Esame scritto 2/2/2015

Calcolo delle Probabilità , Anno Accademico 2014-2015 , 02/02/2015.
•
•
•
•
Esame scritto
L’uso di testi, appunti, formulari e gadget elettronici non è autorizzato.
Motivare chiaramente i procedimenti e i risultati proposti nei fogli protocollo.
Avete 2 ore di tempo a disposizione.
Soltanto nei punti dove è scritto di calcolare esplicitamente la
soluzione bisogna svolgere i calcoli e dare la soluzione al più come
numero frazionario a/b con a, b numeri interi calcolati esplicitamente.
FORMULARIO
• Se X è v.a. binomiale di parametri n, p, allora E(X) = np, V ar(X) =
np(1 − p).
• Se X è v.a. geometrica di parametro p, allora E(X) = 1/p, V ar(X) =
(1 − p)/p2 .
• Se X è v.a. di Poisson con parametro λ, allora E(X) = λ, V ar(X) =
λ.
• Se X è v.a. ipergeometrica di parametri n, N, m (tipo: estraggo
senza rimpiazzo n palline da un’urna con m palline bianche e N −
m palline nere e X è il numero di palline bianche estratte) allora
−n
E(X) = nm/N e V ar(X) = N
N −1 np(1 − p) dove p = m/N .
• Se X è v.a. binomiale negativa di parametri r, p, allora E(X) = r/p
e V ar(X) = r(1 − p)/(p2 )
ESERCIZIO 1. Pierpaolo, il suo fratellino Lorenzo e la mamma vanno al
parco di Villa Torlonia (il papà rimane a casa a lavare i piatti). Pierpaolo
vuole portare con sé un giocattolo. Sulla scrivania della camera vi sono 3
dinosauri e 2 automobiline. Pierpaolo prende a caso due giocattoli tra questi
5. La mamma sa che anche Lorenzo poi vorrà un giocattolino quindi va in
camera e prende a caso un giocattolino dai 3 rimasti sulla scrivania e se lo
mette in tasca.
Arrivati a Villa Torlonia Lorenzo dice: “Ora voglio giocare con un’automobilina”. La mamma allora tira fuori dalla tasca il giocattolino che gli
aveva preso, con un brivido di terrore pensando ai pianti disperati del bimbo
nel caso non sia un’automobilina.
(a) Calcolare esplicitamente la probabilità che la mamma abbia preso
un’automobilina.
(b) Sapendo che la mamma ha preso un’automobilina, calcolare esplicitamente la probabilità che Pierpaolo abbia preso 2 dinosauri.
ESERCIZIO 2. Pierpaolo e Lorenzo hanno entrambi una confezione di
12 matite colorate. Pierpaolo ha le matite di marca Giotto e Lorenzo ha le
matite di marca Fila. Vogliono preparare un bel disegno e mettono tutte le
loro matite sul tavolo. Finito il disegno riordinano le matite frettolosamente,
1
mettendo a caso 12 matite nell’astuccio di Pierpaolo e 12 matite nell’astuccio
di Lorenzo.
(a) Determinare la probabilità che alla fine Pierpaolo si ritrovi con tutte
le sue matite Giotto e Lorenzo con tutte le sue matite Fila.
(b) Determinare il valore atteso del numero di matite Giotto che alla
fine vengono messe nell’astuccio di Pierpaolo.
ESERCIZIO 3. Vi sono 8 bambini che vanno a giocare in una ludoteca.
La ludoteca ha 4 stanze (chiamate S1 , S2 , S3 , S4 ) e ogni bambino sceglie a
caso, indipendentemente dagli altri, la stanza dove andare a giocare.
(a) Calcolare esplicitamente media e varianza del numero di bambini che
hanno scelto la stanza S1 .
(b) Chiamato Nk il numero di bambini che scelgono Sk , dire se le variabili aleatorie N1 , N2 , N3 sono indipendenti motivando la risposta.
(c) Sapendo che nessun bambino ha scelto la stanza S4 , determinare la
probabilità che nessun bambino abbia scelto la stanza S1 (non serve
svolgere tutti i calcoli).
(d) Calcolare esplicitamente la media del numero di stanze che sono state
scelte da esattamente 2 bambini.
TRACCIA DELLE SOLUZIONI
ESERCIZIO 1. Sia Fk l’evento che Pierpaolo ha preso k automobiline e
sia E l’evento che la mamma ha preso un’automobilina.
P
(32)
3
,
= 10
(a) Abbiamo P (E) =
P
(F
)P
(E|F
).
Ho
P
(F
)
=
0
k
k
k=0,1,2
(52)
1
= 6/10, P (F2 ) = 15 = 10
. Quindi
P (F1 ) = 2·3
(52)
(2)
3 2 6 1
2
P (E) = P (F0 )P (E|F0 )+P (F1 )P (E|F1 )+P (F2 )P (E|F2 ) =
+
+0 =
10 3 10 3
5
esattamente come se la mamma fosse stata la prima a prendere il giocattolo
(e poi Pierpaolo). questo si puo’ provare anche con argomenti di simmetria.
(b) Abbiamo
P (F0 |E) =
P (F0 )P (E|F0 )
(3/10)(2/3)
P (E ∩ F0 )
=
=
= 1/2
P (E)
P (E)
2/5
ESERCIZIO 2.
1
(a) p = 24
. Come spazio campionario infatti prendiamo l’insieme delle 12
(12)
matite messe alla fine nell’astuccio
di Pierpaolo, tale spazio ha esiti equipro
24
babili e cardinalità 12 .
(b) Chiamo X il numero di matite Giotto che alla fine vengono messe nell’astuccio di Pierpaolo. X è v.a. ipergeometrica di parameteri N = 24,
m = 12, n = 12. Quindi E(X) = nm/N = 12 · 12/24 = 6.
2
ESERCIZIO 3.
(a) Sia X il numero di bambini che hanno scelto la stanza S1 . Ogni bambino sceglie la stanza S1 con probabilità 1/4, indipendentemente dagli altri
bambini. Quindi X = Bin(8, 1/4). Ne deriva che E(X) = 8(1/4) = 2 e
V ar(X) = 8(1/4)(3/4) = 3/2.
(b) Le variabili aleatorie non sono indipendenti. Infatti sia Ak l’evento che
tutti i bambini hanno scelto Sk (quindi Ak := {Nk = 8}). Se fossero indipendenti avremmo in particolare che P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 ), mentre
abbiamo A1 ∩ A2 = ∅ e quindi P (A1 ∩ A2 ) = 0, e abbiamo P (A1 ) = P (A2 ) =
(1/4)8 > 0. Quindi non puo’ essere P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 ).
(c) Sia F l’evento “nessun bambino ha scelto S4 ” e sia E l’evento “nessun
)
8
bambino ha scelto S1 ”. Abbiamo P (E|F ) = P P(E∩F
(F ) . Inoltre P (F ) = (3/4)
(ogni bambino sceglie S1 , S2 o S3 ), mentre P (E ∩F ) = (1/2)8 (ogni bambino
sceglie S2 o S3 ). Quindi
P (E|F ) =
P (E ∩ F )
(1/2)8
16 · 16
256
28
4·4·4·4
=
=
=
.
=
=
8
8
P (F )
(3/4)
3
9·9·9·9
81 · 81
6561
(d) Chiamo N il numero di stanze scelte esattamente da 2 bambini. Posso
P
scrivere N = 4i=1 Zi dove
(
1 se esattamente 2 bimbi hanno scelto Si
Zi :=
0 altrimenti
6
Si noti che P (Zi = 1) = 82 (1/4)2 (3/4)6 = 28 348 . Per linearità del valore
atteso abbiamo
4
X
36
9·9·9
5103
36
=
E(Zi ) = 4 · 28 8 = 7 6 = 7
E(N ) =
4
4
16 · 16 · 16
4096
i=1
3