,50E-03
2,00E-03
3,00E-03
3,20E-03
3,20E-03
4,00E-03
5,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,25E+00
1,50E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
8,00E+00
1,00E+01
1,50E+01
2,00E+01
µ/ρ
[cm2 /g]
3,6060E+03
1,1910E+03
5,2790E+02
1,6250E+02
1,3400E+02
1,4850E+02
7,7880E+01
4,0270E+01
2,3410E+01
9,9210E+00
5,1200E+00
1,6140E+00
7,7790E-01
3,5380E-01
2,4850E-01
2,0800E-01
1,8750E-01
1,6620E-01
1,5410E-01
1,3560E-01
1,2330E-01
1,0670E-01
9,5490E-02
8,7120E-02
8,0550E-02
7,0740E-02
6,3580E-02
5,6870E-02
5,1750E-02
4,4470E-02
3,5810E-02
3,0790E-02
2,7510E-02
2,5220E-02
2,2250E-02
2,0450E-02
1,8100E-02
1,7050E-02
(µ/ρ)en
[cm2 /g]
3,5990E+03
1,1880E+03
5,2620E+02
1,6140E+02
1,3300E+02
1,4600E+02
7,6360E+01
3,9310E+01
2,2700E+01
9,4460E+00
4,7420E+00
1,3340E+00
5,3890E-01
1,5370E-01
6,8330E-02
4,0980E-02
3,0410E-02
2,4070E-02
2,3250E-02
2,4960E-02
2,6720E-02
2,8720E-02
2,9490E-02
2,9660E-02
2,9530E-02
2,8820E-02
2,7890E-02
2,6660E-02
2,5470E-02
2,3450E-02
2,0570E-02
1,8700E-02
1,7400E-02
1,6470E-02
1,5250E-02
1,4500E-02
1,3530E-02
1,3110E-02
Acqua Liquida
Energia
[M eV ]
1,00E-03
1,50E-03
2,00E-03
3,00E-03
4,00E-03
5,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,25E+00
1,50E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
8,00E+00
1,00E+01
1,50E+01
2,00E+01
µ/ρ
[cm2 /g]
4,08E+03
1,38E+03
6,17E+02
1,93E+02
8,28E+01
4,26E+01
2,46E+01
1,04E+01
5,33E+00
1,67E+00
8,10E-01
3,76E-01
2,68E-01
2,27E-01
2,06E-01
1,84E-01
1,71E-01
1,51E-01
1,37E-01
1,19E-01
1,06E-01
9,69E-02
8,96E-02
7,87E-02
7,07E-02
6,32E-02
5,75E-02
4,94E-02
3,97E-02
3,40E-02
3,03E-02
2,77E-02
2,43E-02
2,22E-02
1,94E-02
1,81E-02
(µ/ρ)en
[cm2 /g]
4,07E+03
1,37E+03
6,15E+02
1,92E+02
8,19E+01
4,19E+01
2,41E+01
9,92E+00
4,94E+00
1,37E+00
5,50E-01
1,56E-01
6,95E-02
4,22E-02
3,19E-02
2,60E-02
2,55E-02
2,76E-02
2,97E-02
3,19E-02
3,28E-02
3,30E-02
3,28E-02
3,21E-02
3,10E-02
2,97E-02
2,83E-02
2,61E-02
2,28E-02
2,00E-02
1,84E-02
1,73E-02
1,58E-02
1,48E-02
1,35E-02
1,28E-02
217
Polimetimetacrilato
Energia
[M eV ]
1,000E-03
1,500E-03
2,000E-03
3,000E-03
4,000E-03
5,000E-03
6,000E-03
8,000E-03
1,000E-02
1,500E-02
2,000E-02
3,000E-02
4,000E-02
5,000E-02
6,000E-02
8,000E-02
1,000E-01
1,500E-01
2,000E-01
3,000E-01
4,000E-01
5,000E-01
6,000E-01
8,000E-01
1,000E+00
1,250E+00
1,500E+00
2,000E+00
3,000E+00
4,000E+00
5,000E+00
6,000E+00
8,000E+00
1,000E+01
1,500E+01
2,000E+01
µ/ρ
[cm2 /g]
2,794E+03
9,153E+02
4,037E+02
1,236E+02
5,247E+01
2,681E+01
1,545E+01
6,494E+00
3,357E+00
1,101E+00
5,714E-01
3,032E-01
2,350E-01
2,074E-01
1,924E-01
1,751E-01
1,641E-01
1,456E-01
1,328E-01
1,152E-01
1,031E-01
9,410E-02
8,701E-02
7,641E-02
6,870E-02
6,143E-02
5,591E-02
4,796E-02
3,844E-02
3,286E-02
2,919E-02
2,659E-02
2,317E-02
2,105E-02
1,820E-02
1,684E-02
(µ/ρ)en
[cm2 /g]
2,788E+03
9,131E+02
4,024E+02
1,228E+02
5,181E+01
2,627E+01
1,498E+01
6,114E+00
3,026E+00
8,324E-01
3,328E-01
9,645E-02
4,599E-02
3,067E-02
2,530E-02
2,302E-02
2,368E-02
2,657E-02
2,872E-02
3,099E-02
3,185E-02
3,206E-02
3,191E-02
3,116E-02
3,015E-02
2,882E-02
2,755E-02
2,533E-02
2,210E-02
1,995E-02
1,843E-02
1,731E-02
1,579E-02
1,482E-02
1,348E-02
1,282E-02
Tessuto-Osseo B-100
Energia
[M eV ]
1,00E-03
1,50E-03
2,00E-03
3,00E-03
4,00E-03
4,04E-03
4,04E-03
5,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,25E+00
1,50E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
8,00E+00
1,00E+01
1,50E+01
2,00E+01
µ/ρ
[cm2 /g]
3,21E+03
1,08E+03
4,88E+02
1,54E+02
6,72E+01
6,54E+01
2,25E+02
1,30E+02
7,94E+01
3,62E+01
1,94E+01
6,22E+00
2,80E+00
9,75E-01
5,18E-01
3,51E-01
2,74E-01
2,08E-01
1,79E-01
1,48E-01
1,33E-01
1,14E-01
1,01E-01
9,23E-02
8,53E-02
7,48E-02
6,72E-02
6,01E-02
5,47E-02
4,71E-02
3,80E-02
3,28E-02
2,94E-02
2,70E-02
2,40E-02
2,22E-02
1,99E-02
1,89E-02
(µ/ρ)en
[cm2 /g]
3,20E+03
1,08E+03
4,86E+02
1,53E+02
6,62E+01
6,44E+01
2,01E+02
1,18E+02
7,29E+01
3,36E+01
1,81E+01
5,69E+00
2,45E+00
7,34E-01
3,12E-01
1,65E-01
1,01E-01
5,37E-02
3,86E-02
3,03E-02
2,98E-02
3,08E-02
3,14E-02
3,15E-02
3,13E-02
3,05E-02
2,95E-02
2,82E-02
2,69E-02
2,48E-02
2,18E-02
1,99E-02
1,86E-02
1,77E-02
1,64E-02
1,57E-02
1,48E-02
1,44E-02
218
Tessuto-Polmonare
Energia
[M eV ]
1,00E-03
1,04E-03
1,07E-03
1,07E-03
1,50E-03
2,00E-03
2,15E-03
2,15E-03
2,30E-03
2,47E-03
2,47E-03
2,64E-03
2,82E-03
2,82E-03
3,00E-03
3,61E-03
3,61E-03
4,00E-03
5,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,25E+00
1,50E+00
2,00E+00
3,00E+00
µ/ρ
[cm2 /g]
3,80E+03
3,47E+03
3,16E+03
3,18E+03
1,28E+03
5,75E+02
4,71E+02
4,75E+02
3,88E+02
3,17E+02
3,23E+02
2,67E+02
2,20E+02
2,25E+02
1,89E+02
1,10E+02
1,13E+02
8,31E+01
4,30E+01
2,50E+01
1,06E+01
5,46E+00
1,72E+00
8,32E-01
3,82E-01
2,70E-01
2,27E-01
2,05E-01
1,83E-01
1,70E-01
1,49E-01
1,36E-01
1,18E-01
1,05E-01
9,61E-02
8,88E-02
7,80E-02
7,01E-02
6,27E-02
5,71E-02
4,90E-02
3,94E-02
(µ/ρ)en
[cm2 /g]
3,79E+03
3,46E+03
3,16E+03
3,17E+03
1,28E+03
5,73E+02
4,69E+02
4,73E+02
3,87E+02
3,15E+02
3,21E+02
2,65E+02
2,19E+02
2,23E+02
1,87E+02
1,09E+02
1,11E+02
8,18E+01
4,21E+01
2,43E+01
1,01E+01
5,07E+00
1,42E+00
5,74E-01
1,64E-01
7,29E-02
4,39E-02
3,28E-02
2,63E-02
2,55E-02
2,75E-02
2,95E-02
3,17E-02
3,25E-02
3,27E-02
3,26E-02
3,18E-02
3,08E-02
2,94E-02
2,81E-02
2,59E-02
2,26E-02
Tessuto-Osseo-Corticale
Energia
[M eV ]
1,00E-03
1,04E-03
1,07E-03
1,07E-03
1,50E-03
2,00E-03
2,15E-03
2,15E-03
2,30E-03
2,47E-03
2,47E-03
2,64E-03
2,82E-03
2,82E-03
3,00E-03
3,61E-03
3,61E-03
4,00E-03
5,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,25E+00
1,50E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
8,00E+00
1,00E+01
1,50E+01
2,00E+01
µ/ρ
[cm2 /g]
3,71E+03
3,39E+03
3,09E+03
3,10E+03
1,25E+03
5,60E+02
4,58E+02
4,65E+02
3,80E+02
3,10E+02
3,16E+02
2,61E+02
2,16E+02
2,19E+02
1,84E+02
1,07E+02
1,11E+02
8,16E+01
4,22E+01
2,46E+01
1,04E+01
5,38E+00
1,70E+00
8,23E-01
3,79E-01
2,69E-01
2,26E-01
2,05E-01
1,82E-01
1,69E-01
1,49E-01
1,36E-01
1,18E-01
1,05E-01
9,60E-02
8,87E-02
7,79E-02
7,01E-02
6,27E-02
5,70E-02
4,90E-02
3,93E-02
3,37E-02
3,00E-02
2,74E-02
2,40E-02
2,19E-02
1,92E-02
1,79E-02
(µ/ρ)en
[cm2 /g]
3,70E+03
3,38E+03
3,08E+03
3,09E+03
1,25E+03
5,58E+02
4,57E+02
4,63E+02
3,78E+02
3,09E+02
3,14E+02
2,59E+02
2,14E+02
2,17E+02
1,82E+02
1,06E+02
1,09E+02
8,03E+01
4,14E+01
2,39E+01
9,94E+00
4,99E+00
1,40E+00
5,66E-01
1,62E-01
7,22E-02
4,36E-02
3,26E-02
2,62E-02
2,55E-02
2,75E-02
2,94E-02
3,16E-02
3,25E-02
3,27E-02
3,25E-02
3,18E-02
3,07E-02
2,94E-02
2,81E-02
2,58E-02
2,26E-02
2,05E-02
1,90E-02
1,79E-02
1,64E-02
1,55E-02
1,42E-02
1,36E-02
219
H(Idrogeno)
X
S(X,Z)
1,00E+01 4,41E-13
1,00E+02 4,41E-11
1,00E+03 4,41E-09
1,00E+04 4,41E-07
1,00E+05 4,41E-05
5,00E+05 1,10E-03
1,00E+06 4,41E-03
1,50E+06 9,89E-03
2,00E+06 1,75E-02
2,50E+06 2,72E-02
3,00E+06 3,88E-02
3,75E+06 5,98E-02
4,00E+06 6,77E-02
4,75E+06 9,38E-02
5,00E+06 1,03E-01
5,88E+06 1,39E-01
6,63E+06 1,73E-01
7,00E+06 1,90E-01
7,88E+06 2,33E-01
8,00E+06 2,39E-01
8,63E+06 2,71E-01
9,00E+06 2,90E-01
9,75E+06 3,29E-01
1,00E+07 3,43E-01
1,06E+07 3,75E-01
1,16E+07 4,24E-01
1,25E+07 4,71E-01
1,36E+07 5,25E-01
1,45E+07 5,68E-01
1,50E+07 5,89E-01
1,61E+07 6,35E-01
1,70E+07 6,71E-01
1,75E+07 6,89E-01
1,88E+07 7,31E-01
2,00E+07 7,69E-01
2,13E+07 8,02E-01
2,22E+07 8,24E-01
2,29E+07 8,39E-01
2,36E+07 8,53E-01
2,43E+07 8,66E-01
2,50E+07 8,78E-01
2,63E+07 8,96E-01
2,72E+07 9,08E-01
2,79E+07 9,16E-01
2,91E+07 9,28E-01
2,93E+07 9,31E-01
3,00E+07 9,37E-01
3,18E+07 9,50E-01
X
0,00E+00
1,00E+05
5,00E+05
1,00E+06
1,50E+06
2,00E+06
2,50E+06
3,00E+06
3,75E+06
4,00E+06
4,75E+06
5,00E+06
5,88E+06
6,63E+06
7,00E+06
7,88E+06
8,00E+06
8,63E+06
9,00E+06
9,75E+06
1,00E+07
1,06E+07
1,16E+07
1,25E+07
1,36E+07
1,45E+07
1,50E+07
1,61E+07
1,70E+07
1,75E+07
1,88E+07
2,00E+07
2,13E+07
2,22E+07
2,29E+07
2,36E+07
2,43E+07
2,50E+07
2,63E+07
2,72E+07
2,79E+07
2,91E+07
2,93E+07
3,00E+07
3,18E+07
3,25E+07
3,33E+07
3,50E+07
F(X,Z)
1,00E+00
1,00E+00
9,99E-01
9,98E-01
9,95E-01
9,91E-01
9,86E-01
9,80E-01
9,70E-01
9,66E-01
9,52E-01
9,47E-01
9,28E-01
9,10E-01
9,00E-01
8,76E-01
8,72E-01
8,54E-01
8,42E-01
8,19E-01
8,11E-01
7,90E-01
7,59E-01
7,27E-01
6,89E-01
6,57E-01
6,41E-01
6,04E-01
5,73E-01
5,58E-01
5,19E-01
4,81E-01
4,45E-01
4,19E-01
4,01E-01
3,83E-01
3,66E-01
3,50E-01
3,22E-01
3,03E-01
2,89E-01
2,67E-01
2,63E-01
2,51E-01
2,23E-01
2,13E-01
2,02E-01
1,81E-01
C(Carbonio)
X
S(X,Z)
1,00E+01 1,30E-12
1,00E+02 1,30E-10
1,00E+03 1,30E-08
1,00E+04 1,30E-06
1,00E+05 1,30E-04
5,00E+05 3,25E-03
6,25E+05 5,07E-03
7,19E+05 6,71E-03
8,15E+05 8,64E-03
8,81E+05 1,01E-02
9,60E+05 1,20E-02
1,00E+06 1,30E-02
1,50E+06 2,95E-02
2,00E+06 5,16E-02
2,25E+06 6,52E-02
2,50E+06 8,05E-02
3,00E+06 1,16E-01
3,50E+06 1,56E-01
4,00E+06 2,02E-01
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http://www.originlab.com/
available on
Ringraziamenti
Giunto al termine di questo lavoro desidero ringraziare ed esprimere la mia riconoscenza
nei confronti di tutte le persone che, in modi diversi, mi sono state vicine e hanno permesso
e incoraggiato sia i miei studi che la realizzazione e stesura di questa tesi. I miei più sentiti
ringraziamenti vanno a chi mi ha seguito durante la redazione del lavoro di tesi:
• Prof. Aldo Valentini che con la sua disponibilità, pazienza e cortesia mi ha permesso di
scrivere questo lavoro di tesi, mostrandosi un persona eccezionale, non solo da un punto
di vista lavorativo ma anche umano. Grazie Professore, veramente di cuore, per aver
dedicato tempo a questa tesi ed essere stato esempio e guida per il mio lavoro.
• Prof. Renzo Antolini che con pazienza e consigli mi ha seguito nella stesura e presentazione di questa tesi.
Desidero ringraziare anche tutto il reparto di Fisica Sanitaria dell’Ospedale S.Chiara di Trento
che quotidianamente ho disturbato e dove ho trovato persone disponibili, gentili e competenti.
Con loro mi sono trovato veramente bene.
Per ultimi, ma di certo non per importanza, ringrazio la mia famiglia, Elena e gli amici che
mi sono stati molto vicini in tutti questi anni: oltre ad avermi sempre supportato mi hanno
più di tutto sopportato.

D. Ravanelli

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