Corpo rigido – Mazza da baseball

Corpo rigido – Mazza da baseball
La mazza d’un giocatore di baseball ha massa M, lunghezza L ed è
assimilabile a una sbarra non omogenea di dimensioni trasversali trascurabili
e di densità lineare data dall’espressione λ(x) = λ0 +λ1x, dove λ0 e λ1 sono
costanti aventi le opportune dimensioni e l’origine O dell’asse x coincide con
l’estremo del manico. Durante una partita, la palla di massa m inviata dal
^
lanciatore colpisce la mazza (che il battitore ruota con velocità angolare ωk
attorno all’asse passante per O e perpendicolare al piano della Figura)
esattamente a metà della sua lunghezza, giungendovi con velocità di modulo
v0 e direzione parallela al terreno quando la mazza ha orientazione
perpendicolare alla velocità v0.
Dott. Manuel Mussini
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
1
Corpo rigido – Mazza da baseball
Determinare, in funzione dei dati del problema (m, M, L, v0, ω) le espressioni
delle seguenti grandezze fisiche:
a)  λ0 e λ1, sapendo che la massa della metà della mazza più vicina al
manico è pari a 1/3 del totale;
b)  il momento di inerzia I della mazza rispetto all’asse passante per O;
c)  il momento della quantità di moto KO del sistema (mazza + palla)
rispetto al punto O preso come centro di riduzione prima che il battitore
colpisca la palla;
d)  l’energia cinetica Tf del sistema (mazza + palla) dopo che il battitore ha
colpito la palla, supponendo l’urto corrispondente perfettamente elastico.
Dott. Manuel Mussini
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
2
λ0 e λ1
L/2
2
M
3
1
M
3
L
2
∫
0
L/2
∫
0
1L
λ ( x ) dx = ∫ λ ( x ) dx
2 L/2
1L
( λ0 + λ1 x ) dx = ∫ ( λ0 + λ1 x ) dx
2 L/2
L/2
L
!
x2 $
1!
x2 $
#λ0 x + λ1 & = #λ0 x + λ1 &
2 %0
2"
2 %L/2
"
L
L2 1
L2
L
L2
λ0 + λ1 = λ0 L + λ1 − λ0 − λ1
2
8 2
4
4
16
4 −1− 2 1
L
1 1%
2"1
λ0 = λ1L $ − − ' = λ1L2
= λ1L2
# 4 16 8 &
4
16
16
Dott. Manuel Mussini
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
=>
L
λ0 = λ1
4
3
λ0 e λ1
L
M=
∫ λ ( x ) dx
0
L
! M = λ + λ x dx = !λ x + λ x 2 $= λ L + λ L2
(
# 0
& 0
∫
1
1
0
1 )
#
2
2
"
%0
0
L
"
L
# λ0 = λ1
4
$
L
L2 3 2
= L λ1
M = λ1L + λ1
4
2 4
Dott. Manuel Mussini
! λ =4M
# 1 3 L2
=> "
L4M
# λ0 =
2
4
3
L
$
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
1M
=
3 L
4
I0
L
I0 =
∫
x 2 λ ( x ) dx
0
L
=
∫ (λ x
0
0
2
+ λ1 x 3 ) dx
L
! x3
x4 $
= #λ0 + λ1 &
4 %0
" 3
L3
L4
= λ0 + λ1
3
4
2
2
3
4
M L 4M L
=
+ 2
3L 3 3L 4
=
Dott. Manuel Mussini
4
ML2
9
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
5
K0
!
!
!
K 0 = K PALLA + K MAZZA
!
!
!
"
L 4
L
2 %
K 0 = K PALLA + K MAZZA = − mv0 k̂ + Iω k̂ = $ −mv0 + ML ω ' k̂
#
&
2
2 9
Dott. Manuel Mussini
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
6
Tf
T f = Ti = TPALLA + TMAZZA
1 2 1 2 1 2 2
Tf = mv 0 + Iω = mv 0 + ML2ω 2
2
2
2
9
Dott. Manuel Mussini
Appello 2013-06-14 C-1 Es-1
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