Lezione del 15/5/2007. - Benvenuti da poincare.unile.it

Sistemi dinamici-Parte 2
Problema dei due corpi
AM Cherubini
15 Maggio 2007
1 / 24
Leggi di Keplero
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
1. I pianeti si muovono lungo ellissi, di cui il sole e’ uno dei
fuochi
2. le ellissi sono percorse con velocita’ areolare costante
3. il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo
del semiasse maggiore e’ costante
2 / 24
A
111
000
000
111
B
111
000
000
111
3 / 24
Descrizione del problema
Siano dati due punti A, B ∈ R3 di masse rispettivamente a, b e interagenti
con forze interne che dipendono solo da B − A: su A agisce una forza
F(B − A), su B agisce −F(B − A).
Per esempio, la forza di gravita’
ab
B−A
F=g
|B − A|2 |B − A|
I parametri del problema sono le coordinate di A e le coordinate di B, la
lagrangiana
1 2
aȦ + bḂ2 − V (B − A)
L Ȧ, Ḃ, A, B =
2
4 / 24
Riduzione del problema
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Mostriamo come il problema dei due corpi si riduce al problema
di un corpo in un potenziale centrale.
Conviene mettersi in coordinate baricentriche
aA + bB
G=
a+b
r=B−A
(1)
Effettuo il cambio di coordinate
(A, B) ←→ (G, r)
invertendo (1). Se m = a + b massa totale si ha
A=G−
a
b
r B=G+ r
m
m
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Moto centrale
Se µ =
ab
m
e’ la massa ridotta, nelle nuove coordinate la lagrangiana e’
L
′
1
2
2
Ġ, ṙ, G, r =
mĠ + µṙ − V (r)
2
Il vettore Ġ e’ costante (le forze sono interne quindi G si muove di moto
rettilineo
uniforme):
una volta fissato il vettore G, il sistema relativo a
L Ȧ, Ḃ, A, B si riduce al sistema per (ṙ, r) di lagrangiana
1
L′′ (ṙ, r) = µṙ2 − V (r)
2
moto centrale
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Piano dell’eclittica
M
i
r
Ω
r = B − A e’ la posizione di B relativamente ad A ma ora in B si mette la
massa µ: e’ un trucco per lavorare nel sistema di riferimento con origine in A
come se fosse inerziale.
L’orbita di un punto in potenziale centrale si svolge sul piano normale al
momento angolare M (costante!), identificato dall’inclinazione i rispetto a z e
dall’angolo Ω tra x e la linea dei nodi (intersezione del piano dell’eclittica con
xy)
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Moto sul piano
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Se il potenziale dipende dal modulo |r|, in coordinate polari
r = |r| e θ la lagrangiana e’
1 2
L ṙ, θ̇, r, θ = µ ṙ + r2 θ̇2 − V (r)
2
(2)
r
θ
pericentro
Con la trasformata di Legendre trovo l’Hamiltoniana
2
pθ
1
2
H (pr , pθ , r, θ) =
pr + 2 + V (r)
2µ
r
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➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
pθ = cost
p
θ
2π
θ
pθ = µr2 θ̇
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Seconda legge di Keplero
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Se l’orbita e’ r = r(θ), l’area spazzata dal raggio vettore dopo un
tempo t e’
Z
1 θ(t) 2 ′ ′
r (θ )dθ
A(t) =
2 θ0
La velocita’ areolare e’ costante:
pθ
1
Ȧ = r2 θ̇ =
2
2µ
velocita′ areolare
(3)
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Hamiltoniana per r
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Fissata pθ , il moto della coppia di variabili coniugate (pr , r) e’
governato dall’hamiltoniana



1 2 
 1 pθ

pr + 
+
V
(r)
Hpθ (pr , r) =

2
2µ
 2 µr

|
{z
}
pot. efficace
Nel caso di potenziale gravitazionale
k
V =−
r
k>0
il potenziale efficace e’
1 pθ
k
Ve (r) =
−
2
2 µr
r
11 / 24
Potenziale efficace
V
e
r
−
r
+
E
12 / 24
V
e
pericentro
r
−
r
+
E
p
r
r
13 / 24
Per E < 0 la variabile r oscilla con periodo Tr tra il pericentro r− e
l’apocentro r+
■ Al livello minimo di energia corrisponde la soluzione costante r = r0 cioe’
un’orbita circolare nel piano.
■
p
r
equilibrio
r
r
+
r
−
Se E ≥ 0, r ≥ r− e per t → ∞ r(t) → ∞ e pr (t) → r∞ costante
■ Nel caso separante E = 0, pr (t) →t→∞ 0
■
14 / 24
Moto quasi periodico
Per E < 0 , fuori dall’equilibrio, r si muove periodicamente con periodo Tr ,
quindi il moto della coppia (r, θ) e’ il prodotto di due moti periodici, e si
svolge sul toro T 2 ; in corrispondenza dell’equilibrio r0 il toro collassa in una
circonferenza.
Visti sul piano dell’eclittica i moti quasi-periodici hanno un aspetto a rosetta.
L’idea e’ che la variabile θ, durante il periodo Tr , cioe’ tra due passaggi dal
perielio, avanza di una quantita’ ∆θ: se ∆θ
2π ∈ Q allora l’orbita e’ chiusa.
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➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
L’orbita e’ periodica sul toro (e l’orbita sul piano dell’eclittica e’
chiusa) solo se i periodi Tr e Tθ dei due moti sono in rapporto
razionale: questo avviene solo se
k
V =−
r
(teorema di Bertrand)
oppure
V = kr2
k>0
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Variabili di azione-angolo
Il passaggio a coordinate azione-angolo che portino ad una hamiltoniana
dipendente solo dalle azioni e’ un po’ laborioso: qui ricordiamo solo che
le azioni I1 e I2 sono funzione di E e di pθ ; mentre scelta possile per gli angoli
e’ prenderne uno corrispondente all’argomento del perielio ω, che avanza di un
angolo ∆θ ad ogni passaggio dal perielio ed e’ costante nel caso kepleriano:
nel caso kepleriano c’e’ una terza costante del moto indipendente. Problemi di
questo tipo si dicono degeneri
i
pericentro
ω
Ω
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Formula di Binet
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Per un potenziale kepleriano cerchiamo l’equazione r = r(θ) delle
orbite possibili, andando a scrivere un’equazione differenziale per
1
r(θ)
Si usa la conservazione della velocita’ areolare per ottenere
pθ
2c
=
. Allora
θ̇ = µr
2
r2
2c dr(θ)
dr(θ)
d 1
dr(θ)
θ̇ = 2
=
= −2c
dt
dθ
r dθ
dθ r
derivando ancora
4c2 d2 1
r̈ = − 2
r dθ2 r
L’accelerazione radiale e’ quindi
2 2
4c
1
d
1
ar = r̈ − rθ˙2 = − 2
+
r
dθ2 r
r
(4)
18 / 24
Ma
k
µar = − 2
r
Eguagliando (4) e (5) si ottiene un’equazione per
1 4µc2
1
=− +
2
dθ
r
r
k
d2
(5)
1
r
oscillatore forzato!
Si ha, per C e θ0 costanti arbitrarie
r(θ) =
k
4µc2
1
+ C cos (θ − θ0 )
(6)
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Equazioni polari di una conica
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Si dimostra (vedi appendice al capitolo 2 del libro di Benettin)
che l’equazione polare di una conica e’
p
r=
1 + e cos θ
P
r
θ
F
e e’ l’eccentricita’ cioe’ il rapporto costante tra la distanza dei
punti della conica dal fuoco F e dalla direttrice; p un parametro.
Se e < 1 ho ellissi, se e = 1 parabole, se e > 1 iperboli
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Prima legge di Keplero
Da (6), ponendo
pθ
4µc2
=
p=
k
µk
si ha
e=
s
2Ep2θ
1+
µk 2
(7)
p
r(θ) =
1 + e cos (θ − θ0 )
quindi, per E < 0 l’orbita e’ una ellisse di cui A e’ uno dei fuochi
s
r
θ
pericentro
S
Se E > 0 l’orbita e’ un’iperbole (es: meteora. Ha energia abbastanza alta da
sfuggire al campo gravitazionale e allontanarsi)
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Terza legge di Keplero
Nel caso di orbite ellittiche il periodo di rivoluzione T si puo’ calcolare come
rapporto tra l’area dell’ellisse e la velocita’ areolare costante Ȧ .
Se s < S sono i semiassi dell’ellisse A = πsS quindi (scritta (3))
sS
T = 2µπ
pθ
Da (7), ricordando che l’eccentricita’ per un’ellisse e’ e =
s
S
si ha allora
T2
4π 2 µ
=
3
S
k
Nel caso della gravitazione k ∝ gµ, quindi
4π 2
T2
=
3
S
gm
(la massa totale m = a + b ∼ a se a >> b, per esempio se A e’ il sole).
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Referenze
➢Leggi di Keplero
➢Descrizione del
problema
➢Riduzione del
problema
➢Piano
dell’eclittica
➢Moto sul piano
➢Seconda legge di
Keplero
➢Hamiltoniana
per r
➢Potenziale
efficace
➢Moto quasi
periodico
➢Variabili di
azione-angolo
➢Formula di Binet
➢Equazioni polari
di una conica
➢Prima legge di
Keplero
➢Terza legge di
Keplero
➢Referenze
Benettin etc: cap. 2.3,2.4
Fasano, Marmi, Meccanica analitica, cap.5 e 11.8
Scheck,Mechanics, 1.7
Morbidelli,Modern celestial mechanics, primo capitolo
Gallavotti, Meccanica elementare, 4.9, 4.10
23 / 24
That’s all, folks!
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