Regolatori standard Quando siamo in presenza di sistemi stabili
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Regolatori standard Quando siamo in presenza di sistemi stabili
Regolatori standard Quando siamo in presenza di sistemi stabili come reti correttrici si utilizzano i regolatori standard che sono prodotti in serie dall’industria. In generale questi regolatori sono composti dalla rete correttrice e da un amplificatore regolazione automatica. Le applicazioni belliche,la corsa allo spazio e la più recente rivoluzione tecnologica hanno portato ad un enorme sviluppo del campo dell'Automatica con applicazioni che spaziano dai processi industriali alla robotica, dall'elettronica all'economia,dall 'aeronautica alla biologia. Regolatore on off Questo regolatore può assumere solo 2 posizioni aperto o chiuso come per esempio il contatto da un corto circuito. Vediamo un applicazione per il controllo della temperatura di un forno Il segnale d’ingresso del regolatore è: e(t)=vrif - vmis; il segnale d’uscita lo indichiamo con x(t). I regolatori standard sono di 5 tipi: 1. Controllo ON-OFF Il più semplice sistema di controllo automatico è il controllo ON-OFF. Un controllo ON-OFF prevede solo due posizioni di controllo, cioè solo due possibili valori per la variabile manipolata. I controllori posso essere di tipo pneumatico, elettrici o elettronici. 2. Controllo proporzionale Attiva gli organi di controllo in maniera proporzionale dal di scostamento del set point. Il controllore oscilla intorno al set point fino al valore che ritiene adeguato, ma il set point non sarà mai raggiunto. Viene usato quando la misura deve oscillare intorno ad un range. 3. Controllo proporzionale + integrale (PI) Sommando le due caratteristiche è possibile ottenere un regolatore i grado di reagire in modo adeguato all’eventuale scostamento e di ripristinare il valore della grandezza regolata esattamente al set point. Unendo le due azioni, si eliminano i difetti dei singoli regolatori. 4. Controllo proporzionale + derivativo (PD) Il miglioramento avviene solo nella prontezza della risposta alla variazione verificatasi. Anche impiegando un regolatore PD si possono avere spostamenti permanenti. 5. Controllo proporzionale + integrale + derivativo (PID) Reagisce velocemente a spostamenti rapidi e improvvisi. Risulta più efficace del PI e del PD. Fondamentale nel funzionamento del motore di Watt fu un regolatore automatico della velocità dell'albero motore che sfruttava la forza centrifuga (fly-ball governor) basato sul principio della retroazione (feedback). Questo apparecchio, serve a mantenere costante il numero dei giri di un motore. Il Pendolo di Watt è costituito da due masse poste in rotazione da un albero rotante. Per effetto della forza centrifuga le masse tendono ad allontanarsi dall'asse di rotazione, ma il loro allontanamento è contrastato da un sistema di molle o dalla forza di gravità terrestre attraverso un sistema articolato. Un sistema di leve trasforma lo spostamento radiale delle masse nello scorrimento assiale di un collare. Una leva preleva quest'ultimo spostamento per trasferirlo all'organo da controllare, che può essere una valvola di regolazione di combustibile, di vapore o di acqua in una condotta forzata e compensa l’errore. Era nato il primo dispositivo di controllo automatico industriale della storia. Il regolatore che Watt adottò nel 1787 venne chiamato "governor". Ci vollero quasi cento anni perchè James Maxwell, lo scopritore delle leggi dell'elettromagnetismo,facesse la prima analisi matematica dei "governors" inclusi quelli in cui l'attrito era aumentato proporzionalmente alla velocità (moderators ). Ma fu solo verso il 1930 che, motivati da applicazioni telefoniche, Blake, Bode e Nyquist svilupparono le prime tecniche per l'analisi ed il progetto dei sistemi di Per effetto dell’inerzia termica il segnale vb oscilla intorno alla posizione di equilibrio di una certa ampiezza dovuta al fatto che nel momento in cui non si fa passare corrente nella resistenza la stessa risulta ancora incandescente e per un certo periodo riscalda ancora il forno e viceversa quando la resistenza è fredda . La caratteristica del regolatore presenta un ciclo di isteresi ossia un’attivazione e una disattivazione posta in punti differenti S1 e S2. I controllori ON/OFF presentano i seguenti parametri regolabili: • Set Point Imposta il valore desiderato della variabile controllata. • Ampiezza del ciclo di isteresi Bisogna stabilire una fascia, intorno al Set Point, di valori tollerabili. Ciò che si imposta è il valore del differenziale ∆ . S1 S2 Set Point=20° Set Point=18° ∆=S2-S1 ∆=S2-S1 L'uscita di un sistema controllato con il metodo On-Off assumerà un andamento oscillatorio infinito; in pratica la variabile controllata assume il valore di set-point solo in intervalli infinitesimi. SP On Off On Off On La temperatura, perciò, oscillerà intorno al Set point Ciò fa si che la precisione risulti tanto maggiore quanto minore è il differenziale ∆. Off All'istante t1, quando la temperatura del liquido è uguale a TREF1, l'amplificatore di potenza va nello stato di OFF ma SP la temperatura del liquido continua ad aumentare a causa dell'inerzia termica del t1 t2 riscaldatore. Si tenga presente che il flusso di calore verso l'ambiente non può essere t interrotto istantaneamente a causa dell'energia termica accumulata nel riscaldatore. Successivamente la temperatura diminuisce per effetto della dispersione del calore attraverso le pareti e all'istante t2, quando è T< TREF2, il circuito di potenza torna nello stato di ON. La temperatura del liquido, tuttavia, continua a diminuire perché in un primo momento la potenza erogata dall'amplificatore è assorbita dal riscaldatore ed è utilizzata per aumentare la sua temperatura. Successivamente la temperatura del riscaldatore diviene maggiore di quella del liquido nel quale esso è immerso e, quindi, una parte della quantità di calore viene trasmessa dal riscaldatore all'ambiente circostante con conseguente aumento della temperatura del liquido. t Regolatore Regolatore proporzionale Senza regolatore un sistema risponde molto lentamente, e potrebbe non raggiungere mai il valore desiserato; per questo motivo si inseriscono dei regolatori PID. Riducendo il differenziale ∆ si migliora la precisione del controllo ma il regolatore si attiverà più spesso con conseguente usura dei dispositivi elettromecanici. SP On On Off On Off On Off On Off Off t In un regolatore ad azione proporzionale il legame tra il segnale presente alla sua uscita m(t} ed il segnale differenza e(t) applicato al suo ingresso è espresso da una relazione del tipo: x(t)=Kp*e(t) Sistemi ad elevata inerzia. In pratica fornisce un segnale proporzionale all’errore Quando il sistema di riscaldamento viene messo in funzione, la temperatura del liquido contenuto nel serbatoio è minore di quella desidera e,, pertanto, l'amplificatore eroga la massima potenza (stato di ON). Dove kp è un parametro costante caratteristico del regolatore e coincide con la funzione di trasferimento del regolatore. Gr (t ) = X (t ) = kp e (t ) Sempre per sistemi di Tipo 0 il regolatore non è in grado di annullare completamente l’azione di un disturbo che farà variare la variabile controllata I parametri caratteristici sono: • Campo proporzionale • Banda di azione • Banda proporzionale La banda di proporzionalità (BP), definita come: BP= 100% / K Grafico di Bode Spostando verso l’alto il diagramma di Bode aumenta la posizione di cross over e il sistema diventa più veloce . Aumentando Kp c Essa rappresenta il valore % dell’ingresso che produce un incremento unitario sull’uscita. Esempio: Un controllore con B = 25% sviluppa un incremento unitario dell’uscita in corrispondenza di un incremento di 0.25 dell’ingresso. 0dB f Lo svantaggio è che l’aumento della costante che ne deriva sul diagramma di Bode può portare all’instabilità del sistema perché il diagramma della Gol trasla verso l’alto Aumentando Kp Esempi di risposte Permane un consistente errore Per progettare un regolatore proporzionale si sceglie un valore di compromesso di kp in modo di avere il sistema con buone caratteristiche di velocità ma stabile. Un altro svantaggio del regolatore proporzionale nel caso di un piccolo disturbo esso non corregge completamente l’errore (Nei sistemi di Tipo 0). Riassumendo, utilizzando un controllore esclusivamente proporzionale (P) si produce una differenza (offset) tra il valore richiesto e quello effettivamente ottenuto. Tale differenza può essere ridotta aumentando il guadagno del controllore. Tuttavia, se il processo da controllare possiede coppie di poli c.c., l’aumento del coefficiente proporzionale è accompagnato da un corrispondente aumento delle oscillazioni generate a seguito di rapidi transitori. Nei sistemi Tipo 0 occorre intervenire con un riassetto manuale del riferimento per annullare l’errore a regime. Ma in presenza di una successiva variazione permanente del carico permane un errore (offset) sulla grandezza controllata. Fig Risposta ad un gradino di ampiezza unitaria, applicato al tempo t = 0, ad un processo caratterizzato da una coppia di poli c.c. (A0 =1, w0 = 1 Hz, z =1) gestito tramite un controllore di tipo proporzionale (P). Il calcolo è effettuato per diversi valori di KP. Si noti che per KP =10 si riduce l’effettodell’offset, ma la risposta al transitorio è caratterizzata da forti oscillazioni. - Azione Derivativa Non dipende dal valore dell’errore, ma dalla velocità con cui avviene la deviazione fra valore misurato e valore prefissato della grandezza controllata.. x ( t ) = Kd È proporzionale alla derivata del segnale errore * Errore de ( t ) dt Td è il Tempo di derivazione Così come è stata scritta la funzione di trasferimento non corrisponde ad alcun componente fisicamente realizzabile (n>=m). Occorre immaginare la presenza di almeno un polo. Si può immaginare un polo la cui costante di tempo sia molto più piccola di TD: G ( S ) == kp(1 + Td * s ) Td * s 1 + N Errore Azione derivativa Td/N Costante di tempo N volte più piccola di TD, il valore di N è normalmente compreso tra 10 e 100. La correzione è presente solo quando l’errore cambia mentre ha valore nullo quando l’errore è costante. L’azione derivativa non può essere usata da sola perchè a regime l’errore è costante e gli effetti dell’azione correttrici La componente derivativa fornisce una brusca variazione dell’azione correttrice che corrisponde ai salti in figura quando ci sono variazione dell’errore. sarebbero nulli. Regolatore proporzionale derivativo PD de(t ) dt X ( s ) = kp.E ( s ) + Kd * sE ( s ) x(t ) = kp.e ( t ) + Kd * Az. proporzionale Riassumendo l’azione derivativa: • • Az. derivativa • Per la presenza del regolatore derivativo il sistema fornisce il segnale (x)t di correzione proporzionale alla derivata dell’errore nel tempo X (s) = kp + kd * s E ( s) kd G ( S ) = kp1 + * s = kp(1 + Td * s ) kp - La costante Kd rappresenta la costante di derivazione. Attraverso essa è possibile rafforzare o indebolire l’azione di controllo derivativa quale risulta dal solo calcolo sull’errore. • • • rende in generale i sistemi più pronti; la funzione di trasferimento il regolatore presenta uno 0 e questo consente una maggiore stabilità del sistema, in oltre vista la presenza del derivatore il segnale di comando proporzionale consente una maggiore velocità di risposta e una maggiore precisione rispetto al regolatore proporzionale; migliori prestazioni dinamiche, cioè forte riduzione del pendolamento della risposta (l’azione correttrice è tanto più energica quanto più velocemente varia l’errore); all’avviamento l’azione derivativa è molto brusca e potrebbe imprimere al sistema accelerazioni dannose; Nei processi in cui sono presenti disturbi casuali e di breve durata, l’azione derivativa può causare dannosi pendolamenti e se ne sconsiglia pertanto l’uso; Non annulla l’errore a regime. Risposta ad un gradino di ampiezza unitaria di un processo contenente due poli c.c. controllato tramite il metodo PD. Quando la costante tempo di derivazione è nulla la risposta è ovviamente la stessa del controllo proporzionale. Viceversa, l’aggiunta del termine derivativo elimina le oscillazioni, pur non avendo alcun effetto sull’offset che è lo stesso del caso proporzionale. Dalla G(s)pi si introduce nel circuito di controllo un polo nell’origine e uno zero; siccome il polo nell’origine potrebbe portare l’instabilità perché Gol totale potrebbe tagliare l’asse delle ascisse con una pendenza di –40db/dec. Poichè disturbi di breve durata anche intensi possono non essere avvertiti dal regolatore integrale è sempre abbinato ad un’azione proporzionale. L’effetto della scelta di TI è mostrato in Fig. Si nota che l’offset presente quando si opera solo con il controllore proporzionale (TI →∞) sparisce attivando il termine integrale. Riducendo TI il sistema risponde più velocemente al transitorio, ma si osservano anche delle forti oscillazioni. Regolatore proporzionale integrativo PI Questo regolatore fornisce un segnale proporzionale all’integrale dell’errore nel tempo (proporzionale all’area sottesa alla curva dell’errore) Regolatori P.I.D. X ( s) ki = kp + E ( s) s ki 1 1 = kp1 + G ( S ) = kp1 + kp s Ti ⋅ s Ti rappresenta il tempo impiegato dall’azione integrale per incrementarsi di un valore pari all’azione proporzionale. L’effetto dell’integrazione è tanto più importante, quanto più Ti è piccolo. Questo regolatore è efficace quando l’errore è piccolo ma perdura nel tempo (infatti l’area aumenta all’aumentare del tempo). Migliora il comportamento a regime, grazie all’azione integrale che alza di uno il Tipo di sistema. I vantaggi di questo tipo di regolatore sono: buona stabilità, precisione e velocità. Per progettare il regolatore si devono determinare le 3 costanti KP,KD,KI e imporre delle condizioni tra zeri e poli in modo da fare risultare stabile il sistema. Taratura Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso Il metodo si articola nei seguenti passi: 1. Si chiude l’anello di controllo con il regolatore PID (i cui parametri devono essere sintonizzati), imponendo nulle le azioni integrale e derivativa: KI = 0, KD = 0. 2. Partendo da valori molto piccoli di KP si effettua un semplice esperimento, consistente nell’applicare un piccolo gradino al segnale di riferimento. 3. Si aumenta progressivamente KP ripetendo di volta in volta l’esperimento finché non si instaura nell’anello un’oscillazione permanente • I annulla l'errore a regime ma tende a rendere meno stabile il sistema per cui il guadagno P deve diminuire nel controllore PI e di conseguenza anche la prontezza. • P agisce sulla prontezza del sistema a catena chiusa: un suo aumento, oltre a diminuire l'errore a regime ad un gradino, porta però il sistema ad essere meno stabile. • D aumenta il margine di fase (quindi lo smorzamento) e consente, quindi, a pari stabilità, di aumentare l'azione P e la prontezza. azione stabilità overshoot Velocità Tempo salita P Utilizzabile se il sistema è molto stabile incrementa diminuisce Derivativa Migliora la stabilità decrementa Piccola diminuzione incrementa diminuisce Proporzionale D Integrale I può causare dannosi penzolamenti nei sistemi con disturbi Rende meno stabile il sistema precisione 4. 5. Detto KP il valore del guadagno proporzionale corrispondente all’oscillazione permanente (guadagno critico) e T il periodo di tale oscillazione, si tarano i parametri di un regolatore P, PI o PID sulla base della seguente tabella: Tempo assestamento Non lo cambia Migliora ma non annulla l’errore diminuisce Non interviene sulla precisione rende il sistema più pronto Lo rallenta rendendolo meno pronto per cui va sempre abbinato a P Ti= Kp/Ki Td=Kd/Kp Ki=Kp/Ti Kd=Td*Kp Lo annulla Il metodo non è sempre applicabile: ci sono infatti sistemi che non generano oscillazioni, anche con guadagni proporzionali elevati. Altre volte può essere pericoloso, o comunque sconsigliabile, portare il sistema al limite di stabilità. L’azione integrale é necessaria qualora sia richiesta una elevata precisione a regime. L’azione derivativa é consigliata in quei processi che sono per loro natura lenti, in modo da aumentare la prontezza della regolazione. E’ altresì sconsigliata nei processi in cui vi é presenza di rumori, poiché diventerebbe un amplificatore di rumore. TIPICI VALORI DEI PARAMETRI P.I.D. PER I PROCESSI INDUSTRIALI PIU’ COMUNI Anche se non si può definire a priori i valori dei parametri P.I.D. conoscendo solo il tipo di processo su cui é applicato il regolatore, é possibile in modo molto approssimato dare un campo di appartenenza agli stessi. Tutto ciò non é dettato da rigide formule matematiche ma solo da una notevole esperienza in merito. Nella seguente tabella sono considerati i più comuni processi industriali e il normale campo di appartenenza degli stessi. Ovviamente questi parametri non sono da ritenere ottimali per una buona regolazione ma sono da considerare come un valido punto di partenza.