Piramidi Esercizio guida Dato un rettangolo ABCD di dimensioni AB
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Piramidi Esercizio guida Dato un rettangolo ABCD di dimensioni AB
Piramidi Esercizio guida Dato un rettangolo ABCD di dimensioni AB 2√2 e BC 2 , tracciare la perpendicolare in A al piano del rettangolo e indicare con V il punto della retta che ha distanza 2a da A. Calcolare la misura degli spigoli della piramide VABCD. 8 = 2√3a (teorema di Pitagora applicato al triangolo VAB) VB= √4 VC √94 12 = 4 (teorema di Pitagora applicato al triangolo VAC) VD 2√2 (VAD triangolo rettangolo isoscele) 1. Una piramide ha per base un triangolo isoscele ABC di lati AB vertice α = arcos AC 2 e angolo al . Sapendo che l’altezza AV misura 3a, calcolare la superficie della piramide e l’angolo che la faccia VBC forma con il piano di base. [ superficie totale = ; β = arcos ] 2. Una piramide retta di vertice V ha per base un triangolo equilatero ABC di lato 12a. Calcola l’altezza e l’apotema della piramide sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 30° con il piano di base. [ altezza = 4 a; apotema = 2√7 ] 3. Una piramide retta di vertice V ha per base un quadrato ABCD di lato 4a. Calcola l’altezza e l’apotema della piramide sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 30° con il piano di base. [ altezza = 2 ; apotema = 2 ] 4. Una piramide retta ha per base un quadrato di perimetro 48a. Sapendo che l’altezza della piramide è 8a, calcolare la superficie laterale della piramide e l’angolo che le facce laterali formano con il piano di base. [ 240a2 , α = artg ] 5. Una piramide retta a base quadrata ha apotema che forma un angolo α = artg con il piano di base. Sapendo che il lato del quadrato misura 8a, calcolare la superficie della piramide. [ 144a2 ] 6. Una piramide retta ha per base un quadrato di lato 6a, calcolare la superficie della piramide sapendo che gli spigoli laterali formano con il piano di base un angolo α = arcsen . [ (36 + 12√41)a2] 7. Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero, calcolare la superficie della piramide sapendo che la sua altezza misura 8a e che le facce laterali formano un angolo α = arctg2 con il piano di base. [48√3 1 √5 ] 8. E’ assegnato un triangolo isoscele ABC di lati AB AC 3 e angolo al vertice α = arcos . Sulla perpendicolare in A al piano del triangolo sia P il punto in corrispondenza del quale il piano PBC forma un angolo di 30° con il piano del triangolo. Calcolare la superficie della piramide PABC. [ 3 3√2 2√6 ] 9. Una piramide retta di vertice V ha per base un quadrato ABCD di lato 4a e ha un’altezza tale che le superfici laterali formano un angolo di 45° con il piano di base. A quale distanza dal vertice si deve sezionare la piramide con un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide VA’B’C’D’ che ha superficie pari al 25% di quella della piramide ABCD? Quanto misurano le due superfici? [ distanza dal vertice = a; A = 16 1 √2 , A’ = ] 4 1 √2 10. Una piramide retta VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC che ha il cateto AB = 1 √3 e l’angolo in B di 60°. Calcolare la superficie della piramide sapendo che l’altezza misura . Qual è l’angolo α che le superfici laterali formano con il piano di base? [ 1 √3 ; α = 60° ] 11. Una piramide retta di vertice V ha altezza h = 3 a e per base un triangolo equilatero di lato 6 a. Calcolare a) l’apotema della piramide b) la superficie totale della piramide c) l’angolo che ciascuna faccia della piramide forma con il piano di base. [ a) 2√3 ; b) 27√3 ; c) 60° ] Esercizio guida Una piramide di vertice V ha per base un quadrilatero ABCD che ha area 20 a2 e ha altezza 6a. Calcolare a quale distanza dal vertice è stato tracciato il piano parallelo al piano di base che stacca sulla piramide un poligono che ha area 15 a2. VH’ = x Per il teorema sulle sezioni parallele di un angoloide vale la proporzione: 20 : 15 6 : Risolvendo la proporzione si ottiene x2 = 27a2 quindi x = 3√3 . 12. Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 4a. Sapendo che l’altezza della piramide è 2a calcolare la superficie. A distanza dal vertice della piramide tracciare un piano parallelo al piano di base e indicare con S’ la sezione ottenuta. Calcolare la superficie della piramide che ha base S’ e vertice V. [ (48+24√3 ; (3+ √3 ] 13. Una piramide retta a base quadrata ha altezza 4a e le facce laterali formano un angolo α = artg2 con il piano di base. a) Calcolare la superficie della piramide. b) Determinare a quale distanza dal vertice della piramide si deve tracciare un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide che ha superficie laterale pari al 90% della superficie laterale della piramide assegnata. [ a) 16 1 √5 2 ; b) 6 ] 14. Una piramide retta di vertice V ha per base un esagono regolare; l’apotema della piramide misura 10a e forma un angolo α =arcsen con il piano di base. Calcolare la superficie della piramide e l’angolo che ciascuno spigolo forma con il piano di base. Ricavare a quale distanza dal vertice V si deve condurre un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide la cui superficie laterale è metà di quella della piramide assegnata. [ superficie = 192√3 , β= artg , distanza dal vertice = 4√2 ] √ 15. Un rettangolo ABCD ha i lati AB = 8 a e BC = 6 a; indicare con V il punto sulla retta perpendicolare in B al piano del rettangolo tale che VB = 10 a. a) Calcolare gli angoli che gli spigoli VB, VC, VD formano il piano di base della piramide VABCD b) Tracciato un piano α parallelo al piano di base e distante 5√2a dal vertice della piramide, calcolare l’area della sezione staccata sulla piramide. [ a) α = artg , γ , δ= ; b) 24 ]