dott. C. Mariani

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE
MASTER UNIVERSITARIO DI II LIVELLO IN DIDATTICA DELLE SCIENZE PER INSEGNANTI
DELLA SCUOLA MEDIA, ELEMENTARE E BIENNIO DELLA SCUOLA SECONDARIA
Costruzione di significati attraverso
l’uso di artefatti: un esperimento
didattico con la “pascalina”
Corsista
Cristina Mariani
Relatore
Chiar. Prof. G.T. Bagni
Correlatore
Chiar. Prof. M. Maschietto
La qualità nell'insegnamento delle scienze
Convegno conclusivo del Master sulla Didattica delle scienze
Milano, 9-10 novembre 2009
Trasversale
Ambito matematica
Verticale
Sperimentazione didattica
Questions research
• L’artefatto aiuta gli allievi a comprendere ed esplicitare
correttamente che l’addizione e la sottrazione sono
operazioni che operano per decomposizione e non solo per
ricorsione?
• L’utilizzo dell’artefatto come strumento favorisce
l’acquisizione di regole?
• Quali sono le fasi che conducono al consolidamento di uno
schema d’azione da parte dello studente per cui l’artefatto
diventa strumento
Percorso in classe
L’aspetto metodologico
Il laboratorio di
matematica
Il ciclo didattico
Motivazione
Si parte dal
problema,
non dalla
soluzione
Insegnante
alunno
Laboratorio
di
matematica
Lavoro
collaborativo
La costruzione di
significati legata
all’uso di
strumenti
Si impara
scoprendo
Dagli errori
si impara
Pratica
teoria
Aspetto metodologico:
Il ciclo didattico e la discussione
matematica collettiva
(Bartolini Bussi e Mariotti, 1999)
• attività con gli artefatti
• una fase di produzione individuale dei segni
• discussione collettiva di segni, guidata
dall’insegnante
strumento
mediazione
semiotica
Vygotskij (1987, 1990)
Wartofsky (1976)
artefatto
Rabardel (1995)
Wittgenstein (1990)
Strumento
Percorso
Sottrazione
Rispetto al
metodo
classico
Rispetto al
metodo del
complemento
usato da
Pascal
La sottrazione in colonna (Bagni, 1994; 2009)
Sottrazione in
colonna
2 regole pratiche
il prestito porta a modificare le cifre
del minuendo
0 9 9 14
1004 –
826 =
________
―1 7 8
il prestito porta a modificare le cifre
del sottraendo
14
1004 –
89 23 6 =
_________
–1 7 8
10
Sottrazione con Zero+1 metodo classico
il collegamento
meccanico tra le due
ruote fa muovere di una
posizione in senso
antiorario la ruota delle
decine.
tale meccanismo è a vista e il suo
funzionamento può essere
seguito direttamente dall’allievo
La contemporaneità
determinata
meccanicamente
evidenzia la fase di
decomposizione di una
decina nelle unità che la
costituiscono
Sottrazione con Zero+1 metodo
complemento
è necessario definire un metodo
meccanico per effettuare sottrazioni
nella forma di addizioni
tecnica antica detta del
complemento di nove che
consente di ottenere sottrazioni
svolgendo addizioni
Esempio: 8 – 3:
– si individua il complemento del
numero 3 che è 7 (infatti: 10 – 3 = 7)
– si somma 8 + 7 = 15
– si considera infine tale risultato
senza il riporto: 5
L’analisi delle risposte e delle icone prodotte dagli
studenti durante le attività con l’artefatto hanno
stimolato alcune riflessioni che sono state interpretate
dal punto di vista semiotico, prendendo in
considerazione:
1) il comportamento tenuto dai ragazzi rispetto alla
richiesta di esplicitazione dei ragionamenti;
Alcuni inizialmente si rifiutavano di rispondere alle
domande;
Alcuni (3) si sentono inadeguati e si rifiutano di
consegnare il test di ingresso
“perché vogliamo fare matematica, non scrivere”,
“siamo qui per fare i calcoli, non pensavamo di dover
scrivere”;
“ma nel disegno non finisco più se devo metterci tutti i
denti delle ruote”;
“perché devo disegnare, cosa centra con i calcoli”.
Dalla
analisi dei
dati
Peirce (CP, 5.480)
parla di un «forte
ma vago senso di
bisogno» alla
radice della
catena semiosica
Ck.
“play the game”, giocano una singola
Dalla
analisi dei
dati
partita, ma questo è già importante
perché così facendo emerge una prima
strategia, una “procedura da
oggettualizzare”, l’artefatto diventa un
“mezzo semiotico di oggettificazione”.
(schema tratto da Bagni, 2009)
3) il passaggio ad una procedura oggettualizzata
(Sfard, 1991; Giusti,1999)
risulta che attraverso la necessità di
eseguire una operazione si forza la
ricerca della strategia, emergono i
procedimenti e il linguaggio si accompagna
ai segni.
La ricognizione fatta finora ha consentito di mettere in evidenza:
(a) una resistenza iniziale;
(b) l’accettazione della proposta sull’utilizzo della pascalina che
ha permesso la costruzione di disegni e della sintassi
matematica anche rispetto all’abaco;
(c) non più la fretta di dare il risultato, ma il tentativo di
descrivere le operazioni (sia per Zero+1 che per l’abaco);
(d) arricchimento del lessico e uso appropriato.
Dalla analisi
dei dati
Quale sarebbe la fase successiva? La presa di
coscienza che una strategia efficace esiste e funziona
sempre, dunque il passaggio ad una “procedura
oggettualizzata”
che
può
permettere
il
consolidamento di uno schema d’azione (Rabardel,
1995) da parte dello studente e l’artefatto diventa
strumento.
4)il consolidamento di uno schema d’azione da parte dello studente
per cui l’artefatto diventa strumento (Rabardel, 1995).
(P.)
gli alunni hanno costruito la sottrazione mediante
l’algoritmo di tipo additivo;
due alunne hanno scoperto due strategie l’una
dall’altra due modalità per azzerare i riporti
automatici del procedimento additivo per la
sottrazione;
hanno iniziato a riflettere sulle procedure di calcolo;
hanno arricchito il lessico;
la fase operativa con l’artefatto ha stimolato
l’apprendimento e rafforzato alcuni saperi ma il
percorso non è stato sufficiente a consolidarli tutti (è
un apprendimento in parte ancora legato all’utilizzo
concreto dell’artefatto).
La sperimentazione suggerisce delle interessanti
possibilità didattiche collegate all’uso di ZERO+1
nella scuola secondaria di primo grado
impatto dell'esperienza sulla mia crescita
professionale è stato decisamente positivo
Io stessa ho imparato insieme agli alunni perché è
stata la prima esperienza di un laboratorio di
matematica e di un uso consapevole di un
artefatto e della discussione matematica, per
cercare di impersonare al meglio il ruolo di
docente come di guida per favorire la transizione
dai testi situati prodotti dagli allievi verso la
produzione di segni e testi matematici
ASPETTATIVE
• docenti preparati sul piano disciplinare e didattico-
metodologico
• proposte disciplinare con una una visione globale
e transdisciplinare e aggiornate rispetto alla Ricerca
internazionale
• laboratori esplorativi su esperimenti e percorsi
cognitivi
• contenuti del laboratorio recuperati nella
discussione disciplinare
•Effettiva considerazione per le proposte e materiali
suggerite dai corsisti
•Progettazioni di lavoro a partire da domande di
ricerca
•modalità di collaborazione inter-universitaria con
l’Univ di Modena-Reggio,
− per la stesura della tesi
− rispetto al percorso formativo (lezioni, seminari),
che ha permesso una personalizzazione del
percorso
−rispetto alla discussione e confronto tra corsisti
• docenti internazionali di altissimo livello intervenuti
come relatori a seminari del Master
• corsisti di tre ordini di scuola (infanzia , primaria,
secondaria) che ha favorito uno sviluppo del corso
e dei materiali prodotti, in una prospettiva di
curricolo verticale
Master rinvigorito la passione per l’insegnamento,
per la ricerca didattica e ha consolidato le basi
formative
ASPETTATIVE
SODDISFATTE OLTRE LE ATTESE
Bibliografia
Arzarello, F., e Bartolini Bussi, M. G. (1998). Italian trends in research in mathematics education. In Mathematics
education as a research, J. Kilpatrick e A. Sierpinska (Eds.).
Bagni, G. T. (1994). I metodi pratici di sottrazione nei manuali di aritmetica. La matematica e la sua didattica, 4, 432–
444.
Bagni, G. T. (1996a). Numeri e successioni: riflessioni metamatematiche, storiche e didattiche su di un brano
leopardiano. In: Brunello, A. (Ed.), Atti della Società Dante Alighieri a Treviso 1996-2002. 353-358.
Bagni, G. T. (1996b). Storia della Matematica. I. Dall’Antichità al Rinascimento. II. Dal Rinascimento ad oggi,
Bologna: Pitagora,.
Bagni, G. T. (2005-a). Numeri e algoritmi con carta e matita. L’insegnamento della matematica e delle scienze
integrate 28A-B, 6, 596-610.
Bagni, G. T. (2005-b). The historical roots of the limit notion. Cognitive development and development of
representation registers. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education 5, 4, 453-468.
Bagni, G. T. (2006). Linguaggio, storia e didattica della matematica. Bologna: Pitagora.
Bagni, G. T. (2007). Rappresentare la matematica: simboli, parole, artefatti e figure. Prefazione di Jean–Philippe
Drouhard. Roma: Aracne.
Bagni, G. T., D’Amore B. (2005). Epistemologia, sociologia, semiotica:la prospettiva socio-culturale. La matematica e
la sua didattica 1, 73-89 (2005).
Bagni, G. T. (2009). Interpretazione e didattica della matematica Una prospettiva ermeneutica. XXVI Seminario
Nazionale di Didattica della Matematica. Retrived from http: //www.dm.unito.it/semdidattica/index.php.
Bagni, G. T. (in press-a). Sottrazione e prestito: uso di artefatti, spunti storici e considerazioni interculturali. (versione
provvisoria)
Bagni, G. T (in press-b). Argomentare e congetturare per la nascita, lo sviluppo e la formalizzazione di “oggetti” matematici.
L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate.
Bartolini Bussi, M. G. (1996). Mathematical discussion and perspective drawing in primary school. Educational Studies in
Mathematics 31, 11-41.
Bartolini Bussi, M. G. (1998). Verbal Interactions in mathematics Classroom: a Vygotskian Analysis, in Steinbring H.,
Bartolini Bussi M. e Sierpinska A (eds), Language and Communication in the Mathematics Classroom, Reston VA:
NCTM, 65-84.
Bartolini Bussi, M. G. (2007). Il laboratorio di matematica: storia e osservazioni. Innovazione educativa, mensile di
discussione e progettazione di nuovi itinerari formativi ottobre 2007 inserto allegato al n°8. Napoli: Melito.
Bartolini Bussi, M. G., M. Boni (2007). The early construction of mathematical meanings: Positional representation of
numbers at the beginning of primary school. research funded by MIUR (PRIN 2005019721): Meanings, conjectures,
proofs: from basic research in mathematics education to curriculum.
Bartolini Bussi, M. G., Mariotti, M. A. (1999). Semiotic mediation: from history to mathematics classroom’, For the Learning
of Mathematics, 19 (2), 27-35.
Bartolini Bussi, M. G., Mariotti M. A. (in press). Semiotic Mediation in the Mathematics Classroom: Artefacts and Signs after
a Vygotskian Perspective, In L. English et al. (eds.), Handbook of International research in Mathematics Education,
LEA.
Bartolini Bussi, M. G., Mariotti, M. A., Ferri, F. (2005). Semiotic mediation in primary school: Dürer’s glass. In: Hoffmann,
M.H.G., Lenhard, J. e Seeger, F. (a cura di), Activity and sign. Grounding mathematics education. Festschrift for
Michael Otte. Springer, New York, 77-90.
Bartolini Bussi, M. G., Maschietto, M. (2006). Macchine matematiche: dalla storia alla scuola. Collana
Convergenze. Springer-Italia, Milano.
Bartolini Bussi, M. G., Maschietto, M. (2007). MACHINES AS TOOLS IN TEACHER EDUCATION in d. Tirosh (ed.),
Tools and processes in mathematics teacher education.
Boero, P., Garuti, R. (1994). Approaching rational geometry: from physical relationships to conditional
statements. In: Ponte, J. P. e Matos, J. F. (a cura di), Proceedings of PME-18. Lisboa, 2, 96-103.
Boero, P., Pedemonte, B. e Robotti, E. (1997). Approaching Theoretical Knowledge Through Voices andEchoes: a
Vygotskian Perspective, Proc. of PME-XXI, Lahti, vol. 2, pp. 81-88.
Bolondi, G. (2006). Metodologia e didattica: il laboratorio. Rassegna, Periodico quadrimestrale dell’Istituto
Pedagogico provinciale per il gruppo linguistico italiano Anno XIV, n. 29, aprile 2006.
Clot, Y.(a cura di) (1999). Avec Vygotsky, La Dispute, Paris.
Crombie, A. C. (1995). Commitments and styles of European scientific thinking. History of Sciences, 33, 225–238.
D’Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Pitagora Editrice Bologna
D’Amore, B. (2000). “Concetti” e “oggetti” in Matematica. Rivista di Matematica dell’Università di Parma. (6) 3
(2000), 143-151.
D’Amore, B. (2001a). Un contributo al dibattito su concetti e oggetti matematici: la posizione “ingenua” in una
D’Amore, B. (2001b). Concettualizzazione, registri di rappresentazioni semiotiche e noetica. La matematica e la sua didattica. 2, 150-173.
D’Amore B., Radford L., Bagni G. T. (2006). Ostacoli epistemologici e prospettiva socio-culturale. L’insegnamento della matematica e delle
scienze integrate. Paderno del Grappa. 29B, 1, 11-40.
Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotiques et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences
Cognitives. ULP, IREM Strasbourg, 5, 37-65.
Enriques, F. (1938). Le matematiche nella storia e nella cultura, Zanichelli, Bologna (ristampa anastatica: Zanichelli, Bologna 1982).
Giusti, E. (1999). Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici. Torino: Bollati Boringhieri.
Hasan, R. (2005). Semiotic mediation, language and society: Three exotripic theories—Vygotsky, Halliday and Bernstein. Language, society
and consciousness. London:.J. Webster.
Marietti, S. (2001). Icona e diagramma. Il segno matematico in Charles Sanders Peirce. Milano: LED.
Maschietto, M. e Bartolini Bussi, M. G. (2005). Meaning construction through semiotic means: the case of the visual pyramid. In Chick, H. L. e
Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29th Conference of the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 3,
pp. 313-320. Melbourne: PME.
Meira, L. (1998). Making sense of instructional devices: the emergence of transparency in mathematical activity. Journal for Research in
Mathematics Education, 29, 2, 121–142.
Nelson, K. (1977). Cognitive development and the acquisition of concepts, in: Anderson R.S., Spiro r.J. e Montague W.E.
Peirce, C.S. (1931–1958). Collected Papers. I–VIII. Cambridge: Harvard University Press.
Quine, W.V (1970). Philosophical Progress in Language Theory, in Language, Belief, and Metaphysics,
Albany, N.Y., State Univ. of New York Press, pp. 8-11 e 14-15, in H. E. Kiefer e M. K. Munitz (eds.).
Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies: approche cognitive des instruments contemporains.
Paris: Colin.
Radford, L. (2003). On the epistemological limits of language. Mathematical knowledge and social practice in
the Renaissance. Educational Studies in Mathematics, 52, 2, 123–150.
Radford, L. 2008 (in press). Rescuing Perception: Diagrams in Peirce’s theory of cognitive activity. In de
Moraes, L. e Queiroz, J. (Eds.), C.S. Peirce’s Diagrammatic Logic. Catholic Univ. of Sao Paulo, Brazil.
Radford, L., D’Amore, B. (2006). Relime revista Latinoamericana de investigacion en Matematica Educativa
Numero Especial Ed. Invitados
Savioli, K. (2004). Punti di forza per l’utilizzo della Pascalina “zero + 1” in classe. Sperimentazioni in classe
prima- scuola primaria. Retrived from
www.avimes.it/allegati/2004_2005/punti%20forza%20pascaline.doc
Schubauer Leoni, M. L. (1988). L’interaction expérimentateur-sujet à propos d’un savoir mathématique: la
situation de test revisitée. In: Perret-Clermont, A.N. & Nicolet, M. (a cura di), Interagir et connaître. Del
Val, Cousset, Svizzera.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin.
Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
Sfard, A. (1999). Symbolizing mathematical reality into being: How mathematical discourse and mathematical objects create each other.
In: P. Cobb & Al. (eds). Symbolizing and communicating: perspectives on mathematical discourse, tools, and instructional design (pp.
37–98). Mahwah: Erlbaum.
Sfard, A. & Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification. The case of algebra, Educational Studies in Mathematics, 26, 191–
228.
Stipek D. J. (1996). La motivazione nell’apprendimento scolastico, Torino, SEI, pp. 78-82.
Vygotskij, L. S. (1987). Il processo cognitivo. Boringhieri, Torino (Mind in society. The development of higher psychological processes.
Harvard University Press, Cambridge, London 1978).
Vygotskij, L. S. (1990). Pensiero e linguaggio. Ricerche psicologiche. Laterza, Roma-Bari (Myšlenie i rec’. Psichologiceskie issledovanja.
Gosudarstvennoe Social’no-Ekonomiceskoe Izdatel’stvo, Moskva-Leningrad 1934).
Wartofsky, M. (1979). Perception, representation and the forms of action: towards an historical epistemology. In: Models. Representation
and the scientific understanding. Reidel, Dordrecht, 188-209.
Wertsch, J., Toma, C. (1995). Discourse and learning in the classroom: a sociocultural approach. In: L.P. Steffe & J. Gale (eds)
Constructivism in education (pp. 159–174). Hillsdale/Huve: Erlbaum.
Wittgenstein, L. (1990). Grammatica filosofica. La Nuova Italia, Firenze (Philosophische Grammatik. Blackwell, Oxford 1969).
Testo scolastico
Tornatore L., Polizzi G., Ruffaldi E. (2000). Filosofia. Testi e argomenti. vol. 4, Loescher
Siti suggeriti
http://www.syllogismos.it/
http://archivioweb.unimore.it/theatrum/macchine/_00lab.htm
http://www.mmlab.unimore.it/on-line/Home/Materiale/Presentazioni.html
http://www.sci.unich.it/~aroli/dida/SeGI/lucidi0405/storiainf.pdf
http://www.rassegnaistruzione.it/rivista/rassegna11-12/013_rDI_1-2-2006.pdf
http://www.tv.unimore.it/media/cultura/convegnoumi/start.swf
Obiettivi
specifici
far riflettere sulle procedure di calcolo dell’addizione e della sottrazione nel
sistema metrico decimale posizionale;
far acquisire l’operazione di sottrazione di numeri col metodo del
complemento, attraverso lo sviluppo di un algoritmo di tipo additivo;
sviluppare capacità di tipo meta cognitivo facendo ipotizzare agli alunni la
costruzione di una “pascalina” finalizzata alla misurazione del tempo o degli
angoli secondo il sistema sessagesimale;
contribuire all’arricchimento del lessico specifico.
generali
sviluppare l’abitudine a definire e impiegare regole e procedure;
favorire la socializzazione e coinvolgere gli alunni in un discorso
matematico.
far riflettere sulla differenza tra risultato e processo